(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.2.1
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(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.2
[提示2] 空间中任意两个向量一定共面．任意三个向量不 一定共面．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
空间向量的数乘运算
1．定义：实数λ与空间向量a的乘积λ—a—仍然是一个—向——量— ，称为向量的数乘运算．
2．向量a与λa的关系
λ的范 围
对于空间任意两个向量 a， 充要
b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 条件
实数 λ 使__a_＝__λ_b___
若两个向量 a，b 不共线，则 向量 p 与 a，b 共面的充要条 件是存在唯一的有序实数对
(x，y)，使_p_＝__x_a_＋___yb
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．1
B．2
C．3
D．0
数学 选修2-1
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第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
合作探究 课堂互动
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第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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空间向量的数乘运算
如 图 ， 已 知 平 行 六 面 体 ABCD － A′B′C′D′.
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第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
空间向量的数乘运算
1．定义：实数λ与空间向量a的乘积λ—a—仍然是一个—向——量— ，称为向量的数乘运算．
2．向量a与λa的关系
λ的范 围
对于空间任意两个向量 a， 充要
b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 条件
实数 λ 使__a_＝__λ_b___
若两个向量 a，b 不共线，则 向量 p 与 a，b 共面的充要条 件是存在唯一的有序实数对
(x，y)，使_p_＝__x_a_＋___yb
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第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．1
B．2
C．3
D．0
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第三章 空间向量与立体几何
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合作探究 课堂互动
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第三章 空间向量与立体几何
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空间向量的数乘运算
如 图 ， 已 知 平 行 六 面 体 ABCD － A′B′C′D′.
高中数学选修2-1课件：3.2 第3课时 空间向量与空间角
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中
点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分
别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG；
证明 在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，
所以AB∥DE.
又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，
－1)，C→E＝(1，t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1＋t－22·cos 60°，
所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．
解析答案
题型二 直线与平面所成角的向量求法 例2 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a ，侧棱长为 2a ，M为 A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
D.90°
解析 ∵cos〈m，n〉＝ 12＝ 22，
∴二面角的大小为45°或135°.
解析答案
12345
3.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝ 2BB1，则AB1与C1B所成角的大 小为( )
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
解析答案
12345
4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
232Fra bibliotekA. 3
B. 3
C.3
6 D. 3
解析答案
12345
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直 9
线A1B与B1C所成角的余弦值为_2_5__. 解析 如图，建立空间直角坐标系. 由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4，4,0)，C(0,4,3). ∴A→1B＝(0,4,3)，B→1C＝(－4,0,3)， ∴cos〈A—1→B，B—1→C〉＝295.
高中数学选修2-1第3章3-1空间向量及其运算课件
上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展
到了空间.
加法 减法 运算
运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法交换律 a b b a 加法结合律
OG kOC,OH kOD. 由于四形ABCD是平行四形，所以 AC AB AD . 因此
EG OG OE kOC kOA=k AC
k( AB AD) k(OB OA OD OA)
OF OE OH OE EF EH 由向量共面的充要件知E ,F,G ,H 四共面.
（3）在正方体 ABCD - A中1B，1C1必D1有
. AC = A1C1
（4）若空间向量 m,n满,p足
，m = n,n = p
则 m . p
（5）空间中任意两个单位向量必相等.
其中不正确命题的个数是（ C）
A.1 B.2 C.3 D.4
数学 选修2-1
2.给出以下几种说法：
①若| a |＝| b |，则a ， b 的长度相同，方
a+b=b+a （2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数学 选修2-1
证明加法交换律:
C
a
B
o
a
A
因为 OA = CB = a， AB = OC = b，
所以 a + b = b + a.
数学 选修2-1
证明加法结合律: O
a
A
C
(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.2.2
山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为
了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的 A处，乙站
在山坡斜面上的 B 处，A， B 两点到直线 l( 水平地面与山坡的交 线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的
长为80 m.
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1．理解直线与平面所成角的概念．
2．掌握利用向量方法解决线线角、线面角、二面角的求
法． 3．正确运用向量法求异面直线的夹角．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
(3)平面 α 的法向量 n 与 AB 所成的锐角 θ1 的余角 θ 就是 直线 AB 与平面 α 所成的角． (4)斜线和它在平面内的射影所成的角(即斜线与平面所 成的角)是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．
→
→
→
AB· CD
→ →
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
角的 分类
向量求法 设二面角 α－l－β 的平面
图形
二角 面
角为 θ，平面 α、β 的法向 量为 n1，n2，则 |n1· n2| |cos 〈 n ， n 〉 | ______________ ＝|n |· 1 2 1 |n2|
→ [提示 2] 设地面的法向量为 n，则 sin α＝|cos〈BD，n〉|.
高中数学(人教A)选修2-1课件：3.2.1直线的方向向量和平面的法向量
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 空间向量与立体几何
第三章 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 直线的方向向量和平面的法向量
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1．理解直线的方向向量，平面的法向量．
• 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量 处理线面的位置关系．
量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量 中我们能否用直线的方向向量与平面的法向 量来讨论空间线面的位置关系呢？
• 新知导学
• 4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的 方向向量与平面的法向量的位置关系来研究 ．
Байду номын сангаас
• 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α
、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α
• 重点：平面的法向量． • 难点：利用向量知识处理立体几何问题．
直线的方向向量与平面的法向量
• 温故知新 • 1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方
向向量．
• 思维导航 • 1．怎样确定空间一条直线的方向向量？ • 2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？
类似的，一点A和一个方向能确定一个平面 吗？这个方向对平面有何特殊意义？
• (4)l⊥α⇔_a∥_u______存⇔在k_∈_R，_使_a_＝_ku____________
_．
u∥v
存在k∈R，使u＝kv
• (5)α∥β⇔__u_⊥_v____⇔u·_v＝_0________________ ___；
• (6)α⊥β⇔________⇔__________． • 注：①由前提知la⊄α，b，u，v都是非零向量．
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第三章 空间向量与立体几何
第三章 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 直线的方向向量和平面的法向量
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1．理解直线的方向向量，平面的法向量．
• 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量 处理线面的位置关系．
量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量 中我们能否用直线的方向向量与平面的法向 量来讨论空间线面的位置关系呢？
• 新知导学
• 4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的 方向向量与平面的法向量的位置关系来研究 ．
Байду номын сангаас
• 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α
、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α
• 重点：平面的法向量． • 难点：利用向量知识处理立体几何问题．
直线的方向向量与平面的法向量
• 温故知新 • 1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方
向向量．
• 思维导航 • 1．怎样确定空间一条直线的方向向量？ • 2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？
类似的，一点A和一个方向能确定一个平面 吗？这个方向对平面有何特殊意义？
• (4)l⊥α⇔_a∥_u______存⇔在k_∈_R，_使_a_＝_ku____________
_．
u∥v
存在k∈R，使u＝kv
• (5)α∥β⇔__u_⊥_v____⇔u·_v＝_0________________ ___；
• (6)α⊥β⇔________⇔__________． • 注：①由前提知la⊄α，b，u，v都是非零向量．
(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.3
对空间向量夹角的认识 (1)通常规定 0≤〈a，b〉≤π，这样两个向量的夹角是唯 一确定的，且〈a，b〉＝〈b，a〉 ． → → (2)作向量 a 与 b 的夹角时，必须使OA，OB为同起点的 → → 向量，例如：在正四面体 ABCD 中， 〈AB，AC〉＝60° ，而 → → 〈AB，BC〉＝120° .
第三章 空间向量与立体几何
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[ 问题 2] 件？
每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构
[ 提示 2]
每个力大小为|F0|，合力为|F|，
∴|F|2＝(F1＋F2＋F3)· (F1＋F2＋F3) ＝(F1＋F2＋F3)2＝6|F0|2 ∴|F|＝ 6|F0| 5 000 6 2 500 6 25 000 6 ∴|F0|＝ 6 ×10＝ 3 ×10＝ (N)． 3
答案： B
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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π π 3．设 a⊥b， 〈a，c〉＝3， 〈b，c〉＝6，且|a|＝1，|b|＝2， |c|＝3，则向量 a＋b＋c 的模是________．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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3.1 空间向量及其运算
3.1.3 空间向量的数量积运算
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
)
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高中数学(人教版选修2-1)配套课件：第3章 空间向量与立体几何3.2
A1D—B的余弦值.
解析答
当堂检测
1
2
3
4
5
A
解析答
1
2
3
4
5
2.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为 ( )
C
B.135° D.90°
A.45° C.45°或135°
解析
1 2 ∵cos〈m，n〉＝ ＝ 2 ， 2
∴二面角的大小为45°或135°.
解析答
1
2
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
5
解析答
1
2
3
4
5
4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(
)
2 A. 3
3 B. 3
2 C.3
6 D. 3
解析答
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高中数学课件
第三章
§ 3.2
立体几何中的向量方法
第3课时 空间向量与空间角
学习 目标
1.理解直线与平面所成角的概念. 2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.
3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.
栏目 索引
知识梳理
自主学习
题型探究
重点突破
当堂检测
自查自纠
＝ ，范围 .
题型探究 重点突破 题型一 例1 两条异面直线所成角的向量求法
如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点.求
异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.
反思与
解析答
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝ AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线 AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行关系课件新人教A版选修21
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，则 n1⊥D→A，n1⊥A→E， 即nn11· ·AD→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，得xz11＝＝－0，2y1， 令 z1＝2，则 y1＝－1，所以 n1＝(0，－1，2)． 因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1． 又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE．
(2)D→B＝(2，2，0)，D→E＝(1，0，2)． 设平面 BDEF 的一个法向量为 n＝(x，y，z)． ∴nn··DD→→BE＝＝00，， ∴2x＋x＋22z＝y＝0，0，∴yz＝＝－－12x， x. 令 x＝2，得 y＝－2，z＝－1． ∴n＝(2，－2，－1)即为平面 BDEF 的一个法向量．
【自主解答】 以点 A 为原点，AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则 A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1， 0)，D12，0，0，S(0，0，1)．
(1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴A→S＝(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量．
第九页，共47页。
图322
【解】 设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，则 D(0，0，0)，B(2， 2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)．
(1)连接 AC，因为 AC⊥平面 BDD1B1，所以A→C＝(－2，2，0)为平面 BDD1B1 的一个法向量．
第十五页，共47页。
－x1＋4z1＝0， 即32y1＋4z1＝0. 令 x1＝1，得 z1＝14，y1＝－23．
第二十八页，共47页。
nn22· ·DD→→EF＝＝00，，即32x2y＋2＋34y2z＋2＝40z2，＝0， 令 y2＝－1，得 z2＝38，x2＝32． ∴n1＝1，－23，14，n2＝32，－1，38， ∴n1＝23n2，即 n1∥n2， ∴平面 AMN∥平面 EFBD．
高二数学人教A选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.2(一)
第三章 空间向量与立体几何
§3.2 立体几何中的向量方法（一）
学习目标
1.掌握空间点、线、面的向量表示. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系 数法求平面的法向量. 3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的 平行问题.
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
类型二 求平面的法向量
例 2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90° ，SA⊥平面 ABCD，SA＝ 1 AB＝BC＝1，AD＝2，求平面 SCD 与平面 SBA 的法向量.
反思与感
解析答案
―→ 跟踪训练 2 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求证DB1是平面 ACD1 的 一个法向量.
线线平行
a∥b l∥m⇔_____ ⇔a＝kb (k∈R)
a· μ l∥α⇔a⊥μ⇔_____ ＝0 μ＝kv (k∈R) α∥β⇔μ∥v⇔____________ · b＝0 l⊥m⇔a⊥b⇔a _______
线面平行
面面平行
线线垂直
线面垂直 面面垂直
a＝kμ(k∈R) l⊥α⇔a∥μ⇔___________
解
1 ①∵μ＝(－1,1，－2)，v＝3，2，－2，
∴μ· v＝－3＋2＋1＝0，
∴μ⊥v，∴α⊥β. ②∵μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)，
3 ∴μ＝－2v，∴μ∥v，∴α∥β.
解析答案
(3)设μ是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判 断平面α与l的位置关系： ①μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)； ②μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0). 解 ①∵μ ＝ (2,2 ，－ 1) ， a ＝ ( －
§3.2 立体几何中的向量方法（一）
学习目标
1.掌握空间点、线、面的向量表示. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系 数法求平面的法向量. 3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的 平行问题.
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
类型二 求平面的法向量
例 2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90° ，SA⊥平面 ABCD，SA＝ 1 AB＝BC＝1，AD＝2，求平面 SCD 与平面 SBA 的法向量.
反思与感
解析答案
―→ 跟踪训练 2 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求证DB1是平面 ACD1 的 一个法向量.
线线平行
a∥b l∥m⇔_____ ⇔a＝kb (k∈R)
a· μ l∥α⇔a⊥μ⇔_____ ＝0 μ＝kv (k∈R) α∥β⇔μ∥v⇔____________ · b＝0 l⊥m⇔a⊥b⇔a _______
线面平行
面面平行
线线垂直
线面垂直 面面垂直
a＝kμ(k∈R) l⊥α⇔a∥μ⇔___________
解
1 ①∵μ＝(－1,1，－2)，v＝3，2，－2，
∴μ· v＝－3＋2＋1＝0，
∴μ⊥v，∴α⊥β. ②∵μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)，
3 ∴μ＝－2v，∴μ∥v，∴α∥β.
解析答案
(3)设μ是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判 断平面α与l的位置关系： ①μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)； ②μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0). 解 ①∵μ ＝ (2,2 ，－ 1) ， a ＝ ( －
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习(共24张PPT)教育课件
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
些
计
划
，
有
的
计
划
《
几
乎
不
去
做
或
者
做
了
坚
持
不
了
多
久
。
其
实 我
成
功
的
关
键
是
做
很
坚
持
。
上
帝
没
有
在
我 是
们
出
生
的
时
候
给
我
们
什
么
额
外
的
装
备
， 算
也
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
•
•
•
•
•
•
《
极
，
那有 就些 在人 于经 坚常 持做 。一
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
(人教版)选修2-1数学：3-1《空间向量及其运算(1)》ppt课件
3.1.1 空间向量及其加减运算
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
解析:模相等的两个向量不一定相等,①错;|m|=|n|,|n|=|p|,所以 |m|=|p|,又 m 与 n 同向,n 与 p 同向,从而 m 与 p 同向,所以 m=p,②对;零 向量方向任意,但并不是没有方向,③错;④错.
3.1.1 空间向量及其加减运算
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
例 1 下列说法中正确的是( A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等
).
C.若|a|=|b|,则 a 与 b 的长度相等,方向相同或相反 D.若 a 与 b 是相反向量,则|a|=|b| 思路分析:根据空间向量的相关概念进行分析判断. 答案:D 解析:单位向量的模都等于 1,但方向不一定相同,可以是任意方向, 故 A 错;0 的相反向量还是 0,它们是相等的,故 B 错;当|a|=|b|时,a 与 b 的方向是任意的,不一定相同或相反,故 C 错;当 a 与 b 互为相反向量 时,|b|=|-a|=|a|,故 D 正确.
3.1.1 空间向量及其加减运算
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
二、空间向量的加法与减法运算
活动与探究 问题 1:空间向量的加减运算方法是什么? 提示:(1)向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则 ,同平面向 量相同,封闭图形、首尾连接的向量的和为 0. (2)化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则 ,遇 到减法时既可转化成加法,也可按减法法则进行运算,加减法之间可以 相互转化.表达式中各向量的系数相等时,根据数乘分配律,可以把相同 的系数提到括号外面.
高中数学(人教版选修2-1)配套课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.2
解 ∵P是CA′的中点，
1 → → — → 1 → → — → ∴AP＝2(AC＋AA′)＝2(AB＋AD＋AA′)
1 ＝2(a＋b＋c).
解析答
→ (2)AM；
解 ∵M是CD′的中点，
→ 1 → — — → 1 → → — — → ∴AM＝2(AC＋AD′)＝2(AB＋2AD＋AA′)
1 ＝2(a＋2b＋c).
解析答
→ (3)AN；
解 ∵N是C′D′的中点，
→ 1 — — → — — → ∴AN＝2(AC′＋AD′)
1 → → — — → → — — → ＝2[(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)] 1 → → — — → 1 ＝2(AB＋2AD＋2AA′)＝2a＋b＋c.
解析答
→ (4)AQ.
解 ∵CQ∶QA′＝4∶1，
解析答
(2)判断点M是否在平面ABC所在的平面内.
解
→ → → 由(1)知向量MA，MB，MC共面，
三个向量又有公共点M， ∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC所在的平面内.
→ — → — — → — → → 1— — → ∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋2D1C1 1→ 1 ＝a＋c＋2AB＝a＋c＋2b.
解析答
— → (2)A1N；
解 ∵N是BC的中点，
1→ — → — → → → ∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋2BC
1→ 1 ＝－a＋b＋2AD＝－a＋b＋2c.
(x，y)，使p＝xa＋yb.
题型探究 重点突破
题型一 例1
空间向量的数乘运算
— → → → 如图， 在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中， 设AA1＝a， AB＝b， AD＝c，
1 → → — → 1 → → — → ∴AP＝2(AC＋AA′)＝2(AB＋AD＋AA′)
1 ＝2(a＋b＋c).
解析答
→ (2)AM；
解 ∵M是CD′的中点，
→ 1 → — — → 1 → → — — → ∴AM＝2(AC＋AD′)＝2(AB＋2AD＋AA′)
1 ＝2(a＋2b＋c).
解析答
→ (3)AN；
解 ∵N是C′D′的中点，
→ 1 — — → — — → ∴AN＝2(AC′＋AD′)
1 → → — — → → — — → ＝2[(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)] 1 → → — — → 1 ＝2(AB＋2AD＋2AA′)＝2a＋b＋c.
解析答
→ (4)AQ.
解 ∵CQ∶QA′＝4∶1，
解析答
(2)判断点M是否在平面ABC所在的平面内.
解
→ → → 由(1)知向量MA，MB，MC共面，
三个向量又有公共点M， ∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC所在的平面内.
→ — → — — → — → → 1— — → ∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋2D1C1 1→ 1 ＝a＋c＋2AB＝a＋c＋2b.
解析答
— → (2)A1N；
解 ∵N是BC的中点，
1→ — → — → → → ∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋2BC
1→ 1 ＝－a＋b＋2AD＝－a＋b＋2c.
(x，y)，使p＝xa＋yb.
题型探究 重点突破
题型一 例1
空间向量的数乘运算
— → → → 如图， 在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中， 设AA1＝a， AB＝b， AD＝c，
高中数学(人教版选修2-1)配套课件：第3章 空间向量与立体几
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高中数学课件
第三章 § 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示
学习 目标
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.
2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些 相关问题.
a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b cos〈a，b〉＝ ＝ 2 2 2 2 2 2. |a||b| a1＋a2＋a3 b1＋b2＋b3
知识点三 空间两点间的距离
→ 已知点 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 A，B 两点间的距离 dAB＝|AB| ＝ a2－a12＋b2－b12＋c2－c12.
解析答
— → → → → (2)M 为 BC1 的中点，试用基向量AA1，AB，AC表示向量AM.
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔ a⊥b⇔a·b＝0⇔ (λ∈R)； a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 ； a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
2 2 |a|＝ a· a＝ a2 ＋ a ＋ a 1 2 3；
栏目 索引
知识梳理
自主学习
题型探究
重点突破
当堂检测
自查自纠
知识梳理 自主学习
知识点一
空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， a＋b＝ a－ b＝ λa＝
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
， ， .
(a1－b1，a2－b2，a3－b 3) ，a·b＝ (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3
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第三章 § 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示
学习 目标
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.
2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些 相关问题.
a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b cos〈a，b〉＝ ＝ 2 2 2 2 2 2. |a||b| a1＋a2＋a3 b1＋b2＋b3
知识点三 空间两点间的距离
→ 已知点 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 A，B 两点间的距离 dAB＝|AB| ＝ a2－a12＋b2－b12＋c2－c12.
解析答
— → → → → (2)M 为 BC1 的中点，试用基向量AA1，AB，AC表示向量AM.
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔ a⊥b⇔a·b＝0⇔ (λ∈R)； a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 ； a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
2 2 |a|＝ a· a＝ a2 ＋ a ＋ a 1 2 3；
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空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， a＋b＝ a－ b＝ λa＝
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
， ， .
(a1－b1，a2－b2，a3－b 3) ，a·b＝ (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3
高中数学选修2-空间向量与立体几何课件
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
合作探究 课堂互动
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的 顶点坐标．
2．掌握空间向量的线性运算的坐标表示，掌握空间向量 数量积的坐标表示．
3．能运用向量的数量积的坐标表示解决一些相关问题．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
向量运算 a∥b a⊥b |a|
cos〈a，b〉
坐标表示
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
__a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_＝__0_
_____a_12_＋__a_22_＋__a_23 ___ a1b1＋a2b2＋a3b3
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．已知向量a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等
于( )
A．(2，－4,2)
B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2)
D．(2,1，－2)
解析： b＝(a＋b)－a＝(－2,4，－2)．
则|P→D|＝ －1－12＋3－12＋3－12＝ 12＝2 3.
答案： 2 3
数学 选修2-1
高中数学(人教版选修2-1)配套课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.3
解析答
当堂检测
1
2
3
4
5
1.若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件
)
A
D.既不充分也不必要条件
解析
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，当a与b反向
时，不能成立.
解析答
1
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， 将上面两式左、右两边分别相减，得4a·b＝4， ∴a·b＝1.
解析答
→ → 1→ 1→ → ＝(MB＋BC＋2AD－2AC)· AB
1 2 1 2 1 2 2 ＝2a ＋a cos 120° ＋2a cos 60° －2a cos 60° ＝0， → → 所以MN⊥AB，即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.
解析答
题型三 例3
利用数量积求距离
正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱 )ABC—A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、
2
3
4
5
2.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－3b|等于(
)
A
A. 7
B. 10
C. 13
D.4
解析 ∵|a－3b|2＝(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2
解析答
1
3.对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是( A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0 ) B
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高中数学课件
第三章 § 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算
学习 目标
2016-2017学年高中数学选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1 3.1.2
第四页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第五页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第六页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第七页，编辑于星期五：十七点 十五分。
第十八页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第十九页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
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基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
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第三十二页，编辑于星期五：十七点 十五分。
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第六十七页，编辑于星期五：十七点 十五分。
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数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
3.2 立体几何中的向量方法
3.2.1 用向量方法解决平行与垂直问题
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 选修2-1
解析： 设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)，
2x＋3y＋z＝0， 得 5x＋6y＋4z＝0，
n＝0 a· 由 n＝0 b·
1 1 令 x＝1 得 y＝－2，z＝－2.
答案：
1 1 1，－ ，－ 2 2
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第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
空间中平行关系的向量表示
线线 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)， a＝λb 平行 b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔_______ 线面 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的 a· u＝0 平行 法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔_______ 面面 设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2 u∥v⇒u＝λv 平行 ，b2，c2)，则α∥β⇔____________
＝0， 即(－1,2,4)· (x，－1，－2)＝0，解得 x＝－10，故选 B.
答案： B
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
3 ．已知平面 α 上两个不共线向量 a ＝ (2,3,1) ， b ＝ (5,6,4) ， 则平面α的一个法向量为________．
以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的 石制工具(如图所示)，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴 着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面， 然后落下石墩夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成 等角， 且与水平地面所成角为 45° ， 为了使 60 kg 石墩垂直离 开地面，每个人最少需用 20 2 g 牛顿的力．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
直线的方向向量与平面的法向量
1．直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线____________ 共线或平行 的向量．
2．平面的法向量的定义
直线l⊥α，取直线l的____________ 方向向量a ，则a叫做平面α的法向 量．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
空间垂直关系的向量表示
空间中的垂直关系 线线垂直 线面垂直 面面垂直 若平面 α 的法向 量 u＝(a1， b1， c1)， 平面 β 的法向量 为 v＝(a2， b2， c2)，
设直线 l 的方向 设直线 l 的方向 向量为 a＝(a1， 向量是 a＝(a1， a2，a3)，直线 m b1，c1)，平面 α 的方向向量为 b 的法向量 u＝
4．如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互 相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1. (1)求证：AF∥平面 BDE； (2)求证：CF⊥平面 BDE.
＝(b1，b2，b3)， (a2，b2，c2)，
a⊥b 则 l⊥α⇔_____ a∥u 则 l⊥m⇔_____
u· v＝0 则 α⊥β⇔______
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
对空间垂直关系的几点认识
空间中的垂直关系包括线线垂直、线面垂直和面面垂直， 这几种垂直关系是可以相互转化的，判定或证明垂直关系的方 法主要是用判定定理或直线的方向向量、平面的法向量间的关 系进行的．
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1．会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、 平面间的平行、垂直等位置关系． 2．会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的
垂直与平行．
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第三章 空间向量与立体几何
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数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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(2)平面 α 的一个法向量垂直于与平面 α 共面的所有向 量． (3)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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对直线的方向向量和平面的法向量的几点认识 (1)空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A → 以及一个方向确定．在直线 l 上取AB＝a，a 可以作为 l 的方 向向量，借助点 A 和 a 即可确定直线 l 的位置，并能具体表 示出直线 l 上的任意一点．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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[ 问题 1]
在空间中给定一个定点 A( 一个石耳 ) 和一个定方
向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？ [提示1] 能． [问题2] 石墩夯实地面的过程中，石墩所在的直线和地面
垂直吗？
[提示2] 垂直．
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第三章 空间向量与立体几何
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1．若直线l的方向向量为a＝(－1,0,2)，平面α的法向量为n
＝(－2,0,4)，则(
A．l∥α C．l⊂α ∴l⊥α. 答案： B
)
B．l⊥α D．l与α斜交
解析： ∵a＝(－1,0,2)，n＝(－2,0,4)，n＝2a，∴n∥a，
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第三章 空间向量与立体几何
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2．若平面 α，β 的法向量分别为 m＝(－1,2,4)，n＝(x， －1，－2)，且 α⊥β，则 x 的值为( A．10 B．－10 )
1 1 C.2 D．－2 解析： 若 α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，即 m· n
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3.2 立体几何中的向量方法
3.2.1 用向量方法解决平行与垂直问题
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自主学习 新知突破
数学 选修2-1
解析： 设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)，
2x＋3y＋z＝0， 得 5x＋6y＋4z＝0，
n＝0 a· 由 n＝0 b·
1 1 令 x＝1 得 y＝－2，z＝－2.
答案：
1 1 1，－ ，－ 2 2
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第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
空间中平行关系的向量表示
线线 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)， a＝λb 平行 b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔_______ 线面 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的 a· u＝0 平行 法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔_______ 面面 设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2 u∥v⇒u＝λv 平行 ，b2，c2)，则α∥β⇔____________
＝0， 即(－1,2,4)· (x，－1，－2)＝0，解得 x＝－10，故选 B.
答案： B
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第三章 空间向量与立体几何
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3 ．已知平面 α 上两个不共线向量 a ＝ (2,3,1) ， b ＝ (5,6,4) ， 则平面α的一个法向量为________．
以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的 石制工具(如图所示)，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴 着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面， 然后落下石墩夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成 等角， 且与水平地面所成角为 45° ， 为了使 60 kg 石墩垂直离 开地面，每个人最少需用 20 2 g 牛顿的力．
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直线的方向向量与平面的法向量
1．直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线____________ 共线或平行 的向量．
2．平面的法向量的定义
直线l⊥α，取直线l的____________ 方向向量a ，则a叫做平面α的法向 量．
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空间垂直关系的向量表示
空间中的垂直关系 线线垂直 线面垂直 面面垂直 若平面 α 的法向 量 u＝(a1， b1， c1)， 平面 β 的法向量 为 v＝(a2， b2， c2)，
设直线 l 的方向 设直线 l 的方向 向量为 a＝(a1， 向量是 a＝(a1， a2，a3)，直线 m b1，c1)，平面 α 的方向向量为 b 的法向量 u＝
4．如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互 相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1. (1)求证：AF∥平面 BDE； (2)求证：CF⊥平面 BDE.
＝(b1，b2，b3)， (a2，b2，c2)，
a⊥b 则 l⊥α⇔_____ a∥u 则 l⊥m⇔_____
u· v＝0 则 α⊥β⇔______
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对空间垂直关系的几点认识
空间中的垂直关系包括线线垂直、线面垂直和面面垂直， 这几种垂直关系是可以相互转化的，判定或证明垂直关系的方 法主要是用判定定理或直线的方向向量、平面的法向量间的关 系进行的．
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1．会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、 平面间的平行、垂直等位置关系． 2．会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的
垂直与平行．
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
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(2)平面 α 的一个法向量垂直于与平面 α 共面的所有向 量． (3)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
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对直线的方向向量和平面的法向量的几点认识 (1)空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A → 以及一个方向确定．在直线 l 上取AB＝a，a 可以作为 l 的方 向向量，借助点 A 和 a 即可确定直线 l 的位置，并能具体表 示出直线 l 上的任意一点．
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[ 问题 1]
在空间中给定一个定点 A( 一个石耳 ) 和一个定方
向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？ [提示1] 能． [问题2] 石墩夯实地面的过程中，石墩所在的直线和地面
垂直吗？
[提示2] 垂直．
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第三章 空间向量与立体几何
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1．若直线l的方向向量为a＝(－1,0,2)，平面α的法向量为n
＝(－2,0,4)，则(
A．l∥α C．l⊂α ∴l⊥α. 答案： B
)
B．l⊥α D．l与α斜交
解析： ∵a＝(－1,0,2)，n＝(－2,0,4)，n＝2a，∴n∥a，
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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2．若平面 α，β 的法向量分别为 m＝(－1,2,4)，n＝(x， －1，－2)，且 α⊥β，则 x 的值为( A．10 B．－10 )
1 1 C.2 D．－2 解析： 若 α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，即 m· n