空间两条直线的位置关系
必修2-2.1.2空间两条直线之间的位置关系
β
a
b
α
α
a
思考2：分别在不同平面内的直线是异面直线吗？
2018/10/27
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思考1:空间中的直线与直线之间有几种位置关系？它们各有什么特点？ 相交直线: 同一平面内，1个公共点； 共面直线 平行直线: 同一平面内，0个公共点；
异面直线: 不同在任何一个平面内，0个公共点。
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2．异面直线 (1)定义：把不同在__________ 任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)画法：(通常用平面衬托)
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平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是__________． 答案：相交或异面
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知识探究（三）：等角定理
思考5:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角的大小有什么关系？
定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. （两角相等：方向相同或相反）
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思考6:如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与 ∠B′A′C′ 相等吗？
A´ C A B C´ B´
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知识探究（四）：异面直线所成的角
b
bˊ
( 0,
o
2
]
aˊ
a
相对倾斜度改变没有？ 没改变
2.5.1两直线的相对位置
点、直线、平面两直线的相对位置目的和要求掌握由投影图判别两直线的相对位置关系。
两直线的相对位置两直线在空间的相对位置有三种：1. 两直线平行2. 两直线相交3. 两直线交叉 (异面直线)4. 两直线垂直（相交垂直、交叉垂直）两直线的相对位置1. 两直线平行空间两直线平行,则两直线各个同面投影也一定相互平行。
反之,若两直线的同面投影都两两平行,那么,两直线在空间也一定是相互平行的。
Xb 'aa 'd 'bbcc 'Xb 'a 'abdc 'd 'cA B C D两直线的相对位置1. 两直线平行若两直线同为某投影面的平行线时,用两面投影判断时，则须有平行面上的投影才能作出判断，否则须用三面投影才能判断。
当两直线是一般位置线时,只要二面体系中两对同面投影平行即可。
两直线的相对位置2. 两直线相交空间两直线相交,它们的同面投影也一定相交,且交点的投影符合点的投影规律。
b'X a' ab k'c'd'dckXBDACKbb'aa'c'cdd'k'ko两直线的相对位置当两直线是一般位置线时，用两面投影直接判断。
2. 两直线相交若有一根直线为某投影面的平行线时，已知投影必须包括平行投影面的投影才行，否则用三面投影才能判别。
两直线的相对位置3. 两直线交叉空间既不平行又不相交的两直线,称为交叉直线。
b 'Xa 'abc 'd 'dc11'(2')2XOBDA C b b 'aa 'c 'cdd '211'(2')21两直线的相对位置3. 两直线交叉可能有两组同面投影平行,但第三面投影绝不会平行；也可能有三组同面投影都相交,但三个交点绝不会符合点的投影规律。
3. 两直线交叉交叉两直线同面投影的“交点”,是两直线上对该投影面的重影点。
同一空间内两条直线的位置关系
同一空间内两条直线的位置关系
在同一空间内，两条直线的位置关系主要有三种：
1.平行：如果两条直线在同一平面内不相交，那么这两条直线就是平行的。
平行线在三维空间中不会相交，无论它们延伸到多远。
2.相交：如果两条直线在同一平面内有且仅有一个交点，那么这两条直线就
是相交的。
这意味着它们在某一点处相交，但在那一点之外，它们将继续沿各自的方向延伸。
3.异面：如果两条直线不在同一个平面内，那么它们就被称为异面直线。
异
面直线既不相交也不平行，它们处于不同的平面内，永远不会相交。
总结来说，两条直线的位置关系在三维空间中可以是平行的、相交的或异面的。
这些关系取决于它们是否在同一平面内以及是否有交点。
空间中两直线的位置关系
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
B. 2个
D. 一个也不正确
5、空间两个角α、β, α与β的两边对应平行, 且α＝600, 则β等（ ） D A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120° 6、若空间四边形的对角线相等,则以它的四 条边的中点为顶点的四边形是（ B ） A.空间四边形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
空间中两条直线的位置关系
高一数学 王培花
复习引入 平面内两条直线的位置关系
相交直线
a
平行直线
b
平行直线 （无公共点）
o
a b
相交直线 （有一个公共点）
四通八 达、错 落有致 的立交 桥
一、异面直线定义
讲授新知
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
A E B F G C H D
1 2
巩固练习
1. (1)一条直线与两条异面直线中的一条相交， D ） 那么它与另一条之间的位置关系是（
Ａ.平行 Ｃ.异面 Ｂ.相交 Ｄ.可能平行、可能相交、可能异面
D ） (2)两条异面直线指的是（ Ａ.没有公共点的两条直线
Ｂ.分别位于两个不同平面的两条直线 Ｃ.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
BF
与GH
D1 A1
D
C1 （2）如图，已知四棱柱ABCDB1
C B
A1B1C1D1，底面ABCD是平行四 边形，则与棱AB所在直线异面 的棱共有4 条?
A
分别是 ：A1D1、DD1、 B1C1、CC1
五、平行直线
初中所学平行公里：过直线外一点有且只有 一条直线和已知直线平行
空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】空间两条直线的位置关系知识点一空间两条直线的位置关系1．异面直线⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。
⑵特点：既不相交，也不平行。
⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。
②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。
③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线．2．空间两条直线的位置关系⑴相交——在同一平面内，有且只有一个公共点；⑵平行——在同一平面内，没有公共点；⑶异面——不同在任何个平面内，没有公共点．例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)答案：③④例2、异面直线是指____．①空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线；③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线．变式1、一个正方体中共有对异面直线．知识点二平行直线了，千万不能画成(2)的图形。
画平面衬托时，通常画成下图中的情形。
2、异面直线的判定⑴异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．⑵判定两条直线为异面直线的常用方法有：①定义法：不同在任一平面内的两条直线．②定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面直线．③推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线．④反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即命题的结论成立，3、异面直线所成的角a 与b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a′∥a ，b ′θθ将这个角放入某个三角形中计算这个角的大小，若该三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小.(3)我们规定：两条平行直线所成的角为0°角，两条相交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角（或直角），因此在空间中的两条直线所成的角的范围为(0°，90°]；特别地，若两异面直线所成角为90°，则称两异面直线互相垂直；(4)求异面直线所成角的一般步骤是：①构造 恰当地选择一个点，用平移法构造异面直线所成的角． ②证明 证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角，③计算 通过解三角形（常用余弦定理）等知识，求①中所构造的角的大小，④结论 假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°<α<180°，则180°－α即为所求。
空间两条直线之间的位置关系
3. 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,
AB = 2 3 , AD = 2 3 , AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
(1)∵GF∥BC H E 2 A
2 3 D 2 3
G F C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
a与b是异面直线
a与b是相交直线
a与b是平行直线
4.空间直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按是否在 同一平面内分 平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点: 相交直线 按公共点个数分 无公共点 平行直线 异面直线
(1)在如图所示的正方体中，指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线？
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE ∴∠FBG（或其补角）为所求, Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
o
6.小结：
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 辅助平面衬托法 平移，转化为相交直线所成的角
温故知新
判断下列命题对错： 1.如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这 条直线上的所有点都在这个平面内。（ ） 2.将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课 桌所在平面只有一个公共点。 （） 3.四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么 这四个点必在同一个平面内。 （ ） 4.一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ） 5.如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三 条直线可以确定一个平面。 （ ）
高一年级数学知识重点：空间两直线的位置关系
2019年高一年级数学学问重点：空间两直线的位置关系学习是一个边学新学问边巩固的过程，对学学问肯定要多加安排，这样才能进步。
因此，为大家整理了2019年高一年级数学学问重点，供大家参考。
空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面重视复习和总结：1、刚好做好复习. 听完课的当天，必需做好当天的复习。
复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是实行回忆式的复习：先把书、笔记合起来，回忆上课时老师讲的内容，分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)，尽量想得完整些。
然后打开笔记与书本，比照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就能使当天上课内容巩固下来，同时也检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。
2、做好单元复习。
学习一个单元后应进行阶段复习，复习方法同刚好复习一样，实行回忆式复习，而后与书、笔记相比照，使其内容完善，而后应做好单元小节。
3、做好单元小结。
单元小结内容应包括以下部分：(1)本单元(章)的学问网络;(2)本章的基本思想与方法(应以典型例题形式将其表达出来);(3)自我体会：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其缘由及正确答案，应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
做适量的有不少同学把提高数学成果的希望寄予在大量做题上，这是不妥当的。
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点； （2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网 （3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3． 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ； （2）证明∥a b ，∥b c ； （3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1） 图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线 （2）平行直线 （3）异面直线 二、1．（1）平行 （2）a ∥c 2．（1）相等或互补 三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ． 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形； （2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 ． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°． 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1） （2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。
第63课 空间两条直线
9.在四面体ABCD中，AB＝８，CD＝６，M、N分别是BC、AD的中点，且MN＝５，则AB
A.1 B.2 C.3 D.4
6.空间四边形两条对角线互相垂直，则顺次连结各边中点的四边形是 ( )
A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
7.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则异面直线CM与D1N所成的角的正弦值为 ( )
第2课 空间两条直线习题解答
1.D 解这种题简单、省时的方法是在草稿纸上作如下记录，然后对照选项判断①√②×③×④×⑤√.
2.D 若射影为两个点，则两条直线与平面垂直，可知两直线平行，与异面相矛盾．
3.B 在a,b所确定的平面外作与a,b都成60°角的直线有两条.
4.D 12×2=24.
∴∠A1BC1(或它的补角)是异面直线A1B与AD1所成的角.
设AA1=a,∵∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°
∴在△AA1D1与△A1AB中，AB=AA1=a,A1B= EMBED Equation.3 a,AD1=BC1=2a,A1D1= EMBED Equation.3 a,
【解前点津】 判定两条直线平行，首先考虑把两直线放在同一
平面内，利用平面图形的性质实施证明，若图形中这样的平面不好找，
可以考虑实施转化，利用平行公理(或后继将要学习的直线与平面平行
的性质定理、向量知识等)实施证明.
【规范解答】 证明：连结BC1、AD1，因为ABCD-A1B1C1D1是正
空间两条直线的位置关系ppt 人教课标版
C A
例9. 如图，设E、F、G、H分别是空间四
边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,
CF CG AE AH ， 且 CB CD AB AD
求证：（1）当μ ≠λ时，四边形EFGH是梯 形；
（2）当μ=λ且AC=BD时，EG⊥FH.
A H
E
D G B F C
例10. 已知平面α∩平求证：b, c是异面直线
例3. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中, E为AB的中点，F为AA1的中点，求证： （1）E、C、D1、F四点共面； （2）CE、D1F、DA三线交于同一点
P
例4．两个全等的正方形ABCD和ABEF所 在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且 AM=FN，求证：MN∥平面BCE.
D M C P
空间两条直线的位置关系
中国人民大学附属中学
一．平面概述： 1. 平面的两个特征： ①无限延展 ②平的（没有厚度） 2. 平面的画法：通常画平行四边形来表示 平面 3. 平面的表示：用一个小写的希腊字母α、 β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示 平行四边形的两个相对顶点的字母表示， 如平面AC。
二．三个公理和三个推论: 公理1：若一条直线上有两个点在一个平 面内，则该直线上所有的点都在这个平面 内：A∈l, B∈l, A∈α, B∈α l 公理2：如果两个平面有一个公共点，那
V
B
O
C A
例7．如图所示，已知正方体ABCD—A1B1 C1D1中，E、F、G、H分别为A1D1，A1B1, BC，CD的中点，求证：EF⊥GF.
M
例8．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点， 证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线.
2.1.2_空间中直线与直线之间的位置关系
求证：直线AB和a是异面直线。
证明:(反证法)
A
假设直线AB和a不是异面直线。
则直线AB和a一定共面，设为
B, a 又 B a,
a
B
a与B确定一平面（公理2的推论1）
与重合， A，这与已知A∉α矛盾，
所以直线AB和a是异面直线。
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
H E
D A
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
G F
C B
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
D1
C1
（1）如图，观察长方体
A1
ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱
D
所在 的直线是相互垂直的异面直线？ A
B1 C
B
（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直， 另一条直线是否与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
例3
直线有 （C）
（A）2对 （B）3对
（C）6对 （D）12对
3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（D） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
空间中直线与直线之间的位置关系
与直线BA′成异面直线的有直线B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.
√ （与2直）线那直线垂B么A直′和. 这CC′的两夹角是组多少直？ 线所成的锐角（或直角）相等.（
）
同理，FG∥BD，且FG= BD.
理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的
2.填空： (1) 空间两条不重合的直线的位置关系有 平行 、
=
5+5-4 2× 5×
5
=
3 5
.
F E
5.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB=2 3 ,AD=2 3 , AE=2. (1)求BC和EG所成的角是多少度? (2)求AE和BG所成的角是多少度?
H
G
E
2 2 3D
A
23
F C
B
解答：
(1)因为GF∥BC， 所以∠EGF（或其补角）为所求. H
(4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________．
相交 异面
问题探究
例2在如图同，已一知正方平体A面BCD内－A′B，′C′D′.如果两条直线都与第三条直线平行，那
有且仅有一个公共点——相交直线
若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直.
么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？ 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
证明：连接BD. 因为 EH是△ABD的中位线， 所以EH∥BD,且EH=1 BD.
21 同理，FG∥BD，且FG= BD.
2 因为EH∥FG，且EH =FG，
A
H
E
D G
B
F
C
所以四边形EFGH是平行四边形.
[拓展1] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC＝BD，则四边形EFGH为 菱形 . [拓展2] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC⊥BD，则四边形EFGH为 矩形 . [拓展3] 若E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH 为 正方形 . (以上三个问题你会证明吗？不妨一试)
空间中直线与直线之间的位置关系
（3）两异面直线所成的角的范围是 （ C ） （A）（0°,90°） （B）[0°,90°) （C）（0°,90°] （D）[0°,90°]
7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的 打“×”. （1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条 直线平行. （×） （2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们 √ 所成的角不变. （ ） （3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方 形. （×）
王新敞
奎屯 新疆
课堂小结：
这节课我们学习了两条直线的位置关系 (平行、相交、异面)，平行公理和等角定 理及其推论．异面直线的概念、判断及异 面直线夹角的概念； 证明两直线异面的一般方法是“反证法” 或“判定定理”；求异面直线的夹角的一 般步骤是：“作—证—算—答” .
立体几何
C
D
E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相 交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐 角(或直角)相等.
异面直线所成的角(重点、难点) 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). 异面直线所成的角的范围 00 900 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置 不同时, 这一角的大小是否改变?
3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？ 答：不一定，还可能异面．
4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？ 答：三种：相交，平行，异面． 5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条 直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线； （3）异面直线．
6．选择题 （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系 是 （D ） （A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能 （2）异面直线a,b满足a ,b ,∩=l, 则l与a,b的位置关系一定是（ B ） (A)l至多与a，b中的一条相交; (B)l至少与a，b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a，b中的一条平行.
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2、空间中直线和直线之间的位置关系【主要知识】（一）空间两条直线的位置关系（1）相交直线——在同一平面内，有且仅有一个公共点； （2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
若从有无公共点的角度看，可分两类： ①有且仅有一个公共点——相交直线②没有公共点——⎩⎨⎧异面直线平行直线若从是否共面的角度看，也可分两类：①在同一平面内——⎩⎨⎧平行直线相交直线②不在同一平面内——异面直线（三）异面直线1、异面直线的画法：aba bαα2、异面直线所成角（1）异面直线所成角的范围：____________（2）两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算【习题讲解】1、异面直线是（ ）A 、同在某一个平面内的两条直线B 、某平面内一条直线和这个平面外的一条直线C 、分别位于两个不同平面内的两条直线D 、无交点且不共面的两条直线2、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A 、异面 B 、平行 C 、相交 D 、以上都有可能3、下列说法中，正确的有（ ）①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
②垂直于同一条直线的两条直线平行。
③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。
④若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）. A 、12 B 、24 C 、36 D 、48【变式】若把两异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在12条直线中，异面直线共有（ ） A 、12对 B 、24对 C 、36对 D 、48对5、如图，正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. （1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.【变式】5-1、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为______度。
空间直线与直线、面平行或垂直的判定
空间直线1. 空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面.2. 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.3．异面直线所成的角直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．4．异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．[要点内容]1．空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面。
相交直线和平行直线都是共面直线，异面直线是立体图形。
2．空间两直线的位置关系分类从有无公共点的角度看，可分为两类：（1）两条直线有且仅有一个公共点—相交直线；3．异面直线概念的理解“不同在任何一个平面内的两条直线”，是指这两条直线不能同时在任何一个平面内。
注意：分别在某两个平面内的两条直线，不一定是异面直线，它们可能是相交直线，也可能是平行直线，如图。
4．异面直线的画法及判定画异面直线时，以平面为衬托，可使两直线不能共面的特点显示得更清楚，如图判定两条直线是异面直线的方法：方法一，利用：“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
”方法二，利用反证法，假设这两条直线不是异面直线，推导出矛盾。
这可能是与公理矛盾、与定理矛盾、与定义矛盾、与已知条件或事实矛盾等。
5．对于两条异面直线所成的角的定义应注意以下几点：（1）取直线a′、b′所成的锐角（或直角）作为异面直线a、b所成的角。
（2）在这个定义中，空间一点是任意选取的，根据等角定理，可以判定异面直线a和b 所成的角和a′和b′所成的锐角（或直角）相等，而与点O的位置无关。
（3）由于异面直线a、b所成的角与点O的位置无关，一般情况下，可将点O取在直线a或b上。
空间两条直线
三、异面直线
1.定义:所谓异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线. 其含义是不存在这样的平面,能同时经过这两条直线,应明确 分别在某两个平面内的两直线不一定是异面直线. 2.异面直线的判定方法： (1)定义法(反证法): (2)判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线 ,和平面内不 经过该点的直线是异面直线. 3.异面直线所成的角:
D B F C
若a、b是异面直线，且分别在平面α、β 内，α∩β = l ，则 直线 l 必定
A.分别与a、b相交 C. 与a、b都不相交 B.至少与a、b之一相交 D.至多与a、b之一相交
(2)范围： (0, ]
(3)求法:
2
①平移法：平移法求异面直线所成角的步骤是一作二证 三求, 关键是通过平移（中点平移，顶点平移以及补形法： 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六 面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转 化为两相交直线的夹角。 ②向量法
四、异面直线的距离的概念： 1.两条异面直线公垂线:和两条异面直线都垂直相交的直 线叫异面直线的公垂线。 2.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线在这两条异 面直线间的线段的长度叫做异面直线间的距离. 注:两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异 面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定 相交。 3.计算异面直线的距离的方法： (1)先确定异面直线公垂线的位置，再计算公垂线段的长度。 (2)向量法。
例 1． （1）空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分 别是四边上的中点， 则直线 EG和 FH的位置关系_____；
（答：相交）
（2）给出下列四个命题： ①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线； ②两异面直线 a, b ，如果 a 平行于平面 ，那么 b 不平行平面 ； ③两异面直线 a, b ，如果 a 平面 ，那么 b 不垂 直于平面 ； ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条 平行直线 。其中正确的命题是_____。 （答：①③）
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, 这表明 空间的三条直线也具有 这样的 . 性质, 我们把它作为公理 公理 平行于同一条直线的两 条直线 互相平行 . a // b a // c . 用符号可表示为 b // c
a, b, c 三条直线两两平行 .可以记为 a // b // c .
, 思考 经过直线外一点有几条直线和这条直线 平行 ?
四边形 DE = D E
AD = A D ADE A D E AE = A E
∠BAC = ∠B A C .
思考 如果 ∠BAC = ∠B A C 的 边 AB // A B , AC // A C , 且AB, A B 方 向相同, 而边AC , A C 方向相反, 那么 ∠BAC 和∠B A C 之间有何关系 为 ? 什么?
C
D1 A1
C1 B1
// // ( )因为 AA = BB = CC
, 所以四
边形AA C C是平行四边形, 所以 AC // A C ,所以BC 与AC所成的
角就是BC 与A C 所 成的锐角或
D A B
C
直角. 连结A B . 图 因为A B,BC 与A C 都是正方体 的面对角线, 所以 A B = BC = A C , 故 A BC 是
D1 A1 B1
C1
D A B
如图 , 在长方体ABCD A B C D AA 中, AA // BB , 通过观察可以看出 // CC . C
又如图 , 在圆柱体OO 中, AA // OO , BB // OO , 通过 观察也可以看出 // BB . AA
图
O`
A1
B1
O
A
B
图
一般地, 我们有 : 过平面内一点与平外一点的直线, 和这个 平面内不经过该点的直线是异面直线 .
A
B
α
l
图 用符号表示为 (图 ): 若l α , A α , B ∈ α , B l , 则直线AB与l是异面直线 . 如图 , a, b是两条异面直线, 经过空间任意一点O, 作直线a`// a, b`// b, 我们把直线a`和b`所成的锐角(或直角) 叫做异面直线 a, b 所成的角.
证 分别在∠BAC和∠B A C 的两 边上截取AD = A D , AE = A E ,
C1
E1
D1
A1
B1
连结 AA , DD , EE , DE , D E .
C
AB // A B E 四边形AA D D 是平 B AD = A D D A 行四边形 . 图 // AA = DD // DD = EE 四边形DD E E是平行 // 同理AA = EE
正三角形. 因此, BC 与A C 所成的角为 成的角为 .
, 即 BC 与 AC 所
D1 A1
D A
图
C1 B1
若两条异面直线a, b所成的角是 直角, 则称这两条异面直线互相 垂直 , 用符号表示为 a ⊥ b.
如图 的角为 中, AA 与 BC所成 , 就记作 AA ⊥ BC .
C
B
. .
系 空间两条直线的位置关
平面内两条直线的位置 关系只有平 , 行和相交两种 那么空间两条直线的位 于关系有哪些呢?
本书中 如无特别说明"两条直线 指不重 , , " , " 合的两条直线"两个平面 指不重合的两 个平面.
D1 A1 B1
C1
D A B
C
图
b
a
图
观察如图 所示的长方体 ABCD A B C D , 可以看出空间 , 两条直线除了相交, 行两种关 两条直线除了相交 , 平 . 系外, 还有第三种位置关系例如, 直线A B 与BC ,A B 与CC 等既不 相交 又 不 平 行 , 即不在 同一 平面 又如 ,图 中机 械部 件蜗 内. 杆和蜗轮的轴 线 a 和b , 它同样也 . 既不相交又不平行
例 如图 , 长方体 ABCD A B C D 中,已知 E , F分别是 AB, BC 的中点, 求 证 : EF // A C .
D1 A1 B1
C1
D
F
C
E
A
B
图
证 连结AC .在ABC中, E , F分别是AB, BC的中
点, 所以EF // AC.
// // // 又因为 AA = BB , BB = CC , 所以 AA = CC , 从而四边形 AA C C 是平行四边形 , 所以 AC // A C . 从而 EF // A C .
例
如图
,已知 E , E 分
E1 A1
D1
C1 B1
别为正方体ABCD A B C D 的 棱AD, A D 的中点, 求证 : ∠C E B = ∠CEB .
D
E
A B 图
C
分析 设法证明E C // EC , E B // EB .
证 连结 EE . // 因为 E , E 分别是 A D , AD 的中点, 所以 A E = AE. // 所以 A E EA 是平行四边形, 从而A A = E E . // // 又因为 A A = B B , 所以 E E = B B , 故四边形EE B B 是平行四边形 .于是E B // EB, 同理 E C // EC.
因为∠A AD = , 所以AA 与BC所成的角为 .
例 已知ABCD A B C D 是棱长为 a 的正方体(图 ). ( )正方体的哪些棱所在的 直线与直 线BC 是异面直线? ( )求异面直线AA 与BC 所成的角; ( )求异面直线BC 和AC所成的角.
D1
A1
C1 B1
D A 图 B
又∠C E B 与∠CEB两边的方向相同, 故∠C E B = ∠CEB.
异面直线
如图 , 在长 方 体 ABCD A B C D 中, 直线 AB ? 与A C 具有怎样的位置关系
A1
D1 B1
C1
D A B
C
图
假设AB与A C共面,由于经过 A 点C和直线AB的平面只能有 α B 一个, 所以直线A C和AB都应 l 在平面ABCD内, 于是 A 在平 图 面ABCD内, 这与点A 在平面 ABCD外矛盾.因此, 直线AB与A C是异面直线 .
一般地, 我们有 : 定理 如果一个角的两边和另 一个角的两边分 别平行并且方向相同 , 那么这两个角相等 .
C1
已知 : ∠BAC 和 ∠B A C 的
B1
A1
C
边AB // A B , AC // A C , 并
( 且方向相同 图
).
B A
求证 : ∠ABC = ∠A B C .
图
分析 为证明∠BAC = ∠B A C , 我们构造两个全 . 等三角形, 使∠BAC与∠B A C 是它们的对应角
b如图 中Fra bibliotek 蜗 杆和 蜗 轮的
a
图
轴线是互相垂直的异面 直线, 它 表明由蜗杆到蜗 轮 的传动方向 观 变了 的角.
�
b
b`
α
b
a
a`
O
图
a`
a
O
α
O 为什么a`, b`所成角的大小与点 的选择无关?
解 ( )正方体共有 条棱, 与BC 相交的棱有 条, 与 BC 平行的棱不存在.因此余下的 条棱所在的直线 分别与BC 是异面直线,它们是 AA , A B , A D , DA, DC , DD . ( )因为 AD // BC , 所以∠A AD 即为 AA 与BC所成的角.
在平面中 如果一个角的两边和另 , 一个 方向相同, 那么这 角的两边分别平行并且 . ? 两个角相等这一结论在空间成立吗
D1 A1 C1
B1
D F C E B
A
图
观察图 中的∠BEF 和 ∠B A C , 这两个角的两 边分别平行, 且有∠BEF = ∠B A C ( 因为∠BEF = ∠BAC = ∠B A C ) .
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做 异面直线 (skewlines ).
因此, 空间两条直线的位置关 系有以下三种 :
位置关系 相交直线 平行直线 异面直线
公共点个数 共面情况 在同一平面内 有且只有一个 在同一平面内 没有 不同在任何 没有 一平面内
. 平行直线
, 在平面几何中同一平内的三条直 线 a, b, c, 如果a // b 且b // c, 那么a // c.这 ? 个性质在空间是否成立