2020-2021学年上海市上海中学高二上学期9月周练数学02 Word版
2022-2023学年上海高二数学上学期同步知识点讲练重难点01线线角、线面角、二面角问题带讲解
重难点01线线角、线面角、二面角问题（重难点突破解题技巧与方法）1.求异面直线所成的角的三步曲2.求直线和平面所成角的关键作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。
3.找二面角的平面角的常用方法 （1）由定义做出二面角的平面角 （2）用三垂线定理找二面角的平面角 （3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角求异面直线所成的角一、填空题1．（2021·上海·复旦附中高二期中）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，异面直线11A C 与DB 所成角为3π，且11111,AC D B O ACDB O ==，1OA OB ==，则AB 的长为_________．【答案】1或3【分析】根据题意得出AOB ∠为异面直线11A C 与DB 所成角或所成角的补角，从而在AOB 中，应用余弦定理即可求出答案.【详解】因为11//AC AC ，所以AOB ∠为异面直线11A C 与DB 所成角或所成角的补角，即3AOB π∠=或23π， 当3AOB π∠=时，因为1OA OB ==，所以AOB 为等边三角形，所以1AB =；能力拓展技巧方法当23AOB π∠=时，因为1OA OB ==， 在AOB 中，由余弦定理，得22222cos33AB OA OB OA OB π,所以3AB =.故答案为：1或3.2．（2021·上海·格致中学高二期中）设E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 的中点，在棱1AA 上任取一点P ，在线段1A E 上任取一点Q ，则异面直线PQ 与BD 所成角的大小为______．【答案】2π【分析】连接BD ，利用线面垂直的判定定理证得BD ⊥平面1A ECA ，再利用线面垂直的性质定理可知BD PQ ⊥，即可得解.【详解】连接BD ，由底面ABCD 为正方形，可知BD AC ⊥，由正方体的性质，可知1AA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，则1AA ⊥BD 又1AA AC A =，则BD ⊥平面1A ECA ，由已知可知PQ ⊂平面1A ECA ，则BD PQ ⊥所以异面直线PQ 与BD 所成角的大小为2π 故答案为：2π3．（2021·上海中学高二期中）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AB 与BD所成角大小为______ 【答案】3π【分析】连接1AD 、11B D ，，证明11//B D BD ，可得11AB D ∠即为异面直线1AB 与BD 所成角，在11AB D 求11AB D ∠即可求解.【详解】如图，连接1AD 、11B D ， 因为11//BB DD ，11BB DD =, 所以四边形11BB D D 是平行四边形， 所以11//B D BD ，所以11AB D ∠即为异面直线1AB 与BD 所成角， 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ， 在11AB D 中，11112AD AB B D a ===， 所以11AB D 是等边三角形， 所以113AB D π∠=，即异面直线1AB 与BD 所成角为3π， 故答案为：3π二、解答题4．（2022·上海浦东新·高二期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.(1)求异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值；(2)求证：直线1//A B 平面11DCC D . 【答案】(1)22(2)证明见解析 【分析】（1）根据已知11//CC BB ，可将异面直线1A B 和1CC 所成的角转化为直线1A B 和1BB 所成的角，再根据题目的边长关系，即可完成求解；（2）可通过连接1D C ，证明四边形11A BCD 为平行四边形，从而得到11//A B D C ，再利用线面平行的判定定理即可完成证明.(1)因为11//CC BB ，所以11A BB ∠就是异面直线1A B 和1CC 所成的角.又因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以异面直线1A B 和1CC 所成的角为45o ，所以异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值为22. (2)连接1D C ，因为11//A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 为平行四边形，所以11//A B D C ；1A B ⊄平面11DCC D ，1D C ⊂平面11DCC D ；所以直线1//A B 平面11DCC D .即得证.线面角一、单选题1．（2022·上海市控江中学高二期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b ．对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有两条直线l 与a 、b 都成75︒角．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】A【分析】①由正方形的性质，可以延伸正方形，再利用两条平行线确定一个平面即可；②一组邻边与对角面的夹角相等，在平面内绕P 转动，可以得到二条直线与a 、b 的夹角都等于75. 【详解】如下图所示，在侧面正方形11A B BA 和11A D DA 再延伸一个正方形11B E EB 和11D F FD ，则平面1E C 和1C F 在同一个平面内，所以过点P ，有且只有一条直线l ，即1EF 与a 、b 相交，故①为真命题；取1A A 中点N ，连PN ，由于a 、b 为异面直线，a 、b 的夹角等于11A B 与b 的夹角.由于11A C ⊂ 平面11A C ，NP ⊄平面11A C ，11NP AC ，所以NP 平面11A C ，所以NP 与11A B 与b 的夹角都为45 .又因为1C C ⊥平面11A C ，所以1C C 与11A B 与b 的夹角都为90，而457590<<，所以过点P ，在平面1A C 内存在一条直线，使得与11A B与b 的夹角都为75，同理可得，过点P ，在平面1A C 内存在一条直线，使得与a 与AD 的夹角都为75；故②为真命题. 故选：A二、填空题2．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的全面积等于_________． 【答案】10【分析】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解. 【详解】由题意，正四棱柱1111ABCD A B C D -如下图：不妨设正四棱柱1111ABCD A B C D -底面边长为a ，1||AA h =，由已知条件可得，2222221||2(6)6BD a a h a h =++=+==，又因为1DD ⊥底面ABCD ，所以对角线1BD 与底面ABCD 所成角为1DBD ∠，因为对角线与底面所成角的余弦值为33，||2BD a =， 所以11||23cos ||36BD a DBD BD ∠===，解得1a =，从而2h =， 故该正四棱柱的表面积12411210S =⨯⨯+⨯⨯=. 故答案为：10. 三、解答题3．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，PA 垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB DM ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）6π.【分析】（1）由题设易得BC AB ⊥，由已知及线面垂直的性质有BC ⊥面PAB ，根据线面垂直的判定可证BC PB ⊥、PA AB ⊥，再由线面垂直的判定及平行的推论可得PB ⊥面ADMN ，最后由线面垂直的性质证结论.（2）若BD 与平面ADMN 所成角为θ，由线面垂直易知sin BNBDθ=，即可求线面角的大小. 【详解】（1）由90BAD ∠=︒即AD AB ⊥，又//AD BC ，有BC AB ⊥， ∵PA ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴PA BC ⊥，而PA AB A =，则有BC ⊥面PAB ， 又PB ⊂面PAB ，则BC PB ⊥， 由AB面ABCD ，有PA AB ⊥，且PA AB =，N 为PB 的中点，则AN PB ⊥，又M 为PC 的中点，有//BC MN ，即MN PB ⊥，而AN MN N =，又//AD BC ，则//AD MN ，即,,,A N D M 共面，∴PB ⊥面ADMN ，而DM ⊂面ADMN ，故PB DM ⊥.（2）由（1）知：PB ⊥面ADMN ，若BD 与平面ADMN 所成角为[0,]2πθ∈，且1BC =，∴2,22BN BD == ，则1sin 2BN BD θ==，故6πθ=.二面角一、单选题1．（2020·上海·曹杨二中高二期末）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则 A ．,βγαγ<< B ．,βαβγ<< C ．,βαγα<< D ．,αβγβ<<【答案】B【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B. 方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得 333222cos sin sin α=α=β=γ=B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法. 二、填空题2．（2021·上海·西外高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BC A --的大小是___________. 【答案】4π 【分析】根据二面角的定义判断二面角1A BC A --的大小. 【详解】画出图象如下图所示， 由于1,BC A B BC AB ⊥⊥，所以1A BA ∠是二面角1A BC A --的平面角， 根据正方体的性质可知14A BA π∠=.故答案为：4π三、解答题3．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA 、OB 、1OO 两两垂直（OA 、OB 、1OO 均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓．(1)若木板较长的一边紧贴地面，3问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？(2)应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值． 【答案】(1)6π和3π (2)体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45° 【分析】（1）利用设二面角为θ或三棱柱底面的一条直角边长为x 两种方法进行求解即可； （2）用（1）中的θ或x 表示谷仓容积，再利用三角函数和基本不等式，进行求最值即可得解. (1)法一：设其中一个锐二面角的大小为θ，则三棱柱底面的两条直角边长分别为2cos θ、2sin θ，高为1，体积132cos 2sin 1sin 22V Sh θθθ==⋅⋅⋅==6πθ=或3π，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为6π和3π．法二：设三棱柱底面的一条直角边长为()02x x <<，则另一条直角边长为24-x ，高为1，体积2134122V Sh x x ==⋅⋅-⋅=，解得x ＝1或3，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为6π和3π． （2）法一：同（1）中法一所设，若长边紧贴底面，体积12cos 2sin 1sin 212V Sh θθθ==⋅⋅⋅=≤，等号当且仅当4πθ=时成立；若短边紧贴底面，体积111cos sin 2sin 2222V Sh θθθ==⋅⋅⋅=≤，等号当且仅当4πθ=时成立；显然112>，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地， 与两个墙面所成锐二面角均为45°． 法二：同（1）中法二所设，若长边紧贴底面，体积2221441124x x V Sh x x +-==⋅⋅-⋅≤=， 等号当且仅当2x =时成立；若短边紧贴底面，体积22211112222x x V Sh x x +-==⋅⋅-⋅≤=，等号当且仅当22x =时成立； 显然112>，所以体积最大值为1立方米， 此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°（也可描述底面两条直角边长）．4．（2021·上海·格致中学高二期中）在四棱锥P ABCD -中，底面为梯形，AB CD ∕∕，PAD △为正三角形，且2PA AB ==，90BAP CDP ∠=∠=︒，四棱锥P ABCD -的体积为23．(1)求证：AB ⊥平面PAD ；(2)求PC 与平面ABCD 所成角的正弦值；(3)设平面PAB ⋂平面PCD l =，求证：l AB ∕∕，并求二面角B l C --的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)1510；(3)3π 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合题意，即可得证.（2）根据面面垂直的判定、性质定理，结合正三角形的性质，可证PQ ⊥平面ABCD ，则PCQ ∠即为PC 与平面ABCD 所成角，据四棱锥的体积，可求得CD 长，在Rt PCQ 中，求得各个边长，即可得答案. （3）根据线面平行的判定和性质定理，可证AB l ∕∕，结合题意，可得PA l ⊥，同理PD l ⊥，则APD ∠即为二面角B l C --所成的平面角，根据三角形性质，即可得答案.(1)证明：因为90CDP ∠=︒，所以CD DP ⊥，因为AB CD ∕∕，所以AB DP ⊥，又因为90BAP ∠=︒，即AB AP ⊥，且,AP DP ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ；(2)因为AB ⊥平面PAD ，AB平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，取AD 中点Q ，连接PQ ，CQ ， 因为PAD △为正三角形，Q 为AD 中点，所以PQ AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD=AD ， 所以PQ ⊥平面ABCD ，所以PCQ ∠即为PC 与平面ABCD 所成角，在Rt PDQ 中，223PQ PD DQ -设CD 长为x ，则四棱锥P ABCD -的体积()1112+2323332ABCD V S PQ x =⨯=⨯⨯⨯= 求得CD 长4x =，在Rt CDQ △中，2217CQ CD DQ +=在Rt PCQ 中，2225PC CQ PQ =+所以315sin 1025PQ PCQ PC ∠===， 所以PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为1510 (3)证明：因为AB CD ∕∕，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以AB ∕∕平面PCD ，又AB 平面PAB ，且平PAB ⋂平面PCD l =，所以AB l ∕∕.因为PA AB ⊥，AB l ∕∕，所以PA l ⊥，同理PD l ⊥，所以APD ∠即为二面角B l C --所成的平面角，因为PAD △为正三角形，所以3APD π∠=，即二面角B l C --的大小为3π. 一、填空题1．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则异面直线AB 与11D B 之间的距离为___________.【答案】1【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案﹒【详解】如图：巩固练习∵1BB 与AB 、11B D 均垂直，∴1BB 即为两异面直线的距离，故答案为：1二、解答题2．（2021·上海中学高二阶段练习）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．(1)求证：直线1BD ∥平面P AC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【分析】(1)AC 和BD 交于点O ，由1PO BD ∥即能证明直线1BD ∥平面PAC ．(2)由1PO BD ∥，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．(1)设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连结PO ，又∵P 是1DD 的中点，∴1PO BD ∥，又∵PO ⊂平面PAC ，1BD ⊂平面PAC ，∴直线1BD ∥平面PAC ； (2)由(1)知，1PO BD ∥，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角， ∵2PA PC ==122AO AC =PO AO ⊥，∴212sin 22AO APO AP ∠===．又(0APO ∠∈︒，90]︒，∴30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30．3．（2021·上海市进才中学高二期中）已知正四棱锥P ABCD -中，1AB =，2PA =；(1)求侧棱与底面所成角的正弦值；(2)求正四棱锥P ABCD -的体积【答案】(1)144(2)146【分析】（1）由于正四棱锥P ABCD -，故顶点在底面的投影在底面的中心O ，连结,PO AO 分析可得PAO ∠即为侧棱与底面所成角，利用题干长度关系求解即可（2）由于PO ⊥平面ABCD ，故13P ABCD ABCD V PO S -=⨯⨯，计算即可 (1)由于正四棱锥P ABCD -，故顶点在底面的投影在底面的中心O ，连结,PO AO故PO ⊥平面ABCD ，PAO ∠即为侧棱与底面所成角由1AB =，2PA =，故2222AO AB ==又PO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，故PO AO ⊥22114422PO PA AO ∴=-=-= 故14sin 4PO PAO PA ∠== 即侧棱与底面所成角的正弦值为144 (2)由（1）PO ⊥平面ABCD ，且142PO = 故11141413326P ABCD ABCD V PO S -=⨯⨯=⨯⨯= 即正四棱锥P ABCD -的体积为1464．（2021·上海中学高二期中）如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，2AD =，4AB =，将ADM △沿DM 翻折，在翻折过程中A 点记为P 点．(1)从ADM △翻折至NDM 的过程中，求点P 运动的轨迹长度；(2)翻折过程中，二面角P −BC −D 的平面角为θ，求tan θ的最大值.【答案】2π(2)12【分析】（1）取DM 的中点E ，则从ADM △翻折至NDM 的过程中，点P 运动的轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径的半圆，由此可求得点P 运动的轨迹长度.（2）由（1）得，连接AN ，并延长交BC 延长线于F ，过P 作PO EF ⊥，再过点O 作OG BC ⊥，则PGO ∠就是二面角P −BC −D 的平面角θ，设(),0PEO ααπ∠=≤≤，sin 2PO PE αα==，322,3cos OF OG αα==-，可得2sin tan PO PGO OG α∠==2sin k α=，运用辅助角公式和正弦函数的性质可求得最大值.(1)解：取DM 的中点E ，则从ADM △翻折至NDM 的过程中，点P 运动的轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径的半圆，因为2AD =，4AB =，所以2AE =，所以点P 运动的轨迹长度为2π.(2)解：由（1）得，连接AN ，并延长交BC 延长线于F ，AN DM ⊥，折起后，有DM ⊥面PEN ，过P 作PO EF ⊥，则PO ⊥面DMBC ，再过点O 作OG BC ⊥，则PGO ∠就是二面角P −BC −D 的平面角θ， 设(),0PEO ααπ∠=≤≤， sin 2sin PO PE αα==，4222cos 322cos ,3cos OF AF AE OE OG ααα=--=--=-=-，2sin tan 3cos PO PGO OG αα∠==-， 令2sin 2sin cos 33cos k k k αααα=⇒+=-，所以22sin()3k k αβ++=，所以23112k k -≤≤+，解得1122k -≤≤. 所以tan θ的最大值为12.。
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若不同的两点A 和B 在参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）表示的曲线上，则A 与B 的距离的最大值是__________．2．z 是z 的共轭复数，若2z z +=，()2z z i -=（i 为虚数单位），则z =_____________.3．将圆22:36C x y +=上任意一点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，从而得到椭圆E ，则椭圆E 的焦点坐标是_____________.4．若双曲线Γ的两个焦点1F 和2F 都在x 轴上且关于y 轴对称，Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，则此双曲线的渐近线方程是_____________.5．若双曲线H 的两个焦点都在y 轴上，且关于x 轴对称，焦距为10，实轴长与虚轴长相等，则双曲线H 的方程是_____________.6．二次函数238y x =的图像的准线方程是______________. 7．以方程22||||0x y x y +--=的曲线为边界的封闭区域的面积是______________.8．已知直线y m =与方程y =[]()21,21,x k k k Z ∈-+∈的曲线相交，相邻交点间的距离皆相等，则m =____________.9．设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________. 10．已知动圆过定点()4,0A ，它与y 轴相交所得的弦MN 的长为8，则满足要求的动圆其半径的最小值是_____________.11．设点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，使得2OP PQ =（O 为坐标系原点），坐标表示与PQ 同方向的单位向量，其结果是_____________.12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则p = ．二、单选题13．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）A ．22x t y t =⎧⎨=-⎩B ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩C ．22x t y t =⎧⎨=-⎩D ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩14．集合{|(1)(1)()}M z z t t i t R ==-++∈，下列命题中不正确的是（ ）A ．M R =∅B ．0M ∉C ．若z M ∈，则z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D ．若z M ∈，2z =，则z 不一定是纯虚数15．已知动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，且圆C 与直线2x =-相切，则圆C 与圆22(3)1x y -+=（ ）A ．总是相离B ．总是外切C ．一定有两个不同的公共点D ．可以有公共点，也可以没有公共点 16．已知点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和点都在一条既关于x 对称，又关于y 轴对称的二次曲线上，则这条二次曲线（ ）A ．一定是圆B ．一定是椭圆C ．一定是双曲线D ．可以是椭圆，也可以是双曲线17．设集合{,}A a b =，其中a 和b 都是复数，且使得{}22{,},a b a b=成立，则满足要求的集合A 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 18．设集合{}(,)|1A x y ==，(,)|)x B x y t y ⎧⎧⎫=⎪⎪⎪=⎨⎨⎬=⎪⎪⎪⎩⎭⎩为参数，则有（ ）A ．AB =∅ B ．A B ⊆C ．A B =D ．{}22(,)|1A B x y x y =+=三、解答题 19．把曲线P 的参数方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩化成普通方程，并在平面直角坐标系中画出相应的曲线.20．已知z 是纯虚数，并使得21z i+∈-R ，求z 21．对于有限集P ，我们以()f P 记该集合中元素的个数，若集合{}(,)|(0A x y x x ==，集合{}(,)|B x y y x k ==+，其中k 是常数，求()f A B .22．已知椭圆E 的方程是2214y x +=，圆O 的方程是221x y +=，直线l 与圆O 相切，与椭圆E 相交于不同的两点A 和B ，求AB 的最大值.23．在如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，以点A 和点B 为焦点，过点C 和点D 的椭圆的长轴长是2E a ，以点C 和点D 为焦点，过点A 和点B 的双曲线的实轴长是2H a ，试用两种方法证明:()()22E H a a AB CD ⋅=⋅24．设(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =(0)p >上的动点，也是直线l 与抛物线P 唯一的公共点，直线l 与抛物线P 的对称轴相交，点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，求动点F '的轨迹方程.参考答案1．2【分析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程可知,曲线为半径为2的圆,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.【详解】由参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）,可得22(1)(2)1x y ++-=, 所以点A 和B 在半径为1的圆上,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.故答案为 :2【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,圆的标准方程,属于基础题.2【分析】设出复数z 的代数形式，结合复数加减法和乘法的运算法则，根据已知2z z +=，()2z z i -=，这样可以求出复数的代数表示，最后根据复数模的定义求解即可.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，由221z z a bi a bi a +=⇒++-=⇒=.由()2()21z z i a bi a bi i b -=⇒+-+=⇒=-，所以1z i z =-⇒【点睛】本题考查了复数的加减法和乘法的运算法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数模的求法，属于基础题．3．(0,-【分析】设出圆22:36C x y +=上任意一点的坐标，再设出该点变换后的坐标，通过坐标之间的关系求出椭圆标准方程，进而求出焦点坐标..【详解】设00(,)P x y 是圆22:36C x y +=上任意一点，则有220036x y +=，点00(,)P x y 变换后对应点的坐标为'(,)P x y ，由题意可知：0000133x x x x y y y y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以有： 2222(3)361436x y x y +=⇒+=，因此有2236,4a b c ==∴==，焦点在纵轴上，因此焦点坐标为：(0,-.故答案为：(0,-【点睛】本题考查了坐标变换，考查了椭圆的焦点坐标，属于基础题.4．y =±【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，可得等式，这要再利用,,a b c 之间关系，求出,a b 之间的关系，进而求出渐近线方程.【详解】 由题意可设双曲线的方程为：22221x y a b-=，因为两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，所以有22222222398b c a a c a c ac a b b a a-=⇒=⇒==+∴=⇒=的渐近线方程为：y =±.故答案为：y =±【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题. 5．221252522y x -=【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据焦距为10、实轴长与虚轴长相等、,,a b c 的关系，求出,a b 即可.【详解】因为双曲线H 的两个焦点和都在y 轴上，且关于x 轴对称，所以设双曲线H 的标准方程为： 22221y x a b -=，因为焦距为10，所以2105c c =⇒=，因为双曲线的实轴长与虚轴长相等，所以a b =，而222c a b =+，所以有222252252a ab =⇒==，因此双曲线的标准方程为： 221252522y x -=. 故答案为：221252522y x -=【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了数学运算能力，属于基础题.6．23y =-【分析】把二次函数的解析式写成抛物线的标准方程的形式，最后求出准线方程即可.【详解】 223883y x x y =⇒=，所以准线方程为：23y =-. 故答案为：23y =- 【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题.7．2π+【分析】根据绝对值的性质，结合配方法化简方程，然后在直角坐标系内画出方程所表示的曲线，最后求出封闭区域的面积.【详解】当0,0x y ≥≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+--=⇒-+-=， 当0,0x y ≥<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+-+=⇒-++=， 当0,0x y <≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒++-=⇒++-=， 当0,0x y <<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+++=⇒+++=， 在直角坐标系内，方程所表示的曲线如下图所示：2222ππ⎛⨯=+ ⎝⎭. 故答案为：2π+【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．0,1,2【分析】把方程y =化简，在同一直角坐标系内画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，利用数形结合结合已知求解即可.【详解】22(2)1(0)y x k y y =-+=≥，在同一直角坐标系内，画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，如下图所示：显然当0,1m =时，相邻交点间的距离皆相等，当01m <<时，令221y m x x y =⎧⇒=⎨+=⎩令222(2)1y m x x y =⎧⇒=±⎨-+=⎩，由题意可知：201AB BC m m m =⇒=-=±<<∴=根据图形的对称性可知：此时相邻交点间的距离皆相等，故答案为： 【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，考查了数形结合思想，是中档题．9．2π 【分析】根据|||1|z i z -+-=可以知道复数z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距离之和为，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ 上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】 本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.10．4【分析】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，结合题意分析可得（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，解可得动圆圆心的轨迹的方程，进而可得r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16，结合二次函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，则有（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，则动圆圆心的轨迹M 的方程为y 2＝8x ，其中x ≥0，则r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16≥16，当x ＝0时，r 取得最小值，且其最小值为4；故答案为：4．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，关键是分析圆心的轨迹，属于综合题．11．(88【分析】设出点P 和点Q 的坐标，根据2OP PQ =，结合半圆的方程，可以求出点P 和点Q 的坐标，最后求出向量PQ 的坐标表示和模，最后求出与PQ 同方向的单位向量. 【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，由1211212112232(,)2(,)(1)23x x OP PQ x y x x y y y y ⎧=⎪⎪=⇒=--⇒⎨⎪=⎪⎩， 因为点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，所以有()()221122222121x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩(2)， 由（1），（2）解得：211115584,48x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，所以5(,88PQ =，因此5(2PQ ==，所以与PQ同方向的单位向量为：(88. 故答案为：(88【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，考查了平面向量坐标的坐标表示，考查了平面向量共线坐标表示公式，考查了数学运算能力. 12．2或8． 【解析】试题分析：设(,)M x y ，55522p pMF x x =⇒+=⇒=-，22210y px p p ==-，设(0,2)A ，∴(,2)AM x y =-，(,2)2PAF =-，20420420424p y AM AF x y y y ⋅=⇒⋅+-=⇒+-=⇒=216102p p p ⇒=-⇒=或8．考点：1．抛物线的标准方程及其性质；2．圆的性质．【思路点睛】研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解． 13．A 【分析】根据直线倾斜角和直线斜率的关系求出斜率，最后利用点斜式求出直线方程，对四个选项中的参数方程进行加减法消元或代入法消元，化成点斜式方程，最后进行判断即可. 【详解】因为直线l 倾斜角是arctan 2π-，所以直线l 的斜率为：tan(arctan 2)tan(arctan 2)2π-=-=-. 又因为直线l 在y 轴上截距是2，所以直线l 的方程为：22y x =-+.选项A ：2222x ty x y t =⎧⇒=-+⎨=-⎩，符合题意；选项B ：2242x ty x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意； 选项C ：21222x t y x y t=⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意；选项D ：22112x t y x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意. 故选：A 【点睛】本题考查了直线倾斜角和直线斜率之间的关系，考查了参数方程化为普通方程，属于基础题. 14．A 【分析】A ：根据复数的分类结合集合的交集运算定义进行判断即可；B ：根据复数的分类结合元素与集合的关系进行判断即可；C ：根据复数在平面对应点的特征结合不等式组的解集进行判断即可；D ：根据复数模的定义结合复数的分类进行判断即可. 【详解】A ：当1t =-时，{2}M =-，因此{}2MR =-≠∅，故本命题是假命题；B ：当z R ∈时，1t =-，此时{2}M =-，因此0M ∉，故本命题是真命题；C ：当z 在复平面上所对应的点在第四象限时，则有1010t t ->⎧⎨+<⎩成立，而该不等式组的解集为空集，故本命题是真命题；D ：当2z =21t =⇒=±，即2,2z i =-，故本命题是真命题. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的分类、模的计算公式，考查了集合的交集运算，考查了元素与集合的关系，考查了命题的真假判断，属于基础题. 15．B 【分析】根据圆C 与直线2x =-相切，根据抛物线的定义，结合圆与圆的位置关系的判断方法进行判断即可. 【详解】抛物线212y x =的焦点的坐标为(3,0)，恰好是圆22(3)1x y -+=的圆心，且该圆的半径为1，动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，所以有00x ≥，抛物线的准线方程为：3x =-.两个圆的圆心距为00(3)3x x --=+.因为圆C 与直线2x =-相切，所以该圆的半径为：00(2)2r x x =--=+，因此两个圆的半径之和为：001213r x x +=++=+，显然等于两个圆的圆心距，因此是两圆相外切. 故答案为：B 【点睛】本题考查了两个圆的位置关系判断，考查了抛物线的定义，考查了圆的切线性质. 16．B 【分析】根据题意可设二次曲线方程为：222x y r +=或221mx ny +=，根据两个点是否能同时满足方程进行判断即可. 【详解】当二次曲线方程为222x y r +=，把点的坐标代入方程中：有222223522r r⎧⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+=⎩，方程组无实数解，故这两个点不能在符合条件的圆上； 当二次曲线方程为221mx ny +=，把点的坐标代入方程中：有22213516221110m m n n m n ⎧⎧⎛⎫⎛⎫=⎪⎪-+=⎪⎪ ⎪ ⎪⇒⎝⎭⎝⎭⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩，此时二次曲线表示椭圆. 故选：B 【点睛】本题考查了已知二次曲线过点求二次曲线方程，考查了数学运算能力. 17．C 【分析】根据集合相等的概念，分类讨论进行求解即可. 【详解】 因为{}22{,},a b a b=，所以有22,a a b b==或22,a b b a ==.当22,a a b b ==时，由20,1a a a =⇒=，同理可求得0,1b =，此时{0,1}A =. 当22,a b b a ==时，则有432(1)0(1)(1)0a a a a a a a a =⇒-=⇒-++=，解得0a =，或1a =，或2(1)0a a ++=，当0a =，或1a =时，此时{0,1}A =；当2(1)0a a ++=时，解得a =，当a =时，b =A =⎪⎪⎩⎭，当a =时，b =，此时11,22A ⎧⎫---⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 故选：C【点睛】本题考查了集合相等求元素，考查了分类讨论思想，考查了一元二次方程复数解问题，考查了数学运算能力. 18．D 【分析】对集合A 中的方程中左边的项移项，然后用平方法进行化简，对集合B 中的参数方程用平方法进行消参，然后逐一判断即可. 【详解】2211((1=⇒=-⇒=-,化简后再通过平方法化简，得221x y +=，因此{}22(,)|1A x y x y +==；22221,011(01,01)x x y t x y x y y ⎧=⎪⇒+=≤≤∴+=≤≤≤≤⎨=⎪⎩，因此 {}22(,)1(01,01)B x y x y x y =+=≤≤≤≤，显然A B B =，B A ⊆，A B ≠，{}22(,)|1A B x y x y =+=.故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集、并集的运用，方程的恒等变形、消参是解题的关键. 19．2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【分析】运用同角的三角函数关系式中平方和关系，结合二倍角的正弦公式，运用加减消元法求解即可，最后画出相应曲线即可. 【详解】22sin cos (1)(1)(2)sin cos )[1sin 2(2)x y x x x y θθθθθπθ=+⎧-⇒==+=+∴∈⎨=+⎩因此普通方程为：2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【点睛】本题考查了将参数方程化为普通方程，考查了画方程的曲线，考查了同角的三角函数关系中的平方和关系，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题. 20．-2i 【分析】设()z bi b R =∈，代入21z i +-进行化简，根据21z i+-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z . 【详解】设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()()212221112bi i b b ibi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题.21．当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =【分析】运用绝对值的性质，结合乘法运算的性质，可以求出集合A 表示的曲线方程，在同一角坐标系内画出集合,A B 表示的曲线，利用数形结合思想求解即可. 【详解】当0x =时，显然有0x ≤，若0y ≥时，221x y +=；当0y <时，有221x y -=.当0x =时，显然有0x ≥，若0y ≥时，221x y -=；当0y <时，有221x y +=.在同一直角坐标系内画出集合,A B 所表示的曲线，如下图所示：当直线y x k =+与221x y +=(0x ≤且0)y ≥1k =⇒=知：此时k =y x k =+与221x y +=(0x ≥且0)y <相切时，此时k =221x y -=的渐近线方程的方程为y x =±，由图象可知：当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =.【点睛】本题考查了集合元素的属性特征，考查了集合交集的几何意义，考查了曲线与方程的关系，考查了数形结合思想. 22．2 【分析】讨论直线l 与y 轴垂直，求得A ，B 的坐标，可得弦长；再由直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+，求得O 到直线l 的距离，联立椭圆方程可得y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，结合基本不等式即可得到所求最大值． 【详解】当直线l 垂直于y 轴时，由直线l 与圆O ：221x y +=相切， 可知直线l 的方程为y ＝±1，联立22114y y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x =， 联立22114y y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2x =±，∴AB ；当直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+,由直线l 与圆O ：221x y +=1，即221t m =+，将x my t =+代入2214yx +=，整理得222)(148440m y mty t -+++＝，设1122(,),(,)A x y B x y ,则有122814mt y y m +=-+，21224414t y y m -=+，AB ==()222231214m m m++≤=+ 当且仅当2213mm +=时等号成立，即2m =±时，|AB |取得最大值2． 综上可得AB 的最大值为2． 【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆弦长的求法，考查运算求解能力，考查了重要不等式的应用，考查化归与转化思想，是中档题． 23．两种证明方法见解析. 【分析】运用椭圆和双曲线的定义，利用勾股定理和坐标法证明即可. 【详解】证法一、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+， 双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣， 由等腰梯形可得BC AD ＝， 则22)()(22E H a a CA CB =﹣ 如图可设CM AB DN AB ⊥⊥，， 可得:22222222()()()()CA CB CM AM CM BM AM BM AM BM AM BM AB MN AB CD--=-=+-=⋅=+⋅+=即有()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立； 证法二、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+，双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣， 由等腰梯形可得BC AD ＝， 则22)()(22E H a a CA CB =﹣以AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设(0),(0),(,),(,),,0A m B m C n h D n h m n -->，，，可得222222(())4CA CB n m h m n h mn AB CD -=-++--⋅＝＝ 则()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，运用勾股定理和等腰梯形的性质以及坐标法是解题的关键，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题． 24．2py =- 【分析】设出过设(),M M M x y 的直线方程，与抛物线的方程联立，根据已知，由一元二次方程根的判别式求出直线l 的方程，再根据斜率公式和中点坐标公式求出动点F '的轨迹方程. 【详解】抛物线2:2P x py =的对称轴为纵轴，所以直线l 存在斜率，因此设它的方程为：()M M y y k x x -=-，与抛物线方程联立，消y 得：222()0M M x pkx p y kx ---=，由题意得：22(2)8()0220(1)M M M M pk p y kx pk y kx ∆=-+-=⇒+-=,又因为(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =上的动点，所以有22(2)M M x py =，由（1）（2）可得：1M k x p=， 所以直线l 的方程为：212M M x y x p p=-设F '的坐标为：(,)x y ，抛物线的焦点坐标为：(0,)2p ，因为点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，所以有： 2212222M M M p y x x p p y x x x p p ⎧-⎪⋅=-⎪⎪⎨⎪+⎪=⋅-⎪⎩，消去M x ，得221022p x y p y ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以动点F '的轨迹方程为：2p y =-. 【点睛】本题考查了抛物线的切线方程以及两点关于直线对称问题．属中档题．。
上海市金山中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题
上海市金山中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．与()3,4a =-同向的单位向量为b =______.2．已知向量(1,)a k =，(9,6)b k =-，若//a b ，则k =_________．3．已知{}|A x y x R ==∈，{}2|1,B y y x x R ==-+∈，则A B =______. 4．若向量a 、b 的夹角为150，3a =，4b =，则2a b +=______.5．已知点(1,5)A -和向量(2,3)a =，若3AB a =，则点B 的坐标为_________． 6．向量(24)(11)a b ==，，，．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是________． 7．在Rt ABC ∆中，90C =∠，3AC =，则AB AC ⋅=______.8．平面上不共线的四点O 、A 、B 、C 满足1344OC OA OB =+，则AB BC =______. 9．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()2,4AB =，()1,3AC =，则AD BD ⋅=______.10．若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则()AP PB PD ⋅+的取值范围是________.11．已知函数()()2lg 1x f x x x =+>，且()y g x =与()11y f x -=+互为反函数，则()g x =______.12．已知函数()22224x ax a f x x x a+-=+-在定义域内恒正，则实数a 的取值范围是______.二、单选题13．平面向量a 、b 平行的充要条件是（ ）A ．a 、b 方向相同B ． a 、b 两向量中至少有一个是零向量C ．存在实数k ，使得b ka =D ．存在不全为零的实数1k 、2k ，使得120k a k b +=14．设(),1A a ，()2,B b ，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则实数a ，b 满足的关系式为（ ）A ．453a b -=B ．543a b -=C ．4514a b +=D ．5412a b += 15．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，()()20161,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和.下列关于lim n n S →+∞的结论，正确的是（ ） A ．lim 1n n S →+∞=- B ．lim 2015n n S →+∞= C ．()()()*2016,12016lim 1.2017n n n S n N n →+∞⎧≤≤⎪=∈⎨-≥⎪⎩ D ．以上结论都不对三、解答题17．如果由矩阵1112m x m y m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示的关于x ，y 的二元一次方程组无解，求实数m 的值. 18．在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.（1）若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b Ab a B C a b A-=-+-，求角C 的大小； （2）若4sin 5A =，23C π=，c =ABC ∆的面积. 19．已知()2111111af x x x =-，()x R ∈. （1）当1a =时，求方程()0f x =的解集；（2）若方程()0f x =有且只有一个实数解，求实数a 的值并解该方程.20．某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的13，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%.（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？（2）假设货主每月还商店a 元，写出在第()1,2,,36i i =⋅⋅⋅个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.（3）每月的还款额a 为多少元（精确到0.01元）？21．在直角坐标平面中，已知点()11,2P ，()222,2P ，()333,2P ，…，(),2nnP n ，其中n 是正整数，对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，…，n A 为1n A -关于点n P 的对称点.（1）求向量02A A 的坐标；（2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图像，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =.求以曲线C 为图像的函数在(]1,4上的解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标.参考答案1．34,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】先由题意设()3,4b a a =-，0a >，根据模为1，即可求出结果.【详解】因为b 与()3,4a =-同向，所以设()3,4b a a =-，0a >，又b 为单位向量，所以291b a =+=，解得15a =， 因此34,55b ⎛⎫- ⎪⎝=⎭. 故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 【点睛】 本题主要考查求向量的坐标，熟记向量模的计算公式，以及向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.2．【解析】试题分析：由于//a b ，所以()122169860x y x y k k k -=--=--=，解得34k =-． 考点：向量共线坐标表示的应用．3．[]2,1-【分析】先分别化简集合A 与集合B ，再求交集，即可得出结果.【详解】因为{}{}||2A x y x R x x ==∈=≥-，{}{}2|1,|1B y y x x R y y ==-+∈=≤， 因此[]2,1A B =-.故答案为：[]2,1-【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.4．2【分析】根据向量的模的计算公式，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为向量a 、b 的夹角为150，3a =，4b =，所以cos1503462a b a b ⎛⎫⋅==⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 因此，2224412162a b a b a b +=++⋅=+=. 故答案为：2【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量的模的计算公式即可，属于基础题型. 5．【解析】试题分析：设点，，因此，得，得点．考点：平面向量的坐标表示． 6．-3【详解】试题分析：∵(2,4),(1,1)a b ==，∴()26,2a b b ⋅==，又∵()b a b λ⊥+，∴()2()0b a b a b b λλ⋅+=⋅+=，∴620λ+=，∴3λ=-考点：本题考查了向量的坐标运算点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题7．9【分析】先由题意，得到0CA CB ⋅=，再由()AB AC CB CA AC ⋅=-⋅，结合题中数据，即可求出结果.【详解】因为在Rt ABC ∆中，90C =∠，3AC =，所以0CA CB ⋅=，因此()29AB AC CB CA AC CB CA CA ⋅=-⋅=-⋅+=.故答案为：9【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记数量积的运算法则即可，属于常考题型.8．4【分析】 先由题中条件，得到1144OC OB OA OB -=-，推出14BC BA =，从而可得出结果. 【详解】 因为1344OC OA OB =+，所以1144OC OB OA OB -=-， 即14BC BA =， 因此4ABBC =【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量线性运算法则即可，属于基础题型.9．8【分析】先由题意，得到AD AC AB =-，BD AD AB =-，求出两向量的坐标，即可得出结果.【详解】因为平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，所以AB AD AC +=，又()2,4AB =，()1,3AC =，因此()1,1AD AC AB =-=--，所以(3,5)BD AD AB =-=--，所以(1)(3)(1)(5)8AD BD ⋅=-⋅-+-⋅-=.故答案为：8【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记平面向量的数量积运算，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.10．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设出P 点坐标，代入所求表达式，化简后求得表达式的取值范围.【详解】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，依题意设()[](),0,1P x x x ∈，而()()0,1,1,0B D ，所以()()()(),,11,AP PB PD x x x x x x ⎡⎤⋅+=⋅--+--⎣⎦()()()2,12,1221242x x x x x x x x =⋅--=-=-+，函数[]()2420,1y x x x =-+∈对称轴14x =，开口向下，故1x =时有最小值2-；14x =时，有最大值14.故取值范围为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 11．()2lg 11xx x +-> 【分析】先由()y g x =与()11y fx -=+互为反函数，得到()1()g x f x +=，进而可求出结果. 【详解】因为()y g x =与()11y f x -=+互为反函数，所以()1()g x f x +=；又()()2lg 1x f x x x =+>，所以()()()12lg 11xg x f x x x =-=+->. 故答案为()2lg 11xx x +-> 【点睛】本题主要考查由两函数互为反函数求解析式的问题，熟记反函数的概念即可，属于常考题型. 12．118,322⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【分析】根据题意，分别讨论分子分母对应的方程是同解方程，分子分母对应的方程不是同解方程两种情况，根据二次函数性质，列出不等式的，求解，即可得出结果.【详解】因为所给的函数分子与分母都是二次三项式，对应的函数图像都是开口向上的抛物线； 若分子分母对应的方程是同解方程， 则有12422a aa ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即12a =； 若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证函数()22224x ax a f x x x a+-=+-在定义域内恒正，则需要分子分母的判别式都小于0；即24(2)0142(4)0a a a ⎧-⋅-<⎨-⋅⋅-<⎩，解得13280a a ⎧<-⎪⎨⎪-<<⎩，即1832a -<<-； 当132a =-，由21208x x ++≠得，函数()f x 定义域为14x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭， 则222024x ax a x x a +->+-可化为221132160128x x x x -+>++，即22115162560124x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，显然在定义域内恒成立；所以132a =-满足题意； 综上，实数a 的取值范围是118,322⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭. 故答案为：118,322⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【点睛】 本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间的关系即可，属于常考题型. 13．D【分析】根据向量的共线向量定理，即非零向量a 与向量b 共线的充要条件是必存在唯一实数k ，使得b ka =成立，即可得到答案. 【详解】解：因为平面向量a 、b 平行，根据向量的共线向量定理可知：若a 、b 均为0，则显然符合向量a 与向量b 共线，且存在不全为0的实数1k 、2k ，使得120k k a b +=，若a ≠0，则由两向量共线的充要条件，存在唯一实数k ，使得b ka =，符合存在不全为0的实数1k 、2k ，使得120k k a b +=，即平面向量a 、b 平行的充要条件是存在不全为零的实数1k 、2k ，使得120k k a b +=， 故选D. 【点睛】本题考查了共线向量定理，属基础题. 14．A 【分析】先由题意得到(),1OA a =，()2,OB b =，()4,5OC =，根据向量数量积，分别求出OA 与OB 在OC 方向上的投影，进而可求出结果.【详解】因为(),1A a ，()2,B b ，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点， 所以(),1OA a =，()2,OB b =，()4,5OC =， 因此OA 在OC 方向上的投影为cos ,16OA OC OA OA OC OA OA OC⋅⋅<>=⋅==OB 在OC 方向上的投影为cos ,16OB OC OB OB OC OB OB OC⋅⋅<>=⋅==，又OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，=，即453a b -=. 故选：A 【点睛】本题主要考查求向量的投影，熟记向量数量积的定义与几何意义即可，属于常考题型. 15．B 【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果. 16．B 【分析】根据题意，结合等比数列的求和公式，先得到当2017n ≥时，2016120153n n S -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由极限的运算法则，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a ，对于任意的正整数n ，()()20161,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，所以122016...1a a a ====，201723a =-，201829a =-，...… ， 所以当2017n ≥时，2016201620162113311201620161201513313n n n n S ---⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 因此20161lim lim 201520153n n n n S -→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选：B 【点睛】本题主要考查数列的极限，熟记等比数列的求和公式，以及极限的运算法则即可，属于常考题型. 17．1m = 【分析】先由题意，得到()()11D m m =+-，()21x D m =-+，()21y D m =+，对满足0D =的m进行讨论，即可得出结果. 【详解】由题意可得：方程组为12mx y x my m +=-⎧⎨+=+⎩，()()1111m D m m m ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，()11212x D m m m -⎛⎫==-+ ⎪+⎝⎭，()21112y m D m m -⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭， 当1m =-时，0x y D D D ===，方程组有无数个解； 当1m =时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，方程组无解. 所以1m =. 【点睛】本题主要考查矩阵与二元一次方程组，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.18．(1)3C π=【解析】试题分析：（1）先根据行列式定义得()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-，再根据正弦定理化角为边得222c a b ab =+-，最后根据余弦定理求角C 的大小；（2）先根据正弦定理求a ，再根据两角和正弦公式求sin B ，最后根据三角形面积公式求面积. 试题解析：（1）由题意，()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-； 由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-，∴222c a b ab =+-，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=；（2）由4sin 5A =，c =，且sin sin a c A C =，∴85a =；由23a c A C π<⇒<=，∴3cos 5A =,∴()4sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C =+=+=；∴1sin 2ABC S ca B ∆==. 19．（1）{}1,1-（2）当1a =-，或3a =-时，解都为-1 【分析】先由题意计算行列式，得到2()(1)(1)2f x a x a x =++--，（1）由1a =，将方程()0f x =化为2220x -=，求解，即可得出结果；（2）根据题意，得方程2()(1)(1)20f x a x a x =++--=有且只有一个实数解，分别讨论10a +=与10a +≠两种情况，即可得出结果.【详解】因为()22211111111111111a x xf x xa x x x --=-=-+ ()()2222()()112x x a x x a x a x =---++=++--，（1）当1a =时，方程()0f x =可化为2220x -=，解得1x =±， 所以方程的解集为{}1,1-；（2）由题意可得，方程2()(1)(1)20f x a x a x =++--=有且只有一个实数解，当10a +=，即1a =-时，方程可化为220x --=，解得1x =-；当10a +≠，即1a ≠-时，只需2(1)8(1)0a a ∆=-++=，即2690a a ++=，解得3a =-，此时方程为：22420x x ---=，即2210x x ++=，解得1x =-； 综上，当1a =-或3a =-时，方程的解都是1-. 【点睛】本题主要考查求方程的解，以及由方程根的个数求参数，熟记一元二次方程的解法，以及行列式的计算方法即可，属于常考题型.20．（1）4020元；（2）表达式为3(10.5%)14000(10.5%)(1,2,...,36)0.5%+-+-=i a n 元；（3）121.69元【分析】（1）因为购买电脑时，货主欠商店23的货款，即4000元，又按月利率0.5%，即可求出结果；（2）设第i 个月底还款后的欠款数为i y ，根据题意，14000(10.5%)=+-y a ，221(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-y y a a a ，进而得出1(10.5%)-=+-i i y y a ，整理，即可得出结果；（3）由题意得到360=y ，由（2）的结果，即可求出结果. 【详解】（1）因为购买电脑时，货主欠商店23的货款，即6000400032⨯=，又按月利率0.5%，到第一个月底的欠款数应为()400010.5%4020+=元， 即到第一个月底，欠款余额为4020元；（2）设第i 个月底还款后的欠款数为i y ，则有14000(10.5%)=+-y a ，221(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-y y a a a ，3232(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-+-y y a a a a ，……11(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)...(10.5%)--=+-=+-+--+-n n i i y y a a a a整理得：3(10.5%)14000(10.5%)(1,2,...,36)0.5%+-=+-=i i y a n ；（3）由题意可得：360=y ，所以363(10.5%)14000(10.5%)00.5%+-+-=a ，因此36364000(10.5%)0.5%121.69(10.5%)1+⋅=≈+-a 【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的求和公式，即可求解，属于常考题型.21．（1）()2,4（2）()()lg 14g x x =--（3）()4213n n ⎛⎫- ⎪⋅⎪⎝⎭【分析】（1）先设点0(,)A x y ，由题意求出1(2,4)--x y A ，进而得到()22,4++x A y ，从而可求出向量02(2,4)=A A ；（2）先由题意，得到()y f x =是由曲线C 按向量02A A 平移得到的；根据图像变换，以及函数周期，即可得出结果；（3）先由1n A -为2-n A 关于点1n P -的对称点，n A 为1n A -关于点n P 的对称点，得到212--=n n n n P P A A ，再由向量的运算法则，结合向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）设点0(,)A x y ，因为1A 为0A 关于点()11,2P 的对称点，所以1(2,4)--x y A ， 又2A 为1A 关于点()222,2P 的对称点，所以()()()242,84----x A y ，即()22,4++x A y ， 因此02(2,4)=A A ； （2）由（1）02(2,4)=A A ，因为点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图像， 所以()f x 的图像由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到， 因此，设曲线C 是函数()y g x =的图像，因为()f x 是以3为周期的周期函数， 所以()g x 也是以3为周期的周期函数， 当(]0,3x ∈时，()lg f x x =，所以当(]2,1∈-x 时，()()lg 24=+-g x x ； 于是，当(]1,4x ∈时，()()lg 14g x x =--；（3）由题意，1n A -为2-n A 关于点1n P -的对称点，n A 为1n A -关于点n P 的对称点. 所以在21--∆n n n A A A 中，1n P -为21n n A A --的中点，n P 为1-n n A A 的中点， 所以212--=n n n n P P A A ，因此()00224212341...2...--=+++=+++n n n n n A A A A A A A A PP P P P P ，()()()2431221,2243,22...(1),22-⎡⎤=--+--++---⎣⎦n n n n()()()22314(14)2421,21,2...1,2,,143+-⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎡⎤=+++== ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭nn n n n .【点睛】本题主要考查平面向量的综合，熟记平面向量基本定理、向量的线性运算、向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.。
2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第2章圆锥曲线(新文化与压轴30题专练)解析
第2章圆锥曲线（新文化与压轴30题专练）一、单选题1．（2021·上海·高二专题练习）开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处.从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T .根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）A ．A 点处B ．B 点处C ．C 点处D ．D 点处【答案】A 【解析】根据开普勒第二定律即可得 【详解】因为在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等，P 点到F 的距离较远，经过4T时间，14BPFS S椭圆，所以4T 时间后未到B 点，可能在A 处故选：A.本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.2．（2020·上海市进才中学高二期末）若直线y=x+b 与曲线3y =b 的取值范围是A ．1,1⎡-+⎣B ．1⎡-+⎣C ．1⎡⎤-⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】C 【详解】试题分析：如图所示：曲线3y = （x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3）， 表示以A （2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b 的距离等于半径2，当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1结合图象可得1- 故答案为C3．（2020·上海·华东师范大学附属周浦中学高二期末）设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D ．以上都不对【答案】B根据向量的运算，化简得|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2MO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点，根据向量的运算，可得|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得|NO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥a ， 所以|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥2a =4， 即|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为4. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．（2020·上海市实验学校高二期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．②C ．①②D ．①②③【答案】C将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C. 【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.5．（2021·上海·高二专题练习）已知椭圆22195x y +=过右焦点F 作不垂直于x 轴的弦交椭圆于A ，B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则|NF |：|AB |等于（ ）A ．12 B ．13C ．23D ．14【答案】B 【分析】设出直线AB 的参数方程，代入椭圆方程，化简后写出韦达定理.利用直线参数的几何意义表示出,NF AB ，由此求得两者的比值. 【详解】依题意可知，椭圆的右焦点为()2,0.设直线AB 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线AB 的倾斜角，π2α≠）.代入椭圆22195x y +=，化简得()2254sin 20cos 250tt αα++⋅-=，所以12122220cos 25,54sin 54sin t t t t ααα+=-=-++.设AB 的中点为C ，则中点C 对应的参数1232t t t +=，所以312cos 2cos t t t NF αα+==.而12AB t t =-所以NFAB===13===.故选：B.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.6．（2021·上海·高二专题练习）设直线系():cos 2sin 1M x y θθ+-=，02θπ≤≤，对于下列四个命题：（1）M 中所有直线均经过一个定点； （2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上；（3）对于任意整数n ，3n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上； （4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ） A ．（2）（3） B ．（1）（4） C ．（2）（3） （4） D ．（1）（2）【答案】A 【解析】首先发现直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤表示圆()2221x y +-=的切线集合，再根据切线的性质判断（1）（3）（4），以及观察得到点()0,2不在任何一条直线上，判断选项. 【详解】因为点()0,2到直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤中每条直线的距离1d ==，直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤表示圆()2221x y +-=的切线集合.（1）由于直线系表示圆()2221x y +-=的所有切线，其中存在两条切线平行，所有M 中所有直线均经过一个定点不可能，故（1）不正确；（2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上，观察知点()0,2M 符合条件，故（2）正确；（3）由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数()3n n ≥，存在正n 变形，其所有边均在M 的直线上，故（3）正确；（4）如下图，M 中的直线所能围成的正三角形有两类，一类如ABE △，一类是BCD △,显然这两类三角形的面积不相等，故（4）不正确.故选：A 【点睛】本题考查含参直线方程，距离公式，轨迹问题的综合应用，重点考查转化与变形，分析问题的能力，属于偏难习题，本题的关键是观察点()0,2到直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤中每条直线的距离1d ==，直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤表示圆()2221x y +-=的切线集合，再判断选项就比较容易.7．（2021·上海·高二专题练习）已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数），给出下列结论：①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形； ③当1m =-时，若点(,)P x y 在曲线C 上，则||1x ≥或||1y ≥； 其中，正确结论是（ ） A ．①② B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】D 【分析】在曲线C 上任取一点(),P x y ，得到44221x y mx y ++=；将点()1,P x y --代入曲线方程，可验证点()1,P x y --在曲线上，同理可得点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，得到①②正确；当1m =-时，得到222213124x y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，根据题意，推出矛盾，即可得出③正确. 【详解】在曲线C 上任取一点(),P x y ，则44221x y mx y ++=，将点()1,P x y --代入曲线C 的方程可得()()()()44221x y m x y -+-+--=，同理可知，点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上， 则曲线C 关于原点和坐标轴对称，①②正确；当1m =-时，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，则201x ≤<，201y ≤<，∴22111222x y -<-<，则22211024x y ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，∴2442222213124x y x y x y y ⎛⎫+-=-+< ⎪⎝⎭，这与44221x y x y +-=矛盾.∴假设不成立，∴1x ≥或1y ≥，命题③正确. 故正确命题的序号为：①②③. 故选：D. 【点睛】方法点睛：判定曲线对称性的方法，一般任取曲线上的点(),x y ，结合曲线方程，列出式子；再验证(),x y -，(),x y -，(),x y --是否满足曲线方程，即可得出其对称性.8．（2021·上海宝山·高二期末）如果一个多边形的所有顶点均在某个函数的图象上，那么称此多边形为该函数的内接多边形.设函数()32141f x x x x =---，()2222x f x x =-+，若四边形ABCD 为函数()()12y f x f x =+的内接正方形，则此正方形的面积为（ ） A ．15或7 B ．10或7C ．10或17D ．15或17【答案】C 【分析】分析可得39()12f x x x =-+关于(0,1)M 对称，即可得正方形的对称中心，设出直线AC 的方程，即可得直线BD 方程，将直线与()f x 联立，可得2192x k =+，同理22912x k =-，由AM BM =，化简整理，可得1k k-的值，再利用,AM BM 表示出面积S ，化简计算，即可得答案. 【详解】函数()()312912y f x f x x x =+=-+，设39()12f x x x =-+，则()()2f x f x -+=，所以函数()f x 关于点(0,1)M 对称，这显然也是正方形的对称中心， 由正方形性质可得，AC BD ⊥于M ，且AM BM CM DM ===，不妨设直线AC 的方程为1(0)y kx k =+>，则直线BD 方程为11y x k=-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1122(,2),(,2)C x y D x y ----，联立直线AC 与函数()y f x =方程：31912y kx y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可得3902x k x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 所以2192x k =+，同理22912x k =-，又120,0AM BM =-=-， 所以229191(1)122k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2219102k k k k⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，整理得2112940k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14k k -=-或112k k -=-，所以1k k +=，所以12122ABCD S AM BM x x k k ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭1210k k ⎛=+ ⎝或17故选：C 【点睛】解题的关键是读懂题意，根据函数对称性，得到正方形对称中心，再根据正方形性质，利用弦长公式，化简计算，即可得答案，属难题9．（2021·上海·高二专题练习）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中,把到定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a （0a >）的点的轨迹称为双纽线C .已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点,下列说法中正确的有（ ）①双纽线C 关于原点O 中心对称； ②022a ay -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个； ④PO . A ．①② B ．①②④ C ．②③④ D ．①③【答案】B 【分析】对①,设动点(,)C x y ,把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程,显然成立； 对②,根据12PF F △的面积范围证明即可.对③,易得若12PF PF =则P 在y 轴上,再根据()00,P x y 的轨迹方程求解即可. 对④,根据题中所给的定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a ,再画图利用余弦定理分析12PF F △中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可.【详解】对①,设动点(,)C x y ,由题可得C 22222)][()]x a y x a y a ,把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程显然成立.故①正确； 对②,因为()00,P x y ,故12121212011||||sin ||22PF F SPF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅. 又212||||PF PF a ⋅=,所以2120sin 2a F PF a y ∠=⋅,即012sin 22a ay F PF =∠≤,故022a a y -≤≤.故②正确；对③, 若12PF PF =则()00,P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上. 故此时00x =,22222)][()]x a y x a y a ，可得00y =,即()0,0P ,仅有一个.故③错误；对④,因为12POF POF π∠+∠=,故12cos cos 0POF POF ∠+∠=,即222222112212||||||||||||02||||2||||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅, 因为12||||OF OF a ==,212||||PF PF a ⋅=故2222122||2||||OP a PF PF +=+.即()22212122||2||||2||||OP a PF PF PF PF +=-+⋅, 所以()22122||||||OP PF PF =-.又1212||||||2PF PF F F a -≤=,当且仅当12,,P F F 共线时取等号. 故()()222122||||||2OP PF PF a=-≤, 即22||2OP a ≤,解得||OP ≤.故④正确.故①②④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定,因为该方程较复杂,故在作不出图像时,需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.属于难题.二、填空题10．（2021·上海市大同中学高二开学考试）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x yr r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点. 若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是__________. 【答案】（2，4） 【详解】设直线l 的方程为x ty m =+，()11A x y ，，()22B x y ，把直线l 的方程代入抛物线方程24y x =，整理可得：2440y ty m --= 则�=16t 2+16m >0，124y y t +=，124y y m =-则()()2121242x x ty m ty m t m +=+++=+∴线段AB 的中点()222M t m t +，由题意可得直线AB 与直线MC 垂直，且()50C ，当0t ≠时，有1MC AB K K =- 即2201125t t m t-⨯=-+-，整理得232m t =- 把232m t =-代入到�=16t 2+16m >0 可得230t ->，即203t <<由于圆心C 到直线AB 的距离等于半径即2d r ==24r ∴<<，此时满足题意且不垂直于x 轴的直线有两条当0t =时，这样的直线l 恰有2条，即5x r =±， 05r ∴<<综上所述，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是()24，点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题．设直线l 的方程为x ty m =+，()11A x y ，，()22B x y ，，把直线l 的方程代入抛物线方程24y x =，根据判别式求得线段AB 的中点M 的坐标，分别讨论0t ≠时，0t =时r 的取值范围，即可得到答案11．（2019·上海市奉贤区奉城高级中学高二期末）双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图象，关于此函数()f x 有如下四个命题：① ()f x 是奇函数；② ()f x 的图象过点3)2或3)2-；③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞；④ 函数()y f x x =-有两个零点；则其中所有真命题的序号为________.【答案】①② 【分析】根据双曲线关于坐标原点对称,则旋转后得到的函数的()f x 图象也关于原点对称,即有()f x 为奇函数；根据双曲线的顶点、渐近线方程可得旋转后的()f x 的图象的渐近线,再由对称性可得()f x 的图象过3)2或3)2-；根据()f x 的图象按逆时针旋转60位于一三象限由图象可得顶点为点,不是极值点,则()f x 的值域不是33(,][,)22-∞-+∞,也不是33(,][,)22-∞-+∞；分()f x 的图象所在的象限讨论,得出()f x 的图象与直线y x =没有交点,函数yf xx 没有零点.【详解】解：双曲线2213x y -=关于坐标原点对称,可得旋转后得到的函数的()f x 图象关于原点对称,即有()f x 为奇函数,故①对；由双曲线的顶点为30,,渐近线方程为y x =,可得()f x 的图象的渐近线为0x =和y =,图象关于直线y =对称,可得()f x 的图象过32⎫⎪⎪⎝⎭或32⎫-⎪⎪⎝⎭. 由对称性可得()f x 的图象按逆时针60旋转位于—三象限； 按顺时针旋转60位于二四象限；故②对；()f x 的图象按逆时针旋转60位于一三象限由图象可得顶点为点32⎫⎪⎪⎝⎭或32⎫-⎪⎪⎝⎭..不是极值点,则()f x 的值域不是33(,][,)22-∞-+∞；()f x 的图象按顺时针旋转60位于二四象限,由对称性可得()f x 的值域也不是33(,][,)22-∞-+∞,故③不对；当()f x 的图象位于一三象限时,()f x 的图象与直线y x =有两个交点,函数y f xx 有两个零点；当()f x 的图象位于二四象限时,()f x 的图象与直线y x =没有交点,函数y f xx 没有零点故④错.故真命题为：①② 故答案为：①② 【点睛】本题考查双曲线的性质和函数图象的对称性、极值、零点,属于中档题.12．（2020·上海市洋泾中学高二期末）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大”，如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且射线QB 相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M -、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的坐标为___________ 【答案】()1,0【分析】设△PMN 的外接圆的圆心为(),a b ，根据题设中给出的结论可构建关于,a b 的方程组，解方程组后可得P 的坐标. 【详解】延长NM 交x 轴于K ，则NKO ∠为锐角，由题设，当P 在射线KO 上时，若MPN ∠取最大值，则有PMN 的外接圆与x 轴相切且切点为P ， 设Q 为x 轴上的动点且在K 的左侧，则NQM NQK PKN ∠<∠<， 由MPN ∠为最大值角可得MPN PKN ∠>∠， 故当P 为x 轴上的动点且MPN ∠取最大值时，P 在射线KO 上且PMN 的外接圆与x 轴相切且切点为P .设该圆的圆心为(),a b ，则0b >且圆的半径为b ，故()()()()2222221214a b ba b b ⎧++-=⎪⎨-+-=⎪⎩，整理得到22245028170a a b a a b ⎧+-+=⎨--+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩， 又直线MN 的方程为3y x，故()3,0K -，故710a b =-⎧⎨=⎩舍去，故PMN 的外接圆的圆心为()1,2，故()1,0P . 故答案为：()1,0. 【点睛】方法点睛：本题为即时应用类问题，注意根据给出的背景或结论来构建所设变量的方程组，另外对不适合题设给出的背景的另一类问题的讨论.13．（2021·上海·曹杨二中高二阶段练习）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F，直线l 过点F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于A 、B 、C 、D 四点，则9AB CD +的最小值为_____．【答案】11 【分析】利用抛物线的定义表示出1||2A AB x =+，1||2D CD x =+，对直线l 的斜率是否存在进行讨论：当直线l 的斜率不存在时，1D A x x ==，915AB CD +=，当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =-，用设而不求法表示出1A D x x =，利用基本不等式求最值. 【详解】解：抛物线24y x =的准线为1x =-，所以1A AF x =+，因为1||||2AF AB =+，由圆()22114x y -+=的半径为12，所以1||2A AB x =+.同理1||2D CD x =+，当直线l 的斜率不存在时，1D A x x ==，915AB CD +=， 当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得()2222240k x k x k -++=，所以1A D x x =，所以||9||59511A D AB CD x x +=++≥+，（取等号的条件为=9A D x x ，即=3=31A D x x ，）综上，9AB CD +的最小值为11．故答案为：11【点睛】解析几何中的最值问题一般的求解思路：①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数或基本不等式求最值.14．（2021·上海·华师大二附中高二期末）在xOy平面上，将双曲线的一支221 916x y-=(0)x>及其渐近线43y x=和直线0y=、4y=围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω，过(0,)y(04)y≤≤作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω体积为________【答案】36π.【详解】分析：由已知中过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积．详解：在xOy平面上，将双曲线的一支221916x y-=(0)x>及其渐近线43y x=和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．则直线y=a与渐近线43y x=交于一点A（34a，a）点，与双曲线的一支221916x y-=(0)x>交于B a）点，记D 绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω． 过（0，y ）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，则截面面积S=22394ππ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 利用祖暅原理得Ω的体积相当于底面面积为9π高为4的圆柱的体积， ∴Ω的体积V=9π×4=36π， 故答案为36π点睛：本题考查的知识点是类比推理，其中利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化为底面面积为9π高为4的圆柱的体积，是解答的关键．祖暅原理也可以成为中国的积分，将图形的横截面的面积在体高上积分，得到几何体的体积.15．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是_________ 【答案】()2,0或()0,2- 【分析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论. 【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC 的外心为欧拉线方程为20x y -+= 与直线y x =-的交点为(1,1)M -，∴22||||(1)(1)10MC MA x y ==++-=① 由()4,0-A ，()0,4B ，ABC 重心为44(,)33x y -+， 代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=② 由 ①②可得2,0x y ==或 0,2x y ==-. 故答案为：()2,0或()0,2-. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.16．（2021·上海市金山中学高二期末）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点,A B ，动点P 满足PA PBλ=，（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点()1,0M -和()2,1N ，P 是圆22:3O x y +=PN +的最小值为________【分析】在x 轴上取()3,0S -，由MOP POS 可得PS PN SN +≥，利用两点间距离公式可求得结果. 【详解】如图，在x 轴上取点()3,0S -，OM OP OPOS=MOP POS ∠=∠，∴△MOP ∼△POS ，PS ∴=，PN PS PN SN +=+≥（当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号）， )minPNSN ∴+==.【点睛】PN +的最值求解转化为PS PN +的最值求解问题，从而由三点共线确定最小值.17．（2021·上海·高二专题练习）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆Γ的弦AB 与CD 分别垂直于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PA ，PC ，PB ，PD 的长分别为2，4，6，12，则12PF F △的面积为___________.【答案】【解析】根据图形以及线段PA ，PC ，PB ，PD 的长求出()()()4,4,8,2,4,2A C P ，将()()4,4,8,2A C 代入22221x y a b +=，可得228020a b ⎧=⎨=⎩，然后利用三角形面积公式可得答案.【详解】因为椭圆Γ的弦AB 与CD 分别垂直于x 轴与y 轴，且相交于点P ， 线段PA ，PC ，PB ，PD 的长分别为2，4，6，12，由图可知，,,A P C 是第一象限的点，根据椭圆的对称性可得， 12444,44822A P c P PD PC x x PC x x PC ++==-=-==+=+=， 2622,22422C P A P PA PB y y PA y y PA ++==-=-==+=+=， 即()()()4,4,8,2,4,2A C P ，将()()4,4,8,2A C 代入22221x y a b +=， 可得2222161616441a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得228020a b ⎧=⎨=⎩，c =则12PF F △的面积为12112222p F F y ⨯⨯=⨯⨯=故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的方程与几何性质，解题的关键是利用对称性求出()()4,4,8,2A C ，然后代入椭圆方程确定,a b 的值.18．（2021·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R )，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =48，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为_______ 【答案】10 【解析】由已知可得O ，A ，P 三点共线，先设OP 与x 轴的夹角为θ，B 为(,)A x y 在x 轴上的投影，从而有线段OP 在x 轴上的投影长度为22248||48||||cos ||OB x OP x y OA θ==+，结合椭圆方程及基本不等式可求． 【详解】((1)AP OA OP OA λ=-=-，∴OP OA λ=，则O ，A ，P 三点共线，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =48，设OP 与x 轴的夹角为θ，B 为(,)A x y 在x 轴上的投影， 则线段OP 在x 轴上的投影长度为22248||48||11||cos 48481016||924||25||5OB x OP x x y OA x θ===⨯⨯=++， 当且仅当16||925||x x =即15||4x =时取得最大值10．故答案为：10． 【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题19．（2021·上海金山·高二期末）已知双曲线22:13y C x -=，直线l 交双曲线于,A B 两点.（1）求双曲线C 的顶点到其渐近线的距离；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于,A B 的一点，且直线,PA PB 的斜率,PA PB k k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（12）证明见解析；（3）存在点()1,0M -，使得0MA MB ⋅=. 【分析】（1）由双曲线方程可得顶点坐标和渐近线方程，由点到直线距离公式可求得结果； （2）设()00,A x y ，()00,B x y --，(),P x y ，表示出22220PA PB y y k k x x -⋅=-，将,P A 代入双曲线方程，两式作差整理可得定值；（3）当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式，利用向量坐标运算可表示出0MA MB ⋅=，由此可构造方程组求得1m =-，得到()1,0M -；当直线l 斜率不存在时，可知()1,0M -满足0MA MB ⋅=；综合两种情况可得结果. 【详解】（1）由双曲线方程可知其顶点坐标为()1,0±，渐近线方程为y =； 由双曲线对称性知：双曲线顶点到任一渐近线的距离相等，取y =，顶点()1,0，∴所求距离d =， 即双曲线C（2）由双曲线对称性知：,A B 关于原点对称， 设()00,A x y ，()00,B x y --，(),P x y ，2200022000PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-∴⋅=⋅=-+-； ,P A 均为双曲线上的点，2222001313y x y x ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：2222003y y x x --=，220223y y x x -∴=-，即PA PB k k ⋅为定值3； （3）由双曲线方程知：()12,0F ； 当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，由()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得：()222223034430k k x k x k -≠--++=，，则()23610k ∆=+>； 设()11,A x y ，()22,B x y ，则212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，()11,MA x m y =-，()22,MB x m y =-，()()()()()2212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x x x ∴⋅=--+=-+++-++()()()22221212124k x x k m x x k m =+-++++()()()()()22222222222243142453140333kk k k m m m k m k mk k k +++----=-++==---；2245010m m m ⎧--=∴⎨-=⎩，解得：1m =-，()1,0M ∴-； 当直线l 斜率不存在时，()2,3A ，()2,3B -，此时()1,0M -使得0MA MB ⋅=； 综上所述：存在点()1,0M -，使得0MA MB ⋅=. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定值问题和存在定点满足某条件的问题的求解，解决此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量所满足的方程，化简整理所得方程；④根据等量关系恒成立或化简消元的思想确定定点坐标.20．（2021·上海·高二专题练习）已知椭圆221:14x C y +=与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有共同的焦点1F ，2F且双曲线的实轴长为（1）求双曲线2C 的标准方程；（2）若曲线1C 与2C 在第一象限的交点为P ，求证：1290F PF ∠=︒.（3）过右焦点2F 的直线l 与双曲线2C 的右支相交于的A ，B 两点，与椭圆1C 交于C ，D 两点.记AOB ，COD △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值. 【答案】（1）2212x y -=；（2）证明见解析；（3【解析】（1）解方程组2232a b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩求得,a b 的值，即可求双曲线2C 的标准方程；（2）联立曲线1C 与2C 的方程，求得在第一象限的交点为P 的坐标，可得12,F P F P 的坐标，利用120F P F P ⋅=可得结论.（3）斜率不存在时，直接求出面积比，斜率存在时，设出直线方程，分别与椭圆、双曲线方程联立，利用韦达定理、结合弦长公式与三角形面积公式可得)())21222143221421k AB S S CD k k +⎫===+∈+∞⎪--⎭，进而可得答案.【详解】（1）因为椭圆221:14x C y +=与双曲线()22222:10,0x y C a b a b -=>>有共同的焦点1F ，2F ，且双曲线的实轴长为2232a b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解之得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩双曲线2C 的标准方程为2212xy -=（2）联立方程组22221412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解之得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点P ⎝⎭()1F，)2F12F P ⎛= ⎝⎭，22F P ⎛= ⎝⎭1224271093F P F P -⋅=+=，∴1290F PF ∠=︒（3）当直线l 的斜率不存在时，AB =1CD =，此时12AB S S CD=当直线l的斜率存在时，设方程为(y k x =代入椭圆方程得()2222141240k x x k +---=，21212212414k x x x x k ++=-+ 由弦长公式得()224114k k CD +=+把直线方程(y k x =代入双曲线方程得()222212620k xx k -+--=2121226212k x x x x k ++==--由弦长公式得)22121k k AB +=-因为直线l 与双曲线2C 的右支相交于的A ，B 两点，所以2222120010262012k k k k ⎧-≠⎪∆>>⇒>⎪--⎪>-⎩ 设原点到直线l 的距离为d ，∴)())212221432214212121d AB k AB S S CD k d k CD +⎫===+∈+∞⎪--⎭综上可知，12S S 【点睛】求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出双曲线的标准方程．解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与双曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单21．（2021·上海·高二专题练习）已知椭圆22:142x y C +=，点()4,1P 为椭圆外一点．（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围； （2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上．【答案】（1）11,1612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【解析】（1）设点()00,M x y ，可得()00,N x y --，椭圆的有界性可得出[]200,2y ∈，利用斜率公式结合椭圆方程可得出20172212PM PN k k y ⋅=-++，利用不等式的基本性质可求得PM PN k k ⋅的取值范围；（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,Q x y ，分析得出直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()14y k x -=-，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由AP QB AQ PB ⋅=⋅可得出()33214x x k -=-，再由3314y k x -=-可得出33220x y +-=，即可得出结论. 【详解】（1）设()00,M x y ，()00,N x y --， 则()22200000222000001111144162121642PM PNy y y y y k k x x x y y -+---⋅=⋅===-+-+--， 所以()202200121271722122212PMPN y kk y y -++⋅==-+++， 因为[]200,2y ∈，所以[]2021212,16y +∈，所以20777,2121612y ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，所以11,1612PM PN k k ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦；（2）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为4x =，此时直线l 与椭圆C 无公共点，不合乎题意.所以，直线l 的斜率存在，设4:1l y k x，即()14y kx k =+-，联立()2214214x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩，得()()()2221241421440k x k k x k ++-+--=，由0∆>得212810k k --<，设()11,A x y 、()22,B x y ，则()12241412k k x x k -+=-+，()2122214412k x x k--=+， 设()33,Q x y ，由AP QB AQ PB ⋅=⋅，得()()()()23121344x x x x x x --=--（考虑线段在x 轴的射影），所以()()121233842x x x x x x =++-，于是()()()2332241421448421212k k k x x k k----=+⨯-⨯++，整理得()33214x x k -=-， 又3314y k x -=-，代入上式，得33220x y +-=，所以点Q 总在定直线220x y +-=上． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.22．（2021·上海·高二专题练习）已知直线1:3l y x t =+与椭圆22:1364x y C +=交于A 、B两点（如图所示），且(P在直线l 的上方.（1）求常数t 的取值范围；（2）若直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k +的值； （3）若APB △的面积最大，求APB ∠的大小.【答案】（1）0t -<<；（2）120k k +=；（3）12arctan 3APB π∠=-. 【分析】（1）根据点P 与直线l 的位置关系可得出关于t 的不等式，并将直线l 的方程与椭圆方程联立，结合0∆>可解得实数t 的取值范围；（2）列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得12k k +的值；（3）列出韦达定理，求出AB ，点P 到直线l 的距离d ，利用三角形的面积公式可得出APB △面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得APB △面积的最大值，利用等号成立的条件求出t 的值，进一步可求得APB ∠的大小. 【详解】（1103t t >⨯⇒<.将直线13y x t =+代入221364x y +=，化简整理得22269360x tx t ++-=，由()()222236893636808t t t t ∆=--=->⇒<，故0t -<<； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，则123x x t +=-，2129362t x x -=，又1k =2k =所以，122112y x y xk k-+-+=+=上式分子((12211133x t x x t x⎛⎛=+-++- ⎝⎝(()121223x x t x x t =+-+-(()22936332t t t t -=⋅+--- 223123120t t =--+-+=，从而，120k k +=；（3）因为12AB x -==且点P 到直线AB的距离d =所以，22133862222PABt t SAB d t -+=⋅=⋅=.当且仅当2t =-时等号成立，此时点()0,2A -，所以，1k ==，又120k k +=，所以，APB π∠=-【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．23．（2021·上海市建平中学高二期末）已知椭圆221222:1(0),,x y a b F F a bΓ+=>>分别为其左、右焦点．（1）若T 为椭圆上一点，12TFF △面积最大值为12TF F △为等边三角形，求椭圆的方程；（2倍，点P 的坐标为(2)a b -，Q 为椭圆上一点，当1||PQ QF +最大时，求点Q 的坐标；（3）若A 为椭圆Γ上除顶点外的任意一点，直线AO 交椭圆于B ，直线1AF 交椭圆于C ，直线1BF 交椭圆于D ，若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μF 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λμ+．（用a 、b 代数式表示）。
2020-2021学年某校高二(上)9月周测数学试卷答案及解析
2020-2021学年某校高二（上）9月周测数学试卷一、选择题1. 如果关于x的不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切实数x恒成立，则a的取值范围是( )A.(−∞, 2]B.(−∞, −2)C.(−2, 2]D.(−2, 2)2. 若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x<3}，则不等式cx2+bx+a>0的解集为( )A.{x|−3<x<−1}B.{x|13<x<1}C.{x|x<13或x>1} D.{x|x<−3或x>−1}3. 数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=2，若S n=a n+1−2(n∈N∗)，则a2020=( )A.22019B.22020C.22021D.220224. 等差数列{a n}的前n项和为S n，等差数列{b n}的前n项和为T n，若S nT n =2n−1n+1，则a5b5=( )A.19 11B.1710C.32D.755. 正项数列{a n}满足：a n+a n+1 +a n+2=a n a n+1 a n+2 ，a1+a3=6，若前三项构成等比数列且满足a1< a2<a3，S n为数列{a n}的前n项和，则[S2020 ]的值为( )（[x]表示不超过x的最大整数）．A.4040B.4041C.5384D.53856. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列判断一定正确的是( )A.若S3>0，则a2018>0B.若S3<0，则a2018<0C.若a2>a1，则2019>a2018D.若1a2>1a1，则a2019<a2018二、解答题已知函数f(x)=(m+1)x2−mx+m−1(m∈R).(1)若不等式f(x)<0的解集为⌀，求m的取值范围；(2)当m>−2时，解不等式f(x)≥m；(3)若不等式f(x)≥0的解集为D，若[−1,1]⊆D，求m的取值范围.设等差数列{a n}的前n项和为S n，a8−2a3=3，S3=a7.(1)求a n及S n；(2)设b n=1a n a n+1，数列{b n}的前n项和为T n，是否存在正整数m，n(m<n)，使得53T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m，n；否则，请说明理由．三、填空题已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，且a1，a2，a4成等比数列，S5=15，则a4=________.已知函数f(x)=x2−x+1，若在区间[−1, 1]上，不等式f(x)>2x+m恒成立，则实数m的取值范围是________．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=3a n+3n，则a n=________．设a<0，则关于x的不等式42x2+ax−a2<0的解集为________．四、多选题等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1>0，公差d≠0，则下列命题正确的是( )A.若S5=S9，则必有S14=0B.若S5=S9，则必有S7是S n中最大的项C.若S6>S7，则必有S7>S8D.若S6>S7，则必有S5>S6设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6−1a7−1<0，则下列结论正确的是( )A.0<q<1B.a6a8>1C.S n的最大值为S7D.T n的最大值为T6参考答案与试题解析2020-2021学年某校高二（上）9月周测数学试卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】函数恒成立问题 【解析】分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，借助于二次函数的开口方向和判别式列不等式组求解． 【解答】解：关于x 的不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切实数x 恒成立， 当a =2时，对于一切实数x ，不等式−4<0恒成立；当a ≠2时，要使对于一切实数x ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立， 则{a −2<0，[2(a −2)]2−4(a −2)×(−4)<0， 解得−2<a <2．综上，实数a 的取值范围为：(−2, 2]． 故选C ． 2.【答案】 B【考点】根与系数的关系 其他不等式的解法 【解析】【解答】解：由题意可得a <0， {−ba =1+3=4，c a =1×3=3，解得{c =3a ，b =−4a ，故不等式cx 2+bx +a >0可化为： 3x 2−4x +1<0， 解得13<x <1.∴ 不等式的解集为{x|13<x <1}. 故选B . 3.【答案】 B【考点】 数列递推式等比数列的通项公式【解析】解：当n =1时， S 1=a 2−2，得a 2=a 1+2=4=2a 1； 当n ≥2时，由S n =a n+1−2(n ∈N ∗)，得S n−1=a n −2，所以S n −S n−1=a n+1−a n ，即a n =a n+1−a n ，a n+1=2a n ， 所以数列{a n }是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以a n =2n ，a 2020=22020. 故选B . 【解答】解：当n =1时， S 1=a 2−2，得a 2=a 1+2=4=2a 1； 当n ≥2时，由S n =a n+1−2(n ∈N ∗)，得S n−1=a n −2， 所以S n −S n−1=a n+1−a n ， 即a n =a n+1−a n ，a n+1=2a n ，所以数列{a n }是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以a n =2n ， 所以a 2020=22020. 故选B . 4.【答案】 B【考点】等差数列的性质 【解析】根据题意，分析可得S9T 9，又由等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可得S9T 9=a 5b 5；即可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{a n }和{b n }中，若S n T n=2n−1n+1，则有S 9T 9=2×9−19+1=1710. 又由S 9T 9=(a 1+a 9)×92(b 1+b 9)×92=(a 1+a 9)(b 1+b 9)=2a 52b 5=a5b 5，故a 5b 5=1710.故选B ． 5.【答案】 C【考点】 等比中项 数列递推式 等比数列的性质【解析】 无【解答】解：依题意a 1+a 2+a 3=a 1a 2a 3，a 1+a 3=6，a 22=a 1⋅a 3，6+a 2=a 23，即(a 2−2)[(a 2+1)2+2]=0， 解得a 2=2． 则{a 1+a 3=6，4=a 1⋅a 3， 结合a 1<a 2<a 3，解得a 1=3−√5，a 3=3+√5．依题意a 2+a 3+a 4=a 2⋅a 3⋅a 4⇒a 4=3−√5， a 3+a 4+a 5=a 3⋅a 4⋅a 5⇒a 5=2， a 4+a 5+a 6=a 4⋅a 5⋅a 6⇒a 6=3+√5， 所以数列{a n }是周期为3的周期数列， a 1+a 2+a 3=8，S 2020=S 673×3+1=673×8+a 1=5384+3−√5， 而√5≈2.236，所以[S 2020 ]=5384． 故选C ． 6.【答案】 D【考点】 数列的应用等比数列的前n 项和【解析】A ．反例，a 1=1，a 2=−2，a 3=4，即可判断出正误；B ．反例，a 1=−4，a 2=2，a 3=−1，即可判断出正误；C ．反例同B 反例； 进而判断出D 的正误． 【解答】解：A ，反例，a 1=1，a 2=−2，a 3=4，则a 2018<0，故该选项错误； B ，反例，a 1=−4，a 2=2，a 3=−1，则a 2018>0，故该选项错误； C ，反例同B ，a 2019<0<a 2018，故该选项错误；D ，由1a 2>1a 1可知公比q <1，则a 2019=qa 2018<a 2018，故该选项正确.故选D ．二、解答题【答案】解：(1)①当m +1=0即m =−1时，f(x)=x −2不恒小于0，不合题意； ②当m +1≠0即m ≠−1时， 不等式f(x)<0的解集为⌀， 即{m +1>0,Δ=m 2−4(m +1)(m −1)≤0, ∴ {m >−1,m ≤−2√33或m ≥2√33,∴ m ≥2√33. (2)f(x)≥m 即(m +1)x 2−mx −1≥0， 即[(m +1)x +1](x −1)≥0，①当m +1=0即m =−1时，解集为{x|x ≥1}， ②当m +1>0即m >−1时，(x +1m+1)(x −1)≥0， ∵ −1m+1<0<1，∴ 解集为{x|x ≤−1m+1或x ≥1}，③当m +1<0即−2<m <−1时，(x +1m+1)(x −1)≤0， ∵ −2<m <−1，∴ −1<m +1<0，∴ −1m+1>1， ∴ 解集为{x|1≤x ≤−1m+1}.(3)不等式f(x)≥0的解集为D ，[−1,1]⊆D ，即对任意的x ∈[−1,1]，不等式(m +1)x 2−mx +m −1≥0恒成立， 即m(x 2−x +1)≥−x 2+1恒成立， ∵ x 2−x +1>0恒成立，∴ m ≥−x 2+1x 2−x+1=−1+2−xx 2−x+1恒成立，设2−x =t ，则t ∈[1,3], x =2−t ， ∴ 2−xx 2−x+1=t(2−t)2−(2−t)+1=tt 2−3t+3=1t+3t−3，∵ t +3t ≥2√3，当且仅当t =√3 时取等号， 所以2−xx 2−x+1≤2√3−3=2√3+33， 当且仅当x =2−√3时取等号， ∴ 当x =2−√3时，(−x 2+1x 2−x+1)max =2√33,所以m ≥2√33. 【考点】函数恒成立问题基本不等式在最值问题中的应用一元二次不等式的解法【解析】（1）对二次项系数m+1的情况分类讨论，由不等式f(x)<1的解集为R，可得{m+1<0△=(m−1)2−4(m+1)(m−2)<0，解之即可求得m的取值范围；（2）f(x)≥(m+1)x⇔[(m+1)x−(m−1)](x−1)≥0，对m+1=0，m+1>0与m+1<0分类讨论，可分别求得其解集；(3)(m+1)x2−(m−1)x+m−1≥0⇔m(x2−x+1)≥−x2−x+1⇔m≥−x2−x+1x2−x+1，通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．【解答】解：(1)①当m+1=0即m=−1时，f(x)=x−2不恒小于0，不合题意；②当m+1≠0即m≠−1时，不等式f(x)<0的解集为⌀，即{m+1>0,Δ=m2−4(m+1)(m−1)≤0,∴{m>−1,m≤−2√33或m≥2√33,∴m≥2√33.(2)f(x)≥m即(m+1)x2−mx−1≥0，即[(m+1)x+1](x−1)≥0，①当m+1=0即m=−1时，解集为{x|x≥1}，②当m+1>0即m>−1时，(x+1m+1)(x−1)≥0，∵−1m+1<0<1，∴解集为{x|x≤−1m+1或x≥1}，③当m+1<0即−2<m<−1时，(x+1m+1)(x−1)≤0，∵−2<m<−1，∴−1<m+1<0，∴−1m+1>1，∴解集为{x|1≤x≤−1m+1}.(3)不等式f(x)≥0的解集为D，[−1,1]⊆D，即对任意的x∈[−1,1]，不等式(m+1)x2−mx+m−1≥0恒成立，即m(x2−x+1)≥−x2+1恒成立，∵x2−x+1>0恒成立，∴m≥−x2+1x2−x+1=−1+2−xx2−x+1恒成立，设2−x=t，则t∈[1,3], x=2−t，∴2−xx2−x+1=t(2−t)2−(2−t)+1=tt2−3t+3=1t+3t−3，∵t+3t≥2√3，当且仅当t=√3时取等号，所以2−xx2−x+1≤2√3−3=2√3+33，当且仅当x=2−√3时取等号，∴当x=2−√3时，(−x2+1x−x+1)max=2√33,所以m≥2√33.【答案】解：(1)设公差为d，则{a1+7d−2(a1+2d)=3，3a1+3×22d=a1+6d，解得a1=3，d=2.∴a n=a1+(n−1)d=2n+1，S n=na1+n(n−1)2d=n2+2n .(2)b n=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，T n=12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]=n3(2n+3)，又53T1=19，由题意得m292m+3=19⋅n32n+3，即3m2(2m+3)2=n2n+3，∴6m2n+9m2=4m2n+12mn+9n，即n=9m212m+9−2m，由题知9m212m+9−2m2>m，且m∈N∗，故{12m+9−2m2>0，2m2−3m−9>0，故3<m<7，故只需考虑m=4，5，6，当m=4时，n=14425；m=5时，n=22519；m =6时，n =36. 又n ∈N ∗，故满足条件的m ，n 只有一组： {n =6，n =36.【考点】等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式 数列的求和 等比中项【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设公差为d ，则{a 1+7d −2(a 1+2d )=3，3a 1+3×22d =a 1+6d ，解得a 1=3，d =2.∴ a n =a 1+(n −1)d =2n +1， S n =na 1+n (n−1)2d =n 2+2n . (2) b n =1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)， T n =12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n +1−12n +3)]=n3(2n+3)， 又53T 1=19，由题意得m 292m+3=19⋅n32n+3， 即3m 2(2m+3)2=n2n+3，∴ 6m 2n +9m 2=4m 2n +12mn +9n ， 即n =9m 212m+9−2m ，由题知9m 212m+9−2m 2>m ，且m ∈N ∗， 故{12m +9−2m 2>0，2m 2−3m −9>0， 故3<m <7，故只需考虑m =4，5，6， 当m =4时，n =14425；m =5时，n =22519；m =6时，n =36. 又n ∈N ∗，故满足条件的m ，n 只有一组： {n =6，n =36.三、填空题 【答案】 4【考点】 等比中项等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式【解析】运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式、求和公式，可得首项和公差的方程组，解得首项和公差，再由等差数列的通项公式，计算可得所求值． 【解答】解：∵ a 1，a 2，a 4成等比数列，∴ a 1a 4=a 22，即a 1(a 1+3d)=(a 1+d)2， 由题意可知d ≠0， ∴ a 1=d .∵ S 5=15，∴ 5a 1+10d =15， 即a 1+2d =3， 解得a 1=d =1.则a 4=a 1+3d =4． 故答案为：4. 【答案】 (−∞, −1) 【考点】函数恒成立问题二次函数在闭区间上的最值【解析】由不等式f(x)>2x +m 恒成立，将m 分离得x 2−3x +1>m ，对x ∈[−1, 1]恒成立，令g(x)=x 2−3x +1，根据g(x)在[−1, 1]上的单调性可求g(x)min ，可求m 的范围． 【解答】解：由题意可得当x ∈[−1, 1]时， f(x)>2x +m 恒成立，即x 2−3x +1>m 在[−1, 1] 上恒成立. 令g(x)=x 2−3x +1， 又g(x)在[−1, 1]上递减， 故g(x)min =g(1)=−1. ∴ m <−1，即实数m的取值范围为(−∞, −1)．故答案为：(−∞, −1)．【答案】n⋅3n−1【考点】数列递推式等差数列的通项公式【解析】方程两边同除3n，推出数列{a n3n−1}是等差数列，然后求解数列的通项公式．【解答】解：数列{a n}中，a1=1，a n+1=3a n+3n，可得a n+13n =a n3n−1+1，所以数列{a n3n−1}是首项为1，公差为1的等差数列，则a n3n−1=n，a n=n⋅3n−1．故答案为：n⋅3n−1.【答案】(a7,−a6)【考点】一元二次不等式的解法【解析】利用十字相乘可因式分解，求对应方程的根，比较两根大小，写出不等式的解集．【解答】解：不等式42x2+ax−a2<0，(6x+a)(7x−a)<0，对应方程的实数根为x1=−a6，x2=a7.因为a<0，所以−a6>a7，所以关于x的不等式42x2+ax−a2<0的解集为(a7,−a6)．故答案为：(a7,−a6)．四、多选题【答案】A,B,C【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质【解析】根据题意，结合等差数列的性质依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若S5=S9，必有S9−S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0，则a7+a8=0，S14=14×(a1+a14)2=14×(a7+a8)2=0，A正确；对于B，若S5=S9，必有S9−S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0，又由a1>0，则必有S7是S n中最大的项，B正确；对于C，若S6>S7，则a7=S7−S6<0，又由a1>0，必有d<0，则a8=S8−S7<0，必有S7>S8，C正确；对于D，若S6>S7，则a7=S7−S6<0，而a6的符号无法确定，故S5>S6不一定正确，D错误.故选ABC.【答案】A,D【考点】等比数列的前n项和等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵a1>1,a6⋅a7>1,a6−1a7−1<0，∴a6>1,a7<1，∴0<q<1，故选项A正确；a6a8=a72<1，故选项B不正确；∵a1>1,0<q<1，数列为递减数列，且a6>1,a7<1，∴T6是数列{T n}中的最大项，而S7不是数列S n的最大值，故选项C错误，D正确.故选AD.。
2023学年上海高二上学期数学同步精讲练重难点01线线角、线面角、二面角问题
重难点01线线角、线面角、二面角问题（重难点突破解题技巧与方法） 1.求异面直线所成的角的三步曲 2.求直线和平面所成角的关键 作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。
3.找二面角的平面角的常用方法（1）由定义做出二面角的平面角（2）用三垂线定理找二面角的平面角（3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角求异面直线所成的角一、填空题1．（2021·上海·复旦附中高二期中）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，异面直线11A C 与DB 所成角为3π，且11111,AC D B O AC DB O ==，1OA OB ==，则AB 的长为_________． 2．（2021·上海·格致中学高二期中）设E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 的中点，在棱1AA 上任取一点P ，能力拓展技巧方法在线段1A E 上任取一点Q ，则异面直线PQ 与BD 所成角的大小为______． 3．（2021·上海中学高二期中）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AB 与BD 所成角大小为______二、解答题4．（2022·上海浦东新·高二期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.(1)求异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值；(2)求证：直线1//A B 平面11DCC D .线面角一、单选题1．（2022·上海市控江中学高二期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b ．对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有两条直线l 与a 、b 都成75︒角．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题二、填空题2．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的全面积等于_________． 三、解答题 3．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，PA 垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB DM ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.二面角一、单选题 1．（2020·上海·曹杨二中高二期末）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<二、填空题2．（2021·上海·西外高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BC A --的大小是___________.三、解答题3．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA 、OB 、1OO 两两垂直（OA 、OB 、1OO 均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓．(1)若木板较长的一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为32立方米，问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？ (2)应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值．4．（2021·上海·格致中学高二期中）在四棱锥P ABCD -中，底面为梯形，AB CD ∕∕，PAD △为正三角形，且2PA AB ==，90BAP CDP ∠=∠=︒，四棱锥P ABCD -的体积为23．(1)求证：AB ⊥平面PAD ；(2)求PC 与平面ABCD 所成角的正弦值；(3)设平面PAB ⋂平面PCD l =，求证：l AB ∕∕，并求二面角B l C --的大小．一、填空题1．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则异面直线AB 与11D B 之间的距离为___________.二、解答题2．（2021·上海中学高二阶段练习）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．巩固练习BD∥平面P AC；(1)求证：直线1BD与AP所成角的大小.(2)求异面直线13．（2021·上海市进才中学高二期中）已知正四棱锥P ABCD-中，1PA=；AB=，2(1)求侧棱与底面所成角的正弦值；(2)求正四棱锥P ABCD-的体积4．（2021·上海中学高二期中）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是线段AB、CD的中点，2AB=，AD=，4将ADM△沿DM翻折，在翻折过程中A点记为P点．(1)从ADM△翻折至NDM的过程中，求点P运动的轨迹长度；(2)翻折过程中，二面角P−BC−D的平面角为θ，求tanθ的最大值.。
2021年高二上学期9月月考数学试题含答案
2021年高二上学期9月月考数学试题含答案考试范围：必修5第一、二章考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为A B C D2．已知是等比数列，，则公比=A．B．C．2 D．3．若 ABC中，sin A:sin B:sin C=2:3:4，那么cos C=A. B. C. D.4．设数是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是A．1 B．2 C．D．45．在各项均为正数的等比数列中，若，则……等于A. 5B. 6C. 7D.86．在中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（）A. b=10, A=450, C=600B. a=6, c=5, B=600C. a=7, b=5, A=600D. a=14, b=16, A=4507．在中，若，则的形状一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形8．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为（）A B C D9．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且，则（）A B C D10．已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=（）A. B. C. D.二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知为等差数列，，，则____________12. 已知数列｛an ｝的前n项和是, 则数列的通项an=__13．在△ABC中,若a2+b2<c2,且sin C =,则∠C =14．△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，=，那么b =15．在钝角△ABC 中，已知a=1,b=2,则最大边c 的取值范围是____________ 。
三、解答题：（本大题分6小题共75分） 16.（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒ 求BC 的长．17．（本小题满分12分）等比数列中， ，，求 ．18. （本小题满分12分）在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．19．（12分）已知是等差数列，其中 （1）求的通项; （2）求的值。
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高三(上)9月月考数学试卷
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高三（上）9月月考数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞1}，则A∩B=___ ．2.（填空题，0分）已知复数z满足z（1-2i）=5（i为虚数单位），则|z|=___ ．3.（填空题，0分）若函数f（x）=2x-3，则f-1（1）=___ ．4.（填空题，0分）已知x∈(0，π2)，则方程|2sinx112cosx|=0的解集是___ ．5.（填空题，0分）已知某圆锥体的底面半径为r=3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为2π3的扇形，则该圆锥体的母线长是___ ．6.（填空题，0分）函数f(x)=cos2x−sin2x−13，x∈（0，π）的单调递增区间是___ ．7.（填空题，0分）设F1、F2分别为双曲线x2a2 - y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF1|-|PF2|= 35|F1F2|，则该双曲线的渐近线方程为___ ．8.（填空题，0分）在（1+x）n的二项展开式中，若a n是所有二项式系数的和，则n→∞(1a1+1a2+⋯+1a n) =___ ．9.（填空题，0分）控江中学高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，若选出的人中至少有一名女生，则共有___ 种不同的选法．10.（填空题，0分）设θ∈(−π2，π2)，若函数f(x)=sin(x+θ)+√3cos(x+θ)是奇函数，则θ=___ ．11.（填空题，0分）已知α：1≤x≤4，β：log22x-4a•log4x+1≤0，若α是β成立的必要条件，则实数a的取值范围是___ ．12.（填空题，0分）设m∈R．若对于任意实数a，都存在x∈[-2，2]满足|x2-1|+|x-a|＞m，则m的取值范围是___ ．13.（单选题，0分）已知向量a⃗、b⃗⃗，则“ a⃗=±b⃗⃗”是“ |a⃗|=|b⃗⃗|”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.（单选题，0分）将函数 y =sin (x −π6) 的图象上所有的点向右平移 π4 个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ） A. y =sin (2x −5π12) B. y =sin (x2+π12) C. y =sin (x2−5π12) D. y =sin (x2−5π24)15.（单选题，0分）若等比数列{a n }的公比为q （q≠0），则关于x 、y 的二元一次方程组 {a 1x +a 3y =4a 2x +a 4y =−3的解，下列说法中正确的是（ ） A.对任意q∈R （q≠0），方程组都有无穷多组解 B.对任意q∈R （q≠0），方程组都无解 C.当且仅当 q =−34时，方程组无解D.当且仅当 q =−34 时，方程组有无穷多组解16.（单选题，0分）已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，下列两个命题： ① 若f （x ）、g （x ）都不是单调函数，则f （g （x ））不是增函数．② 若f （x ）、g （x ）都是非奇非偶函数，则f （g （x ））不是偶函数．则（ ） A. ① ② 都正确 B. ① 正确 ② 错误 C. ① 错误 ② 正确 D. ① ② 都错误17.（问答题，0分）在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（如图）E 是棱C 1D 1的中点，F 是侧面AA 1D 1D 的中心． （1）求三棱锥A 1-D 1EF 的体积；（2）求EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）18.（问答题，0分）已知等差数列{a n }中，a 2=5，a 5=14，设数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n =2b n -1．（1）求a n ，b n 的通项公式；（2）设数列{c n }满足c n =a n +b n ，求{c n }的前n 项和T n ．19.（问答题，0分）如图，一艘湖面清运船在A 处发现位于它正西方向的B 处和北偏东30°方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B 的距离比到C 的距离少40米，于是选择沿A→B→C 路线清扫．已知清运船的直线行走速度为2米/秒，总共用了100秒钟完成了清扫任务（忽略清运船打捞垃圾及在B 处转向所用时间）． （1）B 、C 两处垃圾的距离是多少？（2）清运船此次清扫行走路线的夹角∠B 是多少？（用反三角函数表示）20.（问答题，0分）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点A ，B ，与x 轴，y 轴分别交于D 、E 两点，且满足 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （1）已知直线l 的方程为y=2x-4，抛物线C 的方程为y 2=4x ，求λ1+λ2的值； （2）已知直线l ：x=my+1（m ＞1），椭圆C ：x 22+y 2 =1，求1λ1+1λ2的取值范围； （3）已知双曲线C ： x 23−y 2=1，λ1+λ2=6 ，求点D 的坐标．21.（问答题，0分）已知函数y=f （x ），x∈D ，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总存在非零常数T ，恒有f （x+T ）＜P•f （x ）成立，则称函数f （x ）是D上的P级递减周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=P•f（x）成立，则称函数f（x）是D 上的P级周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）=x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数，求实数a的取值范围；（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求实数P的取值范围；（3）是否存在非零实数k，使函数f(x)=(12)x•coskx是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论．2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{2，3，4}【解析】：进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={1，2，3，4}，B={x|x＞1}，∴A∩B={2，3，4}．故答案为：{2，3，4}．【点评】：本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（填空题，0分）已知复数z满足z（1-2i）=5（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √5【解析】：根据（1-2i）z=5，可得z= 51−2i，由此能求出结果．【解答】：解：∵（1-2i）z=5，∴z= 51−2i = 5(1+2i)(1−2i)(1+2i)= 5(1+2i)5=1+2i，故|z|= √1+4 = √5，故答案为：√5．【点评】：本题考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数求模问题，是一道基础题．3.（填空题，0分）若函数f（x）=2x-3，则f-1（1）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据反函数的性质只需令f（x）=1，解出x的解即为所求．【解答】：解：令2x-3=1，解得x=2，所以根据反函数的性质可得f-1（1）=2，故答案为：2．【点评】：本题考查了反函数的性质，属于基础题．4.（填空题，0分）已知x∈(0，π2)，则方程|2sinx112cosx|=0的解集是___ ．【正确答案】：[1]{ π12，5π12}【解析】：利用行列式的定义及二倍角公式化简已知等式可得sin2x= 12，可解得x=kπ+ π12，或x=kπ+ 5π12，k∈Z，结合范围x∈(0，π2)即可求解．【解答】：解：因为|2sinx112cosx|=0，可得4sinxcosx-1=0，即sin2x= 12，所以2x=2kπ+ π6，或2x=2kπ+ 5π6，k∈Z，解得x=kπ+ π12，或x=kπ+ 5π12，k∈Z，又因为x∈(0，π2)，所以x= π12，或5π12，即方程|2sinx112cosx|=0的解集是{ π12，5π12}．故答案为：{ π12，5π12}．【点评】：本题主要考查了行列式的定义及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．5.（填空题，0分）已知某圆锥体的底面半径为r=3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为2π3的扇形，则该圆锥体的母线长是___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：设圆锥体的母线长为R，根据底面圆周长等于展开图扇形的弧长，列方程求出R的值．【解答】：解：某圆锥体的底面半径为r=3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为2π3的扇形，设圆锥体的母线长为R，则2πr= 2π3• 12π•2πR，解得R=3r=9，∴圆锥体的母线长为9．故答案为：9．【点评】：本题考查了圆锥体的底面圆周长与侧面展开图的应用问题，是基础题． 6.（填空题，0分）函数 f (x )=cos 2x −sin 2x −13 ，x∈（0，π）的单调递增区间是___ ． 【正确答案】：[1][ π2 ，π）【解析】：由已知利用二倍角公式可得f （x ）=cos2x- 13 ，可求范围2x∈（0，2π），利用余弦函数的单调性即可求解．【解答】：解：因为 f (x )=cos 2x −sin 2x −13 =cos2x- 13 ， 又x∈（0，π），2x∈（0，2π）， 令π≤2x ＜2π，解得 π2 ≤x ＜π，可得f （x ）的单调递增区间是[ π2 ，π）． 故答案为：[ π2 ，π）．【点评】：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式及余弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．7.（填空题，0分）设F 1、F 2分别为双曲线 x 2a 2 - y 2b 2 =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 1|-|PF 2|= 35 |F 1F 2|，则该双曲线的渐近线方程为___ ． 【正确答案】：[1] y =±43x【解析】：利用双曲线的定义，结合条件，确定a ，b ，c 的关系，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】：解：∵|PF 1|-|PF 2|= 35 |F 1F 2|， ∴2a= 35•2c ， ∴a= 35 c ， ∴b= 45 a ，∴双曲线的渐近线方程为y=± ba x ，即 y =±43x ； 故答案为： y =±43x ．【点评】：本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，比较基础．8.（填空题，0分）在（1+x）n的二项展开式中，若a n是所有二项式系数的和，则n→∞(1a1+1a2+⋯+1a n) =___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：由已知可得a n=2n，再由等比数列的求和公式求得1a1+1a2+⋯+1a n，取极限得答案．【解答】：解：由题意，a n=2n，则1a1+1a2+⋯+1a n= 12+122+⋯+12n=12(1−12n)1−12= 1−12n．∴n→∞(1a1+1a2+⋯+1a n) = limn→∞(1−12n)=1．故答案为：1．【点评】：本题考查二项式系数的性质，考查等比数列的前n项和及数列极限的求法，是基础题．9.（填空题，0分）控江中学高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，若选出的人中至少有一名女生，则共有___ 种不同的选法．【正确答案】：[1]31【解析】：根据题意，用间接法分析：先计算从7名学生中任选3人的选法，再排除其中没有女生，即全部为男生的选法，即可得答案．【解答】：解：根据题意，共有4名男生和3名女生，共7名学生，从中选出3人，由C73=35种选法，若没有女生，即全部为男生，有C43=4种选法，则至少有一名女生的选法有35-4=31种，故答案为：31．【点评】：本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．10.（填空题，0分）设θ∈(−π2，π2)，若函数f(x)=sin(x+θ)+√3cos(x+θ)是奇函数，则θ=___ ．【正确答案】：[1] −π3【解析】：由题意利用两角和差的三角公式花简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性可得θ+ π3 =kπ，k∈Z ，∴由此求得θ的值．【解答】：解：设 θ∈(−π2，π2) ，若函数 f (x )=sin (x +θ)+√3cos (x +θ) =2sin （x+θ+ π3 ）是奇函数，故θ+ π3 =kπ，k∈Z ，∴k=0，θ=- π3 ， 故答案为：- π3 ．【点评】：本题主要考查两角和差的三角公式，三角函数的奇偶性，属于基础题．11.（填空题，0分）已知α：1≤x≤4，β：log 22x-4a•log 4x+1≤0，若α是β成立的必要条件，则实数a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (−∞，54]【解析】：α是β成立的必要条件则{x|log 22x-4a•log 4x+1≤0}⊆{x|1≤x≤4}，利用换元法可得 {t|a ≥12(t +1t )}⊆[0，2] ，结合图象可得实数a 的取值范围．【解答】：解：由题意，{x|log 22x-4a•log 4x +1≤0}⊆{x|1≤x≤4} 令t=log 2x ，则β即t 2-2at+1≤0（*），由题意转化为关于t 的不等式（*）的解集是集合{t|0≤t≤2}的子集， ① 若不等式（*）的解集为∅，此时 △=4a 2-4＜0，解得-1＜a ＜1；② 若不等式（*）的解集不为∅，令f （t ）=t 2-2at+1，对称轴为x=a ， 则 {Δ⩾00⩽a ⩽2f (0)⩾0f (2)⩾0 ，解得 1≤a ≤54 ．综上所述a 的取值范围（-1， 54]， 故答案为：（-1， 54]．【点评】：本题考查了必要条件与集合之间的关系，考查了数形结合求解运算能力，属于中档题．12.（填空题，0分）设m∈R ．若对于任意实数a ，都存在x∈[-2，2]满足|x 2-1|+|x-a|＞m ，则m 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（-∞，5）【解析】：记f （x ）=|x 2-1|+|x-a|，x∈[-2，2]，易得f （x ）max =max{f （-2），f （2）}，然后求出[f （x ）max ]min ，再根据条件得到m 的取值范围．【解答】：解：记f （x ）=|x 2-1|+|x-a|，x∈[-2，2]，易得f （x ）max =max{f （-2），f （2）}=max{3+|2-a|，3+|2+a|}， ∵当a≥0时，3+|2+a|1≥3+|2-a|，当a ＜0时，3+|2+a|＜3+|2-a|，∴ f (x )max ={3+|2+a |=a +5，a ≥03+|2−a |=−a +5，a ＜0 ，∴当a=0时，[f （x ）max ]min =5，∵任意实数a ，都存在x∈[-2，2]满足|x 2-1|+|x-a|＞m ， ∴[f （x ）max ]min =5＞m ， ∴m 的取值范围是（-∞，5）．【点评】：本题考查了绝对值不等式有解问题，考查了分类讨论思想，属中档题． 13.（单选题，0分）已知向量 a ⃗ 、 b ⃗⃗ ，则“ a ⃗=±b ⃗⃗ ”是“ |a ⃗|=|b ⃗⃗| ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 【正确答案】：A【解析】：借助向量的概念，根据充分条件和必要条件的定义即可判断．【解答】：解：“ a ⃗=±b ⃗⃗ ”一定能推出“ |a ⃗|=|b⃗⃗| ”，反之则不能， 例如 a ⃗ =（1，0）， b ⃗⃗ =（0，1），则满足“ |a ⃗|=|b ⃗⃗| ”，不满足“ a ⃗=±b ⃗⃗ ”， 故“ a ⃗=±b ⃗⃗ ”是“ |a ⃗|=|b ⃗⃗| ”的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】：本题考查了向量的概念和充分条件必要条件的概念，属于基础题．14.（单选题，0分）将函数 y =sin (x −π6) 的图象上所有的点向右平移 π4 个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ）A. y =sin (2x −5π12)B. y =sin (x 2+π12) C. y =sin (x 2−5π12)D. y =sin (x 2−5π24) 【正确答案】：C【解析】：根据三角函数图象平移法则，即可写出平移变换后的函数解析式．【解答】：解：函数 y =sin (x −π6) 的图象上所有的点向右平移 π4 个单位长度，得y=sin[（x- π4 ）- π6 ]=sin （x- 5π12 ）的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得y=sin （ 12 x- 5π12 ）的图象；∴函数的解析式为y=sin （ x 2 - 5π12 ）．故选：C ．【点评】：本题考查了三角函数图象平移法则的应用问题，是基础题．15.（单选题，0分）若等比数列{a n }的公比为q （q≠0），则关于x 、y 的二元一次方程组 {a 1x +a 3y =4a 2x +a 4y =−3的解，下列说法中正确的是（ ） A.对任意q∈R （q≠0），方程组都有无穷多组解B.对任意q∈R （q≠0），方程组都无解C.当且仅当 q =−34 时，方程组无解D.当且仅当 q =−34 时，方程组有无穷多组解【正确答案】：D【解析】：对原方程组利用加减消元法得到：0=4q+3，求得q 的值，即可得到正确选项．【解答】：解：由题设知： {a 1x +a 3y =4①a 2x +a 4y =−3②， 由 ① ×q - ② 得：0=4q+3，解得：q=- 34 ，∴方程组有无穷多组解⇔q=- 34 ，故选：D ．【点评】：本题主要考查等比数列与一元二次方程组的综合及充要条件，属于基础题．16.（单选题，0分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，下列两个命题：① 若f（x）、g（x）都不是单调函数，则f（g（x））不是增函数．② 若f（x）、g（x）都是非奇非偶函数，则f（g（x））不是偶函数．则（）A. ① ② 都正确B. ① 正确② 错误C. ① 错误② 正确D. ① ② 都错误【正确答案】：D【解析】：根据题意，对于两个命题，举出反例可得两个命题都错误，即可得答案．【解答】：解：根据题意，对于① ② 两个命题：① 的反例：f(x)=g(x)={1x，x≠00，x=0，则f（g（x））=x，② 的反例：f（x）=（x+1）2，g（x）=x-1，则① ② 都错误，故选：D．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意举出反例进行分析，属于基础题．17.（问答题，0分）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（如图）E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D的中心．（1）求三棱锥A1-D1EF的体积；（2）求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）【正确答案】：【解析】：（1）由已知中棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D的中心，我们利用等体积法，可得三棱锥A1-D1EF的体积等于三棱锥E-D1A1F的体积，分别求出其底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案．（2）取A1D1的中点G，易得FG⊥平面A1B1C1D1，根据线面夹角的定义可得∠GEF即为EF与底面A1B1C1D1所成的角的平面角，解Rt△GEF即可得到EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．【解答】：解：（1）V A1−D1EF =V E−A1D1F=13•1•1=13．（6分）（体积公式正确3分）（2）取A1D1的中点G，则FG⊥平面A1B1C1D1，EF在底面A1B1C1D1的射影为GE，所求的角的大小等于∠GEF的大小，（8分）在Rt△GEF中tan∠GEF=√22，所以EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小是arctan√22．（12分）【点评】：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是利用等体积法，将求三棱锥A1-D1EF的体积转化为求三棱锥E-D1A1F的体积，降低运算的难度，（2）的关键是确定出∠GEF即为EF与底面A1B1C1D1所成的角的平面角．18.（问答题，0分）已知等差数列{a n}中，a2=5，a5=14，设数列{b n}的前n项和为S n，且S n=2b n-1．（1）求a n，b n的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n+b n，求{c n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用等差数列的性质的应用和递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．【解答】：解：（1）等差数列{a n}中，设首项为a1，公差为d，由于a2=5，a5=14，所以{a1+d=5a1+4d=14，解得{a1=2d=3，故a n=2+3（n-1）=3n-1．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=2b n-1 ① ，当n=1时，解得b1=1，当n≥2时，S n-1=2b n-1-1 ② ，① - ② 得：b n=2b n-2b n-1，整理得b n=2b n-1，即b nb n−1=2（常数），所以数列{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以b n=2n−1（首项符合通项），故b n=2n−1．（2）由（1）得：c n=a n+b n=(3n−1)+2n−1，故T n=2+20+5+21+⋯+(3n−1)+2n−1，=（2+5+…+3n-1）+（20+21+…+2n-1），= n(2+3n−1)2+(2n−1)2−1，= 3n2+n2+2n−1．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.（问答题，0分）如图，一艘湖面清运船在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少40米，于是选择沿A→B→C路线清扫．已知清运船的直线行走速度为2米/秒，总共用了100秒钟完成了清扫任务（忽略清运船打捞垃圾及在B处转向所用时间）．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）清运船此次清扫行走路线的夹角∠B是多少？（用反三角函数表示）【正确答案】：【解析】：（1）由题意C 在A 处北偏东30°方向上，可得∠CAB=90°+30°=120°，及|AB|，|AC|与|BC|的关系，在三角形ABC 中由余弦定理可得|BC|的值．（2）由（1）可得|BC|，|AC|，∠BAC=120°，由正弦定理可得sin∠B 的值．【解答】：解：（1）由题意可得|AB|+|BC|=2×100=200，|AC|-|AB|=40，所以|AC|+|BC|=240，|AB|=200-|BC|，|AC|=240-|BC|，因为C 在A 处北偏东30°方向上，所以∠CAB=90°+30°=120°，在三角形ABC 中，∠BAC=120°，由余弦定理可得|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos120°=（200-|BC|）2+（240-|BC|）2+（200-|BC|）（240-|BC|），整理可得|BC|2-660|BC|+72800=0，解得|BC|=140，或|BC|=520（舍），所以B 、C 两处垃圾的距离是140米；（2）由（1）可得|BC|=140，|AC|=240-140=100，∠CAB=120°， 由正弦定理可得 |AC|sin∠B = |BC|sin∠CAB ，所以sin∠B= |AC||BC| •sin120°= 100140 × √32 = 5√314 ，可得∠B=arcsin 5√314 ．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．20.（问答题，0分）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点A ，B ，与x 轴，y 轴分别交于D 、E两点，且满足 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （1）已知直线l 的方程为y=2x-4，抛物线C 的方程为y 2=4x ，求λ1+λ2的值；（2）已知直线l ：x=my+1（m ＞1），椭圆C ： x 22+y 2 =1，求 1λ1+1λ2 的取值范围； （3）已知双曲线C ： x 23−y 2=1，λ1+λ2=6 ，求点D 的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）通过直线l 的方程可得D 、E 坐标，将y=2x-4代入y 2=4x 可得点A 、B 坐标，利用 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算即可； （2）通过联立x=my+1（m ＞1）与 x 22+y 2 =1，利用韦达定理、 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算即得结论；（3）通过设直线l 的方程并与双曲线C 方程联立，利用韦达定理、 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算即可．【解答】：解：（1）将y=2x-4代入y 2=4x ，求得点A （1，-2），B （4，4），又∵D （2，0），E （0，-4），且 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴（1，2）=λ1（1，2）=（λ1，2λ1），即λ1=1，同理由 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得λ2=-2， ∴λ1+λ2=-1；（2）联立x=my+1（m ＞1）与 x 22+y 2 =1，消去x 可得：（2+m 2）y 2+2my-1=0，由韦达定理可得：y 1+y 2=-2m 2+m 2 ，y 1y 2=- 12+m 2 ， ∵D （1，0），E （0，- 1m ），且 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴y 1+ 1m =-λ1y 1，∴λ1=-（1+ 1m •1y 1 ）， 同理由 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 2+ 1m =-λ2y 2，∴λ2=-（1+ 1m •1y 2 ）， ∴λ1+λ2=-（1+ 1m •1y 1 ）-（1+ 1m •1y 2 ）=-2- 1m •y 1+y 2y 1y 2 =-2- 1m •2m =-4，∴ 1λ1+1λ2 =- 4λ1λ2 = 4λ12+4λ1= 4(2+λ2)2−4 ， ∵m ＞1，∴点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可得λ1∈（ √2−2 ，0），∴ 1λ1+1λ2∈（-∞，-2）； （3）设直线l 的方程为：x=my+t ，代入双曲线C 方程，消去x 得：（-3+m 2）y 2+2mty+（t 2-3）=0，由韦达定理可得：y 1+y 2=- 2mt m 2−3 ，y 1y 2=- t 2−3m 2−3 ，∴ 1y 1 + 1y 2=- 2mt t 2−3 ，由 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：-（λ1+λ2）=2+ t m •（ 1y 1 + 1y 2 ）， ∵λ1+λ2=6，∴2+ t m •（- 2mt t 2−3 ）=-6，解得t=±2，∴点D （±2，0）；当直线l 与x 轴重合时，λ1=- a t+a ，λ2= a t−a 或者λ1= a t−a ，λ2=- a t+a ，∴都有λ1+λ2= 2a 2t 2−a 2 =6也满足要求，∴在x 轴上存在定点D （±2，0）．【点评】：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21.（问答题，0分）已知函数y=f （x ），x∈D ，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总存在非零常数T ，恒有f （x+T ）＜P•f （x ）成立，则称函数f （x ）是D 上的P 级递减周期函数，周期为T ．若恒有f （x+T ）=P•f （x ）成立，则称函数f （x ）是D 上的P 级周期函数，周期为T ．（1）已知函数f （x ）=x 2+a 是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知T=1，y=f （x ）是[0，+∞）上P 级周期函数，且y=f （x ）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f （x ）=2x ，求实数P 的取值范围；（3）是否存在非零实数k ，使函数 f (x )=(12)x •coskx 是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你的结论．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得f （x+1）＜2f （x ），即a ＞-x 2+2x+1对x∈[2，+∞）恒成立，求得-x 2+2x+1的最大值，可得结论．（2）由题意可得x∈[n ，n+1）时，f （x ）=P n •2x-n ，n∈N *，P ＞0且P n •2n-n ≥P n-1•2n-（n-1），由此求得p 的范围．（3）根据题意，cosk （x+T ）=T•2T coskx 对一切实数x 恒成立，故T•2T =±1，分类讨论，得出结论．【解答】：解：（1）由题意，函数f（x）=x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数可知：f（x+1）＜2f（x），即（x+1）2+a＜2x2+2a对x∈[2，+∞）恒成立，也即a＞-x2+2x+1对x∈[2，+∞）恒成立，∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2在x∈[2，+∞）上单调递减，∴ (−x2+2x+1)max=−22+2•2+1=1，∴a＞1．（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）=Pf（x-1）=P•2x-1，当x∈[n，n+1）时，f（x）=Pf（x-1）=P2f（x-2）=…=P n f（x-n）=P n•2x-n，即x∈[n，n+1）时，f（x）=P n•2x-n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴P＞0且P n•2n-n≥P n-1•2n-（n-1），即P≥2．（3）由已知，应有f（x+T）=Tf（x）对一切实数x恒成立，即(12)x+T•cosk(x+T)=T•(12)x•coskx对一切实数x恒成立，也即cosk（x+T）=T•2T coskx对一切实数x恒成立，当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kx+kT∈R，于是coskx∈[-1，1]，cos（kx+kT）∈[-1，1]，故要使cosk（x+T）=T•2T coskx恒成立，只有T•2T=±1，① 当T•2T=1时，即2T=1T（*）时，由函数y=2x与y=1x的图象存在交点，故方程（*）有解；此时cos（kx+kT）=coskx恒成立，则kT=2mπ，m∈Z，k=2mπT，m∈Z；② 当T•2T=-1（**）时，类似① 中分析可得，方程（**）无解；综上，存在k=2mπT，m∈Z，符合题意，其中T满足T•2T=1．【点评】：本题主要考查新定义，函数的恒成立问题，函数的周期性，关键是等价转化，属于中档题．。
2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第3章 空间向量及其应用(压轴题专练)练习
第３章 空间向量及其应用压轴题专练一、单选题1．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B C D 2．（2021·上海·模拟预测）设向量(),,0u a b =，(),,1c d υ=，其中22221a b c d +=+=，则下列判断错误的是A ．向量υ与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关）B ．u υ⋅C ．u 与υ夹角的最大值为34π D ．ad bc -的最大值为l3．（2021·上海市复兴高级中学高三期中）已知a ，b ，c 和d 为空间中的4个单位向量，且0a b c ++=，则a d b d c d -+-+-不可能等于A ．3B ．C ．4D ．4．（2021·上海市控江中学高二期中）如图，平面OAB ⊥平面α，OA α⊂，OA AB =，120OAB ∠=︒．平面α内一点P 满足PA PB ⊥，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则tan θ的最大值是（ ）A B ．15C D ．13二、填空题5．（2021·上海交大附中高二开学考试）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.6．（2019·上海交大附中高二期中）已知,,,A B C P 为半径为R 的球面上的四点，其中,,AB AC BC 间的球面距离分别为3R π，2R π，2R π，若OP xOA yOB zOC =++，其中O 为球心，则x y z ++的最大值是__________．7．（2018·上海市张堰中学高二阶段练习）如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,点E 、F 分别是线段11AB C D 、上的动点,点P 是上底面1111D C B A 内一动点,且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离,则当点P 运动时,PE 的最小值是__________.8．（2022·上海·高三专题练习）在空间直角坐标系中，点(,,)P x y z 满足：22216x y z ++=，平面α过点(1,2,3)M ，且平面α的一个法向量(1,1,1)n =，则点P 在平面α上所围成的封闭图形的面积等于__________.9．（2021·上海中学高二期中）已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=且对任意x 、y R ∈，12010200|()||()|1(,),b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈则00b x y ++=______三、解答题10．（2021·上海·华师大二附中高二期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马P ABCD -中，侧棱 PD ⊥底面ABCD ，且 PD CD =，过棱PC 的中点 E ，作EF PB ⊥交 PB 于点F ，连接 ,,,.DE DF BD BE（Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．11．（2022·上海·高三专题练习）如图，在直棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，AB AC ⊥，,,D E F 分别是111,,A B CC BC 的中点．（1）求证：AE DF ⊥；（2）求AE 与平面DEF 所成角的大小及点A 到平面DEF 的距离．12．（2020·上海·高三专题练习）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2．（1）11B D 与1A D 能否垂直？说明理由；（2）当111A B C ∠在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求异面直线1AC 与11A B 所成角的取值范围．13．（2021·上海交大附中高二开学考试）如图，在Rt SOA 中，6OSA π∠=，斜边4SA =，半圆H 的圆心H 在边OS 上，且与SA 相切，现将Rt SOA 绕SO 旋转一周得到一个几何体，点B 为圆锥底面圆周上一点，且90AOB ∠=︒．（1）求球H 的半径；（2）求点O 到平面SAB 的距离；（3）设Р是圆锥的侧面与球的交线上一点，求PO 与平面SAB 所成角正弦值的范围．14．（2018·上海交大附中高二期末）设全体空间向量组成的集合为V ，()123,,a a a a =为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”()()()():2f x f x x x a a x V =-+⋅∈.（1）设()1,0,0u =，()0,0,1v =，若()f u v =，求向量a ；（2）对于V 中的任意两个向量x ，y ，证明：()()f x f y x y ⋅=⋅； （3）对于V 中的任意单位向量x ，求()f x x -的最大值.15．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）如图，ABC 是边长为4的正三角形，点D 是ABC 所在平面外一点，3AD =且AD ⊥平面ABC ，E 为AB 的中点.(1) 求证：CE ⊥平面ABD ；(2) 求直线AD 和平面CDE 所成角的大小； (3) 求点A 到平面BCD 的距离.16．（2021·上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，1AB =，1PA AC ⋅=，()090ABC θθ∠=︒<≤︒.（1）若90θ=︒，E 为PC 的中点，求异面直线PA 与BE 所成角的大小； （2）若90θ=︒，求二面角A PC B --的大小； （3）试求四棱锥P ABCD -的体积V 的取值范围.17．（2021·上海市西南位育中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，04,45AB AD CD CDA +==∠=.（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设AB AP t ==，若直线PB 与平面PCD 所成角大小为30°，求线段AB 的长.18．（2021·上海·华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD 中，E ，F 分别是棱AD 、BC 中点．求：（1）AF 与CE 所成角的余弦值； （2）CE 与底面BCD 所成角的正弦值．19．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）长方体OABC O A B C ''''-中，AB BC a ==，BB b '=，,E F 分别为棱,AB BC 上的动点，且AE BF x == (0)x a ≤≤，（1）当a b =时，求证：直线O B '⊥平面B AC '；（2）当2a b ==，且BEF 的面积取得是大值时，求点B 到平面B EF '的距离； （3）当2,1a b ==时，求从E 点经此长方体表面到达O '点最短距离．20．（2021·上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，满足DE BC ∥且DE 经过ABC 的重心，将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，M 是1A D 的中点，如图所示.（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ； （2）求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）在线段1A B 上是否存在点N （N 不与端点1A 、B 重合），使平面CMN 与平面DEN 垂直?若存在，求出1A N 与BN 的比值；若不存在，请说明理由.21．（2021·上海·格致中学高二期中）如图，ABCD 与ADEF 是两个边长为1的正方形，它们所在的平面互相垂直．（1）求异面直线AE与BD所成角的大小；（2）在线段BD上取点M，在线段AE上取点N，且BMxBD=，ENyEA=，试用x，y来表示线段MN的长度；（3）在（2）的条件下，求MN长度的最小值，并判断当MN最短时，MN是否是异面直线AE与BD的公垂线段?。
2020-2021学年上海市某校高二(上)9月月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年上海市某校高二（上）9月月考数学试卷一.填空题1. 直线y＝x−1的单位法向量是________2. 已知点P(2, −3)，Q(3, 2)，直线ax+y+2=0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是________．3. 直线x cosα+√3y+2＝0的倾斜角范围为________．4. 过点(−10, 10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为________5. 若直线l1:4x+y−4=0，l2:mx+y=0，l3:2x−3my−4=0不能构成三角形，则实数m的值是：________．6. 已知等腰三角形的底边所在直线过点P(2, 1)，两腰所在的直线为x+y−2＝0与7x−y+4＝0，则底边所在的直线方程是________＝-3________+7或________＝________7. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2, 0)，B(0, 4)，若其欧拉线方程为x−y+2=0，则顶点C的坐标是________．8. 已知点P在直线x+2y−1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N(x0, y0)，且y0>x0+2，则y0x0的取值范围为________．9. 已知α，β∈R，直线xsinα+sinβ+ysinα+cosβ=1与xcosα+sinβ+ycosα+cosβ=1的交点在直线y=−x上，则sinα+cosα+sinβ+cosβ=________．10. 已知点A(−1, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割成面积相等的两部分，则b的取值范围是________．二.选择题对于直线l:ax +ay −1a =0(a ≠0)，下列说法不正确的是（ ） A.无论a 如何变化，直线l 的倾斜角的大小不变 B.无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限 C.无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限 D.当a 取不同数值时，可得到一组平行直线唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(−2, 0)，若将军从山脚下的点A(−，0)处出发，河岸线所在直线方程为x +2y ＝3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A. B.5 C. D.已知直线l:x −my +√3m =0上存在点M 满足与两点A(−1, 0)，B(1, 0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是（ ） A.[−√6，√6] B.(−∞,−√66)∪(√66，+∞)C.(−∞,−√66]∪[√66，+∞)D.以上都不对设直线系M:x cos θ+(y −2)sin θ＝1，0≤θ≤2π，对于下列四个命题： ①M 中所有直线均经过一个定点；②存在定点P 不在M 中的任意一条直线上；③对于任意整数n ，n ≥3，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上； ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的是（ ） A.②③ B.①④ C.②③④ D.①②三.解答题已知直线l 的方程为2x −y +1＝0．（1）求过点A(3, 2)，且与直线l 垂直的直线l 1方程；（2）求过l 与l 1的交点B ，且倾斜角是直线l 倾斜角一半的直线l 2的方程．已知直线l1:3x+4y−7＝0与l2:3x+4y+8＝0．（1）若A(x1, y1)、B(x2, y2)两点分别在直线l1、l2上运动，求AB的中点D到原点的最短距离；（2）若M(2, 3)，直线l过点M，且被直线l1、l2截得的线段长为3，求直线l的方程．已知直线l:kx−y+1+2k=0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高二（上）9月月考数学试卷一.填空题1.【答案】（，-）或（-，）【考点】向量的概念与向量的模直线的斜率【解析】先求出直线y＝x−1的一个方向向量，再根据直线的方向向量和法向量的关系，两个向量垂直的性质，求出它的单位法向量．【解答】在直线y＝x−1上取2个点A(3, 3)，B(0, −1)，则直线y＝x−1的一个方向向量为＝(3, 4)．设它的一个法向量为(x, y)，则3x+4y＝0，再结合＝1，求得x＝，y＝-，或x＝-，y＝，2.【答案】[−43，12]【考点】两条直线的交点坐标【解析】分别求出直线MQ、MP的斜率，进而即可求出直线MN的斜率的取值范围．【解答】解：画出图象：∵k MQ=−2−20−3=43，k MP=−2−(−3)0−2=−12．要使直线ax+y+2=0与线段PQ相交，则满足−12≤k MN≤43．∴−12≤−a≤43，∴−43≤a≤12．故答案为[−43，12]．3.【答案】[0,π6]∪[5π6,π)【考点】直线的倾斜角【解析】由于直线x cosα+√3y+2＝0的斜率为√3，设此直线的倾斜角为θ，则0≤θ<π，且−√33≤tanθ≤√33，由此求出θ的围．【解答】由于直线x cosα+√3y+2＝0的斜率为√3，由于−1≤cosα≤1，∴−√33≤√3≤√33．设此直线的倾斜角为θ，则0≤θ<π，故−√33≤tanθ≤√33．∴θ∈[0,π6]∪[5π6,π)．4.【答案】x+y＝0或x+4y−30＝0【考点】直线的截距式方程【解析】分直线经过原点和直线不经过原点两种情况，分别用两点式、截距式求得直线的方程，综合可得结论． 【解答】在x 轴上截距是在y 轴上截距的4倍的直线但它经过原点时，它的方程为 ＝，即x +y ＝0．当它不经过原点时，设它的方程为 ＝1，把点(−10, 10)代入可得＝1，求得a ＝，此时它的方程为 +＝1，即x +4y −30＝0．综上可得，要求的直线方程为x +y ＝0 或x +4y −30＝0， 5. 【答案】4、或−16、或−1、或23【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 两条直线的交点坐标【解析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数m 的值． 【解答】解：①当直线l 1:4x +y −4=0 平行于 l 2:mx +y =0时，m =4． ②当直线l 1:4x +y −4=0 平行于 l 3:2x −3my −4=0时，m =−16， ③当l 2:mx +y =0 平行于 l 3:2x −3my −4=0时，−m =23m ，m 无解． ④当三条直线经过同一个点时，把直线l 1与l 2的交点(44−m , −4m 4−m )代入l 3:2x −3my −4=0得84−m−3m ×−4m 4−m−4=0，解得m =−1或23，综上，满足条件的m 为4、或−16、或−1、或23， 故答案为：4、或−16、或−1、或23． 6. 【答案】y ,x ,y ,x + 【考点】直线的一般式方程与直线的性质 【解析】设等腰三角形的底边所在直线斜率为k ，则＝，化简解得k ，利用点斜式即可得出． 【解答】设等腰三角形的底边所在直线斜率为k ，则由到角公式可得：＝，化为：3k 2+8k −3＝0，解得k ＝，或−3．∴ 底边所在的直线方程是：y −1＝(x −2)或y −1＝−3(x −2)，化为：y ＝−3x +7，或y ＝x +，7.【答案】 (−4, 0) 【考点】待定系数法求直线方程 【解析】设出点C 的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB 的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C 的坐标． 【解答】解：设C(m, n)，由重心坐标公式得， 三角形ABC 的重心为(2+m 3,4+n 3)， 代入欧拉线方程得：2+m 3−4+n 3+2=0，整理得：m −n +4=0 ① AB 的中点为(1, 2)，k AB =4−00−2=−2，AB 的中垂线方程为y −2=12(x −1)，即x −2y +3=0． 联立{x −2y +3=0x −y +2=0，解得{x =−1y =1．∴ △ABC 的外心为(−1, 1)．则(m +1)2+(n −1)2=32+12=10， 整理得：m 2+n 2+2m −2n =8 ②联立①②得：m=−4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是(−4, 0)．故答案为：(−4, 0)．8.【答案】−12<y0x0<−15【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】首先由直线x+2y−1=0与直线x+2y+3=0是平行线，得出PQ的中点N(x0, y0)满足的直线方程；再根据y0>x0+2对应的平面区域进一步限定M的范围；最后结合y0x0的几何意义求出其范围．【解答】解：根据题意作图如下因为PQ中点为N，则点M的坐标满足方程x+2y+1=0，又y0>x0+2，则点N在直线y=x+2的左上部，且由{y=x+2x+2y+1=0得N(−53, 13)，则k ON=−15，并且直线x+2y+1=0的斜率k=−12，而y0x0可视为点N与原点O连线的斜率，故−12<y0x0<−15．9.【答案】【考点】函数与方程的综合运用同角三角函数间的基本关系两条直线的交点坐标根的存在性及根的个数判断【解析】先由已知可设两直线的交点为(x0, −x0)，构造方程x0t+sinβ+−x0t+cosβ=1，且sinα，cosα为方程x 0t+sin β+−xt+cos β=1的两个根，即为方程t 2+(cos β+sin β)t +sin βcos β−x 0(cos β−sin β)=0的两个根．从而得出sin α+cos α+sin β+cos β的值． 【解答】解：由已知可设两直线的交点为(x 0, −x 0)，且sin α，cos α为方程x 0t+sin β+−xt+cos β=1，的两个根， 即为方程t 2+(cos β+sin β)t +sin βcos β−x 0(cos β−sin β)=0的两个根． 因此sin α+cos α=−(sin β+cos β)， 即sin α+cos α+sin β+cos β=0． 故答案为：0． 10. 【答案】 (1−√22，12) 【考点】直线的一般式方程 【解析】 先求得直线y =ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−ba , 0)，由−ba ≤0可得点M 在射线OA 上．求出直线和BC 的交点N 的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M 和点A 重合，求得b =13；②若点M 在点O 和点A 之间，求得 b <12；③若点M 在点A 的左侧，求得b >1−√22，综合起来可得结论． 【解答】解：由题意可得，三角形ABC 的面积为 S =12⋅AB ⋅OC =1，由于直线y =ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−ba , 0)，由−ba ≤0可得点M 在射线OA 上． 设直线和BC 的交点为 N ，则由{y =ax +b x +y =1，可得点N 的坐标为(1−b a+1, a+ba+1)，①若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，则−ba =−1，且a+ba+1=12，解得a =b =13，②若点M 在点O 和点A 之间，则点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即12⋅MB ⋅yN =12，即12⋅(1+b a)⋅a+b a+1=12，解得a =b 21−2b>0，故b <12，③若点M 在点A 的左侧，则−ba <−1，b >a ，设直线y =ax +b 和AC 的交点为P ， 则由{y =ax +b y =x +1求得点P 的坐标为(1−b a−1, a−ba−1)，此时，NP =√(1−ba+1−1−ba−1)2+(a+ba+1−a−ba−1)2=√[−2(1−b)(a+1)(a−1)]2+[2a(b−1)(a+1)(a−1)]2 =√4(1+a 2)(1−b)2(a+1)2(a−1)2=2|1−b||(a+1)(a−1)|√1+a 2，此时，点C(0, 1)到直线y =ax +b 的距离等于√1+a 2，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即12⋅2|1−b||(a+1)(a−1)|√1+a 2√1+a 2=12，化简可得2(1−b)2=|a 2−1|．由于此时 0<b <a <1，∴ 2(1−b)2=|a 2−1|=1−a 2． 两边开方可得√2(1−b)=√1−a 2<1，则1−b <√2，即b >1−√22， 综合以上可得，b =13可以，且b <12，且b >1−√22，即b 的取值范围是(1−√22，12)， 故答案为：(1−√22，12)． 二.选择题【答案】C【考点】直线的一般式方程与直线的性质 【解析】直线l:ax +ay −1a =0(a ≠0)，化为：y =−x +1a 2，根据斜率与在y 轴上的截距的意义即可判断出正误． 【解答】直线l:ax +ay −1a =0(a ≠0)，化为：y =−x +1a 2，可得斜率k =−1，在y 轴上的截距为1a 2>0，因此无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、四象限，直线l 一定不经过第三象限，直线l 的倾斜角的大小不变，当a 取不同数值时，可得到一组平行直线． 【答案】 A【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】设点B(−2, 0)关于直线x +2y ＝3的对称点为B ′(m, n)，根据该直线是BB ′的中垂线可列出关于m 和n 的方程组，解之，再利用两点间距离公式求出|AB ′|即可．【解答】根据题意，作出如下所示的图形，设点B(−2, 0)关于直线x +2y ＝3的对称点为B ′(m, n)，则，解得，∴ B ′(0, 4)， ∴ “将军饮马”的最短总路程为|AB ′|＝＝．【答案】D【考点】直线的斜率【解析】设出M 的坐标，由k MA 与k MB 之积为3得到M 坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于x 的一元二次方程后由判别式大于等于0求得实数m 的取值范围．【解答】解：设M(x, y)，由k MA ⋅k MB =3，得y x+1⋅y x−1=3，即y 2=3x 2−3．联立{x −my +√3m =0y 2=3x 2−3，得(1m 2−3)x 2+2√3m x −6=0． 要使直线l:x −my +√3m =0上存在点M 满足与两点A(−1, 0)，B(1, 0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3， 则△=(2√3m )2+24(1m 2−3)≥0，即m 2≤12． 解得−√22≤m ≤√22． ∴ 实数m 的取值范围是[−√22，√22]． 故选：D ．【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】可令，可得直线系M表示圆x2+(y−2)2＝1的切线的集合，可判断①；对任意θ，存在定点(0, 2)不在直线系M中的任意一条上，可判断②；考虑圆x2+(y−2)2＝1的外切正n边形，可判断③；M中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，可判断④．【解答】由直线系M:x cosθ+(y−2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，可令，消去θ可得x2+(y−2)2＝1，故直线系M表示圆x2+(y−2)2＝1的切线的集合，故①不正确；因为对任意θ，存在定点(0, 2)不在直线系M中的任意一条上，故②正确；由于圆x2+(y−2)2＝1的外切正n边形，所有的边都在直线系M中，故③正确；M中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形ABC和ADE面积不相等，故④不正确．综上，正确的命题是②③．三.解答题【答案】设过点A(3, 2)，且与直线l垂直的直线l1方程为x+2y+m＝0；把点A(3, 2)代入方程可得：3+2×2+m＝0，解得m＝−7．∴要求的直线l1方程为x+2y−7＝0．联立，解得．∴过l与l1的交点B(1, 3)，设要求的直线l2的倾斜角为α，则直线l的倾斜角为2α．∴tan2α＝＝2，(tanα>0)解得tanα＝，∴要求直线l2的方程为：y−3＝(x−1)，化为：y＝x+．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】（1）设过点A(3, 2)，且与直线l垂直的直线l1方程为x+2y+m＝0；把点A(3, 2)代入方程可得m．（2）联立，解得过l与l1的交点B，设要求的直线l2的倾斜角为α，则直线l的倾斜角为2α．由题意可得：tan2α＝＝2，(tanα>0)，解得tanα，利用点斜式即可得出．【解答】设过点A(3, 2)，且与直线l垂直的直线l1方程为x+2y+m＝0；把点A(3, 2)代入方程可得：3+2×2+m＝0，解得m＝−7．∴要求的直线l1方程为x+2y−7＝0．联立，解得．∴过l与l1的交点B(1, 3)，设要求的直线l2的倾斜角为α，则直线l的倾斜角为2α．∴tan2α＝＝2，(tanα>0)解得tanα＝，∴要求直线l2的方程为：y−3＝(x−1)，化为：y＝x+．【答案】设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，则＝，化为：6x+8y−1＝0，可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离＝＝；设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，分别联立：，，解得：，，化为：11k2+24k+4＝0，解得k＝−2，或-．∴直线l的方程为：y＝−2x+7，或y＝-x+．【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】（1）设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，可得：＝，化简即可得出方程．可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离．（2）设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，分别联立：，，解得交点，利用两点之间的距离公式进而得出结论．【解答】设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，则＝，化为：6x+8y−1＝0，可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离＝＝；设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，分别联立：，，解得：，，化为：11k2+24k+4＝0，解得k＝−2，或-．∴直线l的方程为：y＝−2x+7，或y＝-x+．【答案】(1)证明：直线l的方程可化为y=k(x+2)+1，令x+2=0解得x=−2,y=1.故直线l过定点(−2, 1)．(2)解：直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则{k≥0，1+2k≥0，解得k的取值范围是k≥0．(3)解：依题意，直线l在x轴上的截距为−1+2kk，在y轴上的截距为1+2k，∴A(−1+2kk, 0)，B(0, 1+2k)，又−1+2kk<0且1+2k>0，∴k>0，故S=12|OA||OB|=12×1+2kk×(1+2k)=12(4k+1k+4)≥12×(4+4)=4，当且仅当4k=1k ，即k=12时取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x−2y+4=0．【考点】直线恒过定点直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系基本不等式在最值问题中的应用直线的斜截式方程【解析】（1）直线l的方程可化为y=k(x+2)+1，直线l过定点(−2, 1)．（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围．（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值．【解答】(1)证明：直线l的方程可化为y=k(x+2)+1，令x+2=0解得x=−2,y=1.故直线l过定点(−2, 1)．(2)解：直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则{k≥0，1+2k≥0，解得k的取值范围是k≥0(3)解：依题意，直线l在x轴上的截距为−1+2kk，在y轴上的截距为1+2k，∴A(−1+2kk, 0)，B(0, 1+2k)，又−1+2kk<0且1+2k>0，∴k>0，故S=12|OA||OB|=12×1+2kk×(1+2k)=12(4k+1k+4)≥12×(4+4)=4，当且仅当4k=1k ，即k=12时取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x−2y+4=0．。
2020-2021学年上海中学高二(上)期末英语试卷(附答案详解)
2020-2021学年上海中学高二（上）期末英语试卷1.Scientists say it may be five years ______ it is possible to test this mdelcine on humanpatients.（）A. sinceB. untilC. beforeD. when2.There is not the remotest possibility of anyone calling on me, and it is unbelievable that I____________ call on anyone else.（）A. canB. mightC. shouldD. must3.The proposal Father made this morning did sound feasible ______________ everymember of the family ______________ one-third of his or her income in case ofemergency.（）A. which, set asideB. that, set asideC. which, sets asideD. that, sets aside4.He hardly ______________ apologize for any inconvenience caused, since we know it'snot his fault.（）A. don't need toB. needsC. needD. needn't5.In the coming year, we'll see events postponed from 2020，sporting and arts events now_____________ right on top of one another, and new, entirely digital versions ofpreviously face-to-face affairs.（）A. schedulingB. scheduledC. to scheduleD. having been scheduled6.The current population of the plant ______________ fit into the state of Taxes, if Taxeswere settled as thickly as New York City.（）A. couldB. canC. willD. should7.Patients' medical notes went missing two days ago and nobody ______________ themsince.（）A. has seenB. had seenC. sawD. would see8.I'm sure he is keeping something back.I'd rather he ______________ me the truth.（）A. tellsB. toldC. has toldD. had told9. A couple of people voiced objections ______________ the patient, as it might cost morethan expected.（）A. to operate onB. to the doctor's operating onC. for the doctor to operate onD. operating on10.He's such a remarkable tennis player ______________ seems to get the credit he deserves.（）A. thatB. asC. whichD. whom11.Left to itself, the place ______________ into a prosperous civilized community.（）A. was to growB. were to growC. should have grownD. would have grown12.---You ought to have come to the party.We had a wonderful time!---______________，but I had to work overtime, so I guess I left before you got there.（）A. So ought IB. So I oughtC. So I haveD. So I did13.Nowhere else ______________ than in the high-tech industries.（）A. more software is being developedB. is more software being developedC. is being developed more softwareD. being developed more software14. A train ______________ by, shaking the walls of the row houses.（）A. rocketedB. routedC. slippedD. sailed15.Since he became famous, he has been regularly ______________ with demands forsigned photographs from admirers.（）A. identifiedB. puncturedC. bombardedD. spoiled16.Thanks to promising digital connectivity and support for industrial startups,the rise,thefirst in ten months amid the raging pandemic, ______________ the downward slide in the unemployment rate.（）A. revealedB. reflectedC. reversedD. revolutionized17.In the dim light, the candle on the table threw a huge dancing ______________ against thewall.（）A. reflectionB. impressionC. shadeD. shadow18.In some sense, years of economic recession remained an evil that ______________ thewhole national economy.（）A. droveB. touchedC. stressedD. sheltered19.Don't go jumping to conclusions；it would seem ______________ to do more researchbefore we wrap up the project.（）A. conclusiveB. competentC. sensibleD. sensitive20.If a caller claiming to be a colleague asks you for personal data, dial the number on thiscard to ______________ the statements.（）A. check outB. check withC. check inD. check offPhysicians Aren't Immune to Suicide and Depression Medicine is a tough profession. It's both tremendously rewarding and terribly demanding. Physicians are at the front lines of humanity, along with nurses, therapists and more. But being at the front lines can be risky：In a study, nearly 50 percent of doctors reporting that they were burned out.（1）______ physicians, who are on call 24/7，have it the worst, followed closely by physiciansworking in other demanding subspecialties.Studies about physician burnout are important but they typically don't reflect this group's high risk for even more dire mental health outcomes. Past research has also shown that physicians have a higher risk for suicide compared with other professions,（2）______ in the top ten of risky professions. And a recent Lancet study notes that（3）______ ，one physician dies from suicide every day in the U.S.Suicidal tendencies（4）______ the whole community. Health care systems respond with wellness meetings and other interventions but trainees still report feeling uncared for. In fact, several trainees privately tell me that they have to report fewer hours than theyactually work.Research studies（5）______ similar concerns to those I've heard. They report thatworkplace factors contribute to physician suicide "including a large workload,competitiveness of training programs, pressure of patient and service demands and therisk of（6）______ injury if physicians are forced to work in ways that conflict with their ethics and values."This new analysis is a major（7）______ for understanding and appropriately responding to the mental health crisis today. Instead of（8）______ on the past, the alarm has nowbeen sounded：Greater attention must be paid to physician well-being. We wantphysicians to be safe and well, but we also need to help patients by （9）______ good health practices. Fortunately, preventive measures are already underway. Soon, we will hopefully be able to better（10）______ part of what is missing in the current conversation about physician mental health.Trackers on Ice Just because a scientist puts a GPS tracking collar on a wild polar bear does not mean the animal will obligingly keep it on.（1）______ ，these huge collars are purposefully loose.If one becomes annoying,a bear can（2）______ it.But scientists have now found a way to use（3）______ from the discarded（丢弃的）devices."These dropped collars（4）______ would have been considered garbage data," says Natasha Klappstein,a polar bear researcher at the University of Alberta.She and her colleagues instead used（5）______ from such collars, left on sea ice in Canada's Hudson Bay, to track the ice itself.For their study, published in June in The Cryosphere, the researchers identified twenty collars that transmitted movement data in line with ice drift rather than polar bear（6）______ between 2005 and 2015.The resulting records of how melting ice typically drifts in Hudson Bay are unique.There are no easily（7）______ on-the-ground sensors, and satellite observations often cannot accurately capture the motion of small ice sheets.The team（8）______ the discarded collars' movements with widely used ice-drift modeling data from the U.S.National Snow and Ice Data Center（NSIDC）.Collar data indicated that the NSIDC model underestimates the speed at which ice moves around in Hudson Bay-as well as the overall（9）______ of drift.Over the course of several months, the model could drift away from an ice sheet's location by a few hundred kilometers, the researchers say.This means the bears may be working harder,when moving against the direction of the ice, than scientists had（10）______ ："Since we're underestimating the speed of drift, we're likely underestimating the energetic effort of polar bears," says Natasha Klappstein.The research reveals（11）______ insight into how highly mobile ice moves.As melting increases in the coming years, such ice will likely become more（12）______ farther north, in the central Artic.Scientists had known NSIDC data could underestimate drift speeds, but "any time we can find a data（13）______ ，it is a good thing."Plus, such data could improve predictions about how oil spills or other pollutants may（14）______ in seas littered with drifting ice, says Walt Meier, a senior NSIDC research scientist,who was not involved in the study.The findings may even（15）______ future NSIDC models："It's a really nice data set," Meier says."And certainly one we'll take under consideration."21. A. In fact B. In a way C. In addition D. In the end22. A. destroy B. remove C. resist D. reject23. A. scratches B. senses C. samples D. signals24. A. particularly B. relevantly C. intentionally D. potentially25. A. estimates B. subjects C. measurements D. patents26. A. behavior B. habitat C. manner D. motion27. A. flexible B. favorable C. accessible D. changeable28. A. overloaded B. compared C. exchanged D. traced29. A. extent B. damage C. trend D. limit30. A. agreed B. promised C. proved D. assumed31. A. valueless B. superior C. entire D. timely32. A. evident B. unique C. common D. realistic33. A. gap B. scan C. boom D. fit34. A. rise B. spread C. recover D. settle35. A. reverse B. resemble C. influence D. motivateWEach year, backed up by a growing anti-consumerist movement, people are using the holiday season to call on us all to shop less.Driven by concerns about resource exhaustion, over recent years environmentalists have increasingly turned their sights on our "consumer culture". Groups such as The Story of Stuff and Buy Nothing New Day are growing as a movement that increasingly blames all our ills on our desire to shop.We clearly have a growing resource problem. The produces we make, buy, and use are often linked to the destruction of our waterways, biodiversity, climate and the land on which millions of people live. But to blame these issues on Christmas shoppers is misguided, and puts us in the old trap of blaming individuals for what is a systematic problem.While we complain about environmental destruction over Christmas, environmentalists often forget what the holiday season actually means for many people. For most, Christmas isn't an add-on to an already heavy shopping year. In fact, it is likely the only time of year many have the opportunity to spend on friends and family, or even just to buy the necessities needed formodern life.This is particularly, true for Boxing Day, often the target of the strongest derision（嘲弄）by anti-consumerists. While we may laugh at the queues in front of the shops, for many, those sales provide the one chance to buy items they've needed all year. As Leigh Phillips argues, "this is one of the few times of the year that people can even hope to afford such 'luxuries'，the Christmas presents their kids are asking for, or just an appliance that works."Indeed, the richest 7% of people are responsible for 50% of greenhouse gas emissions. This becomes particularly harmful when you take into account that those shopping on Boxing Day are only a small part of our consumption "problem" anyway. Why are environmentalists attacking these individuals, while ignoring such people as Russian billionaire Roman Abramovich, who has his own ￡1.5bn yacht with a missile defence system？Anyway, anti-consumerism has become a movement of wealthy people talking down to the working class about their life choices, while ignoring the real cause of our environmental problems. It is no wonder one is changing their behaviours-or that environmental destruction continues without any reduction in intensity.36.It is indicated in the 1st paragraph that during the holiday season, many consumers______ .A. ignore resource problemsB. are fascinated with presentsC. are encouraged to spend lessD. show great interest in the movement.37.It can be inferred from Paragraphs 2 and 3 that the environmentalist movement ______ .A. has targeted the wrong personsB. has achieved its intended purposesC. has taken environment-friendly measuresD. has benefited both consumers and producers38.The example of Roman Abramovich is used to show environmentalists' ______ .A. madness about life choicesB. discontent with rich lifestyleC. ignorance about the real causeD. disrespect for holiday shoppers39.It can be concluded from the text that telling people not to shop at Christmas is ______ .A. anything less than a responsibilityB. nothing more than a biasC. indicative of environmental awarenessD. unacceptable to ordinary peopleXThis is What a REAL Silver Dollar Looks Like If you trust in the yen, the euro,and the dollar…stop reading.Because this is a story about the sliver coin EVERYBODY wants.You read the headlines.You know that troubled economic times have put global currency on a rollercoaster（过山车）ride.But millions have found a smarter way to build long-term value with high-grade collectable silver.And right now, those people are lining up to secure some of the last 2012 U.S.Mint Silver Eagles,America's Newest Silver Eagle Dollars. Today, you can graduate to the front of that line.Buy now and you can own these brilliant uncirculated Silver Dollars for only ＄38.95!You Can't Afford to LoseWhy are we releasing（发行）this silver dollar for such a remarkable price？Because we want to introduce you to what hundreds of thousands of smart collectors and satisfied customers have known since 1984-New York Mint is the place to find the world's finest high-grade coins.That's why we're offering you this Brilliant Uncirculated 2012 U.S. Silver Eagle for as little as ＄37.45（plus s/h）.Timing is EverythingOur advice？Keep this to yourself.Because the more people who know about this offer, the worse it is for you.Demand for Silver Eagles in 2011 broke records.Experts predict that 2012 Silver Eagles may break them all over again.Due to rapid changes in the price of silver, prices may be higher or lower and are subject to（受……影响）change without notice.Supplies are limited.Call immediately to add these Silver Eagles to your holdings before it's too late. Offer Limited to 40 per household2012 American Silver Eagle CoinYour cost 1-4 Coins ＄38.95 each+s/h5-9 Coins ＄38.45 each+s/h10-19 Coins ＄37.95 each+s/h20-40 Coins ＄37.45 each+s/hNote：＄10 s/h（shipping and handling）for each purchaseFor fastest service, call toll-free 24 hours a day1-888-201-7143New York Mint14101 Southcross Drive W.，Dept.ASE177-04Burnsville, Minnesota 5533740.What is stressed in the ad？______A. The coin is of high quality and worth collecting.B. The coin can be circulated as a currency.C. Limited supplies guarantee a stable price of the coin.D. Demand for the coin is bound to break records.41.If you buy six 2012 U.S.Mint Silver Eagles by post, you should pay at least ______ .A. ＄230.7B. ＄233.7C. ＄240.7D. ＄243.742.The ad strongly encourages people to purchase the silver coins by ______ .A. shopping onlineB. making a phone callC. lining up in front of the storesD. writing to the companyYDr. Donald Sadoway at MIT started his own battery company with the hope of changing the world's energy future.It's a dramatic endorsement（支持）for a technology most people think about only when their smartphone goes dark.But Sadoway isn't alone in boasting about energy storage as a missing link to a cleaner, more efficient, and more equitable energy future. Scientists and engineers have long believed in the promise of batteries to change theworld.Advanced batteries are moving out of specialized markets and creeping into the mainstream, signaling a tipping point for forward-looking technologies such as electric cars and rooftop solar propels.The ubiquitous（无所不在的）battery has already come a long way, of course.For better or worse, batteries make possible our mobile-first.lifestyles, our screen culture, our increasingly globalized world.Still, as impressive as all this is, it may be trivial compared with what comes next.Having already enabled a communications revolution, the battery is now poised to transform just about everything else.The wireless age is expanding to include not just our phones, tablets, and laptops, but also our cars, homes, and even whole communities.In emerging economies, rural communities are bypassing the wires and wooden poles that spread power.Instead, some in Africa and Asia are seeing their first light bulbs illuminated by the power of sunlight stored in batteries. Today, energy storage is a ＄33 billion global industry that generates nearly 100gigawatt-hours of electricity per year.By the end of the decade,it's expected to be worth over 50 billion dollars and generate 160 gigawatt-hours,enough to attract the attention of major companies that might not otherwise be interested in a decidedly pedestrian technology.Even utility companies, which have long viewed batteries and alternative forms of energy as a threat, are learning to embrace the technologies as enabling rather than disrupting.Today's battery breakthroughs come as the world looks to expand modern energy access to the billion or so people without it, while also cutting back on fuels that warm the planet.Those simultaneous challenges appear less overwhelming with increasingly better answers to a centuries-old question：how to make power portable.To be sure, the battery still has a long way to go before the nightly recharge completely replaces the weekly trip to the gas station.A battery-powered world comes with its own risks, too.What happens to the centralized electric grid, which took decades and billions of dollars to build, as more and more people become "prosumers," who produce and consume their own energy on site？No one knows which--if any--battery technology will ultimately dominate, but one thing remains clear.The future of energy is in how we store it.43.What does Dr. Sadoway think of energy storage？______A. It involves the application of sophisticated technology.B. It is the direction energy development should follow.C. It will prove to be a profitable business.D. It is a technology benefiting everyone.44.What is most likely to happen when advanced batteries become widely used？______A. Mobile-first lifestyles will become popular.B. The globalization process will speed up.C. Communications will take more diverse forms.D. The world will undergo revolutionary changes.45.In some rural communities of emerging economies, people have begun to ______ .A. find digital devices simply indispensableB. communicate primarily by mobile phoneC. light their homes with stored solar energyD. distribute power with wires and wooden poles46.What does the author imply about the centralized electric grid？______A. It might become a thing of the past.B. It might turn out to be a "prosumer".C. It will be easier to operate and maintain.D. It will have to be completely transformed.Twilight of the Brands It's a truism of business-book thinking that a company's brand is its "most important asset," more valuable than technology or patents or manufacturing prowess.But brands have never been more fragile.The reason is simple：consumers are supremely well informed and far more likely to investigate the real value of products than to rely on logos.Absolute Value, a new book by Itamar Simonson and Emanuel Rosen showsthat,historically,the rise of brands was a response to an information-poor environment.（1）______ If a car was made by G.M，or a ketchup by Heinz, you assumed that it was pretty good.It was hard to figure out if a new product from an unfamiliar company was reliable or not, so brand loyalty was a way of reducing risk.Today, consumers can read much research about whatever they want to buy.This started back with Consumer Reports,which did objective studies of products.（2）______ It has given ordinary consumers easy access to expert reviews, user reviews, and detailed product data, in an array of categories.A recent study found that eighty per cent of consumers look at online reviews before makingmajor purchases, and a host of studies have logged the strong influence those reviews have on the decisions people make.（3）______ An undesirable product can become a laughingstock （笑柄）in a matter of hours.In the old days, you might buy a Sony television set because you'd owned one before,or because you trusted the brand.Today, such considerations matter much less than reviews on Amazon and Engadget and CNET. As Simonson said, "each product how has to prove itself on its own."It's been argued that in a world where consumers are overwhelmed with information,the information will actually make brands more valuable.Indeed,the role a brand plays in people's lives has become all the more important. But information overload is largely a myth.（4）______ And this has made customer loyalty pretty much a thing of the past.Only twenty-five per cent of American respondents in a recent study said that brand loyalty affected how they shopped.A. But what really weakened the power of brands is the Internet.B. For consumers this is ideal：heightened competition has raised quality and held down prices.C. When consumers had to rely on advertisements and their past experience with a company, brands served as a guarantee for quality.D. A large quantity of consumers fail to get a great deal of information efficiently and effectively.E. The rise of social media has sped up the trend to an astonishing degree.F. Most consumers figure out how to find what they're looking for without spending huge amounts of time online.47. A. A B. B C. C D. D E.E F. F48. A. A B. B C. C D. D E.E F. F49. A. A B. B C. C D. D E.E F. F50. A. A B. B C. C D. D E.E F. F51.Can advertising support a free Internet？The supporters of an open, democratic Internet,funded mainly by advertising, are facing some big questions about how their vision willunfold.A freely accessible digital world,（1）______ websites and social networks are open to all, is the dream of many.But critics wonder if this is desirable or even possible.Brands（2）______ （shift）a huge proportion of their marketing budgets into online advertising in recent years.But while many campaigns hit the spot, others（3）______ be annoying, intrusive and irrelevant.To discuss the future of online advertising,the Guardian teamed up with advertisingtechnology provider AppNexus to run a roundtable discussion.The discussion wasconducted under the Chatham House Rule,where comments were made on condition that they were not attributed to the speakers,（4）______ （encourage）a free-flowing discussion.A key point of argument in the discussion was（5）______ the Internet should befunded.One participant was passionate about the ad-funded model："It is a wonderful tool for accessing information, for consuming information and for the distribution of brands."But another thought that the quality of content on the Internet inevitably suffers "（6）______ you have other resources to fund it." There are fears that ad revenue is insufficient to pay for all the content that is needed for the web."Generally speaking, the ad-funded model puts a downward pressure on the quality of content."The discussion returned to the question：will advertising continue as the main source of funding for the web,（7）______ （fuel）its growth？Digital advertising faces some serious challenges if it is to keep the web free-one of which is concerns over the ethics of tracking people's online behavior（8）______ their permission.The success of online ad campaigns is determined by the data that brands can access about Internet users.How old are they？What are their interests？Are they male or female, single or with children？Much of this data will be collected from cookies（9）______ （download）on to users' computers.Cookie data allows web publishers to track users' online journeys and observe the actions they take on different websites.They can then sift through（筛选）data to identify（10）______ （appropriate）places to run the ads.52.到底是什么让这位住院医生成为医术精湛的外科医生？（it）（汉译英）______53.这位名人如此注重健康，人们不禁惊叹于他的自律。
2020-2021学年高二数学9月周练试题
2020-2021学年高二数学9月周练试题注意事项：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试时间120分钟，满分150分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．等差数列{}中，＝2，＝7，则＝A．10 B．20 C．16 D．122．设集合A＝{x｜0<x<1}，B＝{x｜0<x<3}，那么“m∈A”是“m∈B”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，－4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是A．（x≠0） B．（x≠0）C．（x≠0） D．（x≠0）4．不等式≥0的解集是A． B．C． D．5．在等比数列{}中，若，则的值为A．9 B．1 C．2 D．36．三角形两条边长分别为2和3，其夹角的余弦值是方程2－3x＋1＝0的根，则此三角形周长为A． B． 7 C．5＋ D．5＋27．若实数x、y满足则S＝2x＋y－1的最大值为A．6 B．4 C．3 D．28．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对应的边，∠C＝90°，则的取值范围是A．（1，2） B．（1，） C．（1，] D．[1，]9．在△ABC，若＝＝，则△ABC是A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形10．设定点M（3，）与抛物线＝2x上的点P的距离为，P到抛物线准线l的距为，则＋取最小值时，P点的坐标为A．（0，0） B．（1，） C．（2，2） D．（，－）11．已知、是椭圆（a>b>0）的两个焦点，以线段为边作正三角形M，若边M的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是A． B． C． D．12．空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点坐标为A （3，1，0），B（－1，3，0），若点C满足＝＋，其中，∈R，＋＝1，则点C的轨迹为A．平面 B．直线 C．圆 D．线段第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上相应位置）13．数列{}的通项公式为＝2n－9，n∈N﹡，当前n项和达到最小时，n等于_________________.14．若双曲线的右焦点与抛物线＝12x的焦点重合，则m＝______________．15．在△ABC中,∠A＝60°，b＝1，＝，则＝_______________．16．在下列命题中，①∈R，＋2＋2≤0的否定；②若m>0，则方程＋x－m＝0有实根的逆命题;③渐近线方程为y＝x的双曲线的离心率为；其中真命题的序号是__________________．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．（本小题满分10分）给定两个命题，p：对任意实数x都有＋ax＋1>0恒成立；q：函数y＝（a>0且a≠1）为增函数，若p假q真，求实数a的取值范围．18．（本小题满分12分）在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA．（Ⅰ）求边长AB的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．19．（本小题满分12分）某公园计划建造一个室内面积为800m2的矩形花卉温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道。
上海中学2020-2021学年高二上学期数学周测卷01(答案简答)
2020-2021学年上海中学高二上数学周测卷01 2020.09一. 填空题1. 已知单位向量a ⃗、b ⃗⃗的不共线，实数x 、y 满足(2x −y)a ⃗+4b⃗⃗=5a ⃗⃗⃗⃗⃗+(x −y)b ⃗⃗，则x y += 2. 已知a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(0,3)，b ⃗⃗在a ⃗上的投影为3. 若由矩阵2222a x a a y +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示x 、y 的二元一次方程组无解，则实数a =4. 设点P 分有向线段12P P 所成的比为(0)λλ≠，则点1P 分2P P 所成的比为5. 在△ABC 中，“AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗”是“|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|”的 条件 6. 043102A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，201132B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则AB = 7. 已知向量a ⃗=(2,3)，b⃗⃗=(6,λ)，若a 、b 的夹角为锐角，则λ的取值范围 8. 已知△ABC 是边长为4等边三角形，点D 、P 是△ABC 内部两点，且满足AD =1()4AB AC +，18AP AD BC =+，则△ADP 的面积为9. 直角三角形△CDE ，在斜边DE 上三等分点A 、B 满足DA AB BE ==，则||||CA CB 的取值范围为 10. O 、A 、B 不共线，已知OA a =，OB b =，向量13OC a =，34OD b =，且AD 与BC 交于E 点，用a ⃗、b ⃗⃗表示OE =11. 已知O 是△ABC 的外接圆圆心，A 、B 、C 为△ABC 的内角，若OA x AB y AC =+，用B ∠、C ∠表示x 、y ，则AO =二. 选择题12. 已知(1,2)a =，(2,3)b x =-，若向量a ⃗∥b⃗⃗，则x =（ ） A. 3 B.34 C. 3- D. 34-13. 在△ABC 中，3AB BC ⋅=，面积3]2S ∈，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗夹角的取值范围是（ ） A. [3,44]ππ B. [,64]ππ C. [,63]ππ D. [,32]ππ 14. 设12,,n A A A ⋅⋅⋅（4n ≥）是平面所给定的n 个不同点，使得120n MA MA MA ++⋅⋅⋅+=成立的点M 的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. n D. 无数多个15. 动点P 满足1[(1)(1)(12)]3OP OA OB OC λλλ=-+-++，λ∈R ，动点P 一定会过△ABC 的（ ）A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心三. 解答题16. 若向量a ⃗、b⃗⃗是夹角为120°的单位向量. （1）若向量2a ⃗−b ⃗⃗与向量a ⃗+kb ⃗⃗垂直，求k ；（2）求向量2a ⃗+b ⃗⃗与向量a ⃗−b⃗⃗的夹角.17. 过直角△ABC 内心G 的直线与直角边（包括端点）OA 、OB 分别交于P 、Q ，若OP =hOA ，OQ kOB =.（1）用OA 、OB 表示OG ；（2）求()k f h =的函数关系.18. 对于一组向量12,,n a a a ⋅⋅⋅（*n ∈N ），令12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，如果存在P a （P ∈{1,2,3,}n ⋅⋅⋅）使得||||P P P a S a ≥-，那么称P a 是该向量组的“h 向量”.（1）设(,)a n x n =+（*n ∈N ），若P a 是该向量组123,,a a a 的“h 向量”，求实数x 的取值范围；（2）若123,,a a a 均是向量组123,,a a a 的“h 向量”，其中1(sin ,cos )a x x =，2(2cos ,a x =2sin )x ，求3a ；2020-2021学年上海中学高二上数学周测卷01参考答案一. 填空题1. 12.3. 2-4. 1λλ+- 5. 充要6. 131044-⎛⎫⎪-⎝⎭ 7. (4,9)(9,)-+∞ 8. 4 9. 1(,2)2 10. 1293a b + 11. 22sin sin cos()sin sin cos()2sin sin ()2sin sin ()C B B C B C B C AB AC C B C B B C +++++++ 二. 选择题12. D 13. B 14. B 15. C三. 解答题16.（1）54k =；（2）3π. 17.（1）22(1)(1)22OG OA OB =-+-；（2）k =18.（1）[2,0]x ∈-；（2）(sin 2cos ,cos 2sin )x x x x ----.。
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案
上海中学高二期末数学试卷2021.01一. 填空题 1. 若复数3i12ia ++（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 2. 函数()i i n n f x -=⋅（n ∈N ，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为3. 已知方程223212x y λλ+=---+表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是4. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为5. 若点(3,1)是抛物线2y px =（0p >）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p =6. 把参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则AB 的中点到y 轴的距离是8. 已知复数z 满足条件||1z =，那么|i |z +的最大值为9. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是 10. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒， 则12||||PF PF ⋅=11. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近 线方程为12. 直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ， 则22||||MP MQ +的最小值为二. 选择题1. 已知椭圆2222122x y a b +=（0a b >>）与双曲线22221x y a b-=有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ ）A.B. 12C. D.2. 已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则||AB 等于 （ ）A. 3B. 4C. 32D. 423. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在M 、B 之间，过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，当l 变化时P 的轨迹是（ ）A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分 4. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为4a的圆 在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线， 其方程为222333x y a +=，给出下列四个结论，正确的有（ ）（1）星形线的参数方程为：33cos sin x a ty a t⎧=⎨=⎩（t 为参数）； （2）若5a =，则星形线及其内部包含33个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）（3）曲线11221x y +=在星形线22331x y +=的内部（包含边界）； （4）设星形线围成的面积为S ，则22(,)4S a a π∈；A. （1）（3）（4）B.（1）（2）（3）（4）C. （2）（3）D.（1）（2）（3）三. 解答题1. 已知复数1i z =+，求实数a 、b ，使得22(2)az bz a z +=+.2. 已知关于x 的复系数一元二次方程243i 0x zx +++=（z ∈C ）有实数根，求复数||z 的最小值.3. 已知直线1y kx =+（k ∈R ）与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？4. 已知关于t 的一元二次方程2(2i)2()i 0t t xy x y ++++-=（,x y ∈R ）. （1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程； （2）求方程的实根的取值范围.5. 已知抛物线2:2C y px =（0p >）过点(2,4)T -. （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）已知点(4,0)A ，过点(4,0)B -的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P 、Q ，求||||PB BQ 的值.6. 已知椭圆22:142x y C +=，点(4,1)P 为椭圆外一点.（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围； （2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满 足||||||||AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上.参考答案一. 填空题1. 6-2. {1}3. 21λ-<<-4. 221927x y -=5. 26. 222x y +=7.548. 49. 0k =，11b -<< 10. 4 11. y = 12. 10二. 选择题1. D2. C3. B4. D三. 解答题1. 2a =-，1b =-或4a =-，2b =.2. min ||z =3. k =k =4.（1）点(,)x y 的轨迹方程为22(1)(1)2x y -++=；（2）[4,0]-.5.（1）28y x =，4；（2）1.6.（1）11[,]1612-；（2）证明略，点Q 总在直线220x y +-=上.。
2020-2021上海中国中学高二数学上期中试题带答案
2020-2021上海中国中学高二数学上期中试题带答案一、选择题1．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π2．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．493．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )A．45,75,15B．45,45,45C．45,60,30D．30,90,154．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（）A．13B．14C．15D．165．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（ ） A ．111B ．211C ．355D ．4556．下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．457．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7109．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．410．下列说法正确的是（ ）A ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越小B ．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变C ．若2K 的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小D ．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r = 11．已知函数()cos3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．16702C ．671D ．67212．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题13．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.14．某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是______．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得101i i x =∑＝80， 101i i y =∑＝20， 110i i i x y =∑＝184， 1210i i x =∑＝720.则家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程为__________． 附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中， 1221ni i i n i i x y nxyb x nx==-=-∑∑，a ＝y －b x ，其中x ， y 为样本平均值．线性回归方程也可写为ˆy＝ˆb x ＋ˆa . 16．在1270x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),x y ，则满足230x y -≥的概率是__________．17．如图程序框图的输出结果是_________.18．如果执行下面的程序框图，那么输出的s ＝______________.19．甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 23 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食的积极性，从2014年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对2014~2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额x （单位：亿元）与该地区粮食产量y （单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 补贴额x /亿元 9 10 12 11 8 粮食产量y /万亿2526313721（1）请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆybx a =+； （2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴7亿元，请根据（1）中所得到的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.参考公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 22．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.23．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量为y （万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：x 元25 30 38 45 52 销量为y （万份）7.57.16.05.64.8由上表，知x 与y 有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为10.0ˆybx =-．（ⅰ）求参数b 的值；（ⅱ）若把回归方程10.0ˆybx =-当作y 与x 的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入=每份保单的保费⨯销量．24．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班 乙班 合计优秀不优秀合计参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考数据：()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.82825．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[)[)[)[)[)50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中x 的值及续驶里程在[)200,300的车辆数；（2）若从续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率.26．为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565:岁的人群中抽取了n 人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA 级旅游景区？”，统计结果如下表所示： 组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [)1525， a0.5第2组 [)2535， 18x第3组 [)3545， b 0.9 第4组 [)4555， 9 0.36第5组[)5565，3y（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．C解析：C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .3．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 4．C解析：C【分析】 【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.5．C解析：C 【解析】 【分析】利用列举法求得基本事件的总数，再得出选取两个不同的数且和等于30，所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共有11个， 其中随机选取两个不同的数且和等于30的有30=7+23=11+19=13+17，共有3组，所以所求概率为2113355C =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解. 【详解】 由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能， 因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =， 故选：C 【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．B【解析】 【分析】由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断A ；由方差的性质可判断B ；由的随机变量2K 的观测值的大小可判断C ；由相关系数r 的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断D .【详解】对于A ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数2R 越大，故A 错误；对于B ，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故B 正确；对于C ，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误；对于D ，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r =，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=， ∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ． 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n ＝30n ﹣19，由401≤30n ﹣21≤755，求得正整数n 的个数，即可得出结论． 【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为a n ＝11+（n ﹣1）30＝30n ﹣19， 由401≤30n ﹣19≤755，n 为正整数可得14≤n ≤25， ∴做问卷C 的人数为25﹣14+1＝12， 故选C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．二、填空题13．2【解析】【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识解析：2 【解析】 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可. 【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.14．16【解析】高一高二高三抽取的人数比例为所以高三抽取的人数是解析：16 【解析】高一、高二、高三抽取的人数比例为300300400=334：：：：， 所以高三抽取的人数是440=16.3+3+4⨯ 15．y ＝03x －04【解析】由题意知又由此得故所求回归方程为故答案为解析：y ＝0.3x －0.4【解析】由题意知1118012010,8,21010n n i i i i n x x y y n n =========∑∑， 又222172010880nii xnx =-=-⨯=∑，1184108224ni i i x y nxy =-=-⨯⨯=∑，由此得240.3ˆˆˆ,20.380.480bay bx ===-=-⨯=-，故所求回归方程为ˆy 0.30.4x =-，故答案为ˆy0.30.4x =-. 16．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示由解得即A(32）且故作出直线2x-3y=0则2x- 解析：29【解析】分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由127x y x y -=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=⎩，即A (3,2）.且()70,,0,12B C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故172713224ABC S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭V . 作出直线2x -3y =0.则2x -3y ≥0所以表示区域为△OAC ， 即不等式2x -3y ≥0所表示的区领为△OAC ，面积为131322AOC S =⨯⨯=V ， 所以满足230x y -≥的概率是为3222794AOCABCS p S V V ===.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.17．【解析】执行程序框图第一次循环；第二次循环；第三次循环；第十五次循环；退出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆 解析：15S =【解析】执行程序框图，第一次循环，1S = ；第二次循环，2S = ；第三次循环，3S = ；... 第十五次循环，15S = ；退出循环，输出15S =，故答案为15.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.18．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可解析：46 【解析】第一次执行程序2,2(11)4i s ==⨯+=，执行第二次程序3,2(41)10i s ==⨯+=，执行第三次程序4,2(101)22i s ==⨯+=，执行第四次程序5,2(221)46i s ==⨯+=，符合判断框条件，退出循环，输出46s =，故填46．点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题。
2021年高二上学期9月阶段练习数学试题 含答案
2021年高二上学期9月阶段练习数学试题含答案1．直线与直线平行，则实数的值为 .2、已知点P（0，-1），点Q在直线x-y+1=0上，若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0，则点Q的坐标是3．已知点在圆外，则直线与圆．4、如果直线交于M、N两点，且M、N关于直线对称，则k-m的值为5．已知O是坐标原点，点A，若点M为平面区域上的一个动点，则的取值范围是 .6．已知动圆恒过一个定点,这个定点的坐标是__ __ ．7．一直线过点M（－3，），且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8，则此直线方程为 .8、若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为9、若圆上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r范围是；10．光线沿被轴反射后，与以为圆心的圆相切，则该圆的方程为．11．直线：上恰有两个点A、B到点（2，３）的距离为2，则线段ＡＢ的长为 .12．如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是．13．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为 .14．已知圆与直线相交于，两点，为坐标原点，若，则的值为．15、已知的一条内角平分线CD的方程为，两个顶点为，求第三个顶点的坐标。
16．已知圆C：，直线L：。
①求证：对，直线L与圆C总有两个不同的交点；②求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.15.已知圆，设点是圆上的动点。
①求P点到直线距离的最值，并求对应P点坐标；②分别求的最值.17. 如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的方程．19.如图，已知⊙O：和定点，由⊙O外一点向⊙O引切线PQ，Q为切点，且满足．(Ⅰ) 求实数之间满足的关系式；(Ⅱ) 求线段PQ(1920．已知圆M的方程，直线的方程为，点P在直线上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A,B.（1）若,试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为，过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.参考答案：1．；2．；3．相交；4．4；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12. ；13．4；14．3.15、解：由题意可知：关于直线的对称点在直线上，设对称点为则：解得：，所以再由得点的坐标为（.16．①直线L：恒过圆内的点. ②最长：，最短：）17.①P点到直线距离的最大值为，最小值为，对应的P点坐标分别为②max min max min 2222max min 3(),()0;()2)24[(3)(4)]623)(4)]62y yy x y x xx x y x y ==-=-+-=-+++=++++=-18.【解析】（I ）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．．-----------------3分 （II ）由解得点的坐标为， ------------4分因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心． -----------------6分又．从而矩形外接圆的方程为．----------------------9分 （3）19. （本小题满分16分）解:( Ⅰ)连接,∵， …………………2分 ∴,即. ………………………6分 （Ⅱ）设，∴∴当⊥时，的长度最小，即==，∴. ………………………………………11分20. 解：（1）设，由题可知，所以，解之得：故所求点的坐标为或． ……………4分（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以， 解得，或，……………8分故所求直线的方程为：或．……………10分（3）设，的中点，因为是圆的切线所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为：……………12分化简得：，此式是关于的恒等式，故解得或……………15分所以经过三点的圆必过定点或.……………16分21096 5268 剨24306 5EF2 廲31004 791C 礜34130 8552 蕒26008 6598 斘{22074 563A 嘺Q24753 60B1 悱35022 88CE 裎~RO1。
2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第2章圆锥曲线(单元基础卷)解析
第2章圆锥曲线（单元基础卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（2022·上海·高三专题练习）双曲线2213x y -=的焦点到渐近线的距离为__________．【答案】1 【解析】 【分析】根据方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离公式求得. 【详解】双曲线的焦点为(±2，0),渐近线方程为y =,即0x ±=， 1,= 故答案为：1.2．（2022·上海·高三专题练习）若点(2021,)P t 在抛物线24y x =上，点F 为该抛物线的焦点，则PF 的值为_______. 【答案】2022 【解析】由抛物线的方程求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义可得PF 等于点(2021,)P t 到准线的距离即可求解. 【详解】由24y x =可得其焦点()1,0F ，准线为1x =-， 因为点(2021,)P t 在抛物线24y x =上，所以点(2021,)P t 到焦点的距离等于到准线1x =-的距离，所以()202112022PF =--=， 故答案为：2022.3．（2022·上海·高三专题练习）椭圆2231x y +=的短轴长为___________【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准形式，进而求出答案． 【详解】由题可得椭圆的标准方程为22113y x +=， 则21a =即1a =，213b =即b =,4．（2022·上海·高三专题练习）经过点()2,4的抛物线2y ax =焦点坐标是__________.【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】把点(2, 4)代入抛物线方程可得a ,进而求出抛物线的标准方程，结合抛物线的性质，进而得到焦点坐标. 【详解】抛物线2y ax =经过点()2,4， 1a,∴抛物线标准方程为2x y =, ∴抛物线焦点坐标为1(0,)4故答案为: 1(0,)45．（2022·上海·高三专题练习）已知P 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点P 到抛物线C 的焦点的距离为7，到y 轴的距离为5，则p =___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的定义计算． 【详解】 由题意5722P p pPF x =+=+=，解得4p =． 故答案为：4．6．（2022·上海·高三专题练习）已知1F ，2F 是椭圆22:195x y C +=的左､右焦点，点P 在C上，则12PF F △的周长为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据椭圆的定义计算． 【详解】由椭圆方程知3a =，2c ==，P 在椭圆上， 所以121222232210PF PF F F a c ++=+=⨯+⨯=． 故答案为：10．7．（2021·上海黄浦·高二期末）若圆C 与x 轴和y 轴均相切，且过点（1，2），则圆C 的半径长为______． 【答案】1或5． 【解析】 【分析】根据题意可知，圆心在y ＝x 或y ＝﹣x 上，分别设圆心为（a ，a ），（a ，﹣a ），写出圆的方程并代入（1，2），进行计算即可. 【详解】根据题意，若圆C 与x 轴和y 轴均相切，则圆心C 在直线y ＝x 或y ＝﹣x 上， 当圆心C 在y ＝x 上时，设圆心C 的坐标为（a ，a ）， 此时圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝a 2，将（1，2）代入可得：（1﹣a ）2+（2﹣a ）2＝a 2，即a 2﹣6a +5＝0，解可得a ＝1或5， 此时圆的半径为1或5，当圆心C 在y ＝﹣x 上时，设圆心C 的坐标为（a ，﹣a ）， 此时圆的方程为（x ﹣a ）2+（y +a ）2＝a 2，将（1，2）代入可得：（1﹣a ）2+（2+a ）2＝a 2，即a 2+2a +5＝0，a 无解 综上所述，圆的半径为1或5. 故答案为：1或5．8．（2021·上海·高二专题练习）直线:l y x b =+与曲线:C y =则b 的取值范围是_______________________.【答案】⎡⎣ 【解析】 【分析】首先确定直线和曲线的图形特征，然后考查临界值即可确定实数b 的取值范围． 【详解】解：如图所示，y =1为半径的半圆，y x b =+是一个斜率为1的直线，要使两图有两个交点，连接()1,0A -和()0,1B ，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值， 当直线l 与AB 重合时，1b =； 当直线l 与半圆相切时，圆心(0,0)到y x b =+的距离1d r ==，1=，解得：b =b =所以b 的取值范围是⎡⎣．故答案为：⎡⎣9．（2021·上海市吴淞中学高三期中）设F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，OPOF=，则△OPF 的面积为___________.【答案】52##2.5 【解析】 【分析】由题意画出图形，不妨设F 为双曲线22:145x y C 的右焦点，P 为第一象限点，求出P 点坐标，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，不妨设F 为双曲线22:145x y C 的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，24a =，25b =，则3c =， 则以O 为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y +=． 联立22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得53P ⎫⎪⎝⎭，1553232OPFS ∴=⨯⨯=．故答案为：52．10．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）设直线系M ：cos sin 1(02)x y θθθπ+=≤≤，对于下列三个命题：①M 中所有直线均与一个定圆相切； ②M 中所有直线均经过一个定点； ③存在点P 不在M 中的任一条直线上．其中真命题的序号为____________（写出所有真命题的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】①求得定圆方程，由此来判断正确性；利用特殊值来证明②错误、③正确. 【详解】圆221x y +=，圆心到直线cos sin 1x θy θ+=的距离为1，也即直线cos sin 1x θy θ+=与圆221x y +=相切，①正确.0θ=，直线方程为1x =；θπ=，直线方程为1x =-.直线1x =与直线1x =-平行，没有交点，所以②错误.由于0cos 0sin 01θθ⨯+⨯=≠，所以存在点()0,0P 不在M 中的任一条直线上. 所以③正确. 故答案为：①③11．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）与圆222212:(1)(2)4,:(1)(2)4C x y C x y -+-=++-=同时相切的直线有___________条.【答案】2 【解析】 【分析】判断两个圆的位置关系，由此确定正确答案. 【详解】圆1C 的圆心为()1,2，半径为2； 圆2C 的圆心为()1,2-，半径为2；圆心距()1220,4C C =∈，所以两圆相交，公切线有2条. 故答案为：212．（2022·上海·高考真题）已知双曲线()22210x y a a-=>，双曲线上右支上有任意两点()111,P x y 、()222,P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是________【答案】1a ≥ 【解析】 【分析】设点()322,P x y -，可得出130OP OP ⋅>，分析得出101a<≤，即可解得a 的取值范围. 【详解】设点()322,P x y -，则1312120OP OP x x y y ⋅=->，则13OP OP =或13POP ∠为锐角， 如下图所示：设点M 为双曲线的渐近线1y x a =在第一象限内的一点， 设点N 为双曲线的渐近线1y x a=-在第四象限内的一点， 由题意可知，02MON π<∠≤，则10tan 14a π<≤=，解得1a ≥. 故答案为：1a ≥.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（2022·上海·高三专题练习）设抛物线的焦点坐标为()0,2-，准线方程为2y =，则该抛物线的方程为（ ）A ．212x y =B ．212=-x yC ．28x y =D ．28x y【答案】D 【解析】 【分析】由焦点位置确定抛物线方程为()220x py p =->，根据准线可求得p ，从而得到结果.【详解】抛物线焦点在y 轴负半轴，∴可设抛物线方程为()220x py p =->，则22p=，解得：4p =，∴抛物线方程为：28x y .故选：D.14．（2022·上海·高三专题练习）已知实数x ，y 满足2246120x y x y ++-+=，则x 的最大值是（ ） A ．3 B ．2 C ．-1 D ．-3【答案】C 【解析】 【分析】首先确定圆的圆心和半径，再确定x 的最大值. 【详解】方程变形为()()22231x y ++-=，圆心()2,3-，半径1r =，则x 的最大值是211-+=-.故选：C15．（2022·上海·高三专题练习）关于x ，y 的方程221x my +=，给出以下命题； ①当0m <时，方程表示双曲线；②当0m =时，方程表示抛物线；③当01m <<时，方程表示椭圆；④当1m =时，方程表示等轴双曲线；⑤当1m 时，方程表示椭圆． 其中，真命题的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线方程，讨论m 的取值确定对应曲线的类别即可. 【详解】当0m <时，方程表示双曲线；当0m =时，方程表示两条垂直于x 轴的直线； 当01m <<时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =时，方程表示圆；当1m 时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆． ∴①③⑤正确. 故答案为：B16．（2020·上海·闵行中学高二期末）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245MF F ︒=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】作1OA F M ⊥于A ，21F B F M ⊥于B ，根据圆的切线的性质可得OA a =，22F B BM a ==，可以求得12F B b =，又点M 在双曲线上，所以12222F M F M a b a -=+-=，整理得b ，从而得出结论． 【详解】作1OA F M ⊥于A ，21F B F M ⊥于B ，因为1F M 与圆222x y a +=相切，1245F MF ∠=︒， 所以OA a =，22F B BM a ==， 因为122F F c =，所以12F B b ===，又点M 在双曲线上，所以12222F M F M a b a -=+-=，整理得b ，所以双曲线的渐近线方程为y =． 故选：A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k 米的区域，如图，1l 、2l 分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北45︒方向，以点O 为坐标原点，1l 、2l 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点()100,400M ）和平安检查点（即点()400,700N ）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.（1）求出k ，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线:10000l x y -+=）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.【答案】（1）300k =，222200x y +=，()()222400400300x y -+-=；（2）()300,700-【解析】（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径. （2）可先求圆心O 关于:10000l x y -+=的对称点P ,找到直线PC 与l 的交点，即为所求. 【详解】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：222200x y +=李叔叔家在王阿姨家的东偏北45︒方向，设李叔叔家所在的位置为(),C c c ，离()100,400M 和()400,700N 距离相等故()()()()2222100400400700c c c c -+-=-+- 故()()22100700c c -=- 即100700c c -=- 故400c =300k ==故李叔叔负责区域边界的曲线方程为()()222400400300x y -+-= （2）圆心O 关于:10000l x y -+=的对称点为(),P a b 则有1000022ab -+=，1ba=- 解得1000,1000a b =-=1000400310004007PC k -==---34000:77PC y x =-+联立:10000l x y -+=与34000:77PC y x =-+，可得交点为()300,700- 王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点()300,700-碰面，距离之和最近. 【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．18．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ､2F ，点()0,2M 是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线1y x =+被椭圆C 截得的弦长. 【答案】（1）22184x y +=；（2. 【解析】 【分析】（1）由上顶点坐标可得b ；利用勾股定理可构造关于,a c 的方程，结合椭圆,,a b c 关系可求得2a ，由此可得椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，利用弦长公式可直接求得结果. 【详解】（1）()0,2M 是椭圆的上顶点，2b ∴=；由椭圆对称性知：12MF MF =，又122MF MF a +=，12MF MF a ∴==， 12F MF 是等腰直角三角形，2224a a c ∴+=，即2212c a =，2222142b ac a ∴=-==，解得：28a =；∴椭圆C 的方程为：22184x y +=；（2）设直线1y x =+与椭圆C 交于()()1122,,,A x y B x y 两点，由221184y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：23460x x +-=，则1672880∆=+=>，1243x x ∴+=-，122x x =-，3AB ∴=，即直线1y x =+被椭圆C截得的弦长为3. 19．（2022·上海·华师大二附中高二期末）已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 交抛物线于不同的A 、B 两点.(1)若直线l 的方程为1y x =-，求线段AB 的长；(2)若直线l 经过点P (-1，0)，点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：A '、F 、B 三点共线. 【答案】(1)8； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，应用韦达定理及弦长公式求线段AB 的长；（2）设l 为1x ky =-，联立抛物线由韦达定理可得4A B y y k +=，4A B y y =，应用两点式判断BF FA k k '-是否为0即可证结论.(1)由题设，联立直线与抛物线方程可得2(1)4x x -=，则2610x x -+=，2641320∆=-⨯=>， ∴6A B x x +=，1A B x x =，所以||||8A B AB x x -==. (2)由题设，(1,0)F ，又直线l 经过点P (-1,0)，此时直线斜率必存在且不为0，可设l 为1x ky =-， 联立抛物线得：2440y ky -+=，则4A B y y k +=，4A B y y =， 又(,)A A A x y '-，故12A A FA A A y y k x ky '-==---，而12B BBF B B y y k x ky ==--， 所以()()()2222880222441A B A B B A BF FA B A A B A B ky y y y y y k k k k ky ky k y y k y y k '-+--=+===---++-， 所以A '、F 、B 三点共线.20．（2022·上海市实验学校高三开学考试）已知椭圆22163x y +=上有两点(2,1)P -及(2,1)Q -，直线:l y kx b =+与椭圆交于A 、B 两点，与线段PQ 交于点C （异于P 、Q ）． (1)当1k =且12PC CQ =时，求直线l 的方程； (2)当2k =时，求四边形PAQB 面积的取值范围；(3)记直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率依次为1k 、2k 、3k 、4k ，当0b ≠且线段AB 的中点M在直线y x =-上时，计算12k k ⋅的值，并证明：2212342+>k k k k ．【答案】(1)10x y -+=(2)209⎡⎢⎣⎦(3)1212k k =，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设(),C a b ，根据12PC CQ =求解；（2）设直线l 的方程是2y x b =+，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得 AB ，再由直线l 与线段PQ 相交，得到b 的范围，然后由AB PQ ⊥，由12S AB PQ =⋅求解； （3）设直线l 的方程是y kx b =+，与椭圆方程联立，由AB 的中点坐标是 1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由1212022x x y y +++=，结合韦达定理解得 12k =求解.(1)解：设(),C a b ，则()()2,1,2,1PC a b CQ a b =+-=---， 因为12PC CQ =，所以()()12221112a a b b ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩，解得2313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以直线l 的方程是1233y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即10x y -+=；(2)设直线l 的方程是2y x b =+，与椭圆方程联立得 2298260x bx b ++-=， 则AB因为线l 与线段PQ 相交， 所以0<，解得 55b -<<， 因为 1,22PQ l k k =-=，则 1PQ l k k ⋅=-，所以 AB PQ ⊥，且PQ =所以四边形PAQB的面积是12S AB PQ AB =⋅= 所以以四边形PAQB的面积的范围是209⎡⎢⎣⎦； (3)设直线l 的方程是y kx b =+，与椭圆方程联立得 ()222124260k x kbx b +++-=，设 ()()1122,,,A x y B x y 则 2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-⋅=-++， 线段AB 的中点坐标是 1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意得 1212022x x y y +++=， 即 12120x x y y +++=，因为 1122,y kx b y kx b =+=+，所以 ()()12120k x x b +++=，即 ()2412012kb k b k ⎛⎫+-+= ⎪+⎝⎭， 即()2212012b k k -=+，解得 0b =（舍去）或 12k =， 当 12k =时， 212124412,33b b x x x x -+=-⋅=-，()()()2121212121212121111114222242b x x x x b y y k k x x x x x x -⋅+++---⋅=⋅==++⋅+++，因为()()()2121212341212121111114222242b x x x x b y y k k x x x x x x +⋅++++++⋅=⋅==--⋅-++，因为12k k ≠，由基本不等式得2212342k k k k +>⋅成立.21．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）已知曲线C 上任一点P 与点(1,0)F 的距离与它到直线10x +=的距离相等． (1)求曲线C 的方程；(2)求过定点(0,1)M ，且与曲线C 只有一个公共点的直线的方程． 【答案】(1)24y x = (2)0x =，1y =，1y x =+ 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得；（2）分类讨论，一是与对称轴平行的直线，一是抛物线的切线（切线有斜率存在与不存在两种）． (1)所题意曲线C 是以F 为焦点，直线10x +=为准线的抛物线，12p=，2p =， 所以抛物线方程是24y x =； (2)易知直线1y =与抛物线C 只有一个交点，直线0x =与抛物线相切了，只有一个公共点， 设直线1y kx =+(0)k ≠与抛物线相切，214y kx y x =+⎧⎨=⎩，2104k y y -+=，10k ∆=-=，1k =，切线方程为1y x =+，所以所求直线方程为：0x =，1y =，1y x =+．。
2020-2021学年上海市某校高二(上)月考数学试卷(9月份)(有答案)
2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（9月份）一.填空题1. 函数y ＝sin x +cos x 在x ＝θ处取得最大值，则sin θ＝________．2. 已知等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝5，那么数列{a n }的前8项和S 8＝________．3. 已知单位向量，的夹角为60∘，则|+|＝________．4. 若增广矩阵为的线性方程组的解为，则实数m ＝________．5. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B =π3，C =π4，a ＝2，则△ABC 的面积为________．6. 在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，P 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点，O 为BC 边的中点，则的值为________．7. 已知，，α、β均为锐角，则sin (α−β)＝________．8. 圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →+AC →=2AO →，且|OA →|=|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．9. 方程cos πx ＝|log 2|x −1||所有解的和为________．10. 设函数f(x)＝2sin (ωx +φ)(ω>0，）的图象关于直线对称，它的周期为π，则下列说法正确是________.（填写序号）①f(x)的图象过点；②f(x)在上单调递减；③f(x)的一个对称中心是；④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝2sin 2x 的图象．11. 如图所示，正方形上连接等腰直角三角形，直角三角形上再连接正方形…，如此无限重复下去，设正方形面积为S 1、S 2、S 3、…、S n 、…，三角形面积为T 1、T 2、T 3、…、T n 、…，当第一个正方形的边长为2时，则这些正方形和三角形的面积的总和为________．12. 在平面凸四边形ABCD 中，AB ＝2，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且MN ＝1，若，MN →⋅(AD →−BC →)=32，则AB ¯⋅CD ¯的值为________．二.选择题 已知，，且 // ，那么k ＝（ ）A.10B.5C.D.−10已知tan α＝3，则sin （）⋅cos （）的值为（ ）A. B.- C. D.-在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM →=λAB →+μAC →，则λ+μ=( )A.1 2B.−12C.2D.−2在平面直角坐标系中，定义(n∈N∗)为点P n(x n, y n)到点P n+1(x n+1, y n+1)的变换，我们把它称为点变换，已知P1(1, 0)，P2(x2, y2)，P3(x3, y3)，…是经过点变换得到一组无穷点列，设a n＝•，则满足不等式a1+a2+...+a n>2020最小正整数n的值为（）A.9B.10C.11D.12三.解答题解关于x、y的方程组，请对方程组解的情况进行讨论．已知，且向量与不共线．（1）若与的夹角为45∘，求；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝(n+1)a n+n(n+1)．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．已知，函数．（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在[−10, 10]内的零点的个数；（3）将f(x)的图象先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中ω>0，得到g(x)的图象，若g(x)在上恒满足，求ω所有可能取值．对于数列{x n}，若存在m∈N∗，使得x2m−k＝x k对任意1≤k≤2m−1(k∈N∗)都成立，则称数列{x n}为“m−折叠数列”．（1）若a n＝|25n−200|(n∈N∗)，b n＝n2−2019n−1(n∈N∗)，判断数列{a n}、{b n}是否是“m−折叠数列”，如果是，指出m的值；如果不是，请说明理由；（2）若x n＝q n(n∈N∗)，求所有的实数q，使得数列{x n}是3−折叠数列；（3）给定常数p∈N∗，是否存在数列{x n}，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，且{x n}的各项中恰有p+1个不同的值，证明你的结论．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（9月份）一.填空题1.【答案】【考点】三角函数的最值【解析】将函数化简，由正弦函数的最大值可得θ的值，进而求出其正弦值．【解答】y＝sin x+cos x＝sin(x+），所以当x+＝+2kπ，k∈Z，即x＝+2kπ，k∈Z时函数值最大，所以sinθ＝sin x＝sin（+2kπ)＝，k∈Z，2.【答案】64【考点】等差数列的前n项和【解析】由已知求得等差数列的公差，再由等差数列的前n项和公式求解S8．【解答】在等差数列{a n}中，由a1＝1，a3＝5，得d＝，∴．3.【答案】【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】直接根据向量数量积的公式进行计算即可．【解答】∵单位向量，的夹角为60∘，∴|+|2＝2+2+2•＝1+1+2×＝1+1+1＝3，即|+|＝，4.【答案】1【考点】几种特殊的矩阵变换【解析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组即可．【解答】∵增广矩阵为的二元线性方程组的解为，即方程组的解为，∴解得m＝1，5.【答案】3−√3【考点】正弦定理【解析】由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，利用正弦定理可求b的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】由题可知sin A=sin(B+C)=sin(π3+π4)=sinπ3cosπ4+cosπ3sinπ4=√32×√22+12×√22=√6+√24，由正弦定理可得asin A =bsin B，所以：b=asin A ×sin B=√6+√24√32=3√2−√6，可得：S=12ab sin C=12×2×(3√2−√6)×√22=3−√3．6.【答案】6【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】画出图形，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积即可． 【解答】建立如图所示的坐标系，A(0, 0)，B(0, 4)，C(2, 0)， P 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点，O 为BC 边的中点，可得P （，），O(1, 2)，＝（，）⋅(1, 2)＝＝6．7. 【答案】【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由α，β均为锐角，可判断α+β，2α为钝角，则可得sin (α+β)，sin 2α的大小，再把α−β＝2α−(α+β)，再按照正弦的差角公式展开即可求解． 【解答】因为α，β均为锐角，且cos (α+β)＝-，cos 2α＝-，则sin (α+β)＝，sin 2α＝，则sin (α−β)＝sin [2α−(α+β)]＝sin 2αcos (α+β)−cos 2αsin (α+β)＝＝，8.【答案】 3【考点】 向量的投影 平面向量数量积 【解析】由△ABC 外接圆圆心O 满足AO →=12(AB →+AC →)，可得点O 在BC 上．由于|AO →|=|AC →|．可得△OAC 是等边三角形．可得|AB →|=|BC →|sin 60∘，进而得到向量BA →在BC →方向上的投影=|BA →|cos 30∘． 【解答】解：△ABC 外接圆半径等于2，其圆心O 满足AO →=12(AB →+AC →)，∴ 点O 在BC 上，∴ ∠BAC =90∘． ∵ |AO →|=|AC →|． ∴ △OAC 是等边三角形． ∴ ∠ACB =60∘．∴ |AB →|=|BC →|sin 60∘=2√3．∴ 向量BA →在BC →方向上的投影=|BA →|cos 30∘=2√3×√32=3．故答案为：3． 9.【答案】 4【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】利用已知条件作出函数f(x)＝cos πx 与g(x)＝|log 2|x −1||的图象，由对称性可得答案． 【解答】又f(x)＝cos πx 的周期为2，如图所示：两图象都关于直线x ＝1对称，且共有A 、B 、C 、D4个交点， 由中点坐标公式可得：x A +x D ＝2，x B +x C ＝2， 故所有交点的横坐标之和为4，即方程cos πx ＝|log 2|x −1||所有解的和为4． 故答案为：4．10.【答案】 ③【考点】命题的真假判断与应用 【解析】运用三角函数的周期公式可得ω，由对称轴方程可得φ，则f(x)＝2sin(2x+），结合特殊角的函数值和对称中心、单调区间和图象平移，可判断正确结论．【解答】由周期为π，可得ω＝＝＝2，由f(x)的图象关于直线对称，可得2•+φ＝kπ+，k∈Z，即φ＝kπ−，k∈Z，由0<φ<，可取k＝1，φ＝π−＝，即f(x)＝2sin(2x+），由f(0)＝2sin＝1，故①错误；由x∈，可得2x+∈[，]，f(x)在上先增后减，故②错误；由f（）＝2sin（+）＝0，可得f(x)的一个对称中心是；由f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝2sin(2x−+）即y＝2sin(2x−）的图象，故④错误．11.【答案】10【考点】数列的极限【解析】正方形的面积构成以4为首项，以为公比的等比数列，等腰直角三角形的面积构成以1为首项，为公比的等比数列，再由无穷递缩等比数列的所有项和公式求解．【解答】依题意，正方形的面积S 1，S 2，S 3，…，构成以4为首项，以为公比的等比数列，，其各项和S ＝；三角形的面积为T 1，T 2，T 3，…，构成以1为首项，以为公比的等比数列，，其各项和T ＝．∴ 这些正方形和三角形的面积的总和为S +T ＝10． 12. 【答案】12【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值． 【解答】取BD 的中点O ，连接OM ，ON ， 可得MN →=MO →+ON →=12(AB →+DC →)，平方可得MN →2=14(AB →2+DC →2+2AB →⋅DC →)=14(4+DC →2+2AB →⋅DC →)＝1，即有AB ¯⋅CD ¯=12DC →2， MN →⋅(AD →−BC →)=32，即有12(AB →+DC →)⋅(AB →+BD →−BC →) =12(AB →+DC →)⋅(AB →+CD →)=12(AB →2−CD →2)=12(4−CD →2)=32， 解得CD →2＝1，即有AB ¯⋅CD ¯=12， 二.选择题 【答案】D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据 // 即可得出4⋅5+2k ＝0，然后解出k 即可． 【解答】 ∵ // ，∴ 4⋅5+2k ＝0，解得k ＝−10． 【答案】 B【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可． 【解答】tan α＝3，则sin （）⋅cos （）＝−sin αcos α＝＝-＝-．【答案】 B【考点】平面向量的基本定理 【解析】设BD →=kBC →，用AB →，AC →表示出BM →求出λ，μ的值即可得出答案． 【解答】解：设BD →=kBC →=kAC →−kAB →， ∴ BM →=12(BA →+BD →) =−12AB →+k 2AC →−k 2AB →=(−12−k2)AB →+k 2AC →. ∴ λ=−12−k2，μ=k2. ∴ λ+μ=−12． 故选B . 【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据条件即可求得点P1，P2到P7的坐标，从而可以求出向量，，……，的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，a5＝16，从而便可看出数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求出前n项和为2n−1，从而可以得到2n>2021，这样便可判断出最小正整数n的值．【解答】由条件得，P1(1, 0)，P2(1, 1)，P3(0, 2)，P4(−2, 2)，P5(−4, 0)，P6(−4, −4)，P7(0, −8)…；∴a1＝•＝(0, 1)⋅(−1, 1)＝1，a2＝•＝(−1, 1)⋅(−2, 0)＝2a3＝•＝(−2, 0)⋅(−2, −2)＝4，a4＝•＝(−2, −2)⋅(0, −4)＝8，a5＝•＝(0, −4)⋅(4, −4)＝16，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列；∴a1+a2+...+a n＝＝2n−1，∴由a1+a2+...+a n>2020得，2n−1>2020；∴2n>2020；∵210＝1024，211＝2048，∴满足a1+a2+...+a n>2020的最小正整数n＝11，三.解答题【答案】根据题意，方程组的解，D＝＝3−m(m−2)＝−(m−3)(m+1)，D x＝＝−18+2m2＝2(m−3)(m+3)，D y＝＝−2m+6(m−2)＝4m−12＝4(m−3)，所以，当m＝−1时，D＝0，Dx≠0，方程组无解；当m＝3时，D＝Dx＝Dy＝0，方程组有无穷多个解；当m≠−1且m≠3时，D≠0，方程组有唯一的解；【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】分情况m＝−1、m＝3，m≠−1，m≠3三种情形进行讨论，计算即可．【解答】根据题意，方程组的解，D＝＝3−m(m−2)＝−(m−3)(m+1)，D x＝＝−18+2m2＝2(m−3)(m+3)，D y＝＝−2m+6(m−2)＝4m−12＝4(m−3)，所以，当m＝−1时，D＝0，Dx≠0，方程组无解；当m＝3时，D＝Dx＝Dy＝0，方程组有无穷多个解；当m≠−1且m≠3时，D≠0，方程组有唯一的解；【答案】∵与的夹角为45∘，∴＝＝．∴＝-＝2+．∵向量与的夹角为钝角，∴（）•（，且不能反向共线，∴＝k2−1<4，解得−1<k<1∴实数k的取值范围是(−5, 1)(k≠0)．【考点】平面向量数量积的性质及其运算数量积表示两个向量的夹角【解析】（1）由与的夹角为45∘，可得＝cos45∘．展开＝-，代入即可得出．（2）由向量与的夹角为钝角，可得（）•（）<0，且不能反向共线，即可得出．【解答】∵与的夹角为45∘，∴＝＝．∴＝-＝2+．∵向量与的夹角为钝角，∴（）•（，且不能反向共线，∴＝k2−1<4，解得−1<k<1∴实数k的取值范围是(−5, 1)(k≠0)．【答案】证明：由na n+1＝(n+1)a n+n(n+1)，得，即，∵a1＝1，∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；由（1）得，，∴，则＝n⋅3n．∴，，＝，∴．【考点】数列的求和等差数列的性质【解析】（1）由na n+1＝(n+1)a n+n(n+1)，得，即，则数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；（2）由（1）得，，可得，代入，利用错位相减法求数列{b n}的前n项和S n．【解答】证明：由na n+1＝(n+1)a n+n(n+1)，得，即，∵a1＝1，∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；由（1）得，，∴，则＝n⋅3n．∴，，＝，∴．【答案】，函数．可得：＝，∴f(x)的最小正周期为π．令f(x)＝0得，∴，∴，x∈[−10, 10]，当x＝kπ时，k＝−3，−2，…，2，3，有7个值，当时，k＝−3，−2，…，1，2，有6个值，即：f(x)在[−10, 10]内的零点的个数为13．依题意，将f(x)的图象先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中ω>0，得到g(x)的图象，可得，是g(x)在上的最大值，当时，，下面分情况讨论：①当，即时，g(x)在上单调递增，符合题意，②当，即时，为了满足题意，必须保证，∴，∴，综上：ω所有可取的值为或．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后利用周期公式求解即可．（2）令f(x)＝0，求解三角函数值，结合范围推出结果即可．（3）利用函数的图象变换化简函数的解析式，利用函数的最值列出不等式求解即可．【解答】，函数．可得：＝，∴f(x)的最小正周期为π．令f(x)＝0得，∴，∴，x∈[−10, 10]，当x＝kπ时，k＝−3，−2，…，2，3，有7个值，当时，k＝−3，−2，…，1，2，有6个值，即：f(x)在[−10, 10]内的零点的个数为13．依题意，将f(x)的图象先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中ω>0，得到g(x)的图象，可得，是g(x)在上的最大值，当时，，下面分情况讨论：①当，即时，g(x)在上单调递增，符合题意，②当，即时，为了满足题意，必须保证，∴，∴，综上：ω所有可取的值为或．【答案】存在m∈N∗，使得x2m−k＝x k对任意1≤k≤2m−1(k∈N∗)都成立，知：{x n}在1≤n≤2m−1内关于n＝m对称即可，①a n＝|25n−200|(n∈N∗)＝，(n∈N∗)，有{a n}在1≤n≤2×8−1＝15内关于n＝8对称，故m＝8，即是8−折叠数列；②b n＝n2−2019n−1(n∈N∗)有{b n}在1≤n≤2018内关于n＝对称，m＝∉N∗，即不是“m−折叠数列”；要使通项公式为x n＝q n(n∈N∗)的数列{x n}是3−折叠数列，只需要（）6−k＝q k，当q＝0时，x n＝0，显然成立，当q≠0时，由q6−k＝q k，得q6−2k＝1，q2（3−k）＝1，(k∈{1, 2, 3, 4, 5})，所以q＝1或q＝−1，综上q＝0，q＝1或q＝−1．对给定的p∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，故x n有多条对称轴，其中x＝pm都是数列{x n}的对称轴，设xn＝cos x，由x＝mπ(m∈N∗)得对称轴为x＝pm，且x n的周期为2p，满足给定常数p∈N∗，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，x n是周期函数，周期为2p，在(1, 2p]这个周期内，x＝p为对称轴，故x n∈(1, 2p]对应函数值的个数与x n∈[p, 2p]对应的函数值个数相等，即x n∈[p, 2p]时，x n∈[π, 2π]，所以{x n}在x n∈[p, 2p]上单调递增，因为p∈N∗，所以x n各项中共有p+1个不同的值，综上，给定常数p∈N∗，存在数列{x n}，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，且{x n}的各项中恰有p+1个不同的值．【考点】数列的应用【解析】（1）结合给的定义列出关于m的方程，判断方程是否有解即，可判断数列{a n}，{b n}是否是“m−折叠数列”；（2）根据题中所给定义，列方程得到6−k＝q k，再讨论q是否为0可得出结果；（3）只需列举出例子即可证明，结合定义，数列{x n}的图象有无数条对称轴，可联想三角函数求解，设x n＝cos x，结合三角函数单调性与周期性即可证明．【解答】存在m∈N∗，使得x2m−k＝x k对任意1≤k≤2m−1(k∈N∗)都成立，知：{x n}在1≤n≤2m−1内关于n＝m对称即可，①a n＝|25n−200|(n∈N∗)＝，(n∈N∗)，有{a n}在1≤n≤2×8−1＝15内关于n＝8对称，故m＝8，即是8−折叠数列；②b n＝n2−2019n−1(n∈N∗)有{b n}在1≤n≤2018内关于n＝对称，m＝∉N∗，即不是“m−折叠数列”；要使通项公式为x n＝q n(n∈N∗)的数列{x n}是3−折叠数列，只需要（）6−k＝q k，当q＝0时，x n＝0，显然成立，当q≠0时，由q6−k＝q k，得q6−2k＝1，q2（3−k）＝1，(k∈{1, 2, 3, 4, 5})，所以q＝1或q＝−1，综上q＝0，q＝1或q＝−1．对给定的p∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，故x n有多条对称轴，其中x＝pm都是数列{x n}的对称轴，设xn＝cos x，由x＝mπ(m∈N∗)得对称轴为x＝pm，且x n的周期为2p，满足给定常数p∈N∗，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，x n是周期函数，周期为2p，在(1, 2p]这个周期内，x＝p为对称轴，故x n∈(1, 2p]对应函数值的个数与x n∈[p, 2p]对应的函数值个数相等，即x n∈[p, 2p]时，x n∈[π, 2π]，所以{x n}在x n∈[p, 2p]上单调递增，因为p∈N∗，所以x n各项中共有p+1个不同的值，综上，给定常数p∈N∗，存在数列{x n}，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，且{x n}的各项中恰有p+1个不同的值．。
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2020-2021学年上海市上海中学高二上学期9月周练数学02
2020.09
一. 填空题
1. 直线43100x y -+=的单位方向向量是
2. 线性方程组21202x z x y y z -=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
的增广矩阵是
3. 向量(1,1)a =-在向量(3,4)b =方向上的投影为
4. 已知(2,1)a =，(,2)b m m =-，且a 与b 的夹角为锐角，则m 的取值范围是
5. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为
6. 已知279315A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，314026B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，6411103C -
⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，则AB AC +=
7. 直线sec020x +=的倾斜角的范围是
8. 直线1:(cos361)sin3610l x y ︒-+︒-=，2:sin144(1cos144)20l x y ︒-+︒+=，则1l 、2l 夹角平分线的斜率是
9. 过点(3,4)-且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是
10. 一9行9列的矩阵11121921222991
92
99a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭中的元素是由互不相等的81个数组成，若每行 9个数与每列9个数按表中顺序分别构成等差数列，且正中间一个数559a =，则矩阵中所有 元素之和为 11. 已知000ax y z x ay z x y az ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
有非零解，那么a =
12. △ABC 中，若2
20AB BC AB ⋅+=，且2b =，一个内角为30°，则△ABC 的面积为
13. △ABC 三个顶点的坐标(1,2)A 、(4,1)B 、(4,4)C ，D 是AB 边上一点，DE ∥BC ， 交AC 于点E ，若DE 把△ABC 分为面积相等的两部分，则点D 的坐标是
14. 已知点P 在直线320x y +-=上，点Q 在直线360x y ++=上，线段PQ 的中点为 00(,)M x y ，且002y x <+，则00
y x 的取值范围为 15. 定义域为[,]a b 的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，(,)M x y 是图像上任意一点，
其中(1)[,]x a b a b λλ=+-∈，已知向量(1)ON OA OB λλ=+-，若不等式||MN k ≤恒成
立，则称函数()f x 在[,]a b 上“k 阶线性近似”，若函数1
y x x =-在[1,2]上“k 阶线性近
似”，则实数k 的取值范围为
二. 选择题
16. 已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=和三个命题：① 1l ∥2l ⇔
1
11222
A B C A B C =≠；② 1212120l l A A B B ⊥⇔+=；③ 2222A B C l -=⇔过定点；其中正确
的命题的个数是（ ）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
17. 过点(1,3)作直线l ，若l 经过点(,0)a 和(0,)b 且*,a b ∈N ，则可作出这样直线l 的条数为（ ）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 多于3
18. 以下向量中，能成为直线方程101
21011
x y =的一个法向量的是（ ）
A . (1,2)n =-
B . (2,1)n =-
C . (1,2)n =--
D . (2,1)n =
19. 行列式1
3
1()72456321
x
x -中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，1()f x +的零
点属于区间（ ）
A . 2(,1)3
B . 12(,)23
C . 11(,)32
D . 1
(0,)3
三. 解答题
20. 直线121:10101
01x y l a -=-的方向向量与221
3
:01013
01
x y l a b -=+的法向量平行，
,a b ∈R ，求||ab 的最小值.
21. 用行列式解下列关于x 、y 、z 的三元一次方程组，并对解的情况进行讨论：2
1
ax y z a x ay z a x y az ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩.
参考答案
一. 填空题 1. 3
4
(,)55或3
4
(,)55-- 2. 201112000112--
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 3. 15- 4. 2(,4)(4,)3+∞
5. 8-
6. 11110417⎛⎫
⎪⎝⎭ 7. 5[,)(,]6226π
π
π
π
8. 1
9. 10x y ++=或430x y += 10. 729
11. 1或2-
12. 1 13. 1,2 14. 1(,)(0,)3-∞-
+∞ 15. 3
[)2-+∞
二. 选择题
16. B 17. B 18. A 19. B
三. 解答题
20. 2.
21. 当2a =-时，原方程组无解；当1a =时，原方程组有无数解；当2a ≠-且1a ≠时， 2
(1)2a x a +=+，12y a =+，1
2a z a +=-+。