合比等比性质及习题

比例的合比性质：如果d c b a =,那么d
d c b b a ±=
±； 比例的等比性质：
如果
d c b a ==…=n m
（b +d +…+n ≠0）,那么
b
a n d
b m
c a =++++++ 【基础练习2】
1、把mn=pq 写成比例式写错的是()
3若
3=y x
，求y
y x +的值。

（你会的方法越多越好啊！快来试一试！） 7、若
753z y x ==,则z y x z y x -++-=________.
8、若65
432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.则a ∶b ∶c.= 9、若
f e
d c b a ===2，则
=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 10、若
z y x y z x x z y +=+=+，求z
y x
+的值。

平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理
如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则
BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC
DE DF
=
. 2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DE
AB AC BC
==
3.平行的判定定理：如上图，如果有
BC
DE
AC AE AB AD =
=，那么DE ∥BC 。

【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c
a
b
=+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和
BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：
111
AB CD EF
+=
. 专题二、定理及推论与中点有关的问题
d kd
c b kb a ±=
±d
c c
b a a ±=
±
【例3】 （2012年北师大附中期末试题）
（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14
AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF
FC FD
+的值为（）A.52
B.1
C.32
D.2
【例4】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .
（1）当1A 2AE C =时，求
AO
AD
的值；
（2）当
11A 34AE C =、时，求
AO
AD
的值； （3）试猜想
1A 1AE C n =
+时AO
AD
的值，并证明你的猜想. 【例5】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：1
2
AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，
12AF AE
FC ED
=⋅
成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. 【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，
且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

求证：AF EF =。

【例6】 （宁德市中考题）如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ， 延长AB 交CE 的延长线于P 。

若2AD DE =，求证:3AP AB =。

专题三、利用平行线转化比例 【例7】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且 与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P . 求证：PM PN PR PS ⋅=⋅
【巩固】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥， AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =． 【例8】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对
边AC 、AB 于D 、E ，求证：
1AD AE
DC EB
+= 【例9】 在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中 线，AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =
【例10】 如图，M 、N 为ABC ∆边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条 平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F . 求证：3EF DE =.
【例11】 已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别连 接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F . （1）求证：//EF CD
（2）若AB a =,CD b =，求EF 的长. 【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，
396AD BC AB ===，，,4CD =，若EF BC ∥，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相
等，求EF 的长。

E D C
B
A
O
【例12】（山东省竞赛题）如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F，若AB a AD c BE b
，，,求BF的值。

===。