线段垂直平分线的性质定理及逆定理
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概念复习
轴对称图形的概念是什么？ 两个图形轴对称的概念是什么？ 垂直平分线的概念是什么？
图形轴对称的性质？
问题3 如图，△ABC △A′B′C′ 关于直线MN 对称，点A′,B′,C′分别 是点A，B，C 的对称点，线段AA′， BB′，CC′与直线MN 有什么关系？
经过线段中点并 且垂直于这条线段 的直线，叫做这条 线段的垂直平分 线．
如果把这个命题反过来说，还成立吗？ 如果有一个点到线段两个端点的距 离相等，那么这个点在这条线段的垂直 平分线上．
即：到线段两个端点的距离相等的 点在这条线段的垂直平分线上．
你能证明这个结论吗？
已知：线段AB，点P是平面内一点 且PA=PB． P 求证：P点在AB的 垂直平分线上．
A C B
证明：过点P作已知线段AB的垂 线PC，∴∠PCA=∠PCB=90° ∴AC=BC（全等三角 在Rt△PAC≌Rt△PBC中 形对应角相等） PA=PB， 即，P点在AB的垂直平 PC=PC（公共边）， 分线上 ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)
猜想： 线段垂直平 分线上的点到这条线段两个端点距 离相等.
M P
已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P 是MN上任意一点. 求证:PA=PB.
证明： ∵MN⊥AB， B ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 在△APC与△BPC中 PC=PC（公共边） ∠PCA=∠PCB（已证） AC=BC（已知） ∴△PCA≌△PCB(SAS) ； ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
线段垂直平分线的判定：
定理：到线段两个端点的距离相 等的点在这条线段的垂直平分线 上． ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上).
2.如图,AB=AD,BC=DC,E是AC上一 点，求证：BE=DE
3.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂 直平分线交AB于点D,交AC于点 E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
B
l
A′
B′
13.1.2线段的垂直平分线性质 及判定
学习目标
掌握线段垂直平分线的性质定 理及逆定理
能运用两个定理解决有关的实 际问题
P1
P2
P3 A
l
如左图，木条L与木条 AB钉在一起，L垂直 平分AB，P1、P2、 P3……是l 上的点，分 别量一量点P1、P2、 B P3……到Ａ与B的距 离，你有什么发现？
A N
C
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一 ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个 . 端点距离相等).
1.已知：如图，在Rt△ABC中∠A=90°， AB=3AC=5，BC边上的垂直平分线DE交 BC于点D，交AC于点E，求△ABE的周长。
A M A′
P
B C N C′ B′
成轴对称的两个图 形的性质： 如果两个图形关 于某条直线对称，那 么对称轴是任何一对 B 对应点所连线段的垂 直平分线．
M
A A′
P
B′
C C′
N
问题4 下图是一个轴对称图形，你能 发现什么结论？能说明理由吗？
轴对称图形的性质： 轴对称图形的对 称轴，是任何一对对 应点所连线段的垂直 A 平分线．
A
D
பைடு நூலகம்
E
B
C
本节课你有哪些收获？
一、线段垂直平分线的的性质定理： 线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点的距离相等。 二、逆定理： 与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
轴对称图形的概念是什么？ 两个图形轴对称的概念是什么？ 垂直平分线的概念是什么？
图形轴对称的性质？
问题3 如图，△ABC △A′B′C′ 关于直线MN 对称，点A′,B′,C′分别 是点A，B，C 的对称点，线段AA′， BB′，CC′与直线MN 有什么关系？
经过线段中点并 且垂直于这条线段 的直线，叫做这条 线段的垂直平分 线．
如果把这个命题反过来说，还成立吗？ 如果有一个点到线段两个端点的距 离相等，那么这个点在这条线段的垂直 平分线上．
即：到线段两个端点的距离相等的 点在这条线段的垂直平分线上．
你能证明这个结论吗？
已知：线段AB，点P是平面内一点 且PA=PB． P 求证：P点在AB的 垂直平分线上．
A C B
证明：过点P作已知线段AB的垂 线PC，∴∠PCA=∠PCB=90° ∴AC=BC（全等三角 在Rt△PAC≌Rt△PBC中 形对应角相等） PA=PB， 即，P点在AB的垂直平 PC=PC（公共边）， 分线上 ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)
猜想： 线段垂直平 分线上的点到这条线段两个端点距 离相等.
M P
已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P 是MN上任意一点. 求证:PA=PB.
证明： ∵MN⊥AB， B ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 在△APC与△BPC中 PC=PC（公共边） ∠PCA=∠PCB（已证） AC=BC（已知） ∴△PCA≌△PCB(SAS) ； ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
线段垂直平分线的判定：
定理：到线段两个端点的距离相 等的点在这条线段的垂直平分线 上． ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上).
2.如图,AB=AD,BC=DC,E是AC上一 点，求证：BE=DE
3.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂 直平分线交AB于点D,交AC于点 E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
B
l
A′
B′
13.1.2线段的垂直平分线性质 及判定
学习目标
掌握线段垂直平分线的性质定 理及逆定理
能运用两个定理解决有关的实 际问题
P1
P2
P3 A
l
如左图，木条L与木条 AB钉在一起，L垂直 平分AB，P1、P2、 P3……是l 上的点，分 别量一量点P1、P2、 B P3……到Ａ与B的距 离，你有什么发现？
A N
C
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一 ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个 . 端点距离相等).
1.已知：如图，在Rt△ABC中∠A=90°， AB=3AC=5，BC边上的垂直平分线DE交 BC于点D，交AC于点E，求△ABE的周长。
A M A′
P
B C N C′ B′
成轴对称的两个图 形的性质： 如果两个图形关 于某条直线对称，那 么对称轴是任何一对 B 对应点所连线段的垂 直平分线．
M
A A′
P
B′
C C′
N
问题4 下图是一个轴对称图形，你能 发现什么结论？能说明理由吗？
轴对称图形的性质： 轴对称图形的对 称轴，是任何一对对 应点所连线段的垂直 A 平分线．
A
D
பைடு நூலகம்
E
B
C
本节课你有哪些收获？
一、线段垂直平分线的的性质定理： 线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点的距离相等。 二、逆定理： 与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。