2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.4 二项分布 Word版含解析

1．定义一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中P (A )＝p >0.我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验．2．概率公式在n 次独立重复试验中，每次试验事件A 发生的概率均为p (0<p <1)，即P (A )＝p ，P (A )＝1－p ＝q ，则事件A 恰好发生k (0≤k ≤n )次的概率为P n (k )＝C k n p k q n －k，k ＝0，1，2，…，n .它恰好是(q ＋p )n 的二项展开式中的第k ＋1项.连续掷一颗骰子三次，就是做三次独立重复试验．用A i (i ＝1，2，3)表示第i 次出现6点这一事件，用B 1表示“仅出现一次6点”这一事件．问题1：试用A i 表示B 1.提示：B 1＝(A 1A －2A －3)＋(A －1A 2A －3)＋(A －1A －2A 3)． 问题2：试求P (B 1)．提示：∵P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝16，且A 1A －2A －3，A －1A 2A －3和A －1A －2A 3互斥， ∴P (B 1)＝P (A 1A －1A －2)＋P (A －1A 2A －3)＋P (A －1A －2A 3) ＝16×⎝⎛⎭⎫562＋16×⎝⎛⎭⎫562＋16×⎝⎛⎭⎫562 ＝3×16×⎝⎛⎭⎫562.问题3：用B k 表示出现k 次6点这一事件，试求P (B 0)，P (B 2)，P (B 3)． 提示：P (B 0)＝P (A －1A －2A －3)＝⎝⎛⎭⎫563， P (B 2)＝3×⎝⎛⎭⎫162×⎝⎛⎭⎫56，P (B 3)＝⎝⎛⎭⎫163. 问题4：由以上结果你得出何结论？ 提示：P (B k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫16k ⎝⎛⎭⎫563－k，k ＝0，1，2，3.若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k qn －k，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0，1，2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．1．满足以下条件的试验称为独立重复试验： (1)每次试验是在同样条件下进行的； (2)各次试验中的事件是相互独立的；(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生； (4)每次试验中，某事件发生的概率是相同的．2．独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题．但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．3．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．[例1] 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率．[思路点拨] 由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(或准确或不准确)，符合独立重复试验模型．[精解详析] (1)记预报一次准确为事件A ， 则P (A )＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01. 所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.[一点通] 解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点： (1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n 次独立重复试验；(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的和． (3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算．1．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率为________．解析：恰好成活4棵的概率为C 45×0.94×0.1≈0.33.答案：0.332. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．解析：记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＝14， 从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.答案：343．某城市的发电厂有5台发电机组，每台发电机组在第一季度里停机维修率为14，已知2台以上(不包括2台)发电机组停机维修，将造成城市缺电，计算：(1)该城市在一个季度里停电的概率； (2)该城市在一个季度里缺电的概率．解：(1)若停电，则表示每台发电机组都不能工作，由于每台发电机组停机维修是互不影响的，故每台发电机组停机维修是相互独立的，该城市停电必须5台发电机组都停机维修，所以停电的概率为C 55⎝⎛⎭⎫145×⎝⎛⎭⎫1－140＝11 024. (2)当3台或4台发电机组停机维修时，该城市将缺电，所以缺电的概率为C 35⎝⎛⎭⎫143×⎝⎛⎭⎫1－142＋C 45⎝⎛⎭⎫144×⎝⎛⎭⎫1－14＝10×143×942＋5×144×34＝1051 024.[例2] 一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的概率分布； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的概率分布； (3)求这三名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．[思路点拨] 解答本题可先求出x ，y 的可能数值，再根据二项分布的公式求概率分布．(3)可用对立事件求解．[精解详析] (1)依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是p ＝13，且每次试验结果都是相互独立的，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13. ∴P (X ＝k )＝C k 6⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫1－136－k＝C k 6⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫236－k，k ＝0，1，2， (6)(2)由题意知，Y ＝k (k ＝0，1，2，…，5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，则其概率为P (Y ＝k )＝⎝⎛⎭⎫23k·13，Y ＝6表示路上没有遇上红灯，其概率为P (Y ＝6)＝⎝⎛⎭⎫236.(3)由题意可知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”，因此有 P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－64729＝665729.[一点通] 利用二项分布来解决实际问题的关键是建立二项分布模型，解决这类问题时要看它是否为n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布．4．若随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝________．解析：P (X ＝3)＝C 36·⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫1－123＝516.答案：5165．甲、乙两人参加某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为23，且甲、乙两人能否通过面试相互独立，求面试结束后通过人数X 的概率分布．解析：由题意可知，X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫2，23， 则P (X ＝0)＝C 02⎝⎛⎭⎫1－232＝19， P (X ＝1)＝C 12×23×⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (X ＝2)＝C 22⎝⎛⎭⎫232＝49.所以X 的概率分布为1．独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．2．独立重复试验是相互独立事件的特例，一般有“恰好”“恰有”字样的问题时用独立重复试验的概率公式计算更简捷，要弄清n ，p ，k 的意义．3．二项分布实际上是对n 次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述，与n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率对应，是概率论中最重要的几种分布之一．课下能力提升(十四)一、填空题1．某学生通过英语听力测试的概率为13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．解析：P ＝C 13⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫1－132＝49. 答案：492．下列说法正确的是________． ①某同学投篮命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10，0.6)；②某福彩的中奖概率为P ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，P )；③从装有5红球5白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12. 解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②3．若X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (X ≥2)＝________．解析：P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝473729.答案：4737294．已知一个射手每次击中目标的概率都是35，他在4次射击中，击中两次目标的概率为________，刚好在第二、三这两次击中目标的概率为________．解析：刚好击中两次目标的概率为C 24⎝⎛⎭⎫352⎝⎛⎭⎫1－352＝216625. 在第二、三这两次击中目标的概率为⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫1－352＝36625 . 答案：216625 366255．位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P 移动五次后位于点(1，0)的概率是________．解析：依题意得，质点P 移动五次后位于点(1，0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C 25⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫233＝80243.答案：80243二、解答题6．某一中学生心理咨询中心的服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题通过电话询问该咨询中心，且每人只拨打一次，(1)求他们三人中恰有1人成功咨询的概率；(2)求他们三人中成功咨询的人数X 的概率分布．解：每位同学拨打一次电话可看作一次试验，三位同学每人拨打一次可看作3次独立重复试验，接通咨询中心的服务电话可视为咨询成功．故每位同学成功咨询的概率都是34.(1)三人中恰有1人成功咨询的概率为 P ＝C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964. (2)由题意知，成功咨询的人数X 是一随机变量， 且X ～B ⎝⎛⎭⎫3，34.则P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫34k ⎝⎛⎭⎫143－k，k ＝0，1，2，3.因此X 的概率分布为7.某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的概率分布； (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．解：(1)由题设知，X 的可能取值为10，5，2，－3，且 P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72， P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08， P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02. 由此得X 的概率分布为(2)设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4－n 件． 由题设知4n －(4－n )≥10，解得n ≥145.又n ∈N ，得n ＝3，或n ＝4.所以P ＝C 34×0.83×0.2＋C 44×0.84＝0.819 2.故所求概率为0.819 2.8．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的概率分布； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知，X ～B ⎝⎛⎭⎫6，23， P (X ＝k )＝C k 6⎝⎛⎭⎫23k ⎝⎛⎭⎫136－k(k ＝0，1，2，3，4，5，6)．X 的分布列为：(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则 P (A )＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫234＋C 1413⎝⎛⎭⎫235＋⎝⎛⎭⎫236＝3281. 故教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.。