合比等比性质及习题
(完整版)等比数列的性质练习题
考点1等比数列的通项与前n 项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数.【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 题型3 求等比数列前n 项和【例3】等比数列Λ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a Λ，求n S【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(⋅-=，求n S .【新题导练】1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .3.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ； 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 .5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，0>n a ，80=n S ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S .考点2 证明数列是等比数列【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.【新题导练】6.已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；考点3 等比数列的性质【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . 【新题导练】7.已知等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .考点4 等比数列与其它知识的综合 【例8】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=- ⑴证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； ⑵求{}n a 的通项公式【新题导练】8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N .⑴ 设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；⑵ 若)(1++∈≥N n a a n n ，求a 的取值范围．7.等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1(1)3n n S a n N *=-∈； ⑴求1a ，2a 的值；⑵证明数列{}n a 是等比数列，并求n S ．。
九上等比性质与合比性质
03
等比与合比性质的比较
定义上的比较
等比性质
指在等比数列中，任意两项的比 值是常数。
合比性质
指在两个数的比值中，前项与后 项之比等于中间项与后项之比。
应用场景的比较
等比性质
常用于金融、经济、工程等领域中涉 及等比数列的问题，如复利计算、细 胞分裂等。
合比性质
常用于数学、物理、化学等领域中涉 及比例和比例关系的问题，如溶液混 合、电路分析等。
证明代数恒等式
利用等比和合比性质，可以证明各种代数恒 等式，进一步理解代数式的性质和结构。
在几何中的应用
要点一
证明几何定理
等比和合比性质在几何学中常被用于证明定理，如相似三 角形、勾股定理等。
要点二
解决几何问题
通过等比和合比性质，可以简化复杂的几何问题，找到更 有效的解决方案。
在数学竞赛中的应用
详细描述
在数学中，合比性质常用于解决涉及比例的问题，如计算面积、体积等。在分式化简中，利用合比性 质可以简化复杂的分式。在等式证明中，合比性质可以帮助证明等式的正确性。
合比性质的证明方法
总结词
证明合比性质的方法通常包括构造反例 、代数推导和逻辑推理。
VS
详细描述
证明合比性质的一种常见方法是构造反例 ，即通过构造一个反例来证明某个命题不 成立。另一种方法是进行代数推导，通过 代数运算来证明等式的正确性。此外，逻 辑推理也是证明合比性质的重要手段，通 过逻辑推理可以证明两个比的比值相等时 ，它们的数之和的比也相等。
保险费计算
保险公司在计算长期保险 费时，通常会使用等比数 列的性质来计算每年的保 险费。
投资回报率
投资者在评估投资回报率 时，可以利用等比数列的 性质来计算复利回报。
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例章节一：合比性质介绍1.1 教学目标：了解合比性质的概念。
学会运用合比性质进行比例计算。
1.2 教学内容：合比性质的表示方法：a:b = c:d = e:f 表示a/b = c/d = e/f。
1.3 教学步骤：1. 引入合比性质的概念，引导学生理解合比性质的意义。
2. 通过示例讲解合比性质的应用，让学生学会如何运用合比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质的练习题，巩固所学知识。
章节二：等比性质介绍2.1 教学目标：了解等比性质的概念。
学会运用等比性质进行比例计算。
2.2 教学内容：等比性质定义：如果有两个比例相等，它们可以组成一个新的比例。
等比性质的表示方法：a:b = c:d 表示a/b = c/d。
2.3 教学步骤：1. 引入等比性质的概念，引导学生理解等比性质的意义。
2. 通过示例讲解等比性质的应用，让学生学会如何运用等比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些等比性质的练习题，巩固所学知识。
章节三：合比性质和等比性质的应用3.1 教学目标：学会运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3.2 教学内容：合比性质和等比性质的应用场景：如商业、工程等领域中的比例计算问题。
3.3 教学步骤：1. 引入合比性质和等比性质的应用场景，让学生了解合比性质和等比性质在实际问题中的应用。
2. 通过示例讲解合比性质和等比性质在实际问题中的应用，让学生学会如何运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质和等比性质的应用题，巩固所学知识。
章节四：比例计算练习4.1 教学目标：巩固比例计算的知识。
4.2 教学内容：比例计算的方法和技巧。
4.3 教学步骤：1. 复习比例计算的基本概念和公式。
2. 通过示例讲解比例计算的方法和技巧，让学生学会如何进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些比例计算的练习题，巩固所学知识。
章节五：比例应用题5.1 教学目标：学会解决实际问题中的比例应用题。
中考复习 等比、合比性质综合应用--练习(含答案详解)
等比、合比性质综合应用--经典练习（含答案详解）3y ==C ．2018D ．00<=-=-=abc cxz b z y ，则a ，b ，c 中负数的个数有（ ） B ．2个 C ．3个 D ．4个7.已知三角形的三边长分别为4cm ，5cm ，6cm ，则这三边上的高的比为（ ）A ．4：5：6B ．5：4：6C ．6：5：4D ．15：12：10t bac a c b =+=+=，那么直线t tx x f +=)(一定通过第 象限．t ba ca cb =+=+=则一次函数2)(t tx x f +=的图象必定经过的象限是 ．，则一次函数y=(2-k )x+1一定不经过（ ） C ．第三象限 D ．第四象限2+16=8n ，则关于x 的一次95===f e d c ，++++fd be c aa cb =+=D．y+z=3x为（）A．A＞B＞C B．A＜B＜C C．C＞A＞B D．A＜C＜BD．第一、四象限A．12 B．6 D．3C．（1，2）D．（1，-1）33.(1)已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长．(2)已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段 a和b的比例中项．求线段c的长．(3)已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=4，x=2时，y=5．求：①y与x之间的函数关系式；②当x=4时，求y的值．35.已知：如图，在正方形ABCD 中，AD=1，P 、Q 分别为AD 、BC 上两点，且AP=CQ ，连接AQ 、BP 交于点E ，E F 平行BC 交PQ 于F ，AP 、BQ 分别为方程x 2-mx+n=0的两根． （1）求m 的值；（2）试用AP 、BQ 表示EF ； （3）若S △PQE =81，求n 的值．参考答案3y ==29421694241263222222222=++++=++++k k k k k k z y x zx yz xyz k c b y k b a x =-=-=,,0=-+-+-=++ka c k cb k b a zy x 故选D ．3.【解析】设k y x B A )2(+=+，则k y x B A )(-=-，联立两式解关于A 、B 的方程，可4.【解析】设甲、乙、丙单独工作分别需x 天、y 天、z 天．由①得， z x y x m +=，11++=+z x y x m ，zx y x m =++=+1111yzxy xz xz ++=yzxy xz xy ++=6.【解析】A 、相似三角形的对应边不相等，故是假命题，故本选项正确；B 、全等三角形也是相似三角形是真命题，故本选项错误；当t=0.5时，一次函数2)(t tx x f +=的图象经过一、二、三象限， 当t=-1时，一次函数2)(t tx x f +=的图象经过一、二、四象限，∴图象必定经过的象限是一、二象限．故答案为：一、二象限10.【解析】根据已知条件，得出a+b=ck ①，b+c=ak ②，c+a=bk ③，①+②+③，得 2(a+b+c )=k (a+b+c )．(1)当a+b+c≠0，则k=2；(2)当a+b+c=0，则a+b=-c ，b+c=-a ，a+c=-b ， ∴k=-1；∵y=(2-k)x+1为一次函数，所以2-k≠0，即k≠2，∴k=-1；∴y=3x+1经过一、二、三象限，一定不过第四象限．故选D∴m=5，n=3，②③ ===f e d c f e d c b 959595===，，95)(95959595=++++=++++=++++f d b f d b f d b f d b f d b e ca1-==abcabc故答案是8或-1．17.【解析】利用排除法解题，A 选项，根据合比性指可知正确；9-=yx19.【解析】由0≠xyz 可得到z y x ，，均不为0，由等比性质d c b a n d b m c a n d b n m d c b a ====±±±±±≠+++=== ，由有)0(① 当0≠++z y x 时，2)(2)()()(=++++=+++++++==+=+=+xy z z y x x y z z y x z y x k x z y y x z z y x ② 当0=++z y x 时，可推出z y x -=+，x z y -=+，y x z -=+所以1-=-=-=-==+=+=+xxy y z z k x z y y x z z y x 所以k 的值为2或-121442-=-=k k k3452=-+=-+k k k b c aD 选项，x z z z z y z x z y 3712757475==+=+==，，，D选项正确 189241332==++++-=++k k k k z y x ，所以10712====z y x k ，，，加可得，bk ak ck c a c b b a ++=+++++即，k c b a c b a )()(2++=++① 当0≠++c b a② 当0=++c b a 时，可推出c b a -=+，a c b -=+，b c a -=+，所以1-=k27.【解析】分情况讨论：直线一定经过一、二、三象限；当a+b+c=0时，即a+b=-c ，则k=-1，此时直线为y=-x-1，即直线必过二、三、四象限． 故直线必过第二、三象限．故选B ．积是4121121=⨯⨯=S 当a+b+c=0，则 b+c=-a ，1-=-=+=aa cb a k ，一次函数为y=-x-1，则函数 y=-x-1的图象与坐标轴围成的面积是211121=⨯⨯=S32.【解析】 ∵k c b a b c a a c b =+=+=+，∴ak=b+c ①；bk=a+c ②，ck=a+b ③，∴①+②+③得，2(a+b+c )=k (a+b+c )，（1）∵k≠0，∴a+b+c=0，∴a+b=-c ，∵1-=-=+=cc c b a k ，∴直线为y=-x-1； （2）当a+b+c≠0时，则k=2，∴直线为y=2x+2，∴直线y=-x-1和y=2x+2必经过点（-1，0）．故答案为：（-1，0）．33.【解析】（1）∵a 、b 、c 、d 是成比例线段，∴a:b=c:d,∵a=3，b=2，c=6，代入得：d=4，（2）∵线段c 是线段 a 和b 的比例中项，∴c 2=ab ，∵a=4，b=9，代入得：c=6，（3）∵y 1与x 成正比例，设y 1=ax ，（a≠0），∵y 2与x 成反比例，)0(2≠=b x b y )0(≠+=b x b ax y ,把x=1，y=4和x=2，y=5代入得：a=2，b=2,x x y 22+=当x=4时，217=y 34.【解析】首先根据条件k b a c c a b c b a =+=+=+，根据a+b+c=0和a+b+c≠0，可得到直线y=kx+b 中的k 值，再根据经过点（4，0）可求出b 的值，从而得到函数关系式，然后画出函数图象即可求出与两坐标轴所围成的三角形的面积，面积为4或835.【解析】（1）∵AP=QC ，AP+BQ=QC+BQ=BC=1，又∵AP 、BQ 分别为方程x 2-mx+n=0的两根， 所以有AP+BQ=m ，AP•BQ=n ，∴AP+BQ=m=1．即m=1．（2）∵EF ∥AP ，∴AQEQ AP EF =， 又∵AP ∥BQ ，∴APBQ AE EQ =，∴BQ AP BQ EQ AE EQ +=+即BQ AP BQ AQ EQ +=，∴BQ AP BQ AP EF +=即：BQAP BQ AP EF +•=． ∵AP+BQ=1，∴EF=AP•BQ ．（3）连接QD ，则EP ∥QD得：S △AQD =21，且S △AEP ：S △AQD =AP 2：AD 2=AP 2：1=AP 2， ∴S △AEP =AP 2•S △AQD =21AP 2，∴S △PQE ：S △AEP =EQ ：AE ，即81：21AP 2=EQ ：AE=BQ ：AP ，学海迷津：数学学习十大方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（ ） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
合比等比性质及习题
比例的合比性质：如果d cba =,那么dd c b b a ±=±； 比例的等比性质：如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）,那么ba n db mc a =++++++ΛΛ4、若753zy x ==,则z y x z y x -++-=________.5、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. 则a ∶b ∶c.= 6、若f ed c b a ===2，则=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 7、若z y x y z x x z y +=+=+，求zy x+的值。
8、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么c b a h h h ::等于（ ）A 、4：5：6B 、6：5：4C 、15：12：10D 、10：12：15平行线分线段成比例定理及其推论一. 平行线分线段成比例定理如下图（1），如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=._______,341=+=bb a b a 、则已知______;,9172==+y x y y x 、则若____,3,213=++=++===f d b e c a f e d c b a 、则且已知d kd c b kb a ±=±d c c b a a ±=±l 3l 2l 1FE D CB A ABCDEEDC B A图（1） 图（2）二. 平行线分线段成比例定理的推论：如图（2），在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==三. 平行的判定定理：如上图（2），如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
合比性质和等比性质 ppt课件
bd f
bdf b
比例的等比性质.
如 果 a c m ( b d n 0 ) ， 那 么 a c m a
b d n
b d nb
1、已知 x:y:z3:5:7，求 x y z x yz
2、已知
ac e 1 bd f 2
，且 bdf 0 。
ace
求 bd f
1、形状完全相同的两个图形叫做相似图形。
2、两条线段的比指的就是这两条线段的长度的比。
3、在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另 外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段， 简称为成比例线段。
合比性质和等比性质
比例的基本性质是什么样的?
如果
ac bd
，那么 ad=bc
ac 如果 ad=bc，那么 b d
• 你能得到下面的结论吗？
如果
，那么
a
a b
c cd
。
合比性质和等比性质
例1已知：在下图中的ΔABC中
求证：1） 2）
合比性质和等比性质
•
已知
x y 8 y3
，
则x
y
——
， x
y
y
——
；
合比性质和等比性质） 2）
ace,那a么 cea成立 ?为 吗 什 ?
(b,d≠0)
合比性质 和等比性 质
我们把 的两边同时加上1,能得到什么?
比例等 式依然
成立
合比性质和等比性质
1、如果
，将等式两边同时加上1，得
到什么?
2、如果将等式两边同时减去1，你能得到什么 结论？
合比性质：
如果
a b
c d
，那么 a b c d 。
合比性质和等比性质合比性质课件
通过这个课程，学习者可以掌握合比 性质和等比性质的基本概念、性质和 应用。
此外，该课程还注重培养学习者的逻 辑思维和数学素养，为进一步学习其 他数学课程打下坚实的基础。
展望
随着数学理论和应用的不断发 展，合比性质和等比性质的相 关知识也将不断更新和完善。
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定义
合比性质和等比性质的定义不同，合 比性质是指两个比值的和或差与另一 个比值之间存在一定的关系，而等比 性质则是两个比值相等。
性质
应用
合比性质在数学、物理等领域有广泛 应用，如几何、代数等，而等比性质 则主要应用于比例、百分数等问题。
合比性质涉及到两个比值的和或差与 另一个比值之间的关系，而等比性质 则是两个比值相等。
应用场景
等比性质在几何学中有着广泛的应用，如相似三角形、相似多边形的判定和性质等 。
等比性质在函数和数列中也经常出现，如等差数列和等比数列的判定和性质等。
等比性质在解决实际问题中也有应用，如测量、工程设计等领域中经常需要用到等 比性质来计算比例和比例关系。
03 合比性质和等比性质的比 较和联系
比较
练习题
设计一系列与合比性质和等比性 质相关的练习题，难度适中，覆
盖面广。
练习题应包括选择题、填空题、 计算题等多种题型，以便全面考 查学生对合比性质和等比性质的
理解和掌握程度。
对于难度较大的题目，可以给出 提示或解题思路，帮助学生更好 地理解和掌握合比性质和等比性
质。
06 总结和展望
总结
合比性质和等比性质合比性质课件是 一个全面、深入的课程，涵盖了合比 性质和等比性质的相关知识。
比例性质及比例线段
比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
分式的化简求值经典练习题(带答案)
精心整理精心整理分式的化简乘方：()n n n nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数)整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)中考要求精心整理精心整理负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n na a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b ccc+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc bdbdbdbd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．【例1【例2【题型】解答 【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【例3】 先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =-..【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭-当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】13【例4】 先化简，再求值：2291333x x x x x⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭其中13x =.【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省长沙市中考试题 【解析】原式()()()33133x x x x x +-=⋅-+ 当13x =时，原式3=【答案】3【例5】 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =. 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题 【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+当x时，原式224=-=．【答案】4精心整理精心整理【例6】 先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+-【例7。
合分比定理
合比性质和等比性质田伟德教学目的：1、掌握合比和等比性质,并会用它们进行简单的比例变形;2、会将合比与等比性质用于比例线段；3、提高学生类比联想推广命题的能力.教学重点、难点：熟练并灵活运用合比、等比性质概念:【合比定理】在一个比例里,第一个比的前后项的和与它后项的比,等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理。
即：如果a c b d =，那么(0,0)a b c d b d b d++=≠≠ 【分比定理】在一个比例里,第一个比的前后项的差与它的后项的比,等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理。
即：如果a c b d =,那么(0,0)a b c d b d b d--=≠≠ 【合分比定理】一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比.这叫做比例中的合分比定理。
即：如果a c b d =，那么(0,0,0,0)a b c d b d a b c d a b c d++=≠≠-≠-≠-- 【更比定理】一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例. 即：如果a c b d =,那么(0,0,0)a b b c d c d=≠≠≠ 推论： 如果312123123...(...0)n n na a a ab b b b b b b b ====++++≠ 那么()()12311231......n n a a a a a b b b b b ++++=++++教学过程： 一、用特殊化的方法探索合比性质1、复习平行线等分线段定理。
如图（1），已知一组平行线在直线l 上截得AB=BC=CD=DE=EF ，则由平行线等分线段定理可以得到,在l /截得的各对应线段也相等，即A /B /=B /C /=C /D /=D /E /=E /F /.（a) 图(1）(b ）2、将上述结论改写成比例形式,可以猜想结论：从图（1 a ）中分解出图（1 b)，由一组平行线可得出23////==F D D A DF AD 。
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例一、教学目标1. 理解合比性质和等比性质的概念。
2. 学会运用合比性质和等比性质进行比例计算。
3. 能够解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 合比性质：如果四个数a, b, c, d满足a + b = c + d，它们可以组成两个比例a:b = c:d和b:a = d:c。
2. 等比性质：如果四个数a, b, c, d满足a b = c d，它们可以组成两个等比a:b = c:d和b:a = d:c。
三、教学重点与难点1. 合比性质的理解和运用。
2. 等比性质的理解和运用。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解合比性质和等比性质的概念及运用方法。
2. 采用例题讲解法，通过具体例题讲解合比性质和等比性质的运用。
3. 采用练习法，让学生通过练习题巩固所学知识。
五、教学过程1. 引入：讲解比例的概念，引导学生思考比例的性质。
2. 讲解合比性质：介绍合比性质的定义，讲解合比性质的运用方法。
3. 讲解等比性质：介绍等比性质的定义，讲解等比性质的运用方法。
4. 例题讲解：选取典型例题，讲解合比性质和等比性质的运用。
5. 练习：布置练习题，让学生运用合比性质和等比性质进行计算。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调合比性质和等比性质的运用方法。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对合比性质和等比性质的理解程度，以及运用性质进行比例计算的能力。
2. 练习题解答：评价学生对课堂所学知识的掌握程度，以及解决问题的能力。
3. 课后作业：评价学生对所学知识的巩固程度，以及运用合比性质和等比性质解决实际问题的能力。
七、教学反思1. 教学过程中是否有效地讲解了合比性质和等比性质的概念及运用方法？2. 学生是否积极参与课堂讨论和练习，展现出对比例性质的理解和运用能力？3. 针对学生的学习情况，是否需要调整教学方法和教学内容？八、拓展与延伸1. 合比性质和等比性质在实际生活中的应用：举例说明合比性质和等比性质在解决实际问题中的应用，如商业、工程等领域。
相似三角形(含练习有答案、 例题和知识点)
第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：（2）合比定理：（3）等比定理：3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等.（2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似位似比二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.[参考答案] ①135°，2 ②能判断△ABC与△DEF相似，∵∠ABC=∠DEF=135°，=【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．例2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．[考点透视]本例主要是考查相似的判定[参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C，或点评：结合判定方法补充条件．例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米[考点透视]本例主要是考查相似的应用[参考答案] B【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用[参考答案] 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.[参考答案]解:在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴，∴y=．当α1β满足β- =90°，y=仍成立．此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，∴∠CAE=∠ADB．又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y=．【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．[考点透视]本例主要是考查位似的性质.[参考答案] m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．三．适时训练（一）精心选一选1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）（A） （B） （C） （D）2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（ ）（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD题2 题4 题53．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（ ）（A）∠APB＝∠EPC （B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP ︰BC＝2︰36．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（ ）（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个题6 题7 题87．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（ ）（A）AE⊥AF （B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE （D）FB ︰FC＝HB︰EC8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（ ）（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（ ）（A）4︰10︰25 （B）4︰9︰25 （C）2︰3︰5 （D）2︰5︰25题9 题10 题1110．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（ ）．（A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰2 11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（ ）（A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰212．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（ ）（A）4 cm、cm （B）5 cm、cm（C）4 cm、2 cm （D）5 cm、2 cm题12（二）细心填一填13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm．14．若＝＝＝－m2，则m＝______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．题16 题17 题1817．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF ＝4，则DE的长等于________．题19 题20 题2120．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE ＝15，则△ABC的面积是______．21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．24.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证＝．25.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．26.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证：＋＝1．27.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．28.如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．29.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．30.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点PC出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC31. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？某学生对上题作如下解答：答：△AOB∽△DOC．理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．33. 如图：四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.35. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。
等比数列性质及其应用知识点总结及典型例题
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
习题课等比数列的性质的综合问题答案
习题课 等比数列的性质的综合问题答案一、等比数列的实际应用例1 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n (n ∈N *)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ， 由题意，得a 1＝13.5，a 2＝13.5(1－10%)， a 3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列的定义，知数列{a n }是等比数列， 首项a 1＝13.5，公比q ＝1－10%＝0.9， ∴a n ＝a 1·q n －1＝13.5×0.9n －1.∴n 年后车的价值为a n ＋1＝(13.5×0.9n )万元． (2)由(1)得a 5＝a 1·q 4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．反思感悟 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．跟踪训练1 有纯酒精a (a >1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精________升． 答案 ⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a 解析 由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以1为首项，1－1a 为公比的等比数列，即第一次取出的纯酒精为1升，第二次取出的为1－1a (升)，第三次取出的为⎝⎛⎭⎫1－1a 2升，…， 第n 次取出的纯酒精为⎝⎛⎭⎫1－1a n －1升， 则第九次和第十次共取出纯酒精数量为 a 9＋a 10＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8＋⎝⎛⎭⎫1－1a 9 ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a (升)． 二、等差数列与等比数列的转化问题1 若等差数列a n ＝2n ＋1，那么数列{22n ＋1}是等差或等比数列吗？ 提示 设b n ＝22n ＋1，则b n －b n －1＝22n ＋1－22n －1＝22n －1(4－1)＝3×22n－1不是常数，故{b n }不是等差数列；而b n b n －1＝22n ＋122n －1＝22n ＋1－(2n －1)＝22＝4，是常数，故{b n }是等比数列． 问题2 若等比数列a n ＝2n ，则{lg a n }为等差数列吗？提示 若等比数列a n ＝2n ，则b n ＝lg a n ＝lg 2n ＝n lg 2是关于n 的一次函数，是等差数列． 知识梳理1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{n aa }是等比数列． 2．若数列{a n }是公比为q (q >0)的等比数列，则数列{log a a n }是等差数列．注意点：(1)其底数a 满足a >0，且a ≠1；(2)等比数列{n aa }的公比为a d ；(3)等差数列{log a a n }的公差为log a q .例2 已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝12na ⎛⎫⎪⎝⎭，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．解 依题意得，a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ， 于是b n ＝⎝⎛⎭⎫123－n.而b n ＋1b n ＝⎝⎛⎭⎫122－n⎝⎛⎭⎫123－n ＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2. ∴数列{b n }是首项为14，公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝14·2n －1＝2n －3.延伸探究 已知各项均为正数的等比数列{a n }满足：a 4＝128，a 8＝215.设b n ＝log 2a n ，求证：数列{b n }是等差数列，并求其通项公式． 解 设等比数列{a n }的公比为q ， 由已知得q 4＝a 8a 4＝28.∵数列{a n }是各项均为正数的等比数列， ∴q ＝4，∴a 1＝a 4q 3＝2，∴a n ＝2×4n －1＝22n －1.又∵b n －b n －1＝log 2a n －log 2a n －1＝log 24＝2(n ≥2)， b 1＝log 2a 1＝1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴b n ＝2n －1.反思感悟 在等差数列与等比数列相互转化的过程中，相当于构造了一个新的数列，需判断是否满足等比数列或等差数列的定义．跟踪训练2 数列{a n }满足log 2a n －1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝2n ，则log 2(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )的值是( )A ．n －1B ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1答案 A解析 由log 2a n －1＝log 2a n ＋1，即log 2a n ＋1－log 2a n ＝－1， 即log 2a n ＋1a n ＝－1得a n ＋1a n ＝12，∴数列{a n }是等比数列，首项为a 1，公比为12，∵a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝2n ，∴a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝12(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＝2n －1，则log 2(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝n －1. 三、等比数列的综合应用例3 已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)可得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2＋2n )2＝n (1＋n )．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2，从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6. 反思感悟 解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用． (2)对于解答题注意基本量及方程思想．(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题．(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系．跟踪训练3 若等比数列{a n }满足2a 1＋a 2＋a 3＝a 4，a 5－a 1＝15. (1)求数列{a n }的首项a 1和公比q ； (2)若a n >n ＋100，求n 的取值范围．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1q 3，a 1q 4－a 1＝15，解得a 1＝1，q ＝2.(2)由(1)可知a n ＝2n －1，即2n －1>n ＋100，验证可得n ≥8，n ∈N *.1．某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成( ) A ．64个 B ．128个 C ．256个 D ．255个答案 C解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256个．2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000 D ．－10 000答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106，∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.3．若a ，b ，c 成等比数列，其中a ，b ，c 均是不为1的正数，n 是大于1的整数，那么log a n ，log b n ，log c n ( ) A ．是等比数列B ．是等差数列C ．每项取倒数成等差数列D ．每项取倒数成等比数列答案 C解析 因为a ，b ，c 成等比数列，可知log n a ，log n b ，log n c 成等差数列，即1log a n ，1log b n ，1log c n 成等差数列．4．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.答案 1解析 {a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.1．在正项等比数列{a n }中，a 2a 7＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 D解析 原式＝log 2(a 1a 2a 3…a 8)＝log 2(a 2a 7)4＝4log 24＝8.2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.12答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项， 所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0， 所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )， 所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2.3．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．8 答案 A解析 根据题意得a 23＝a 2·a 6， 即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 解得d ＝0(舍去)，d ＝－2，所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24.4．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 3，a 7，a 16成等比数列，则公差为( ) A.34 B ．－15 C.56 D ．1 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 1＝1，a 3，a 7，a 16成等比数列，得a 27＝a 3·a 16，即(1＋6d )2＝(1＋2d )·(1＋15d )，整理得6d 2－5d ＝0，解得d ＝56或d ＝0(舍去)，即数列{a n }的公差d ＝56，故选C.5．已知{a n }是等差数列，且公差d ≠0，若a ＝12a，b ＝32a，c ＝52a，则a ，b ，c ( ) A ．是等比数列，非等差数列 B ．是等差数列，非等比数列 C ．既非等比数列，又非等差数列 D ．既是等差数列，又是等比数列答案 A解析 由{a n }是等差数列，且公差d ≠0，得a 1，a 3，a 5是公差为2d 的等差数列，故a ，b ，c 成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a ，b ，c 不是常数列，故a ，b ，c 不是等差数列．6．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 8 答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.8．画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________． 答案 2 048解析 依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }，所以a n ＝2×(2)n －1，所以第10个正方形的面积S ＝a 210＝[2×(2)9]2＝4×29＝2 048.9．受疫情影响，某公司的销售额受到严重影响，从2020年的7月销售收入128万元，9月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候跌至每月销售收入8万元？解 设每月平均下降的百分比为x ，则每月的销售收入构成了等比数列{a n }，a 1＝128，则a 2＝a 1(1－x )， a 3＝a 1(1－x )2＝128(1－x )2＝32，解得x ＝50%.设a n ＝8，a n ＝128(1－50%)n －1＝8，解得n ＝5，即从2020年7月算起第5个月，也就是在2020年的11月该公司的销售收入跌至8万元．10．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n . (1)证明 因为b n ＝log 2a n ， 所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q (q >0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2. 又因为a 1>1，所以b 1＝log 2a 1>0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1，因此S n ＝4n ＋n (n －1)2×(－1)＝9n －n 22.又因为d ＝log 2q ＝－1， 所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4，即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N *)．11．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1等于( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 因为{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列， 所以S n ＝na 1＋12n ·(n －1)·(－1)，由S 1，S 2，S 4成等比数列可知S 22＝S 1·S 4， 代入可得(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)， 解得a 1＝－12.12．已知等比数列{a n }中，a 2＝14，a 5＝132，则数列{log 2a n }的前10项之和是( )A ．45B ．－35C ．55D ．－55答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝14，a 5＝132，可得a 2q 3＝14×q 3＝132，解得q ＝12，又由a 1q ＝a 1×12＝14，解得a 1＝12，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ， 则log 2a n ＝log 2⎝⎛⎭⎫12n ＝－n ， 数列{log 2a n }的前10项之和为 S 10＝10×[(－1)＋(－10)]2＝－55.13．已知函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，则下列条件能使数列{a n }成等比数列的是( ) A ．f (a n )＝2n B ．f (a n )＝n 2 C ．f (a n )＝2n D ．f (a n )＝2n答案 C解析 由f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)， 令y ＝log a x ，可得x ＝a y ，故对于A ，有a n ＝2na ，不是等比数列； 对于B ，a n ＝2n a ，不是等比数列； 对于C ，a n ＝a 2n ，为等比数列； 对于D ，a n ＝2na ，不是等比数列．14．已知等比数列{a n }满足a 2a 5＝2a 3，且a 4，54，2a 7成等差数列，则a 1a 2a 3·…·a n 的最大值为________．答案 1 024解析 因为等比数列{a n }满足a 2a 5＝2a 3，且a 4，54，2a 7成等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 4＝2a 1q 2，a 1q 3＋2a 1q 6＝2×54， 解得a 1＝16，q ＝12，所以a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1＝25－n， 所以a 1a 2a 3·…·a n ＝24＋3＋2＋…＋(5－n )＝2922n n -+，所以当n ＝4或n ＝5时，a 1a 2a 3·…·a n 取最大值，且最大值为210＝1 024.15．已知a 1，a 2，a 3，……，a n 是各项不为零的n (n ≥4)项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则n 的值为( ) A ．4 B ．6 C ．7 D ．无法确定 答案 A解析 当n ≥6时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列，又是等比数列，则该数列为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则n ＝4或n ＝5.当n ＝5时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时a 1a 5＝a 2a 4⇒a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )(a 1＋3d )⇒d ＝0，不满足题意． 故n ＝4.验证过程如下： 当n ＝4时，有a 1，a 2，a 3，a 4.将此数列删去某一项得到的数列(按照原来的顺序)是等比数列． 如果删去a 1或a 4，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意． 故可以知道删去的是a 2或a 3.如果删去的是a 2，则a 1∶a 3＝a 3∶a 4，故a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2， 整理得到3a 1d ＝4a 1d ＋4d 2，即4d 2＋a 1d ＝0，故4d ＋a 1＝0，即a 1d ＝－4.如果删去的是a 3，则a 1∶a 2＝a 2∶a 4，故a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋d )2， 整理得3a 1d ＝2a 1d ＋d 2，即a 1d ＝d 2，故a 1＝d ，即a 1d ＝1.可得a 1d ＝－4或1.故答案为A.16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)方法一 由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n (n ＋1)2，得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为S 11＝1，公差为12的等差数列，∴S n n ＝1＋12(n －1)＝12(n ＋1)，∴S n ＝n (n ＋1)2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)2－(n －1)n2＝n . 而a 1＝1适合上式，∴a n ＝n .方法二 由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n (n ＋1)2， 得n (S n ＋1－S n )－S n ＝n (n ＋1)2，∴na n ＋1－S n ＝n (n ＋1)2，①当n ≥2时，(n －1)a n －S n －1＝n (n －1)2，② ①－②，得na n ＋1－(n －1)a n －a n ＝n (n ＋1)2－n (n －1)2，∴na n ＋1－na n ＝n ，∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是从第2项起的等差数列，且首项为a 2＝2，公差为1， ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n (n ≥2)． 而a 1＝1适合上式，∴a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2.假设存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列，则S 22k ＝a k ·a 4k ，即⎣⎡⎦⎤2k (2k ＋1)22＝k ·4k .∵k 为正整数，∴(2k ＋1)2＝4. 得2k ＋1＝2或2k ＋1＝－2，解得k ＝12或k ＝－32，与k 为正整数矛盾．∴不存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列．。
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：，称为公比()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且q 2、通项公式：，首项：；公比：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠1a q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或,,a A b A a b 2A ab=A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列是等比数列{}n a 211n n n a a a -+⇔=⋅4、等比数列的前项和公式：n n S （1）当时，1q =1n S na =（2）当时，1q ≠()11111n n n a q a a qS q q--==--（为常数）11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---,,','A B A B 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有为等比数n 11(0){}n n n n n na a qa q qa a a ++==≠⇔或为常数，列（2）等比中项：为等比数列21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔（3）通项公式：为等比数列()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔6、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且1{}n n n a qa a +=⇔7、等比数列的性质：（2）对任何，在等比数列中，有。
*,m n N ∈{}n a n m n m a a q -=（3）若，则。
特别的，当时，得*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈n m s t a a a a ⋅=⋅2m n k += 注：2n m k a a a ⋅=12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列中，, ,求.{}n a 1964a a ⋅=3720a a +=11a 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出1a q 和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.1a q 11a 1937+=+3a 7a 11a 等差数列等比数列定义da a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式d a a n n +=-1；mda a n m n +=-q a a n n 1-=；mn m n q a a -=通项公式dn a a n )1(1-+=11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项2kn k n a a A +-+=（0,,*f f k n N k n ∈）)0(f k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,*f f k n N k n ∈）前n 项和)(21n n a a nS +=dn n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≥--=--==)2(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例教学目标：1. 理解合比性质和等比性质的概念。
2. 学会运用合比性质和等比性质进行数学问题的解答。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 合比性质的定义和运用。
2. 等比性质的定义和运用。
3. 合比性质和等比性质在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教学PPT或者黑板。
2. 教学素材和实例。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入合比性质和等比性质的概念。
2. 引导学生思考合比性质和等比性质的应用场景。
二、合比性质的定义和运用（15分钟）1. 给出合比性质的定义。
2. 通过实例解释合比性质的应用。
3. 让学生尝试运用合比性质解决问题。
三、等比性质的定义和运用（15分钟）1. 给出等比性质的定义。
2. 通过实例解释等比性质的应用。
3. 让学生尝试运用等比性质解决问题。
四、合比性质和等比性质的综合应用（15分钟）1. 给出一个综合问题，要求学生运用合比性质和等比性质进行解答。
2. 引导学生思考合比性质和等比性质之间的关系。
五、总结和练习（10分钟）1. 对本节课的内容进行总结。
2. 布置相关的练习题目，让学生巩固所学知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解合比性质和等比性质的概念，并能够运用它们解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生思考合比性质和等比性质之间的关系，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
也要注重学生的实际操作，通过实例和练习题目让学生巩固所学知识。
六、合比性质和等比性质的拓展应用（15分钟）1. 介绍合比性质和等比性质在一些特定情境下的应用，如比例问题、经济问题等。
2. 提供一些实际问题，让学生运用合比性质和等比性质进行解答。
3. 引导学生思考合比性质和等比性质在其他学科领域的应用。
七、合比性质和等比性质的证明（15分钟）1. 引导学生思考合比性质和等比性质的证明方法。
2. 提供一些证明题目，让学生尝试证明合比性质和等比性质。
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比例的合比性质：如果d c b a =,那么d
d c b b a ±=
±； 比例的等比性质：
如果
d c b a ==…=n m
（b +d +…+n ≠0）,那么
b
a n d
b m
c a =++++++ 【基础练习2】
1、把mn=pq 写成比例式写错的是()
3若
3=y x
，求y
y x +的值。
（你会的方法越多越好啊！快来试一试！） 7、若
753z y x ==,则z y x z y x -++-=________.
8、若65
432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.则a ∶b ∶c.= 9、若
f e
d c b a ===2，则
=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 10、若
z y x y z x x z y +=+=+，求z
y x
+的值。
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理
如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则
BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC
DE DF
=
. 2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DE
AB AC BC
==
3.平行的判定定理：如上图，如果有
BC
DE
AC AE AB AD =
=，那么DE ∥BC 。
【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c
a
b
=+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和
BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：
111
AB CD EF
+=
. 专题二、定理及推论与中点有关的问题
d kd
c b kb a ±=
±d
c c
b a a ±=
±
【例3】 （2012年北师大附中期末试题）
（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14
AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF
FC FD
+的值为（）A.52
B.1
C.32
D.2
【例4】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .
（1）当1A 2AE C =时，求
AO
AD
的值；
（2）当
11A 34AE C =、时，求
AO
AD
的值； （3）试猜想
1A 1AE C n =
+时AO
AD
的值，并证明你的猜想. 【例5】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：1
2
AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，
12AF AE
FC ED
=⋅
成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. 【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，
且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
求证：AF EF =。
【例6】 （宁德市中考题）如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ， 延长AB 交CE 的延长线于P 。
若2AD DE =，求证:3AP AB =。
专题三、利用平行线转化比例 【例7】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且 与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P . 求证：PM PN PR PS ⋅=⋅
【巩固】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥， AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =． 【例8】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对
边AC 、AB 于D 、E ，求证：
1AD AE
DC EB
+= 【例9】 在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中 线，AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =
【例10】 如图，M 、N 为ABC ∆边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条 平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F . 求证：3EF DE =.
【例11】 已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别连 接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F . （1）求证：//EF CD
（2）若AB a =,CD b =，求EF 的长. 【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，
396AD BC AB ===，，,4CD =，若EF BC ∥，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相
等，求EF 的长。
E D C
B
A
O
【例12】（山东省竞赛题）如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F，若AB a AD c BE b
，，,求BF的值。
===。