四川省绵阳市2017-2018学年高三第三次诊断性考试理数试题 Word版含解析

2017-2018学年一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i +=，复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A考点：复数的代数表示及其几何意义.2.已知{{},2,1xU x y M y y x ====≥，则U C M =（ ）A ． [)1,2B ．()0,+∞C ．[)2,+∞D ．(]0,1 【答案】A 【解析】试题分析：因为{}{}1log 2≥===x x x y x U ，{}{}21,2≥=≥==y y x y y M x，所以[)2,1=M C U ，故选项为A.考点：集合的运算.3.执行如图所示程序框图，则输出的n 为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8 【答案】D考点：程序框图.4.“0x ∃>，使a x b +<” 是“a b <” 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：“0>∃x ，使b x a <+”⇔“b a <”，∴“0>∃x ，使b x a <+”是“b a <”成立的充要条件．故选：C ． 考点：充要条件的判定.5.已知实数[][]1,1,0,2x y ∈-∈，则点(),P x y 落在区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，内的概率为（ ）A ．34 B ．14C ．18D ．38【答案】D 【解析】试题分析：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为()231121221=+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯,则所求的概率为83，故选D.考点：（1）几何概型；（2）不等式组所表示的区域.6.甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1 名至第5名（没有重名次）. 已知甲、乙均未得到第1 名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（ ） A ．27种 B ．48种 C ．54种 D ．72种 【答案】C考点：排列组合.【思路点晴】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．7.若函数()f x 同时满足以下三个性质；①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()4f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；③()f x 在3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数， 则()f x 的解析式可能是（ ） A ．()cos 8f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2cos2f x x x =-C ．()sin cos f x x x =D ．()sin 2cos2f x x x =+ 【答案】D考点：正弦与余弦函数的性质.8.在长方体ABCD -1111A B C D 中，1,AB BC P ==、Q 分别是棱CD 、1CC 上的动点，如图, 当1BQ QD +的长度取得最小值时，二面角11B PQ D --的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,10⎡⎢⎣⎦ C ．1,510⎡⎢⎣⎦ D ．10⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B20≤≤t ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,2,01B ，()1,2,21--=t B ，则平面1PDQ 的法向量为()0,0,1=m ，设平面PQ B 1的法向量为()z y x n ,,=，当2=t 时，二面角11D PQ B --的为直二面角，此时二面角11D PQ B --的余弦值为0，当20≤≤t 时，由110n B Q n B P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则()⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=+-0220212z y t x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-==x t y x z 2222，令2=x ，则4,22=-=z t y ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4,22,2t ，设面角11D PQ B --的余弦值θcos，则()()2224182241622cos tt-+=-++==θ，因为20≤≤t ，所以()224182cos t-+=θ为减函数，则当0=t 时，函数取得最大值10102182cos =+=θ，故二面角11D PQ B --的余弦值的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10100，,故选B.考点：二面角的平面角及求法.【思路点晴】本题主要考查二面角的求解，综合性较强，难度较大.根据1QD BQ +的长度取得最小值时，利用求出1QD BQ +的几何意义是MK MN +的距离,其中()()()2,1,2,0,0,K N x M -，得到Q 是1CC 的中点，建立坐标系求出平面的法向量,向量法求出二面角的取值范围是解决本题的关键,再结合函数的单调性进行求解即可．9.设M 、N 是拋物线24y x =上分别位于x 轴两侧的两个动点，且0OM ON =，过点()4,0A 作MN 的垂线与拋物线交于P 、Q 两点，则四边形MPNQ 的面积的最小值为（ ） A ．80 B ．100 C ．120 D ．160 【答案】A则3425482++=u u S 是关于u 的增函数，则当2=u 时，有最小值803450168=++=S ,故选项为A.考点：抛物线的简单性质.10.已知函数()xe f x x=，关于x 的方程()()()2210f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A.211,21e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．21,221e e ⎛⎫-⎪-⎝⎭ D ．21,21e e ⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭【答案】D考点：根的存在性及根的个数判断.【思路点晴】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．将函数()x f 表示为分段函数形式，判断函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）11.已知向量(),1a t =与()4,b t =共线且方向相同，则t = ． 【答案】2.考点：平面向量的坐标表示.12.若n⎛⎝展开式各项系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【答案】540- 【解析】试题分析：若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为642=n，解得6=n ，则展开式的常数项为()540133336-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅x x C ，故答案为540-.考点：二次项系数的性质.13.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.请根据以上数据分析，这个经营部定价在 元/桶才能获得最大利润.【答案】5.11.考点：二次函数的应用.14.在平面直角坐标系xOy 中，点()()0,1,0,4A B 若直线20x y m -+=上存在点P ，使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】5252≤≤-m 【解析】试题分析：设⎪⎭⎫⎝⎛-y m y P ,2，∵PB PA 21=,∴224PB PA =,∴()()22214PA -+-=y m y ， ()()22244PB-+-=y m y ，化简可得()22416y m y -=-，故242y y m -±=，∴042≥-y ，解得[]2,2-∈y ，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin 2ππθθy ，则()ϕθθθ±=±=sin 52cos 4sin 2m ，其中()2t an =ϕ，故实数m 的取值范围是[]52,52-.考点：两点间距离公式的应用.【方法点晴】本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由于点P 在直线上，故可设⎪⎭⎫⎝⎛-y m y P ,2，因为点A 的横坐标为0，故设y ，由PB PA 21=，可得224PB PA =，利用两点之间的距离公式化为：()22416y m y -=-，可得：242y y m -±=，[]2,2-∈y ，．通过三角函数代换即可得出．15.已知函数(),0,0a x a x f x x a a x ⎧-≥⎪=⎨+-<⎪⎩，其中常数0a >，给出下列结论：①()f x 是R 上的奇函数；②当4a ≥时，()()2f x a f x -≥对任意x R ∈恒成立； ③()f x 的图象关于x a =和x a =-对称；④若对()()12,2,,1x x ∀∈-∞-∃∈-∞-，使得()()121f x f x =，则1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 其中正确的结论是 ．（请填上你认为所有正确结论的序号） 【答案】①②考点：(1)分段函数的图象；（2）分段函数的性质.【方法点晴】本题考查分段函数的图象，单调性，奇偶性等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，属于难题.作出()x f 的图象，由图象对各选项进行判断即可．当ax ≥时，()x a x f -=2，当a x a <<-时，()x x f =，当a x -≤时，()x a x f --=2，由图易知①正确，③错误；()2a x f y -=的图象是由()x f y =向右平移2a 个单位，故可得②正确；对于④主要需注意求()()21,x f x f 范围，考虑在0附近的值以及临界值的取舍.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试，现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20与70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：(]20,30，第二组：(]30,40，……，第五组：(]60,70），并绘制成如右图所示的频率分布直方图．（1）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（2）从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）47.5；（2）分布列见解析，1=ζE .（2）据题意，第一组有250100.004=⨯⨯人，第五组有450100.008=⨯⨯人，于是210，，=ζ， ()5103634===∴C C P ζ,()531362412===C C C P ζ,()512361422===C C C P ζ， ζ∴的分布列为…………………………………………………10分1512531510=⨯+⨯+⨯=∴ζE ．…………………………………………………………………………12分考点：（1）频率分布直方图；（2）离散型随机变量及其分布列.17.（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c 且满足cos csin b a C A =+．（1）求A 的大小； （2）若21cos ,5,57B BC BD BA ===，求CD 的长． 【答案】（1）4π=A ；（2）52=CD .【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理把化为角，即原式中的条件转化为A C C AB sin sin cos sin sin +=，再根据()C A B +=sin sin ，可得A A sin cos =，即求出A的值；（2）首先利用正弦定理解出ABC ∆，可得24=AC ，再利用余弦定理求出7=AB ，可得1=BD ，在BCD ∆利用余弦定理求出CD 即可.考点：（1）正弦定理；（2）两角和与差公式；（3）余弦定理.18.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项n S 满足()212n n a S n N *+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭．（1）求数列{}n a 通项公式； （2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若1n n T a λ+≤对n N *∀∈恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（1）12-=n a n ；（2）91.（2）()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=⋅+121121*********n n n n a a n n1212112112112151313112111113221+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=+n n n n n a a a a a a T n n n .…………………………………8分 由题意知()1212+≤+n n nλ对*∈∀N n 恒成立， 即()212+≥n n λ对*∈∀N n 恒成立，考点：（1）数列的通项公式；（2）数列求和.【方法点晴】本题考察数列的通项公式和裂项相消法求数列的前n 项和，同时考查不等式恒成立的问题，主要利用参数分离和数列的单调性求最值，属于中档题.在（1）中利用1--=n n n S S a 时需注意分为1=n 和2≥n 两种情况，在（2）问中根据通项公式的特征，利用裂项相消求其前n 项和n T ，代入()1212+≤+n n n λ，运用参数分离得()212+≥n nλ，结合数列单调性可得解.19.（本小题满分12分）如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形，在图①中，设平面BEF 与平面ABCD 相关交于直线l ．（1）求证：l ⊥面CDE ；（2）在图①中，线段DE 上是石存在点M ，使得直线MC 与平面BEF 所成角的正弦值等在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；（2）存在，M 的位置在线段DE 的32处. 【解析】试题分析：（1）由图易得//AD 面BEF ，利用线面平行性质定理，得l AD //，利用线面垂直判定定理易得⊥AD 面CDE ，故可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出面BEF 的空间法向量，由此利用向量法可求得点M 的位置.设面BEF 的一个法向量()z y x ,,=，则由0=⋅,0=⋅,可得⎩⎨⎧=+-=00z y x ，令1=y ，则1=z ，()1,1,0=∴……………………………………………………………9分设()m M ,0,0，则()m -=,2,0，55422cos 2=+⋅->=⋅<∴m m ， 解得32=m 或6=m （舍）， 即存在满足点M ，此时M 的位置在线段DE 的32处（靠近E 点）. ………………………………12分考点：（1）线面垂直的判定；（2）直线与平面所成的角.20.（本小题满分13分）已知椭圆()2222:1x y E a b c a b+=>>，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为2． （1）求椭圆E 的方程；（2）直线1y kx =+与椭圆E 交于,A B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴正半轴交于点C ．是否存在实数k ，使得ABC ∆的内切圆的圆心在y 轴上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12422=+y x ；（2）21±=k 或0=k .（2）依题意可知AC BC ⊥，且45=∠=∠ACO BCO ，于是直线BC 的斜率为1=BC k ，直线AC 的斜率为1-=AC k ，…………………………………6分 则1101-=-=x y y k AC ,111-=-=x y y k AC ， ()011011y x k y y x +--=-=∴，()020221y x k y y x -+=-=，相加得()1221x x k x x -=+ (8)考点：椭圆的简单性质.【方法点晴】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，在第一问中利用离心率以及过焦点且与x 轴垂直的弦长求出椭圆的方程，也是在高考中常见的表达形式；在第二问中利用设而不求的思想设出C B A ,,三点的坐标，先利用内切圆的圆心在y 轴上，即等价于直角ABC 的角平分线y 轴上，得45=∠=∠ACO BCO ，转化为斜率，联立直线的方程与椭圆的方程结合维达定理，代入求解.21.（本小题满分14分）设()()()()ln ,1g x x f x g x a g x λλλ==+--⎡⎤⎣⎦，其中,a λ是正常数，且01λ<<． （1）求函数()f x 的最值；（2）对任意的正数m ，是否存在正数0x ，使不等式()0011g x m x +-<成立？并说明理由；（3）设120,0,λλ>>且121λλ+=，证明：对任意正数12,a a 都有121122a a a a λλλλ≤+． 【答案】（1）()x f 有最小值()()a a f ln 1λ-=，没有最大值；（2）存在，理由见解析；（3）证明见解析.（2）对0,00>∃>∀x m ，使得()m xx g <-+110成立. 其理由如下：…………………………………5分 令()()x x x h -+=1ln ，则()1+-='x x x h 显然当0≥x 时，()0≤'x h ，所以()x h 在[)∞+，0上单调递减， ()()00=≤∴h x h ，即()01ln ≤-+x x ，于是可以得当0>x 时，()x x <+1ln ，则()011ln <-+xx ， 故()m xx g <-+11等价于()()011ln >-++x m x .…………………………………………7分 设()()()0,0,11ln >>-++=x m x m x x ϕ 则()()11111++-=-++='x m x m m x x ϕ 当1≥m 时，()0>'x ϕ，()x ϕ在()∞+，0上单调递增， ∴对00>∀x 均有()()00=>ϕϕx 恒成立，考点：（1）利用导数研究函数的最值；（2）函数与导数的综合应用.。