等差数列前n项和性质
等差数列前N项和性质
解法三： 设a1+a2+……+a10=A，a11+a12+……+a20=B， a21+a22+……+a30=C，
则A，B，C成等差数列， 且A=10，A+B=30, 解得B=20，
所以C=30，
S30=A+B+C=60.
性质3、等差数列平均分组，各组之和仍为等差 数列。即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列,公差为n2d
（2）已知 an 2n 1 , 求 S9 bn 3n 3 T9
例.已知an 为等差数列,前 10 项的和为S10 10,前
20 项的和S20 30 , 求前 30 项的和S30.
解法一:设{an}的首项为 a1,公差 d,
10a1
1 2
10 9d
10
则
20a1
解：由题意，列方程组得：S奇=162，S偶=192
S偶-S奇=6d=30
∴d=5
例3、设等差数列的前n项和为Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0.1)求公差d的取值范围 2)指出 S1,S2,…Sn,…中哪一个值最大，并说明理由 。
解1)：由题意
S12
=
a1
+a12 2
S13
由题aa12
a10 15
法一
:
55aa11(1(2345
6 7
8)d 9)d
125 15
aa1145dd
25 3
ad1
113 22
法二：相减得 5 d = －110
3n2 123n (n21)
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
01
02
03
04
05
06
等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列前n项和的性质
想一想： 在等差数列{an}中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么
关系？
S3n＝3(S2n－Sn)
思考2：若{an}为等差数列，那么
{Sn n
}是什么数列？
性质：数列{an}是等差数列
(2)∵an＝2n－1， ∴bn＝2n－112n＋1＝212n1－1－2n1＋1， ∴Bn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝121－13＋2113－15＋2115－17＋…＋122n1－1－2n1＋1 ＝121－2n1＋1＝2nn＋1.
『变式探究』
1.已知在正整数数列{an}中，前 n 项和 Sn 满足： Sn＝18(an＋2)2， (1)求证：{an}是等差数列； (2)若 bn＝12an－30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值．
则S2k 1 等于什么？ T2k 1
ak S2k 1 bk T2k 1
例4：Sn，Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项的和，
且
Sn Tn
7n 2 n3
，则
a5 b5
.
『变式探究』
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和
Bn，且
An Bn
7n 45，则使得 n3
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S12＞0， S13＜0. （1）求数列{an}公差d的取值范围；（2）指出 S1， S2， S3， …，S12中哪一个值最大。
4.数列{an}首项为23，公差为整数的等差数列，且第六 项为正，第七项为负. （1）求数列{an}的公差d； （2）求前n项和Sn的最大值； （3）当Sn>0时，求n的最大值；
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用 (3)
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用性质1：设等差数列{}n a的前n项和公式和为n S，公差为d，*m∈n.N则①()dm n m S n S m N -=-21②()mnd S S S S nm n m S n m n m n m ++=--+=+性质2：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*..N k n m ∈,若k n m ..成等差数列，则k S n S m S knm,,成等差数列性质3：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*....N n m q p ∈,若n m q p +=+，则qp S S n m S S qp n m --=--性质4：设等差数列{}na 的前n 项和公式和为k S①当()*2N k k n ∈=时，()12++=k k k a a k S ②当()*12N k k n ∈-=时，()121212---=k k a k S例1：如果等差数列{}n a 的前4项和是2，前9项和是-6，求其前n 项和公式。
解1：由性质1得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-d n S nS d S S n 4214492149449 ()()21将9,294-==S S 代入()()2,1得：nn S n 30433072+-=解2：求1a ,d.例2：设n S 是等差数列{}n a 的前n项和，已知331S 和441S 的等比中项为551S ，331S 和441S 的等差中项为1，求等差数列{}na 的通项公式n a 。
解1：由性质1和题意知，()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=+=-=-d d S S S S d d S S 2145214523421342134453434)3()2()1( 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=d S dS d S 431541144113543又3453425S S S ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+d d d 4114114312，∴5120-==d d 或当d=0时，33=S ，∴*,1N n a n ∈= 当512-=d 时，52435124113=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=S又da S 223313⨯+=，即524512331=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a ，∴41=a故()*,512153251214N n n n a n ∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=例3：一等差数列前4项和是24，前5项和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
等差数列前n项和的性质
则
S偶-
S奇=
nd 2
.
特别地, 若 m+n=2p, 则 am+an=2ap .
2.等差中项
b=
a+c 2
3.若数列 {an}是等差数列，则 d k 2d
Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k , 也是等差数列
4.若等差数列 {an} 的前 2n-1 项和为 S2n-1, 等差数列 {bn} 的
前 2n-1 项和为 T2n-1,
则
S2n-1 T2n-1
=
an bn
.
三、判断、证明方法
1.定义法; 2.通项公式法; 3.等差中项法.
{an}为等差数列 an kn b
Sn An2 Bn
注: 三个数成等差数列, பைடு நூலகம்设为 a-d, a, a+d(或 a, a+d, a+2d) 四个数成等差数列, 可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d.
一、概念与公式
1.定义 若数列 {an} 满足: an+1-an=d(常数), 则称 {an} 为等差数列.
2.通项公式 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.
3.前n项和公式
Sn=na1+
n(n-1)d 2
=
n(a1+an) 2
.
二、等差数列的性质
1.若 m+n=p+q(m、n、p、qN*), 则 am+an=ap+aq .
四、Sn的最值问题
1.若 a1>0, d<0 时,
满足
an≥0, an+1≤0.
等差数列前n项和性质
等差数列前n项和性质等差数列是数学中经常遇到的一类数列，它的每一项与前一项之差相等。
在研究等差数列时，我们经常关注它的前n项和性质。
本文将探讨等差数列前n项和的计算方法，以及相关的重要性质。
首先，我们来介绍等差数列前n项和的计算公式。
设等差数列的首项为a_1，公差为d，前n项的和为S_n。
根据数列的性质，我们可以得到如下计算公式：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)其中，n表示数列的项数。
这个公式的推导可以通过数学归纳法来证明。
首先，我们知道等差数列的第一项是a_1，最后一项是a_n= a_1 + (n-1)d。
根据等差数列的性质，我们可以将S_n分为两部分：前n-1项和加上最后一项。
根据等差数列的求和公式，前n-1项的和为n/2 * [2a_1 + (n-2)d]，最后一项为a_n。
将两部分相加，得到公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)。
通过这个公式，我们可以方便地计算等差数列前n项的和。
接下来，我们来研究一些关于等差数列前n项和的重要性质。
首先，等差数列前n项和的性质之一是与项数n的关系。
从等差数列前n项和的计算公式中可以看出，当项数n增加时，前n项的和也会随之增加。
特别地，当n为正整数时，前n项和是一个关于n的递增函数。
这说明等差数列的前n项和是随着项数的增加而增加的。
其次，等差数列前n项和的性质之二是与首项a_1和公差d的关系。
从公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)可以看出，首项a_1和公差d都会对前n项和产生影响。
首项a_1的大小决定了等差数列的起点，而公差d的大小则决定了等差数列的增量。
当首项a_1增加或者公差d增加时，前n项和也会相应地增加。
这说明等差数列前n项和与首项和公差之间存在着一定的关系。
此外，等差数列前n项和的性质之三是与项数n的奇偶性相关。
当项数n为奇数时，前n项和的计算公式中的2a_1 + (n-1)d中的n-1是一个偶数，所以前n项的和是一个关于n的奇数倍。
等差数列前n项和性质
公式应用
计算等差数列前n项和
利用等差数列前n项和公式， 可以快速计算出等差数列的前 n项和，避免了逐项相加的繁 琐过程。
判断等差数列的性质
通过等差数列前n项和公式， 可以推导出等差数列的一些性 质，如等差中项、等差数列的 和与项数的关系等。
解决实际问题
等差数列前n项和公式在实际 问题中有着广泛的应用，如计 算存款利息、求解物理问题等 。通过灵活运用公式，可以简 化问题求解过程。
等差数列求和与数学归纳法
数学归纳法是一种证明等差数列前n项和性质的有效方法。 通过数学归纳法，可以证明等差数列前n项和公式的正确性 ，以及推导其他相关性质。
06
总结与展望
总结等差数列前n项和性质
• 等差数列前n项和公式：等差数列前n项和S_n=n/2*[2a_1+(n-1)d]，其中a_1为首项，d为公差，n为项数。该公式用于计 算等差数列前n项的和。
等差数列是数列中的一种特殊情况，学生可以将 所学的知识和方法拓展到等比数列和其他类型的 数列中，加深对数列的理解和掌握。
掌握等差数列的求解方法
在学习等差数列的过程中，学生需要掌握各种求 解方法，如直接代入法、待定系数法、配方法等 。通过不断练习，提高解题速度和准确性。
结合实际问题进行应用
数列在现实生活中有着广泛的应用，如分期付款 、人口增长、物理运动等问题。建议学生结合实 际问题，运用所学的等差数列知识进行求解和分 析，提高解决实际问题的能力。
若两个等差数列的前n项和分别为S_n和T_n，且S_n/T_n=k（k为 常数），则这两个数列的公差之比为k。
对未来学习的建议
深入学习等差数列的性质
除了前n项和性质外，等差数列还有许多其他重 要的性质，如通项公式、中项性质等。建议学生 深入学习这些性质，并理解它们之间的联系和应 用。
等差数列前n项和性质及应用
2)由于a7<0,a6>0,所以S6最大。
a6 a7 0 S12 0 注意： S13 0 a7 0
等差数列绝对值的前n项和
例5、等差数列{ a n }， S n n 32 n ，
2
求{| a n |}的前n项和为 S
'
n
例.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
n（a1 an ) 形式1: Sn 2
形式2:
n（n 1) Sn na1 d 2
.将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数有什么 特点？
n(n 1)d S n na1 2
d d 令 A , B a1 2 2
2
求 n 为何值时， S n 最大？
变式、等差数列{ a n }， S n n 7n ，
2
求 n 为何值时， S n 最小？
3n 21 例 2、 等差数列{ a n }，a n , 求 2 2
n 为何值时， S n 最小？
方法（二） ：不等式组法（已知 a n 的表达式用此法）
a n 0 d<0时，前n项和有最大值，可由 求得n的值 a n 1 0
4 1 例6：已知a n 数列满足a1 =4,a n =4- ，令bn . a n-1 an 2 (1)求证数列b n 是等差数列。
(2)求数列an 的通项公式。
4 2(an 2) 解：（） 1 a n+1 2 2 an an 1 an 1 1 a n+1 2 2(an 2) 2 an 2 1 1 1 1 . bn1 bn . a n+1 2 an 2 2 2
等差数列的前n项和的性质
A.22 B.26 C.30 D.34
C 由等差数列的前n项和性质知S673,S1346-S673,S2019-S1346 成等差数列,所以由等差中项的性质知 2(S1346-S673)=S673+S2019-S1346,又S673=2,S1346=12, 所以S2019=3(S1346-S673)=30,故选C.
Sn在转折项有最大值
an 0 an1 0
a1 0, d 0 , , ,(0),+, , , Sn在转折项有最小值
an 0
an1
0
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得 1.根据Sn二次模型,寻找对称轴
法一 : 基本量思想 转为a1和d 法二 : 整体做差
3. an 是等差数列, Sn是前n项的和,求证: S6, S12 S6, S18 S12也成等差 推广: 若 an 是等差数列, Sn , S2n Sn , S3n S2n也成等差
等差数列an, Sn 100, S2n 500,求S3n
练习题
1.等差数列 an ,a10 30,a20 50,求a40
法一 : 基本量思想 转为a1和d 法二 : a10,a20 , a30, 还成等差
结论 : 若an是等差数列, 则 a10n还是等差 2.等差数列 an ,a1 a2 a3 35,a2 a3 a4 63,求a3 a4 a5
Sn 2n 3 ,求 a9 .
37
Tn 3n 1 b9
50
an S2n1 bn T2n1
an S2n1
bn
T2n1
二、等差数列的前n项的最值问题 Sn最值问题
等差数列的性质和前n项和
等差数列的性质和前n 项和[概念与规律]1．等差数列}a {n 具有如下性质： （1）通项公式：dn a a n )1(1-+=，)N m ,n (d )m n (a a m n*∈-+=；（2）若qp mn +=+，则q p m n a a a a +=+（其中m 、n 、p 、*∈Nq ）。
反之未必成立；（3）公差d 的计算方法：① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a m n --2．在等差数列}a {n 中，序号成等差的项又组成一个等差数列，即l a ，k l a +，k l a 2+，…，1)k -(m +l a ，mkl a +，…是等差数列，公差为kd 。
3．在等差数列}a {n 中，依次k 个项之和仍组成一个等差数列。
即k S ，kkS S -2，kkS S 23-，…，k)l (lk S S 1--，…（2≥k ，*∈N k ）成等差数列。
4．等差数列的判断方法：①定义法：1+n a －n a =d （d 为常数），②),(为常数q p q pn a n +=⇔数列}a {n 是首项为p+q ，公差为p 的等差数列；③等差中项的定义；④前n 项和Sn=An 2+Bn （A ，B 为常数）⇔数列}a {n 是首项为A+B ，公差为2A 的等差数列。
（附：求n a 和n S 都可用待定系数法）[讲解设计]·重点与难点例1 （1）已知}a {n 是等差数列，且21512841=+-+-a a a a a ，求133a a +的值。
（2）已知在等差数列}a {n 中，若80a 49=，100a 59=，求79a 。
解 ：点评 若由已知去求首项1a 与公差d ，则运算量较大。
例2 已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-14-n a (n ≥2),令b n =21-n a .求证：数列{b n }是等差数列.练习：{a n }为等差数列，公差d ≠0,a n ≠0,(n ∈N *),且a k x 2+2a k +1x +a k +2=0(k ∈N *) (1)求证：当k 取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为x 1,x 2,…,x n ,…,求证：数列11,,11,1121+++n x x x 为等差数列.例3 已知等差数列}a {n 的前n 项和为n S ，且100S 10=，10100=S ，试求110S 。
第3节 等差数列的前n项和及其性质
第3节 等差数列的前n 项和及其性质要点一 等差数列的前n 项和公式已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2S n ＝na 1＋n (n －1)2d1．等差数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加．( √ ) 2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝kn (k ∈R )，则{a n }为常数列．( √ ) 3．等差数列的前n 项和，等于其首项、第n 项的等差中项的n 倍．( √ ) 4．1＋2＋3＋…＋100＝100×(1＋100)2.( √ )一、等差数列前n 项和的有关计算 例1 在等差数列{a n }中：(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10；(2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d . 解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.∴a 8＝39，d ＝5. 反思感悟 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用．跟踪训练1 在等差数列{a n }中： (1)a 1＝1，a 4＝7，求S 9； (2)a 3＋a 15＝40，求S 17；(3)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ＝1＋3d ＝7，所以d ＝2. 故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9＋9×82×2＝81.(2)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.(3)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，所以d ＝－16，所以n ＝15，d ＝－16.二、等差数列前n 项和的比值问题例2 有两个等差数列{a n }，{b n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5.解 方法一 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nb 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝na 1＋n (n －1)2d 1nb 1＋n (n －1)2d 2＝a 1＋n －12d 1b 1＋n －12d 2，则有a 1＋n －12d1b 1＋n －12d2＝7n ＋2n ＋3，① 又由于a 5b 5＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2，②观察①，②，可在①中取n ＝9，得a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝7×9＋29＋3＝6512.故a 5b 5＝6512.方法二 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，则有A n B n ＝7n ＋2n ＋3，其中A n ＝(a 1＋a n )n 2，由于a 1＋a 9＝2a 5.即a 1＋a 92＝a 5，故A 9＝(a 1＋a 9)·92＝a 5×9.同理B 9＝b 5×9.故A 9B 9＝a 5×9b 5×9.故a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512. 方法三 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 因为等差数列的前n 项和为S n ＝an 2＋bn ＝an ⎝⎛⎭⎫n ＋ba ， 根据已知，可令A n ＝(7n ＋2)kn ，B n ＝(n ＋3)kn (k ≠0)． 所以a 5＝A 5－A 4＝(7×5＋2)k ×5－(7×4＋2)k ×4＝65k ，b 5＝B 5－B 4＝(5＋3)k ×5－(4＋3)k ×4＝12k .所以a 5b 5＝65k 12k ＝6512.方法四 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，由A 2n －1B 2n －1＝a n b n ，有a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512.反思感悟 设{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则a n ∶b n ＝S 2n －1∶T 2n －1.跟踪训练2 已知等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，a n b n ＝2n ＋33n －1，则S 11T 11等于( )A.1517B.2532 C ．1 D ．2 答案 A解析 由等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，同理可得T 11＝11b 6，因此，S 11T 11＝11a 611b 6＝a 6b 6＝2×6＋33×6－1＝1517.要点二 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n .4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝nn ＋1. 思考 在性质3中，a n 和a n ＋1分别是哪两项？在性质4中，a n ＋1是哪一项？ 答案 中间两项，中间项．要点三 等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d 2可化成关于n 的表达式：S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 当d ≠0时，S n 关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．一、等差数列前n 项和的性质例1 (1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝1113，则公差d ＝________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝120，S 奇S 偶＝1113，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝55，S 偶＝65，所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.(2)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m . 解 方法一 在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m 3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m .即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.反思感悟 利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大； (2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练1 (1)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________． 解析 设等差数列{a n }的项数为2m ，∵末项与首项的差为－28， ∴a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝－28，①∵S 奇＝50，S 偶＝34，∴S 偶－S 奇＝34－50＝－16＝md ，②，由①②得d ＝－4. (2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和． 解 S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列．设其公差为d ，前10项和为10S 10＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)d ＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110. 二、等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值． 解 方法一 因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ，解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二 同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212.又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三 因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. 因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得 a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四 设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n ＝13时，S n 取得最大值．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 82A ＋8B ＝182A ＋18B ，A ＋B ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－1，B ＝26，所以S n ＝－n 2＋26n ，所以S 13＝169，即S n 的最大值为169.反思感悟 (1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形 ①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． ②运用二次函数求最值．跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值． 解 (1)设等差数列的公差为d ，因为在等差数列{a n }中，a 10＝18，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15， 解得a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12，n ∈N *. (2)因为a 1＝－9，d ＝3，a n ＝3n －12，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478， 所以当n ＝3或4时，前n 项的和S n 取得最小值S 3＝S 4＝－18.三、求数列{|a n |}的前n 项和例3 数列{a n }的前n 项和S n ＝100n －n 2(n ∈N *)． (1)判断{a n }是不是等差数列，若是，求其首项、公差； (2)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(100n －n 2)－[100(n －1)－(n －1)2]＝101－2n . ∵a 1＝S 1＝100×1－12＝99，适合上式，∴a n ＝101－2n (n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝－2为常数，∴数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列． (2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5，∵n ∈N *，∴n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ，∴数列{b n }的前n 项和S n ′＝100n －n 2. ②当n ≥51时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ，由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n )＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和S n ′＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －n 2，1≤n ≤50，5 000－100n ＋n 2，n ≥51，n ∈N *. 反思感悟 已知等差数列{a n }，求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n .解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴数列{a n }的前17项和最大． (2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.等差数列前n 项和公式的实际应用典例 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n }，则a 1＝50＋1 000×1%＝60， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．[素养提升] (1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．等差数列前n 项和1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7等于( ) A ．49 B ．42 C ．35 D ．28 答案 B解析 2a 6－a 8＝a 4＝6，S 7＝72(a 1＋a 7)＝7a 4＝42.2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，d ＝2，S n ＝580，则n 等于( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．30 答案 C解析 因为S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝10n ＋12n (n －1)×2＝n 2＋9n ，所以n 2＋9n ＝580， 解得n ＝20或n ＝－29(舍)．3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1等于( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 答案 B解析 由S 10＝S 11， 得a 11＝S 11－S 10＝0，所以a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.4．(多选)在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( ) A ．－1 B ．3 C ．5 D ．7 答案 AB解析 由题意知a 1＋(n －1)×2＝11，① S n ＝na 1＋n (n －1)2×2＝35，②由①②解得a 1＝3或－1.5．在等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，则使得a n >0的最小正整数n 为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 由S 13＝13(a 1＋a 13)2＝0，得a 13＝12，则a 1＋12d ＝12，得d ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为 a n ＝－12＋(n －1)×2＝2n －14，由2n －14>0，得n >7，即使得a n >0的最小正整数n 为8.6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其首项a 1＝________，公差d ＝________. 答案 1 12解析 a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6，① S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10，②由①②联立解得a 1＝1，d ＝12.7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝________. 答案 5解析 因为S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，所以k ＝5.8．在等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d ＝________.答案 12解析 设数列{a n }的公差为d ，由题意得10a 1＋12×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ，所以10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， 所以10a 1＝5d ，所以a 1d ＝12.9．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n (n －1)2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n项和T n .解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1， ∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝－2＋n －12， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且其首项为－2，公差为12.∴T n ＝14n 2－94n .11．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100， ∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.12．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S n ＝________. 答案 －1n解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－1， 所以1S 1＝－1.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1， 所以1S n －1S n ＋1＝1， 即1S n ＋1－1S n＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n＝(－1)＋(n －1)·(－1)＝－n ， 所以S n ＝－1n. 13．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且a n ∶b n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，则S 9T 9＝________. 答案 1113解析 ∵{a n }，{b n }均为等差数列，∴S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2×5＋13×5－2＝1113.14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．答案 10解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．15．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )A.3n 22B.n (n ＋1)2C.3n (n －1)2D.n (n －1)2答案 C 解析 由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2，所以a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝(n －1)(3＋3n －3)2＝3n (n －1)2. 16．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解 (1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14， ∴a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．等差数列前n 项和的性质及应用1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于( ) A ．10 B ．100 C ．110 D ．120答案 B解析 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列且首项为S 11＝1. 又S 88－S 66＝2， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差是1， ∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10， ∴S 10＝100.2．若等差数列{a n }的前m 项的和S m 为20，前3m 项的和S 3m 为90，则它的前2m 项的和S 2m 为( )A ．30B ．70C ．50D ．60答案 C解析 ∵等差数列{a n }中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴2(S 2m －20)＝20＋90－S 2m ，∴S 2m ＝50.3．已知数列{2n －19}，那么这个数列的前n 项和S n ( )A ．有最大值且是整数B ．有最小值且是整数C ．有最大值且是分数D ．无最大值和最小值答案 B解析 易知数列{2n －19}的通项a n ＝2n －19，∴a 1＝－17，d ＝2.∴该数列是递增等差数列．令a n ＝0，得n ＝912.∴a 1<a 2<a 3<…<a 9<0<a 10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81. 4．(多选)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，下列判断正确的是( )A ．d <0B ．S 11>0C ．S 12<0D ．数列{S n }中的最大项为S 11答案 AB解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，A 正确；又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，B 正确； S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，C 不正确； 数列{S n }中最大项为S 6，D 不正确．故正确的选项是AB.5．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020答案 D解析 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0182＝2 009＋k 2， 解得k ＝2 020.6．已知在等差数列{a n }中，公差d ＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________．答案 99解析 由题意，得S 奇＋S 偶＝148，S 偶－S 奇＝50d ＝50，解得S 偶＝99.7．已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________. 答案 5解析 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为________．答案 6解析 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173. 又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.9．已知在等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)方法一 a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．方法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112. ∵n ∈N *，∴当n ≤5时，a n >0；当n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }是等差数列，又∵a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2.∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.当n >5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9n －n 2，n ≤5，n ∈N *，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N *.11．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( )A ．15B ．35C ．66D ．100答案 C解析 易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，n ＝1，2n －5，n ≥2.|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n 为() A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 B解析 设数列{a n }是公差为d 的等差数列， 则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列． 因为S 1515－S 77＝－8， 故可得8×d 2＝－8，解得d ＝－2； 则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案 4178解析 因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，那么S 8S 16＝________. 答案 310解析 设S 4＝k ，S 8＝3k ，由等差数列的性质得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12构成等差数列．所以S 8－S 4＝2k ，S 12－S 8＝3k ，S 16－S 12＝4k .所以S 12＝6k ，S 16＝10k .S 8S 16＝310.15．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．答案 11 7解析 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1(n ∈N *)，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433， 解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1， 即a 4＝44－33＝11，为所求的中间项．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，a 1<2,6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)．(1)求证：{a n }是等差数列；(2)令b n ＝3a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1. 证明 (1)因为6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)， 所以当n ≥2时，6S n －1＝(a n －1＋1)(a n －1＋2)，两式相减，得到6a n ＝(a 2n ＋3a n ＋2)－(a 2n －1＋3a n －1＋2)，整理得(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝3(a n ＋a n －1)， 又因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是公差为3的等差数列．(2)当n ＝1时，6S 1＝(a 1＋1)(a 1＋2)， 解得a 1＝1或a 1＝2，因为a 1<2，所以a 1＝1，由(1)可知a n －a n －1＝3，即公差d ＝3， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，所以b n ＝3a n a n ＋1＝3(3n －2)(3n ＋1)＝13n －2－13n ＋1， 所以T n ＝1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1＝1－13n ＋1<1.。
好的等差数列前n项和及其性质
例2：等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多 少项的和最小？
[解析] 解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意得 9a1＋12×9×8·d＝12a1＋21×12×11·d ，∴a1＝－10d， ∵a1<0，∴d>0，∴Sn＝na1＋21n(n－1)d＝12dn2－221dn ＝d2n－2212－4841d. ∵d>0，∴Sn 有最小值．
广东省普宁市第二中学数学组 2020年4月15日星期三
高二·必修5·数学
『知识探究（二）——等差数列前n项和的性质』
思考1：在等差数列{an}中，每连续k项的和组成的数列， 即数列a1＋a2＋…＋ak， ak+1＋ak+2＋…＋a2k， a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k，… … 是等差数列吗？
性质：若数列{an}是等差数列，那么数列Sk，S2k－Sk， S3k－S2k , …仍然成等差数列
Sn
10500 10（10 1）50 2
7250（万元）
答：从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程 中的总投入是7250万元。
广东省普宁市第二中学数学组 2020年4月15日星期三
a 例2. 己知一个等差数列｛ n｝前10项高二的·必和修5·数学
是310,前20项的和是1220.由这些条件能确
①若C＝0，则数列{an}是等差数列； ②若C≠0，则数列{an}从第2项起是等差数列。
广东省普宁市第二中学数学组 2020年4月15日星期三
高二·必修5·数学
思考4：若{an}为等差数列，那么 {Sn }是什么数列？ n
数列{an}是等差数列
{Sn } 为等差数列 n
等差数列的前n项和性质+练习
1、等差数列{a n }前n 项和公式： n S = n a n 2a 1+=d n n n a 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--。
等差数列的前n 项之和公式可变形为，若令A ＝，B ＝a 1－，则＝An 2+Bn.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个。
2、等差数列{a n }前n 项和的性质性质1:S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n , …也在等差数列,公差为n 2d性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1) (a n ,a n+1为中间两项),此时有:S 偶－S 奇= nd , 性质3:(2)若项数为奇数2n －1,则 S 2n-1=(2n － 1)a n (a n 为中间项), 此时有:S 奇－S 偶= a n ,1-n n s =偶奇s 性质4:数列{nn s }为等差数列 性质5:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则2121n n n n a S b T --= 典型例题：热点考向1：等差数列的基本量（a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个）例1、在等差数列{n a }中，已知81248,168S S ==，求1,a 和d 已知6510,5a S ==，求8a 和8S训练： 1、在等差数列{}n a 中，已知102030,50a a ==.（1）求通项公式{}n a ；（2）若242n S =，求n .2.在等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列{n S n }的前n 项和，求n T 3、已知等差数列的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
4. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
等差数列的前n项和公式的性质
例 3. 项数为奇数的等差数列{an }，奇数项之和为 44，偶数项之和为
33，求这个数列的中间项及项数．
解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项
有 n 项，中间项是第(n＋1)项，即 an＋1，
1
S奇 2a1＋a2n＋1n＋1 n＋1an＋1 n＋1 44 4
解法1: 由S3=S11, 得
1
1
3 13 3 2 d 1113 1110 d
2
2
∴ d=－2
1
Sn 13n n(n 1) (2)
2
n2 14n
( n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0
=
5+2
，则
+3
10n 3
67
7
=_______；
=_______；
2n 2
18
8
课堂小结
等差数列的前n项和公式的性质
性质1：数列{an}是等差数列⟺Sn=An2+Bn (A,B为常数)
Sn
性质2: 若数列{an}是公差为d的等差数列, 则数列 也
d
n
是等差数列, 且公差为 2 .
当m=n时，公式变化？
an S 2 n 1
bn T2 n1
例 4.已知{an},{bn}均为等差数列，其前 n 项和分别为 Sn,
5
a5
Sn 2n＋2
Tn，且T ＝
，则b ＝________.
3
n
5
n＋3
变式1. 若
等差数列前n项和的性质及应用
第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用(教师独具内容)课程标准：1.掌握等差数列前n 项和的性质，并能够运用其来解决问题.2.体会等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，并能够运用二次函数的知识解决数列问题．教学重点：等差数列前n 项和的性质及其应用． 教学难点：运用二次函数的知识解决数列问题.1．等差数列的前n 项和公式与二次函数之间的关系一般地，对于等差数列{a n }，如果a 1，d 是确定的，前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，上式可写成S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0(即d ≠0)时，S n 是关于n 的二次函数，那么(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上．因此，当d ≠0时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n 的图象是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上的一群孤立的点．可以证明：{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 2．等差数列的前n 项和的最值解决等差数列的前n 项和的最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意的是n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取最值． (3)通项法：当a 1>0，d <0时，n 为使a n ≥0成立的最大的自然数时，S n 最大．这是因为：当a n >0时，S n >S n －1，即递增；当a n <0时，S n <S n －1，即递减．类似地，当a 1<0，d >0，则n 为使a n ≤0成立的最大自然数时，S n 最小．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若等差数列{a n}的前n项和为S n，则S n一定同时存在最大值和最小值．( )(2)若等差数列{a n}的前n项和为S n，则数列S m，S2m，S3m，…(m∈N*)为等差数列．( )(3)若等差数列{a n}的公差d>0，则该数列S n一定有最小值，d<0，则该数列S一定有最大值．( )n2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知某等差数列共有101项，各项之和为202，则奇数项之和S奇＝________，偶数项之和S偶＝________.(2)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝________.(3)在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时，S取最大值，则d的取值范围为________.n题型一等差数列前n项和性质的应用例1 等差数列{a n}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m 项的和．[跟踪训练1] 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3＝27，S6＝81，则S12＝( )A．270 B．108C．162 D．150题型二等差数列前n项和在实际中的应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？[跟踪训练2] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A.12尺B．815尺C．1629尺D．1631尺题型三等差数列前n项和的最值问题例3 等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．[条件探究] 本例中将“a1＝25”改为“a1<0”，其他条件不变，则n为何值时，S n最小？[跟踪训练3] 设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．题型四等差数列的奇(偶)项和问题例4 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数．[跟踪训练4] (1)一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比；(2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d.题型五等差数列前n项和的比例问题例5 (1)已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n且SnTn＝7n＋2n＋3，则a5b5＝________；(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d .[结论探究] 如果把本例(1)中问题，改为求a 5b 7＝________，怎样解答呢？[跟踪训练5] 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A nB n＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a nb n.1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．122．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．30 B ．25 C ．20D ．153．(多选)设数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1>0且S 6＝S 9，则( ) A ．d >0B ．a 8＝0C ．S 7或S 8为S n 的最大值D ．S 5>S 64．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子？”这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上，求数列{a n }的通项公式．A级：“四基”巩固训练一、选择题1．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于( ) A．36 B．18C．72 D．92．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7C．8 D．93．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是( )A．若d<0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d<0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n>0D．若对任意n∈N*，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列4．已知等差数列{a n}和等差数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，且(n＋1)S n＝(7n＋23)T n，则使anbn为整数的正整数n的个数是( )A．2 B．3C．4 D．55．(多选)等差数列{a n}中，若S6<S7且S7>S8，则下面结论正确的是( ) A．a1>0 B．S9<S6C．a7最大D．(S n)max＝S7二、填空题6．在等差数列{a n}中，a n＝4n－52，a1＋a2＋…＋a n＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b均为常数，则ab＝________.7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，S 7＝28，则a n ＝________，a 1＋a nS n ＋4的最大值是________.三、解答题9．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值． 10．已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7，n ∈N *.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：数列{a n }为等差数列；(2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .B 级：“四能”提升训练1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *.(1)求a 1及通项公式a n ；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上，数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝32a n －112b n －1，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值．第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用(教师独具内容)课程标准：1.掌握等差数列前n 项和的性质，并能够运用其来解决问题.2.体会等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，并能够运用二次函数的知识解决数列问题．教学重点：等差数列前n 项和的性质及其应用． 教学难点：运用二次函数的知识解决数列问题.1．等差数列的前n 项和公式与二次函数之间的关系一般地，对于等差数列{a n }，如果a 1，d 是确定的，前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，上式可写成S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0(即d ≠0)时，S n 是关于n 的二次函数，那么(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上．因此，当d ≠0时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n 的图象是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上的一群孤立的点．可以证明：{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 2．等差数列的前n 项和的最值解决等差数列的前n 项和的最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意的是n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取最值． (3)通项法：当a 1>0，d <0时，n 为使a n ≥0成立的最大的自然数时，S n 最大．这是因为：当a n >0时，S n >S n －1，即递增；当a n <0时，S n <S n －1，即递减．类似地，当a 1<0，d >0，则n 为使a n ≤0成立的最大自然数时，S n 最小．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 一定同时存在最大值和最小值．( )(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列S m ，S 2m ，S 3m ，…(m ∈N *)为等差数列．( )(3)若等差数列{a n }的公差d >0，则该数列S n 一定有最小值，d <0，则该数列S n 一定有最大值．( )答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知某等差数列共有101项，各项之和为202，则奇数项之和S 奇＝________，偶数项之和S 偶＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝________.(3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取最大值，则d 的取值范围为________.答案 (1)102 100 (2)20 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78题型一 等差数列前n 项和性质的应用例1 等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，试求前3m 项的和．[解] 解法一：利用等差数列{a n }前n 项和公式S n ＝na 1＋n n －12d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S m＝ma 1＋m m －12d ＝30，S 2m＝2ma 1＋2m 2m －12d ＝100，解得a 1＝10m ＋20m 2，d ＝40m 2，所以S 3m ＝3ma 1＋3m3m －12d ＝210.解法二：记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m－S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，所以S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.等差数列前n项和的常用性质解决此类问题的方法较多，可利用方程的思想方法确定出系数，从而求出S n；也可利用等差数列的“片断和性质”，构造出新数列，从而使问题得到解决．[跟踪训练1] 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3＝27，S6＝81，则S12＝( )A．270 B．108C．162 D．150答案 A解析∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差d＝S6－S3－S3＝27，∴S9－S6＝S3＋2d＝81，S12－S9＝S3＋3d＝108，∴S9＝162，S12＝270.题型二等差数列前n项和在实际中的应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？[解]设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，…a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)．即第10个月应付款55.5元．由于{a n}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S20＝60＋60－19×0.52×20＝1105(元)，即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．[跟踪训练2] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A.12尺B．815尺C．1629尺D．1631尺答案 C解析由题意可得，每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1＝5，S30＝9×40＋30＝390，设公差为d，则30×5＋30×292d＝390，解得d＝1629.故选C.题型三等差数列前n项和的最值问题例3 等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．[解]由题意，可知a1＝25，S17＝S9，则17a1＋17×162d＝9a1＋9×82d，d＝－2.解法一：S n＝25n＋n n－12×(－2)＝－(n－13)2＋169.故前13项之和最大，最大值是169.解法二：S n＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n(d<0)，S n 的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的横坐标为9＋172，即S13最大．如右图所示，最大值为169.解法三：∵S 17＝S 9， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.∴a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. ∵a 1＝25>0，∴a 13>0，a 14<0. ∴S 13最大，最大值为169.解法四：∵a 1＝25>0，由⎩⎨⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n <0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n >1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[条件探究] 本例中将“a 1＝25”改为“a 1<0”，其他条件不变，则n 为何值时，S n 最小？解 ∵S 17＝S 9，∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0， ∴a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. ∵a 1<0，∴a 13<0，a 14>0，∴S 13最小，∴当n ＝13时，S n 最小．求解等差数列前n项和最值问题的常用方法(1)二次函数法，即先求得S n 的表达式，然后配方．若对称轴恰好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取得最值，有时n 的值有两个，有时可能为1个．(2)不等式法①当a 1＞0，d ＜0时，由⎩⎨⎧ a m ≥0，a m ＋1＜0⇒S m 为最大值；②当a 1＜0，d ＞0时，由⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1＞0⇒S m 为最小值．(3)寻求正、负项交替点法，即利用等差数列的性质，找到数列中正数项与负数项交替变换的位置，其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项)，然后确定S n 的最值．[跟踪训练3] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎨⎧ 24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎨⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大.题型四 等差数列的奇(偶)项和问题例4 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数．[解] 解法一：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝24，S偶＝30，a2k －a 1＝212，即⎩⎪⎨⎪⎧12k a 1＋a 2k －1＝24，12k a 2＋a2k＝30，2k －1d ＝212，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k [a 1＋k －1d ]＝24，k a 1＋kd ＝30，2k －1d ＝212，解得a 1＝32，d ＝32，k ＝4，∴首项为32，公差为32，项数为8.解法二：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S奇＝24，S偶＝30，a2k －a 1＝212，∴⎩⎨⎧S 偶－S 奇＝6，a2k －a 1＝212，∴⎩⎨⎧kd ＝6，2k －1d ＝212，∴⎩⎨⎧k ＝4，d ＝32.代入S 奇＝k 2(a 1＋a 2k －1)＝24，可得a 1＝32.∴首项为32，公差为32，项数为8.等差数列的奇(偶)项和的性质(1)设等差数列{a n }的项数为2n (n ∈N *)，则有： ①S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n(S 奇，S 偶分别是数列{a n }的所有奇数项和、偶数项和)．(2)设等差数列{a n }的项数为2n －1(n ≥2，且n ∈N *)，则S 2n －1＝(2n －1)a n (a n是数列的中间项)，S奇－S偶＝a n，S奇S偶＝nn－1.[跟踪训练4] (1)一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比；(2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d.解(1)等差数列{a n}共有1006个奇数项，1005个偶数项，∴S奇＝1006a1＋a20112，S偶＝1005a2＋a20102.∵a1＋a2011＝a2＋a2010，∴S奇S偶＝10061005.(2)前20项中，奇数项和S奇＝13×75＝25，偶数项和S偶＝23×75＝50，又S偶－S奇＝10d，∴d＝50－2510＝2.5.题型五等差数列前n项和的比例问题例5 (1)已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n且SnTn＝7n＋2n＋3，则a5b5＝________；(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.[解析](1)解法一：a5b5＝S9T9＝7×9＋29＋3＝6512.解法二：可设S n＝(7n＋2)nt，T n＝(n＋3)nt(t≠0)．则a5＝S5－S4＝65t，b5＝T5－T4＝12t.故a5b5＝65t12t＝6512.(2)由题意，知⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎨⎧S 偶＝192.S 奇＝162.因为S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. [答案] (1)6512(2)见解析 [结论探究] 如果把本例(1)中问题，改为求a 5b 7＝________，怎样解答呢？ 答案6516解析 设S n ＝(7n ＋2)nt ，T n ＝(n ＋3)nt (t ≠0)， ∴a 5＝65t ，b 7＝T 7－T 6＝(7＋3)×7t －(6＋3)×6t ＝16t .∴a 5b 7＝65t 16t ＝6516.解决等差数列前n 项和问题的两种思路(1)涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数列前n 项和的性质求解．(2)涉及两个等差数列项的比，可以转化为两等差数列前n 项和之比来处理． [跟踪训练5] 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A n B n＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a nb n. 解 ∵等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝dn 22＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，A n B n ＝7n ＋14n ＋27， ∴设A n ＝k (7n 2＋n )，B n ＝k (4n 2＋27n )．当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝7kn 2＋kn －7k (n －1)2－k (n －1)＝k (14n －6)，b n＝B n －B n －1＝k (4n 2＋27n )－k [4(n －1)2＋27(n －1)]＝k (8n ＋23)．∴a n b n ＝14n －68n ＋23，当n ＝1时，也成立．1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．12答案 A 解析 S 9S 5＝92a 1＋a 952a 1＋a 5＝92·2a 552·2a 3＝9a 55a 3＝95·a 5a 3＝1. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．30 B ．25 C ．20 D ．15答案 D解析 因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以S 10＋(S 30－S 20)＝2(S 20－S 10)，所以12＋(S 30－17)＝2×(17－12)，解得S 30＝15.3．(多选)设数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1>0且S 6＝S 9，则( ) A ．d >0B ．a 8＝0C ．S 7或S 8为S n 的最大值D ．S 5>S 6答案 BC解析 因为S n ＝na 1＋n n －12d ，所以S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，又因为a 1>0，S 6＝S 9，所以d <0，二次函数y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 图象的对称轴为x ＝6＋92＝152，所以二次函数图象的开口向下，所以二次函数y ＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，152上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，＋∞上单调递减，所以S 5<S 6，故A ，D 错误；在最靠近152的整数n ＝7或n ＝8时，S n 取得最大值，故C 正确；因为S 7＝S 8，所以a 8＝0，故B 正确．故选BC.4．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子？”这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________.答案 18解析 设第一个人分到的橘子个数为a 1，由题意，得S 5＝5a 1＋5×42×3＝60，解得a 1＝6.则a 5＝a 1＋(5－1)×3＝6＋12＝18，∴得到橘子最多的人所得的橘子个数是18.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上，求数列{a n }的通项公式．解 依题意得，S nn＝3n －2， 即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， 因为a 1＝S 1＝1，满足a n ＝6n －5， 所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18等于( ) A ．36 B ．18 C ．72 D ．9答案 A解析 由S 3，S 6－S 3，…，S 18－S 15成等差数列，可知S 18＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋…＋(S 18－S 15)＝6×－6＋182＝36.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析 ∵{a n }是等差数列，∴a 4＋a 6＝2a 5＝－6，即a 5＝－3，则d ＝a 5－a 15－1＝－3＋114＝2，∴{a n }是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a 6＝－1，a 7＝1，∴当n ＝6时，S n 取得最小值．3．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 答案 C解析 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A ，B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．4．已知等差数列{a n }和等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且(n ＋1)S n＝(7n ＋23)T n ，则使a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析由题意，可得SnTn＝7n＋23n＋1，则anbn＝2a n2b n＝n a1＋a2n－12n b1＋b2n－12＝S2n－1T2n－1＝14n＋162n＝7n＋8 n ＝7＋8n，经验证，知当n＝1,2,4,8时，anbn为整数，即使anbn为整数的正整数n的个数是4，故选C.5．(多选)等差数列{a n}中，若S6<S7且S7>S8，则下面结论正确的是( ) A．a1>0 B．S9<S6C．a7最大D．(S n)max＝S7答案ABD解析等差数列{a n}中，若S6<S7且S7>S8，则a7>0，a8<0，故d<0.a1＝a7－6d>0，A正确；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，故S9<S6，B正确；因为a6>a7，故C错误；因为a7>0，a8<0，故(S n)max＝S7，D正确．故选ABD.二、填空题6．在等差数列{a n}中，a n＝4n－52，a1＋a2＋…＋a n＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b均为常数，则ab＝________.答案－1解析∵a n＝4n－52，∴a1＝32.设等差数列{a n}的公差为d，则d＝a n＋1－a n＝4.∴an2＋bn＝a1＋a2＋…＋a n＝32n＋n n－12×4＝2n2－12n.∴a＝2，b＝－12，故ab＝－1.7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．答案2000解析假设开始时将树苗集中放置在第n棵树坑旁边(其中1≤n≤20且n∈N*)，则20名同学往返所走的路程总和为S＝20＋40＋…＋20(n－1)＋20＋40＋…＋20(20－n)＝20[1＋2＋…＋(n－1)＋1＋…＋(20－n)]＝20⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1＋1n －12＋20－n ＋120－n 2＝20(n 2－21n ＋210)＝20⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －2122＋210－2124因为n ∈N *且1≤n ≤20，所以当n ＝10或11时，S 取最小值，且最小值为2000米．8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，S 7＝28，则a n ＝________，a 1＋a n S n ＋4的最大值是________.答案 n 17解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 7＝7a 1＋21d ＝28，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .S n ＝n a 1＋a n2＝n n ＋12，∴a 1＋a n S n ＋4＝21＋nn ＋5n ＋4，令t ＝n ＋1，则t ≥2且t ∈N ，a 1＋a n S n ＋4＝2tt ＋4t ＋3＝2t ＋12t＋7，由对勾函数的单调性可知，函数y ＝t ＋12t＋7在t ∈(0,23)时单调递减，在t ∈(23，＋∞)时单调递增，当t ＝3或t ＝4时，a 1＋a n S n ＋4取得最大值为17. 三、解答题9．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值． 解 (1)设{a n }的首项、公差分别为a 1，d .则⎩⎨⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或n ＝4时，前n 项的和取得最小值为－18.10．已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7，n ∈N *.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：数列{a n }为等差数列；(2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .解 (1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3，所以数列{a n }为等差数列．(2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|，所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝n b 1＋b n2＝n [5＋8－3n ]2＝13n －3n 22，当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋n －2[1＋3n －8]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13n －3n 22，1≤n ≤2，n ∈N *，3n 2－13n ＋282，n ≥3，n ∈N *.B 级：“四能”提升训练1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *.(1)求a 1及通项公式a n ；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)对于(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1， ①n ＝1时，(a 1＋2)2＝4a 1＋5，a 21＝1，而a n >0，则a 1＝1.又(a n ＋1＋2)2＝4S n ＋1＋4(n ＋1)＋1， ②由②－①可得(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2＝4a n ＋1＋4，a 2n ＋1＝(a n ＋2)2，而a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2.∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)∵b n ＝(－1)n ·(2n －1)，∴T n ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)n (2n －1)， 当n 为偶数时，T n ＝＝n ； 当n 为奇数时，T n ＝－(2n －1)＝－n . 综上所述，T n ＝(－1)n ·n .2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上，数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝32a n －112b n －1，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k 57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值． 解 (1)由已知，得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式，∴a n ＝n ＋5(n ∈N *)．由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列． 由{b n }的前9项和为153，可得9b1＋b92＝9b5＝153，得b5＝17，又b3＝11，∴{b n}的公差d＝b5－b32＝3.∵b3＝b1＋2d，∴b1＝5.∴b n＝3n＋2(n∈N*)．(2)c n＝32n－16n＋3＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，∴T n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1.∵n增大时，T n增大，∴{T n}是递增数列．∴T n≥T1＝1 3 .若T n>k57对一切n∈N*都成立，只要T1＝13>k57，∴k<19，则k max＝18.。
等差数列的前n项和性质及应用
3、三种题型
数列{an}为等差数列
题型(一)——等差数列前n项和旳有关计算
知三求二
★注意 a a 旳整体代换
1
n
题型(二)——已知Sn，求通项公式an
an＝SS1n－Sn－1
n＝1， n＞1，n∈N*.
题型(三)——等差数列前n项和Sn旳最值问题
4．求等差数列前n项和旳最值措施 (1)二次函数法：用求二次函数旳最值措施来求其 前n项和旳最值，但要注意n∈N*，结合二次函数 图象旳对称性来拟定n旳值，愈加直观． (2)通项法：当 a1＞0，d＜0，aann≥＋1≤0 0 时，Sn 取 得最大值；当 a1＜0，d＞0，aann≤ ＋1≥0 0 时，Sn 取 得最小值．
例3.一种等差数列旳前10项旳和为100, 前100项旳和为10,则它旳前110项旳和 为 －110 .
例4.两等差数列{an} 、{bn}旳前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n 1
求 a5 和 an . b5 bn
Tn 4n 27
a5 64 an 14n 6 b5 63 bn 8n 23
性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0
性质4:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中
间两项), 此时有:S偶－S奇= nd
,
S奇 S偶
an an1
2024年10月9日星期三
性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则 S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
an 0
an1
等差数列前n项和性质
0得
n n
13.5 12.5
当n 13, (Sn )max 169
3. 已知数列{an}是正数数列，且
Sn
1 8
(an
2)2 (n
N)
(1)求证{an}是等差数列 ；
(2)若
bn
=
1 2
an
-30，则数列{bn
}的前n项和有最什么值，
并求该最值；
（3）求数列{ bn }的前n项和Tn
(1) 由
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
利用二次函
数配方法求得最值时n的值.
(2) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ＜ 0，求得n的值； 当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，且an＋1 ＞ 0，求得n的值.
3.等差数列前n项和的性质（2）
（1）S奇
S偶
an (an是中间项)(2)
S奇 S偶
n n 1
1.当项数为2n（偶数）时：
（1）S偶
S奇
n d (2)
S偶 S奇
an1 an
证明：
S偶
a2
a4
...
a2n
n(a2
2
a2n )
n (2 an1) 2
n an1
S奇
a1
a2n1 )
n (2 2
an )
n an n a中
(1)S奇 S偶 n an (n 1) an an a中
等差数列的前n项和-概念解析
数学教育
等差数列的前n项和公式是数学 教育中的重要内容，是中学数学
课程中的必修知识点。
在物理领域的应用
物理学中的周期性现象
等差数列的前n项和公式可以用于描述物理学中的周期性现象，例如声音的振 动、波动等。
物理学中的序列问题
等差数列的前n项和公式可以用于解决物理学中的序列问题，例如在研究粒子运 动、流体动力学等领域中，可以通过等差数列的前n项和公式来描述一系列物理 量的变化规律。
解答
由于该等差数列是偶数项，所以它的前10项和等于中间两 项之和（第5项和第6项）乘以10除以2，即$(3 - 3) times 10 / 2 = 0$。
习题三：等差数列前n项和的实际应用问题
01 总结词
02 详细描述
03 应用1
04 应用2
05 应用3
掌握等差数列前n项和在实 际问题中的应用
等差数列前n项和在实际问 题中有着广泛的应用，如 计算存款、贷款、工资等 问题。
总结词
详细描述
公式
示例
解答
理解等差数列前n项和的 概念
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和，可以通过公式 或递推关系式来求解。
$S_n = frac{n}{2} times (2a_1 + (n-1)d)$，其中 $a_1$是首项，$d$是公 差，$n$是项数。
求等差数列$1, 3, 5, 7, ldots$的前5项和。
等差数列前n项和的公式推导
等差数列前n项和的公式可以通过数学归 纳法进行推导。
化简得：$S_{k+1} = frac{(k+1)}{2}(2a_1 + kd)$，所以当n=k+1时，公式也成立。
等差数列前n项和的几何意义
详细描述
在等差数列中，由于每一项都是前一项加上 一个常数（公差），因此奇数项的和等于中 间一项乘以个数，偶数项的和等于中间两项 的和乘以个数。这种对称性质在解决等差数 列问题时非常有用，可以简化计算过程。
05
等差数列前n项和的证明 方法
倒序相加法
总结词
倒序相加法是通过将等差数列的前n项和倒序写，然后两 式相加，消去大部分项，得到一个更简单的等式，从而 证明前n项和的公式。
解释
通项公式表示等差数列中任意一项的 值，它由首项和公差决定，与项数 $n$有关。
等差数列前n项和的公式
定义
等差数列前n项和公式 (n-1)d)$。
解释
前n项和公式表示等差数列中前n项的 和，它由首项、公差和项数$n$决定。
02
等差数列前n项和的几何 意义
THANKS
感谢观看
式。
构造法
总结词
构造法是通过构造一个新的等差数列，使得这个新数 列的前n项和与原数列的前n项和相等，从而证明前n 项和的公式。
详细描述
首先构造一个新的等差数列，使得这个新数列的前n 项和与原数列的前n项和相等。然后利用等差数列的 性质，证明这两个数列的前n项和相等。通过化简， 可以得到等差数列前n项和的公式。
平行四边形的面积
总结词
等差数列前n项和可以表示为平行四边形的面积。
详细描述
等差数列的前n项和还可以看作是平行四边形的面积，其中平行四边形的底为等差数列 的首项和末项，高为项数n的一半，平行四边形的面积即为等差数列前n项和的值。
03
等差数列前n项和的应用
计算等差数列的和
公式法
利用等差数列前n项和的公式，可以直接计算出等差数列的和。
等差数列前n项和的性质及其推导过程
等差数列前n项和的性质及其推导过程等差数列前n项和的性质及其推导过程：1. 性质等差数列前n项和即等差数列 S 的前 n 项之和，表达式为：S = a1 + a2 + a3 + …… + an，即求前 n 项之和，其中 a1 为等差数列的首项，an 为等差数列的第 n 项。
等差数列的前 n 项之和具有以下性质：（1）当 n 是正整数时， Sn = na1 + n（n - 1）d ;（2）等差数列的前 n 项之和和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；（3）a1 s = Sn - nd；2. 推导过程（1）当 n 是正整数时，等差数列的前 n 项之和 Sn = a1 + a2 + a3+ …… + an = a1 + a1 + d + a1 + 2d + …… + a1 + (n - 1)d，其中 a1 为等差数列的首项，d 为等差数列的公差。
将上面的式子进行合并可得：Sn = a1 + a1 + d + a1 + 2d + …… + a1 + (n - 1)d = na1 + d + d + d + …… + d = na1 + n(n - 1)d，因此，等差数列的前 n 项之和 Sn = na1 + n(n - 1)d；（2）等差数列的前 n 项之和 S n = n a1 + n(n - 1)d，只需要将 n 移到后面 T n = (n - 1) a1 + n(n - 1)d，不难看出 Sn - Tn = a1，Tn - Tn-1 = a1，由此可知，等差数列的前 n 项之和 S n 和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；（3）令 Tn = S n - nd，由上可知 Tn = (n - 1) a1 + n(n - 1)d ，可以得到另外一个式子：a1 s = Sn - nd 。
综上所述，等差数列的前 n 项之和的性质及其推导过程主要有三点：（1）当 n 是正整数时， Sn = na1 + n（n - 1）d；（2）等差数列的前 n 项之和和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；（3）a1 s = Sn - nd。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
8
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110. [解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，公差
为 d，则1100a01a＋1＋10101020－ 12001－d＝1d1＝ 00， 10.
解得ad1＝＝－1151001090.9，
∴S110＝110a1＋1101120－1d
n • an1
S奇
a1
a3
...
a2n1
n(a1
a2n1) 2
n •(2• 2
an
)
n
•
an
(1)S偶 S奇 n • an1 n • an n • (an1 an ) n • d
(2) S偶 n • an1 an1
S奇 n • an an
A
13
2.当 项 数 为 2n-1（ 奇 数 ） 时 ：
a n 1 an
2 .当 项 数 为 2 n - 1 （ 奇 数 ） 时 ：
（ 1） S奇
S偶
an
(an是
中
间
项
)(2)
S S
奇 偶
n n 1
A
12
1.当项数为2n（偶数）时：
（1）S偶S奇n•d(2)
S偶 S奇
an1 an
证明：Q
S偶
a2
a4
...
a2n
n(a2
2
a2n )
n • (2 • an1) 2
等 差 数 列 连 续 的 k项 之 和 也 成 等 差 数 列 。 即 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,......也 成 等 差 数 列 。 (公 差 为 k2•d)
A
6
证 明 ： 设 首 项 为 a 1， 公 差 为 d ，
Q
S2k
Sk
2k
•
a1
2k
•
(2k 1) • 2
d
[k
•
a1
k
•
(kBiblioteka 1) • 2d]
ka1
(4k 2
2k 2
k2
k)
d
ka1
3k
2 2
k
d
又
Q
Sk
(S3k
S2k )
k
• a1
k
• (k
1) • d 2
[3k
• a1
3k
• (3k 1) • d 2
2k
•
a1
2k
•
(2k 1) 2
•
d
]
2 k a1
k
2
k
9k
2
3k 2
4k
2
2k
d
2 k a1
6k
2 2
2k
d
2 k a1
(3k 2
k )d
而
2（
S2k
S k）
=2（
ka1
3k
2 2
k
d ）
2 k a1
(3k
2
k
)d
Sk (S3k S2k )
结论成立。
A
7
例 1 ： 在 等 差 数 列 { a n } 中 ， S 1 0 = 1 0 , S 2 0 = 4 0 , 求 S 3 0
解：由等差数列前n项和性质知S10,S20-S10,S30-S20 也成等差数列，即10，30，S30-40成等差数列， 23010（S30-40） 解得S30 90
A.85 B.145 C.110 D.90
解析 S偶 ： -S奇nd50d501225
S偶S奇25602585
变式：一个等差数列的前12项的和为354,
其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的
项的和之比为32:27,则公差为 5 .
A
15
解得 d＝－22.
∴前 11 项和为 11×100＋10×2 11d＝11×100＋10×2 11×(－22)＝
－110.
A
11
等差数列前n项和的性质（3） 关于奇数项与偶数项和的关系的几个结论：
S奇 S偶 S所有 1.当 项 数 为 2n（ 偶 数 ） 时 ：
（ 1） S偶
S奇
n • d (2) S偶 S奇
又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，
∴S110＝110a12＋a110＝－1A10.
10
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110. 法三：(新数列法)∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110
－S100，…成等差数列，
∴设该数列公差为 d，则其前 10 项和为 10×100＋10×2 9d＝10，
等差数列前n项和性质（1）
A
1
一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 an) 2
n(n1)d Sn na1 2
A
2
等差数列前n项和的性质（1）
已知等差数列的前n项和Sn，如何求an ? 利用Sn与an的关系: an=SS1n,nSn11,n2
A
3
A
4
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且lg(Sn＋1)＝n＋1，求
（ 1） S奇S偶a中 (中 间 项 ,即 an)(2)S S奇 偶nn 1
证明
:Q
S偶
a2
a4
...
a2n2
(n
1) • (a2 2
a2n2 )
(n
1) • (2 • 2
an )
(n
1) • an
(n
1) •
a中
S奇
a1
a3
...
a 2 n1
n • (a1 2
a 2n1 )
n • (2 • an) 2
＝110×1100909＋110×2 109×(A－5110)＝－110.
9
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
法二：(设而不求整体代换法)
∵S10＝100，S100＝10， ∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100 ＝90a112＋a100＝－90. ∴a11＋a100＝－2.
n • an n • a中
(1) S 奇 S 偶 n • a n ( n 1) • a n a n a中
(2) S奇 n • an n
S 偶 (n 1) • an n 1 A
14
例1.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且
a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=(A )
通项公式． 解：因为lg(Sn＋1)＝n＋1， 所以Sn＋1＝10n＋1.即Sn＝10n＋1－1.
当n＝1时，a1＝S1＝102－1＝99，
当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(10n＋1－1)－(10n－1)＝9×10n，
从而，数列{an}的通项公式为：
an＝999×10n
n＝1 n≥2.
返回
等差数列前n项和的性质（2）