九年级数学相似三角形知识点及习题

相似三角形考点

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）： b

a n d

b m

c a n

d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

二、有关知识点：

1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：

(1)类型

斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS

SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比

例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等

一条直角边与斜边对应成比例 相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：

(1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2

三、注意

1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。

c

d a b = d

b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理）

在利用定理证明时要注意A 型图的比例AD AB DE BC AE AC ==，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成AD DB DE BC AE EC ==的错误。

2、相似三角形的基本图形

Ⅰ.平行线型：即A 型和X 型

Ⅰ.相交线型

C

B D

E A

3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明三角形相似及比例式或等积式。

4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。

6、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

第4讲 图形的相似

A 级 基础题

1．(20XX 年广西桂林)如图X6－4－1，已知△ADE 与△ABC 的相似比为1∶2，则△ADE

与△ABC 的面积比为( )

A ．1∶2

B ．1∶4

C ．2∶1

D ．4∶1

2．若两个相似三角形的面积之比为1∶16，则它们的周长之比为( )

A ．1∶2

B ．1∶4

C ．1∶5

D ．1∶16

3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的为( )

A ．1,2,3,4

B ．1,2,2,4

C ．3,5,9,13

D ．1,2,2,3

4．(20XX 年湖南怀化)如图X6－4－2，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，

则CE 的值为( )

A ．9

B ．6

C ．3

D ．4

5．若△ABC ∽△DEF ，它们的周长分别为6 cm 和8 cm ，那么下式中一定成立的是( )

A ．3A

B ＝4DE B ．4A

C ＝3DE C ．3∠A ＝4∠

D D ．4(AB ＋BC ＋AC )＝3(D

E ＋E

F ＋DF )

6．如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC ＝3，B ′C ′＝1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( )

A ．5∶3

B ．3∶2

C ．2∶3

D ．3∶5

7．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是________________．

8．如果两个相似三角形的相似比是3∶5，周长的差为4 cm ，那么较小三角形的周长为________cm.

9．(20XX 年湖南株洲)如图X6－4－3，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，沿直线MN 对折，使A ，C 重合，直线MN 交AC 于点O .

(1)求证：△COM ∽△CBA ；

(2)求线段OM 的长度．

图X6－4－3

C E

D

B A