展开与折叠(1)重点题
七年级数学上册 第一章 2展开与折叠例题与讲解 北师大版
2 展开与折叠1.棱柱的表面展开图棱柱是由两个完全相同的多边形底面和一些长方形侧面围成的.沿棱柱表面不同的棱剪开就可以得到不同的表面展开图.如图是棱柱的一种展开图.棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(底面)和几个长方形(侧面).【例1】如图,请你在横线上写出哪种立体图形的表面能展开成下面的图形.解析:(1)三棱柱两个底面是三角形(2)六棱柱两个底面是六边形(3)长方体两个底面是长方形(4)三棱柱两个底面是三角形答案:三棱柱2.圆柱、圆锥的表面展开图(1)圆柱的表面展开图沿着圆柱的一条高把圆柱剪开,就得到圆柱的表面展开图.圆柱的表面展开图是两个圆(底面)和一个长方形(侧面),如图所示.如果两个底面圆在长方形的同一侧(如图所示),折叠后上端没有底,下端有两个底,则它不能折叠成圆柱.(2)圆锥的表面展开图如图所示,圆锥的表面展开图是一个圆(底面)和一个扇形(侧面).【例2】如图所示图形都是几何体的展开图,你能说出这些几何体的名称吗?分析:主要根据顶点、棱、面的数量及侧面展开图的形状进行判断.解:圆锥、圆柱、五棱柱.3.平面图形的折叠平面图形沿某些直线折叠可以围成一定形状的立体图形,与立体图形展开成平面图形是一个互逆过程.我们已经见过很多平面图形了,但并不是所有的平面图形都能折成几何体.根据平面展开图判断立体图形的方法:(1)能够折叠成棱柱的特征:①棱柱的底面边数=侧面的个数.②棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的两侧.(2)圆柱的表面展开图一定是两个相同的圆形和一个长方形.(3)圆锥的表面展开图一定是一个圆形和一个扇形.(4)能够折叠成正方体的特征:①6个面都是完全相同的正方形.②正方体展开图连在一起的(指在同一条直线上的)正方形最多只能为4个.③以其中1个为底面,前、后、左、右、上面都有,且不重叠.4.正方体展开图上的数字问题正方体是立体图形的展开与折叠的代表图形,与正方体的展开图有关的数字问题主要是相对面的找法,确定了三组相对面,数字问题便可迎刃而解.正方体的平面展开图共有11种,可分为四类:(1)1-4-1型相对面的确定:①第一行与第三行的正方形是相对面;②中间一行的4个正方形中,相隔一个是相对面.(2)1-3-2型相对面的确定:①第一行的正方形与第三行的左边第1个正方形是相对面;②中间一行第1个与第3个为相对面;第2个与第三行第2个为相对面.(3)2-2-2型相对面的确定:①第一行的第1个与第二行的第2个是相对面;②第二行第1个与第三行的第2个是相对面;③第三行的第1个与第一行的第2个为相对面.(4)3-3型相对面的确定:①第一行的第1个与第3个为相对面;②第二行的第1个与第3个为相对面;③第一行的第2个与第二行的第2个为相对面.【例3-1】如图所示,哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱?分析:(1)底面是四边形,侧面有3个,显然与三棱柱、四棱柱的特征不符;(3)的两个底面在侧面同侧,折叠后也不能围成棱柱;(2)(4)折叠后可以围成棱柱.解:(2)(4)可以.【例3-2】生活中我们经常可以见到各种各样的包装盒,你能用线将图中的实物和它的平面展开图连接起来吗?分析:根据能折叠成不同几何体的特征去判断即可.解:如图所示.【例4-1】如图所示,假定用A,B表示正方体相邻的两个面,用字母C表示与A相对的面,请在下面的正方体展开图中填写相应的字母.分析:先判断属于哪种类型,再确定相对面.前三种的相对面都是隔一个即可;第四种的A与上面第一行中的第2个是相对面.解:如图所示.【例4-2】要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后,相对面上两个数之和为6,则x=__________,y=__________.解析:这里关键是要找到相对的面,折叠之后可知,x与1相对,所以x=5,y与3相对,所以y=3.答案:5 3【例4-3】小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒(如图所示),则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是( ).___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________解析:这个正方体的平面展开图属于1-4-1型的,根据规律可知,第一行的与第三行的为相对面,中间一行的第1个与第3个、第2个与第4个为相对面,故应选A.答案:A5.表面展开图的应用正方体与图案正方体前面、上面、右面有不同的图案,按不同的类型展开后,其图案也会发生相应的变化.根据展开图判断是否与模型对应的方法:(1)三个面上的不同图案不会对立,所以可排除三种图案对立的情况;(2)位置判断:相邻三个面的图案位置是否一致.当前面和上面的图案确定位置后,另一个图案是在左面还是右面,图案放置的角度是否正确.【例5】图中给出的是哪个正方体的展开图?( ).解析:显然带有黑色的面是相对的面,所以A,B错误.又因为两个黑色小正方形应该是相对的,所以选D.答案:D。
数学图形的展开和叠折真题整理
数学图形的展开和叠折真题整理一.选择题1.(2021德州)如图给定的是纸盒的外表面,下面能由它折叠而成的是()A. B. C. D.考点:展开图折叠成几何体。
专题:探究型。
分析:将A、B、C、D分别展开,能和原图相对应的即为正确答案.解答:解:A、展开得到,不能和原图相对应,故本选项错误;B、展开得到,能和原图相对,故本选项正确;C、展开得到,不能和原图相对应,故本选项错误;D、展开得到,不能和原图相对应,故本选项错误.2.(2021广安)如图是一个正方体的表面展开图,则原正方体中与建字所在的面相对的面上标的字是()A. 美B. 丽C. 广D. 安考点:专题:正方体相对两个面上的文字。
分析:这种展开图是属于1,4,1的类型,其中,上面的1和下面的1是相对的2个面.解答:解:由正方体的展开图特点可得:建和安相对;设和丽相对;美和广相对;3.(2021德阳)某物体的侧面展开图如图所示,那么它的左视图为()A. B. C. D.4.(2021遵义)把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后,再如图③挖去一个三角形小孔,则展开后图形是()A. B. C. D.【解析】结合空间思维,解析折叠的过程及剪菱形的位置,注意图形的对称性,易知展开的形状.解:当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时,在直角三角形中间的位置上剪三角形形,则直角顶点处完好,即原正方形中间无损,且三角形关于对角线对称,三角形的AB边平行于正方形的边.故选C.【答案】C【点评】本题要紧考查了学生的立体思维能力即操作能力.错误的要紧缘故是空间观念以及转化的能力不强,缺乏逻辑推理能力,需要在平常生活中多加培养.5. (2021宁波)如图是老年活动中心门口放着的一个招牌,那个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的,每个骰子的六个面的点数分别是1到6,其中可看到7个面,其余11个面是看不见的,则是看不见的面上的点数总和是(A)41 (B)40 (C )39 (D)38【解析】每个骰子点数总和=1+2+3+4+5+6=21,三个骰子点数总和为2 13=63,露在别处的点数和为24,63-24=39,故选C【答案】C【点评】本题旨在考查学生的空间观念,整体处理是个最好的方法,假如一个一个地去数则比较苦恼。
5。3展开与折叠(1)
【课前预习】
1.三棱锥的展开图是由个形组成的.
2.圆椎的展开图是由一个和一个形组成的图形.
3.圆柱的展开图是由一个和两个形组成的图形.
4.长方体的展开图是由个形组成的图形.
5.正方体的展开图是由个形组成的图形.
6.在如图所示的图形中,是三棱柱的侧面展开图的是()
【课堂重点】
1.请写出下列图形中,各个几何体的展开图是什么几何体的展开图.
1.下面这些图形经过折叠可以围成一个棱柱吗?先想一想,然后动手折一折.
2.下列图形是正方体的展开图形的是()
A B C D
3.一个无上盖的正方体纸盒,底面标有字母A,沿图中的粗线剪开,在右图中补上四个正方形,使其成为它的展开图.
4.下面两图形分别是哪种多面体的展开图?
⑴⑵
5.个?动手试一试.
2.用纸板做几个正方形模型并把它们沿棱展开成平面图形.
(1)你可以得到下图所示的图形吗?
(2)你还可以得到哪些形状不同的图形?请你尽可能的画出所有可能的图形,并在黑板上进行展示.
3.阅读教材P128做一做和数学实验室,完成“练一练”.
4.本节课学习的主要内容是什么?你是否已经理解并初步学会?
【课后巩固】
北师大版数学五年级下册第二单元长方体(一)展开与折叠
知识一 正方体展开图的特点
读一读 教材例题
教材第14页例题
把一个正方体盒子沿着棱剪开,得到一个展开图。
请你拿出上节课P13T7所做的正方体盒子。
知识一 正方体展开图的特点
读一读 教材例题
教材第14页例题
12秒
开始计时 时间到
把这个正方体的盒子剪一剪,把你得到的展开图画下来。
学一学 知识方法
1.用笔在正方体盒子上标出正方体的各个面: 2.沿棱剪开: 正方体的每个面至少有一条边与其他面相连,得到 一个6个面相连的平面图形。 把这个平面图形画出来,并标示正方体的各个面。
思想方法 运用推理法解决问题 【例2】一个正方体的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母, 根据下面三种摆放情况判断每个字母相对的面各是哪个字母?
思路导引
F D A
它四个面相邻,与剩 下的一个面相对。
规范解答
1分钟 开始计时 时间到
开始点名
知识一 正方体展开图的特点 上
上
知识二 正方体展开图的对应关系 前 上
上
前 右 后 左 前 右 后 左 下 右上 左 前 右 后 左 左 前 右 后 下 后 下 下 下
上 下
上 右 下 下
上 右
上 右 后 左 前 下
左 前 右 后 后 左 前
上 右 下 后 左 前
后 左 前
上 右 左 前 后 下
点名 1 6个完全相同的正方形组成 2 一行(列)不过4; 3 “田”、“凹”应去之。 A 相间:一行或一列相隔一个面的两个面是对面 4 相间、“Z”端是对面 B “Z”端:“Z”字两个端点所在的面是对面 ? 观察标示的各个面,你发现了什么规律?
4分钟 开始计时 时间到
北师大版七年级数学上册《展开与折叠》例题讲解与变式(含答案)
《展开与折叠》例题讲解与变式知识点1:正方体的展开与折叠例1 在图中,各图形都是由六个大小相同的正方形拼接而成,它们是否可以折成一个正方体?为什么?解为了表述的方便,我们随机地把六个小正方形编上数码.(1)正方形2、3、4、6可折成一个无底的正方体,但正方形1、5重合,不能折成完整的正方体;(2)正方形1、5正好可折成正方体的两底,可以折成一个正方体;(3)正方形1、3可以折成正方体的两底,所以可以折成一个正方体;(4)正方形2、3在折的过程中重合,所以不能折成正方体;(5)正方形2、3或4、5在折的过程中重合,故不能折成正方体说明由一个正方体拆分成或展开成一个展开图时,因展开的方式不同,所以会有不同的展开图.这时由展开图还原为正方体时,就要考虑是否成立,此时,成立的条件是六个小正方形在折的过程中不能有重合部分即可.变式练习1 如图为正方体的一种平面展开图,各面都标有数字,则数字为-4的面与其对面上的数字之积是_____________.A.4 B.12 C.-4 D.0变式练习2 如图(a),一个正方体的每个面分别标有数字1,2,3,4,5,6.根据图中该正方体的三种状态所显示的数字,可推出“?”处的数字是什么?参考答案:1、B2、“?”处的数字是6.知识点2:一般棱柱、圆柱、圆锥的展开与折叠例2 请你把几何体和它的平面展开图用线连起来.分析此题实质就是在让我们分别找出长方体、圆锥体、圆柱体、六棱柱体的表面的平面展开图.解变式练习1 观察下图,请指出哪个图是长方体表面的平面展开图.变式练习2 哪种几何体的表面能展成如图所示的平面图形?参考答案1、(1)和(4)可以围成长方体.2、(1)为五棱柱;(2)为圆柱;(3)为圆锥.归纳:(1)圆锥的侧面是一个曲面,展开是扇形;(2)圆柱的侧面是一个曲面,展开是一个长方形;(3)棱锥有一个面是多边形,其余各面都是三角形;(4)棱柱有两个相同的多边形的底面,其余各面都是平行四边形.。
展开与折叠(一)
展开和折叠(一)
设计反思:
本课的设计中,有梯度的先安排了“做一做”,“想一想”、“议一议”、“试一试”,充分让学生动手操作、自主探索、合作交流,以积累有关图形的经验和数学活动经验,发展空间观念。
其中,动手操作是学习过程中的重要一环——在学习的开始阶段,它可以帮助学生认识图形、发展空间观念,以后,它可以用来验证学生对图形的空间想像。
因此,学习之初,先鼓励学生先动手、后思考,而后,则鼓励学生先想像,再动手。
本课的“想一想,折一折”以及课堂练习中很好的体现了这点,使学生的空间想象能力得到较大程度的提高。
最后的“想一想,试一试”这一开放性问题的设计让学生在编题中巩固知识,运用知识,并为学生提供了展示自我的机会,这样有意识地满足学生多样化的学习需求,发展学生的个性,不仅更好的激发学生的学习兴趣,更重要的是培养了学生的创新意识和创造力。
在本课的设计中两点还有待改进,其一是选择教具时和教学内容时应该更多的注意和现实生活相联系,“学习有价值的数学”的新课程精神有待更深刻的体现;其二是在拓展训练时在放手让学生发散上设计不够大胆。
北师大版七(上)数学1.2.1展开与折叠(1)课时同步检测(原创)
正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,
“M”与“x”是相对面,
“-2”与“-3”是相对面,
“4x”与“2x+3”是相对面,
(1)∵正方体的左面与右面标注的式子相等,
∴4x=2x+3,
解得x=1.5;
(2)∵标注了A字母的是正方体的正面,左面与右面标注的式子相等,
∴上面和底面上的两个数字-2和-3,
18.有一个正方体,在它的各个面上分别标有数字l、2、3、4、5、6.甲、乙、丙三位同学从三个不同角度去观察此正方体,观察结果如图l、2、3所示,那么这个正方体各个面上的数字对面各是什么数字?
甲 乙 丙
图1图2图3
19.马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子,他先用4个大小一样的正方形制成如下图所示拼接图形(实线部分),经折叠后发现还少一个面,请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形,使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.(添加所有符合要求的正方形,添加的正方形用阴影表示)
15.z=2,y=7,x=﹣5.
【解析】
【分析】
利用正方体及其表面展开图的特点,根据相对面上的两个数之和为5,列出方程求出x、y、z的值.
【详解】
这是一个正方体的平面展开图,共有六个面,
其中面“z”与面“3”相对,面“y”与面“﹣2”相对,“x”与面“10”相对.
则z+3=5,y+(﹣2)=5,x+10=5,
故答案为①或②或⑥.
【点睛】
本题考查了展开图折叠成几何体,解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形.
11.4
【解析】
【分析】
结合正方体的平面展开图的特征,只要折叠后能围成正方体即可,
初一数学展开与折叠试题
初一数学展开与折叠试题1.右图是一个由相同小正方体搭成的几何体俯视图,小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数,则这个几何题的主视图是 ( )【答案】A【解析】本题考查的是三视图俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数,分析其中的数字,得主视图有3列,从左到右分别是3,2,1个正方形.由俯视图中的数字可得:主视图有3列,从左到右分别是3,2,1个正方形.故选A.2.如图是正方体的平面展开图,每个面上标有一个汉字, 与“油”字相对的面上的字是( )A.北B.京C.奥D.运【答案】A【解析】本题考查了正方体的的表面展开图正方体的平面展开图中,相对面的特点是中间必须间隔一个正方形,据此作答即可.因为正方体的平面展开图中,相对面的特点是中间必须间隔一个正方形,所以与“油”字相对的字是“北”.故选A.3.圆锥侧面展开图可能是下列图中的( )【答案】D【解析】本题考查的是圆锥的侧面展开图根据圆锥的侧面展开图是一个扇形即可得到结果。
圆锥的侧面展开图是一个扇形,故选D。
4.观察下列图形,其中不是正方体的展开图的为( )【答案】D【解析】本题考查的是正方体的平面展开图根据正方体的表面展开图的常见形式即可判断.B、C经过折叠均能围成正方体,D折叠后第一行两个面无法折起来,而且缺少一个侧面,不能折成正方体.故选D.5.如图是一个正四面体,它的四个面都是正三角形,现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形,则所得的展开图是( )【答案】B【解析】本题考查的是几何体的展开图亲自动手具体操作,或根据三棱锥的图形特点判断.根据三棱锥的图形特点,可得展开图为B.故选B.6.下列各图经过折叠不能围成一个正方体的是【答案】D【解析】本题考查的是正方体的平面展开图根据正方体的表面展开图的常见形式即可判断.A、B、C经过折叠均能围成正方体,D折叠后有两个面重合,不能折成正方体.故选D.7.下列展开图中,不能围成几何体的是( ).【答案】B【解析】本题考查的是几何体的平面展开图根据每个图形的特点即可判断可围成的几何体.A能围成三棱锥,C能围成三棱柱,D能围成四棱柱,只有B两个底面在侧面的同一侧,不能围成四棱柱.故选B.8.下列所示的平面图形中,是正方体的平面展开图的是 ( )【答案】C【解析】本题考查的是正方体的平面展开图根据正方体的表面展开图的常见形式即可判断.A、B、D折叠后均有两个面重合,C可以折叠成一个正方体.故选C.9.下列图形中,能够折叠成正方体的是( )【答案】C【解析】本题考查的是正方体的平面展开图根据正方体的表面展开图的常见形式即可判断.A、B、D折叠后均有两个面重合,C可以折叠成一个正方体.故选C.10.如图,该图形经过折叠可以围成一个正方体形,折好以后,与“静”字相对的字是___.【答案】着【解析】本题考查了正方体的的表面展开图正方体的平面展开图中,相对面的特点是中间必须间隔一个正方形,据此作答即可.因为正方体的平面展开图中,相对面的特点是中间必须间隔一个正方形,所以与“静”字相对的字是“着”.。
5.3展开与折叠(1)
苏科数学
友情提醒
动
苏科数学
要将一个正方体纸盒的表面展开成一个平面 图形,要剪开多少条棱?
苏科数学
动
将一个正方体纸盒沿部分棱剪开展成一个平面 图形.你能得到如图的平面图形吗?
苏科数学
动
将一个正方体纸盒沿部分棱剪开展成一个平面图形. 你能得到如图的平面图形吗?
展 一展 四棱锥
展开
苏科数学
1.下列图形中,哪一个是棱锥的侧面展开图?
(③)
①
②
③
苏科数学
2.如图,第一行有4个几何体,第二行有4个平面 展开图,请你连接相对应图形。
A
B
C
D
苏科数学
(1)
(2)
(3)
(4)
动
请沿红线将正方体表面展开为一个平面图形.
苏科数学
—立体图形的展开
动
将一个正方体纸盒沿某些棱剪开展成一个平面图 形.把你得到的平面图形与同学交流.
苏科数学
折一折:1、下列的哪个图形能折叠成正方体?
××
图1
图2
× × ××
图3
图4
图5
图6
√苏科数学ຫໍສະໝຸດ 图7√√图8
图9
√
图10
你 能 折 出 精 美 的 三 角 形 纸 盒 吗
苏科数学
?
再见
苏科数学
苏科数学
苏科数学
苏科数学
苏科数学
苏科数学
苏科数学
展开与折叠(一)
苏科数学
动
1、将圆柱形纸筒的侧面沿虚线剪开,得到什么平面图形? 2、将圆锥形冰淇淋纸筒的侧面沿虚线剪开,得到什么平 面图形?
立体几何中的折叠与展开问题
立体几何中的折叠与展开问题知识点梳理:1.解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形,找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化,哪些发生了变化,在证明和求解的过程中恰当地加以利用.解决此类问题的步骤:考向导航2.展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,是将空间问题转化为平面问题来处理.一般地,涉及到多面体表面的问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试.目录类型一折叠问题 (1)类型二展开问题 (3)类型一折叠问题【例1】如图甲,在四边形ABCD中,23AD=2∆是边长为4的正三角形,CD=,ABC把ABC∆的位置,使得平面PAC⊥平面ACD;如图乙所示,点O、M、∆沿AC折起到PACN分别为棱AC、PA、AD的中点.(1)求证:平面PAD⊥平面PON;(2)求三棱锥M ANO-的体积.【例2】如图,在平面图形PABCD 中,ABCD 为菱形,60DAB ∠=︒,2PA PD ==,M 为CD 的中点,将PAD ∆沿直线AD 向上折起,使BD PM ⊥.(1)求证:平面PAD ⊥平面ABCD ;(2)若直线PM 与平面ABCD 所成的角为30︒,求四棱锥P ABCD -的体积.【变式1-1】如图甲的平面五边形PABCD 中,PD PA =,5AC CD BD ===,1AB =,2AD =,PD PA ⊥,现将图甲中的三角形PAD 沿AD 边折起,使平面PAD ⊥平面ABCD 得图乙的四棱锥P ABCD -.在图乙中(1)求证:PD ⊥平面PAB ;(2)求二面角A PB C --的大小;(3)在棱PA 上是否存在点M 使得BM 与平面PCB 所成的角的正弦值为13?并说明理由.类型二展开问题【例1】如图,已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2cm ,高为5cm ,则一质点自点A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的最短路线的长为()A .5cm B .12cm C .13cm D .25cm【例2】如图,正三棱锥S ABC -中,40BSC ∠=︒,2SB =,一质点自点B 出发,沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B 的最短路线的长为()A .2B .3C .3D .33【变式2-1】如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1AB =,2BC =,13BB =,90ABC ∠=︒,点D 为侧棱1BB 上的动点.(1)求此直三棱柱111ABC A B C -的表面积;(2)当1AD DC +最小时,三棱锥1D ABC -的体积.巩固训练1.把如图的平面图形分别沿AB 、BC 、AC 翻折,已知1D 、2D 、3D 三点始终可以重合于点D 得到三棱锥D ABC -,那么当该三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为.2、如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A ,B 的点,PO 垂直于圆O 所在的平面,且1PO OB ==,(Ⅰ)若D 为线段AC 的中点,求证:AC ⊥平面PDO ;(Ⅱ)求三棱锥P ABC -体积的最大值;(Ⅲ)若2BC =E 在线段PB 上,求CE OE +的最小值.3.请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答.①()0BA PA PD ⋅+= ;②7PC =;③点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上.如图,平面五边形PABCD 中,PAD ∆是边长为2的等边三角形,//AD BC ,22AB BC ==,AB BC ⊥,将PAD ∆沿AD 翻折成四棱锥P ABCD -,E 是棱PD 上的动点(端点除外),F ,M 分别是AB ,CE 的中点,且____.(1)求证://FM 平面PAD ;(2)当EF 与平面PAD 所成角最大时,求平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.4.如图,在矩形ABCD 中,2,23AB AD ==,ABPCDFEE ,F 分别为AD ,BC 的中点,以DF 为折痕把CDF ∆折起,点C 到达点P 的位置,使1PE =.(1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ;(2)求二面角P DF E --的正弦值.参考答案类型一折叠问题【例1】【分析】(1)证明PO ⊥平面ACD 可得PO AD ⊥,根据中位线定理和勾股定理可证AD ON ⊥,故而AD ⊥平面PON ,于是平面PAD ⊥平面PON ;(2)分别计算AON ∆的面积和M 到平面ACD 的距离,代入体积公式计算.【解答】(1)证明:PA PC = ,O 是AC 的中点,PO AC ∴⊥,又平面PAC ⊥平面ACD ,平面PAC ⋂平面ACD AC =,PO ∴⊥平面ACD ,又AD ⊂平面ACD ,PO AD ∴⊥,23AD = ,2CD =,4AC =,222AD CD AC ∴+=,AD CD ∴⊥,ON 是ACD ∆的中位线,//ON CD ∴,AD ON ∴⊥,又ON PO O = ,AD ∴⊥平面PON ,又AD ⊂平面PAD ,∴平面PAD ⊥平面PON .(2)PAC ∆ 是边长为4的等边三角形,3PO ∴=M ∴到平面ACD 的距离132d PO ==,ON 是ACD ∆的中位线,1113324422AON ACD S S ∆∆∴==⨯=,11131332322M ANO AON V S PO -∆∴==⨯⨯ .【点评】本题考查了面面垂直的判定,棱锥的体积计算,属于中档题.【例2】【分析】(1)取AD 中点E ,连接PE ,EM ,AC ,可得PE AD ⊥,然后证明BD PE ⊥,可得PE ⊥平面ABCD ,进一步得到平面PAD ⊥平面ABCD ;(2)由(1)知,PE ⊥平面ABCD ,连接EM ,可得30PME ∠=︒,求解三角形可得1PE =,再求出四边形ABCD 的面积,代入棱锥体积公式求解.【解答】(1)证明:取AD 中点E ,连接PE ,EM ,AC ,PA PD = ,得PE AD ⊥,由底面ABCD 为菱形,得BD AC ⊥,E ,M 分别为AD ,CD 的中点,//EM AC ∴,则BD EM ⊥,又BD PM ⊥,BD ∴⊥平面PEM ,则BD PE ⊥,PE ∴⊥平面ABCD ,而PE ⊂平面PAD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD ;(2)解:由(1)知,PE ⊥平面ABCD ,连接EM ,可得30PME ∠=︒,设AB a =,则224a PE =-,322AC EM ==,故tan tan 30PE PME EM ∠=︒=,即2234332a a -=,解得2a =.故1PE =,3ABCD S =四边形.故23133P ABCD ABCD V S PE -=⋅⋅=四边形.【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了多面体体积的求法,是中档题.【变式1-1】【分析】(1)推导出AB AD ⊥,AB ⊥平面PAD ,AB PD ⊥,PD PA ⊥,由此能证明PD ⊥平面PAB .(2)取AD 的中点O ,连结OP ,OC ,由AC CD =知OC OA ⊥,以O 为坐标原点,OC 所在的直线为x 轴,OA 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A PB C --的大小.(3)假设点M 存在,其坐标为(x ,y ,)z ,BM 与平面PBC 所成的角为α,则存在(0,1)λ∈,有AM AP λ= ,利用向量法能求出在棱PA 上满足题意的点M 存在.【解答】证明:(1)1AB = ,2AD =,5BD =222AB AD BD ∴+=,AB AD ∴⊥,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,AB ∴⊥平面PAD ,又PD ⊂ 平面PAD ,AB PD ∴⊥,又PD PA ⊥ ,PA AB A= PD ∴⊥平面PAB .解:(2)取AD 的中点O ,连结OP ,OC ,由平面PAD ⊥平面ABCD 知PO ⊥平面ABCD ,由AC CD =知OC OA ⊥,以O 为坐标原点,OC 所在的直线为x 轴,OA 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系如图示,则(2C ,0,0),(0P ,0,1),(0D ,1-,0),(0A ,1,0),(1B ,1,0)∴(1,1,1)PB =- ,(2,0,1)PC =- ,(0,1,1)PD =-- ,设平面PBC 的法向量为(,,)m a b c = ,由00m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,得020a b c a c +-=⎧⎨-=⎩,令1a =得1b =,2c =,∴(1,1,2)m = ,PD ⊥ 平面PAB ,∴(0DP = ,1,1)是平面PAB 的法向量,设二面角A PB C --大小为θ,则123cos 2||||62m DP m DP θ⋅==⋅⋅ ,0θπ ,∴二面角A PB C --的大小6πθ=.(3)假设点M 存在,其坐标为(x ,y ,)z ,BM 与平面PBC 所成的角为α,则存在(0,1)λ∈,有AM AP λ= ,即(x ,1y -,)(0z λ=,1-,1),(0M ,1λ-,)λ,则(1,,)BM λλ=-- ,从而211sin ||3||||612m BM m BM αλ⋅==⋅⋅+ ,[0λ∈ ,1],103λ∴=-,∴在棱PA 上满足题意的点M 存在.【点评】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的求法,考查满足线面角的正弦值点是否存在的判断与求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.类型二展开问题【例1】【分析】将三棱柱展开两次如图,不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线,正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径.【解答】解:将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示,在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6212⨯=,宽等于5,由勾股定理2212513d =+=.故选:C .【点评】本题考查棱柱的结构特征,考查空间想象能力和思维能力,考查数学转化思想方法,是中档题.【例2】【分析】画出解答几何体的部分侧面展开图,利用三角形的边的关系容易解得边长的值,从而得出其中的最小值.【解答】解:将三棱锥S ABC -沿侧棱SB 展开,其侧面展开图如图所示,由图中红色路线可得结论.根据余弦定理得,沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B 的最短路线的长为:14422232++⨯⨯⨯=故选:C .【点评】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题,空间想象能力,几何体的展开与折叠,是基础题.【变式2-1】【分析】(1)直三棱柱111ABC A B C -的表面积:1111112ABC ABB A BCC B ACC A S S S S S ∆=+++矩形矩形矩形.(2)将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ,如图,连结1AC ,交1BB 于D ,此时1AD DC +最小,当1AD DC +最小时,1BD =,此时三棱锥1D ABC -的体积:11D ABC C ABD V V --=,由此能求出结果.【解答】解:(1) 在直三棱柱111ABC A B C -中,1AB =,2BC =,13BB =,90ABC ∠=︒,∴此直三棱柱111ABC A B C -的表面积:1111112ABC ABB A BCC B ACC A S S S S S ∆=+++矩形矩形矩形121213231432=⨯⨯⨯+⨯+⨯++1135=+(2)将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ,如图,连结1AC ,交1BB 于D ,此时1AD DC +最小,1AB = ,2BC =,13BB =,90ABC ∠=︒,点D 为侧棱1BB 上的动点,∴当1AD DC +最小时,1BD =,此时三棱锥1D ABC -的体积:11D ABC C ABDV V --=1113ABD S B C ∆=⨯111132AB BD B C =⨯⨯⨯⨯1111232=⨯⨯⨯⨯13=.∴当1AD DC +最小时,三棱锥1D ABC -的体积为13.【点评】本题考查几何体的表面积、体积的求法,考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题.巩固练习1.【分析】在三棱锥D ABC -中,当且仅当DA ⊥平面ABC 时,三棱锥的体积达到最大,然后根据三棱锥的性质求出外接球的半径,进而可以求解.【解答】解:在三棱锥D ABC -中,当且仅当DA ⊥平面ABC 时,三棱锥的体积达到最大,此时,设外接球的半径为R ,球心为O ,球心O 到平面ABC 的投影点为F ,则有2222R OA OF AF ==+,又1522OF AD ==,1522AF AC ==,所以2225525()()222R =+=,所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=,故答案为:50π.【点评】本题考查了三棱锥的外接球的表面积问题,考查了学生的空间想象能力以及运算能力,属于中档题.2、【分析】(Ⅰ)由题意可证AC DO ⊥,又PO AC ⊥,即可证明AC ⊥平面PDO .(Ⅱ)当CO AB ⊥时,C 到AB 的距离最大且最大值为1,又2AB =,即可求ABC ∆面积的最大值,又三棱锥P ABC -的高1PO =,即可求得三棱锥P ABC -体积的最大值.(Ⅲ)可求22112PB PC +==,即有PB PC BC ==,由OP OB =,C P C B '=',可证E 为PB 中点,从而可求2626OC OE EC +'=+'=,从而得解.【解答】解:(Ⅰ)在AOC ∆中,因为OA OC =,D 为AC 的中点,所以AC DO ⊥,又PO 垂直于圆O 所在的平面,所以PO AC ⊥,因为DO PO O = ,所以AC ⊥平面PDO .(Ⅱ)因为点C 在圆O 上,所以当CO AB ⊥时,C 到AB 的距离最大,且最大值为1,又2AB =,所以ABC ∆面积的最大值为12112⨯⨯=,又因为三棱锥P ABC -的高1PO =,故三棱锥P ABC -体积的最大值为:111133⨯⨯=.(Ⅲ)在POB ∆中,1PO OB ==,90POB ∠=︒,所以22112PB =+=同理2PC =,所以PB PC BC ==,在三棱锥P ABC -中,将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P ',使之与平面ABP 共面,如图所示,当O ,E ,C '共线时,CE OE +取得最小值,又因为OP OB =,C P C B '=',所以OC '垂直平分PB ,即E 为PB 中点.从而2626222OC OE EC '=+'=+=.亦即CE OE +的最小值为:262.【点评】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识,考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查了数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题.3.【分析】(1)取CD 中点为G ,连接MG ,FG ,//GM PD ,//FG AD ,进而可证平面//MFG 平面PAD ,可证//FM 平面PAD ;(2)根据条件选择①:由已知可证BA ⊥平面PAD ,PO ⊥平面ABCD ,以点O 为坐标原点,以OC 为x 轴,OD 为y 轴,OP 为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值.同理选择②,③可求平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.【解答】(1)证明:取CD 中点为G ,连接MG ,FG ,则MG ,FG 分别为三角形CDE ,梯形ABCD 的中位线,//GM PD ∴,//FG AD ,MG FG G = ,∴平面//MFG 平面PAD ,FM ⊂ 平面MGF ,//FM ∴平面PAD ,(2)解:取AD 为O ,连接PO ,FG ,EG .选择①:因为()0BA PA PD ⋅+= ,2PA PD PO += ,所以0BA PO ⋅= ,即BA PO ⊥.又BA AD ⊥,AD PO O = ,所以BA ⊥平面PAD .连接AE ,EF ,所以AEF ∠即为EF 与平面PAD 所成的角.因为1tan AF AEF AE AE∠==,所以当AE 最小时,AEF ∠最大,所以当AE PD ⊥,即E 为PD 的中点,AE 最小.下面求二面角余弦值法一:BA ⊂ 平面ABCD ,∴平面ABCD ⊥平面PAD ,平面ABCD ⊥平面PAD ,平面ABCD ⋂平面PAD AD =,PO AD ⊥ ,PO ∴⊥平面ABCD ,以点O 为坐标原点,以OC 为x 轴,OD 为y 轴,OP 为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则(0A ,1-,0),1(0,2E ,(2C ,0,0).所以3(0,2AE = ,(2,1,0)AC = .设平面CAE 的法向量为111(,,)m x y z =,则111130,220y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,令1z =,得1(,2m =- .由题意可知:平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ,所以cos ,||||17m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ,所以平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值为25117.法二:在平面PAD 内,作ER AD ⊥,垂足为R ,则ER ⊥平面ABCD ,过R 作RK AC ⊥,连接EK ,由三垂线定理及逆定理知EKR ∠为平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角,在EKR RT ∆中,易得2ER =,RK =,则EK =所以251cos 17RK EKR EK ∠==,所以平面ACE 与平面PAD.选择②:连接OC ,则2OC AB ==,OP =,因为PC =,222PC OP OC =+,所以BA PO ⊥.又BA AD ⊥,AD PO O = ,所以BA ⊥平面PAD .连接AE ,EF ,所以AEF ∠即为EF 与平面PAD 所成的角.因为1tan AF AEF AE AE∠==,所以当AE 最小时,AEF ∠最大,所以当AE PD ⊥,即E 为PD 的中点,AE 最小.下面求二面角余弦值,法一:BA ⊂ 平面ABCD ,∴平面ABCD ⊥平面PAD ,平面ABCD ⊥平面PAD ,平面ABCD ⋂平面PAD AD =,PO AD ⊥ ,PO ∴⊥平面ABCD ,以点O 为坐标原点,以OC 为x 轴,OD 为y 轴,OP 为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,于是(0A ,1-,0),1(0,2E ,(2C ,0,0).所以3(0,2AE = ,(2,1,0)AC = .设平面CAE 的法向量为111(,,)m x y z = ,则111130,220y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,令1z =,得1(,2m =- .由题意可知:平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ,所以cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ,所以平面ACE 与平面PAD.法二:在平面PAD 内,作ER AD ⊥,垂足为R ,则ER ⊥平面ABCD ,过R 作RK AC ⊥,连接EK ,由三垂线定理及逆定理知EKR ∠为平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角,在EKR RT ∆中,易得ER =RK =,则EK =所以cos 17RK EKR EK ∠==,选择③:因为点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上,所以平面PAD ⊥平面ABCD .因为平面PAD ⋂平面ABCD CD =,OP ⊂平面PAD ,AD PO ⊥,所以OP ⊥平面ABCD ,所以BA PO ⊥.又BA AD ⊥,AD PO O = ,所以BA ⊥平面PAD .连接AE ,EF ,所以AEF ∠即为EF 与平面PAD 所成的角.因为1tan AF AEF AE AE∠==,所以当AE 最小时,AEF ∠最大,所以当AE PD ⊥,即E 为PD 中点,AE 最小.下面求二面角余弦值,法一:BA ⊂ 平面ABCD ⊥,∴平面ABCD ⊥平面PAD ,平面ABCD ⋂平面PAD ,平面ABCD ⋂平面PAD AD =,PO AD ⊥ ,PO ∴⊥平面ABCD ,以点O 为坐标原点,以OC 为x 轴,OD 为y 轴,OP 为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,于是(0A ,1-,0),1(0,2E ,(2C ,0,0).所以3(0,2AE = ,(2,1,0)AC = .设平面CAE 的法向量为111(,,)m x y z = ,则1111330,2220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,令1z =,得1(,2m =- .由题意可知:平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ,所以cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ,所以平面ACE 与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为17.法二:在平面PAD 内,作ER AD ⊥,垂足为R ,则ER ⊥平面ABCD ,过R 作RK AC ⊥,连接EK ,由三垂线定理及逆定理知EKR ∠为平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角,在EKR RT ∆中,易得ER =RK =,则EK =所以cos 17RK EKR EK ∠==,【点评】本题考查线面平行的证明,以及面面角的求法,属中档题.4.【分析】(1)推导出//EF AB 且3DE =,AD EF ⊥,DE PE ⊥,AD PE ⊥,由此能证明AD ⊥平面PEF ,从而平面PEF ⊥平面ABFD .(2)过点P 作PH EF ⊥交EF 于H ,由平面垂直性质定理得PH ⊥平面ABFD ,过点P 作PO DF ⊥交DF 于O ,连结OH ,则OH DF ⊥,从而POH ∠为二面角P DF E --的平面角,由此能求出二面角P DF E --的正弦值.【解答】证明:(1)E 、F 分别为AD ,BC 的中点,//EF AB ∴且3DE =,在矩形ABCD 中,AD AB ⊥,AD EF ∴⊥,由翻折的不变性,2,3PD PF CF DE ===,7DF =又1PE =,有222PD PE DE =+,DE PE ∴⊥,即AD PE ⊥,又PE EF E = ,PE ,EF ⊂平面PEF ,AD ∴⊥平面PEF ,AD ⊂ 平面ABFD ,∴平面PEF ⊥平面ABFD .解:(2)过点P 作PH EF ⊥交EF 于H ,由平面垂直性质定理得PH ⊥平面ABFD ,过点P 作PO DF ⊥交DF 于O ,连结OH ,则OH DF ⊥,POH ∴∠为二面角P DF E --的平面角.222PE PF EF += ,90EPF ∴∠=︒,由等面积法求得322127PH PO ==.在直角POH ∆中,7sin 4PH POH PO ∠==,即二面角P DF E --的正弦值为74.【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的正弦值的求法,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,考查化归与转化思想,是中档题.。
北师大版七年级数学上册《展开与折叠》专题训练(含答案)
1.2 展开与折叠专题一正方体的展开与折叠1.以下各图均有彼此连接的六个小正方形纸片组成,其中不能折叠成一个正方体的是()A.B. C.D.2.如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图,那么在原正方体“着”相对的面上的汉字是()A.冷B.静C.应D.考3.将图1围成图2的正方体,则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的()A.面CDHE B.面BCEF C.面ABFG D.面ADHG4.如图,有一正方体的房间,在房间内的一角A处有一只蚂蚁,它想到房间的另一角B处去吃食物,试问它采取怎样的行走路线是最近的?如果一只蜜蜂,要从A到B 怎样飞是最近呢?请同学们互相讨论一下.BA专题二三棱柱、圆柱与圆锥的展开与折叠5.左图是一个三棱柱,下列图形中,能通过折叠围成该三棱柱的是()A.B.C.D.6.如下图所示的平面图形中,不可能围成圆锥的是()A. B.C.D.状元笔记:【知识要点】1.掌握正方体的展开与折叠,能根据所给平面图形判断是否能折叠成正方体.2.根据简单立体图形的形状画出它的展开图,根据展开图判断立体图形的形状.【温馨提示】1.长方体有8个顶点,12条棱,6个面,且每个面都是长方形(正方形是特殊的长方形).长方体是四棱柱,但四棱柱不一定是长方体,四棱柱的两个底面是四边形,不一定是长方形.2.一个平面展开图,折成立体图形的方式有两种:一种是向里折,一种是向外折,一般易忽略其中一种,造成漏解.3.棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形连成的,沿棱柱表面不同的棱剪开,可能得到不同组合方式的平面展开图;圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成的;圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成的.【方法技巧】确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来:正方体经7刀剪,可得六面十四边;中间并排达四面,两旁各一随便站;三面并排在中间,单面任意双面偏;三层两面两层三,好似阶梯入云天;再问邻面何特点,“间二”“拐角”是关键;“隔1”、“Z端”是对面,识图巧排“七”“凹”“田”.参考答案:1.D 解析:选项A 、B 、C 都可以折叠成一个正方体;选项D ,有“田”字格,所以不能折叠成一个正方体.故选D .考点:展开图折叠成几何体.分析:由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.能组成正方体的“一,四,一”“三,三”“二,二,二”“一,三,二”的基本形态要记牢.2.B 解析:这是一个正方体的平面展开图,共有六个面,其中面“静”与面“着”相对,面“沉”与面“应”相对,“冷”与面“考”相对.3.A 解析:由图1中的红心“”标志,可知它与等边三角形相邻,折叠成正方体是正方体中的面CDHE .考点:展开图折叠成几何体.分析:由平面图形的折叠及正方体的展开图解题,注意找准红心“”标志所在的相邻面.4.解:如图(1)所示,线段AB 是蚂蚁行走的最近路线;如图(2)所示,线段AB 是蜜蜂飞的最近路线.(1)(2)5.B 解析:A .折叠后有二个侧面重合,不能得到三棱柱; B .折叠后可得到三棱柱;C .折叠后有二个底面重合,不能得到三棱柱; D .多了一个底面,不能得到三棱柱.6.D 解析:根据圆锥的侧面展开图是扇形,可以直接得出答案,D 选项不符合要求.。
展开与折叠(提升训练)(原卷版) (1)
5.3 展开与折叠【提升训练】一、单选题1.有5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形(阴影部分),请你在图中的拼接图形上再接一个正方形,使新拼接成的图形折叠后能成为一个封闭的正方体盒子,你不能选择图中A,B,C,D中的()位置拼接正方形.A.A B.B C.C D.D2.下图是一个三棱柱纸盒的示意图,则这个纸盒的平面展开图是()A.B.C.D.3.如图是一个长方体包装盒,则它的表面能展开成的平面图形是()A.B.C.D.4.如图,是一个正方体的表面展开图,则原正方体中“伟”字所在的面相对的面上标的字是()A.大B.梦C.国D.的5.下列图形中,不是正方体表面展开图的是()A.B.C.D.6.下面的图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()A.B.C.D.++的值()7.如图,若要使得图中平面展开图折叠成长方体后,相对面上的两个数之和为9,求x y zA.10B.11C.12D.138.如图1是一个小正方体的侧面展开图,小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格→第2格→第3格→第4格,这时小正方体朝上的一面的字()A.的B.梦C.我D.中9.防控疫情必须勤洗手、戴口罩,讲究个人卫生.如图是一个正方体展开图,现将其围成一个正方体后,则与“手”相对的是()A.勤B.口C.戴D.罩10.正方体的平面展开图如图所示,则在原正方体中,“万”字的对面的字为()A.溱B.州C.中D.学11.下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是()A.B.C.D.+-的值为()12.如图,是一个正方体的表面展开图.若该正方体相对面上的两个数和为0,则a b cA.-6B.-2C.2D.413.经过折叠可以得到四棱柱的是()A.B.C.D.14.图1是正方体的平面展开图,六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6,将点数朝外折叠成一枚正方体骰子,并放置于水平桌面上,如图2所示,若骰子初始位置为图2所示的状态,将骰子向右翻滚90 ,则完成1次翻转,此时骰子朝下一面的点数是2,那么按上述规则连续完成2次翻折后,骰子朝下一面的点数是3;则连续完成2020次翻折后,骰子朝下一面的点数是()A.2B.3C.4D.515.如图,是一个正方体纸盒的平面展开图,则写有“为”字的面所对的面上的是()A.汉B.!C.武D.加16.如图,白纸上放有一个表面涂满染料的小正方体.在不脱离白纸的情况下,转动正方体,使其各面染料都能印在白纸上,且各面仅能接触白纸一次..........,则在白纸上可以形成的图形为()A.①①①B.①①C.①①D.①①17.如图,是一个几何体的表面展开图,则该几何体中写“英”的面相对面上的字是( )A.战B.疫C.情D.颂18.下列图形中,不是立方体表面展开图的是()A.B.C.D.19.下列展开图不能叠合成无盖正方体的是()A.B.C.D.20.长方体纸盒的长、宽、高分别是5cm、4cm、2cm ,若将它沿棱剪开,展成一个平面图形那么这个平面图形的周长的最小值是()A.60B.56C.42D.40个点的骰子,将它抛掷三次得到不同的结果,看到的情形如图所示,则图中21.一枚六个面分别标有16写有“?”一面上的点数是()A.6B.2C.3D.122.如图,有一个无盖的正方体纸盒,下底面标有字母“M”,沿图中粗线将其剪开展成平面图形,这个平面图形是()A.B.C.D.23.有一个正六面体骰子放在桌面上,将骰子如图所示顺时针方向滚动,每滚动90°算一次,则滚动第70次后,骰子朝下一面的数字是()A.2B.3C.4D.524.下列平面图中不能围成正方体的是()A.B.C.D.25.如图,是正方体的展开图,2号面是前面,那么后面是()号A.3号B.4号C.5号D.6号26.如图,正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线,将这个正方体盒子的表面展开外表面朝上,展开图可能是()A.B.C.D.27.下图为相同的小正方形组成,折叠后能围成正方形的是()A.B.C.D.28.如图,一个正方体的平面展开图,若折成正方体后,每对相对面上标注的值的和均相等,则x+y等于()A.10B.11C.12D.1329.如图,三个图形是由立体图形展开得到的,相应的立体图形顺序是( )A.圆柱、三棱柱、圆锥B.圆锥、三棱柱、圆柱C.圆柱、三棱锥、圆锥D.圆柱、三棱柱、半球30.2020年,两安市为创建全国文明城市,在街头制作了正方体宣传板进行宣传,它的展开图如图示,请你来找一找“创”字所在面的对面是哪个字()A.明B.文C.北D.城第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题31.小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形(阴影部分),若在图中只添加一个正方形,使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子,这样的拼接方式有_____种.32.如图是某几何体的表面展开图,则该几何体的名称是______;侧面积=______(用含π的代数式表示).33.某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中“国”字所在面相对的面上的汉字是________.34.一张长50cm,宽40cm的长方形纸板,在其四个角上分别剪去一个小正方形(边长相等且为整厘米数)后,折成一个无盖的长方体形盒子,这个长方体形盒子的容积最大为_____cm3.+=______.35.若要使图中平面展开图折叠成正方体后,使得相对面上的数的和相等,则x y三、解答题36.在期末复习期间,悠悠碰到了这样一道习题:如图所示是一个正方体表面展开图,正方体的每个面上都写着一个整式,且相对两个面上的整式的和都相等.请根据展开图回答下列问题:(1)与A 相对的面是__________;与B 相对的面是____________;(填大写字母)(2)悠悠发现A 面上的整式为:3221x x y ++,B 面上的整式为:2312x y x -+,C 面上的整式为:2313x y x -,D 面上的整式为:()221x y -+,请你计算:F 面上的整式. 37.如图①,是一个边长为10cm 正方形,按要求解答下列问题:(1)如图①,若将该正方形沿粗黑实线剪下4个边长为 cm 的小正方形,拼成一个大正方形作为直四棱柱的一个底面,余下部分按虚线折叠成一个无盖直四棱柱,最后把两部分拼在一起,组成一个完整的直四棱柱,它的表面积等于原正方形的面积;(2)若该正方形是一个圆柱的侧面展开图,求该圆柱的体积.(结果保留π)38.一个正方体的六个面分别标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F ,从三个不同方向看到的情形如图所示.(1)A 的对面是 ,B 的对面是 ,C 的对面是 ;(直接用字母表示)(2)若A =﹣2,B =|m ﹣3|,C =m ﹣3n ﹣112,E =(52+n )2,且小正方体各对面上的两个数都互为相反数,请求出F 所表示的数.39.如图是一个正方体的平面展开图,标注了字母M 的是正方体的正面,标注了2-的是正方体的底面,正方体的左面与右面标注的式子相等.(1)求x 的值;(2)求正方体的上面和后面的数字和.40.如图所示,是一个长方体纸盒平面展开图,已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数.求a ,b ,c 的值?41.如图是一个正方体纸盒的表面展开图,纸盒中相对两个面上的数互为倒数.(1)填空:a =______,b =_________; (2)先化简,再求值:()()2223252ab ab ab a ab ⎡⎤------⎣⎦.42.如图是一个长方体纸盒的平面展开图,已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数. (1)填空:a =________,b =________,c =________.(2)先化简,再求值:()22253234a b a b abc a b abc ⎡⎤---+⎣⎦43.某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒,其平面展开图和相关尺寸如图所示,其中阴影部分为内部粘贴角料.(单位:毫米)(1)此长方体包装盒的体积为 立方毫米;(用含x 、y 的式子表示)(2)此长方体的表面积(不含内部粘贴角料)为平方毫米;(用含x、y的式子表示)(3)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的16,求当x=40毫米,y=70毫米时,制作这样一个长方体共需要纸板多少平方米.44.下面是一个多面体的表面展开图每个面上都标注了字母,(所有字母都写在这一多面体的外表面)请根据要求回答问题:(1)如果面F在前面,从左边看是B,那么哪一面会在上面?(2)如果从右面看是面C面,面D在后边那么哪一面会在上面?(3)如果面A在多面体的底部,从右边看是B,那么哪一面会在前面.45.李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示,由于粗心少设计了其中一个顶盖,请你把它补上,使其成为一个两面均有盖的正方体盒子.(1)共有种弥补方法;(2)任意画出一种成功的设计图(在图中补充);(3)在你帮忙设计成功的图中,要把-6,8,10,-10,-8,6这些数字分别填入六个小正方形,使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0.(直接在图中填上)46.某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒,其平面展开图和相关尺寸如图所示,其中阴影部分为内部粘贴角料.(单位:毫米)(1)此长方体包装盒的体积为立方毫米;(用含x、y的式子表示)(2)此长方体的表面积(不含内部粘贴角料)为平方毫米;(用含x、y的式子表示)(3)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的15,求当x=40毫米,y=70毫米时,制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米.47.小明在学习了《展开与折叠》这一课后,明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒,可是一不小心多剪了一条棱,把纸盒剪成了两部分,即图中的①和①.根据你所学的知识,回答下列问题:(1)小明总共剪开了条棱.(2)现在小明想将剪断的①重新粘贴到①上去,而且经过折叠以后,仍然可以还原成一个长方体纸盒,你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置?请你帮助小明在①上补全.(3)小明说:已知这个长方体纸盒高为20cm,底面是一个正方形,并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm,求这个长方体纸盒的体积.48.已知:图①、图①、图①均为53的正方形网格,在网格中选择2个空白的正方形并涂上阴影,与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图,且3种方法得到的展开图不完全重合.49.如图,上面的图形分别是下面哪个立体图形展开的形状,请你把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来.50.如图所示,一个无盖的长方体纸盒,其长宽高分别为5cm,4cm,3cm.请你画出一种表面展开图(大概示意图),并计算其表面积.51.如图是一个长方体纸盒的平面展开图,已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数.(1)填空:a=,b=,c=.(2)求代数式的值:a2﹣|a﹣b|+|b+c|.52.如图是从三个方向看几何体得到的形状图.(1)说出这个几何体的名称; (2)画出它的一种表面展开图;(3)若从正面看到的形状图的宽为4 cm ,长为7 cm ,从左面看到的形状图的宽为3 cm ,从上面看到的形状图中斜边长为5 cm ,求这个几何体所有棱长的和,以及它的表面积和体积. 53.综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动,他们利用边长为cm a 的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子(左图为无盖的长方体纸盒,右图为有盖的长方体纸盒).(纸板厚度及接缝处忽略不计)华罗庚小组展示:根据左图方式制作一个无盖的长方体盒子,方法:先在纸板四角剪去四个同样大小边长为cm b 的小正方形,再沿虚线折合起来. 问题解决(1)该长方体纸盒的底面边长为______cm ;(请你用含a ,b 的代数式表示) (2)若12cm a =,3cm b =,则长方体纸盒的底面积为______2cm ; 陈省身小组展示:根据右图方式制作一个有盖的长方体纸盒.方法:先在纸板四角剪去两个同样大小边长为cm b 的小正方形和两个同样大小的小长方形,再沿虚线折合起来. 拓展延伸(3)该长方体盒子的A面长为______,宽为______(请你用含a,b的代数式表示)cm;(请你用含a,b的代数式表示)(4)该长方体纸盒的体积为______354.我们知道,将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开,可以展成一个平面图形.(1)下列图形中,是正方体的表面展开图的是_______.(2)如图所示的长方体,长、宽、高分别为4、3、6,若将它的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形.则下列图形中,可能是该长方体表面展开图的有______(填序号)(3)下列图是题(2)中长方体的一种表面展开图,它的外围周长为52,事实上,题(2)中长方体的表面展开图还有不少,聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗?请画出这个表面展开图,并求出它的外围周长.55.在一次青少年模型大赛中,小高和小刘各制作了一个模型,小高制作的是棱长为acm的正方体模型,小刘制作的是棱长为acm的正方体右上角割去一个长为3cm,宽为2cm,高为1cm的长方体模型(如图2)(1)用含a的代数式表示,小高制作的模型的各棱长度之和是___________;(2)若小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的56,求a的值;(3)在(2)的条件下,①图3是小刘制作的模型中正方体六个面的展开图,图中缺失的有一部分已经很用阴影表示,请你用阴影表示出其余缺失部分,并标出边的长度.①如果把小刘的模型中正方体的六个面展开,则展开图的周长是________cm;请你在图方格中画出小刘的模型中正方体六个面的展开图周长最大时的图形.56.如图1所示,从大正方体中截去一个小正方体之后,可以得到图2的几何体.(1)设原大正方体的表面积为a,图2中几何体的表面积为b,那么a与b的大小关系是;A.a>b;B.a<b;C.a=b;D.无法判断.(2)小明说“设图1中大正方体的棱长之和为m,图2中几何体的各棱长之和为n,那么n比m正好多出大正方体的3条棱的长度.”你认为小明的说法正确吗?为什么?(3)如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半,那么图3是图2几何体的表面展开图吗?如有错误,请予修正.57.如图所示,在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形,然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子.请回答下列问题:(1)剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为;(2)如果设原来这张正方形纸片的边长为acm,所折成的无盖长方体盒子的高为hcm,那么,这个无盖cm;长方体盒子的容积可以表示为3(3)如果原正方形纸片的边长为20cm,剪去的小正方形的边长按整数值依次变化,即分别取cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm时,计算折成的无盖长方体盒子的容积得到下表,由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10此可以判断,当剪去的小正方形边长为cm时,折成的无盖长方体盒子的容积最大。
七年级数学《展开与折叠》典型例题
七年级数学《展开与折叠》典型例题例1 填空(1)六棱柱有_____个顶点,有_______条侧棱.(2)是_________的表面展开的平面图.例2 如图是正方体纸盒的展开图,请把-10,8,10,-8,-2,2分别填入六个不同的正方形中,使得按虚线折成正方体后,相对面上的两个数都互为相反数.(填写出一种方案即可)例3 请画出一个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体的平面展开图,并标出各部分的长度.例4 下列图形是哪些多面体的平面展开图,说出这些多面体的名称.例5 已知一个正三棱锥,请画出它的展开图.例6 已知一个正三棱柱,请画出它的平面展开图.例7 如图(a)是正方体分割后的一部分,它的另一部分是图(b)中的()参考答案例1 分析(1)通过观察六棱柱可知,六棱柱有12个顶点、有六条侧棱.(2)观察可以发现展开图有六个边长相等的长方形,并且有两个边长和长方形宽相等的六边形,所以是六棱柱的表面展开平面图.解(1)12,六.(2)六棱柱.说明(1)我们知道四棱柱有8个顶点,五棱柱有10个顶点,六棱柱有四个顶点……,以此类推n棱柱有2×n个顶点.(2)观察棱柱的展开图,首先作为底面的多边形必须是相同的多边形,另外多边形的边数必须等于展开图中长方形的个数.例2 分析为便于表述与思考,将每个小正方形写上字母,得下图.a、b、c、d四个小正方形呈“一”字形连在一起,可见它们是正方体的四个侧面,而e与f则是正方体的上、下底面.上、下底面是相对的.侧面中相对的面在展开图中隔着另一个侧面,所以写着a与c,b与d的面,分别是相对的面.在每两个相对的面中填入一组题目提供的相反数.解可如图所示.说明想象立体图形的展开图对于初一学生来说是件不太容易的事情.防止错误的最好的办法是在观察实物和自己动手操作的过程中,经历和体验图形的变化过程.就本题而言,把你画的图剪下来,折叠成模型,既简便易行,又能验证你填写的是否正确.例3 分析如图,这个长方体的上下两个面是长和宽分别是5cm和4cm的长方形,前后两个面是长和宽分别是5cm和3cm的长方形,左右两个面是长和宽分别是4cm和3cm的长方形,所以该长方体的展开平面图如下:解(如下图)说明(1)这个长方体的展开图不是惟一的,真正做长方体盒时其展开图还要因用料的尺寸而定.(2)真正做盒时还应考虑到接口部分的用料.例4 分析本题中的两图形的各边相互重合,没有哪个三角形或四边形与图形之间有较大的隔离,不好从想象中的空间上去比较、分析.那么我们还是从最容易确定的底面入手,观察(1)只有四个三角形,则它所在的多面体只可能有一个底,那么它就有三个侧面,显然,这是一个三棱锥;观察(2),发现刚好有两个三角形,三个长方形,那么两个三角形只可能作为底面,三个长方形作为侧面,它是三棱柱.答案(1)为三棱锥;(2)为三棱柱.说明:一个多面体在一般情况下,最多只有两个底面,而侧面却很多,根据这个特点,从判定多面体的底面入手,再判定多面体的侧面,则容易得出多面体的形状.例5 分析这又是一例文字性题目,在题目中没有具体的一个正三棱锥,因此,需要同学们自己先画出这个立体图形,再想象一下它的展开图的形状.解设已知的正三棱锥如图所示,展开图如图所示.说明我们给出两种不同的展开图,目的在于让同学们体会因展开方式不同会有不同的结果,但是它们都可以还原为原立体图形.例6 解设原正三棱柱如图.它的展开图如图.以上两种情况都符合条件.说明在此例中我们给出两种展开的方法,它还可以有不同的展开方式,让同学们自己动手试一试吧!例7 分析本题要求寻找出正方体分割成两部分后的对应图形,需要仔细观察分割后剩下的那部分图形的特征,发现图(a)呈“F”型,因此应在四个选项中寻找相应的“F”型.答案 B说明:本题涉及立体图形的分割与组合,要善于从局部到整体观察图形的轮廓特征(形状).。
展开与折叠重难点题型
展开与折叠-重难点题型【题型1 正方体的表面展开图】【例1】(2020秋•太原期末)小颖在研究无盖的正方体盒子的展开图时,画出下面4个展开图,其中符合要求的共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【变式1-1】(2021春•三元区校级月考)下列图形中,是正方体平面展开图的图形的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个【变式1-2】(2021•邢台期中)把如图所示的正方体展开,得到的平面展开图可以是)A.B.C.D.【变式1-3】(2020秋•香洲区期末)如图,选项中哪一个图形是如图正方体的展开图()A.B.C.D.【题型2 正方体展开图的相对面】【例2】(2021春•郫都区校级期中)病毒无情人有情,2020年初很多最美逆行者不顾自己安危奔赴疫情前线,我们内心因他们而充满希望.小明同学在一个正方体每个面上分别写一个汉字,组成“全力抗击疫情”.如图是该正方体的一种展开图,那么在原正方体上,与汉字“力”相对的面上所写汉字为()A.共B.同C.疫D.情【变式2-1】(2020秋•常州期末)图1是一个小正方体的展开图,小正方体从图2的所示位置依次翻到第1格,第2格,第3格,这时小正方体朝上一面的字是()A.常B.州C.越D.来【变式2-2】(2020秋•锦州期末)一枚六个面分别标有1﹣6个点的骰子,将它抛掷三次得到不同的结果,看到的情形如图所示,则图中写有“?”一面上的点数是()A.6B.2C.3D.1【变式2-3】(2020秋•温县期中)有一个正六面体骰子放在桌面上,将骰子如图所示顺时针方向滚动,每滚动90°算一次,则滚动第70次后,骰子朝下一面的数字是()A.2B.3C.4D.5【题型3 正方体的折叠】【例3】(2020秋•海陵区期末)如图,纸板上有19个无阴影的小正方形,从中选涂1个,使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒,一共有种选法.【变式3-1】(2020秋•南海区期末)将如图所示的图形剪去一个小正方形,使余下的部分恰好能折成一个正方体,下列编号为1、2、3、6的小正方形中不能剪去的是(填编号).【变式3-2】(2020秋•兖州区期末)下面四个图形中,经过折叠能围成如图所示的几何图形的是()A.B.C.D.【变式3-3】(2020秋•怀柔区期末)如图是正方体表面展开图,如果将其合成原来的正方体如图时,与点P重合的两个点应该是()A.S和Z B.T和Y C.T和V D.U和Y【题型4 柱体的展开与折叠】【例4】(2020•衡阳)下列不是三棱柱展开图的是()A.B.C.D.【变式4-1】(2020秋•锦州期末)下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()A.B.C.D.【变式4-2】(2020秋•碑林区校级月考)如图①,是一个边长为10cm正方形,按要求解答下列问题:(1)如图②,若将该正方形沿粗黑实线剪下4个边长为cm的小正方形,拼成一个大正方形作为直四棱柱的一个底面,余下部分按虚线折叠成一个无盖直四棱柱,最后把两部分拼在一起,组成一个完整的直四棱柱,它的表面积等于原正方形的面积;(2)若该正方形是一个圆柱的侧面展开图,求该圆柱的体积.(结果保留π)【变式4-3】(2020秋•中牟县期中)聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后,明白了很多几何体都能展开成平面图形,于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒(如图(1))剪开了,可是他一不小心多剪了一条棱,把纸盒剪成了两部分,即图(2)中的①和②.根据你所学的知识,回答下列问题:(1)若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是8cm,4cm,2cm,则该长方体纸盒的体积是多少?(2)聪聪一共剪开了条棱;(3)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去,而且经过折叠以后,仍然可以还原成一个长方体纸盒,你认为他应该将剪掉的②粘贴到①中的什么位置?请你帮助他在①上补全一种情况.【题型5 圆柱的展开与折叠】【例5】(2020春•密山市期末)下面各图是圆柱的展开图的是()A.B.C.D.【变式5-1】(2020秋•秦淮区期末)如图,已知BC是圆柱底面的直径,AB是圆柱的高,在圆柱的侧面上,过点A,C嵌有一圈路径最短的金属丝,现将圆柱侧面沿AB剪开,所得的圆柱侧面展开图是()A.B.C.D.【变式5-2】(2020秋•温县期中)(1)请写出对应几何体的名称:①;②;③.(2)图③中,侧面展开图的宽(较短边)为8cm,圆的半径为2cm,求图③所对应几何体的表面积.(结果保留π)【变式5-3】(2020秋•黄浦区期末)生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形(如图1所示),当把它的上底面、下底面和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆,侧面是一个长方形(如图2所示(1)一个圆柱体的铝制易拉罐上、下两个底面的半径都是4cm,侧面高为15cm,制作这样一个易拉罐需要面积多大的铝材?(不计接缝).(2)如果一个圆柱体的铝制装饰品的高是5cm,而且侧面的面积等于上、下两个底面面积之和,那么底面的半径是cm.(3)一张正方形的铝材边长是40cm,可单独用于制作(2)题中铝制装饰品的侧面或单独用于制作底面,若要使制成的侧面和底面正好能成为一套完整的装饰品,那么制作侧面的铝材张数与制作底面的铝材张数之比为.【题型6 圆锥、棱锥的展开与折叠】【例6】(2021春•开福区期中)下面四个图形中,是三棱锥的平面展开图的是()A.B.C.D.【变式6-1】(2020秋•宁化县月考)以下几何体的表面展开的图形如图,则它是()A.棱柱B.球C.圆柱D.圆锥【变式6-2】(2020秋•广丰区期末)下面四个图形中不能围成下边三棱锥的是()A.B.C.D.【变式6-3】(2020秋•邗江区校级期末)已知某多面体的平面展开图如图所示,其中是棱锥的有()A.1个B.2个C.3个D.4个。
展开与折叠的练习题
展开与折叠的练习题一、选择题1、在下面的图形中,()是正方体的表面展开图.2、下面的图形通过折叠不能围成一个长方体的是()3、如图1–10所示的立方体,若是把它展开,能够是以下图形中的()4、圆锥的侧面展开图是()A、三角形B、矩形C、圆D、扇形二、填空题1、人们通常依照底面多边形的_将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……因此,长方体和正方体都是_____棱柱2、若是一个棱往是由12个面围成的,那么那个棱柱是____棱柱.3、一个六棱柱模型,它的上、下底面的形状、大小都相同,底面边长都是5cm,侧棱长4cm,那么它的所有侧面的面积之和为______.4、哪一种立体图形的表面能展开成下面的图形?5、一个直棱柱共有n个面,那么它共有______条棱,______个极点三、想一想.1、底面是三角形、四边形、八边形的棱柱各有多少条棱?2、下面10个图形中哪些能够折成没有盖子的五个面的小方盒?请指明.长方体表面积的练习题一、填空。
一、正方体是由()个完全相同的()围成的立体图形,正方体有()条棱,它们的长度都(),正方体有()个极点。
二、因为正方体是长、宽、高都()的长方体,因此正方体是()的长方体。
3、一个正方体的棱长为A,棱长之和是(),当A=6厘米时,那个正方体的棱长总和是()厘米。
4、相交于一个极点的()条棱,别离叫做长方体的()、()、()。
五、一根长96厘米的铁丝围成一个正方体,那个正方体的棱长是()厘米。
六、一个长方体的棱长总和是80厘米,长10厘米,宽是7厘米。
高是()厘米。
7、至少需要()厘米长的铁丝,才能做一个底面周长是18厘米,高3厘米的长方体框架。
八、一个长方体的长、宽、高都扩大2倍,它的表面积就()。
九、一个长方体最多能够有()个面是正方形,最多能够有()条棱长度相等。
二、应用题。
一、一个面的面积是36平方米的正方体,它所有的棱长的和是多少厘米?二、用一根铁丝恰好焊成一个棱长8厘米的正方体框架,若是用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽7厘米的长方体框架,它的高应该是多少厘米?3、天天游泳池,长25米,宽10米,深米,在游泳池的周围和池底砌瓷砖,若是瓷砖的边长是1分米的正方形,那么至少需要这种瓷砖多少块?4、把棱长12厘米的正方体切割成棱长是3厘米的小正方体,能够切割成多少块?五、一种长方体硬纸盒,长10厘米,宽6厘米,高5厘米,有2平方米的硬纸板210张,能够做如此的硬纸盒多少个?(不计接口)六、一个长方体的棱长和是72厘米,它的长是9厘米,宽6厘米,它的表面积是多少平方厘米?7、一个长4分米、宽3分米、高2分米的长方体,它占地面积最大是多少平方米?表面积是多少平方米?八、.用72分米长的铁丝做一个正方体的框架,然后在外面贴上一层纸,至少需要多少平方分米的纸?九、一只无盖的长方形鱼缸,长米,宽米,深米,做这只鱼缸至少要用玻璃多少平方米?10、.用36厘米的铁丝焊接成一个正方体框架,那个正方体棱长是多少?若是用纸糊满框架的表面,至少需要纸多少平方厘米?1二、.用一根铁丝恰好焊成一个棱长8厘米的正方体框架,若是用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽7厘米的长方体框架,它的高应该是多少厘米?13、有一种无盖的玻璃鱼缸,长20厘米,宽15厘米,高10厘米,做如此一对鱼缸需要多少平方厘米的玻璃?14、楼房外壁用于流水的水管是长方体。
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5.下列四个图形中,每个小正方形都标上了 颜色.若要求一个正方体两个相对面上的颜色 都一样,那么不可能是这一个正方体表面展开 图的是( )
6.如图是正方体的展开图,则原正 方体相对两个面上的数字之和的最小 值是________.
7.一个正方体的六个面上分别有“ ”, “●”,“+”,“○”,“▭”,“ ” 六种不同的符号,如图所示给出了三种状态 下的情形.请问:“●”所在面的相对面上 的符号是哪一种?
将左边的正方体展开能得到的图形是 ( )
A
B
C
DLeabharlann 如图把左边的图形折叠起来围成一个 正方体,应该得到图中的( )
A
B
C
D
1、有一个正方体的六个面上分别写着1,2,3,4, 5,6这六个数,根据图1中A、B、C三个图中所写数 字想一想“?”处的数字是什么?
5 4 1 2
1 3 4
? 5
A
B
C
图1
1、有一个正方体的六个面上分别写着1,2,3,4, 5,6这六个数,根据图1中A、B、C三个图中所写数 字想一想“?”处的数字是什么?
5 4 1 2
1 3 4
? 5
A
B
C
图1
2、如图2,右边四个图形折叠后,能 得到左边正方体的是( )
③ ③ ① ② ① ② ③ ③
① ②
②
①
③ ①
②
A.
B.
C.
D.
图2
3.如图是一个正方体的表面展开图, 原正方体中“考”的对面是( )
A.祝 B.试 C.顺
D.利
4.下列四个图形中,每个小正方形都标上了 颜色.若要求一个正方体两个相对面上的颜色 都一样,那么不可能是这一个正方体表面展开 图的是( )
8.如图是正方体的展开图,则原正 方体相对两个面上的数字之和的最小 值是________.
9.如图,已知一个正方体的六个面上分 别写着六个连续的整数,且每两个相对面 上的两个数的和都相等,图中所能看到的 数是16,19和20,求这6个整数的和.
10.下图是一个正方体的平面展开图, 这个正方体是( )