第四节 直线、平面平行的判定及其性质
202新数学复习第七章立体几何7.4直线平面平行的判定及其性质学案含解析
第四节直线、平面平行的判定及其性质课标要求考情分析1。
以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．1.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．2．题型主要以解答题的形式出现,解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.知识点一直线与平面平行的判定定理和性质定理应用判定定理时，要注意“内”“外"“平行”三个条件必须都具备,缺一不可．知识点二平面与平面平行的判定定理和性质定理1。
平面与平面平行还有如下判定：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行．2．平面与平面平行还有如下性质：(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）(1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面．（×)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α。
（×）（3）若直线a∥平面α，P∈平面α，则过点P且平行于a 的直线有无数条．（×)(4）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行．(×）（5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)2．小题热身（1）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α的(D) A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交（2）下列命题中正确的是（D)A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α(3)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（4)如图，在正方体ABCD。
高考数学第一轮知识点总复习 第四节 直线、平面平行的判定及其性质
基础梳理
1. 平行直线 (1)定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. (2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线 的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行. (4)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那 么它们的交线平行. (5)线面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一平面,那么这两条直 线平行.
错解 如图，连接C1E，并延长至G点，使GE= C1E，， 连接在 C1D1G 中，F是 D1C1 的中点，E是 C1G 的中点，
所以EF∥ ，D1而G EF 平面 BB1D1D,
D1G 平面 BB1D1D, 故EF∥平面 BB1D1D.
错解 分析上述证明中，“D1G 平面BB1D1D ”这一结论没有根据，只是主
平面A1C1 / /平面AC
A1C1 / / AC A1C1 / /平面AB1C
A1C1 平面AB1C 同理A1D//平面AB1C
AC 平面AB1C
A1C1 A1D A1
平面AB1C//平面A1C1D
学后反思 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其 推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
又∵c β,b β,∴b∥β.(线面平行的判定定理)……………..8′
4直线、平面平行的判定及性质
第四节直线、平面平行的判定及性质[知识能否忆起]一、直线与平面平行1．判定定理2．性质定理二、平面与平面平行1．判定定理2．两平面平行的性质定理[小题能否全取]1.平行问题的转化关系：线∥线判定判定性质线∥面――→判定性质面∥面性质 2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．典题导入[例1] (2011·福建高考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．[自主解答] 因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC .又因为点E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝12AC .又因为在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝2 2.所以EF ＝ 2.[答案]2本例条件变为“E 是AD 中点，F ，G ，H ，N 分别是AA 1，A 1D 1，DD 1与D 1C 1的中点，若M 在四边形EFGH 及其内部运动”，则M 满足什么条件时，有MN ∥平面A 1C 1CA .解：如图，∵GN ∥平面AA 1C 1C ，EG∥平面AA1C1C，又GN∩EG＝G，∴平面EGN∥平面AA1C1C.∴当M在线段EG上运动时，恒有MN∥平面AA1C1C.由题悟法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．以题试法1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选A对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②也不正确；对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确．3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交且不垂直D．l∥α或l⊂α解析：选D由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l⊂α时也成立．4．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是________．解析：由α∥β可知，a，b的位置关系是平行或异面．答案：平行或异面5．(2012·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE 的位置关系为________．解析：如图．连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行6．(1)(2012·浙江高三调研)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：选C由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内．(2)(2012·潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2解析：选D由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.7．(2013·浙江模拟)已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是() A．若n∥α，则α∥βB．若α⊥β，则m∥nC．若m⊥n，则α∥βD．若α∥β，则m⊥n解析：选D由m⊥α，α∥β，n⊂β⇒m⊥n.8．平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α，a ∥β，故排除A.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则α∥β，b ∥α，故排除C.9.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点， 在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条解析：选D 由题设知平面ADD 1A 1与平面D 1EF 有公共点D 1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l ，在平面ADD 1A 1内与l 平行的线有无数条，且它们都不在平面D 1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D 1EF 平行．10．(2012·浙江模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，a ，b 是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．只有②解析：选C 由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C.11.(2012·开封模拟)如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H 、G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B 由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD ，∴EF ∥面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，∴HG 綊12BD ，∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴四边形EFGH 是梯形．12．(2012·山西四校联考)在空间内，设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是( )A ．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，则l ⊥γB ．l ∥α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥mC ．α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥m ，则l ∥nD ．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β解析：选D 对于A ，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B ，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C ，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D ，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D 不正确．13．设a ，b 为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题： ①若a ∥α，a ∥β，则α∥β；②若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b . 上述命题中，所有真命题的序号是________．解析：①错误．因为α与β可能相交；③错误．因为直线a 与b 还可能异面、相交． 答案：②④14．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A .C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8则BD 的长为________．解析：如图1，∵AC ∩BD ＝P ，∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD .∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ， ∴AB ∥CD . ∴P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD. ∴BD ＝245.如图2，同理可证AB ∥CD .∴P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88. ∴BD ＝24.综上所述，BD ＝245或24.答案：245或2415．(2012·浙江模拟)下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出直线AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)解析：对于①，注意到该正方体的经过直线AB 的侧面与平面MNP 平行，因此直线AB 平行于平面MNP ；对于②，注意到直线AB 和过点A 的一个与平面MNP 平行的平面相交，因此直线AB 与平面MNP 相交；对于③，注意到直线AB 与MP 平行，且直线AB 位于平面MNP 外，因此直线AB 与平面MNP 平行；对于④，易知此时AB 与平面MNP 相交．综上所述，能得出直线AB 平行于平面MNP 的图形的序号是①③.答案：①③16．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内与过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且经过B 点时，可使a ∥平面α，但这时在平面β内过B 点的所有直线中，不存在与a 平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a 平行的直线．17．已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nB ．l ⊥β，α⊥β⇒l ∥αC ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．α∥β，l ⊥α⇒l ⊥β解析：选D 对于选项A ，m ，n 平行或异面；对于选项B ，可能出现l ⊂α这种情形；对于选项C ，可能出现n ⊂α这种情形．18．(2012·南宁二模)如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC ，平面ABD典题导入[例2] (2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[自主解答] (1)证明：法一：连接AB ′、AC ′，因为点M ，N分别是A ′B 和B ′C ′的中点，所以点M 为AB ′的中点． 又因为点N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′， AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′. 法二：取A ′B ′的中点P .连接MP .而点M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′.所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′.又MP ∩PN ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ⊂平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)法一：连接BN ，由题意得A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16.法二：V A ′－MNC ＝V A ′－NBC －V M －NBC ＝12V A ′－NBC ＝16.1．(2013·西安模拟)如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE ∥DF ，∠DEF ＝90°.(1)求证：BE ∥平面ADF ；(2)若矩形ABCD 的一边AB ＝3，EF ＝23，则另一边BC 的长为何值时，三棱锥F －BDE 的体积为3？解：(1)证明：过点E 作CD 的平行线交DF 于点M ，连接AM . 因为CE ∥DF ，所以四边形CEMD 是平行四边形．可得EM ＝CD 且EM ∥CD ， 于是四边形BEMA 也是平行四边形， 所以有BE ∥AM .而AM ⊂平面ADF ，BE ⊄平面ADF ， 所以BE ∥平面ADF .(2)由EF ＝23，EM ＝AB ＝3， 得FM ＝3且∠MFE ＝30°. 由∠DEF ＝90°可得FD ＝4， 从而得DE ＝2.因为BC ⊥CD ，BC ⊥FD ， 所以BC ⊥平面CDFE .所以，V F －BDE ＝V B －DEF ＝13S △DEF ×BC .因为S △DEF ＝12DE ×EF ＝23，V F －BDE ＝3，所以BC ＝32.综上当BC ＝32时，三棱锥F －BDE 的体积为 3.2．(2013·潍坊二模)如图，点C 是以AB 为直径的圆上一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE ＝12BC ＝2，AC ＝CD ＝3.(1)证明：EO ∥平面ACD ； (2)证明：平面ACD ⊥平面BCDE ； (3)求三棱锥E －ABD 的体积．解：(1)证明：如图，取BC 的中点M ，连接OM ，ME . 在△ABC 中，O 为AB 的中点，M 为BC 的中点， ∴OM ∥AC .在直角梯形BCDE 中，DE ∥BC ，且DE ＝12BC ＝CM ，∴四边形MCDE 为平行四边形．∴EM ∥DC . ∴平面EMO ∥平面ACD ， 又∵EO ⊂平面EMO ， ∴EO ∥平面ACD .(2)证明：∵C 在以AB 为直径的圆上，∴AC ⊥BC . 又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC ＝BC . ∴AC ⊥平面BCDE . 又∵AC ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCDE . (3)由(2)知AC ⊥平面BCDE .又∵S △BDE ＝12×DE ×CD ＝12×2×3＝3，∴V E －ABD ＝V A －BDE ＝13×S △BDE ×AC ＝13×3×3＝3.3．(2012·蚌埠二中质检)如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的角平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连接AB ，设点F 是AB 的中点．(1)求证：DE ⊥平面BCD ；(2)若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B －DEG 的体积．解：(1)证明：∵AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°， ∴∠ACB ＝60°.∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴∠BCD ＝∠ACD ＝30°. ∴CD ＝2 3.∵CE ＝4，∠DCE ＝30°，∴DE ＝2.则CD 2＋DE 2＝EC 2.∴∠CDE ＝90°，DE ⊥DC .又∵平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，DE ⊂平面ACD ，∴DE ⊥平面BCD .(2)∵EF ∥平面BDG ，EF ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BDG ＝BG ，∴EF ∥BG . ∵点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点， ∴AE ＝EG ＝CG ＝2.如图，作BH ⊥CD 于H .∵平面BCD ⊥平面ACD ， ∴BH ⊥平面ACD . 由条件得BH ＝32，S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC ·CD ·sin 30°＝3，∴三棱锥B －DEG 的体积V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝32.由题悟法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．以题试法4．(2012·淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BD ，BB 1的中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1CD ； (2)求证：EF ⊥AD 1.解：(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接B 1D ， 在平面BB 1D 内，E ，F 分别为BD ，BB 1的中点，∴EF ∥B 1D .又∵B 1D ⊂平面A 1B 1CD . EF ⊄平面A 1B 1CD ， ∴EF ∥平面A 1B 1CD .(2)∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体， ∴AD 1⊥A 1D ，AD 1⊥A 1B 1. 又A 1D ∩A 1B 1＝A 1， ∴AD 1⊥平面A 1B 1D . ∴AD 1⊥B 1D .又由(1)知，EF ∥B 1D ，∴EF ⊥AD 1.5．(2012·北京东城区模拟)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点．(1)求该多面体的体积与表面积； (2)求证：GN ⊥AC ；(3)当FG ＝GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明． 解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF 中，AD ⊥DF ，DF ＝AD ＝DC ＝a ， 所以该多面体的体积为12a 3.表面积为12a 2×2＋2a 2＋a 2＋a 2＝(3＋2)a 2.(2)连接DB ，FN ，由四边形ABCD 为正方形，且N 为AC 的中点知B ，N ，D 三点共线，且AC ⊥DN .又∵FD ⊥AD ，FD ⊥CD ， AD ∩CD ＝D ， ∴FD ⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ，∴FD ⊥AC . 又DN ∩FD ＝D ， ∴AC ⊥平面FDN . 又GN ⊂平面FDN ， ∴GN ⊥AC .(3)点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC . 取FC 的中点H ，连接GH ，GA ，MH . ∵G 是DF 的中点， ∴GH 綊12CD .又M 是AB 的中点， ∴AM 綊12CD .∴GH ∥AM 且GH ＝AM .∴四边形GHMA 是平行四边形． ∴GA ∥MH .∵MH ⊂平面FMC ，GA ⊄平面FMC ，∴GA ∥平面FMC ，即当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC . 6.如图，三棱柱ABC －A1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?解：法一：如图，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ，∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ， ∴OM ⊥底面ABC .又∵EC ＝2FB ，∴OM 綊FB 綊12EC .∴四边形OMBF 为矩形． ∴BM ∥OF .又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF .故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．法二：如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ ， ∴PQ ∥AE .∵EC ＝2FB ， ∴PE 綊BF ，PB ∥EF ，∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF . 又PQ ∩PB ＝P ， ∴平面PBQ ∥平面AEF ，又∵BQ ⊂面PQB ，∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．典题导入[例3] 如图，已知ABCD －A1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . [自主解答] (1)在正方形AA 1B 1B 中， ∵AE ＝B 1G ＝1， ∴BG ＝A 1E ＝2， ∴BG 綊A 1E .∴四边形A 1GBE 是平行四边形． ∴A 1G ∥BE . 又C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形． ∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F . ∴D 1F 綊EB .故E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF . ∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG . ∴HG ∥FB .∵GH ⊄面FBED 1，FB ⊂面FBED 1，∴GH ∥面BED 1F . 由(1)知A 1G ∥BE ，A 1G ⊄面FBED 1，BE ⊂面FBED 1， ∴A 1G ∥面BED 1F . 且HG ∩A 1G ＝G ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .由题悟法常用的判断面面平行的方法 (1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)； (3)利用线面垂直的性质(l ⊥α，l ⊥β⇒α∥β)．以题试法1．(2012·北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB.(1)求证：平面AMB∥平面DNC；(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC.证明：(1)因为MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，所以MB∥平面DNC.又因为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN.又MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC.所以MA∥平面DNC.又MA∩MB＝M，且MA，MB⊂平面AMB，所以平面AMB∥平面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AM⊥MN.因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，所以AM⊥平面MBCN.因为BC⊂平面MBCN，所以AM⊥BC.因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，所以BC⊥平面AMC.因为AC⊂平面AMC，所以BC⊥AC.B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯2如图，在直四棱柱ABCD－A形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．解：存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF.又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1.∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，又CC1，CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.。
新课标理科数学第七章第四节直线、平面平行的判定及其性质
高难度练习题及答案
高难度练习题1答案
由于直线a与直线b平行，且直线a与直线c垂直相交于点A，根据垂直平面的性质和直线的性质，可以证明 直线b与直线c平行。
高难度练习题2答案
由于平面α与平面β平行，且平面α与平面γ垂直相交于直线a，根据垂直平面的性质和相交平面的性质，可 以证明平面β与平面γ平行。
06
本节总结与回顾
本节重点回顾
直线与平面平行的判定定理
如果一条直线与平面内的一条直线平 行，且这条直线不在这个平面内，那 么这条直线与这个平面平行。
平面与平面平行的判定定理
如果两个平面有一个公共点，且过这 个点的所有直线都分别在两个平面内， 那么这两个平面平行。
直线与平面平行的性质定理
如果一条直线与一个平面平行，那么 这条直线与平面内的任何习题3答案
由于平面α与平面β平行，根据平面的 性质，它们之间没有公共点。
中等难度练习题1答案
中等难度练习题2答案
由于平面α与平面β平行，且平面α与 平面γ相交于直线a，根据平面的性质 和相交平面的性质，平面β与平面γ平 行。
由于直线a与直线b平行，且直线a与 直线c相交于点A，根据平行直线的传 递性，直线b与直线c平行。
C.两直线平行的传递性
高难度题目解析
D.空间两平面平行的判定定理
题目2：已知直线$a/backslash$/平面$alpha ，b subset alpha ，$过直线$a$作 平面$beta $，使$beta/backslash$/$alpha $，这样的$beta $（）
高难度题目解析
A.只能作一个 B.至少可以作一个
新课标理科数学第七章第 四节直线、平面平行的判 定及其性质
• 引言 • 直线与平面平行的判定条件 • 直线与平面平行的性质 • 典型例题解析 • 练习题与答案 • 本节总结与回顾
直线、平面平行的判定与性质
[解析]
选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行
直线；选项 B ，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这
条直线平行于这两个平面；选项 C，两个相交平面可以同时垂
直于同一个平面；选项D，正确． [答案] D
2．(2009·福建，10)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，
l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件
∵AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AF∥平面PDC.
∵AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面PCD.
∵AE⊂平面AEF，AE∥平面PCD.
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．
1．证明直线和平面平行的方法有：
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥线 ⇒线∥面) ，即想方设法在平面内找出 一条与已知直线平行的直线． (3)面面平行性质定理(面∥面⇒线∥面) 2．证明平面与平面平行的方法有：
(1)[证明] ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
(2)[解]
解法一：取线段 PB 的中点 E，PC 的中点 F，连
接 AE，EF，DF，则 EF 是△PBC 的中位线． 1 1 ∴EF∥BC，EF＝ BC，∵AD∥BC，AD＝ BC， 2 2 ∴AD∥EF，AD＝EF. ∴四边形 EFDA 是平行四边形，∴AE∥DF. ∵AE⊄平面 PCD，DF⊂平面 PCD， ∴AE∥平面 PCD. ∴线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点．
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥面 ⇒面∥面) ．即证一平面内两条相交直
线与另一平面垂直．
第4讲 直线、平面平行的判定及性质
考基联动
考向导析
限时规范训练
迁移发散 2．在正方体 ABCD－A1 B1 C1 D1 中，M、N、E、F 分别是棱 A1 B1 ，A1 D1 ，B1 C1 ，C1D1 的中点．求证：平面 AMN∥平面 EFDB. 证明：如图，连接 MF， ∵M、F 分别是 A1 B1 ，C1 D1 的中点，且四边形 A1 B1 C1 D1 为正方形， ∴MF 綊 A1 D1 . 又∵A1 D1 綊 AD， ∴MF 綊 AD， ∴四边形 ADFM 为平行四边形， ∴AM 綊 DF， 又∵AM⊄平面 EFDB，DF⊂平面 EFDB， ∴AM∥平面 EFDB. 同理可证 AN∥平面 EFDB. ∵AM，AN⊂平面 AMN，AM∩AN＝A， ∴平面 AMN∥平面 EFDB.
考基联动
考向导析
限时规范训练
考向二 平面与平面平行的判定与性质
【例 2】 如图所示，三棱柱 ABC－A1 B1 C1 ，D 是 BC 上一点，且 A1 B∥平面 AC1 D，D1 是 B1 C1 的中点． 求证：平面 A1 BD1 ∥平面 AC1 D. 证明：连结 A1 C 交 AC1 于点 E， ∵四边形 A1 ACC1 是平行四边形， ∴E 是 A1 C 的中点，连结 ED. ∵A1 B∥平面 AC1 D， 平面 A1 BC∩平面 AC1 D＝ED， ∴A1 B∥ED. ∵E 是 A1 C 的中点， ∴D 是 BC 的中点． 又∵D1 是 B1 C1 的中点， ∴BD1 ∥C1 D，A1 D1 ∥AD， 又 A1 D1 ∩BD1 ＝D1 ， ∴平面 A1 BD1 ∥平面 AC1 D.
第4讲 直线、平面平行的判定及性质 讲 直线、
1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性 ．以立体几何的定义、公理和定理为出发点， 质与判定定理． 质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题. ．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题
第4讲 直线、平面平行的判定及其性质
第4讲直线、平面平行的判定及其性质【高考会这样考】1．考查空间直线与平面平行，面面平行的判定及其性质．2．以解答题的形式考查线面的平行关系．3．考查空间中平行关系的探索性问题．【复习指导】1．熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程中叙述的步骤要完整，避免因条件书写不全而失分．2．学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．基础梳理1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；(3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.4．两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.5．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a⊂α⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.6．与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.一个关系平行问题的转化关系：两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下面命题中正确的是()．①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．2．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．平行或异面3．(2012·银川质检)在空间中，下列命题正确的是()．A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β4．(2012·温州模拟)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()．A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β5．(2012·衡阳质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．考向一直线与平面平行的判定与性质【例1】►(2011·天津改编)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．求证：PB∥平面ACM.【训练1】如图，若P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.考向二平面与平面平行的判定与性质【例2】►如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B；【训练2】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．【训练3】如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，考查判定定理、性质定理等内容，难度为中低档题目.【解决方案】利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其注意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用，进行空间线面关系的相互转化.【示例】►(本题满分12分)(2011·山东)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB ＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.第(1)问转化为证明BD垂直A1A所在平面；第(2)问在平面A1BD内寻找一条线与CC1平行．[解答示范] 证明(1)因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD.(1分)又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos 60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2，因此AD⊥BD.(4分)又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD.(6分)(2)如图，连结AC，A1C1，设AC∩BD＝E，连结EA1，因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC＝12AC.(8分)由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，(10分)因此CC1∥EA1.又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.(12分)【试一试】(2010·安徽)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体BDEF的体积．。
第四节 直线、平面平行的判定与性质
数学
第四节
直线、平面平行的判定与性质
结束
[一题多变] 解：存在． 当 M 为 BC1 的中点时成立． 证明如下：连接 DM，在△ABC1 中， D，M 分别为 AB，BC1 的中点 1 ∵DM 綊 AC1，又 DM⊄平面 A1ACC1 2 AC1⊂平面 A1ACC1，∴DM∥平面 A1ACC1.
数学
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第四节
直线、平面平行的判定与性质
结束
(2)连接 BD，B1D1，∵底面是正方形， ∴AC⊥BD. ∵D1D⊥AC，D1D∩BD＝D， ∴AC⊥平面 BDD1B1. ∵D1E⊂平面 BDD1B1，∴D1E⊥AC.
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直线、平面平行的判定与性质
结束
迁移应用· 练透 1．解析：对于①，若 a∥b，b⊂ α，则应有 a∥α 或 a⊂ α， 所以①不正确；对于②，若 a∥b，a∥α，则应有 b∥α 或 b⊂ α，因此②不正确；对于③，若 a∥α，b∥α，则应 有 a∥b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面， 因此③是假命题． 综 上，在空间中，以上三个命题都是假命题． 答案：A
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直线、平面平行的判定与性质
结束
热点命题· 悟通 考点一 1．解析：由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行 的性质知，存在直线 l′⊂α，m′⊂α，使得 l∥l′，m∥m′， ∵m，l 是异面直线，∴l′与 m′是相交直线，又 n⊥l，n⊥m， ∴n⊥l′，n⊥m′，故 n⊥α，②是真命题；由线面平行的性质 和判定知③是真命题；满足条件 l∥α，m∥β，α∥β 的直线 m， l 或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选 B. 答案：B
第七章 第四节 直线、平面平行的判定及其性质
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1．证明直线与平面平行，一般有以下几种方法： ．证明直线与平面平行，一般有以下几种方法： (1)若用定义直接判定，一般用反证法； 若用定义直接判定，一般用反证法； 若用定义直接判定 (2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作 一条直线与 用判定定理来证明，关键是在平面内找 或作 或作)一条直线与 用判定定理来证明 已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程； 已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程； (3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一 应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时， 应用两平面平行的一个性质 个平面内的任何直线都平行于另一个平面． 个平面内的任何直线都平行于另一个平面． 2．线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方 法． ．
条件
∩b＝P a∥ a∥a′b∥b′ ＝ ∥ ∥ ′ ∥ ′ αb∥α ∥ a′，b′⊂βa， ′ ′ ， b⊂α ⊂
bα∩γ＝ a⊂β ∩ ＝ ⊂ a a∥b ∥ a∥α ∥
结论 α∥β ∥
α∥β ∥
α∥β ∥
[究 疑 点] 究 1．若一直线平行于平面α，那么平面 内的任一条直线 ．若一直线平行于平面 ，那么平面α内的任一条直线 与它有何位置关系？ 与它有何位置关系？ 提示：平行或异面． 提示：平行或异面． 2．若两平面平行，那么在一个平面内的任一条直线与 ．若两平面平行， 另一个平面内的任一条直线有何位置关系？ 另一个平面内的任一条直线有何位置关系？ 提示：平行或异面． 提示：平行或异面． 3．如果一平面同时平行于两个平面，那么这两个平面 ．如果一平面同时平行于两个平面， 有何位置关系？ 有何位置关系？ 提示：平行． 提示：平行．
直线、 直线、平面平行的判定及其性质 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认 以立体几何的定义、公理和定理为出发点， 识和理解空间中线面平行的判定定理与有关性质． 识和理解空间中线面平行的判定定理与有关性质．
第4讲 直线、平面平行的判定与性质
解 析
练出高分
1 2 3
A组
4
专项基础训练
5 6 7 8 9
5．过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平
6 面 ABB1A1 平行的直线共有________ 条． 解 析
过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，记 AC，BC，A1C1，B1C1 的中点分别为 E，F，E1，F1，则直 线 EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1 均与平面 ABB1A1 平 行，故符合题意的直线共 6 条．
题型一 直线与平面平行的判定与性质
【例 1】 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB， 在 AE、 BD 上各有一点 P、Q，且 AP＝DQ.求证：PQ∥平面 BCE.
判断或证明线面平行的常用方法：
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α ⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
【2014年高考会这样考】
1．考查判定线面的位置关系． 2．以多面体为载体，考查线面平行、面面平行的判定、性质
1．直线与平面平行的判定与性质
判定 定 义 图 形 定 理 性质
a∩α
条 件
—— ＝ ∅ ——
a⊂α， —— b⊄α， —— a∥ b ——
——
a∥α
a∥α， —— a⊂ β ， —— α∩β＝b ——
证明面面平行的方法：
(1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一 个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
第7章 第4节 直线、平面平行的判定及其性质
∵ l∥α ，
l⊂β
， ，
交线 与该直线平行(简记为
α∩β＝b
∴l∥b
理 “线面平行⇒线线平行”)
主干知识 自主排查
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 一个平面内的两条 相交直线 与 判定 另一个平面平行，则这两个平面 定理 平行(简记为“线面平行⇒面面平 行”) 性质 如果两个平行平面同时和第三个 定理 平面 相交 ，那么它们的交线平行 图形语言 符号语言 ∵ a∥β ， b∥β ，
解析：垂直于同一直线的两平面平行，故选C.
主干知识 自主排查
3．下列说法中正确的是( D ) ①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一 条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外 一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过 平面α内一点和直线l平行的直线在α内． A．①②③④ C．②④ B．①②③ D．①②④
主干知识 自主排查
解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一 平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选C.
主干知识 自主排查
2．(2017· 台州模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面， 则下列命题中正确的是( C ) A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β
即时应用
6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( B ) A．16 C．14 24 B．24或 5 D．20
(2)设BD＝x，由α∥β⇒AB CD 解决平行关系基本问题的 3∥ 个注 PB PD ⇒△PAB∽△意点 PCD⇒ PA ＝PC. ①当点 P在两平面之间时，如图 (1) 注意判定定理与性质定理中 x－8 8 1 ， ＝ ， 易忽视的条件，如线面平行的条 6 9－6 ∴x＝24；②当点P在两平面外 件中线在面外易忽视． 侧时，如图2， (2) 结合题意构造或绘制图形， 8－ x 8 24 ＝ ，∴ x ＝ 6 5. 9＋6 结合图形作出判断．
高中数学直线、平面平行的判定与性质
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1 的中点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形; (2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
1 (1)在△B1D1C1中得EF∥B1D1且EF= 2 B1D1 在正方体中得 1 BD������ B1D1 EF∥BD且EF= BD 四边形BDFE为梯形 2
证明 证法一:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接 MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD. 又AP=DQ,∴PE=QB, 又PM∥AB∥QN, ∴ = = = ,∴ = , 又AB=DC, ∴PM������ QN,∴四边形PMNQ为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE.§8Leabharlann 4直线、平面平行的判定与性质
知识清单
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.判定直线与直线平行的方法
(1)平行公理:a∥b,b∥c⇒① a∥c ; (2)线面平行的性质定理:a∥β,a⊂α,α∩β=b⇒② a∥b ;
(3)面面平行的性质定理:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒③ a∥b ;
(4)垂直于同一个平面的两条直线④ 平行 ; (5)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交 线平行.
∴ = ,
∴MQ∥AD,又AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面BCE,又PM∩MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
又PQ⊂平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.
方法 2 判定或证明面面平行的方法
1.利用面面平行的定义(此法一般伴随反证法证明). 2.利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面,那么这两个平面平行. 3.证明两个平面都垂直于同一条直线. 4.证明两个平面同时平行于第三个平面.
直线、平面平行的判定与性质
一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考法(一)直线与平面平行的判定[典例]如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：1MN∥平面BB1C1C.[证明]如图，连接AC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行1四边形．又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCD-AB1C1D1中，E为线段AD上的任意一1与平面BB1D交于FG.点(不包括A，D两点)，平面CEC求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCD -AB1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，1CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN .∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB ||=MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形，∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ，又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB ||=DN ，∴四边形ABND 为平行四边形，∴BN ∥AD . ∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ，∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO .又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二 平面与平面平行的判定与性质[典例] 如图，在三棱柱A BC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G||=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN .又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 中点， 所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN .又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，所以BD ∥平面MNG . 又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( )A ．平行B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD -A1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题： ①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)．∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )，∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________. 解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P -ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG ||=12B 1C 1，BE ||=12B 1C 1，所以BE ||=OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P -ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P -ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点，∴MN ∥P A ， 又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ，∴MN ∥平面P AB . 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ，∴∠ACN ＝60°. 又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB .∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，∴CN ∥平面P AB .又CN ∩MN ＝N ，∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P -ABM 的体积V ＝V M -P AB ＝V C -P AB ＝V P -ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E -ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE . ∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD . 又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ， ∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O为BD中点．∴OE为BD的中垂线，∴BE＝DE.(2)取BA的中点N，连接DN，MN.∵M为AE的中点，∴MN∥BE.∵△ABD为等边三角形，N为AB的中点，∴DN⊥AB.∵∠DCB＝120°，DC＝BC，∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即BC⊥AB，∴DN∥BC.∵DN∩MN＝N，BC∩BE＝B，∴平面MND∥平面BEC.又∵DM⊂平面MND，∴DM∥平面BEC.。
第八章 第四节 直线、平面平行的判定及其性质
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规律方法
证明面面平行的五种常用方法
(1)利用面面平行的定义． (2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
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考点 1 线面、面面平行的相关命题的真假判断 【例 1】 (1)设 a， b 为两条不同的直线， α， β 为两个不同的平面． 则 下列四个命题中，正确的是( )
A．若 a，b 与 α 所成的角相等，则 a∥b B．若 a∥α，b∥β，α∥β，则 a∥b C．若 a⊂α，b⊂β，a∥b，则 α∥β D．若 a⊥α，b⊥β，α⊥β，则 a⊥b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 一个平面内的两 条 相交直线 与另 判定 一个平面平行，则 定理 这两个平面平行 (简记为“线面平 行⇒面面平行”) 图形语言 符号语言 因为 a∥β ， ， b∥β ，a∩b＝P
a⊂α ， b⊂α ，
所以 α∥β
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文字语言 性 如果两个平行平 质 面同时和第三个 定 平面 相交 ， 那么 理 它们的 交线平行
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(2)如图，连接 DB 交 AC 于点 F，
1 1 ∥ ∵DC＝2AB，∴DF＝2FB. 取 PM 的中点 G， 连接 DG，FM，则 DG∥FM.
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又 DG⊄平面 AMC，FM⊂平面 AMC， ∴DG∥平面 AMC. 连接 GN，则 GN∥MC，GN⊄平面 AMC， MC⊂平面 AMC， ∴GN∥平面 AMC，又 GN∩DG＝G， ∴平面 DNG∥平面 AMC， 又 DN⊂平面 DNG，∴DN∥平面 AMC.
直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面平行的判定及其性质考点梳理1．直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)．即：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.其他判定方法；α∥β，a⊂α⇒a∥β.(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)．即：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.2．平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)．即：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β.(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.一个转化关系平行问题的转化关系两点提醒(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．考点自测1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析借助长方体模型易得．答案 D2．在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D，正确．答案 D3．(2013·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )．A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α解析 可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b 与α相交或b ⊂α或b ∥α时，均满足直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α的情况，故选D.答案 D4．在空间中，下列命题正确的是( )．A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β解析 若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α或b ⊂α，故A 错误；由面面平行的判定定理知，B 错误；若α∥β，b ∥α，则b ∥β或b ⊂β，故C 错误．答案 D5．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析 如图．连接AC 、BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案 平行考向一 线面平行的判定及性质【例1】►(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABCA ′B ′C ′，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥A ′MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[审题视点] (1)连接AB ′，AC ′，在△AC ′B ′中由中位线定理可证MN ∥AC ′，则线面平行可证；此问也可以应用面面平行证明．(2)证A ′N ⊥平面NBC ，故V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ，体积可求．(1)证明 法一 连接AB ′，AC ′，如图由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二 取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′，如图，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)解 法一 连接BN ，如图由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′MNC ＝V NA ′MC ＝12V NA ′BC ＝12V A ′NBC ＝16.法二 V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ＝16.(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．(2)证明直线与平面平行的方法：①利用定义结合反证；②利用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质．【训练1】 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥EABC 的体积．(1)证明 在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点， ∴EF ∥BC .又BC ∥AD ，∴EF ∥AD . 又∵AD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .(2)解 连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12P A .在△P AB 中，AP ＝AB ，∠P AB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V EABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.考向二 面面平行的判定和性质【例2】►(2013·济南调研) 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B .[审题视点] 利用面面平行判定定理的证明即可． 证明如图，连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线，∴MN ∥D 1C . ∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B . 同理可证，MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交，MN ，MP 在平面MNP 内，A 1B ，C 1B 在平面A 1C 1B 内， ∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题来解决．【训练2】 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索性问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．解存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【训练3】如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ， 因为N ，E 分别为P A ，PD 的中点， 所以NE 綉12AD .又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ， 即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .规范解答13——如何作答平行关系证明题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，对线面平行、面面平行的证明一直受到命题人的青睐，多以多面体为载体，证明线面平行和面面平行，题型为解答题，题目难度不大．【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·山东)如图，几何体EABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . [教你审题] 一审 取BD 的中点O ，证明BD ⊥EO ；二审 取AB 中点N ，证明平面DMN ∥平面BEC ；找到平面BCE 和平面ADE 的交线EF ，证明DM ∥EF .[规范解答] 证明 (1)图(a)如图(a)，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，(2分)又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，(4分)因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(6分)(2)法一如图(b)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，图(b)因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.(8分)又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.(10分)又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分)法二如图(c)，延长AD，BC交于点F，连接EF.图(c)因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°， 因此∠AFB ＝30°， 所以AB ＝12AF .(8分)又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .(10分)又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .(12分)[阅卷老师手记] (1)对题目已知条件分析不深入，不能将已知条件与所证问题联系起来； (2)识图能力差，不能观察出线、面之间的隐含关系，不能作出恰当的辅助线或辅助面； (3)答题不规范，跳步、漏步等．证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线； 第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行； 第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范． 证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行； 第四步：转化为线面平行； 第五步：反思回顾．检查答题规范． 【试一试】如图，在几何体ABCDEFG 中，下底面ABCD 为正方形，上底面EFG 为等腰直角三角形，其中EF ⊥FG ，且EF ∥AD ，FG ∥AB ，AF ⊥面ABCD ，AB ＝2FG ＝2，BE ＝BD ，M 是DE 的中点．(1)求证：FM ∥平面CEG ； (2)求几何体GEFC 的体积． (1)证明取CE 的中点N ，连接MN ，GN ，则MN 綉FG 綉12AB .故四边形MNGF 为平行四边形． ∴MF ∥GN .又MF ⊄平面CEG ，GN ⊂平面CEG ， ∴FM ∥平面CEG .(2)解 在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝2，BD ＝22， ∴BE ＝2 2.∵AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AF ⊥AB .在正方形ABCD 中，AB ⊥AD . 又AD ∩AF ＝A ，∴AB ⊥平面ADEF .又AE ⊂平面ADEF ，∴AB ⊥AE . ∴在Rt △ABE 中，AE ＝8－4＝2.又在Rt △AEF 中，EF ＝1，∴AF ＝4－1＝ 3. 又EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD .同理由FG ∥AB ，可得FG ∥平面ABCD .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . ∴平面EFG ∥平面ABCD . 又AF ⊥平面ABCD ，AF ＝3， ∴点C 到平面EFG 的距离等于3， ∴V GEFC ＝V CEFG ＝13×S △EFG ·d＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×3＝36A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()．A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．答案 D3．(2012·北京模拟)以下命题中真命题的个数是()．①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③直线a可以在平面α内，不正确；命题④正确．答案 A4．(2013·汕头质检)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥βD．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行解析A中，m、n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m、n也可能异面．故正确的命题是B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 66．α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析 ①中，a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．③中，b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．答案 ①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在四面体ABCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .证明 法一 如图，连接BH ，BH 与CF 交于K ，连接EK .∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点，∴K 是△ABC 的重心，∴BK BH ＝23.又据题设条件知，BE BG ＝23，∴BK BH ＝BE BG ，∴EK ∥GH .∵EK ⊂平面CEF ，GH ⊄平面CEF ，∴直线HG ∥平面CEF .法二如图，取CD 的中点N ，连接GN 、HN .∵G 为DE 的中点，∴GN ∥CE .∵CE ⊂平面CEF ，GN ⊄平面CEF ，∴GN ∥平面CEF .连接FH ，EN∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点， ∴FH 綉12BC ，EN 綉12BC ，∴FH 綉EN ，∴四边形FHNE 为平行四边形，∴HN ∥EF . ∵EF ⊂平面CEF ，HN ⊄平面CEF ，∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN ＝N ，∴平面GHN ∥平面CEF .∵GH ⊂平面GHN ，∴直线HG ∥平面CEF .8．(13分)如图，已知ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG =A 1E ，∴A 1G =BE .又同理，C 1F 綉B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形， ∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綉D 1F ，∴D 1F 綉EB ，故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ， FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .。
7.4 直线、平面平行的判定及其性质
第四节直线、平面平行的判定及其性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理与的一条直线平行，行平行，则过这条直线的任一_______为平_______ 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理面平行，则这两个平∵_______如果两个平行平面同那么它们的∵1．(教材习题改编)已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．2．(教材习题改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．[小题纠偏]1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交2．(2015·北京高考)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点一直线与平面平行的判定与性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行是高考热点，多出现在解答题中．常见的命题角度有(1)证明直线与平面平行(2)线面平行性质定理的应用[题点全练]角度一：证明直线与平面平行1．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积．角度二：线面平行性质定理的应用2．如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，四条侧棱均相等．点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥ 平面GEFH．[通法在握]证明直线与平面平行的3种方法[演练冲关]如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．考点二平面与平面平行的判定与性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG．判定平面与平面平行的5种方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)；(5)利用向量法，通过证明两个平面的法向量平行证得两平面平行．[即时应用]1．如图，平面α内有△ABC，AB＝5，BC＝8，AC＝7，梯形BCDE的底DE＝2，过EB的中点B1的平面β∥α，若β分别交EA，DC于点A1，C1，求△A1B1C1的面积．2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG．考点三空间平行关系在作图中的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝4，AB＝8，M，N分别是A1D1，AB的中点．过MN的截面α与BD1平行，且平面α与长方体的面相交．(1)求作交线(只画出图，不要求证明或说明)．(2)求该截面将长方体分成的两部分的体积之比．[由题悟法]根据条件求作几何体截面的3个思想方法(1)平面的确定公理；(2)线面平行与面面平行的判定与性质的应用；(3)作图的合理性(注意题目中隐含条件的挖掘和分析)．[即时应用]如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点，过A，C，E三点作平面α与正方体的面相交．(1)画出平面α与正方体ABCDA1B1C1D1各面的交线；(2)求证：BD1∥平面α．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与α的关系为( ) A．平行B．相交C．直线b在平面α内D．平行或直线b在平面α内2．(2017·合肥模拟)在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB ＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定3．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线4．如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________．5．如图所示，在四面体ABCD中，点M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．二保高考，全练题型做到高考达标1．在空间中，已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b．其中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．32．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l23．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A．①③ B．②③C．①④ D．②④4．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．45．在三棱锥SABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为( )A ．452B ．4532C ．45D ．45 36．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ．如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．7．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2．8．如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若BC ⊥AC ，∠BAC ＝π3，AC ＝4，M 为AA 1的中点，点P 为BM 的中点，Q 在线段CA 1上，且A 1Q ＝3QC ，则PQ 的长度为________．9．(2017·长春质检)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点D 1为棱PD 的中点，过D 1作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于点A 1，B 1，C 1，∠BAD ＝60°．(1)求证：B 1为PB 的中点；(2)已知棱锥的高为3，且AB ＝2，AC ，BD 的交点为O ，连接B 1O ．求三棱锥B 1ABO 外接球的体积．10．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：(1)BF ∥HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H ．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图所示，设正方体ABCD A1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1，D 1，P 的平面交平面ABCD 于PQ ，Q在直线CD 上，则PQ ＝________．2．如图，四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为PB 的中点． (1)求证：CE ∥平面PAD ．(2)在线段AB 上是否存在一点F ，使得平面PAD ∥平面CEF ？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．。
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直线、平面平行的判定及其性质
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[破译玄机]
在线段上探索点的位置确定位置关系时，一般是先猜 线段的中点或某一个三等分点，然后给出证明．但要注意 条件中给出的已知点的位置或线段的比例值的应用．
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解析：连接 AM 并延长，交 CD 于 E，连接 BN，并延长交 CD 于 F，由重心性质可知， E，F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E， EM EN 1 连接 MN，由MA＝NB＝2，得 MN∥AB.因此，MN∥平面 ABC 且 MN∥平面 ABD. 答案：平面 ABC、平面 ABD
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(1)求几何体ABCDFE的体积； (2)证明：平面ADE∥平面BCF.
解：(1)取BC的中点O，ED的中点G，连 接AO，OF，FG，AG. ∵AO⊥BC，AO⊂平面ABC，平面BCED ⊥平面ABC， ∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED. ∵AO＝FG＝ 3， 1 8 3 ∴VABCDFE＝3×4× 3×2＝ 3 .
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解析：由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面 平行的定义知②正确；③错误，因为经过一点可作一直线 与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面． 答案：D
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(2016· 丽水模拟)如图所示的几何体 ABCDFE 中，△ABC， △DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四边形 BCED 是边长为 2 的正方形，且所在平面垂直于平面 ABC.
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解析：法一：A 项，α，β 可能相交，故错误；B 项，直 线 m，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故 错误；C 项，若 m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则 m∥β，故错 误；D 项，假设 m，n 垂直于同一平面，则必有 m∥n， 所以原命题正确，故 D 项正确． 法二：构造正方体，可结合选项逐一排除验证． 答案：D
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( B． 2 D． 4
)
解析
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2．下列命题中，错误的是
(
)
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与 另一个平面相交 B．平行于同一平面的两个不同平面平行 C．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在 直线垂直于平面β D．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行 的直线
(
)
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的 无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和 这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有 且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α 平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内． A．①②③④ C．②④
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B．①②③ D．①②④
____ l⊄α ， ∴ l∥ α
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直线、平面平行的判定及其性质
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文字语言 一条直线与一个平面平 性 行，则过这条直线的任
图形语言
符号语言
∵____ l∥α，
l⊂β ， _____
交线 质 一平面与此平面的____
定 与该直线平行(简记为
α∩β＝b ， ________
∴ l∥ b
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(2016· 绍兴测试)如图所示， 斜三 棱柱 ABCA1B1C1 中，点 D，D1 分别 为 AC，A1C1 上的中点． (1)证明：AD1∥平面 BDC1.
(2)证明：BD∥平面AB1D1.
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3．(2015· 台州高三期末)已知不重合的两个平面 α 和 β，给定 下列条件： ①存在直线 l，使 l⊥α，且 l⊥β； ②存在直线 l，使 l∥α，且 l∥β； ③α 内有不共线的三点到 β 的距离相等； ④存在异面直线 l，m，使 l∥α，l∥β，m∥α，m∥β； 其中，可以判定 α 与 β 平行的条件是 A．①③ C．①③④
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1．(易错题)已知直线 a 与直线 b 平行，直线 a 与平面 α 平行， 则直线 b 与 α 的关系为 A．平行 C．直线 b 在平面 α 内 B．相交 D．平行或直线 b 在平面 α 内 ( )
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(
)
B．①④ D．①②③④
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解析：②中 α 与 β 可能相交；③中 α 与 β 可能相交；故 ①④可以判定 α∥β. 答案：B
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[证明] (1)∵D1，D 分别为 A1C1 与 AC 的中点，四边 形 ACC1A1 为平行四边形， ∴C1D1 綊 DA， ∴四边形 ADC1D1 为平行四边形， ∴AD1∥C1D， 又 AD1⊄平面 BDC1，C1D⊂平面 BDC1， ∴AD1∥平面 BDC1.
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文字语言 平面外一条直线与此平 ____
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l∥a ， ∵____
a⊂α ， _____
判定 面内 ____的一条直线平行，
定理 则该直线与此平面平行 (线线平行⇒线面平行)
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α∥β ， ∵_____ α∩γ＝a ， ________ β∩γ＝b ， ________ ∴a∥b
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如果两个平行平面 性质 同时和第三个平面 定理 相交 ____，那么它们的 交线 ____平行
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1．下列说法中正确的是
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(2)证明：由(1)知AO∥FG，AO＝FG， ∴四边形AOFG为平行四边形， ∴AG∥OF. 又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE⊂平面ADE，AG⊂平面 ADE，FO∩BC＝O，FO⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，的判定及其性质
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2．(教材习题改编)已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下 列命题： ①a与β内的所有直线平行； ②a与β内无数条直线平行； ③a与β内的任意一条直线都不垂直． 其中真命题的序号是________．
答案：②
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(2)连接 D1D， ∵ BB1 ∥ 平 面 ACC1A1 ， BB1 ⊂ 平 面 BB1D1D， 平面 ACC1A1∩平面 BB1D1D＝D1D， ∴BB1∥D1D， 又 D1，D 分别为 A1C1 与 AC 的中点， ∴BB1＝DD1， 故四边形 BDD1B1 为平行四边形， ∴BD∥B1D1， 又 BD⊄平面 AB1D1，B1D1⊂平面 AB1D1， ∴BD∥平面 AB1D1.
解：如图，取D1为线段A1C1的中 A1D1 点，此时D C ＝1， 1 1 连接A1B交AB1于点O，连接OD1，
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由棱柱的性质知四边形A1ABB1为平行四边形， ∴O为A1B的中点． 在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点， ∴OD1∥BC1，又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1， ∴BC1∥平面AB1D1 A1D1 ∴当D C ＝1时，BC1∥平面AB1D1. 1 1
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3．(教材习题改编)如图所示，在四面体 ABCD 中， M ， N 分别是△ACD ， △BCD 的重心， 则四面体的四个面中 与 MN 平行的是________．
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