7.3特殊角的三角函数课件[1]
九下7.3特殊角的三角函数
7.3 特殊角的三角函数教案备课时间: 主备人:班级：____________姓名：____________学号：____________【新知探索】假如∠A=30°,你能求出sin30°,cos30°,tan30°吗？假如∠A=45°，你能求出sin45°、cos45°、tan45°吗？观测：观查有没有什么规律？【典型例题】1．已知∠A 为锐角，cosA=，你能求出sinA 和tanA 吗?2．求锐角 a 的度数:232sin 2=-α3)15sin(2=-α3．已知:如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BC=2，BD= .分别求出△ABC 、△ACD 、△BCD 中各锐角4．如图，在△ABC 中，已知BC=1+ ，∠B=60°， ∠C=45°，求AB 的长.课后练习：一．【知识要点】填写下表，并记熟这些值1tan 3=-α33二．【基础演练】1． 填空：（1） （2） 2． 在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ，则△ABC 的形状是________________.3. 在△ABC 中，∠C=90°,sinA= ,则cosB=_______,tanB=_______4.已知α为锐角，且sin α=53,则sin(90°-α)=_4．计算下列各式的值：（1） （2）（3）（4）(5)11|sin 452-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭° (6)112)4cos 30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°tan45︒-sin30︒cos60︒=________;cos45︒tan 230︒=________.2sin30︒+3cos60︒-4tan45︒cos30︒sin45︒+sin30︒cos45︒sin60︒-1tan60︒-2tan45︒(sin60︒-1)2|tanB-3|+(2sinA-3)2=0235．求满足下列条件的锐角 ：（1） （2） sin(α-10°)=236．已知： ，则sin α______cos α；tan α______1；tan α______sin α. 7.在Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=5,AC=15,则∠A=8．已知：如图，AC 是△ABD 的高，BC=15cm ，∠BAC=30°，∠DAC=45°.求AD.θ2sin θ-2=0CBAD45︒30︒4590α<<。
人教版九年级数学课件《特殊角的三角函数值》
第二十八章第1节
特殊角的三角函数值
PEOPLE
EDUCATION
学校：XXXX
VERSION
OF
THE
老师：XXXX
NINTH
GRADE
MATH
VOLUME
学习目标
人教版数学九年级下册
1.运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数
值.(重点)
2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.(难点)
1
A.
2
B.
3
2
C.
3
3
3.在△ABC中，若cosA=
A.锐角三角形
D. 3
2
,tanB=
2
B.直角三角形
3，则这个三角形一定是( A)
C.钝角三角形
D.等腰三角形
人教版数学九年级下册
达标检测
4.在△ABC中，若 sinA −
1
2
1 2
+(cosB- ) =0,则∠C为(
2
D)
A.30° B.45° C.60° D.90°
BC
7
∴ ∠B=60°
∴ ∠A=90°-∠B=30°
人教版数学九年级下册
人教版数学九年级下册
人教版数学九年级下册
针对练习
已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2 ＋|sinB－
试判断△ABC的形状．
3
解：∵
|sinB－
|＝0，
2
3
∴ tanA＝1，sinB＝ ，
2
(1－tanA)2 ＋
∴sin2A+cos2A=
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
归纳法等方法推导出诱导公式。
03
诱导公式的应用
在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛
应用。例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。
恒等式及其证明方法
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量 取何值，等式都成立。
拓展延伸：反三角函数简介
01
02
03
04
反三角函数的定义
反正弦、反余弦、反正切等反 三角函数的定义及性质。
反三角函数的图像
反正弦、反余弦、反正切函数 的图像及其与对应三角函数的
关系。
反三角函数的应用
在几何、物理等领域中的应用， 如角度计算、长度测量等。
反三角函数的计算
利用计算器或数学软件进行计 算，求解三角方程等问题。
高中数学课件三角函 数ppt课件完整版
REPORTING
目录
• 三角函数基本概念与性质 • 三角函数诱导公式与恒等式 • 三角函数的加减乘除运算 • 三角函数在解三角形中的应用 • 三角函数在数列和概率统计中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
PART 01
三角函数基本概念与性质
REPORTING
三角函数的定义及性质
PART 05
三角函数在数列和概率统 计中的应用
REPORTING
三角函数在数列求和中的应用
利用三角函数的周期 性，将数列求和转化 为定积分计算
结合三角函数的图像 和性质，分析数列的 收敛性和求和结果
通过三角函数的和差 化积公式，简化数列 求和过程
三角函数在概率统计中的应用
利用三角函数表示周期性随机 变量的概率密度函数
特殊角的三角函数30度 45度 60度 课件
tan 45 cos60 2、 tan30 sin 60
例题2、 Rt△ABC中，∠c=90°，a、b、c分别 为∠A、∠B、∠C的对边长
①已知a=6，b=6 3 ,求c及∠A
在Rt △ABC中
∵a2+b2=c2 ∴c2=144 ∴ c=12
B
c
A
a
b
C
变式、
Rt△ABC中，∠c=90°，a、b、c分别
30°、45°、60°
三角函数： 正切： tanA 正弦： sinA
∠A的对边 = ∠A的邻边 ∠A的对边 = 斜边
∠A的邻边 = 斜边
= =
a b a c
b c
B c a
余弦： cosA
=
A
b
C
学习目标
• 1、会计算30°、 45° 、60°角 的三角函数值。 • 2、能够根据30°、 45° 、60° 角的三角函数值，求出其所对应的 锐角的度数。
sinα
30° 45°
1 2 2 2
3 2
cosα
3 2
tanα
3 3
60°
2 2 1 2
1
3
2 1
3
1 1
2
在直角三角形中如图所示 （1）在45°直角三角形中三边 AC：BC：AB之比为 1 : 1 : 2 。 （2）在30°、60°直角三角形中三边 BC ： AC ：AB之比为 1 : 3 : 2 。
为∠A、∠B、∠C的对边长
③已知a=12， 4 3 ,求∠B ②已知a=12， ∠A=300 ,求b. b
a 3 tan A b 3 12 3 , b 3 3b 36, b 12 3
北师大版九年级数学下册第1章第2节特殊角的三角函数值(共24张PPT)课件
一.复习巩固: 1.正弦、余弦、正切、的定义 在△ABC中,∠C为直角. A
sin A=
∠A的对边 斜边
=
a c
cos A=
∠A的邻边 斜边
=
b c
∠A的对边 tanA= ∠A的邻边
=
a
b
B
c
a
对 边
┓
b
邻边 C
0＜sinA＜1
0＜cosA＜1
tan A>0
2.Rt△ABC中,∠C=90°, a:b=5:12,
B
k
2k
C
45° A k
3.特殊角三角函数值表
三α角函数 sinα
cosα
tanα
30° 45°
1
2
2
2
3
2
2
2
3
1
3
60°
3 2
1 2
3
求下列各式的值:
(1) 2sin30°－cos45°= 2 1 －
2
2 2
=
2 2 2
(2) sin60°tan30°= 3 3 = 1 23 2
(3) sin230°+ cos230°= (1)2 ( 2
板，进行观察与推算sin30°,sin45°,sin60°,
cos30°,cos45° ,cos60°的值.
B
B
k 60° 2k
C
30°
3k
sin 30 1
2
cos 30 3 2
k
2k
A C k 45° A
sin 45 2 sin 60 3
2
2
cos 45 2 cos 60 1
7_3特殊角的三角函数 (1)
7.3特殊角的三角函数学习目标:1．能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义. 2．会计算含有30°、45°、60°角的三角函数的值.3．能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相对应锐角的大小. 学习重难点：能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值，会计算含有30°、45°、60°角的三角函数的值.进一步体会三角函数的意义. 教学过程：一、复习：同学们已经学习了锐角三角函数，你能分别说出正切、正弦、余弦的定义吗？ 二、探索活动 1．观察与思考你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？ 2．根据以上探索完成下列表格例1．求下列各式的值。
（1）2sin30°－cos45° （2）sin60°·cos60° （3）sin 230°＋cos 230°练习：计算.（1）cos45°－sin30° （2）sin 260°＋cos 260° (3)tan45°－sin30°·cos60°例2．求满足下列条件的锐角α: (1) cosα=23(2)2sinα=1 (3)2sinα－2=0 (4)3tanα－1=0练习: 求满足下列条件的锐角α:(1)cosα－23=0 (2)－3tanα＋3=0(3)2cosα－2=0 (4)tan （α+10°）=3例３.已知:如图,AC 是△ABD 的高,BC=15㎝,∠BAC=30°,∠DAC=45°.求AD.例４.已知△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AD=2,AC=22,AB=4,求∠BAC 的度数.作业１：１．当锐角α变大时，sinα的值变_____，cosα的值变_______，tanα的值变_______. ２．若sinα=22,则锐角α=________. 若∠A 是锐角，且tanA=33,则cosA=________. ３．若2cosα=1,则锐角α=_________. ４．在Rt△ABC 中，∠C=90°,若sinA=21,则BC∶AC∶AB 等于（ ） A.1∶2∶5 B.1∶3∶ 5 C. 1∶3∶ 2 D.1∶2∶3 ５．在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．一般锐角三角形 ６．若∠A=41°，则cosA 的大致范围是（ ）A ．0＜cosA ＜1 B.21＜cosA ＜22 C.22＜cosA ＜23 D. 23＜cosA ＜1７．计算下列各式的值.(1)2sin30°＋3cos60°－4tan45° (２)cos30°sin45°＋sin30°cos45°(３)2sin 601tan 602tan 45-- (４)tan 45cos 60sin 60-·tan30°８．如图:水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m, 坡长CD=8m,坡底BC=30m,∠C=45°,求tan∠ABC.作业２：1．已知α为锐角，且tan α=()13-,则α＝__________2．在Rt ∆ABC 中，∠C=90º，85a =, 815b =, 则∠B=_________3．在Rt ∆ABC 中，∠C=90º，tanA=33, 则sinB 的值为___________ 4．在锐角△ABC 中,若sinA=23,∠B=75°,则cosC 的值为___________. 5．锐角A 满足2sin(A －15) º =3, 则∠A=____________ 6．在∆ABC 中，若2(2cos 1)3tan 0A B -+-=,则△ABC 是______三角形.7．计算:(1)3cos30°+2sin45° (2)2cos45°+32- (3) 22cos 45tan 308．∆ABC 中, cosA=32, ∠B－∠C=90º，则∠B＝____ ∠C =________. 9．已知∠A 为锐角，且cosA ≤0.5, 则∠A 的范围是_______________10．如果关于x 的二次三项式22cos x x α-+是完全平方式，则锐角α＝_________ 11．已知α为锐角,当αtan 12-无意义时,求tan(α＋15°)—tan(α—15°)的值.12．已知：sin 23x m =-，且x 为锐角，求m 的范围.13．如图，在Rt ∆ABC 中，∠C=90º，∠A=15º，适当添加 辅助线,利用特殊角的三角函数,从而求出tan15°的值.14．将一张半圆形纸片围成一个圆锥的侧面， 它的轴截面为等边∆ABC ，求tan∠ABC.15．如图：在∆ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高， ∠E BC=45º, ∠DCB=30º,DC=12,求BE 的长。
7.3初三数学 特殊角的三角函数
初三数学特殊角的三角函数班级________ 姓名__________学习目标：1．能通过推理得特殊角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义；2. 能根据特殊角的三角函数值，说出相应锐角的大小；一、知识回顾：在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A、∠B的三角函数关系式：sinA＝ _________，cosA=__________，tanA＝___________．sinB＝ _________，cosB=__________，tanB＝___________．二、玩转三角板：如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，你知道每个三角形的三边之比吗？根据探索完成下列表格：三、知识应用：1、填空：(1) 2sin30°-cos45° =________；(2) sin230°+cos230° =________；(3) tan45°－sin30°·cos60°=________；(4)2230tan45cos=________；（5）（6）︒︒30tan45cos2= sin260°＋cos260°= 2、求满足下列条件的锐角α．(1) 若cosα=23，则α=_____0；(2) 若2sinα=1 ，则α=_____0；(3) 若2sinα，则α=_____0；(4) 若3tan（α+10°）－1=0，则α=_____0；四、典例分析：1、对于不是特殊角的三角函数值，我们可以借助计算器来求这个角的大小或函数值．如：求满足下列条件的锐角A或函数值（精确到0.01°）(1)o35sin=______；（2）cos55°12′=______；（3）tan22.5°=______；(4)若23.0cos=A，则∠A=______0；(5)若10tan=A，则∠A =_______0；图1 图2 tan45︒-sin30︒cos60︒=________;2、在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sin A ＝12，tan B ＝3，AB ＝10，求△ABC 面积.变式：（1）.如图，△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC=10.则△ABC 的面积是_______.（2）.等腰三角形的腰长为6cm，底边长为，则该三角形是 三角形.（3）. 等腰三角形的腰长为a ，底角为15°，则三角形的面积为 .3、如图，在△A BC 中，已知BC=31 ，∠B=60°，∠C=45°，求AB 的长．.4、在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90 º，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝2 ，CD＝BCD 中各锐角的度数．5、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，求AD 的长．。
19-20版 第7章 7.3 7.3.1 正弦函数的性质与图像
7.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像学习目标核心素养1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点．(重点)2.能正确使用“五点法”作出正弦函数的图像．(难点)1.借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养．2.通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养.1.正弦函数的性质(1)函数的周期性①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．(2)正弦函数的性质函数y＝sin x定义域R值域[－1,1]奇偶性奇函数周期性最小正周期：2π单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)上递减最值x ＝2k π＋π2 ，(k ∈Z )时，y 最大值＝1； x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y 最小值＝－1(1)利用正弦线可以作出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像，要想得到y ＝sin x (x ∈R )的图像，只需将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像沿x 轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图像叫做正弦曲线．(2)“ 五点法” 作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像时，所取的五点分别是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，和⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1和(2π，0)． 思考：观察正弦函数的图像是否具有对称性，它的对称性是怎样的？ [提示] 由图(图略)可以看出，正弦函数的图像关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图像，点(π，0)，点(2π，0)… ，点(k π，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图像有无数个对称中心，且为(k π，0)(k ∈Z )，即图像与x 轴的交点，正弦函数的图像还具有轴对称性，对称轴是x ＝k π＋π2 ，(k ∈Z )，是过图像的最高或最低点，且与x 轴垂直的直线．1.函数y ＝x sin x 是( ) A ．奇函数，不是偶函数 B ．偶函数，不是奇函数 C ．奇函数，也是偶函数D ．非奇非偶函数B [f (－x )＝－x sin(－x )＝－x (－sin x )＝x sin x ＝f (x )，∴y ＝x sin x 为偶函数，不是奇函数．]2.下列图像中，符合y ＝－sin x 在[0,2π]上的图像的是( )D [把y ＝sin x ，x ∈[0,2π]上的图像关于x 轴对称，即可得到y ＝－sin x ，x ∈[0,2π]上的图像，故选D ．]3.点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图像上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2C [由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1， ∴m ＝－1.]三角函数奇偶性的判定(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )． [解](1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称． 又∵ f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴ f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．判断函数奇偶性应把握好两个关键点： 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.1.判断函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋2x ＋x 2sin x 的奇偶性．[解] 原式＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x ) ＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数.正弦函数的单调性及应用(1)sin 194°和cos 160°； (2)sin 74和cos 53.[思路探究] 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．[解](1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. (2)∵cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π<π2＋53<32π，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是减函数，∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较.2.比较大小：(1)sin 250°与sin 260°； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.[解](1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin 70°＜sin 80°，所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝－sin 23π5＝－sin 3π5＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝－sin 2π5.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin π4. 因为0＜π4＜2π5＜π2，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin π4＜sin 2π5，－sin π4>－sin 2π5， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.正弦函数的值域与最值问题(1)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3；(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x .[思路探究](1)用|sin α|≤1构建关于y 的不等式，从而求得y 的取值范围． (2)用t 代替sin x ，然后写出关于t 的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y 的取值范围．[解](1)∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3≤5， ∴1≤y ≤5，即函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值域为[1,5]．(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1， y ＝－2t 2＋t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋98.由二次函数y ＝－2t 2＋t ＋1的图像可知－2≤y ≤98，即函数y ＝1－2sin 2x ＋sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，98.1.换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．2.转化成同一函数，要注意不要一见sin x 就得出－1≤sin x ≤1，要根据x 的范围确定．3.设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．[解] f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22，∴当sin x ＝－22时取最小值为1－22.正弦函数的图像答下列问题：(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点，求a 的取值范围； (3)求函数y ＝1－2sin x 的最大值，最小值及相应的自变量的值． [解] 按五个关键点列表：x －π －π2 0 π2 π sin x 0 －1 0 1 0 y ＝1－131－112sin x描点连线得：(1)由图像可知图像在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，∴a 的取值范围是{a|1<a<3或－1<a<1}．(3)由图像可知y最大值为3，此时x＝－π2；y最小值为－1，此时x＝π2.1.解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取－π，－π2，0，π2，π，然后相应求出y值，作出图像．2.“五点法”作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．3.仔细观察图像，找出函数图像y＝1与y＝a的交点及最大值，最小值点正确解答问题．4．用“五点法”画出函数y＝12＋sin x，x∈[0,2π]上的图像．[解]取值列表如下：x 0π2π3π22πsin x 010－10y＝12＋sin x 123212－1212描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)1.正弦函数周期性的释疑由正弦函数的图像和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.2.正弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，反映在图像上，正弦曲线关于原点O对称．(2)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．3.正弦函数单调性的说明(1)正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．(2)求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．(3)确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．4．正弦函数最值的释疑(1)明确正弦函数的有界性，即|sin x|≤1.(2)对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．(3)形如y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝A sin z的形式求最值．5．“五点法”画正弦函数图像“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．1.以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是()A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图像形状相同，只是位置不同B ．关于x 轴对称C ．介于直线y ＝1和y ＝－1之间D ．与y 轴仅有一个交点B [观察y ＝sin x 图像可知A ，C ，D 项正确，且关于原点中心对称，故选B ．]2.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )D [可以用特殊点来验证．当x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A ，C ；当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π2＝1，排除B ．]3.若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． [－1,0] [因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1， 所以－1≤2m ＋1≤1， 解得－1≤m ≤0.]4．用五点法画出函数y ＝－2sin x 在区间[0,2π]上的简图． [解] 列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x1－1y＝－2sin x 0－202011/11。
九下73特殊角的三角函数值
7.3 特殊角的三角函数值 主备人：彭生翔审核人：吴晓旭第1课时 总第4课时一、课前预习与导学填写下表，并记熟这些值:二、合作学习例1.已知∠A 为锐角，cosA=23，你能求出sinA 和tanA 吗?例2．求锐角 a 的度数: 2cos 2α=02sin 2=-α 01tan 3=-α 3)15sin(2=- α例3．已知:如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BC=2，BD=3.分别求出△ABC 、△ACD 、△BCD 中各锐角。
例4．如图，在△ABC 中，已知BC=1+3 ，∠B=60°，∠C=45°，求AB 的长.三、小结与思考四、作业:书P 习题7.3第1、2题 sin θcos θtan θθ三角函数30︒45︒60︒7.3 特殊角的三角函数值(作业案)姓名：第1课时 总第4课时 得分：1. 在△ABC 中，∠C=90°，则cosB=_______,tanB=_______ 2.已知α为锐角，且sin α=53，则sin(90°-α)=_ 3．计算下列各式的值：（1） （2）（3） （4）(5)101|sin 452-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭° (6)4．求满足下列条件的锐角：（1） （2） sin(α-10°)=235．已知：如图，AC 是△ABD 的高，BC=15cm ，∠BAC=30°，∠DAC=45°.求AD.1012)4cos30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°2sin30︒+3cos60︒-4tan45︒cos30︒sin45︒+sin30︒cos45︒sin60︒-1tan60︒-2tan45︒(sin60︒-1)2θ2sin θ-2=0C B AD 45︒30︒。
4.7.3 特殊角的三角函数
理由．
[答案] 对于任意的锐角 α ，在直角三角形中，由正弦、正 α 的对边 α 的对边 切的定义可得 sinα ＝ ， tanα ＝ .因为邻边(直 斜边 α 的邻边 角边) 总是小于斜边，所以 sinα ＜tanα 总成立．
图 7－ 3－1
7.3
特殊角的三角函数
2．如图7－3－2，P是角α 的边OA上一点，且P点的坐标为(3
4 4 ，4)，则sinα ＝____ 5 ，tanα ＝____ 3 ．
图7－3－2
7.3
特殊角的三角函数
►
活动2
教材导学
特殊角的三角函数值 阅读教材 P101 完成下表
θ 三角函数值 三角函数 30° 1 2 3 2 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 2 3
数 学
新课标（苏教） 九年级下册
7.3
特殊角的三角函数
7.3
特殊角的三角函数
探 究 新 知
► 活动1 知识准备
1．如图 7－ 3－1，在△EFG 中，∠EFG＝90°，FH⊥EG，下面 等式中，错误的是( C ) GH FH C． sinG＝ D．sinG＝ FG FG
EF EH A．sinG＝ B．sinG＝ EG EF
[ 解析]
A 根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理
求出角的度数，再进行判断． 2 ∵cosA＝ ，tanB ＝ 3 ，∴∠A＝45°，∠B＝60°， 2 ∴∠C ＝180°－45°－60°＝75°. ∴△ABC 为锐角三角形．故选 A.
7.3
特殊角的三角函数
[归纳总结]按角分类来判断一个三角形的基本思路是看三个
数值，还要理解正切值随着角度的增大而增大这个规律．
特殊角的三角函数值 经典课件(最新版)
求AB.
C
解：过点C作CD⊥AB于点D
∠A=30°， AC 2 3,
Q sin A CD 1 , AC 2
CD 1 2 3 3. 2
A
D
B
Q cos A AD AC
3, 2
AD
3 2 2
3 3.
Q tan B CD 3 , BD 3 2 2,
求∠A的度数; B
解： 在图中，
Q sin A BC 3 2 , AB 6 2
6
3
A 45;
A
C
初中数学课件
(2)如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO= 3 OB，
求 的度数.
解： 在图中，
A
Q tan AO 3OB 3 ,
OB OB
60.
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特殊角的三角函数值 课件
初中数学课件
学习目标
1.运用三角函数的概念，自主探索，求出30°、45°、60° 角的三角函数值.（重点）
2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用. (难点)
导入新课
初中数学课件
复习引入
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 3 , BC=8，则 5
（2）
cos45o sin45o
tan45o.
解：（1）
cos2
60o+sin2 60o
1 2
2
3 2
2
1;
（2）
cos45o sin45o
tan45o
2 2
2 1 0. 2
初中数学课件
九下7.3特殊角的三角函数
7.3 特殊角的三角函数[ 教案]备课时间: 主备人:班级：____________姓名：____________学号：____________【新知探索】假如∠A=30°,你能求出sin30°,cos30°,tan30°吗？假如∠A=45°，你能求出sin45°、cos45°、tan45°吗？观测：观查有没有什么规律？ 【典型例题】1．已知∠A 为锐角，cosA=，你能求出sinA 和tanA 吗?2．求锐角 a 的度数:232sin 2=-α3)15sin(2=- α3．已知:如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BC=2，BD= .分别求出△ABC 、△ACD 、△BCD 中各锐角4．如图，在△ABC 中，已知BC=1+ ，∠B=60°， ∠C=45°，求AB 的长.课后练习：一．【知识要点】填写下表，并记熟这些值1tan 3=-α33二．【基础演练】1． 填空：（1） （2） 2． 在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ，则△ABC 的 形状是________________.3. 在△ABC 中，∠C=90°,sinA= ,则cosB=_______,tanB=_______4.已知α为锐角，且sin α=53,则sin(90°-α)=_ 4．计算下列各式的值：（1） （2）（3）（4）(5)101|sin 452-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭° (6)1012)4cos30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°tan45︒-sin30︒cos60︒=________;cos45︒tan 230︒=________.2sin30︒+3cos60︒-4tan45︒cos30︒sin45︒+sin30︒cos45︒sin60︒-1tan60︒-2tan45︒(sin60︒-1)2|tanB-3|+(2sinA-3)2=0235．求满足下列条件的锐角 ：（1） （2） sin(α-10°)=236．已知： ，则sin α______cos α；tan α______1；tan α______sin α. 7.在Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=5,AC=15,则∠A=8．已知：如图，AC 是△ABD 的高，BC=15cm ，∠BAC=30°，∠DAC=45°.求AD.θ2sin θ-2=0CBAD45︒30︒4590α<<。
第7章三角函数1
13
2
2、若角的终边在直线y 2x上，则sin 等于( C )
A、 1 B、 5 C、 2 5 D、 1
5
5
5
2
3、的终边经过P(-b,4)，且cos 3，则b的值为_3____
5
4、已知角的终边在y x上，则sin cos ____2___
5、若sin tan 0,则的终边在( D )
【变式1】（1）一个角为30°，其终边按逆时针方向
旋转三周后的角度是多少？ 逆时针旋转说明是正角，三周是三个360度，所以角是 30+360*3=1110度
（2）时钟走了3小时20分，则分针所经过的角的度数为 多少？时针所转过的角的度数是多少？
【答案】（1）1110°（2）－1200° －100° 【解析】（1）终边按逆时针方向旋转三周，转过的角 为 360°×3=1080°，再加上原来的角度 30°，所以旋 转后的角是 1110°。 （2）时针、分针都是顺时针方向旋转，故所转过的角
tan( ) sin( ) cos( )
【证明】左边
sin
2
2
cos
2
2
( tan )( sin ) cos
sin
2
cos
2
2
sin2
sin2
sin
2
cos
2
cos sin
sin cos
tan
=右边，原式得证．
7.6 正弦函数与余弦函数的图像和性质
7.6.1 正弦函数的图像和性质
2
180
57.30
2
114.6
。
1 rad （2）设两个角的弧度数分别为 x，y，因为 180 ，
7.3 特殊角的三角函数+7.4 由三角函数值求锐角 苏科版数学九年级下册导学课件
7.3 特殊角的三角函数 7.4 由三角函数值求锐角
学习目标
1 本节要点 特殊角的三角函数值
由三角函数值求锐角
2 学习流程
逐点 学练
本节 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 特殊角的三角函数值
1.30°，45°，60°角的三角函数值
感悟新知
特别提醒： ①由左表可以计算特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的三角
感悟新知
例 1 计算： 解题秘方：用“代入法”即可解出答案
解法提醒： 含有特殊角的三角函数的式子的计算方法：
先直接代入特殊角的三角函数值，将运算转化为实 数的混合运算，然后根据实数的运算法则进行计算.
感悟新知
(1)sin230° +sin60°﹣ sin245° +cos230°； 解：原式＝(12)2＋ 23－( 22)2＋( 23)2 ＝14＋ 23－12＋34 ＝12＋ 23；
连接AD.
∵ BD=AB，∴∠ D = ∠BAD.
易得∠ D= 1 ∠ ABC= 1×30° =15° .
2
2
感悟新知
设AC=x(x>0)，则AB=BD=2x ，
∴ BC=AB·cos ∠ABC=2x×
3 2#43;BC=(2+ 3 )x.
∴
tan
D=
x (2＋
3)x
=2－
3
，即tan15° =2－
2.30°，45°，60°角的三角函数值的记忆法 巧记特殊角的三角函数值： 三十、四十五、六十度，三角函数要记住， 分母弦二切是三，分子要把根号添， 一二三来三二一，切值三、九、二十七， 正弦正切递增值，余弦递减恰相反.
感悟新知
特殊角的三角函数值
§7.3 特殊角的三角函数【学习目标】：1. 能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义.2. 会计算含有30°、45°、60°角的三角函数的值.3. 能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相对应锐角的大小.4. 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展同学们的推理水平和计算水平. 【学习重点】熟练使用30°、45°、60°角的三角函数值计算。
【学习难点】熟练使用30°、45°、60°角的三角函数值计算。
一、【课前预习】 1、预习课本P46-47 2、预习检测：在Rt △ABC 中，∠C=900，假如∠A=300，则BC= AB ，AC= AB ，所以：===AB BCA 030sin sin , ===AB ACA 030cos cos ,===ACBCA 030tan tan当∠A=450时，BC=AC ，所以：===AB BCA 045sin sin ,===AB ACA 045cos cos ,===ACBCA 045tan tan二、三、【活动1、求以下各式的值。
（1）2sin30°-cos45° （2）sin60°·cos60° （3）sin 230°+cos 230°练习：计算.（1）cos45°－sin30° （2）sin 260°＋cos 260°BCABCA(3)tan45°－sin30°·cos60° (4) 020230tan 45cos活动2、求满足以下条件的锐角α：(1) cos α=23(2)2sin α=1 (3)2sin α－2=0 (4)3tan α－1=0练习：求满足以下条件的锐角α:(1)cos α-23=0 (2)-3tan α+3=0(3)2cos α-2=0 (4)tan （α+10°）=3 四、【拓展延伸】： 1、已知α为锐角,当αtan 12-无意义时,求tan(α+15°)-tan(α-15°)的值.2、等腰三角形的一腰长为6㎝,底边长为63㎝,请你判断这个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形?五、【课堂检测】1．根据30°、45°、60°角的三角函数值填空：当锐角α变大时，sin α的值变____ _，cos α的值变_______，tan α的值变_______. 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°,若sinA=21,则BC ∶AC ∶AB 等于（ ） A.1∶2∶5 B.1∶3∶ 5 C. 1∶3∶ 2 D.1∶2∶33.在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．一般锐角三角形 4．若∠A=41°，则cosA 的大致范围是（ ） A ．0＜cosA ＜1 B.21＜cosA ＜22 C.22＜cosA ＜23 D. 23＜cosA ＜15.若sin α=22,则锐角α=________.若2cos α=1,则锐角α=_________. 6.若sin α=21,则锐角α=_________.若sin α=23,则锐角α=_________.7.若∠A 是锐角，且tanA=33,则cosA=_________. 8.计算以下各式的值.(1)2sin30°+3cos60°-4tan45° (2)cos30°sin45°+sin30°cos45°(3)00045tan 260tan 160sin -- (4)3cos30°+2sin45°【课后固学】：1.计算：=060sin 2 ，=-0045tan 30cos 60sin 2.在△ABC 中, ∠C=90°，∠B=2∠A ，则=A cos 3.计算:(1)045tan 230tan 360sin 2-+ (2)0060cos 2145sin 2-(3)000045tan 30tan 145tan 30tan -+ (4)00030tan 60sin 60cos 45tan •-(5)2cos45°+32- 0202060sin 45cos 2130sin 2-5. 在锐角△ABC 中,若sinA=23,∠B=75°,求cosC 的值.6.已知：如图，在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为D,BC=2,BD=3. 求 ∠B 及ACDCBA。
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你想知道小明怎样 算出的吗？ 算出的吗？
?
30° °
1.65米 米
10米 米
认真观察一下特殊角三角函数值表 格,你能发现什么规律？
角α
三角函数
30° °
45° °
2 2
60° °
3 2
sinα cosα tanα
1 2
3 2
2
2 1
1 2
3
3
3
例1： 求下列各式的值
1、2sin30°- cos45° 2sin30° cos45°
A
B=60° ，∠B=60°，
B
D
C
1 2009 − + (1).2sin 60° 3 tan 30° + (−1) 3
1 − (2). ( 3 − 2) + + 4 cos 30° | − 12 | 3
0 −1
0
(3).( 2 − 1) + 8 − 6 sin 45° ( −1) +
A
B
(2)
O
A C
αBຫໍສະໝຸດ (1)练习1 的度数: 练习1：求锐角 α 的度数:
2 sin α − 2 = 0
3 tan α − 1 = 0
2 sin(α − 15o ) = 3
如图， 如图，在△ABC中，已知BC=1+ 3 ABC中 已知BC=1+ C=45° AB的长 的长. ∠C=45°，求AB的长.
cos 45° 5、 2 tan 30°
例3、(1)如图，在Rt△ABC中， (1)如图 ] Rt△ABC中 如图， C=90° 的度数。 ∠C=90°，AB= ,BC= 。求∠A的度数。 (2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半 (2)如图 已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半 如图, OB的 径OB的 倍,求α.
B c a A b C
∠A的对边 a = 正弦 sin A = 斜边 c
三角函数
∠A的邻边 b = 余弦 cos A = 斜边 c
∠A的对边 a = 正切 tan A = ∠A的邻边 b
脑中有“ 脑中有“图”，心中有 “式”
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度， 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度， 小明站在离旗杆底部10米远处 目测旗杆的顶部， 米远处， 小明站在离旗杆底部 米远处，目测旗杆的顶部，视 线与水平线的夹角为30度 并已知目高为1.65米．然 线与水平线的夹角为 度，并已知目高为 米 后他很快就算出旗杆的高度了。
30° 30° 2、sin230°+ cos230°
看谁算得又对又快
1、 sin60°· cos60° sin60° cos60° tan45° sin30° 2、tan45°- sin30° sin60° tan30° cos45° 3、sin60°· tan30°-cos45° tans45° sin30° cos60° 4、tans45°- sin30°-cos60°
−2
2009