2.3.1《离散型随机变量的均值》课件
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.3.1 离散型随机变量的均值
栏 目 链 接
自 测 自 评
1．分布列为 ξ P 的期望值为( C ) A．0 B．－1 C．－ 2．设 ξ 的分布列为： 1 1 P 6 又设 η＝2ξ＋5，则 E(η)＝( 7 17 17 32 A. B. C. D. 6 6 3 3 ξ 2 1 6 3 1 3 4 1 3 －1 1 2 0 1 3 1 1 6 1 3 D. 1 2
栏 目 链 接
每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机 确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数
学期望．
解析：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事 件数． (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则－ A 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 C2 1 4 3 － P(A)＝1－P( A )＝1－ 2＝1－ ＝ . C6 5 5 (2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 5 1 4 4 3 1 2 P(ξ＝0)＝ 2＝ ， P(ξ＝1)＝ 2＝ ， P(ξ＝2)＝ 2＝ ， P(ξ＝3)＝ 2 C6 3 C6 15 C6 5 C6 2 1 1 ＝ ，P(ξ＝4)＝ 2＝ . 15 C6 15
栏 目 链 接
(1)求 m 的值； (2)求 E(X)； (3)若 Y＝2X－3，求 E(Y)．
解析：(1)由随机变量分布列的性质，得 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋m＋ ＝1，解得 m＝ . 4 3 5 20 6
2.3.1离散型随机变量的均值(第一课时)
X P
0
1
… …
m
m n m CM CN M n CN
0 n 0 1 n 1 CM CN C C M M N M n n CN CN
（3）二项分布： 一般地，在n次独立重复试验中，若事件A每次发生 的概率都是p，则称事件A发生的次数X服从二项分布.
X P
0 n
0
1
0 n
…
k
…
n
C pq
五、小结巩固
掌握离散型随机变量的均值的概念、性质及计算:
1.离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … …
则称 EX＝x1 p1＋x2 p2＋…＋xi pi＋… 为X的均值或数 学期望，数学期望又简称为期望． 它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
∴ EX=1×P(X=1)＋0×P(X=0) =1×0.7＋0×0.3 =0.7 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 EX=1×p+0× (1-p)=p 于是有 若X服从两点分布，则EX=p
3.两点分布的均值：
若X服从两点分布，则EX=p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中 得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚 2 次球的得分X的期望.
2、随机变量ξ的分布列是
.
ξ P
4 0.3
7 a
0.1 b=
9 b
10 0.2
0.4.
Eξ=7.5,则a=
练习二
1.（1）若 E(ξ)=4.5,则 E(－ξ)= -4.5 （2）E(ξ－Eξ)= 0 . .
2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0 分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次 的得分ξ的期望为 ． 这是一个两点分布随机变量的期望
2012新课标人教A版数学同步导学课件：2-3.1《离散型随机变量的均值》(选修2-3)
解析： 这是等可能性事件的概率计算问题． (1)方法一：所有可能的申请方式有 34 种，恰有 2 人申 请 A 片区房源的申请方式有 C42·2 种，从而恰有 2 人申请 A 2 C42·2 8 2 片区房源的概率为 4 ＝ . 3 27
2.3 离散型随机变量的均值与方差
2．3.1 离散型随机变量的均值
1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单 离散型随机变量的均值． 2．理解离散型随机变量均值的性质． 3．掌握两点分布、二项分布的均值． 4．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取
值水平，解决一些相关的实际问题.
8 ＝ . 27
(2)ξ 的所有可能值为 1,2,3. 3 1 又 P(ξ＝1)＝ 4＝ ， 3 27 C32C21C43＋C42C22 14 P(ξ ＝ 2) ＝ ＝ ( 或 P(ξ ＝ 2) ＝ 34 27 C3224－2 14 ＝ )， 34 27 C42A33 4 C31C42C21 4 P(ξ＝3)＝ ＝ 或Pξ＝3＝ 34 ＝9. 4 3 9
方法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是 4 次 独立重复试验． 1 记“申请 A 片区房源”为事件 A，则 P(A)＝ . 3 从而，由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算 公式知， 恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为
2 2122 P4(2)＝C4
3 3
4.如图所示，A，B两点之间有6条并联网线，它们能通过的
最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中取三条网线．
(1)设从A到B可通过的信息总量为x，当x≥6时，可保证使网
线通过最大信息量信息畅通，求线路信息畅通的概率；
离散型随机变量的均值与方差-期望值 人教课标版精品课件
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
学习小结:
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式： （1）E(aξ+b)=aEξ+b; （2）若ξ～B（n,p），则Eξ=np 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。
aE b
即 E(a b) aE b
练习一 (巩固定义)
练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ=
2.4 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭……我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。
最新-2021高中数学选修23课件：第二章23231离散型随机变量的均值 精品
值，是随机变量 X 的一个固有的数字特征，不具有随机
性．
2．离散型随机变量的性质
如果 X 为(离散型)随机变量，则 Y＝aX＋b(其中 a，b 为常数)也是(离散型)随机变量，且 P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋ b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
解析：(1)错，随机变量 X 的数学期望是一个常量． (2)错，随机变量的均值与样本的平均值是两个不同 的概念． (3)对，E(2X)＝2E(X)＝2×3＝6. 答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知 ξ 的分布列为：
ξ －1 0 1 2
P
1 4
311 848
则 ξ 的均值为( )
A．0
B．－1
法二 由于 Y＝2X－3，
所以 Y 的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
1 4
1 3Leabharlann 1 511 6 20所以
E(Y) ＝
(
－
7)× 14
＋(－
5)×
1 3
＋
(
－ 3)× 15 ＋ ( －
1)×16＋1×210＝－6125.
归纳升华 若给出的随机变量 ξ 与 X 的关系为 ξ＝aX＋b，a，b 为常数．一般思路是先求出 E(X)，再利用公式 E(aX＋b) ＝aE(X)＋b 求 E(ξ)．也可以利用 ξ 的分布列得到 η 的分 布列，关键由 ξ 的取值计算 η 的取值，对应的概率相等， 再由定义法求得 E(η)．
防范措施：在求随机变量取各值的概率时，务必理解
各取值的实际意义，以免失误．另外，可以利用分布列的
n
性质：(1)pi≥0(i＝1，2，3，…，n)，(2) pi＝1 来检验．
高中数学选修2-3精品课件：2.3.1 离散型随机变量的均值
所以X的分布列为
X 10 20 100 －200
P
3 8
3 8
1 8
1 8
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18. 所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P(A1A2A3)＝1－(18)3＝1－5112＝551112. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是551112.
且事件 E 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立.
(1)记 H＝{至少有一种新产品研发成功}，则 H ＝ E F ， 于是 P( H )＝P( E )P( F )＝13×25＝125， 故所求的概率为 P(H)＝1－P( H )＝1－125＝1135.
(2) 设 企 业 可 获 利 润 为 X 万 元 ， 则 X 的 可 能 取 值 为
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.
解 X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有 P(X＝10)＝C13×(21)1×(1－21)2＝83， P(X＝20)＝C23×(21)2×(1－21)1＝83， P(X＝100)＝C33×(12)3×(1－12)0＝18， P(X＝－200)＝C03×(21)0×(1－21)3＝81.
1234
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B 队最后所得总分分别为X，Y. (1)求X，Y的分布列； 解 X的可能取值分别为3,2,1,0. P(X＝3)＝23×25×25＝785，
P(X＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2785， P(X＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P(X＝0)＝13×35×35＝235； 根据题意X＋Y＝3，
人教版高中数学选修2-3课件：2.3.1 离散型随机变量的均值
当堂自测
[答案] A
当堂自测
3.设随机变量X~B(3,0.2),则
E(2X+1)= ( )
A.0.6
B.1.2
C.2.2
D.3.2
[答案] C
[解析] ∵随机变量 X~B(3,0.2),∴E(X)=3×0.2=0.6,∴E(2X+1)=2E(X)+1 =2×0.6+1=2.2,故选C.
当堂自测
故选D. (2)设该学生在这次测验中选对的题数 为X,该学生在这次测验中成绩为Y,则 X~B(20,0.9),Y=5X.由二项分布的均值公
式得E(X)=20×0.9=18.由随机变量均值 的线性性质得E(Y)=E(5X)=5×18=90.
考点类析
考点三 利用随机变量均值的性质解决问题
[导入] 若X是随机变量,且Y=aX+b,其中a,b为常数,试分析随机变量Y的均值E(Y)和E(X) 的关系.
考点一 随机变量X均值定义的应用
ξ012345 P 2x 3x 7x 2x 3x x
[答案] C
考点类析
例2 袋中有4只红球、3只 黑球,现从袋中随机取出4 只球,设取到1只红球得2分, 取得1只黑球得1分,试求得 分X的均值.
X5678 P
考点类析
考点二 两点分布、二项分布的均值
例3 (1)设X~B(40,p),且E(X)=16,则p=
的均值. (2)随机变量的均值是常数,其值不随X的变化而变化.
预习探究
[探究] 随机地抛掷一枚骰子,怎样求向上的点数X的均值?
X123456 P
预习探究
知识点二 离散型随机变量均值的性质
若Y=aX+b(a,b为常数),则E(Y)=E(aX+b)=
高中数学人教A版选修2-3课件：2.3.1离散型随机变量的均值
当 X=3 时,表示前 2 次中取得一红球,一白球或黑球,第 3 次取红球, ∴ P(X=3)=
1 2 ������1 2 ������3 ������2
������3 5
=
1 ; 5
2.3.1
问题导学
离散型随机变量的均值
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
x
2.3.1
问题导学
离散型随机变量的均值
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
解:由题意知 X 的取值为 2,3,4,5. 当 X=2 时,表示前 2 次取的都是红球, ∴ P(X=2)=
������2 2 ������2 5
=
1 ; 10
预习交流 2
若随机变量 X~B(5,0.3),则 E(X)= 提示:E(X)=5× 0.3=1.5. .
2.3.1
问题导学
离散型随机变量的均值
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
一、求离散型随机变量的均值(数学期望)
活动与探究 问题:某商场要将单价分别为 18 元/kg、24 元/kg、36 元/kg 的 3 种 糖果按 3∶ 2∶ 1 的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?
当 X=4 时,表示前 3 次中取得一红球,2 个不是红球,第 4 次取红球, ∴ P(X=4)=
2 3 ������1 2 ������3 ������3
离散型随机变量的均值 课件
2.随机变量的均值E(X)是一个数值,是随机变量X本身所固有的一
个数字特征.它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平.
3.若Y=aX+b,其中a,b为常数,则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
因为E(aX+b)=aE(X)+b,所以随机变量X的线性函数Y=aX+b的均
1 2
3
=
题进入决赛的概率为C54
64
= 81.
(2)依题意,ξ 的可能取值为 3,4,5,
P(ξ=3)=
2 3
3
P(ξ=4)=C43
+
1 3
3
2 3
3
2 3
3
×
P(ξ=5)=C53 ×
×
×
=
1
;
3
1 3 2
1
3
+ C4 × 3 × 3 =
3
2 2
1 2
3
+ C5 × 3 ×
3
40
;
81
1 3
3
则答题个数的分布列为
对2道题,答错2道题,第5题答对.只有前4次答题事件满足独立重复
试验,不是对全部进行独立重复试验.
(2)甲答4题结束比赛,指答对前3题中的2道题,第4题答对进入决
赛,或前3题中有2道题答错,第4题答错.甲答5题结束比赛,指答对前
4题中的2道题.
2 3
8
正解:(1)选手甲答 3 道题进入决赛的概率为 3 = 27;
这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环
数的数学期望高,从而说明甲的平均射击水平比乙的稍高一点.如
2.3.1离散型随机变量的确均值
pi
…
pn
aEX b
3、几个特殊分布的期望
例1、在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中 得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那 么他罚球1次的得分ξ的均值是多少？
解:ξ的分布列为
ξ P 0 0.3 1-P 1 0.7 P
所以
Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1) ＝0×1-P 0.3＋1×0.7 P ＝0.7 P
设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确 解：
答案的选择题个数分别是ξ和η，则 ξ～B(20，0.9)， η～B(20，0.25)，
Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验 中的成绩分别是5ξ和5η。所以，他们在测验中的成 绩的均值分别是
假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗 如果你买了1kg这种混合 糖果所属种类的单价（元 ）,你能写出X的分布列吗？ kg 糖果，你要付多少钱？
而你买的糖果的实际价值 解：随机变量X 可取值为 18 ， 24和36 刚好是 23 元吗？ 1 1
1 而P( X 18) , P( X 24) , P( 样本平均值 X 36) 2 3 6 所以X分布列为
X 所以Y的分布列为 Y
ax1 b ax2 b …
axi b …
axn b
P
p1
ห้องสมุดไป่ตู้p2
…
EY (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
解：（Ⅰ）X的分布列：
X P 0
1 2
2.3.1离散型随机变量的均值
7070% 6030% 67
加
权
平
均
权数
问题: 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2， 3，3，4；则所得的平均环数是多少？
1111 2 2 233 4 2
10
1 4 2 3 3 2 4 1 10 10 10 10
权数 加
1 4 2 3 3 2 4 1 10 10 10 10
算术平均数
如果你期中考试各门成绩分别为： 91，85，80，80，75，59 那你的平均成绩是多少？
x 90 85 80 80 75 59 80 5
先介绍两种平均数：
的数权值是.加秤权加锤平权，均权平是数指均是在数起计权算衡若轻干重个作数用
量的平均数时，考虑到每个数量在总量 如果你中期所中具考有试的数重学要成性绩不为同7，0，分平别时给表予现不成同绩为60，学 校规定：在的你权学数分. 记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩 占70%，平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？
一.填空
补充练习
（1）某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每 次命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后尚剩余子弹数目ξ 的数学期望是_____2_._3_7_6__ .
（2）有两台在两地独立工作的雷达，每台雷达发现飞 行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数 为ξ，则E(ξ)=_____1_._7_5___ .
（3）设离散性随机变量 可能取的值为1，2，3，4 ， P(ξ=k)=ak+b(k=1，2，3，4)又ξ的数学期望E(ξ)=3，则
1
a+b= _____1_0_．
二.选择
（1）口袋中有5只相同的球，编号为1、2、3、4、5， 从中任取3球，用ξ表示取出的球的最大号码，则Eξ= ( )
第2章 2.3 2.3.1 离散型随机变量的均值
2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值学习目标核心素养1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)2.掌握两点分布、二项分布的均值．(重点)3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)1.通过离散型随机变量的均值的学习，体会数学抽象的素养．2.应用随机变量的均值解题提升数学运算的素养.1．离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.2．两点分布和二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.思考：随机变量的均值与样本平均值有什么关系？[提示]随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．1．若随机变量X 的分布列为X －1 01 p121613A ．0B ．－1C ．－16D ．－12C [E (X )＝∑i ＝13x i p i ＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16.]2．设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________. 35 [E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35.]3．若随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则E (X )的值为________．43 [E (X )＝np ＝4×13＝43.]求离散型随机变量的均值【例1多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列和X 的均值．[解] X 的取值分别为1,2,3,4.X ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了， 故P (X ＝1)＝0.6.X ＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P (X ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X ＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.所以李明一年内参加考试次数X的分布列为X 123 4P 0.60.280.0960.024 所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.求离散型随机变量X的均值的步骤1．理解X的实际意义，并写出X的全部取值．2．求出X取每个值的概率．3．写出X的分布列(有时也可省略)．4．利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．[解]X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝310，P(X＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X的分布列为X 12 3P 35310110E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.离散型随机变量的均值公式及性质X －2 －1 0 1 2 P141315m120(2)求E (X )；(3)若Y ＝2X －3，求E (Y )．[解] (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1， 解得m ＝16.(2)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：(公式法)由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215.法二：(直接法)由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：Y －7 －5 －3 －1 1 P14131516120所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求解．2．对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；也可以先列出aX ＋b 的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．2．已知随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P121316且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a的值为________．－3[E(X)＝1×12＋2×13＋3×16＝53.∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝53a＋3＝－2.解得a＝－3.]两点分布与二项分布的均值【例(1)求投篮1次时命中次数X的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．[思路点拨](1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．[解](1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X 0 1P 0.40.6(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.1．(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数ξ的均值．[解]E(ξ)＝10×0.6＝6.2．(改变问法)重复5次投篮时，命中次数为Y，命中一次得3分，求5次投篮得分的均值．[解]设投篮得分为变量η，则η＝3Y.所以E(η)＝E(3Y)＝3E(Y)＝3×3＝9.1．常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布E(X)＝p；(2)二项分布E(X)＝np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．2．两点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．离散型随机变量均值的实际应用[1．某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？[提示]每次平均得分为810＝0.8.2．在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？[提示]在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．【例4】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[思路点拨]根据利润的意义写出X的取值→写出X的分布列→求出均值E(X)→利用期望回答问题[解](1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为：X 621－2P 0.630.250.10.02(2)(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．3．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解] (1)由已知得小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X ≤3”为事件A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”， 因为P (X ＝5)＝23×25＝415， 所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115.所以这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知得X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45. 所以E (2X 1)＝2E (X 1)＝83， E (3X 2)－3E (X 2)＝125. 因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．1．求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定离散型随机变量X 的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否； (3)根据公式写出均值．2．若X ，Y 是两个随机变量，且Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化．( ) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平．( )(3)若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4.( ) (4)随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x nn.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．已知随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P0.20.5m则X A ．2 B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化B [由0.2＋0.5＋m ＝1得m ＝0.3，∴E (X )＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1，故选B.] 3．已知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫100，12，则E (2X ＋3)＝________.103 [E (X )＝100×12＝50，E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝103.]4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X 表示取得的分数．求：(1)X 的分布列； (2)X 的均值．[解] (1)由题意知，X 可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝C24C29＝16，P(X＝1)＝C13C14C29＝13，P(X＝2)＝C14C12＋C23C29＝1136，P(X＝3)＝C12C13C29＝16，P(X＝4)＝C22C29＝136.故X的分布列为(2)E(X)＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149.课时分层作业(十四)离散型随机变量的均值(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于()A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4D[∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.]2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)为()A．0.765 B．1.75C．1.765 D．0.22B[X的取值为0,1,2，P(X＝0)＝0.1×0.15＝0.015，P (X ＝1)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22， P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765，E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.] 3．已知Y ＝5X ＋1，E (Y )＝6，则E (X )的值为( ) A ．65 B ．5 C ．1D ．31C [因为E (Y )＝E (5X ＋1)＝5E (X )＋1＝6， 所以E (X )＝1.]4．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400B [记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000,0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.]5．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23C.2D.83D [X ＝2,3.所以P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 23＝23，所以E (X )＝2×13＋3×23＝83.]二、填空题6．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X 的期望是________．0．8 [因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2，所以E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.] 7．某射手射击所得环数X 的分布列如下：已知X 的均值E (X )＝8.9，则y 的值为________． 0．4 [由题意得⎩⎨⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎨⎧ x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得⎩⎨⎧x ＝0.2，y ＝0.4.] 8．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题．记X 为解出该题的人数，则E (X )＝________.1712 [由已知得X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝13×14＝112， P (X ＝1)＝23×14＋13×34＝512，P (X ＝2)＝23×34＝612，E (X )＝0×112＋1×512＋2×612＝1712.] 三、解答题9．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格．按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数X 的分布列及均值E (X )．[解] X 可能的取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 217C 220＝136190，P (X ＝1)＝C 13C 117C 220＝51190，P (X ＝2)＝C 23C 220＝3190.∴X 的分布列为：E(X)＝0×136190＋1×51190＋2×3190＝310.10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值．[解](1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的分布列为故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.[能力提升练]1．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A．2 000元B．2 200元C．2 400元D．2 600元B[出海的期望效益E(ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．]2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B [根据题意，X 的所有可能取值为1,2,3，且P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝p (1－p )，P (X ＝3)＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )>1.75，则p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，结合p 的实际意义，可得0<p <12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]3．把两封信投入A ，B ，C 三个空邮箱中，则A 邮箱中的信件数X 的均值E (X )＝________.23[每封信投到A 邮箱的概率均为13， X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，∴E (X )＝23.]4．某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，如果根据下面的盈利表进行决策：那么应选择的决策方案是________．投资房地产 [设购买股票的盈利为X ，投资房地产的盈利为Y ， 则购买股票的盈利的均值为 E (X )＝10×0.3＋3×0.5＋(－5)×0.2 ＝3＋1.5－1＝3.5.投资房地产的盈利的均值为 E (Y )＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6.因为E(Y)>E(X)，所以投资房地产的平均盈利高，即应选择投资房地产．] 5．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．[解](1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B(4，1 2)．∴ξ的分布列为ξ0123 4P 116143814116(2)∵ξ～B(4，12)，∴E(ξ)＝4×12＝2.又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E(η)＝E(2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)＝2 300－100×2＝2 100. 即实际支出的数学期望为2 100元．。
2.3.1_离散型随机变量的均值(2课时)
pi
…
pn
pn )
离散型随机变量均值的线性性质
E (aX b) aE ( X ) b
1、随机变量ξ的分布列是
ξ P
(1)则Eξ=
1 0.5
2.4
.
3 0.3
5.8 .
5 0.2
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 2、随机变量ξ的分布列是
ξ P
Eξ=7.5,则a=
4 0.3
0.1
b=
7 a
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
能力展现
遇大洪水损失60000元 遇小洪水损失10000元 有大洪水的概率为0.01 有小洪水的概率为0.25
大型设备
方案1：运走设备运费为3800；
方案2：建保护围墙，建设费2000元，但围墙只能 防小洪水； 方案3：不采取措施.
例题1
随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数 X的期望. 解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6 其分布列为 X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
所以随机变量X的均值为E(X)=1× 1/6+2× 1/6 +3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5 变式：将所得点数的2倍加1作为得分数， 即 Y=2X+1，试求Y的期望？
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0
=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) = np(p+q)n-1=np
选修2-3第二章2-3-1离散型随机变量的均值
则E(X)＝p＝0.6. (2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布， 即Y～B(5，0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3. 规律方法 此类题的解法一般分两步：一是先判断随机变 量服从两点分布还是二项分布；二是代入两点分布或二项 分布的均值公式计算均值．
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加，样本平均值越来越接近于总体均值．
2． 两点分布与二项分布的均值 X X服从两点分布 X～B(n，p) np ___
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E(X)
p (p为成功概率) __
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试一试：若某人投篮的命中率为0.8，那么他投篮10次一
定会进8个球吗？ 提示 某人投篮的命中率为0.8，是通过大量重复的试验 来推断出来的一个均值．由于每次试验是相互独立的，投 一次可能成功，也可能失败．也就是说投篮10次可能一个
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题型一
利用定义求离散型随机变量的数学期望
【例1】 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只 球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得 分X的数学期望． [思路探索] 先分析得分的所有取值情况，再求分布列，代 入公式即可．
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X P
5
4 35
6 18 35
7 12 35
8 1 35
4 18 12 1 44 ∴E(X)＝5× ＋6× ＋7× ＋8× ＝ (分)． 35 35 35 35 7
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规律方法
求数学期望的步骤是：(1)明确随机变量的取
值，以及取每个值的试验结果；(2)求出随机变量取各个 值的概率；(3)列出分布列；(4)利用数学期望公式进行计 算．
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1
0.5
3
0.3
5
0.2
(1)则Eξ=
2.4
. 5.8 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
2、随机变量ξ的分布列是
ξ 4 7 9 10
P
0.3
a
b
0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1
b=
0.4 .
四、例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？ 小结：
P
1 0.4
2 0.2
3 0.2
4 0.1
5 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200 元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5 期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利 润。 （1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有 一位采用1期付款” 的概率P(A)； （2）求 的分布列及期望E 。
二、互动探索
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1， 1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是 多少？
1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10
X P 1 2 3 4
把环数看成随机变量的概率分布列：
4 10 3 10 2 10 1 10
权数
加 权 平 均
4 3 2 1 X 1 2 3 4 2 10 10 10 10
2. 决策问题： 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25， 有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型 设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时 要损失10000元。为保护设备，有以下3种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元。 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能 挡住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。 试比较哪一种方案好。
X
P
x1
x2
· xi · · · pi · ·
· xn · · · pn · ·
p1
p2
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是 随机变量． （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？
X P
x1
p1
p2
x2
3.某商场的促销决策： 统计资料表明，每年国庆节商场内促销活 动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨 可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月 30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商 场应选择哪种促销方式？
某商场的促销决策：
统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利 2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元； 如遇下雨可则损失4万元。9月30日气象预报国庆节下 雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X P
则
1 p
0 1－p
EX 1 p 0 (1 p) p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。 解：(1) X～B（3，0.7）
解 用X1、X2和X3分别表示三种方案的损 . 失 采用第 种方案,无论有无洪水都损失38 000 1 , 元,即X1 38 000.
采用第2 种方案, 遇到大洪水时损失 2 000 , 60 000 62 000;没有大洪水时损失2 000元, , 62 000, 有大洪水; 即 X2 2 000, 无大洪水. 同样,采用第3种方案,有
高二数学 选修2-3
2.3.1离散型随机变量 的均值
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
X
P
x1
x2
· xi · · · pi · ·
· · · · · ·
p1
p2
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
复习引入
对于离散型随机变量，由它的概率分布列可以确 定相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感 兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某 班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看 平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化” 则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
一、离散型随机变量取值的均值
数学期望
· xn · · · pn · ·
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
P
则称
x1
x2
· xi · · · pi · ·
p1
p2
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。
· xi · · · pi · · · xi · · · axi b · · · pi · ·
· xn · · · pn · · · xn · · · axn b · · · pn · ·
x2 x1 X Y ax1 b ax2 b p1 p2 P
EY (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
EX 3 60 000 PX3 60 000 10 000 PX3 10 000 0 PX3 0
60 000 0.01 10 000 0.25 3100.
采取方案2的平均损失最小所以可以选择方案 . , 2
值得注意的是, 上述结论是通过比较 " 平均 损失 " 而得出的.一般地, 我们可以这样来理 解 " 平均损失 " : 假设问题中的气象情况多 次发生, 那么采用方案2 将会使损失减到最 小由于洪水是否发生以及洪水发生的大小 . 都是随机的 , 所以对于个别的一次决策 , 采 用方案2也不一定是最好的.
3 (2) P 6 1 P 4 P 5 4
(3) 2008年北京奥运会,为保证广州网络在ξ≥6时信息畅通 的概率超过85%,需要增加一条网线且最大信息量不低于3, 问增加的这条网线的最大信息量最少应为多少?
(3)设这条新增网线的最大 信息量为a, (a 3) 不畅通的概率应低于 % 15 当a 3时,
摸彩中奖问题
摸奖人赢钱的期望有多大？
解: 设ξ为赢得的钱数,则ξ的分布列如下:
ξ 100 50 20 -100
p
6 2C6 1 6 C12 462
5 1 2C6 C6 6 6 77 C12
4 2 2C6 C6 75 6 C12 154
3 3 C100 6 C6 6 C12 231
6800 E 29.34 231
1 1 1 1 1 1 C23 1 C2C2 1 C2C2 1 C3 1 C 2 5 21 5 2 3 3 C6 C3 C3 C3 20 206 206 206 C6 20
2 3 5 5 3 2 (1) E 4 5 6 7 8 9 20 20 20 20 20 20 13 2
总量ξ的数学期望;
(2)当ξ≥6时,则保证信息畅通,
求线路信息畅 通的概率;
(3) 2008年北京奥运会,为保证广州网络在ξ≥6时信息畅通的概 率超过85%,需要增加一条网线且最大信息量不低于3,问增加 的这条网线的最大信息量最少应为多少?
解: ξ的分布列为
ξ
4567 Nhomakorabea8
9
P
C2 21 3 C6 20
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列
P
10 －4 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
4.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统 计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为：
62 000, 有大洪水; X3 10 000, 有小洪水 0, 无洪水.
EX 2 62 000 PX2 62 000 2 000 PX2 2 000
于是,EX 1 3 800,
62 000 0.01 2 000 1 0.01 2 600,
X 0
3
1 3
1
2
2
3
P 0.3
C 0.7 0.3
C 0.7 0.3
2 3 2
0.7
3
1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 0.3 3 0.73
EX 2.1 3 0 .7
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，
你动心了吗?
一个布袋内装有6个红球与6个黄球，除颜色 不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个 球，输赢的规则为： 6个全红 赢得100元 5红1 黄 赢得50元 4红2黄 赢得20元 3红3黄 输100元 2红4黄 赢得20元 1红5黄 赢得50元 6个全黄 赢得100元 其中只有一种情况输，而对于其它六种情况 你均能赢得相应的钱数，而不用花其它的钱。
XE a
b
一、离散型随机变量取值的均值
数学期望
· xn · · · pn · ·
X
P
x1
x2
· xi · · · pi · ·
p1
p2
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn