合比等比性质及习题
(完整版)等比数列的性质练习题
考点1等比数列的通项与前n 项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数.【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 题型3 求等比数列前n 项和【例3】等比数列Λ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a Λ，求n S【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(⋅-=，求n S .【新题导练】1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .3.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ； 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 .5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，0>n a ，80=n S ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S .考点2 证明数列是等比数列【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.【新题导练】6.已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；考点3 等比数列的性质【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . 【新题导练】7.已知等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .考点4 等比数列与其它知识的综合 【例8】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=- ⑴证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； ⑵求{}n a 的通项公式【新题导练】8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N .⑴ 设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；⑵ 若)(1++∈≥N n a a n n ，求a 的取值范围．7.等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1(1)3n n S a n N *=-∈； ⑴求1a ，2a 的值；⑵证明数列{}n a 是等比数列，并求n S ．。
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例章节一：合比性质介绍1.1 教学目标：了解合比性质的概念。
学会运用合比性质进行比例计算。
1.2 教学内容：合比性质的表示方法：a:b = c:d = e:f 表示a/b = c/d = e/f。
1.3 教学步骤：1. 引入合比性质的概念，引导学生理解合比性质的意义。
2. 通过示例讲解合比性质的应用，让学生学会如何运用合比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质的练习题，巩固所学知识。
章节二：等比性质介绍2.1 教学目标：了解等比性质的概念。
学会运用等比性质进行比例计算。
2.2 教学内容：等比性质定义：如果有两个比例相等，它们可以组成一个新的比例。
等比性质的表示方法：a:b = c:d 表示a/b = c/d。
2.3 教学步骤：1. 引入等比性质的概念，引导学生理解等比性质的意义。
2. 通过示例讲解等比性质的应用，让学生学会如何运用等比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些等比性质的练习题，巩固所学知识。
章节三：合比性质和等比性质的应用3.1 教学目标：学会运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3.2 教学内容：合比性质和等比性质的应用场景：如商业、工程等领域中的比例计算问题。
3.3 教学步骤：1. 引入合比性质和等比性质的应用场景，让学生了解合比性质和等比性质在实际问题中的应用。
2. 通过示例讲解合比性质和等比性质在实际问题中的应用，让学生学会如何运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质和等比性质的应用题，巩固所学知识。
章节四：比例计算练习4.1 教学目标：巩固比例计算的知识。
4.2 教学内容：比例计算的方法和技巧。
4.3 教学步骤：1. 复习比例计算的基本概念和公式。
2. 通过示例讲解比例计算的方法和技巧，让学生学会如何进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些比例计算的练习题，巩固所学知识。
章节五：比例应用题5.1 教学目标：学会解决实际问题中的比例应用题。
合比等比性质及习题
比例的合比性质：如果d c b a =,那么dd c b b a ±=±； 比例的等比性质：如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）,那么ba n db mc a =++++++ 【基础练习2】1、把mn=pq 写成比例式写错的是()3若3=y x，求yy x +的值。
（你会的方法越多越好啊！快来试一试！） 7、若753z y x ==,则z y x z y x -++-=________.8、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.则a ∶b ∶c.= 9、若f ed c b a ===2，则=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 10、若z y x y z x x z y +=+=+，求zy x+的值。
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. 2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3.平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. 专题二、定理及推论与中点有关的问题d kdc b kb a ±=±dc cb a a ±=±【例3】 （2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+的值为（）A.52B.1C.32D.2【例4】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想. 【例5】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. 【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
合比等比性质及习题
比例的合比性质：如果d cba =,那么dd c b b a ±=±； 比例的等比性质：如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）,那么ba n db mc a =++++++ΛΛ4、若753zy x ==,则z y x z y x -++-=________.5、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. 则a ∶b ∶c.= 6、若f ed c b a ===2，则=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 7、若z y x y z x x z y +=+=+，求zy x+的值。
8、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么c b a h h h ::等于（ ）A 、4：5：6B 、6：5：4C 、15：12：10D 、10：12：15平行线分线段成比例定理及其推论一. 平行线分线段成比例定理如下图（1），如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=._______,341=+=bb a b a 、则已知______;,9172==+y x y y x 、则若____,3,213=++=++===f d b e c a f e d c b a 、则且已知d kd c b kb a ±=±d c c b a a ±=±l 3l 2l 1FE D CB A ABCDEEDC B A图（1） 图（2）二. 平行线分线段成比例定理的推论：如图（2），在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==三. 平行的判定定理：如上图（2），如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
19.1(2) 合比性质 等比性质
19.1* 合比性质 等比性质**********************************教学目标*************************************1. 知道合比性质、等比性质2. 掌握合比性质、等比性质的证明方法3. 能应用合比性质、等比性质进行计算和证明4. 渗透方程思想，分类讨论思想**********************************教学重点************************************* 合比性质、等比性质的证明与应用**********************************教学难点************************************* 合比性质、等比性质的应用**********************************板书设计************************************* 合比性质、等比性质合比性质 等比性质证明：_______________ 证明：____________________________________ __________________________________________ _____________________练习：_______________ 练习：____________________________________ __________________________________________ _____________________**********************************教学内容*************************************一、复习检测1. Rt △ABC 的斜边长为c ，斜边上中线长为m ，则m ：c=___________2. 已知：菱形ABCD 中，∠A=60°，AC 、BD 使对角线，则AC BD=_________ 3. 若a=b ，b=216，a ：x=x ：b ，那么x=______二、新课(一) 合比性质 做一做：(1)已知3a c b d ==，求a b b+和c d d +的值. (2)已知15a c b d ==，求a b b +和c d d +的值. 你还有什么发现？ 提出问题：a b b+与c d d +之间的相等是偶然的吗？你能证明吗？(学生讨论) 引导学生证明：a b b +与c d d +相等关系成立的前提是a c b d = 即：我的写成已知、求证的形式则为 已知：a cb d= 求证：a b b+=c d d + 证明：(方法一)∵a c b d =∴1a b +=1c d+利用等式基本性质(符理要学生说) ∴a b b b +=c d d d+ 即a b b+=c d d + 证明：(方法二)设a c k b d ==(见比设k) 则a=bk ，c=dk (方程思想) ∴1a b bk b k b b ++==+ 1c d d k d k d d++==+ ∴a b b+=c d d + 得出结论：如果a c b d =，那么a b b +=c d d +，这就是合比性质 练习：1.已知5x=7y ，且xy ≠0，则x ：y=______，y ：x=_______，x y y +=_______，x y y -=________，x y x y+-=_______。
比例性质及比例线段
比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
等比性质练习题(打印版)
等比性质练习题（打印版）### 等比数列练习题题目一：基础概念题已知数列 {a_n} 是等比数列，且 a_2 = 2，a_5 = 16，求该等比数列的首项 a_1 和公比 q。
题目二：求和公式应用数列 {b_n} 是首项为 3，公比为 2 的等比数列。
求前 8 项的和 S_8。
题目三：等比数列的通项公式已知数列 {c_n} 的前 n 项和为 S_n = 36(1 - q^n) / (1 - q)，其中q ≠ 1。
求该数列的通项公式 c_n。
题目四：等比数列的项数确定数列 {d_n} 是首项为 1，公比为 3 的等比数列。
若 a_6 = 729，求数列的项数 n。
题目五：等比数列的项数与和数列 {e_n} 是首项为 2，公比为 -2 的等比数列。
若前 n 项和 S_n= 2^(n+1) - 2，求 n 的值。
题目六：等比数列与等差数列的结合数列 {f_n} 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，数列 {g_n} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列。
若 f_n = g_n，求 n 的值。
题目七：等比数列的项与和已知数列 {h_n} 是首项为 2，公比为 4 的等比数列。
若 a_3 + a_4= 50，求 S_5。
题目八：等比数列的项与项数数列 {i_n} 是首项为 1，公比为 2 的等比数列。
若 a_3 = 8，求 n的值。
题目九：等比数列的应用一个几何级数的首项为 10，公比为 1/2。
如果这个级数的前 10 项的和是 5，求这个级数的第 11 项。
题目十：等比数列的极限数列 {j_n} 是首项为 1，公比为 1/2 的等比数列。
求当 n 趋向无穷大时，j_n 的极限值。
解答提示：- 等比数列的通项公式为：a_n = a_1 * q^(n-1)- 等比数列的前 n 项和公式为：S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中q ≠ 1- 等比数列的项数 n 可以通过 a_n = a_1 * q^(n-1) 来确定- 注意等比数列的公比 q 可以是正数、负数或 0，但q ≠ 1请根据上述提示，自行解答练习题。
比例的性质
比例的性质文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]比例的性质或许你在某个地方听说过比例，可你是否了解比例呢我想没有。
来吧，跟随我们的脚步，跨入比例的大门！首先我们来了解什么是比。
什么是比比：两个数相除又叫做两个数的比比值：比的前项除以比的后项所得的商，叫比值。
比只有两个项：比的前项和后项。
比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。
知道了什么是比，接下来就是更有趣的——比例的性质一、合比性质1、合比性质的用途合比性质是数学计算中常用的性质之一，属于中的三大性质之一（包括合比性质、分比性质和合分比性质）。
主要运用于等计算。
2、合比性质的表达文字：在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这称为比例中的合比定理，这种性质称为合比性质。
字母：已知，且有，如果，则有。
3、推导过程4、典型例题如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线且交AB于E，交BC的延长线于F，求证：DC·DF=BD·CF分析：欲证：DC·DF=BD·CF即证：DC/CF=BD/DF即证：(DC+CF)/CF=(BD+DF)/DF若连结AF，则AF=DF故即证：AF/CF=BF/AF只需证△FAB∽△FCA证明：连结AF，则AF=DF，∠FAD=∠FDA∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴AF=DF∴∠FDA=∠FAD又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF，∠FDA=∠B+∠BAD∴∠B=∠CAF∴△FAB∽△FCA。
二、分比性质1、表达文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。
字母：已知，且有，如果，则有。
2、推导过程三、合分比性质1、表述文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。
比例的基本性质练习题
比例的基本性质练习题比例的基本性质是数学中一个重要的概念，它涉及到比例的等比性质和反比性质。
下面是一些关于比例基本性质的练习题：1. 判断题：- 如果a:b = c:d，那么ad = bc。
（）- 如果a:b = c:d，那么a/c = b/d。
（）2. 选择题：- 已知比例a:b = 2:3，那么下列哪个比例与a:b成反比？A. 3:2B. 4:6C. 5:7D. 6:93. 填空题：- 如果比例a:b = 4:5，那么b:a = _______。
- 如果比例a:b = 3:2，那么a:b:c = 3:2:_______。
4. 计算题：- 已知a:b = 5:3，b:c = 2:3，求a:c的比例。
5. 应用题：- 一个班级有男生和女生，男生人数与女生人数的比例是4:5。
如果班级总共有36人，求男生和女生各有多少人。
6. 解答题：- 某工厂生产两种型号的产品，A型产品与B型产品的数量比为3:2。
如果工厂计划生产A型产品180件，求B型产品应该生产多少件。
7. 证明题：- 证明如果a:b = c:d，那么a:c = b:d。
8. 转换题：- 将比例3:4:5转换为分数形式。
9. 综合题：- 一个长方形的长和宽的比例是5:3，如果长增加了10厘米，宽增加了6厘米，新的长方形的长宽比是否发生了变化？为什么？10. 探索题：- 探索在什么情况下，两个比例的乘积等于另一个比例。
这些题目覆盖了比例基本性质的不同方面，包括判断、选择、填空、计算、应用、证明、转换、综合和探索。
通过这些练习，可以帮助学生更好地理解和掌握比例的基本性质。
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例教案章节：一、合比性质介绍二、等比性质介绍三、合比性质例题讲解四、等比性质例题讲解五、练习题与解答一、合比性质介绍1. 合比定义：如果a, b, c, d是一组数，且b/a = c/d，称这组数为合比数。
2. 合比性质：在合比数中，如果乘以同一个数，比例关系仍然成立。
即(ak)/(bk) = (ck)/(dk)，其中k为任意实数。
二、等比性质介绍1. 等比定义：如果a, b, c, d是一组数，且b/a = c/d，称这组数为等比数。
2. 等比性质：在等比数中，如果乘以同一个数，比例关系仍然成立。
即(ak)/(bk) = (ck)/(dk)，其中k为任意实数。
三、合比性质例题讲解例题1：已知a:b = 2:3，求4a:5b的值。
解答：由合比性质可知，4a/5b = (22)/(35) = 4/15。
四、等比性质例题讲解例题2：已知a:b = 2:3，求4a:5b的值。
解答：由等比性质可知，4a/5b = (22):(35) = 4:15。
五、练习题与解答练习题：1. 已知a:b = 3:4，求6a:8b的值。
2. 已知a:b = 5:6，求10a:12b的值。
解答：1. 由合比性质可知，6a/8b = (32):(42) = 3:4。
2. 由等比性质可知，10a/12b = (52):(62) = 5:6。
六、合比性质的应用1. 实际问题：已知一段路程，两人一起走需要1小时，其中一人单独走需要2小时。
求两人一起走的速度和一人单独走的速度。
解答：设两人一起走的速度为v1，一人单独走的速度为v2。
根据合比性质，有v1/v2 = 1/2。
设路程为d，则有d/v1 = 1，d/v2 = 2。
解得v1 = 2d，v2 = d。
两人一起走的速度是2d，一人单独走的速度是d。
七、等比性质的应用1. 实际问题：一个数列的前两项分别是2和3，且从第三项开始，每一项都是前两项的等比中项。
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例一、教学目标1. 理解合比性质和等比性质的概念。
2. 学会运用合比性质和等比性质进行比例计算。
3. 能够解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 合比性质：如果四个数a, b, c, d满足a + b = c + d，它们可以组成两个比例a:b = c:d和b:a = d:c。
2. 等比性质：如果四个数a, b, c, d满足a b = c d，它们可以组成两个等比a:b = c:d和b:a = d:c。
三、教学重点与难点1. 合比性质的理解和运用。
2. 等比性质的理解和运用。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解合比性质和等比性质的概念及运用方法。
2. 采用例题讲解法，通过具体例题讲解合比性质和等比性质的运用。
3. 采用练习法，让学生通过练习题巩固所学知识。
五、教学过程1. 引入：讲解比例的概念，引导学生思考比例的性质。
2. 讲解合比性质：介绍合比性质的定义，讲解合比性质的运用方法。
3. 讲解等比性质：介绍等比性质的定义，讲解等比性质的运用方法。
4. 例题讲解：选取典型例题，讲解合比性质和等比性质的运用。
5. 练习：布置练习题，让学生运用合比性质和等比性质进行计算。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调合比性质和等比性质的运用方法。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对合比性质和等比性质的理解程度，以及运用性质进行比例计算的能力。
2. 练习题解答：评价学生对课堂所学知识的掌握程度，以及解决问题的能力。
3. 课后作业：评价学生对所学知识的巩固程度，以及运用合比性质和等比性质解决实际问题的能力。
七、教学反思1. 教学过程中是否有效地讲解了合比性质和等比性质的概念及运用方法？2. 学生是否积极参与课堂讨论和练习，展现出对比例性质的理解和运用能力？3. 针对学生的学习情况，是否需要调整教学方法和教学内容？八、拓展与延伸1. 合比性质和等比性质在实际生活中的应用：举例说明合比性质和等比性质在解决实际问题中的应用，如商业、工程等领域。
合比等比性质及习题精编版
==yx y x 那么如果.52.2npq m A =.q n m p B =.p n m q C =.q p n m D =.比例的合比性质：如果d cba =,那么d d c b b a ±=±； 比例的等比性质：如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）,那么ba n db mc a =++++++ 【基础练习2】1、把mn=pq 写成比例式写错的是( )3若3=y x，求yy x +的值。
（你会的方法越多越好啊！快来试一试！）7、若753zy x ==,则z y x z y x -++-=________.8、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. 则a ∶b ∶c.= 9、若f ed c b a ===2，则=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 10、若z y x y z x x z y +=+=+，求zy x+的值。
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A ABCDEEDC B A_______,344=+=b b a b a 、则已知______;,9175==+y x y y x 、则若____,3,216=++=++===f d b e c a f e d c b a 、则且已知d kd c b kb a ±=±dc cb a a ±=±2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
等比数列性质及其应用知识点总结及典型例题
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
习题课等比数列的性质的综合问题答案
习题课 等比数列的性质的综合问题答案一、等比数列的实际应用例1 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n (n ∈N *)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ， 由题意，得a 1＝13.5，a 2＝13.5(1－10%)， a 3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列的定义，知数列{a n }是等比数列， 首项a 1＝13.5，公比q ＝1－10%＝0.9， ∴a n ＝a 1·q n －1＝13.5×0.9n －1.∴n 年后车的价值为a n ＋1＝(13.5×0.9n )万元． (2)由(1)得a 5＝a 1·q 4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．反思感悟 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．跟踪训练1 有纯酒精a (a >1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精________升． 答案 ⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a 解析 由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以1为首项，1－1a 为公比的等比数列，即第一次取出的纯酒精为1升，第二次取出的为1－1a (升)，第三次取出的为⎝⎛⎭⎫1－1a 2升，…， 第n 次取出的纯酒精为⎝⎛⎭⎫1－1a n －1升， 则第九次和第十次共取出纯酒精数量为 a 9＋a 10＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8＋⎝⎛⎭⎫1－1a 9 ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a (升)． 二、等差数列与等比数列的转化问题1 若等差数列a n ＝2n ＋1，那么数列{22n ＋1}是等差或等比数列吗？ 提示 设b n ＝22n ＋1，则b n －b n －1＝22n ＋1－22n －1＝22n －1(4－1)＝3×22n－1不是常数，故{b n }不是等差数列；而b n b n －1＝22n ＋122n －1＝22n ＋1－(2n －1)＝22＝4，是常数，故{b n }是等比数列． 问题2 若等比数列a n ＝2n ，则{lg a n }为等差数列吗？提示 若等比数列a n ＝2n ，则b n ＝lg a n ＝lg 2n ＝n lg 2是关于n 的一次函数，是等差数列． 知识梳理1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{n aa }是等比数列． 2．若数列{a n }是公比为q (q >0)的等比数列，则数列{log a a n }是等差数列．注意点：(1)其底数a 满足a >0，且a ≠1；(2)等比数列{n aa }的公比为a d ；(3)等差数列{log a a n }的公差为log a q .例2 已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝12na ⎛⎫⎪⎝⎭，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．解 依题意得，a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ， 于是b n ＝⎝⎛⎭⎫123－n.而b n ＋1b n ＝⎝⎛⎭⎫122－n⎝⎛⎭⎫123－n ＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2. ∴数列{b n }是首项为14，公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝14·2n －1＝2n －3.延伸探究 已知各项均为正数的等比数列{a n }满足：a 4＝128，a 8＝215.设b n ＝log 2a n ，求证：数列{b n }是等差数列，并求其通项公式． 解 设等比数列{a n }的公比为q ， 由已知得q 4＝a 8a 4＝28.∵数列{a n }是各项均为正数的等比数列， ∴q ＝4，∴a 1＝a 4q 3＝2，∴a n ＝2×4n －1＝22n －1.又∵b n －b n －1＝log 2a n －log 2a n －1＝log 24＝2(n ≥2)， b 1＝log 2a 1＝1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴b n ＝2n －1.反思感悟 在等差数列与等比数列相互转化的过程中，相当于构造了一个新的数列，需判断是否满足等比数列或等差数列的定义．跟踪训练2 数列{a n }满足log 2a n －1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝2n ，则log 2(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )的值是( )A ．n －1B ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1答案 A解析 由log 2a n －1＝log 2a n ＋1，即log 2a n ＋1－log 2a n ＝－1， 即log 2a n ＋1a n ＝－1得a n ＋1a n ＝12，∴数列{a n }是等比数列，首项为a 1，公比为12，∵a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝2n ，∴a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝12(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＝2n －1，则log 2(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝n －1. 三、等比数列的综合应用例3 已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)可得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2＋2n )2＝n (1＋n )．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2，从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6. 反思感悟 解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用． (2)对于解答题注意基本量及方程思想．(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题．(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系．跟踪训练3 若等比数列{a n }满足2a 1＋a 2＋a 3＝a 4，a 5－a 1＝15. (1)求数列{a n }的首项a 1和公比q ； (2)若a n >n ＋100，求n 的取值范围．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1q 3，a 1q 4－a 1＝15，解得a 1＝1，q ＝2.(2)由(1)可知a n ＝2n －1，即2n －1>n ＋100，验证可得n ≥8，n ∈N *.1．某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成( ) A ．64个 B ．128个 C ．256个 D ．255个答案 C解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256个．2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000 D ．－10 000答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106，∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.3．若a ，b ，c 成等比数列，其中a ，b ，c 均是不为1的正数，n 是大于1的整数，那么log a n ，log b n ，log c n ( ) A ．是等比数列B ．是等差数列C ．每项取倒数成等差数列D ．每项取倒数成等比数列答案 C解析 因为a ，b ，c 成等比数列，可知log n a ，log n b ，log n c 成等差数列，即1log a n ，1log b n ，1log c n 成等差数列．4．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.答案 1解析 {a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.1．在正项等比数列{a n }中，a 2a 7＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 D解析 原式＝log 2(a 1a 2a 3…a 8)＝log 2(a 2a 7)4＝4log 24＝8.2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.12答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项， 所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0， 所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )， 所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2.3．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．8 答案 A解析 根据题意得a 23＝a 2·a 6， 即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 解得d ＝0(舍去)，d ＝－2，所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24.4．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 3，a 7，a 16成等比数列，则公差为( ) A.34 B ．－15 C.56 D ．1 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 1＝1，a 3，a 7，a 16成等比数列，得a 27＝a 3·a 16，即(1＋6d )2＝(1＋2d )·(1＋15d )，整理得6d 2－5d ＝0，解得d ＝56或d ＝0(舍去)，即数列{a n }的公差d ＝56，故选C.5．已知{a n }是等差数列，且公差d ≠0，若a ＝12a，b ＝32a，c ＝52a，则a ，b ，c ( ) A ．是等比数列，非等差数列 B ．是等差数列，非等比数列 C ．既非等比数列，又非等差数列 D ．既是等差数列，又是等比数列答案 A解析 由{a n }是等差数列，且公差d ≠0，得a 1，a 3，a 5是公差为2d 的等差数列，故a ，b ，c 成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a ，b ，c 不是常数列，故a ，b ，c 不是等差数列．6．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 8 答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.8．画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________． 答案 2 048解析 依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }，所以a n ＝2×(2)n －1，所以第10个正方形的面积S ＝a 210＝[2×(2)9]2＝4×29＝2 048.9．受疫情影响，某公司的销售额受到严重影响，从2020年的7月销售收入128万元，9月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候跌至每月销售收入8万元？解 设每月平均下降的百分比为x ，则每月的销售收入构成了等比数列{a n }，a 1＝128，则a 2＝a 1(1－x )， a 3＝a 1(1－x )2＝128(1－x )2＝32，解得x ＝50%.设a n ＝8，a n ＝128(1－50%)n －1＝8，解得n ＝5，即从2020年7月算起第5个月，也就是在2020年的11月该公司的销售收入跌至8万元．10．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n . (1)证明 因为b n ＝log 2a n ， 所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q (q >0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2. 又因为a 1>1，所以b 1＝log 2a 1>0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1，因此S n ＝4n ＋n (n －1)2×(－1)＝9n －n 22.又因为d ＝log 2q ＝－1， 所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4，即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N *)．11．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1等于( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 因为{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列， 所以S n ＝na 1＋12n ·(n －1)·(－1)，由S 1，S 2，S 4成等比数列可知S 22＝S 1·S 4， 代入可得(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)， 解得a 1＝－12.12．已知等比数列{a n }中，a 2＝14，a 5＝132，则数列{log 2a n }的前10项之和是( )A ．45B ．－35C ．55D ．－55答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝14，a 5＝132，可得a 2q 3＝14×q 3＝132，解得q ＝12，又由a 1q ＝a 1×12＝14，解得a 1＝12，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ， 则log 2a n ＝log 2⎝⎛⎭⎫12n ＝－n ， 数列{log 2a n }的前10项之和为 S 10＝10×[(－1)＋(－10)]2＝－55.13．已知函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，则下列条件能使数列{a n }成等比数列的是( ) A ．f (a n )＝2n B ．f (a n )＝n 2 C ．f (a n )＝2n D ．f (a n )＝2n答案 C解析 由f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)， 令y ＝log a x ，可得x ＝a y ，故对于A ，有a n ＝2na ，不是等比数列； 对于B ，a n ＝2n a ，不是等比数列； 对于C ，a n ＝a 2n ，为等比数列； 对于D ，a n ＝2na ，不是等比数列．14．已知等比数列{a n }满足a 2a 5＝2a 3，且a 4，54，2a 7成等差数列，则a 1a 2a 3·…·a n 的最大值为________．答案 1 024解析 因为等比数列{a n }满足a 2a 5＝2a 3，且a 4，54，2a 7成等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 4＝2a 1q 2，a 1q 3＋2a 1q 6＝2×54， 解得a 1＝16，q ＝12，所以a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1＝25－n， 所以a 1a 2a 3·…·a n ＝24＋3＋2＋…＋(5－n )＝2922n n -+，所以当n ＝4或n ＝5时，a 1a 2a 3·…·a n 取最大值，且最大值为210＝1 024.15．已知a 1，a 2，a 3，……，a n 是各项不为零的n (n ≥4)项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则n 的值为( ) A ．4 B ．6 C ．7 D ．无法确定 答案 A解析 当n ≥6时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列，又是等比数列，则该数列为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则n ＝4或n ＝5.当n ＝5时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时a 1a 5＝a 2a 4⇒a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )(a 1＋3d )⇒d ＝0，不满足题意． 故n ＝4.验证过程如下： 当n ＝4时，有a 1，a 2，a 3，a 4.将此数列删去某一项得到的数列(按照原来的顺序)是等比数列． 如果删去a 1或a 4，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意． 故可以知道删去的是a 2或a 3.如果删去的是a 2，则a 1∶a 3＝a 3∶a 4，故a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2， 整理得到3a 1d ＝4a 1d ＋4d 2，即4d 2＋a 1d ＝0，故4d ＋a 1＝0，即a 1d ＝－4.如果删去的是a 3，则a 1∶a 2＝a 2∶a 4，故a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋d )2， 整理得3a 1d ＝2a 1d ＋d 2，即a 1d ＝d 2，故a 1＝d ，即a 1d ＝1.可得a 1d ＝－4或1.故答案为A.16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)方法一 由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n (n ＋1)2，得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为S 11＝1，公差为12的等差数列，∴S n n ＝1＋12(n －1)＝12(n ＋1)，∴S n ＝n (n ＋1)2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)2－(n －1)n2＝n . 而a 1＝1适合上式，∴a n ＝n .方法二 由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n (n ＋1)2， 得n (S n ＋1－S n )－S n ＝n (n ＋1)2，∴na n ＋1－S n ＝n (n ＋1)2，①当n ≥2时，(n －1)a n －S n －1＝n (n －1)2，② ①－②，得na n ＋1－(n －1)a n －a n ＝n (n ＋1)2－n (n －1)2，∴na n ＋1－na n ＝n ，∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是从第2项起的等差数列，且首项为a 2＝2，公差为1， ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n (n ≥2)． 而a 1＝1适合上式，∴a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2.假设存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列，则S 22k ＝a k ·a 4k ，即⎣⎡⎦⎤2k (2k ＋1)22＝k ·4k .∵k 为正整数，∴(2k ＋1)2＝4. 得2k ＋1＝2或2k ＋1＝－2，解得k ＝12或k ＝－32，与k 为正整数矛盾．∴不存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列．。
比例的合比、等比性质
比例的合比性质
(1)
a b
c d
ab b
cd d
;
比例的分比性质
(2)
a b
c d
ab b
cd d
.
特点:分母不变,分子加(或减)分母
比例的合比性质
如果
a b
c d
，那么
ab cd
b
d
1、已知 a 2 ，则 a b
b3
b
5 3
.
2、若 x y 1 7
y9
，则
x y
8 9
.
比例合比性质：
ab c
5.若 bcacabk 则k=__2_或__-_1__
abc
2ac5e（ 3等 比 的 性 质 ） 2bd5f
2ac5e 3 18
2 a c 5 e5 4
3.比例尺就是图上长度与实际长度的比。
现有一张比例尺为1:5000的图纸上，量得 一个△ABC的三边：AC=3cm，BC=4cm， AB=5cm，问这个图纸所反映的实际 △A’B’C’的周长是多少？
4. 若a+b+c≠0， bcacabk ，则k= 2 。
如果
ac bd
，那么 ab cd； bd
例：已知在下图中的
ABC
AD
中，D B
AE EC
求证: (1) AB AC
DB EC
(2)
AD AE AB AC
问题1
已知
AD DB
AE EC
AB ，求证：（1）DB
AC EC
；
AB
（2）AD
AC AE
证明：（1）
.
AD
AE
，ADDBAEEC
中考复习 等比、合比性质综合应用--练习(含答案详解)
等比、合比性质综合应用--经典练习（含答案详解）3y ==C ．2018D ．00<=-=-=abc cxz b z y ，则a ，b ，c 中负数的个数有（ ） B ．2个 C ．3个 D ．4个7.已知三角形的三边长分别为4cm ，5cm ，6cm ，则这三边上的高的比为（ ）A ．4：5：6B ．5：4：6C ．6：5：4D ．15：12：10t bac a c b =+=+=，那么直线t tx x f +=)(一定通过第 象限．t ba ca cb =+=+=则一次函数2)(t tx x f +=的图象必定经过的象限是 ．，则一次函数y=(2-k )x+1一定不经过（ ） C ．第三象限 D ．第四象限2+16=8n ，则关于x 的一次95===f e d c ，++++fd be c aa cb =+=D．y+z=3x为（）A．A＞B＞C B．A＜B＜C C．C＞A＞B D．A＜C＜BD．第一、四象限A．12 B．6 D．3C．（1，2）D．（1，-1）33.(1)已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长．(2)已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段 a和b的比例中项．求线段c的长．(3)已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=4，x=2时，y=5．求：①y与x之间的函数关系式；②当x=4时，求y的值．35.已知：如图，在正方形ABCD 中，AD=1，P 、Q 分别为AD 、BC 上两点，且AP=CQ ，连接AQ 、BP 交于点E ，E F 平行BC 交PQ 于F ，AP 、BQ 分别为方程x 2-mx+n=0的两根． （1）求m 的值；（2）试用AP 、BQ 表示EF ； （3）若S △PQE =81，求n 的值．参考答案3y ==29421694241263222222222=++++=++++k k k k k k z y x zx yz xyz k c b y k b a x =-=-=,,0=-+-+-=++ka c k cb k b a zy x 故选D ．3.【解析】设k y x B A )2(+=+，则k y x B A )(-=-，联立两式解关于A 、B 的方程，可4.【解析】设甲、乙、丙单独工作分别需x 天、y 天、z 天．由①得， z x y x m +=，11++=+z x y x m ，zx y x m =++=+1111yzxy xz xz ++=yzxy xz xy ++=6.【解析】A 、相似三角形的对应边不相等，故是假命题，故本选项正确；B 、全等三角形也是相似三角形是真命题，故本选项错误；当t=0.5时，一次函数2)(t tx x f +=的图象经过一、二、三象限， 当t=-1时，一次函数2)(t tx x f +=的图象经过一、二、四象限，∴图象必定经过的象限是一、二象限．故答案为：一、二象限10.【解析】根据已知条件，得出a+b=ck ①，b+c=ak ②，c+a=bk ③，①+②+③，得 2(a+b+c )=k (a+b+c )．(1)当a+b+c≠0，则k=2；(2)当a+b+c=0，则a+b=-c ，b+c=-a ，a+c=-b ， ∴k=-1；∵y=(2-k)x+1为一次函数，所以2-k≠0，即k≠2，∴k=-1；∴y=3x+1经过一、二、三象限，一定不过第四象限．故选D∴m=5，n=3，②③ ===f e d c f e d c b 959595===，，95)(95959595=++++=++++=++++f d b f d b f d b f d b f d b e ca1-==abcabc故答案是8或-1．17.【解析】利用排除法解题，A 选项，根据合比性指可知正确；9-=yx19.【解析】由0≠xyz 可得到z y x ，，均不为0，由等比性质d c b a n d b m c a n d b n m d c b a ====±±±±±≠+++=== ，由有)0(① 当0≠++z y x 时，2)(2)()()(=++++=+++++++==+=+=+xy z z y x x y z z y x z y x k x z y y x z z y x ② 当0=++z y x 时，可推出z y x -=+，x z y -=+，y x z -=+所以1-=-=-=-==+=+=+xxy y z z k x z y y x z z y x 所以k 的值为2或-121442-=-=k k k3452=-+=-+k k k b c aD 选项，x z z z z y z x z y 3712757475==+=+==，，，D选项正确 189241332==++++-=++k k k k z y x ，所以10712====z y x k ，，，加可得，bk ak ck c a c b b a ++=+++++即，k c b a c b a )()(2++=++① 当0≠++c b a② 当0=++c b a 时，可推出c b a -=+，a c b -=+，b c a -=+，所以1-=k27.【解析】分情况讨论：直线一定经过一、二、三象限；当a+b+c=0时，即a+b=-c ，则k=-1，此时直线为y=-x-1，即直线必过二、三、四象限． 故直线必过第二、三象限．故选B ．积是4121121=⨯⨯=S 当a+b+c=0，则 b+c=-a ，1-=-=+=aa cb a k ，一次函数为y=-x-1，则函数 y=-x-1的图象与坐标轴围成的面积是211121=⨯⨯=S32.【解析】 ∵k c b a b c a a c b =+=+=+，∴ak=b+c ①；bk=a+c ②，ck=a+b ③，∴①+②+③得，2(a+b+c )=k (a+b+c )，（1）∵k≠0，∴a+b+c=0，∴a+b=-c ，∵1-=-=+=cc c b a k ，∴直线为y=-x-1； （2）当a+b+c≠0时，则k=2，∴直线为y=2x+2，∴直线y=-x-1和y=2x+2必经过点（-1，0）．故答案为：（-1，0）．33.【解析】（1）∵a 、b 、c 、d 是成比例线段，∴a:b=c:d,∵a=3，b=2，c=6，代入得：d=4，（2）∵线段c 是线段 a 和b 的比例中项，∴c 2=ab ，∵a=4，b=9，代入得：c=6，（3）∵y 1与x 成正比例，设y 1=ax ，（a≠0），∵y 2与x 成反比例，)0(2≠=b x b y )0(≠+=b x b ax y ,把x=1，y=4和x=2，y=5代入得：a=2，b=2,x x y 22+=当x=4时，217=y 34.【解析】首先根据条件k b a c c a b c b a =+=+=+，根据a+b+c=0和a+b+c≠0，可得到直线y=kx+b 中的k 值，再根据经过点（4，0）可求出b 的值，从而得到函数关系式，然后画出函数图象即可求出与两坐标轴所围成的三角形的面积，面积为4或835.【解析】（1）∵AP=QC ，AP+BQ=QC+BQ=BC=1，又∵AP 、BQ 分别为方程x 2-mx+n=0的两根， 所以有AP+BQ=m ，AP•BQ=n ，∴AP+BQ=m=1．即m=1．（2）∵EF ∥AP ，∴AQEQ AP EF =， 又∵AP ∥BQ ，∴APBQ AE EQ =，∴BQ AP BQ EQ AE EQ +=+即BQ AP BQ AQ EQ +=，∴BQ AP BQ AP EF +=即：BQAP BQ AP EF +•=． ∵AP+BQ=1，∴EF=AP•BQ ．（3）连接QD ，则EP ∥QD得：S △AQD =21，且S △AEP ：S △AQD =AP 2：AD 2=AP 2：1=AP 2， ∴S △AEP =AP 2•S △AQD =21AP 2，∴S △PQE ：S △AEP =EQ ：AE ，即81：21AP 2=EQ ：AE=BQ ：AP ，学海迷津：数学学习十大方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
(八年级数学教案)第四册合比性质和等比性质例
第四册合比性质和等比性质例
八年级数学教案
教研课
教案设计
教者：龙秀明
教学课题：合比性质和等比性质
教学目标：1、掌握合比性质的等比性质，并会用它们进行简单的比例变形
2、会将合比性质、等比性质用于比例线段。
3、提高学生类比联想、推广命题的能力。
教学重、难点：
熟练地、灵活地运用合比性质与等比性质。
课前准备：
小黑板、幻灯机及幻灯片。
教学过程：
一、复习引入：
我们在前边学习了线段的比，比例的有关概念及性质，那么请同学们回忆
1、什么叫线段的比？
2、什么叫成比例线段？
我们还学习了比例的基本性质，那么，除此之外，比例还有一些什么性质呢？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
==y x
y x 那么
如果.52.2n
p
q m A =
.q n m p B =.p n m q C =.q p n m D =
.
比例的合比性质：如果d c b a =,那么d
d
c b b a ±=
±； 比例的等比性质：
如果
d c b a ==…=n m
（b +d +…+n ≠0）,那么
b
a n d
b m
c a =++++++ 【基础练习2】
1、把mn=pq 写成比例式写错的是( )
3若3=y x ，求y
y x +的值。
（你会的方法越多越好啊！快来试一试！）
7、若
75
3
z y x =
=
,则z y x z y x -++-=________.
8、若65
432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. 则a ∶b ∶c.= 9、若
f e
d c b a ===2，则
=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 10、若
z y x y z x x z y +=+=+，求z
y x
+的值。
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理
如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则
BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC
DE DF
=
. l 3
l 2l 1F
E D C
B A A
B
C
D
E
E
D
C B A
2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DE
AB AC BC
==
3. 平行的判定定理：如上图，如果有
BC
DE
AC AE AB AD =
=，那么DE ∥BC。
_______
,344=+=b b
a b a 、则已知______;,9175==+y x y y x 、则若____,3,2
16=++=++===f d b e c a f e d c b a 、则且已知d kd c b kb a ±=±d c c b a a ±=±
【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
E
D
C
B
A
【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b
=+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和
BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：
111
AB CD EF
+=
. F
E D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例3】 （2012年北师大附中期末试题）
（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14
AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF
FC FD
+ 的值为（ ）A.5
2 B.1 C.32
D.2
(1)
M
E
D
C
B
A
(2)
F
E
D C
B
A
【例4】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .
（1）当1A 2AE C =时，求
AO
AD
的值； （2）当
11A 34AE C =、时，求
AO
AD
的值； （3）试猜想
1A 1AE C n =
+时AO
AD
的值，并证明你的猜想. 【例5】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：
1
2
AF FC =； E D C
B
A
O
（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，
12AF AE
FC ED
=⋅
成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.
F E D
A
【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，
延长BE 交AC 于F 。
求证：AF EF =。
F
E
D
C
B
A
【例6】 （宁德市中考题）如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ， 延长AB 交CE 的延长线于P 。
若2AD DE =，求证:3AP AB =。
P
E
D
C
B
A
专题三、利用平行线转化比例 【例7】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且 与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P . 求证：PM PN PR PS ⋅=⋅
l
S
R P
N
M
O D
C B
A
【巩固】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥， AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =．
G F
E
C
D
B
A
【例8】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对
边AC 、AB 于D 、E ，求证：
1AD AE
DC EB
+= P
N
M
E D C
B
A
【例9】 在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中 线，AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =
M
H G F
E
C
B
A
【例10】 如图，M 、N 为ABC ∆边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条 平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F . 求证：3EF DE =.
F N
M
E
D C
B
A
【例11】 已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别连 接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F . （1）求证：//EF CD
（2）若AB a =,CD b =，求EF 的长.
F
E
M
D
C
B
A
【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，
396AD BC AB ===，，,4CD =，若EF BC ∥，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相
等，求EF 的长。
F E D
C
B
A
【例12】 （山东省竞赛题）如图，ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延 长线上任取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若AB a AD c BE b ===，，,求BF 的值。