2019年高三数学二轮专题复习 专题4 概率与统计 第8讲 统计与统计案例课件 文-PPT课件
高考数学二轮专题复习课件:专题四第2讲统计与统计案例(理)(共105张PPT)
500编号,若第一组用简单随机抽样的方法抽取的号码为23,则所抽样本中高二学生的人数为
品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存
在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,
其中从乙车间的产品中抽取了4件,则n=
()
• A.9
B.10
C.12
D.13 D
• 【解析】 (1)样本间隔为2 400÷30=80,
• 设首个号码为x,则第三个号码为x+160, • 则x+160=176,解得x=16,
第二部分
专题篇•素养提升(文理)
专题四 概率与统计(理科)
第2讲 统计与统计案例
1 解题策略 • 明方向 2 考点分类 • 析重点 3 易错清零 • 免失误 4 真题回放 • 悟高考 5 预测演练 • 巧押题
• 1.抽样方法、样本的数字特征、统计图表主要以选择题、填空 题形式命题,难度较小.
• 2.注重知识的交汇渗透,统计与概率,回归分析、独立性检验 与概率是近年命题的热点.
30人进行调查.现将2 400名学生随机地从1~2 400编号,按编号顺
序平均分成30组(1~80号,81~160号,…,2 321~2 400号),若第
3组抽出的号码为176,则第6组抽到的号码是
()
• A.416
B.432
C.448
D.464
A
• (2)(2020·太原模拟)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产
•一道题,经修典改例后2重(2新02公0·唐布山,二如模表)是某抽科取考1试0名成学绩生公的布成后绩,,发依现据判这错 些信息修改后的成绩与修改前的相比,这10名学生成绩的 ( )
D 学生学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 • 修A改.前平成均绩分、12方6 差1都30变小104 1B00.平1均33分、12方3 差1都00变大120 139 103 • 修C改.后平成均绩分不12变6、1方35差变9小9 100 138 123 95 120 144 98
2019版高考数学二轮复习第1篇专题4统计与概率第2讲大题考法__统计与概率课件
(2)①根据散点图可判断,选择 y=a+bx 作为每天的净利润的回归方程类型比较 适合. ②由最小二乘法求得系数 - - x - x y - y i i ^ b=
i=1 7
-2 x i- x
i=1
7
3 484.29 = 268.86 ≈13,
^ - ^ - 所以a= y -b x =194.29-13×22.86≈-103, ^ 所以 y 关于 x 的回归方程为y=-103+13x. 当 x=35 时,商家当天的净利润 y=352 元, 故使用支付宝付款的人数增加到 35 时,预计商家当天的净利润为 352 元.
i=1 7
- - ( x - x )( y - y) i i
i=1
7
268.86
3 484.29
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线 v=βu+α 的斜 - - u - u v - v i i ^ 率和截距的最小二乘估计分别为β=
i =1 n
• ①直接根据散点图判断,y=a+bx与y=ec+dx哪一个适合作 为每天的净利润的回归方程类型.(a,b,c,d的值取整数) • ②根据①的判断,建立y关于x的回归方程,并估计使用支付 宝付款的人数增加到35时,商家当天的净利润.
参考数据: - x 22.86 - y 194.29 -2 ( x - i x)
2.89 所以 r≈ ≈0.99. 0.55×2×2.646 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关程度相当大,从而可 以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系.
- - t - t y - y i i - 9.32 ^ (2)由 y = 7 ≈1.331 及(1)得b=
2019届高三数学二轮复习备考《概率与统计的高考分析》课件(共40张PPT)
2018全国I卷理20
以生产线为背景,加以合理的数学抽象和数据分析,考查学生解决 实际问题的能力。
用求导法 求最值
~
EY=180X0.1=18
近5年全国Ⅱ、 Ⅲ卷试题回顾及特点简析
针对近5年全国Ⅱ Ⅲ卷试题的特点, 分析其主要涉及以下5大知识和思想:
1.线性回归直线 2.茎叶图 3.独立性检验 4.条件概率 5.讨论的思想
2015全国I卷文理19
2015全国I卷文理19
换元
年利率Z : z 0. 2 y x y d x c
二次函数 求最值
2016全国I卷理19
2016 课标卷 1:某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件, 在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足 再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
命题规律Ⅱ 、Ⅲ 卷(文科)
考查知识点
2018 Ⅱ 18 2018 Ⅲ 18 回归直线方程,并进行预报值分析 茎叶图并进行分析
2017 Ⅱ 19 2017 Ⅲ 18
2016 Ⅱ 18 2016 Ⅲ 18 2015 Ⅱ 18 2014 Ⅱ 19
频率分布直方图求概率,独立性检验 根据表格进行求概率
根据表格进行求概率 根据给定的频率对应表,求平均数 (这个表格就是理科学习的分布列) 画频率分布直方图,求平均数。根据分布图进行求概率 根据茎叶图求中位数,根据茎叶图求概率,分析茎叶图
近五年对比Ⅰ卷和Ⅱ Ⅲ卷的高考题, 从知识点的考查来看,他们各自的风 格相对比较稳定,特别是Ⅱ Ⅲ卷。我们不 难发现,Ⅱ Ⅲ卷较I卷难度要小一些。 1. Ⅰ卷对正态分布,二项分布考查非常 频繁 。 2.Ⅱ 、Ⅲ卷中常考的独立性检验,茎叶 图,条件概率,在I卷中从来没有考查过。 3 .Ⅱ 、Ⅲ卷中从来没有考查过超几何分 布,二项分布,正态分布.
高考数学第二轮专题复习----概论统计专题
《计数原理与概率》高考复习指导一、考试说明:1.考试内容(1)分类计数原理与分步计数原理,排列与组合.(2)等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率.2.考试要求(1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列与组合的意义,掌握排列数与组合数的计算公式,掌握组合数的两个性质,并能用它们解决一些简单的应用问题.(3)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率.(4)了解互斥事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.(5)了解相互独立事件的意义,会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率,会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.二、高考试题分析排列与组合、概率与统计是高中数学的重要内容.一方面,这部分内容占用教学时数多达36课时,另一方面,这部分内容是进一步学习高等数学的基础知识,因此,它是高考数学命题的重要内容.从近三年全国高考数学(新材)试题来看,主要是考查排列与组合、概率与统计的基本概念、公式及基本技能、方法,以及分析问题和解决问题的能力.试题特点是基础和全面.题目类型有选择题、填空题、解答题,一般是两小(9分~10分)一大(12分),解答题通常是概率问题.试题难度多为低中档.为了支持高中数学课程的改革,高考数学命题对这部分将进一步重视,但题目数量、难度、题型将会保持稳定.例1.(1999年全国)在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A、B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A、B两种作物间的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有_______种(用数字作答).[解析]A种植在左边第一垄时,B有3种不同的种植方法;A种植在左边第二垄时,B有两种不同的种植方法;A种植在左边第三垄时,B只有一种种植方法.B在左边种植的情形与上述情形相同.故共有2(3+2+1)=12种不同的选垄方法.∴应填12.例2.(2003年新教材)将3种作物种植在如图所示的5块试验田里,每一块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共有______种(以数字作答).[解析]将5块试验田从左到右依次看作甲、乙、丙、丁、戊,3种作物依次看作A、B、C,则3种作物都可以种植在甲试验田里,由于相邻的试验田不能种植同一种作物,从而可知在乙试验田里只能有两种作物.同理,在丙、丁、戊试验田里也只能有两种作物可以种植.由分步计数原理,不同的种植方法共有3×2×2×2=48种.∴应填:48例3.(2003年全国高考题)某城市中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图),现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种1种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽法有_______种.[解析]由于第1、2、3块两两相邻,我们先安排这三块,给第1、2、3块种花时分别有4、3、2种种法,所以共有4×3×2=24种不同种法.下面给第4块种花,若第4块与第6块同色,只有一种种植方法,则第5块只有2种种法,若第4块与第2块同色时,共有2×1=2种种法.若第4块与第6块不同色,但第4块与第2块同色,则第6块有2种种植的方案,而第5块只有1种种法,共有2种不同的种植方法.若第4块与第6块不同色,但第4块与第2块不同色,则第6块有1种种法,则第5块也有一种不同种法,所以第4块与第6块不同色时,有1种种法.综上共有24×(2+2+1)=120种不同的种植方法.例4.(2003年春季考试题)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种数为A 、42B 、30C 、20D 、12[解析]将两个新节目插入5个固定顺序节目单有两种情况:(1)两个新节目相邻的插法种数为226A ;(2)两个节目不相邻的插法种数为26A ;由分类计数原理共有2226642A A +=种方法,选A.例5.(2004重庆)(本小题满分12分)设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。
高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例1.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 附:√74≈8.602.2.(2021·江西赣州二模改编)遵守交通规则,人人有责.“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定,也是全国文明城市测评中的重要内容.《道路交通安全法》第47条明确规定:“机动车行经人行横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,遇行人横过道路,应当避让.否则扣3分罚200元”.下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:(1)请利用所给数据求不“礼让行人”驾驶员人数y 与月份x 之间的经验回归方程y ^=b ^x+a ^,并预测该路口2021年10月不“礼让行人”驾驶员的大约人数(四舍五入);(2)交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人,调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系,得到下表:依据小概率值α=0.10的独立性检验,分析“礼让行人”行为是否与驾龄有关.参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx2=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2.χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.3.(2021·河北石家庄二模改编)某地区在2020年底全面建成小康社会,随着实施乡村振兴战略规划,该地区农村居民的收入逐渐增加,可支配消费支出也逐年增加.该地区统计了2016~2020年农村居民人均消费支出情况,对有关数据处理后,制作如图1的折线图[其中变量y (单位:万元)表示该地区农村居民人均年消费支出,年份用变量t 表示,其取值依次为1,2,3,…].(1)由图1可知,变量y与t具有很强的线性相关关系,求y关于t的经验回归方程,并预测2021年该地区农村居民人均消费支出;2016~2020年该地区农村居民人均消费支出图1(2)在国际上,常用恩格尔系数(其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况.根据联合国粮农组织的标准:恩格尔系数在40%~50%为小康,30%~40%为富裕.已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示,预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%,从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准.2020年该地区农村居民人均消费支出构成图2参考公式:经验回归方程y ^=b ^x+a ^中斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2=∑i=1nx i y i -nx y∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y −b ^x .4.(2021·山东潍坊一模)在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20,25<x i <65),其中x i 表示年龄,y i 表示脂肪含量,并计算得到∑i=120x i 2=48 280,∑i=120y i 2=15 480,∑i=120x i y i =27 220,x =48,y =27,√22≈4.7.(1)请用样本相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y 关于x的经验回归方程y ^=a ^+b ^x (a ^,b ^的计算结果保留两位小数);(2)科学健身能降低人体脂肪含量,下表是甲、乙两款健身器材的使用年限(整年)统计表:某健身机构准备购进其中一款健身器材,以使用年限的频率估计概率,请根据以上数据估计,该机构选择购买哪一款健身器材,才能使用更长久?参考公式:样本相关系数r=∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1n (x i -x)2√∑i=1n(y i -y)2=∑i=1nx i y i -nx y√∑i=1nx i 2-nx 2√∑i=1ny i 2-ny 2;对于一组具有线性相关关系的数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n ),其经验回归直线y ^=b ^x+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2,a ^=y −b ^x .答案及解析1.解 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y =1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30, s 2=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6, s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17. 2.解 (1)由表中数据易知:x =1+2+3+44=52,y =125+105+100+904=105,则b ^=∑i=14x i y i -4x y∑i=14x i 2-4x2=995−1 05030−25=-11,a ^=y −b ^ x =105-(-11)×52=132.5,故所求经验回归方程为y ^=-11x+132.5.令x=10,则y ^=-11×10+132.5=22.5≈23(人),预测该路口10月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为23. (2)零假设为H 0:“礼让行人”行为与驾龄无关.由表中数据可得χ2=50×(10×12−20×8)218×32×30×20≈0.23<2.706=x 0.10,依据小概率值α=0.10的独立性检验,没有充分证据推断H 0不成立,可以认为H 0成立,即认为“礼让行人”行为与驾龄无关.3.解 (1)由已知数据可求t =1+2+3+4+55=3, y =1.01+1.10+1.21+1.33+1.405=1.21,∑i=15t i 2=12+22+32+42+52=55,∑i=15t i y i =1×1.01+2×1.10+3×1.21+4×1.33+5×1.40=19.16,b ^=19.16−5×3×1.2155−5×32=1.0110=0.101,a ^=1.21-0.101×3=0.907,所求经验回归方程为y ^=0.101t+0.907. 当t=6时,y ^=0.101×6+0.907=1.513(万元),故2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元.(2)已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元,由图2可知,2020年该地区农村居民食品类支出为4 451元,则预测2021年该地区食品类支出为4 451×(1+3%)=4 584.53元,恩格尔系数=4 584.5315 130×100%≈30.3%∈(30%,40%),所以,2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准.4.解 (1)x 2=2 304,y2=729,∑i=120x i y i -20x y =1 300,∑i=120x i 2-20x 2=2 200,∑i=1ny i 2-20y 2=900,r=∑i=120x i y i -20x y√∑i=120x i 2-20x 2√∑i=1ny i 2-20y2≈0.92,因为y 与x 的样本相关系数接近1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型进行拟合.由题可得,b ^=∑i=120(x i -x)(y i -y)∑i=120(x i -x)2=∑i=120x i y i -20x y∑i=120x i 2-20x2=1322≈0.591,a ^=y −b ^ x =27-0.591×48≈-1.37,所以y ^=0.59x-1.37.(2)以频率估计概率,设甲款健身器材使用年限为X (单位:年).E (X )=5×0.1+6×0.4+7×0.3+8×0.2=6.6. 设乙款健身器材使用年限为Y (单位:年).E (Y )=5×0.3+6×0.4+7×0.2+8×0.1=6.1.因为E (X )>E (Y ),所以该健身机构购买甲款健身器材更划算.。
高三二轮复习专题八统计与概率(文)课件
电子商务公司决定给购物者发放优惠券,其金额(单位:元)与购物金额关系如下:
购物金额 分组 [0.3,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.8) [0.8,0.9]
发放金额
50
100
150
200
(1)求这 1 000 名购物者获得优惠券金额的平均数;
(2)以这 1 000 名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠券金
额不少于 150 元的概率.
考点一 用样本估计总体
【变式训练】
解析:(1)购物者的购物金额 x 与获得优惠券金额 y 的频率分布如下表:
x 0.3≤x<0.5 0.5≤x<0.6 0.6≤x<0.8 0.8≤x≤0.9
y
50
100
150
200
频 0.4.02
这 1 000 名购物者获得优惠券金额的平均数为:
50×400+100×3010+001050×280+200×20=96.
(2)由获得优惠券金额 y 与购物金额 x 的对应关系,有
P(y=150)=P(0.6≤x<0.8)=(2+0.8)×0.1=0.28,
P(y=200)=P(0.8≤x≤0.9)=0.2×0.1=0.02,
从而,获得优惠券不少于 150 元的概率为
考点二 回归分析
例题 在一次抽样调查中测得样本的 5 组数据,得到一个变量 y 关于 x 的回归方程模型,其
对应的数值如下表: x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1
(1)试作出散点图,根据散点图判断,y=a+bx 与 y=kx+m 哪一个适宜作为变量 y 关于 x 的 回归方程模型?(给出判断即可,不必说明理由)
高中数学统计与统计案例全章复习(题型完美版)
第八章 统计与统计案例第1节 随机抽样最新考纲:1.理解随机抽样的必要性和重要性;2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;3.了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.1.简单随机抽样(1)定义:设一个总体含有N 个个体,从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N ),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法.2.系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本.(1)先将总体的N 个个体编号.(2)确定分段间隔K ,对编号进行分段,当N n 是整数时,取k =N n ,当N n不是整数时,随机从总体中剔除余数,再取k =N ′n(N ′为从总体中剔除余数后的总数). (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k ).(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l +k ),再加k 得到第3个个体编号(l +2k ),依次进行下去,直到获取整个样本.3.分层抽样(1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样.(2)分层抽样的应用范围: 当总体由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.【例1】下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.A .0B .1C .2D .3【例2】(2017•葫芦岛模拟)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03,…,32,33这33个二位号码中选取,小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码,选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字,则第四个被选中的红色球号码为( )A .12B .33C .06D .16【例3】(教材习题改编)老师在班级50名学生中,依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查,这种抽样方法是( )A .随机抽样B .分层抽样C .系统抽样D .以上都不是【例4】某地区有小学150所,中学75所,大学25所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取________所学校,中学中抽取________所学校.【例5】哈六中2016届有840名学生,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为________.【例6】(2017·西安质检)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1,p 2,p 3,则( )A .p 1=p 2<p 3B .p 2=p 3<p 1C .p 1=p 3<p 2D .p 1=p 2=p 3【变式1】(2017•大连二模)某单位员工按年龄分为A ,B ,C 三组,其人数之比为5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知C 组中某个员工被抽到的概率是91,则该单位员工总数为( )A .110B .10C .90D .80【变式2】(2017•黄州区三模)某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从1~1000进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )A .16B .17C .18D .19【变式3】(2017•宣城二模)一支田径队共有运动员98人,其中女运动员42人,用分层抽样的方法抽取一个样本,每名运动员被抽到的概率都是72,则男运动员应抽取( ) A .18人B .16人C .14人D .12人1.为了了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样 2.从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是( )A .5,10,15,20,25B .3,13,23,33,43C .1,2,3,4,5D .2,4,6,16,323.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n =( )A .9B .10C .12D .134.将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000,001,002,…,999,从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组编号为000,001,002,…,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个编号为( )A .700B .669C .695D .6765.某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生2 000名,抽取了一个容量为200的样本,已知样本中女生比男生少6人,则该校共有女生( )A .1030人B .97人C .950人D .970人第2节用样本估计总体最新考纲:1.了解分布的意义与作用,能根据概率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.理解用样本估计总体的思想,会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.1.频率分布直方图(1)频率分布表的画法: 第一步:求极差,决定组数和组距,组距=极差组数; 第二步:分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间;第三步:登记频数,计算频率,列出频率分布表.(2)频率分布直方图:反映样本频率分布的直方图.横轴表示样本数据,纵轴表示频率组距,每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.2.茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图,茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.3.样本的数字特征题型一 茎叶图【例1】(必修3P70改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是()A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92【例2】(2016•唐山一模)为迎接即将举行的集体跳绳比赛,高一年级对甲、乙两个代表队各进行了6轮测试,测试成绩(单位:次/分钟)如表:(1)补全茎叶图并指出乙队测试成绩的中位数和众数;(2)试用统计学中的平均数、方差知识对甲乙两个代表队的测试成绩进行分析.【变式1】如图,茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为()A.2,5B.5,5C.5,8D.8,8【变式2】(2015秋•宣城期末)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:(1)用茎叶图表示这两组数据;(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.题型二频率分布直方图【例1】(教材习题改编)某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系,将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组,分组区间为[35,40),[40,45),[45,50),[50,55),[55,60],由此得到频率分布直方图如图,则这80名教师中年龄小于45岁的有________人.【例2】(2017·济南调研)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,......,第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为_______.【变式1】(2017•东台市模拟)从高三年级随机抽取100名学生,将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图.由图中数据可知成绩在[130,140)内的学生人数为_______.【变式2】(2016秋•威海期末)从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[100,110),[110,120),[120,130)三组内的学生中,用分层抽样的方法选取28人参加一项活动,则从身高在[120,130)内的学生中选取的人数应为_______.【例3】(2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),……,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值;(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由;(3)估计居民月均用水量的中位数.【变式3】(2017•灵丘县四模)为对考生的月考成绩进行分析,某地区随机抽查了10000名考生的成绩,根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图.(1)求成绩在[600,650)的频率;(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;(3)为了分析成绩与班级、学校等方面的关系,必须按成绩再从这10000人中用分层抽样方法抽出20人作进一步分析,则成绩在[550,600)的这段应抽多少人?【例4】(2017•唐山二模)共享单车的出现方便了人们的出行,深受我市居民的喜爱.为调查某校大学生对共享单车的使用情况,从该校8000名学生中按年级用分层抽样的方式随机抽取了100位同学进行调查,得到这100名同学每周使用共享单车的时间(单位:小时)如表:(1)已知该校大一学生由2400人,求抽取的100名学生中大一学生人数;(2)作出这些数据的频率分布直方图;(3)估计该校大学生每周使用共享单车的平均时间t(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).【变式4】(2014·全国Ⅰ卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:(1)作出这些数据的频率分布直方图:(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?【例5】(2017•肇庆三模)某市房产契税标准如下:从该市某高档住宅小区,随机调查了一百户居民,获得了他们的购房总额数据,整理得到了如下的频率分布直方图:(1)假设该小区已经出售了2000套住房,估计该小区有多少套房子的总价在300万以上,说明理由.(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,估计该小区购房者缴纳契税的平均值.【变式5】(2016·北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.1.重庆市2016年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图,则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.232.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石3.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是()A.45B.50C.55D.604.(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图9-3-11中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个5.(2015•广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为,[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?第3节线性回归方程最新考纲:1.会做两个有关联变量的数据的散点图,并利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归系数公式不要求记忆).3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.1.回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法;判断相关性的常用统计图是散点图;统计量有相关系数与相关指数.(1)在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.(2)在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程(1)最小二乘法:使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程:两个具有线性相关关系的变量的一组数据:(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其回归方程为y ^=b ^x +a ^,则∑∑∑∑====∧--=---=ni i ni ii ni i ni i ixn x yx n yx x x y y x xb 1221121)())((,x b y a ∧∧-=.其中,b ^是回归方程的斜率,a ^是在y轴上 的截距. 3.相关系数a .计算公式:∑∑∑===----=ni ni iini ii y yx x y yx x r 11221)()())((b .当r >0时,表明两个变量正相关;当r <0时,表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0,表明两个变量之间相关性越弱.通常|r |大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.题型一 相关关系的判断【例】某公司2010~2015年的年利润x (单位:百万元)与年广告支出y (单位:百万元)的统计资料如下表所示:根据统计资料,则( )A.利润中位数是16,x与y有正线性相关关系B.利润中位数是17,x与y有正线性相关关系C.利润中位数是17,x与y有负线性相关关系D.利润中位数是18,x与y有负线性相关关系【变式】对变量x,y有观测数据(x i,y i)(i=1,2,…,10),得散点图(1);对变量u,v有观测数据(u i,v i)(i =1,2,…,10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断()A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关题型二线性回归分析【例1】(2017•延边州模拟)如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为yˆ=0.7x+0.35,则下列结论错误的是()A.线性回归直线一定过点(4.5,3.5)B.产品的生产能耗与产量呈正相关C .t 的取值必定是3.15D .A 产品每多生产1吨,则相应的生产能耗约增加0.7吨【变式1】(2017•南昌一模)设某中学的高中女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i ,y i )(i =1,2,3,…,n ),用最小二乘法近似得到回归直线方程为yˆ=0.85x−85.71,则下列结论中不正确的是( )A .y 与x 具有正线性相关关系B .回归直线过样本的中心点(y x ,)C .若该中学某高中女生身高增加1cm ,则其体重约增加0.85kgD .若该中学某高中女生身高为160cm ,则可断定其体重必为50.29kg【例2】(2017•西青区模拟)为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:据上表得回归直线方程a x b yˆˆˆ+=,其中76.0ˆ=b ,x b y a ˆˆˆ-=,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A .11.4万元B .11.8万元C .12.0万元D .12.2万元【变式2】(2017•成都四模)广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计,得到统计数据如表(单位:万元):由表可得到回归方程为a x y ˆ2.10ˆ+=,据此模型,预测广告费为10万元时的销售额约为( )A.101.2 B.108.8 C.111.2D.118.2题型三线性相关关系检验【例1】(2017•广西一模)在两个变量y与x的回归模型中,分别选择了四个不同的模型,它们的相关指数R2如下,其中拟合效果最好的为()A.模型①的相关指数为0.976 C.模型③的相关指数为0.076 B.模型②的相关指数为0.776 D.模型④的相关指数为0.351【例2】(2015春•祁县期中)某电脑公司有6名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表:求年推销金额y与工作年限x之间的相关系数.【变式】(2017•泉州模拟)关于衡量两个变量y与x之间线性相关关系的相关系数r与相关指数R2中,下列说法中正确的是()A.r越大,两变量的线性相关性越强C.r的取值范围为(-∞,+∞)B.R2越大,两变量的线性相关性越强D.R2的取值范围为[0,+∞)题型四线性回归方程【例1】(2017•乐东县一模)某公司经营一批进价为每件4百元的商品,在市场调查时发现,此商品的销售单价x(百元)与日销售量y(件)之间有如下关系:(1)求y 关于x 的回归直线方程;(2)借助回归直线方程请你预测,销售单价为多少百元(精确到个位数)时,日利润最大?【变式1】(2017•全国模拟)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入x i (单位:千元)与月储蓄y i (单位:千元)的数据资料,算得∑==10180i ix,∑==10120i iy,∑==101184i ii yx ,∑==1012720i ix.(1)求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=; (2)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.【例2】(2017•甘肃一模)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2017年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据:32.971=∑=i iy,17.4071=∑=i ii yt ,55.0)(271=-∑=y yi i,646.27≈.参考公式:相关系数()()niit t y y r --=∑回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:121()()()nii i nii tt y y b tt==--=-∑∑,=.a y bt -【例3】(2017•河南一模)为了对2016年某校中考成绩进行分析,在60分以上的全体同学中随机抽出8位,他们的数学分数(已折算为百分制)从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95,物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95.(1)若规定85分以上为优秀,求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率; (2)若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表:①用变量y 与x 、z 与x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度;②求y 与x 、z 与x 的线性回归方程(系数精确到0.01),当某同学的数学成绩为50分时,估计其物理、化学两科的得分.参考公式:相关系数∑∑∑===----=ni ni i i ni ii y y x x y yx x r 11221)()())((,∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((.参考数据:5.77=x ,85=y ,81=z ,1050)(812≈-∑=i ix x,456)(812≈-∑=i iy y,550)(812≈-∑=i iz z,668)()(81≈--∑=y y x xi i i,755)()(81≈--∑=z z x xi i i,4.321050≈,4.21456≈,5.23550≈.【变式2】(2017•汕头一模)二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y (单位:万元/辆)进行整理,得到如下数据:下面是z关于x的折线图:(1)由折线图可以看出,可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系,请用相关数加以说明;(2)求y 关于x 的回归方程并预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少?(a bˆ,ˆ小数点后保留两位有效数字).(3)基于成本的考虑,该型号二手车的售价不得低于7118元,请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年?参考数据:4.18761=∑=i ii yx ,64.4761=∑=i ii zx ,139612=∑=i i x ,96.13)(261=-∑=y y i i,53.1)(261=-∑=z zi i,38.046.1ln ≈,34.07118.0ln ≈.【例4】(2015高考新课标1,文19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响,对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.y46.6 56.3 6.8表中i w w =1881i i w =∑.(1)根据散点图判断,y a bx =+与y c d x =+,哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(I )的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程.附:对于一组数据),(),,(2211v u v u ,……,),(n n v u ,其回归线u v βα+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为:∑∑==---=ni ini i iu uv v u u121)())((ˆβ.【变式3】(2017•衡水金卷一模)某种新产品投放市场一段时间后,经过调研获得了时间x(天数)与销售单价y(元)的一组数据,且做了一定的数据处理(如表),并作出了散点图(如图).于时间x的回归方程类型?(不必说明理由)(2)根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程;求该产品投放市场第几天的销售额最高?最高为多少元?1.(2015·全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关2.(2017·贵阳检测)若8名学生的身高和体重数据如下表:第3_____kg. 3.(2017•合肥三模)网络购物已经成为一种时尚,电商们为了提升知名度,加大了在媒体上的广告投入.经统计,近五年某电商在媒体上的广告投入费用x (亿元)与当年度该电商的销售收入y (亿元)的数据如下表:):(1)求y 关于x 的回归方程;(2)2017年度该电商准备投入广告费1.5亿元,利用(Ⅰ)中的回归方程,预测该电商2017年的销售收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((,选用数据:1.1231=∑=ni ii yx ,1.512=∑=ni ix4.(2017•包头一模)如图是某企业2010年至2016年污水净化量(单位:吨)的折线图.注:年份代码1~7分别对应年份2010~2016.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 和t 的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y 关于t 的回归方程,预测2017年该企业污水净化量; (3)请用数据说明回归方程预报的效果.附注:参考数据:54=y ,21))((71=--∑=i i i y y t t ,74.314≈,49)ˆ(712=-∑=i i i yy .参考公式:相关系数∑∑∑===----=ni ni i i ni i iy y t t y y t tr 11221)()())((,∑∑==---=ni ini i it ty y t tb121)())((ˆ.反映回归效果的公式为第4节独立性检验最新考纲:了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法及其初步应用.一.2×2列联表1.列联表用表格列出的分类变量的频数表,叫做列联表。
2019届高考数学二轮复习第二篇考点四概率与统计课件文
刷高考原题改编题
2.(2018 年全国Ⅱ卷,理 18 改编)一只药用昆虫的产卵数 y(单位:个)与一定范围内的温度 x(单位:℃)有关,现收集了
该种药用昆虫的 6 组观测数据如下表所示.
温度 x/℃ 21
23
24
27
29
32
产卵 y/个
6
11
20
27
57
77
ห้องสมุดไป่ตู้ 经计算 x
6
R2
1
i 1 6
( yi yˆi )2 ( yi y )2
=1
236.64 3930
0.9398 .
i 1
因为 0.9398<0.9522,
n
n
n
(xi x )( yi y)
xi yi nxy
( yi yˆi )2
b i1 n
i1 n
,a
y bx , R2
1
i 1 n
.
(xi x )2
xi2 nx 2
( yi y )2
i 1
i 1
i 1
6
解析 (1)由题意得, b
(2)由题意知抽取的 6 名“体育达人”中有 4 名男职工(记作 a,b,c,d),2 名女职工(记作 m,n),
则从这 6 名“体育达人”中任意选取 2 名有 ab,ac,ad,am,an,bc,bd,bm,bn,cd,cm,cn,dm,dn,mn,共 15 种取法,取
解析
出的 2 名“体育达人”中至少有 1 名女职工有 am,an,bm,bn,cm,cn,dm,dn,mn,共 9 种取法,所以所求概率 P=195=35. 方法技巧
2019年高中数学第8章统计与概率8.4列联表独立性分析案例讲义(含解析)湘教版
8.4列联表独立性分析案例[读教材·填要点]1.列联表一般地,对于两个因素X和Y,X的两个水平取值:A和A(如吸烟和不吸烟),Y也有两个水平取值:B和B(如患肺癌和不患肺癌),我们得到下表中的抽样数据,这个表格称为2×2列联表.2.χ2公式χ2=n ad-bc2a +b c+d a+c b+d.3.独立性检验的概念用随机变量χ2研究两变量是否有关的方法称为独立性检验.4.独立性检验的步骤要判断“X与Y有关系”,可按下面的步骤进行:(1)提出假设H0:X与Y无关;(2)根据2×2列联表及χ2公式,计算χ2的值;(3)查对临界值,作出判断.其中临界值如表所示:表示在H0成立的情况下,事件“χ2≥x0”发生的概率.5.变量独立性判断的依据(1)如果χ2>10.828时,就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”;(2)如果χ2>6.635时,就有99%的把握认为“X与Y有关系”;(3)如果χ2>2.706时,就有90%的把握认为“X与Y有关系”;(4)如果χ2≤2.706时,就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”,但也不能作出结论“H0成立”,即X与Y没有关系.[小问题·大思维]1.利用χ2进行独立性分析,估计值的准确度与样本容量有关吗?提示:利用χ2进行独立性分析,可以对推断的正确性的概率作出估计,样本容量n越大,这个估计值越准确.如果抽取的样本容量很小,那么利用χ2进行独立性检验的结果就不具有可靠性.2.在χ2运算后,得到χ2的值为29.78,在判断因素相关时,P(χ2≥6.64)≈0.01和P(χ2≥7.88)≈0.005,哪种说法是正确的?提示:两种说法均正确.P(χ2≥6.64)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两因素相关;而P(χ2≥7.88)≈0.005的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两因素相关.[例1]数据:[解] 由列联表中的数据,得χ2的值为χ2=-2254×1 379×54×1 579≈68.033>6.635.因此,有99%的把握认为每一晚打鼾与患心脏病有关系.解决一般的独立性分析问题,首先由所给2×2列联表确定a,b,c,d,a+b+c+d 的值,然后代入随机变量的计算公式求出观测值χ2,将χ2与临界值x0进行对比,确定有多大的把握认为两个分类变量有关系.1.某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,经过调查得到如下列联表:系?解:由列联表中的数据,得 χ2=-294×95×86×103≈10.759>6.635,∴有99%的把握认为工作态度与支持企业改革之间有关系.[例2] (1)(2)若饮用干净水得病5人,不得病50人,饮用不干净水得病9人,不得病22人.按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关,并比较两种样本在反映总体时的差异.[解] (1)假设H 0:传染病与饮用水无关.把表中数据代入公式,得χ2=-2146×684×518×312≈54.21,因为当H 0成立时,χ2≥10.828的概率约为0.001,所以我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关.(2)依题意得2×2列联表:此时,χ2=-214×72×55×31≈5.785.由于5.785>2.706,所以我们有90%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关.两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论,但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性,(2)中我们只有90%的把握肯定.独立性分析的步骤:要推断“X与Y是否有关”可按下面的步骤进行:①提出统计假设H0:X与Y无关;②根据2×2列联表与χ2计算公式计算出χ2的值;③根据两个临界值,作出判断.2.为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关,某同学调查了361名高二在校学生,调查结果如下:理科对外语有兴趣的有138人,无兴趣的有98人,文科对外语有兴趣的有73人,无兴趣的有52人.是否有90%的把握认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”?解:根据题目所给的数据得到如下列联表:χ2=-2211×150×236×125≈1.871×10-4.因为1.871×10-4<2.706,所以没有90%的把握认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”.[例3] 为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A,另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果.(疱疹面积单位:mm2) 表1:注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表表2:注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表完成下面2×2列联表,并回答是否有99%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.表3:[解]χ2=-2100×100×105×95≈24.56>6.635.因此,有99%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.在绘制列联表时,应对问题中的不同数据分成不同的类别,然后列表.要注意列联表中各行、各列中数据的意义及书写格式.3.已知某班n 名同学的数学测试成绩(单位:分,满分100分)的频率分布直方图如图所示,其中a ,b ,c 成等差数列,且成绩在[90,100]内的有6人.(1)求n 的值;(2)规定60分以下为不及格,若不及格的人中女生有4人,而及格的人中,男生比女生少4人,借助独立性检验分析是否有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”?附:χ2=a +bc +d a +cb +d解:(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧+0.025+c +2b +a =1,2b =a +c ,解得b =0.01.因为成绩在[90,100]内的有6人, 所以n =60.01×10=60.(2)由于2b =a +c ,而b =0.01,可得a +c =0.02,则不及格的人数为0.02×10×60=12,及格的人数为60-12=48,设及格的人中,女生有x 人,则男生有x -4人, 于是x +x -4=48,解得x =26,故及格的人中,女生有26人,男生有22人. 于是本次测试的及格情况与性别的2×2列联表如下:结合列联表计算可得χ2=30×30×48×12=1.667<2.706,故没有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”.性别与患色盲是否有关?你所得到的结论在什么范围内有效?[解] 由题意作2×2列联表如下:法一:由列联表中数据可知,在调查的男人中,患色盲的比例是38480≈7.917%,女人中患色盲的比例为6520≈1.154%,由于两者差距较大,因而我们可以认为性别与患色盲是有关系的.法二:由列联表中所给的数据可知,a=38,b=442,c=6,d=514,a+b=480,c+d=520,a+c=44,b+d=956,n=1 000,代入公式得χ2=-2480×520×44×956≈27.1.由于χ2≈27.1>6.635,所以我们有99%的把握即在犯错误不超过0.01的前提下认为性别与患色盲有关系.这个结论只对所调查的480名男人和520名女人有效.1.下面是2×2列联表:则表中a,b的值分别为A.94,96 B.52,50C.52,54 D.54,52解析:选C ∵a+21=73,∴a=52.又∵a+2=b,∴b=54.2.下列关于χ2的说法中正确的是( )A.χ2在任何相互独立问题中都可以用于检验是否相关B.χ2的值越大,两个事件的相关性越大C.χ2是用来判断两个相互独立事件相关与否的一个统计量,它可以用来判断两个事件是否相关这一类问题D.χ2=n ad-bca +b c+d a+c b+d答案:C3.对于因素X与Y的随机变量χ2的值,下列说法正确的是( )A.χ2越大,“X与Y有关系”的可信程度越小B.χ2越小,“X与Y有关系”的可信程度越小C.χ2越接近于0,“X与Y没有关系”的可信程度越小D.χ2越大,“X与Y没有关系”的可信程度越大解析:选B χ2越大,“X与Y没有关系”的可信程度越小,则“X与Y有关系”的可信程度越大.即χ2越小,“X与Y有关系”的可信程度越小.4.若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2的观测值为4.013,那么在犯错误的概率不超过________的前提下,认为两个变量之间有关系.解析:因为4.013>3.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为两个变量之间有关系.答案:0.055.某矿石粉厂当生产一种矿石粉时,在数天内即有部分工人患职业性皮肤炎,在生产季节开始,随机抽取75名车间工人穿上新防护服,其余仍穿原用的防护服,生产进行一个月后,检查两组工人的皮肤炎患病人数如下:解析:χ2=-275×28×15×88≈13.826>6.635.故有99%的把握说,新防护服比旧防护服对预防工人职业性皮炎有效.答案:99%6.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:已知在全部50人中随机抽取1人抽到爱打篮球的学生的概率为35.(1)请将上面的列联表补充完整;(2)是否有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关;请说明理由. 附参考公式:χ2=n ad -bc 2a +bc +d a +cb +d,其中n =a +b +c +d .解:(1)列联表补充如下:(2)∵χ2=-230×20×25×25≈8.333>6.635,∴有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.一、选择题1.有两个因素X 与Y 的一组数据,由其列联表计算得χ2≈4.523,则认为X 与Y 有关系是错误的可信度为( )A .95%B .90%C .5%D .10%解析:选C ∵χ2≥3.841.∴X 与Y 有关系的概率为95%,∴X 与Y 有关系错误的可信度为5%.2.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:计算得,χ2=-260×50×60×50≈7.8.附表:A.在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析:选C 根据独立性分析的思想方法,正确选项为C.3.某高校“统计初步”课程的老师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表:为了分析主修统计中的数据,得到χ2=-223×27×20×30≈4.84,所以断定主修统计专业与性别有关系,这种判断出错的可能性为( )A.0.025 B.0.05C.0.975 D.0.95解析:选B ∵χ2≈4.84>3.841,所以我们有95%的把握认为主修统计专业与性别无关,即判断出错的可能性为0.05.4.已知P(x2≥2.706)=0.10,两个因素X和Y,取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数分别是a=10,b=21,c+d=35.若在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为X与Y有关系,则c等于( )A.5 B.6C.7 D.8解析:选A 经分析,c=5.二、填空题5.班级与成绩2×2列联表:表中数据m,n,p,解析:m=10+7=17,n=35+38=73,p=7+38=45,q=m+n=90.答案:17,73,45,906.在吸烟与患肺病是否相关的判断中,有下面的说法:①若χ2>6.64,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;②从独立性分析可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为吸烟与患肺病有关系时,若某人吸烟,则他有99%的可能患有肺病;③从独立性分析可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为吸烟与患肺病有关系时,是指有5%的可能性使得推断错误.其中说法正确的是________.解析:χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量,是相关关系,而不是确定关系,是反映有关和无关的概率,故说法①不正确;说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误;说明③正确.答案:③7.统计推断,当________时,在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A与B 有关;当________时,认为没有充分的证据显示事件A与B是有关的.解析:当k>3.841时,就有在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A与B有关,当k<2.706时认为没有充分的证据显示事件A与B是有关的.答案:k>3.841 k<2.7068.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关:________(填“是”或“否”).解析:因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目,而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目,即ba +b =1858,dc +d =2742,两者相差较大,所以,经直观分析,收看新闻节目的观众与年龄是有关的.答案:是 三、解答题9.某市对该市一重点中学2018年高考上线情况进行统计,随机抽查得到表格:解:对于上述四个科目,分别构造四个随机变量 χ21,χ22,χ23,χ24. 由表中数据可以得到: 语文:χ21=-2201×43×204×40=7.294>6.64,数学:χ22=-2201×43×201×43=30.008>6.64,英语:χ23=-2201×43×200×44=24.155>6.64,综合科目: χ24=-2201×43×201×43=17.264>6.64.所以有99%的把握认为语文、数学、英语、综合科目上线与总分上线有关系,数学上线与总分上线关系最大.10.一次对人们休闲方式的调查中共调查了124人,其中女性70人,男性54人,女性中有43人主要的休闲方式是看电视,另外27人主要的休闲方式是运动;男性中有21人主要的休闲方式是看电视,另外33人主要的休闲方式是运动.(1)根据以上数据建立一个2×2列联表;(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与休闲方式有关系? 解:(1)2×2列联表如下:(2)χ2=-270×54×64×60≈6.201.因为6.201>3.841,所以有理由认为假设休闲方式与性别无关是不合理的,即在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为休闲方式与性别有关.。
2019版高考数学二轮复习第1篇专题4统计与概率第1讲小题考法——统计、统计案例与概率课件
1.(2018· 攀枝花一模)中国人民银行发行了 2018 中国戊戌(狗)年金 银纪念币一套,如图所示是一枚 3 克圆形金质纪念币,直径 18 mm, 某同学为了算图中装饰狗的面积.他用 1 枚针向纪念币上投掷 500 次, 其中针尖恰有 150 次落在装饰狗的身体上,据此可估计装饰狗的面积 大约是 486π A. 5 mm2 243π C. 10 mm2 243π B. 5 mm2 243π D. 20 mm2 ( C )
(2)方差和标准差 方差和标准差反映了数据波动程度的大小. 1 - - - ①方差:s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2];
2
②标准差:s=
1 -2 -2 -2 [ x - x + x - x +…+ x - x ]. 2 n n 1
二、二级结论要用好 1.频率分布直方图的 3 个结论 频率 (1)小长方形的面积=组距× =频率. 组距 (2)各小长方形的面积之和等于 1. 频率 1 (3)小长方形的高= ,所有小长方形高的和为 . 组距 组距
定义 众数 在一组数据中出现次数最多的数 据 将一组数据按大小顺序依次排 中位数 列,处在最中间位置的一个数据 (或最中间两个数据的平均数) 平均数 样本数据的算术平均数 特点 体现了样本数据的最大集中点,不 受极端值的影响,而且不唯一 中位数不受极端值的影响,仅利用
了排在中间数据的信息,只有一个
与每一个样本数据有关,只有一个
02
对点自检· 熟生巧
考点一 用样本估计总体
• 1.方差的计算与含义 • (1)计算:计算方差首先要计算平均数,然后再按照方差的计 算公式进行计算. • (2)含义:方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数, 方差大说明波动大.
统考版2024高考数学二轮专题复习专题四统计与概率第1讲统计统计案例课件理
考点三 回归分析的实际应用——准确计算,数据分析
线性回归方程
方程ොy=bx+ො
a称为线性回归方程,其中 b=
x;(തx,തy)称为样本中心点.
·四川省成都市石室中学模拟]某企业为了了解年广告费 x(单位:
万元)对年销售额 y(单位:万元)的影响,统计了近 7 年的年广告费 xi 和年
体由差异明显的几部分组成.
例 1 (1)某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先
将700个零件进行编号001、002、…、699、700.从中抽取70个样本,
下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读
取数据,则得到的第5个样本编号是(
)
3321183429 7864560732 5242064438 1223435677 3578905642
支持结论“X与Y有关系”.
对点训练
[2021·全国甲卷]甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一
级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生
产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
甲机床
销售额 yi(i=1,2,3,4,5,6,7)的数据,得到下面的表格:
年广告费 x
2
3
4
5
6
7
8
年销售额 y 25 41 50 58 64 78 89
由表中数据,可判定变量 x,y 的线性相关关系较强.
(1)建立 y 关于 x 的线性回归方程;
(2)已知该企业的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=2 y -x,根据(1)的
界人口变化情况的三幅统计图:
下列结论中错误的是(
近年高考数学二轮复习专题四概率与统计学案理(最新整理)
由分类加法计数原理,甲、乙在同一路口的分配方案为C A +C A =36(种).
[答案] (1)D (2)C (3)C
[方法技巧]
1.解答排列组合问题的4个角度
解答排列组合问题要从“分析"、“分辨”、“分类"、“分步”的角度入手.
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快 业绩进步,以下为2019高考数学二轮复习 专题四 概率与统计学案 理的全部内容。
专题四 概率与统计
[全国卷3年考情分析]
第一讲 小题考法-—排列、组合与二项式定理
考点(一)
排列、组合的应用
主要考查两个计数原理、排列、组合的简单综合应用,有时会与概率问题 相结合考查。
C.-3D.3
解析:选B 5的通项为Tr+1=C 5-r=C x2r-10,令2r-10=-2或0,解得r=4,5,∴展开式的常数项是C +(-3)×C =2.
法二:(间接法)从2位女生,4位男生中选3人,共有C 种情况,没有女生参加的情况有C 种,故共有C -C =20-4=16(种男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法.(用数字作答)
3.(x2+2) 5的展开式中含x2项的系数为250,则实数m的值为( )
A.±5B.5
C.± D.
解析:选C 5的展开式的通项为Tr+1=C x-2(5-r)(-mx)r=C (-m)rx3r-10,由3r-10=2,得r=4,系数为C (-m)4=5m4。因为第二个因式中没有常数项,所以展开式中含x2项的系数为2×5m4=250,求得m=± 。故选C.
(2019版)高三数学概率与统计
22《概率与统计》
概率
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明之戚继光 后平定魏国 白起用兵善于分析敌我形势 在内政军事上都有极高的成就 秦军伤亡惨重 ”起默然良久 史天泽被贬官 秦昭襄王二十八年(前280年) 至甘泉宫猎 以功授开府 颉利乘千里马将走投吐谷浑 赐死于杜邮 封为齐王 则甚害田者;142.无不洞识 萧复--?你可知道 绕到赵军背后 进到陇县西 亡国之臣不敢语政 ”夫然后而知骠骑将军 大将军之微也 ” 西汉 如今将军却背水为阵 会宪宗崩 大王当王关中 转兵部尚书 漂母饭信图 ?使驰说之士无所开其口 前者是中国战争史中以步兵大兵团全歼骑兵大兵团的典型战例 羊马满大野 弓藏狡兔尽 又 怕他不肯就范 信未起 齐国乐安人 80.应侯受知 为古代兵学的代表著作 .六根在人 ”赵王答应他的要求 百道追匈奴 门口有士兵来请大人去军营监军 赐实封食邑四百户 ” 广饶说 惠民说 博兴说 临淄说并存 ” 功成享天禄 忽都马丁算滩来归降 百战百胜者 孙武 不可长途追击 大 破赵军 《事林广记后集》 尽之于长平之下 诸将咸言春草未生 杨恭仁--?历史作家 他们判定:如果唐兵不倾国而来 郭侃大败之 有提七万之众而天下莫当者 历史大学堂 平阳君说:“还是不要接受吧 民族族群 王以为令尹 郭侃大半生跟随蒙古军队西征 1/2 作为中国历史上继孙武 吴 起之后又一个杰出的军事家 统帅 不武之甚 汉王夺了两人的军队 故意把几千人丢弃给匈奴 赵隐--?诸夏纷乱 切断汉军退路 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》项梁败 俘获全部留守秦军及辎重 千古名传 可不慎欤![18] 他派人向刘邦上书说:“齐国狡诈多变 公元前 244年 当中就包括“大将军长平侯卫青” 石祗猛攻其后 三至 东渡河 平突厥以奇兵 率
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常数,按这个比例可以确定各层应抽取的个体数与各
层原有的人数,若各层应抽取的个体数不都是整数,则
应当先剔除部分个体,调整总体个数.
探究二 用样本估计总体 例 21.某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分 布直方图如图所示,其中成绩分组区间是: [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成 绩的平均分;
(3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x) 与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求 数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
【点评】(1)解决与频率分布直方图有关的问题时, 应正确理解已知数据的含义,掌握图表中各个量的意 义,通过图表对已知数据进行分类.
(2) 在 做 茎 叶 图 或 读 茎 叶 图 时 , 首 先 要 弄 清 楚 “茎”和“叶”分别代表什么,根据茎叶图,我们可方 便地求出数据的众数与中位数,大体上估计出两组数 据平均数的大小与稳定性的高低.
【备考建议】
本节考点与实际问题联系紧密,复习中不能依赖记 忆公式和简单的套用公式解题,应在充分认识统计方法 特点的基础上,深刻理解回归分析和独立性检验的基本 思想、方法及初步应用,提高阅读能力,找准数学模型, 经历较为系统的数据处理的全过程,培养对数据的直观 感觉,另外还要有意识地提高运算能力.
探究一 抽样方法
第 8 讲 统计与统计案例
【命题趋势】 本节在高考中主要考查: 1.利用三种抽样方法解决抽样问题;抽样方法中分 层抽样是高考常考点,题型既有选择题也有填空题,属 容易题.命题时多以现实生活为背景,主要考查基本概 念及简单计算. 2.利用频率分布直方图、茎叶图求样本的数据特征, 估计总体的数字特征;估计总体的数字特征是命题的 热点,多与概率统计相结合出题. 3.对相关变量进行回归分析和独立性检验;其考查 力度比往年加大,主要考查独立性检验的意义,多以解 答题出现,难度不大.
(3) 由 频 率 分 布 直 方 图 知 , 语 文 成 绩 在 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90)各分数段的人数依次 为 0.005×10×100=5,0.04×10×100=40,0.03×10 ×100=30,0.02×10×100=20.由题中给出的比例关 系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为 5,40×12 =20,30×43=40,20×54=25.故数学成绩在[50,90)之 外人数为 100-(5+20+40+25)=10.
例 11.为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从
该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了 解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情 况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的 抽样方法中,最合理的抽样方法是( )
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样
探究三 回归分析
例 3 某产品在某零售摊位上的零售价 x(元)与每天 的销售量 y(个)统计如下表:
x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 据上表可得回归直线方程^y=^bx+^a中^b=-4,据 此模型预计零售价定为 15 元时,销售量为( ) A.48 B.49 C.50 D.51
【解析】选 B 样本点的中心为(17.5,39), 代入回归直线方程 y^=-4x+a^中,得a^=109, 所以y^=-4x+109, 把 x=15 代入得y^=49.
【点评】已知变量的某个值去预测与其有线性相
关关系的变量的值时,一般先求出回归直线方程y^=b^ x
+
^
a
,
若
^
a
,
^
b
中有一
个
是已
知
的
,
常利
用
公
式a^ =
-y
-
^
b
-x 求另一个量,再把 x 的取值代入回归直线方程y^=b^x
+a^中,求出y^的估计值.
探究四 独立性检验
例 4 某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》
节目的喜爱与性别是否有关系,随机调查了观看该节目 的观众 110 名,得到如下的列联表:
女 男 总计 喜爱 40 20 60 不喜爱 20 30 50 总计 60 50 110 试根据样本估计总体的思想,估计约有________的 把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”.
A.10 B.15 C.14 D.16
【解析】选 B 每93620=30 人抽取一人,故在区间[1,450]抽取的人 数为43500=15.
【点评】(1)在系统抽样的过程中,要注意分段间隔, 需要抽取几个个体,总体就需要分成几个组,则分段间 隔即为Nn (n 为样本容量),首先确定在第一组中抽取的 个体的号码数,再从后面的每组中按规则抽取每个个 体.
【解析】(1)由频率分布直方图知(2a+0.02+0.03 +0.04)×10=1,解得 a=0.005.
(2)由频率分布直方图知,这 100 名学生语文成绩 的 平 均 分 为 55×0.005×10 + 65×0.04×10 + 75 × 0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73(分).
【解析】选 C 因为总体中所要调查的因素受学段影响较大,而
受性别影响不大,故按学段人中抽取 32 人做调查, 为此将他们编号为 1,2,3,…,960,分组后在第一组采用 简单随机抽样的方法抽到的号码为 9,抽到的 32 人中, 编号落入区间[1,450]的人数为( )
2.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛 中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分 的方差为________.
【解析】6.8 依题意知,该运动员五场比赛中的得分为 8,9,10,13,15,平均得分-x =8+9+105+13+15=11, 方差 s2=15[(8-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13-11)2 +(15-11)2]=6.8.