江苏省淮安市涟水一中2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

江苏省淮安市涟水一中2017-2018学年高二下学期期末数学试卷（文科）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．已知集合A=，则A∩B=．2．已知p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为．3．已知为实数，其中i是虚数单位，则实数m的值为．4．已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0．若l1⊥l2，则实数a的值是．5．已知cos（α+）=﹣，则sin（α﹣）=．6．已知函数，则的值为．7．已知函数的图象关于原点对称，则实数a值是．8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为．9．已知抛物线y2=4x与双曲线的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若MF=3，则该双曲线的离心率为．10．已知过点的直线l与圆O：x2+y2=4有公共点，则直线l斜率的取值范围是．11．将函数的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在上为增函数，则ω的最大值为．12．已知，若关于x的不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的最大值是．13．对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=．14．数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确的个数为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α和β，，其终边分别交单位圆于A，B两点．若A，B两点的横坐标分别是，﹣．试求（1）tanα，tanβ的值；（2）∠AOB的值．16．如图，已知多面体ABCDFEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，若四边形ADEF为矩形，AB∥CD，，BC⊥BD，M为EC中点．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）求证：BM∥平面ADEF．17．某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系，从2014-2015学年高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：组号分组频数频率第1组[160，165）10 0.100第2组[165，170）①0.150第3组[170，175）30 ②第4组[175，180）25 0.250第5组[180，185）20 0.200合计100 1.00（Ⅰ）求频率分布表汇总①、②位置相应的数据，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率．18．（16分）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．19．（16分）已知椭圆M：（a＞b＞0），点F1（﹣1，0）、C（﹣2，0）分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若，求△AOB的面积；（3）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=（其中k∈R，e=2.71828…是自然数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x∈（0，1]时，f′（x）=0都有解，求k的取值范围；（3）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．江苏省淮安市涟水一中2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．已知集合A=，则A∩B={0，1}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴B=（﹣∞，1]，∵A={0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为∃x∈R，sinx＞1．考点：的否定．分析：根据p：∀x∈R，sinx≤1是全称，其否定为特称，将“任意的”改为“存在”，“≤“改为“＞”可得答案．解答：解：∵p：∀x∈R，sinx≤1是全称∴¬p：∃x∈R，sinx＞1故答案为：∃x∈R，sinx＞1．点评：本题主要考查全称与特称的相互转化问题．这里注意全称的否定为特称，反过来特称的否定是全称．3．已知为实数，其中i是虚数单位，则实数m的值为﹣2．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后利用复数的概念，求解即可．解答：解：==，已知为实数，可得3m+6=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念的应用，考查计算能力．4．已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0．若l1⊥l2，则实数a的值是0或﹣3．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：根据直线垂直的等价条件进行求解即可．解答：解：l1⊥l2，则a+a（a+2）=0，即a（a+3）=0，解得a=0或a=﹣3，故答案为：0或﹣3点评：本题主要考查直线垂直的应用，比较基础．5．已知cos（α+）=﹣，则sin（α﹣）=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．解答：解：∵cos（α+）=﹣，∴sin（α﹣）=sin[（α+）﹣]=﹣sin[﹣（α+）]=﹣cos（α+）=．故答案为：点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．6．已知函数，则的值为．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：首先判断＞1，得到的值为f（﹣1）=f（），由≤1，代入sinπx计算．解答：解：因为＞1，所以=f（﹣1）=f（），由≤1，所以f（）=sin（π×）=；故答案为：．点评：本题考查了分段函数的函数值求法；关键是明确自变量所属的范围，代入对应的解析式计算求值．7．已知函数的图象关于原点对称，则实数a值是．考点：指数型复合函数的性质及应用；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和图象的对称关系进行求解即可．解答：解：∵函数的图象关于原点对称，∴函数f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即a+=﹣（a+）=﹣a﹣，即2a=﹣﹣=﹣==1，解得a=，故答案为：点评：本题主要考查函数奇偶性的性质的应用，根据奇函数的关系式f（﹣x）=﹣f（x）建立方程关系是解决本题的关键．8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6．解答：解：由题意知：图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6，∴第n条小鱼需要（2+6n）根，故答案为：6n+2．点评：本题考查了规律型中的图形变化问题，本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法（归纳法），先观察特例，找到火柴棒根数的变化规律，然后猜想第n条小鱼所需要的火柴棒的根数．9．已知抛物线y2=4x与双曲线的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若MF=3，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点和准线方程，设M（m，n），则由抛物线的定义可得m=3，进而得到M的坐标，代入双曲线的方程，可得a，即可求出双曲线的离心率．解答：解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1，设M（m，n），则由抛物线的定义可得|MF|=m+2=3，解得m=1，由n2=4，可得n=±2．将M（1，±2）代入双曲线，解得a2=，所以a=，c=即有双曲线的离心率为．故答案为：．点评：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．10．已知过点的直线l与圆O：x2+y2=4有公共点，则直线l斜率的取值范围是．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：设直线的斜率是k，利用直线和圆的位置关系即可得到结论．解答：解：设直线的斜率是k，则直线方程为y+2=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣2=0，当直线和圆相切时，满足圆心到直线的距离d==2，解得k=0或，则直线l的斜率的取值范围为．故答案为：．点评：本题主要考查直线斜率的求解，根据直线和圆的位置关系是解决本题的关键．11．将函数的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在上为增函数，则ω的最大值为2．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的表达式，然后利用在上为增函数，说明，利用周期公式，求出ω的不等式，得到ω的最大值．解答：解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sin[ω（x﹣）+]=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以：，即：，ω≤2，所以ω的最大值为：2．故答案为：2．点评：本题主要考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期与单调增区间的关系，考查计算能力，常考题型，题目新颖，属于基本知识的考查．12．已知，若关于x的不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的最大值是﹣2．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：讨论分段函数各段的单调性，再由函数的连续性和单调性的定义，可得f（x）在R 上递减，由条件可得x+a≤2a﹣x在[a，a+1]上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的最大值，解a的不等式，即可得到a的最大值．解答：解：当x≤0时，f（x）=（x﹣2）2﹣1在（﹣∞，0]递减，当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2+4在（0，+∞）递减，且f（0）=3，即x＞0和x≤0的两段图象连续，则f（x）在R上递减．关于x的不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，即为x+a≤2a﹣x在[a，a+1]上恒成立，即有a≥2x在[a，a+1]上恒成立，即a≥2（a+1），解得a≤﹣2．则a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查分段函数的单调性的运用，同时考查不等式的恒成立问题，注意运用参数分离，属于中档题和易错题．13．对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：先根据a n+1﹣a n=2n，对数列进行叠加，最后求得a n=2n．进而根据等比数列的求和公式答案可得．解答：解：∵a n+1﹣a n=2n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）++（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2++22+2+2=+2=2n﹣2+2=2n．∴S n==2n+1﹣2．故答案为2n+1﹣2点评：本题主要考查了数列的求和．对于a n+1﹣a n=p的形式常可用叠加法求得数列通项公式．14．数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确的个数为3 个．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：①F（x）=f（|x|），从而判断；②易知函数F（x）是偶函数；③由对数函数的单调性及绝对值可判断F（m）﹣F（n）=﹣alog2m+1﹣（﹣alog2n+1）=a （log2n﹣log2m）＜0；④由函数的零点与方程的根的关系可得|x|=或|x|=；从而判断出函数y=F（x）﹣2有4个零点．解答：解：①F（x）=f（|x|），故F（x）=|f（x）|不正确；②∵F（x）=f（|x|），∴F（﹣x）=F（x）；∴函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则F（m）﹣F（n）=﹣alog2m+1﹣（﹣alog2n+1）=a（log2n﹣log2m）＜0；④当a＞0时，F（x）=2可化为f（|x|）=2，即a|log2|x||+1=2，即|log2|x||=；故|x|=或|x|=；故函数y=F（x）﹣2有4个零点；②③④正确；故答案为：3 个．点评：本题考查了绝对值函数的应用及对数函数的性质的应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α和β，，其终边分别交单位圆于A，B两点．若A，B两点的横坐标分别是，﹣．试求（1）tanα，tanβ的值；（2）∠AOB的值．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据三角函数的定义即可求tanα，tanβ的值；（2）∠AOB=β﹣α，利用两角和差的正切公式进行求解即可．解答：解：（1）由条件知cosα=，cosβ=﹣．∵，∴sinα=，sinβ==，则tanα==，tanβ==﹣7；（2）∵∠AOB=β﹣α，∴tan∠AOB=tan（β﹣α）===，∵，∴0＜β﹣α＜π，则β﹣α=．点评：本题主要考查三角函数的定义以及两角和差的正切公式的应用，考查学生的运算能力．16．如图，已知多面体ABCDFEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，若四边形ADEF为矩形，AB∥CD，，BC⊥BD，M为EC中点．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）求证：BM∥平面ADEF．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）只要证明DE⊥平面ABCD即可；（2）取DE中点N，连接AN，MN，只要证明BM∥AN，利用线面平行的判定定理可得．解答：证明：（1）因为四边形ADEF为矩形，所以DE⊥AD，…又因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以DE⊥平面ABCD，…又因为BC⊂平面ABCD，所以DE⊥BC，…又因为BC⊥BD，DE∩BD=D，所以BC⊥平面BDE；…（2）取DE中点N，连接AN，MN，因为M，N分别为EC，DE中点，所以MN∥CD，，…又因为AB∥CD，，所以MN∥AB，MN=AB，所以四边形ABMN为平行四边形，…所以BM∥AN，又AN⊂平面ADEF，BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF．…点评：本题考查了线面垂直、线面平行的判定定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理性质．17．某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系，从2014-2015学年高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：组号分组频数频率第1组[160，165）10 0.100第2组[165，170）①0.150第3组[170，175）30 ②第4组[175，180）25 0.250第5组[180，185）20 0.200合计100 1.00（Ⅰ）求频率分布表汇总①、②位置相应的数据，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率．考点：频率分布表．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率、频数与样本容量的关系，求出①、②的数值，并画出频率分布直方图；（Ⅱ）先求出第2、5组的人数，再根据分层抽样原理，求出第2、5组应抽取的人数；（Ⅲ）用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：（Ⅰ）根据题意，得；①小组[165，170）内的频数是100×0.150=15，②小组[170，175）内的频率=0.300，画出频率分布直方图如下；（Ⅱ）第2组有15人，第5组有20人，分层抽样方法从第2、5组中随机抽取7名学生，第2组中应抽取7×=3人，第5组中应抽取7﹣3=4人；（Ⅲ）第2组的学生记为a、b、c，第5组的学生记为1、2、3、4，从这7名学生中随机抽取2名学生，基本事件数是ab，ac，a1，a2，a3，a4，bc，b1，b2，b3，b4，c1，c2，c3，c4，12，13，14，23，24，34共21种不同取法；至少有1名学生来自第5组的基本事件数是：a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，c1，c2，c3，c4，12，13，14，23，24，34共18种不同取法；对应的概率为P==．点评：不同考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．18．（16分）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．考点：函数奇偶性的判断；对数的运算性质；对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：（1）根据对数的性质可知真数大于零，进而确定x的范围，求得函数的定义域．（2）利用函数解析式可求得f（﹣x）=﹣f（x），进而判断出函数为奇函数．（3）根据当a＞1时，f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数，可推断出f（x）＞0，进而可知进而求得x的范围．解答：解：（1）f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），则解得﹣1＜x＜1．故所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）f（x）为奇函数由（1）知f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣[log a（x+1）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），故f（x）为奇函数．（3）因为当a＞1时，f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数，所以．解得0＜x＜1．所以使f（x）＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}．点评：本题主要考查了函数的定义域，奇偶性的判断和单调性的应用．要求考生对函数的基本性质熟练掌握．19．（16分）已知椭圆M：（a＞b＞0），点F1（﹣1，0）、C（﹣2，0）分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若，求△AOB的面积；（3）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过左焦点、左顶点的坐标可知，进而可得结论；（2）通过两点式可知直线l的方程为：，并与椭圆方程联立可得B点纵坐标，进而利用三角形面积公式计算即得结论；（2）通过设B（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），利用=0即=0，化简即可．解答：解：（1）由F1（﹣1，0）、C（﹣2，0）得：．…∴椭圆M的标准方程为：；…（2）因为，F1（﹣1，0），所以过A、F1的直线l的方程为：，即，…解方程组，得，…∴；…（2）结论：不存在直线l使得点B在以AC为直径的圆上．理由如下：设B（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），则．假设点B在以线段AC为直径的圆上，则=0，即=0，因为C（﹣2，0），F1（﹣1，0），所以==，…解得：x0=﹣2或﹣6，…又因为﹣2＜x0＜﹣6，所以点B不在以AC为直径的圆上，即不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上．…（16分）点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=（其中k∈R，e=2.71828…是自然数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x∈（0，1]时，f′（x）=0都有解，求k的取值范围；（3）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出当k=2时，f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）由f′（x）=0可得k=，运用导数求得右边函数的最大值，即可得到k的范围；（3）由f′（1）=0，可得k=1，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1等价为1﹣x﹣xlnx＜（e﹣2+1），先证1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，可由导数求得，再证＞1．即可证得对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．解答：解：（1）当k=2时，f（x）=的导数为f′（x）=（x＞0），f′（1）=﹣，f（1）=，在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即为y=﹣x+；（2）f′（x）=0，即=0，即有k=，令F（x）=，由0＜x≤1，F′（x）=﹣＜0，F（x）在（0，1）递减，x→0，F（x）→+∞，F（x）≥1，即k≥1；（3）证明：由f′（1）=0，可得k=1，g（x）=（x2+x）f′（x），即g（x）=（1﹣x﹣xlnx），对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1等价为1﹣x﹣xlnx＜（e﹣2+1），由h（x）=1﹣x﹣xlnx得h′（x）=﹣2﹣lnx，当0＜x＜e﹣2时，h′（x）＞0，h（x）递增，当x＞e﹣2时，h′（x）＜0，h（x）递减，则h（x）的最大值为h（e﹣2）=1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，设φ（x）=e x﹣（x+1），φ′（x）=e x﹣1，x＞0时，φ′（x）＞0，φ（x）＞0，φ（x）＞φ（0）=0，则x＞0时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0即＞1．即1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1＜（e﹣2+1），故有对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值、最值，运用分离参数和不等式恒成立问题转化为不等式的传递性是解题的关键．。