高考数学一轮复习第七章立体几何第三节空间点直线平面之间的位置关系学案文含解析新人教A版

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高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书第7章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系Word版含解析

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第三节空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲传真 ] 1.理解空间直线、平面地点关系的定义 .2.认识能够作为推理依据的公义和定理 .3.能运用公义、定理和已获取的结论证明一些空间地点关系的简单命题.1.平面的基天性质(1)公义 1:假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.(2)公义 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.(3)公义 3:假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.空间点、直线、平面之间的地点关系3.平行公义 (公义 4)和等角定理平行公义:平行于同一条直线的两条直线相互平行.等角定理:空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4.异面直线所成的角(1)定义:设 a ,b 是两条异面直线, 经过空间中任一点 O 作直线 a ′∥ a ,b ′ ∥ b ,把 a ′与 b ′所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角.π(2)范围: 0,2 .1.(思虑辨析 )判断以下结论的正误. (正确的打“√”,错误的打“×” )(1)两个平面 α,β有一个公共点 A ,就说 α, β订交于过 A 点的随意一条直线.()(2)两两订交的三条直线最多能够确立三个平面.() (3)假如两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.()(4)若直线 a 不平行于平面 α,且 a?α,则 α内的全部直线与 a 异面. ()[答案 ](1)× (2)√ (3)× (4)× . 教材改编 )如图 7-3-1 所示,在正方体 1 1 1 1 中,E ,F 分别是2 ( ABCD-A B C DAB ,AD 的中点,则异面直线 B C 与 EF 所成的角的大小为 ( )1图 7-3-1A.30° B.45 °C.60° D.90 °C[连结B1D1,D1C,则B1D1∥EF,故∠D1B1C 为所求的角,又 B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C= 60°.]3.在以下命题中,不是公义的是()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上全部的点都在此平面内D.假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线A[A不是公义,是个常用的结论,需经过推理论证;B,C,D是平面的基天性质公义.]线4.(2016 ·东高考山 )已知直线 a, b 分别在两个不一样的平面a 和直线b 订交”是“平面α和平面β订交”的()α,β内,则“直A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既不充足也不用要条件A[由题意知a?α,b?β,若a,b订交,则a,b有公共点,进而α,β有公共点,可得出α,β订交;反之,若α,β订交,则 a,b 的地点关系可能为平行、订交或异面.所以“直线 a 和直线 b 订交”是“平面α和平面β订交”的充足不必需条件.应选 A.]5.若直线 a⊥b,且直线 a∥平面α,则直线 b 与平面α的地点关系是 ________.b 与α订交或 b? α或 b∥α平面的基天性质如图 7-3-2,正方体 ABCD -A1B1C1D1中,E,F 分别是 AB 和 AA1的中点.求证:图 7-3-2(1)E, C, D1,F 四点共面;(2)CE,D1 F,DA 三线共点.【导学号: 01772249】[证明 ](1)如图,连结 EF, CD1,A1B.∵E, F 分别是 AB,AA1的中点,∴EF∥BA1.2 分又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F 四点共面 .5 分(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE 与 D1F 必订交,设交点为P,则由 P∈直线CE,CE? 平面 ABCD,得 P∈平面ABCD.8 分同理 P∈平面ADD 1A1 .又平面 ABCD∩平面 ADD1A1= DA,∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA 三线共点 .12 分[规律方法 ] 1.证明线共面或点共面的常用方法:(1)直接法:证明直线平行或订交,进而证明线共面.(2)归入平面法:先确立一个平面,再证明相关点、线在此平面内.(3)协助平面法:先证明相关的点、线确立平面α,再证明其他元素确立平面β,最后证明平面α,β重合.2.证明点共线问题的常用方法:(1)基天性质法:一般转变为证明这些点是某两个平面的公共点,再依据基天性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)归入直线法:选择此中两点确立一条直线,而后证明其他点也在该直线上.[变式训练 1]如图 7-3-3 所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形, BC 綊1,BE綊1,2AD2FAG, H 分别为 FA,FD 的中点.图 7-3-3(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形;(2)C, D,F,E 四点能否共面?为何?1[解](1)证明:由已知 FG=GA,FH=HD,得 GH 綊2AD.2 分1又 BC 綊2AD,∴GH 綊 BC,∴四边形 BCHG 是平行四边形 .5 分(2)C, D,F,E 四点共面,原因以下:1由 BE 綊2AF,G 为 FA 的中点知 BE 綊 GF,∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴ EF∥ BG.8 分由(1)知 BG∥CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面.又 D∈FH,∴C,D,F,E 四点共面 .12 分空间直线的地点关系(1)(2015 广·东高考 )若直线 l1和 l 2是异面直线, l1在平面α内,l2在平面β内, l 是平面α与平面β的交线,则以下命题正确的选项是 ()【导学号: 01772250】A.l 与 l1, l2都不订交B.l 与 l 1, l2都订交C.l 至多与 l1,l 2中的一条订交D.l 起码与 l 1,l 2中的一条订交(2)(2017 郑·州模拟 )在图 7-3-4 中,G,H,M ,N 分别是正三棱柱的极点或所在棱的中点,则表示直线 GH,MN 是异面直线的图形有 ________(填上全部正确答案的序号 ).①②③④图 7-3-4(1)D(2)②④ [(1) 由直线 l 1和 l2是异面直线可知l1与 l 2不平行,故 l1,l 2中起码有一条与 l 订交.(2)图①中,直线GH∥MN ;图②中, G,H,N 三点共面,但M?平面 GHN,所以直线 GH 与 MN 异面;图③中,连结MG,GM ∥HN,所以 GH 与 MN 共面;图④中, G, M,N 共面,但 H?平面 GMN,所以 GH 与 MN 异面,所以在图②④中, GH 与 MN 异面. ][规律方法 ] 1.异面直线的判断方法:(1)反证法:先假定两条直线不是异面直线,即两条直线平行或订交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,进而否认假定,一定两条直线异面.(2)定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线.2.点、线、面地点关系的判断,要注意几何模型的选用,常借助正方体为模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的地点关系.[变式训练 2] (2017 ·烟台质检 )a, b, c 表示不一样的直线, M 表示平面,给出四个命题:①若 a∥M,b∥M,则 a∥b 或 a,b 订交或 a,b 异面;②若 b? M,a∥b,则 a∥M;③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥ b;④若 a⊥ M,b⊥M,则 a∥b.此中正确的为 ()A.①④C.③④B.②③D.①②A[关于①,当a∥M,b∥M时,则a与b平行、订交或异面,①为真命题.②中, b? M,a∥b,则 a∥M 或 a? M,②为假命题.命题③中, a 与 b 订交、平行或异面,③为假命题.由线面垂直的性质,命题④为真命题,所以①④为真命题. ]异面直线所成的角(1)如图 7-3-5,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1= 2AB=2,则异面直线A1B 与 AD1所成角的余弦值为()图 7-3-512A.5B.534C.5D.5(2)(2016 全·国卷Ⅰ )平面α过正方体1 1 1 1 的极点A,α∥平面ABCD-A B C D1 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB11=n,则m,n所成角的正弦值为()CB D A32A. 2B. 231C. 3D.3(1)D (2)A[(1) 连结 BC1,易证 BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角.111连结 A C ,由 AB=1,AA =2,则 A1C1= 2,A1B=BC1= 5,在△A1BC1中,由余弦定理得5+5-24cos∠A1BC1==.2×5×55(2)设平面 CB1D1∩平面 ABCD=m1 .∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m.又平面 ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面 CB1D1∩平面 A1B1C1D1=B1D1,∴B1D1∥m1,∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1,且平面 CB1D1∩平面 DCC1D1= CD1,同理可证 CD1∥n.所以直线 m 与 n 所成的角与直线 B1D1与 CD1所成的角相等,即∠CD1B1为 m,n所成的角.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形,3故直线 B1D1与 CD1所成角为 60°,其正弦值为 2 .][规律方法 ] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种种类:利用图中已有的平行线平移;利用特别点(线段的端点或中点 )作平行线平移;补形平移.2.求异面直线所成角的三个步骤:(1)作:经过作平行线,获取订交直线的夹角.(2)证:证明订交直线夹角为异面直线所成的角.(3)求:解三角形,求出作出的角,假如求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,假如求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.[变式训练 3]如图 7-3-6,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形, C 是圆柱下底面弧 AB 的中点, C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与 BC 所成角的正切值为 ________.图 7-3-62[取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连结C1D,AD,则由于 C 是圆柱下底面弧AB 的中点,所以 AD∥BC,所以直线 AC1与 AD 所成角等于异面直线AC1与 BC 所成角,由于 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点,所以 C1D⊥圆柱下底面,所以 C1 D⊥AD.由于圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以 C1D=2AD,所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为2,高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书第7章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系Word版含解析所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2.][思想与方法 ]1.主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确立一个平面,再证其他直线或点也在这个平面内(即“归入法”).(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只需证明这些点都是这两个平面的公共点,依据公义 3 可知这些点在交线上.2.判断空间两条直线是异面直线的方法(1)判断定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线.(2)反证法:证明两线不行能平行、订交或证明两线不行能共面,进而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是经过平行挪动直线,把异面问题转变为订交直线的夹角,表现了转变与化归思想.[易错与防备 ]1.异面直线不一样在任何一个平面内,不可以错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.2.直线与平面的地点关系在判断时最易忽略“线在面内”.3.两异面直线所成的角归纳到一个三角形的内角时,简单忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.。

数学一轮复习第七章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位置关系学案含解析

数学一轮复习第七章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位置关系学案含解析

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲解读]1。

理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理,并运用它们证明一些空间图形的位置关系的简单命题.(重点)2.主要考查平面的基本性质,空间两直线的位置关系及线面、面面的位置关系,能正确求出异面直线所成的角.(重点、难点) [考向预测]从近三年高考情况来看,尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础,但却很少独立命题.预测2021年高考会有以下两种命题方式:①以命题形式考查空间点、线、面的位置关系;②以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角.题型为客观题,难度一般不大,属中档题型.1.空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类错误!错误!(2)异面直线所成的角①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的□04锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).②范围:错误!(0°,90°].(3)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角错误!相等或互补.2.空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交错误!a∩α=A□021个平行错误!a∥α错误!0个在平面内错误!a⊂α错误!无数个续表图形语言符号语言公共点平面与平面平行错误!α∥β错误!0个相交错误!α∩β=l错误!无数个3.必记结论(1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(2)异面直线的判定定理平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线.1.概念辨析(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面.()(2)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.()(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b 不可能是平行直线.()(4)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.小题热身(1)对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线答案C解析不论l∥α,l⊂α还是l与α相交,α内都存在直线m 使得m⊥l。

国通用)高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理

国通用)高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理

【变式训练】
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证:E,C,D1,F四点共面.
考点 2 公理 4 的应用
典例2 空间四边形ABCD中,P,Q,R,H分别是AB,BC,CD,DA的中点. (1)求证:四边形PQRH是平行四边形; (2)若AC=BD,则四边形PQRH是什么四边形? (3)若AC⊥BD,则四边形PQRH是什么四边形? (4)空间四边形ABCD满足什么条件时,四边形PQRH是正方形? 【解题思路】利用公理4将直线的平行性进行传递.
【参考答案】如图,连接 C1B,由题意知 HC1 ∴四边形 HC1BE 是平行四边形. ∴HE∥C1B. 又 C1G=GC,CF=BF, 故 GF
1 C B. 2 1
EB,
∴GF∥HE,且 GF≠HE. ∴HG 与 EF 相交.
设交点为 K,则 K∈HG, 又 HG⊂平面 D1C1CD, ∴点 K∈平面 D1C1CD. ∵K∈EF,EF⊂平面 ABCD, ∴点 K∈平面 ABCD. ∵平面 D1C1CD∩平面 ABCD=DC, ∴点 K∈DC, ∴FE,HG,DC 三线共点.
1.平面的基本性质
文字语言 图形语言 A∈l 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 B∈ l A∈α B∈ α 公理 2 过不在同一条直线上的三点,有且只有 一 个平面 A,B,C 不共线⇒A,B,C 确定平 面α ⇒l⊂α 符号语言
公理 3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 该点的公共直线
平面基本性质的应用 (1)线共点问题:证明三条或三条以上的直线交于一点. ①证明三线共点的依据是公理 3; ②证明三线共点的思路是:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点,把问题化归到证明点在直线 上的问题. (2)点共线问题:证明三个或三个以上的点在同一直线上,一般是证明点同时在两个相交平面上,由公理 3 可得 两个相交平面只有一条交线,则点共线; (3)点线共面问题先证明某些点、线确定一个平面,再证明其他点、线也在这个平面上.

高考数学一轮总复习 第七章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 文

高考数学一轮总复习 第七章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 文

(1)(2016·济南模拟)a,b,c 是两两不同的三条直线,下 面四个命题中,真命题是( )
A.若直线 a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 异面 B.若直线 a,b 相交,b,c 相交,则 a,c 相交 C.若 a∥b,则 a,b 与 c 所成的角相等 D.若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c
(2)(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4 满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
设 BC=2,则 BM=ND= 6,AN= 5,AD= 5,
在△ADN 中,由余弦定理得
cos∠AND=ND2+2NADN·A2-N AD2=
30 10 .
故异面直线
BM

AN
所成角的余弦值为
30 10 .
答案:C
1.求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三 种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中 点)作平行线平移;补形平移.
解析:对于①,当 a∥M,b∥M 时,则 a 与 b 平行、相交或异
面,①为真命题.②中,b⊂M,a∥b,则 a∥M 或 a⊂M,②为假
命题.命题③中,a 与 b 相交、平行或异面,③为假命题.由线面垂
直的性质,命题④为真命题,所以①、④为真命题.
答案:A
(2014·新课标全国Ⅱ卷)直三棱柱 ABC A1B1C1 中,∠BCA =90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( )
(2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈直线 CE,CE⊂平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA.∴CE,D1F,DA 三线共点.

2021版新高考数学一轮复习讲义:第七章第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (含解析)

2021版新高考数学一轮复习讲义:第七章第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (含解析)

第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 平面的基本性质公理1:如果一条直线上的__两点__在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 公理2:过__不共线__的三点,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们__有且只有一条__过该点的公共直线.知识点二 空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系图形语言符号语言a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形语言符号语言a ∩b =Aa ∩α=Aα∩β=l独有 关系图形语言符号语言a ,b 是异面直线a ⊂α知识点三 异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角①定义:设a ,b 是两条异面直线,经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ,把a ′与b ′所成的__锐角或直角__叫作异面直线a 与b 所成的角.②范围:(0,π2].(2)平行公理平行于同一条直线的两条直线__平行__. (3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角__相等或互补__.重要结论异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线. 用符号可表示为:若l ⊂α,A ∉α,B ∈α,B ∉l ,则直线AB 与l 是异面直线(如图).双基自测题组一 走出误区1.(多选题)下列结论正确的是( AC )A .如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a ,就说平面α,β相交,并记作α∩β=aB .如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合C .经过两条相交直线,有且只有一个平面D .两两相交的三条直线共面 题组二 走进教材2.(必修2P 52B 组T1)如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是AB ,AD 的中点,则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为( C )A .30°B .45°C .60°D .90°[解析] 解法一:因为CD ∥AB ,所以∠BAE (或其补角)即为异面直线AE 与CD 所成的角.设正方体的棱长为2,则BE = 5.因为AB ⊥平面BB 1C 1C ,所以AB ⊥BE .在Rt △ABE 中,tan ∠BAE =BE AB =52,故选C .解法二:连接B 1D 1,D 1C ,则B 1D 1∥EF ,故∠D 1B 1C 即为所求的角.又B 1D 1=B 1C =D 1C ,∴△B 1D 1C 为等边三角形,∴∠D 1B 1C =60°.故选C .3.(必修2P 45例2)如图,在三棱锥A -BCD 中,E ,F ,G ,H 分别是棱AB ,BC ,CD ,DA 上的点,(1)若AE EB =AH HD 且CF FB =CGGD,则E 、F 、G 、H 是否共面.__共面__.(2)若E 、F 、G 、H 分别为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点,①当AC ,BD 满足条件__AC =BD __时,四边形EFGH 为菱形;②当AC ,BD 满足条件__AC =BD 且AC ⊥BD __时,四边形EFGH 为正方形.题组三 考题再现4.(2019·蚌埠质检)若l 1,l 2,l 3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( B ) A .l 1⊥l 2,l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B .l 1⊥l 2,l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C .l 1∥l 2∥l 3⇒l 1,l 2,l 3共面 D .l 1,l 2,l 3共点⇒l 1,l 2,l 3共面5.(2019·福建漳州质检)已知在正四面体A -BCD 中,M 为AB 的中点,则直线CM 与AD 所成角的余弦值为( C )A .12B .22C .36D .23[解析]如图,设正四面体A -BCD 的棱长为2,取BD 的中点N ,连接MN ,CN ,则CN =CM =3,MN =1,∵M 是AB 的中点,∴MN ∥AD ,∴∠CMN 是CM 与AD 所成的角,又cos ∠CMN =CM 2+MN 2-CN 22CM ·MN =36.故选C .KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 平面基本性质的应用——自主练透例1 如图,在空间四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,AD 的中点,G ,H 分别在BC ,CD 上,且BG ∶GC =DH ∶HC =1∶2.(1)求证:E ,F ,G ,H 四点共面;(2)设EG 与FH 交于点P ,求证:P ,A ,C 三点共线. [证明] (1)∵E ,F 分别为AB ,AD 的中点, ∴EF ∥BD .在△BCD 中,BG GC =DH HC =12,∴GH ∥BD ,∴EF ∥GH . ∴E ,F ,G ,H 四点共面.(2)∵EG ∩FH =P ,P ∈EG ,EG ⊂平面ABC , ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点.又平面ABC∩平面ADC=AC,∴P∈AC,∴P,A,C三点共线.名师点拨☞1.证明空间点共线问题的方法(1)公理法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.2.点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.3.证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.〔变式训练1〕如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.[解析](1)如图,连接EF,CD1,A1B.因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥A1B.又A1B∥CD1,所以EF∥CD1,所以E,C,D1,F四点共面.(2)因为EF∥CD1,EF<CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P,则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直线DA.所以CE,D1F,DA三线共点.考点二空间两条直线的位置关系——师生共研例2(1)(2019·广东模拟)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(D)A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为__③④__(注:把你认为正确的结论序号都填上).[解析](1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.(2)因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故①错;取DD1中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE与AM相交,故②错;因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故③正确;同理④正确,故填③④.名师点拨☞异面直线的判定方法(1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.(2)判定定理法:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.〔变式训练2〕(1)(2019·江西景德镇模拟)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2),则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是(C)A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直(2)(多选题)(2019·湘潭调研改编)下图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是(BD)[解析](2)图A中,直线GH∥MN;图B中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;图C中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图D中,G、M、N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,故选B、D.考点三求异面直线所成的角——师生共研例3(1)(2019·陕西省高三质检)已知P是△ABC所在平面外的一点,M,N分别是AB,PC的中点.若MN=BC=4,P A=43,则异面直线P A与MN所成角的大小是(A) A.30°B.45°C.60°D.90°(2)(2019·黑龙江师大附中期中)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,则直线A1B与AC1所成角的大小为(B)A.30°B.60°C.90°D.120°[解析](1)如图取AC的中点H,连MH,NH,由题意知NH∥P A,∴∠MNH即为MN与P A所成角,又MN=4,MH=2,NH=23,∴MN2=MH2+NH2,∴∠NHM=90°,又MH=12MN,∴∠MNH=30°,故选A.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,连结A1C,A1C∩AC1=O,则O为A1C的中点,取BC 的中点H,连接OH,则OH∥A1B,∴∠AOH或其补角即为直线A1B与AC1所成的角.设AB=AC=AA1=1,BC=2,,易得AO=AH=OH=22∴三角形AOH是正三角形,∴∠AOH=60°,即异面直线所成角为60°.故选B.名师点拨☞用平移法求异面直线所成的角的步骤(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.(2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角. (3)三求:解三角形,求出所作的角.注:①为便于作出异面直线所成角,可用补形法,如将三棱柱补成四棱柱;②注意余弦定理的应用.〔变式训练3〕(1)(2019·湖北荆州联考)已知在四面体ABCD 中,E ,F 分别是AC ,BD 的中点.若AB =2,CD =4,EF ⊥AB ,则EF 与CD 所成角的度数为( D )A .90°B .45°C .60°D .30°(2)(2017·课标全国Ⅱ)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ABC =120°,AB =2,BC =CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( C )A .32 B .155 C .105D .33[解析] (1)如图,设G 为AD 的中点,接GF ,GE ,则GF ,GE 分别为△ABD ,△ACD 的中位线. 由此可得,GF ∥AB 且GF =12AB =1,GE ∥CD ,且GE =12CD =2,∴∠FEG 或其补角即为EF 与CD 所成的角. 又∵EF ⊥AB ,GF ∥AB ,∵EF ⊥GF . 因此,在Rt △EFG 中,GF =1,GE =2, sin ∠GEF =GF GE =12,可得∠GEF =30°,∴EF 与CD 所成角的度数为30°.故选D .(2)将直三棱柱ABC -A 1B 1C 1补成直角四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1,如图,连AD 1,B 1D 1,显然BC 1∥AD 1,∠B 1AD 1即为异面直线AB 1与BC 1所成的角,由题意知,AB 21=5,AD 21=2,B 1D 21=3,∴cos ∠B 1AD 1=AB 21+AD 21-B 1D 212AB 1·AD 1=5+2-3210=105.故选C .另解:连A 1B 交AB 1于M ,取AC 1的中点N ,连MN 、B 1N ,则BC 1∥MN ,∴∠NMB 1即为异面直线AB 1与BC 1所成的角,解△MNB 1即可.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升 立体几何中的折叠问题例4 (1)(2019·湖南湘东六校联考)下图是一正四面体的侧面展开图,G 为BF 的中点,则在原正四面体中,直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为( C )A .33 B .63 C .36D .336(2)(2019·安徽省合肥质检)如图,边长为1的菱形ABCD 中,∠DAB =60°,沿BD 将△ABD 翻折,得到三棱锥A -BCD ,则当三棱锥A -BCD ,体积最大时,异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为( D )A .58B .23C .1316D .14[解析] (1)将展开图折起还原成四面体,如图所示,取AF 的中点H ,连GH ,HE ,则GH 綊12BC ,且HE =GE ,∴∠HGE 即为异面直线EG 与BC 所成角,不妨设正四面体棱长为2,则GH =1,GE =3,∴cos ∠HGE =123=36,故选C .(2)由题意可知平面ADB ⊥平面BDC ,且△ADB 、△BDC 均为正三角形,取DB 的中点O ,连OA ,OC ,易知OA ,OB ,OC 两两垂直,如图建立空间直角坐标系,则DA →=(0,12,32), BC →=(32,-12,0), ∴AD 与BC 所成角θ的余弦值为cos θ=|DA →·BC →||DA →|·|BC →|=14,故选D . 名师点拨 ☞由展开图准确的还原出几何体直观图是解题关键.当异面直线所成角不易作出时,可考虑建立空间直角坐标系,用向量法求解.〔变式训练4〕(2019·广东江门模拟)正方体的平面展开图如图,AB 、CD 、EF 、GH 四条对角线两两一对得到6对对角线,在正方体中,这6对对角线所在直线成60°角的有( D )A .1对B .2对C.3对D.4对[解析]根据题意,如图为平面展开图对应的正方体,其中AB与GH、AB与EF、GH与CD、EF与CD所成的角为60°,共有4组;故选D.。

2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量3空间点直线平面之间的位置关系练习含解析

2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量3空间点直线平面之间的位置关系练习含解析

空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求 1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理,并能应用定理解决问题.知识梳理 1.平面基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行. 2.“三个”推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 3.空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线,平行直线,异面直线:不同在任何一个平面内,没有 公共点.4.空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况. 5.空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 6.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 7.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a ,b ,经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(2)范围:⎝⎛⎦⎥⎤0,π2.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α,β有一个公共点A ,就说α,β相交于过A 点的任意一条直线.( × ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( √ ) (3)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合.( × ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线.( × ) 教材改编题1.(多选)如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,则下列说法正确的是( )A .AB 与CD 是异面直线 B .GH 与CD 相交C .EF ∥CD D .EF 与AB 异面 答案 ABC解析 把展开图还原成正方体,如图所示.还原后点G 与C 重合,点B 与F 重合,由图可知ABC 正确,EF 与AB 相交,故D 错. 2.如果直线a ⊂平面α,直线b ⊂平面β.且α∥β,则a 与b ( ) A .共面 B .平行 C .是异面直线D .可能平行,也可能是异面直线 答案 D解析 α∥β,说明a 与b 无公共点, ∴a 与b 可能平行也可能是异面直线.3.如图,在三棱锥A -BCD 中,E ,F ,G ,H 分别是棱AB ,BC ,CD ,DA 的中点,则(1)当AC ,BD 满足条件________时,四边形EFGH 为菱形; (2)当AC ,BD 满足条件________时,四边形EFGH 为正方形. 答案 (1)AC =BD (2)AC =BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形, ∴EF =EH ,∵EF 綉12AC ,EH 綉12BD ,∴AC =BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形, ∴EF =EH 且EF ⊥EH , ∵EF 綉12AC ,EH 綉12BD ,∴AC =BD 且AC ⊥BD .题型一 基本事实应用例1 如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是AB ,AA 1的中点,连接D 1F ,CE .求证:(1)E ,C ,D 1,F 四点共面; (2)CE ,D 1F ,DA 三线共点.证明 (1)如图所示,连接CD 1,EF ,A 1B , ∵E ,F 分别是AB ,AA 1的中点, ∴EF ∥A 1B ,且EF =12A 1B .又∵A 1D 1∥BC ,A 1D 1=BC , ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形, ∴A 1B ∥CD 1,∴EF ∥CD 1,∴EF 与CD 1能够确定一个平面ECD 1F , 即E ,C ,D 1,F 四点共面.(2)由(1)知EF ∥CD 1,且EF =12CD 1,∴四边形CD 1FE 是梯形, ∴CE 与D 1F 必相交,设交点为P , 则P ∈CE ,且P ∈D 1F ,∵CE ⊂平面ABCD ,D 1F ⊂平面A 1ADD 1, ∴P ∈平面ABCD ,且P ∈平面A 1ADD 1. 又∵平面ABCD ∩平面A 1ADD 1=AD , ∴P ∈AD ,∴CE ,D 1F ,DA 三线共点. 教师备选如图所示,已知在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为D 1C 1,C 1B 1的中点,AC ∩BD =P ,A 1C 1∩EF =Q .求证:(1)D ,B ,F ,E 四点共面;(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点,则P ,Q ,R 三点共线. 证明 (1)∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线, ∴EF ∥B 1D 1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,B 1D 1∥BD , ∴EF ∥BD .∴EF ,BD 确定一个平面,即D ,B ,F ,E 四点共面. (2)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 设平面A 1ACC 1为α, 平面BDEF 为β. ∵Q ∈A 1C 1,∴Q ∈α.又Q∈EF,∴Q∈β,则Q是α与β的公共点,同理,P是α与β的公共点,∴α∩β=PQ.又A1C∩β=R,∴R∈A1C.∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法:先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)证明共线的方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上.(3)证明共点的方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.跟踪训练1 (1)(多选)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图是( )答案ABC解析对于A,PS∥QR,故P,Q,R,S四点共面;同理,B,C图中四点也共面;D中四点不共面.(2)在三棱锥A-BCD的棱AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF∩HG=P,则点P( )A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上,也不在直线BD上答案 B解析如图所示,因为EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,EF∩HG=P,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC.题型二空间线面位置关系命题点1 空间位置关系的判断例2 (1)下列推断中,错误的是( )A.若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈lB.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC.l⊄α,A∈l⇒A∉αD.A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α,β重合答案 C解析对于A,因为M∈α,M∈β,α∩β=l,由基本事实3可知M∈l,A对;对于B,A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,故直线AB⊂α,AB⊂β,即α∩β=AB,B对;对于C,若l∩α=A,则有l⊄α,A∈l,但A∈α,C错;对于D,有三个不共线的点在平面α,β中,故α,β重合,D对.(2)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心,则下列说法正确的是( )A.直线MN与直线A1B是异面直线B.直线MN与直线DD1相交C.直线MN与直线AC1是异面直线D.直线MN与直线A1C平行答案 C解析如图,因为M,N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心,所以M,N分别是A1C1,BC1的中点,所以直线MN与直线A1B平行,所以A错误;因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M,且点M不在直线DD1上,所以直线MN与直线DD1是异面直线,所以B错误;因为直线MN经过平面ABC1内一点N,且点N不在直线AC1上,所以直线MN与直线AC1是异面直线,所以C正确;因为直线MN经过平面A1CC1内一点M,且点M不在直线A1C上,所以直线MN与直线A1C是异面直线,所以D错误.命题点2 异面直线所成角例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P 为B 1D 1的中点,则直线PB 与AD 1所成的角为( ) A .π2B .π3C .π4D .π6答案 D解析 方法一 如图,连接C 1P ,因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体,且P 为B 1D 1的中点,所以C 1P ⊥B 1D 1,又C 1P ⊥BB 1,所以C 1P ⊥平面B 1BP .又BP ⊂平面B 1BP ,所以C 1P ⊥BP .连接BC 1,则AD 1∥BC 1,所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角.设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则在Rt△C 1PB 中,C 1P =12B 1D 1=2,BC 1=22,sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12,所以∠PBC 1=π6.方法二 如图所示,连接BC 1,A 1B ,A 1P ,PC 1,则易知AD 1∥BC 1,所以直线PB 与AD 1所成的角等于直线PB 与BC 1所成的角.根据P 为正方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1的中点,易知A 1,P ,C 1三点共线,且P 为A 1C 1的中点.易知A 1B =BC 1=A 1C 1,所以△A 1BC 1为等边三角形,所以∠A 1BC 1=π3,又P 为A 1C 1的中点,所以可得∠PBC 1=12∠A 1BC 1=π6.(2)(2022·衡水检测)如图,在圆锥SO 中,AB ,CD 为底面圆的两条直径,AB ∩CD =O ,且AB ⊥CD ,SO =OB =3,SE =14SB ,则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A .222B .53C .1316D .113答案 D解析 如图,过点S 作SF ∥OE ,交AB 于点F ,连接CF ,则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角.∵SE =14SB ,∴SE =13BE .又OB =3,∴OF =13OB =1.∵SO ⊥OC ,SO =OC =3, ∴SC =32.∵SO ⊥OF ,∴SF =SO 2+OF 2=10. ∵OC ⊥OF ,∴CF =10. ∴在等腰△SCF 中,tan∠CSF =102-⎝ ⎛⎭⎪⎫3222322=113. 教师备选1.(多选)设a ,b ,c 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列结论不正确的是( )A .若a ⊂α,b ⊂β,则a 与b 是异面直线B .若a 与b 异面,b 与c 异面,则a 与c 异面C .若a ,b 不同在平面α内,则a 与b 异面D .若a ,b 不同在任何一个平面内,则a 与b 异面 答案 ABC2.在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,AB =BC =1,AA 1=3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A .15B .56C .55D .22 答案 C解析 如图,连接BD 1,交DB 1于O ,取AB 的中点M ,连接DM ,OM .易知O 为BD 1的中点,所以AD 1∥OM ,则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角.因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =1,AA 1=3,AD 1=AD 2+DD 21=2, DM =AD 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2=52, DB 1=AB 2+AD 2+BB 21=5. 所以OM =12AD 1=1,OD =12DB 1=52,于是在△DMO 中,由余弦定理,得cos∠MOD =12+⎝ ⎛⎭⎪⎫522-⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52=55,即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 思维升华 (1)点、直线、平面位置关系的判定,注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断,常借助正方体为模型. (2)求异面直线所成的角的三个步骤一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角. 二证:证明作出的角是异面直线所成的角. 三求:解三角形,求出所作的角.跟踪训练2 (1)如图所示,G ,N ,M ,H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH 与MN 是异面直线的图形有________.(填序号)答案 ②④(2)若直线l 1和l 2是异面直线,l 1在平面α内,l 2在平面β内,l 是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是( ) A .l 与l 1,l 2都不相交 B .l 与l 1,l 2都相交C .l 至多与l 1,l 2中的一条相交D .l 至少与l 1,l 2中的一条相交 答案 D解析 如图1,l 1与l 2是异面直线,l 1与l 平行,l 2与l 相交,故A ,B 不正确;如图2,l 1与l 2是异面直线,l 1,l 2都与l 相交,故C 不正确.图1 图2题型三 空间几何体的切割(截面)问题例4 (1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱DD 1和BB 1上的点,MD =13DD 1,NB =13BB 1,那么正方体中过M ,N ,C 1的截面图形是( ) A .三角形 B .四边形 C .五边形 D .六边形答案 C解析 先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点,再确定截面与几何体的棱的交点.如图,设直线C 1M ,CD 相交于点P ,直线C 1N ,CB 相交于点Q ,连接PQ 交直线AD 于点E ,交直线AB 于点F ,则五边形C 1MEFN 为所求截面图形.(2)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2.以D 1为球心,5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为______. 答案π2解析 以D 1为球心,5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线是以C 1为圆心,1为半径的圆与正方形BCC 1B 1相交的一段弧(圆周的四分之一),其长度为14×2π×1=π2.延伸探究 将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长均为2,∠BAD =60°.以D 1为球心,5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________.答案2π2解析 如图,设B 1C 1的中点为E ,球面与棱BB 1,CC 1的交点分别为P ,Q ,连接DB ,D 1B 1,D 1P ,D 1E ,EP ,EQ ,由∠BAD =60°,AB =AD ,知△ABD 为等边三角形, ∴D 1B 1=DB =2,∴△D 1B 1C 1为等边三角形, 则D 1E =3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1,∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心, 设截面圆的半径为r ,则r =R 2球-D 1E 2=5-3=2. 又由题意可得EP =EQ =2,∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ . 又D 1P =5,∴B 1P =D 1P 2-D 1B 21=1, 同理C 1Q =1,∴P ,Q 分别为BB 1,CC 1的中点, ∴∠PEQ =π2,知PQ ︵的长为π2×2=2π2,即交线长为2π2.教师备选如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是BC 的中点,平面α经过直线BD 且与直线C 1E 平行,若正方体的棱长为2,则平面α截正方体所得的多边形的面积为________.答案 92解析 如图,过点B 作BM ∥C 1E 交B 1C 1于点M ,过点M 作BD 的平行线,交C 1D 1于点N ,连接DN ,则平面BDNM 即为符合条件的平面α,由图可知M ,N 分别为B 1C 1,C 1D 1的中点, 故BD =22,MN =2, 且BM =DN =5, ∴等腰梯形MNDB 的高为h =52-⎝⎛⎭⎪⎫222=322, ∴梯形MNDB 的面积为 12×(2+22)×322=92. 思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则:①在同一平面上的两点可引直线;②凡是相交的直线都要画出它们的交点;③凡是相交的平面都要画出它们的交线. (2)作交线的方法有如下两种:①利用基本事实3作交线;②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行,然后根据性质作出交线. 跟踪训练3 (1)(多选)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,已知平面α⊥AC 1,则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是( ) A .截面形状可能为正三角形 B .截面形状可能为正方形 C .截面形状可能为正六边形 D .截面面积最大值为3 3 答案 ACD解析 易知A ,C 正确,B 不正确,下面说明D 正确,如图,截面为正六边形,当六边形的顶点均为棱的中点时,其面积最大,MN =22,GH =2,OE =OO ′2+O ′E 2=1+⎝⎛⎭⎪⎫222=62, 所以S =2×12×(2+22)×62=33,故D 正确.(2)(2022·兰州模拟)如图,正方体A 1C 的棱长为1,点M 在棱A 1D 1上,A 1M =2MD 1,过M 的平面α与平面A 1BC 1平行,且与正方体各面相交得到截面多边形,则该截面多边形的周长为________.答案 3 2解析 在平面A 1D 1DA 中寻找与平面A 1BC 1平行的直线时,只需要ME ∥BC 1,如图所示,因为A 1M =2MD 1,故该截面与正方体的交点位于靠近D 1,A ,C 的三等分点处,故可得截面为MIHGFE ,设正方体的棱长为3a , 则ME =22a ,MI =2a ,IH =22a ,HG =2a ,FG =22a ,EF =2a ,所以截面MIHGFE 的周长为ME +EF +FG +GH +HI +IM =92a , 又因为正方体A 1C 的棱长为1,即3a =1, 故截面多边形的周长为32.课时精练1.下列叙述错误的是( )A .若P ∈α∩β,且α∩β=l ,则P ∈lB.若直线a∩b=A,则直线a与b能确定一个平面C.三点A,B,C确定一个平面D.若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l⊂α答案 C解析选项A,点P是两平面的公共点,当然在交线上,故正确;选项B,由基本事实的推论可知,两相交直线确定一个平面,故正确;选项C,只有不共线的三点才能确定一个平面,故错误;选项D,由基本事实2,直线上有两点在一个平面内,则这条直线在平面内.2.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列判断正确的是( ) A.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则直线m与n可能相交或异面B.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则直线m与n一定平行C.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则直线m与n一定垂直D.若m∥α,n∥β,α∥β,则直线m与n一定平行答案 A解析m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,对于A,若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则直线m与n相交垂直或异面垂直,故A正确;对于B,若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则直线m与n相交、平行或异面,故B错误;对于C,若m⊥α,n∥β,α⊥β,则直线m与n相交、平行或异面,故C错误;对于D,若m∥α,n∥β,α∥β,则直线m与n平行或异面,故D错误.3.(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a,b,l,则“a,b,l两两相交”是“a,b,l共面”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析空间中不过同一点的三条直线a,b,l,若a,b,l在同一平面,则a,b,l相交或a,b,l有两个平行,另一直线与之相交,或三条直线两两平行.所以a,b,l在同一平面,则a,b,l两两相交不一定成立;而若a,b,l两两相交,则a,b,l在同一平面成立.故“a,b,l两两相交”是“a,b,l共面”的充分不必要条件.4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是平面ADD1A1的中心,M,N,F分别是B1C1,CC1,AB的中点,则下列说法正确的是( )A .MN =12EF ,且MN 与EF 平行B .MN ≠12EF ,且MN 与EF 平行C .MN =12EF ,且MN 与EF 异面D .MN ≠12EF ,且MN 与EF 异面答案 D解析 设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2a , 则MN =MC 21+C 1N 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22+⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22 =2a ,作点E 在平面ABCD 内的射影点G ,连接EG ,GF ,所以EF =EG 2+GF 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22+2a2=3a ,所以MN ≠12EF ,故选项A ,C 错误;连接DE ,因为E 为平面ADD 1A 1的中心, 所以DE =12A 1D ,又因为M ,N 分别为B 1C 1,CC 1的中点,所以MN ∥B 1C , 又因为B 1C ∥A 1D ,所以MN ∥ED , 且DE ∩EF =E ,所以MN 与EF 异面,故选项B 错误.5.(多选)(2022·临沂模拟)如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是DB 的中点,直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ,则下列结论正确的是( )A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,B1,B四点共面D.D1,D,O,M四点共面答案AB解析∵O∈AC,AC⊂平面ACC1A1,∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD,BD⊂平面C1BD,∴O∈平面C1BD,∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点,同理可得,点M和C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点,∴三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,故A,B正确;根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线,故C1,O,B1,B四点不共面,故C不正确;根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线,故D1,D,O,M四点不共面,故D不正确.6.(多选)(2022·厦门模拟)下列说法不正确的是( )A.两组对边分别相等的四边形确定一个平面B.和同一条直线异面的两直线一定共面C.与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D.一条直线和两平行线中的一条相交,也必定和另一条相交答案ABD解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形,故A错误;如图1,直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线,同样DD1与B1C1也是异面直线,故B错误;如图2,设直线AB与CD是异面直线,则直线AC与BD一定不平行,否则AC∥BD,有AC与BD确定一个平面α,则AC⊂α,BD⊂α,所以A∈α,B∈α,C∈α,D∈α,所以AB⊂α,CD⊂α,这与假设矛盾,故C正确;如图1,AB∥CD,而直线AA1与AB相交,但与直线CD不相交,故D错误.图1 图27.(2022·哈尔滨模拟)已知在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ABC =120°,AB =2,BC =CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________. 答案105解析 如图所示,补成直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1,则所求角为∠BC 1D 或其补角,∵BC 1=2,BD =22+1-2×2×1×cos60°=3,C 1D =AB 1=5, 易得C 1D 2=BD 2+BC 21,即BC 1⊥BD , 因此cos∠BC 1D =BC 1C 1D =25=105. 8.(2022·本溪模拟)在空间中,给出下面四个命题,其中假命题为________.(填序号) ①过平面α外的两点,有且只有一个平面与平面α垂直; ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等,则α∥β; ③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直,则l ⊥α; ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线. 答案 ①②④解析 对于①,当平面α外两点的连线与平面α垂直时,此时过两点有无数个平面与平面α垂直,所以①不正确;对于②,若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等,平面α与β可能平行,也可能相交,所以②不正确;对于③,直线l 与平面内的任意直线垂直时,得到l ⊥α,所以③正确;对于④,两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点,所以④不正确.9.(2022·上海市静安区模拟)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是AB ,CC 1的中点.(1)求异面直线A 1E 与D 1F 所成的角的余弦值; (2)求三棱锥A 1-D 1EF 的体积.解 (1)如图,设BB 1的中点为H ,连接HF ,EH ,A 1H ,因为F 是CC 1的中点,所以A 1D 1∥CB ∥HF ,A 1D 1=CB =HF , 因此四边形A 1D 1FH 是平行四边形, 所以D 1F ∥A 1H ,D 1F =A 1H ,因此∠EA 1H 是异面直线A 1E 与D 1F 所成的角或其补角, 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E 是AB 的中点, 所以A 1E =A 1H =22+12=5,EH =12+12=2,由余弦定理可知,cos∠EA 1H =A 1E 2+A 1H 2-EH 22A 1E ·A 1H =5+5-22×5×5=45,所以异面直线A 1E 与D 1F 所成的角的余弦值为45.(2)因为A 1D 1∥HF ,HF ⊄平面A 1D 1E ,A 1D 1⊂平面A 1D 1E , 所以HF ∥平面A 1D 1E ,因此点H ,F 到平面A 1D 1E 的距离相等, 即111111F A D E H A D E D A EH V V V ---==,11D A EH V -=13D 1A 1·1A EH S △=13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22-12×2×1×2-12×1×1=1,所以三棱锥A 1-D 1EF 的体积为1.10.如图,四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1⊥底面ABCD ,四边形ABCD 为菱形,E ,F 分别为AA 1,CC 1的中点,M 为AB 上一点.(1)若D 1E 与CM 相交于点K ,求证D 1E ,CM ,DA 三条直线相交于同一点; (2)若AB =2,AA 1=4,∠BAD =π3,求点D 1到平面FBD 的距离.(1)证明 ∵D 1E 与CM 相交于点K , ∴K ∈D 1E ,K ∈CM ,而D 1E ⊂平面ADD 1A 1,CM ⊂平面ABCD , 且平面ADD 1A 1∩平面ABCD =AD , ∴K ∈AD ,∴D 1E ,CM ,DA 三条直线相交于同一点K . (2)解 ∵四边形ABCD 为菱形,AB =2, ∴BC =CD =2,而四棱柱的侧棱AA 1⊥底面ABCD , ∴CC 1⊥底面ABCD ,又∵F 是CC 1的中点,CC 1=4,∴CF =2, ∴BF =DF =22,又∵四边形ABCD 为菱形,∠BAD =π3,∴BD =AB =2, ∴S △FBD =12×2×222-1=7.设点D 1到平面FBD 的距离为h ,点B 到平面DD 1F 的距离为d , 则d =2sin π3=3,又∵11D FBD B DD F V V --=, ∴13×S △FBD ×h =13×1DD F S △×d , ∴13×7×h =13×12×4×2×3, 解得h =4217.即点D1到平面FBD的距离为421 7.11.(多选)(2022·太原模拟)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,下列结论正确的是( )A.GH与EF平行B.BD与MN为异面直线C.GH与MN成60°角D.DE与MN垂直答案BCD解析如图,还原成正四面体A-DEF,其中H与N重合,A,B,C三点重合,连接GM,易知GH与EF异面,BD与MN异面.又△GMH为等边三角形,∴GH与MN成60°角,易证DE⊥AF,MN∥AF,∴MN⊥DE.∴B,C,D正确.12.(多选)(2022·广州六校联考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,下列结论正确的是( )A.AP与CM是异面直线B.AP,CM,DD1相交于一点C.MN∥BD1D.MN∥平面BB1D1D答案 BD解析 如图,连接MP ,AC ,因为MP ∥AC ,MP ≠AC ,所以AP 与CM 是相交直线,又平面A 1ADD 1∩平面C 1CDD 1=DD 1,所以AP ,CM ,DD 1相交于一点,则A 不正确,B 正确;令AC ∩BD =O ,连接OD 1,ON .因为M ,N 分别是C 1D 1,BC 的中点,所以ON ∥D 1M ∥CD ,ON =D 1M =12CD , 则四边形MNOD 1为平行四边形,所以MN ∥OD 1,因为MN ⊄平面BB 1D 1D ,OD 1⊂平面BB 1D 1D ,所以MN ∥平面BB 1D 1D ,C 不正确,D 正确.13.(2022·玉林模拟)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,P ,Q 分别为A 1B ,B 1D 1,A 1D ,CD 1的中点,则直线EF 与PQ 所成角的大小是________.答案 π3解析 如图,连接A 1C 1,BC 1,则F 是A 1C 1的中点,又E 为A 1B 的中点,所以EF ∥BC 1,连接DC 1,则Q 是DC 1的中点,又P 为A 1D 的中点,所以PQ ∥A 1C 1,于是∠A 1C 1B 是直线EF 与PQ 所成的角或其补角.易知△A 1C 1B 是正三角形,所以∠A 1C 1B =π3. 14.(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P ,Q 分别为棱A 1D 1,CC 1的中点,过P ,Q ,A 作正方体的截面,则截面多边形的周长是________.答案 25+95+2133 解析 如图所示,过Q 作QM ∥AP 交BC 于M ,由A 1P =CQ =2,tan∠APA 1=2,则tan∠CMQ =2,CM =CQtan∠CMQ=1, 延长MQ 交B 1C 1的延长线于E 点,连接PE ,交D 1C 1于N 点,则多边形AMQNP 即为截面,根据平行线性质有C 1E =CM =1, C 1N ND 1=C 1E PD 1=12, 则C 1N =43,D 1N =83, 因此NQ =22+⎝ ⎛⎭⎪⎫432=2133, NP =22+⎝ ⎛⎭⎪⎫832=103, 又AP =42+22=25,AM =42+32=5,MQ =12+22=5,所以多边形AMQNP 的周长为AM +MQ +QN +NP +PA=5+5+2133+103+2 5 =25+95+2133.15.(2022·大连模拟)如图,直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形,AA 1=3,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,过点D 1,E ,F 的平面记为α,则下列说法中错误的是( )A .点B 到平面α的距离与点A 1到平面α的距离之比为1∶2B .平面α截直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为732C .平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D .平面α截直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所得截面的形状为四边形 答案 D解析 对于A ,因为平面α过线段AB 的中点E ,所以点A 到平面α的距离与点B 到平面α的距离相等.由平面α过A 1A 的三等分点M 可知,点A 1到平面α的距离是点A 到平面α的距离的2倍,因此,点A 1到平面α的距离是点B 到平面α的距离的2倍.故选项A 正确;延长DA ,DC 交直线EF 的延长线于点P ,Q ,连接D 1P ,D 1Q ,交棱A 1A ,C 1C 于点M ,N .连接ME ,NF ,可得五边形D 1MEFN ,故选项D 错误;由平行线分线段成比例可得AP =BF =1,故DP =DD 1=3,则△DD 1P 为等腰三角形.由相似三角形可知,AM =AP =1,A 1M =2,则D 1M =D 1N =22,ME =EF =FN =2.连接MN ,则MN =22,因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN .等腰梯形MEFN 的高h =22-⎝ ⎛⎭⎪⎫22-222=62, 则等腰梯形MEFN 的面积为22+22×62=332.又1D MN S △=12×22×6=23,所以五边形D 1MEFN 的面积为332+23=732,故选项B 正确;记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1,V 2,则V 2=1D DPQ V --V M -PAE -V N -CFQ=13×12×3×3×3-13×12×1×1×1-13×12×1×1×1=256, 所以V 1=1111ABCD A B C D V --V 2=12-256=476, V 1∶V 2=47∶25,故选项C 正确.16.如图1,在边长为4的正三角形ABC 中,D ,F 分别为AB ,AC 的中点,E 为AD 的中点.将△BCD 与△AEF 分别沿CD ,EF 同侧折起,使得二面角A -EF -D 与二面角B -CD -E 的大小都等于90°,得到如图2所示的多面体.图1 图2(1)在多面体中,求证:A ,B ,D ,E 四点共面;(2)求多面体的体积.(1)证明 因为二面角A -EF -D 的大小等于90°,所以平面AEF ⊥平面DEFC ,又AE ⊥EF ,AE ⊂平面AEF ,平面AEF ∩平面DEFC =EF ,所以AE ⊥平面DEFC ,同理,可得BD ⊥平面DEFC ,所以AE ∥BD ,故A ,B ,D ,E 四点共面.(2)解 因为AE ⊥平面DEFC ,BD ⊥平面DEFC ,EF ∥CD ,AE ∥BD ,DE ⊥CD ,所以AE 是四棱锥A -CDEF 的高,点A 到平面BCD 的距离等于点E 到平面BCD 的距离, 又AE =DE =1,CD =23,EF =3,BD =2,所以V =V A -CDEF +V A -BCD =13S 梯形CDEF ·AE +13S △BCD ·DE =736.。

高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系学案 文

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第三节空间点、直线、平面之间的位置关系1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.知识点一平面的基本性质1.公理1:如果一条直线上的______在一个平面内,那么这条直线在此平面内.2.公理2:过______________的三点,有且只有一个平面.3.公理3:如果两个不重合的平面有______公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.4.公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;推论2:经过两条______直线有且只有一个平面;推论3:经过两条______直线有且只有一个平面.答案1.两点 2.不在一条直线上 3.一个4.相交平行1.判断正误(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.( )(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作α∩β=A.( )(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )(4)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )答案:(1)×(2)×(3)√(4)×2.如图,α∩β=l ,A 、B∈α,C∈β,且C ∉l ,直线AB∩l=M ,过A ,B ,C 三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A .点AB .点BC .点C 但不过点MD .点C 和点M解析:∵AB ⊂γ,M∈AB,∴M∈γ. 又α∩β=l ,M∈l,∴M∈β.根据公理3可知,M 在γ与β的交线上. 同理可知,点C 也在γ与β的交线上. 答案:D知识点二 直线与直线的位置关系 1.两直线位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧异面直线:不同在 一个平面内2.异面直线所成的角(1)定义:设a ,b 是两条异面直线,经过空间中任一点O 作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的____________叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(2)范围:____________. 3.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角____________.答案1.平行 相交 任何2.(1)锐角(或直角) (2)⎝⎛⎦⎥⎤0,π2 3.相等或互补3.判断正误(1)已知a,b,c,d是四条直线,若a∥b,b∥c,c∥d,则a∥d.()(2)两条直线a,b没有公共点,那么a与b是异面直线.( )(3)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.( )答案:(1)√(2)×(3)×4.(人教A必修②P52B1(2)改编)如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB的中点为M,DD′的中点为N,则异面直线B′M与CN所成的角是________.解析:取AA′的中点Q,连接QN,BQ,且BQ与B′M相交于点H,则QN綊AD綊BC,从而有四边形NQBC为平行四边形,所以NC∥QB,则有∠B′HB为异面直线B′M与CN所成的角.又∵B′B=BA,∠B′BM=∠BAQ=90°,BM=AQ,∴△B′BM≌△BAQ,∴∠MB′B =∠QBM.而∠B′MB+∠MB′B=90°,从而∠B′MB+∠QBM=90°,∴∠MH B=90°.答案:90°热点一平面的基本性质【例1】下列命题:①空间不同三点确定一个平面;②有三个公共点的两个平面必重合;③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④三角形是平面图形;⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;⑥垂直于同一直线的两直线平行;⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;⑧两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是________.【解析】由公理3知,不共线的三点才能确定一个平面,所以知命题①错,②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时),②错.③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面.⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形,如图(1)所示.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,直线BB′⊥AB,BB′⊥CB,但AB与CB不平行,∴⑥错.AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′与CD不相交,∴⑦错.如图(2)所示,AB=CD,BC=AD,四边形ABCD不是平行四边形,故⑧也错.【答案】④以下四个命题中,正确命题的个数是( )①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.A.0 B.1C.2 D.3解析:①显然是正确的,可用反证法证明;②中若A、B、C三点共线,则A、B、C、D、E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图显然b、c异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面.故只有①正确.答案:B热点二共点、共线、共面问题【例2】已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线;(3)DE,BF,CC1三线交于一点.【证明】(1)如图所示.因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)在正方体AC1中,设A1CC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点,同理,P是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.(3)∵EF∥BD且EF<BD,∴DE与BF相交,设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,同理,点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,∴M∈CC1.∴DE,BF,CC1三线交于点M.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点必定共线.证明:因为AB∥CD,所以AB,CD确定一个平面β.又因为AB∩α=E,AB⊂β,所以E∈α,E∈β,即E为平面α与β的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点,因为两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.热点三空间两条直线的位置关系考向1 两条直线位置关系的判定【例3】如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是________.【解析】正四面体如图,GH与EF为异面直线,即①不正确;BD与MN为异面直线,即②正确;△MNG 为正三角形,即③正确;连接AG,FG,则DE⊥AG,DE⊥GF,于是DE⊥平面AFG,DE⊥AF,又MN∥AF,所以DE⊥MN,即④正确.【答案】②③④考向2 异面直线的判定【例4】在图中G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).【解析】图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以在图②④中,GH与MN异面.【答案】②④(1)(2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)已知a ,b ,c 为三条不重合的直线,已知下列结论:①若a⊥b,a⊥c,则b∥c;②若a⊥b,a⊥c,则b⊥c;③若a∥b,b⊥c,则a⊥c.其中正确的个数为( )A .0B .1C .2D .3解析:(1)若直线a ,b 相交,设交点为P ,则P∈a,P∈b.又a ⊂α,b ⊂β,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,则a ,b 可能相交,也可能异面或平行.故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.(2)在空间中,若a⊥b,a⊥c,则b ,c 可能平行,也可能相交,还可能异面,所以①②错,③显然成立.答案:(1)A (2)B热点四 异面直线所成的角【例5】 如图在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB =2,则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A .15B .25C .35D .45【解析】连接BC 1,易证BC 1∥AD 1,则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角.连接A 1C 1,由AB =1,则AA 1=2,A 1C 1=2,A 1B =BC 1=5,故cos ∠A 1BC 1=5+5-22×5×5=45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.【答案】 D1.将母题条件“AA 1=2AB =2”改为“AB=1,若异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”,试求:AA 1AB的值. 解:设AA 1AB =t ,则AA 1=tAB.∵AB=1,∴AA 1=t.∵A 1C 1=2,A 1B =t 2+1=BC 1. ∴cos ∠A 1BC 1=t 2+1+t 2+1-22×t 2+1×t 2+1=910. ∴t=3,即AA 1AB=3.2.将母题条件“AA 1=2AB =2”改为“AB=1,且平面ABCD 内有且仅有一点到顶点A 1的距离为1”,则是否存在过顶点A 的直线l ,使l 与棱AB ,AD ,AA 1所成角都相等,若存在,存在几条?若不存在,说明理由.解:由条件知,此时正四棱柱为正方体.如图,连接对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成角都相等,联想正方体的其他体对角线.如连接BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,因为BB1∥AA1,BC∥AD.∴体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等.同理体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成角都相等,故过A作BD1,A1C,DB1的平行线都满足,故这样的直线可以作4条.1.主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线,然后证明其他点都在这条直线上.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.。

2020版高考数学第七章立体几何第三节空间点、直线、平面之间的位置关系学案理(含解析)新人教A版

2020版高考数学第七章立体几何第三节空间点、直线、平面之间的位置关系学案理(含解析)新人教A版

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系2019考纲考题考情1.平面的基本性质如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点,过该点的公共直线(2)平行公理:公理4:平行于同一直线的两条直线互相平行——空间平行线的传递性。

(3)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

(4)异面直线所成的角:①定义:设a 、b 是两条异面直线,经过空间任一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ,把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)。

②范围:⎝⎛⎦⎥⎤0,π2。

3.直线与平面的位置关系 内相平1.公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面。

2.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线。

3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角。

一、走进教材1.(必修2P 43练习T 1改编)下列命题中正确的是( ) A .过三点确定一个平面 B .四边形是平面图形C .三条直线两两相交则确定一个平面D .两个相交平面把空间分成四个区域解析 对于A ,过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面,故A 错误;对于B ,四边形也可能是空间四边形,不一定是平面图形,故B 错误;对于C ,三条直线两两相交,可以确定一个平面或三个平面,故C 错误;对于D ,平面是无限延展的,两个相交平面把空间分成四个区域,故D 正确。

答案 D2.(必修2P 49练习题)若直线a 不平行于平面α,且a ⊄α,则下列结论成立的是( ) A .α内的所有直线与a 异面 B .α内不存在与a 平行的直线 C .α内存在唯一的直线与a 平行 D .α内的直线与a 都相交解析 若直线a 不平行于平面α,且a ⊄α,则线面相交,A 选项不正确,α内存在直线与a 相交;B 选项正确,α内的直线与直线a 的位置关系是相交或者异面,不可能平行;C 选项不正确,因为α内的直线与直线a 的位置关系是相交或者异面,不可能平行;D 选项不正确,α内只有过直线a 与平面的交点的直线与a 相交。

高考数学大一轮复习 第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 理

高考数学大一轮复习 第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 理

a⊂α 无数个 a∥α 没有 a∩α=A a⊥α 一个
3.空间中两个平面的位置关系
位置关系 符号表示
公共点
两平面平行 ________ ________公共点
两平面相交
斜交 ________
垂直
________
有一条公共 ________
α∥β 没有 α∩β=l α⊥β 直线
[基础训练]
1.判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”. (1)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( ) (2)正方体各面所在平面将空间分成9部分.( ) (3)设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M, 则点M一定不在直线l上.( ) (4)四边形一定是平面图形.( )
答案:1或4 解析:如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这 四点不共面,则任意三点可确定一个平面,所以可确定四个.
5 . 如 图 所 示 , 在 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 , E , F 分 别 是 AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________.
[证明] 如图,连接CD1,EF,A1B,
因为E,F分别是AB和AA1的中点, 所以EF∥A1B且EF=12A1B.
又因为A1D1∥BC,且A1D1=BC, 所以四边形A1BCD1是平行四边形, 所以A1B∥CD1, 所以EF∥CD1, 即EF与CD1确定一个平面α. 且E,F,C,D1∈α, 即E,C,D1,F四点共面.
[互动探究] 本调研条件不变,如何证明“CE,D1F,DA交于 一点”?
[互动探究证明] 由调研解析可知EF∥CD1,且EF=12CD1, 所以四边形CD1FE是梯形, 所以CE与D1F必相交.设交点为P,如图, 则P∈CE且P∈D1F. 又因为平面ABCD∩平面A1ADD1= AD, 所以P∈AD, 所以CE,D1F, DA交于一点.

高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系学案

高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系学案

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 平面的基本性质考点2 空间两条直线的位置关系1.位置关系的分类共面直线⎩⎪⎨⎪⎧①相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;②平行直线:同一平面内,没有公共点.异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点. 2.平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角(1)定义:设a ,b 是两条异面直线,经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ,把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角.(2)范围:⎝⎛⎦⎥⎤0,π2.考点3 空间直线、平面的位置关系[必会结论]1.公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.2.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.[考点自测]1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.( )(2)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( )(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线.( )(4)没有公共点的两条直线是异面直线.( )答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.[2018·福州质检]已知命题p:a,b为异面直线,命题q:直线a,b不相交,则p 是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a,b不相交,则a,b平行或异面,所以p是q的充分不必要条件.故选A.3.[课本改编]若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是( ) A.b⊂αB.b∥αC.b⊂α或b∥αD.b与α相交或b⊂α或b∥α答案 D解析b与α相交或b⊂α或b∥α都可以.故选D.4.[2018·衡中调研]已知直线a,b,c,有下面四个命题:①若a,b异面,b,c异面,则a,c异面;②若a,b相交,b,c相交,则a,c相交;③若a∥b,则a,b与c所成的角相等;④若a⊥b,b⊥c,则a∥c.其中真命题的序号是________.答案③解析①a,c可能相交、平行或异面;②a,c可能相交、平行或异面;③正确;④a,c可能相交、平行或异面.5.[2018·大连模拟]如图,在三棱锥C-ABD中,E,F分别是AC和BD的中点,若CD =2AB=4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角是________.答案 30°解析 取CB 的中点G ,连接EG ,FG , ∵EG ∥AB ,FG ∥CD ,∴EF 与CD 所成的角为∠EFG 或其补角.又∵EF ⊥AB ,∴EF ⊥EG . 在Rt △EFG ,EG =12AB =1,FG =12CD =2,∴sin ∠EFG =12,∴∠EFG =30°,∴EF 与CD 所成的角为30°.板块二 典例探究·考向突破 考向平面基本性质的应用例1 如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是AB 和AA 1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.证明(1)如图所示,连接EF,CD1,A1B.∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥BA1.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1.∴E,C,D1,F四点共面.(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE与D1F必相交,设交点为P.则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点.触类旁通1.证明三点共线的两种方法(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,则这三点都在交线上,即三点共线.(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线上,从而得三点共线.2.证明三线共点的思路先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题化归为证明点在直线上的问题.通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上,而第三条直线恰好是两个平面的交线.【变式训练1】如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB、AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.(1)求证:E ,F ,G ,H 四点共面; (2)设EG 与FH 交于点P . 求证:P ,A ,C 三点共线.证明 (1)∵E ,F 分别为AB ,AD 的中点, ∴EF ∥BD . 在△BCD 中,BG GC =DH HC =12,∴GH ∥BD ,∴EF ∥GH ,∴E ,F ,G ,H 四点共面. (2)由(1)知EF 綊12BD ,GH 綊23BD .∴四边形FEGH 为梯形,∴GE 与HF 交于一点,设EG ∩FH =P ,P ∈EG ,EG ⊂平面ABC , ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点, 又平面ABC ∩平面ADC =AC , ∴P ∈AC ,∴P ,A ,C 三点共线.考向空间两条直线的位置关系命题角度1 两直线位置关系的判定例2 [2015·广东高考]若直线l 1和l 2是异面直线,l 1在平面α内,l 2在平面β内,l 是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A .l 与l 1,l 2都不相交B .l 与l 1,l 2都相交C .l 至多与l 1,l 2中的一条相交D .l 至少与l 1,l 2中的一条相交 答案 D解析 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行,故l 1,l 2中至少有一条与l 相交.故选D.命题角度2 异面直线的判定例3 如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为棱C 1D 1,C 1C 的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论序号都填上).答案③④解析因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故①错;取DD1中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE 与AM相交,故②错;因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故③正确;同理④正确,故填③④.触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法考向异面直线所成的角例4 [2017·全国卷Ⅱ]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A.32 B.155 C.105 D.33答案 C解析 将直三棱柱ABC -A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1,如图所示,连接AD 1,B 1D 1,BD .由题意知∠ABC =120°,AB =2,BC =CC 1=1, 所以AD 1=BC 1=2,AB 1=5,∠DAB =60°.在△ABD 中,由余弦定理知BD 2=22+12-2×2×1×cos60°=3,所以BD =3,所以B 1D 1= 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ ,所以cos θ=AB 21+AD 21-B 1D 212×AB 1×AD 1=5+2-32×5×2=105.故选C. 触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角; (2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角;(3)三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.【变式训练2】 如图,在三棱锥A -BCD 中,AB =AC =BD =CD =3,AD =BC =2,点M ,N 分别为AD ,BC 的中点,则异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是________.答案 78解析 如图所示,连接DN ,取线段DN 的中点K ,连接MK ,CK .∵M 为AD 的中点,∴MK ∥AN ,∴∠KMC (或其补角)为异面直线AN ,CM 所成的角.∵AB =AC =BD =CD =3,AD =BC =2,N 为BC 的中点,由勾股定理易求得AN =DN =CM =22,∴MK = 2.在Rt △CKN 中,CK =(2)2+12= 3.在△CKM 中,由余弦定理,得cos ∠KMC =(2)2+(22)2-(3)22×2×22=78,所以异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是78.核心规律1.三个公理的作用是证明点共线、点共面、线共面、线共点等几何问题.2.求异面直线所成的角就是要通过平移转化的方法,将异面直线所成的角转化成同一平面内的直线所成的角,放到同一个可解的三角形中去求解.满分策略1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义,不要理解成“不在同一个平面内”.2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共线”条件.3.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°].板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 11——构造法判定空间线面位置关系[2018·西安模拟]已知m ,n 是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:①若m ⊥α,n ⊥β,m ⊥n ,则α⊥β; ②若m ∥α,n ∥β,m ⊥n ,则α∥β; ③若m ⊥α,n ∥β,m ⊥n ,则α∥β; ④若m ⊥α,n ∥β,α∥β,则m ⊥n . 其中所有真命题的序号是( ) A .①④ B .②④ C .① D .④解题视点判断空间线面的位置关系,常利用正(长)方体及其他几何体模型来判断,把平面、直线看作正(长)方体内及其它几何体平面、侧棱、对角线等进行推导验证,使抽象的推理形象具体化.解析对于①,可以得到平面α,β互相垂直,如图(1)所示,故①正确;对于②,平面α,β可能垂直,如图(2)所示;对于③,平面α,β可能垂直,如图(3)所示;对于④,由m⊥α,α∥β,可得m⊥β.因为n∥β,所以过n作平面γ,且γ∩β=g,如图(4)所示,所以n与交线g平行,因为m⊥g,所以m⊥n.答案 A答题启示由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系,故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系,显得直观、易判断.构造时注意其灵活性,想象各种情况反复验证.跟踪训练[2018·郑州模拟]设l是直线,α,β是两个不同的平面,( )A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥βC.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β答案 B解析解法一:设α∩β=a,若直线l∥a,且l⊄α,l⊄β,则l∥α,l∥β,因此α不一定平行于β,故A错误;由于l∥α,故在α内存在直线l′∥l,又因为l⊥β,所以l′⊥β,故α⊥β,所以B正确;若α⊥β,在β内作交线的垂线l,则l⊥α,此时l在平面β内,因此C错误;已知α⊥β,若α∩β=a,l∥a,且l不在平面α,β内,则l∥α且l∥β,因此D错误.解法二:借助于长方体模型解决本题:对于A,如图①,α与β可相交;对于B,如图②,不论β在何位置,都有α⊥β;对于C,如图③,l可与β平行或l⊂β内;对于D,如图④,l⊥β或l⊂β或l∥β.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1.[2018·济宁模拟]直线l1,l2平行的一个充分条件是( )A.l1,l2都平行于同一个平面B.l1,l2与同一个平面所成的角相等C.l1平行于l2所在的平面D.l1,l2都垂直于同一个平面答案 D解析对A,当l1,l2都平行于同一个平面时,l1与l2可能平行、相交或异面;对B,当l1,l2与同一个平面所成角相等时,l1与l2可能平行、相交或异面;对C,l1与l2可能平行,也可能异面,只有D满足要求.故选D.2.[2018·太原期末]已知平面α和直线l,则α内至少有一条直线与l( )A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面答案 C解析直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在与l平行的直线,∴A错误;l⊂α时,在平面α内不存在与l异面的直线,∴D错误;l∥α时,在平面α内不存在与l 相交的直线,∴B错误.无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.故选C.3.已知a,b,c为三条不重合的直线,已知下列结论:①若a⊥b,a⊥c,则b∥c;②若a⊥b,a⊥c,则b⊥c;③若a∥b,b⊥c,则a⊥c.其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析解法一:在空间中,若a⊥b,a⊥c,则b,c可能平行,也可能相交,还可能异面,并且相交或异面时不一定垂直,所以①②错,③显然成立.解法二:构造长方体或正方体模型可快速判断,①②错,③正确.故选B.4.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案 D解析构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排除A,B,C.故选D.5.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A.点A B.点BC.点C但不过点M D.点C和点M答案 D解析∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.根据公理3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.故选D.6.[2018·大连模拟]已知a,b,c为三条不同的直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,α∩β=c.①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;③若a∥b,则必有a∥c;④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β.其中正确的命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析①中若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交,故①正确;②中平面α⊥平面β时,若b⊥c,则b⊥平面α,此时不论a,c是否垂直,均有a⊥b,故②错误;③中当a∥b时,则a∥平面β,由线面平行的性质定理可得a∥c,故③正确;④中若b∥c,则a⊥b,a⊥c时,a与平面β不一定垂直,此时平面α与平面β也不一定垂直,故④错误,所以正确命题的个数是2.故选C.7.如图在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.15B.25 C.35 D.45答案 D解析 连接BC 1,易证BC 1∥AD 1,则∠A 1BC 1或其补角即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角.连接A 1C 1,由AB =1,AA 1=2,则A 1C 1=2,A 1B =BC 1=5,故cos ∠A 1BC 1=5+5-22×5×5=45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.故选D.8.如图,在三棱锥D -ABC 中,AC =BD ,且AC ⊥BD ,E ,F 分别是棱DC ,AB 的中点,则EF 和AC 所成的角等于( )A .30°B .45°C .60°D .90°答案 B解析 如图所示,取BC 的中点G ,连接FG ,EG . ∵E ,F 分别为CD ,AB 的中点,∴FG ∥AC ,EG ∥BD , 且FG =12AC ,EG =12BD .∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角. ∵AC =BD ,∴FG =EG . ∵AC ⊥BD ,∴FG ⊥EG , ∴∠FGE =90°,∴△EFG 为等腰直角三角形,∴∠EFG =45°,即EF 与AC 所成的角为45°.故选B.9.如图是正四面体的平面展开图,G ,H ,M ,N 分别为DE ,BE ,EF ,EC 的中点,在这个正四面体中,①GH 与EF 平行; ②BD 与MN 为异面直线; ③GH 与MN 成60°角; ④DE 与MN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ②③④解析 还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线,BD 与MN 为异面直线,GH 与MN 成60°角,DE ⊥MN .10.[2018·许昌模拟]如下图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________.答案②④解析①中HG∥MN;③中GM∥HN且GM≠HN,所以直线HG与MN必相交.[B级知能提升]1.[2018·泉州模拟]设a,b是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是( ) A.存在唯一直线l,使得l⊥a,且l⊥bB.存在唯一直线l,使得l∥a,且l⊥bC.存在唯一平面α,使得a⊂α,且b∥αD.存在唯一平面α,使得a⊂α,且b⊥α答案 C解析a,b是互不垂直的两条异面直线,把它放入正方体中如图,由图可知A不正确;由l∥a,且l⊥b,可得a⊥b,与题设矛盾,故B不正确;由a⊂α,且b⊥α,可得a⊥b,与题设矛盾,D不正确.故选C.2.[2018·赤峰模拟]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行答案 D解析如图,连接C1D,在△C1DB中,MN∥BD,故C项正确;因为CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BD,所以MN与CC1垂直,故A项正确;因为AC⊥BD,MN∥BD,所以MN与AC垂直,故B项正确;因为A1B1与BD异面,MN∥BD,所以MN与A1B1不可能平行,D项错误.故选D.3.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是________.(填序号)①A,M,O三点共线;②A,M,O,A1四点共面;③A,O,C,M四点共面;④B,B1,O,M四点共面.答案④解析连接AO,则AO是平面AB1D1与平面AA1C1C的交线.因为A1C⊂平面AA1C1C,M∈A1C,所以M∈平面AA1C1C.又M∈平面AB1D1,所以M∈AO,故A,M,O三点共线,从而易知①②③均正确.4.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(1)求证:AE与PB是异面直线;(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值;(3)求三棱锥A-EBC的体积.解(1)证明:假设AE与PB共面,设平面为α,∵A∈α,B∈α,E∈α,∴平面α即为平面ABE,∴P∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,∴AE与PB是异面直线.(2)取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF或其补角就是异面直线AE 和PB所成角.∵∠BAC =60°,PA =AB =AC =2,PA ⊥平面ABC , ∴AF =3,AE =2,EF =2, cos ∠AEF =2+2-32×2×2=14,∴异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.(3)因为E 是PC 的中点,所以E 到平面ABC 的距离为12PA =1,V A -EBC =V E -ABC =13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×3×1=33. 5.[2018·邯郸一中模拟]已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2,A 1在底面ABC 内的射影O 为底面△ABC 的中心,如图所示.(1)连接BC 1,求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小; (2)连接A 1C ,A 1B ,求三棱锥C 1-BCA 1的体积.解 (1)连接AO ,并延长与BC 交于点D ,则D 是BC 边的中点. ∵点O 是正△ABC 的中心,且A 1O ⊥平面ABC ,∴BC ⊥AD ,BC ⊥A 1O .∵AD ∩A 1O =O ,∴BC ⊥平面ADA 1. ∴BC ⊥AA 1.又AA 1∥CC 1,∴异面直线AA 1与BC 1所成的角为∠BC 1C 或其补角. ∵CC 1⊥BC ,即四边形BCC 1B 1为正方形, ∴异面直线AA 1与BC 1所成角的大小为π4.(2)∵三棱柱的所有棱长都为2, ∴可求得AD =3,AO =23AD =233,A 1O =AA 21-AO 2=263.∴VABC -A 1B 1C 1=S △ABC ·A 1O =22, VA 1-B 1C 1CB =VABC -A 1B 1C 1-VA 1-ABC =423. ∴VC 1-BCA 1=VA 1-BCC 1=12VA 1-BCC 1B 1=223.。

高三数学一轮复习 第七章 第三节 空间点、直线、平面

高三数学一轮复习 第七章 第三节 空间点、直线、平面

新课标 ·理科数学(广东专用)
1.(人教A版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )
①梯形可以确定一个平面;②若两条直线和第三条直线所 成的角相等,则这两条直线平行;③两两相交的三条直线 最多可以确定三个平面;④如果两个平面有三个公共点, 则这两个平面重合.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 ②中两直线可以平行、相交或异面,④中若三 个点在同一条直线上,则两个平面相交,①③正确.
新课标 ·理科数学(广东专用)
1.若直线a⊄平面α,直线b⊄平面α,则直线a,b是异面 直线,这种说法正确吗?
【提示】 此说法不正确,直线a,b都不在平面α内,但 可能都在平面β内.
2.若一条直线l不在平面α内,则直线l与平面α是否一定平 行?
【提示】 不一定.直线l与平面α可能平行,也可能相交.
新课标 ·理科数学(广东专用)
4.(2012·四川高考)如图7-3-1,在 正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分 别是棱CD、CC1的中点,则异面直线 A1M与DN所成的角的大小是________.
【 解 析 】 如 图 , 取 CN 的 中 点 K , 连 接 MK , 则 MK 为 △CDN的中位线,所以MK∥DN.
【思路点拨】 (1)利用中位线的性质证明 GH 綊 BC 即
可. (2)法一 证明 D 点在 EF、CH 确定的平面内. 法二 延长 FE、DC 分别与 AB 交于 M,M′,可证 M
与 M′重合,从而 FE 与 DC 相交证得四点共面.
新课标 ·理科数学(广东专用)
【尝试解答】 (1)由已知 FG=GA,FH=HD, 得 GH 綊12AD. 又 BC 綊12AD,∴GH 綊 BC, ∴四边形 BCHG 是平行四边形.

2022届新高考数学人教版一轮学案:第七章+第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

2022届新高考数学人教版一轮学案:第七章+第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系热点命题分析学科核心素养从近五年的考查情况来看,异面直线所成的角和线面位置关系是高考的热点,其中线面位置关系的相关知识是立体几何部分的基础,单独考查较少,但在解答题中会经常涉及.本节通过空间点、线、面的位置关系提升考生的直观想象、逻辑推理核心素养.授课提示:对应学生用书第128页知识点一平面的基本性质及推理1.平面的基本性质(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.•温馨提醒•异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.1.下列命题中正确的是()A.过三点确定一个平面B.四边形是平面图形C.三条直线两两相交则确定一个平面D.两个相交平面把空间分成四个区域答案:D2.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是()答案:D知识点二 空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线:不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义:设a ,b 是两条异面直线,经过空间任一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ,把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角). ②范围:⎝⎛⎦⎤0,π2. (3)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(4)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. • 温馨提醒 •过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.1.(2021·济宁调研)若直线a 不平行于平面α,且a ⊄α,则下列结论成立的是( ) A .α内的所有直线与a 异面 B .α内不存在与a 平行的直线 C .α内的直线与a 都相交 D .α内存在唯一的直线与a 平行 答案:B2.若∠AOB =∠A 1O 1B 1,且OA ∥O 1A 1,OA 与O 1A 1的方向相同,则下列结论中正确的是( ) A .OB ∥O 1B 1且方向相同 B .OB ∥O 1B 1 C .OB 与O 1B 1不平行 D .OB 与O 1B 1不一定平行 答案:D3.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是AB ,AD 的中点,则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为________.答案:60°知识点三空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.•温馨提醒•直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.1.若平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是() A.AB∥CD B.AD∥CBC.AB与CD相交D.A,B,C,D四点共面答案:D2.(2021·昆明市高三调研)设l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且l⊂α,m ⊂β.下列结论正确的是()A.若α⊥β,则l⊥βB.若l⊥m,则α⊥βC.若α∥β,则l∥βD.若l∥m,则α∥β答案:C授课提示:对应学生用书第129页题型一平面的基本性质及应用自主探究1.在空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH 相交于点P,那么()A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面DBC内D.点P必在平面ABC外答案:A2.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.(1)求证:E ,F ,G ,H 四点共面;(2)设EG 与FH 交于点P ,求证:P ,A ,C 三点共线.证明:(1)∵E ,F 分别为AB ,AD 的中点,∴EF ∥BD . 在△BCD 中,BG GC =DH HC =12,∴GH ∥BD ,∴EF ∥GH ,∴E ,F ,G ,H 四点共面. (2)由(1)知EF 綊12BD ,GH 綊23BD .∴四边形FEGH 为梯形,∴GE 与HF 交于一点P , P ∈EG ,EG ⊂平面ABC , ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点,又平面ABC ∩平面ADC =AC ,∴P ∈AC ,∴P ,A ,C 三点共线.证明线共面或点共面的三种方法(1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面.(2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.(3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α、β重合.题型二 空间两条直线的位置关系 自主探究1.(2021·福州质检)若直线l 1和l 2是异面直线,l 1在平面α内,l 2在平面β内,l 是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( ) A .l 与l 1,l 2都不相交 B .l 与l 1,l 2都相交C .l 至多与l 1,l 2中的一条相交D .l 至少与l 1,l 2中的一条相交 答案:D2.(2021·大连期末测试)如图为一个正方体的表面展开图,则在原正方体中,线段AB ,CD 的位置关系是()A.平行B.垂直但不相交C.异面但不垂直D.相交答案:D3.(多选题)(2021·八省联考模拟卷)如图是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中()A.AE∥CD B.CH∥BEC.DG⊥BH D.BG⊥DE解析:由正方体的平面展开图还原正方体如图所示,由图形可知,AE⊥CD,故A错误;由HE∥BC,HE=BC,得四边形BCHE为平行四边形,所以CH∥BE,故B正确;因为DG⊥HC,DG⊥BC,HC∩BC=C,所以DG⊥平面BHC,所以DG⊥BH,故C正确;因为BG∥AH,而DE⊥AH,所以BG⊥DE,故D正确.答案:BCD题型三异面直线所成的角合作探究[例]如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15 B .25 C.35 D .45[解析] 连接BC 1,易证BC 1∥AD 1,则∠A 1BC 1(或其补角)即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角.连接A 1C 1,由AB =1,AA 1=2, 则A 1C 1=2,A 1B =BC 1=5, 故cos ∠A 1BC 1=5+5-22×5×5=45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.[答案] D[变式探究1] 将本例条件“AA 1=2AB =2”改为“AB =1,若平面ABCD 内有且仅有一点到顶点A 1的距离为1”,问题不变.解析:由平面ABCD 内有且仅有一点到A 1的距离为1, 则AA 1=1.此时正四棱柱变为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,由图知A 1B 与AD 1所成角为∠A 1BC 1,连接A 1C 1(图略). 则△A 1BC 1为等边三角形,∴∠A 1BC 1=60°,∴cos ∠A 1BC 1=12,故异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为12.[变式探究2] 将本例条件“AA 1=2AB =2”改为“AB =1,且平面ABCD 内有且仅有一点到顶点A 1的距离为1”,则是否存在过顶点A 的直线l ,使l 与棱AB ,AD ,AA 1所成角都相等,若存在,存在几条?若不存在,说明理由.解析:由条件知,此时正四棱柱为正方体.如图,连接对角线AC 1,显然AC 1与棱AB ,AD ,AA 1所成角都相等,联想正方体的其他体对角线.如连接BD 1,则BD 1与棱BC ,BA ,BB 1所成的角都相等,因为BB 1∥AA 1,BC ∥AD .∴体对角线BD 1与棱AB ,AD ,AA 1所成的角都相等.同理体对角线A 1C ,DB 1也与棱AB ,AD ,AA 1所成角都相等,故过A 作BD 1,A 1C ,DB 1的平行线都满足,故这样的直线可以作4条.求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.(2)求异面直线所成的角的三步曲:“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要灵活,经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出异面直线所成的角,转化为解三角形问题,进而求解.[对点训练](2021·太原模拟)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若AB =BB 1,D 是CC 1的中点,则CA 1与BD 所成角的大小是( ) A.π3 B .5π12C.π2D .7π12答案:C判断空间线、面间的位置关系中的核心素养直观想象——构造模型解决空间线、面位置关系[例]已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.其中所有正确的命题是()A.①④B.②④C.①D.④[解析]借助于长方体模型来解决本题.[答案] A1.构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观模型,然后将问题利用模型直观地作出判断,这样减少了抽象性,避免了因考虑不全面而导致解题错误.2.由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系,故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系,显得直观、易判断.构造时注意其灵活性,想象各种情况反复验证.[对点训练](2021·郑州模拟)已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则() A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能答案:D。

2022版高考数学一轮复习第七章立体几何第三讲空间点直线平面之间的位置关系学案含解析新人教版

2022版高考数学一轮复习第七章立体几何第三讲空间点直线平面之间的位置关系学案含解析新人教版

第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一平面的基本性质公理1:如果一条直线上的__两点__在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.公理2:过__不共线__的三点,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们__有且只有一条__过该点的公共直线.知识点二空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥b a∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b=A a∩α=A α∩β=l独有关系图形语言符号语言a,b是异面直线a⊂α(1)异面直线所成的角①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的__锐角或直角__叫做异面直线a与b所成的角.②X 围:⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π2.(2)平行公理平行于同一条直线的两条直线__平行__. (3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角__相等或互补__.归纳拓展异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线. 用符号可表示为:若l ⊂α,A ∉α,B ∈α,B ∉l ,则直线AB 与l 是异面直线(如图).双基自测题组一 走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a ,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a .( √ )(2)两个平面α,β有一个公共点A ,就说α,β相交于过A 点的任意一条直线.( × ) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( × ) (4)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( √ ) (5)两两相交的三条直线共面.( × )(6)若a ,b 是两条直线,α,β是两个平面,且a ⊂α,b ⊂β,则a ,b 是异面直线.( × ) 题组二 走进教材2.(必修2P 52B 组T1)如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是AB ,AD 的中点,则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为( C )A .30°B .45°C .60°D .90°[解析]连接B 1D 1,D 1C ,则B 1D 1∥EF ,故∠D 1B 1C 即为所求的角.又B 1D 1=B 1C =D 1C ,∴△B 1D 1C 为等边三角形,∴∠D 1B 1C =60°.故选C .3.(必修2P 45例2)如图,在三棱锥A -BCD 中,E ,F ,G ,H 分别是棱AB ,BC ,CD ,DA 上的点,(1)若AE EB =AH HD 且CF FB =CGGD,则E 、F 、G 、H 是否共面.__共面__.(2)若E 、F 、G 、H 分别为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点,①当AC ,BD 满足条件__AC =BD __时,四边形EFGH 为菱形;②当AC ,BD 满足条件__AC =BD 且AC ⊥BD __时,四边形EFGH 为正方形.题组三 走向高考4.(2019·新课标Ⅲ)如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,则( B )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线[解析]∵点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,M是线段ED的中点,∴BM⊂平面BDE,EN⊂平面BDE,∵BM是△BDE中DE边上的中线,EN是△BDE中BD边上的中线,∴直线BM,EN是相交直线,设DE=a,则BD=2a,∵平面ECD⊥平面ABCD,∴BE=34a2+54a2=2a,∴BM=72a,EN=34a2+14a2=a,∴BM≠EN,故选B.5.(2017·新课标Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( C )A.32B.155C .105D .33[解析]解法一:如图所示,补成四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1,连DC 1、BD ,则DC 1∥AB 1,∴∠BC 1D 即为异面直线AB 1与BC 1所成的角, 由题意知BC 1=2,BD =22+12-2×2×1×cos 60°=3, C 1D =5,∴BC 21+BD 2=C 1D 2,∴∠DBC 1=90°,∴cos ∠BC 1D =25=105.故选C .解法二:如图所示,分别延长CB ,C 1B 1至D ,D 1,使BD =BC ,B 1D 1=B 1C 1,连接DD 1,B 1D .由题意知,C 1B 綊B 1D ,则∠AB 1D 即为异面直线AB 1与BC 1所成的角.连接AD ,在△ABD 中,由AD 2=AB 2+BD 2-2AB ·BD ·cos ∠ABD ,得AD =3.又B 1D =BC 1=2,AB 1=5, ∴cos ∠AB 1D =AB 21+B 1D 2-AD22AB 1·B 1D=5+2-32×5×2=105.解法三:(理)(向量法)如图建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),A (2,0,0),B 1(0,0,1),C 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-12,32,1,从而AB 1→=(-2,0,1),BC 1→=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-12,32,1,记异面直线AB 1与BC 1所成角为θ,则cos θ=|AB 1→·BC 1→||AB 1→|·|BC 1→|=25×2=105,故选C .考点突破·互动探究考点一 平面基本性质的应用——自主练透例1 如图,在空间四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,AD 的中点,G ,H 分别在BC ,CD 上,且BG ∶GC =DH ∶HC =1∶2.(1)求证:E ,F ,G ,H 四点共面;(2)设EG 与FH 交于点P ,求证:P ,A ,C 三点共线. [解析](1)证明:∵E ,F 分别为AB ,AD 的中点, ∴EF ∥BD . 在△BCD 中,BG GC =DH HC =12,∴GH∥BD,∴EF∥GH.∴E,F,G,H四点共面.(2)∵EG∩FH=P,P∈EG,EG⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC∩平面ADC=AC,∴P∈AC,∴P,A,C三点共线.注:本题(2)可改为:求证GE、HF、AC三线共点.名师点拨1.证明空间点共线问题的方法(1)公理法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.2.点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.3.证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.〔变式训练1〕如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.[解析](1)如图,连接EF,CD1,A1B.因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥A1B.又A1B∥CD1,所以EF∥CD1,所以E,C,D1,F四点共面.(2)因为EF∥CD1,EF<CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P,则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直线DA.所以CE,D1F,DA三线共点.考点二空间两条直线的位置关系——师生共研例2 (1)(2019·某某)已知平面α、β、γ两两垂直,直线a、b、c满足:a⊂α,b⊂β,c⊂γ,则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系( B )A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为__③④__(注:把你认为正确的结论序号都填上).[解析](1)如图1,可得a、b、c可能两两垂直;如图2,可得a、b、c可能两两相交;如图3,可得a、b、c可能两两异面;故选B.(2)因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故①错;取DD1中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE与AM相交,故②错;因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN 不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故③正确;同理④正确,故填③④.名师点拨1.异面直线的判定方法(1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.(2)判定定理法:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质.(2)平行四边形的对边平行.(3)平行线分线段成比例定理.(4)公理:若a∥b,b∥c,则a∥c.〔变式训练2〕(1)(2021·某某诊断)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有__3__对.(2)(2021·某某调研改编)下图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是( C )A.①③B.②③C.②④D.②③④[解析](1)画出该正方体的直观图如图所示,其中异面直线有(AB,GH),(AB,GD),(GH,EB).故共有3对.故答案为3.(2)图①中,直线GH ∥MN ;图②中,G ,H ,N 三点共面,但M ∉平面GHN ,N ∉HG ,因此直线GH 与MN 异面;图③中,连接MG ,GM ∥HN ,因此GH 与MN 共面;图④中,G 、M 、N 共面,但H ∉平面GMN ,G ∉MN 因此GH 与MN 异面,故选C . 考点三异面直线所成的角——师生共研例3 (1)(2021·某某某某模拟)如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为A 1B 1,CD 的中点,则异面直线D 1E 与A 1F 所成的角的余弦值为( A )A .55B .56C .33D .36(2)(2021·某某某某模拟)如图,在三棱锥A -BCD 中,AB =AC =BD =CD =3,AD =BC =2,点M ,N 分别为AD ,BC 的中点,则异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是( C )A .58B .58C .78D .78(3)若两条异面直线a 、b 所成角为60°,则过空间一点O 与两异面直线a 、b 所成角都为60°的直线有__3__条.[解析](1)解法一:(平移法) 如图,连接BE ,BF 、D 1F ,由题意知BED 1F 为平行四边形, ∴D 1E ∥BF ,∴异面直线D 1E 与A 1F 所成角为A 1F 与BF 所成锐角,即∠A 1FB , 连接A 1B ,设AB =2, 则在△A 1BF 中,A 1B =22,BF =5,A 1F =AA 21+AD 2+DF 2=3,∴cos ∠A 1FB =A 1F 2+BF 2-A 1B 22·A 1F ·BF=9+5-82×3×5=55.∴异面直线D 1E 与A 1F 所成的角的余弦值为55.故选A . 解法二:(理)(向量法)如图建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2,异面直线D 1E 与A 1F 所成角为θ, 则D 1E →=(2,1,0),A 1F →=(-2,1,-2),∴cos θ=|D 1E →·A 1F →||D 1E →|·|A 1F →|=35×3=55.故选A . (2)连接ND ,取ND 的中点E ,连接ME ,则ME ∥AN ,异面直线AN ,CM 所成的角就是∠EMC ,∵AN =AB 2-BN 2=22,∴ME =2=EN ,MC =22,又∵EN ⊥NC ,∴EC =EN 2+NC 2=3,∴cos ∠EMC =EM 2+MC 2-EC 22EM ·MC=2+8-32×2×22=78.故选C .(3)如图,过O 分别作a ′∥a ,b ′∥b , 则a ′,b ′所成角为60°,如图易知过O 与a ′、b ′所成角都为60°的直线有3条, 即与a ,b 所成角都为60°的直线有3条.[引申1]本例(2)中MN 与BD 所成角的余弦值为__73__.[解析]取CD 的中点H ,连DN ,NH ,MH ,则NH ∥BD ,∠HNM 为异面直线MN 与BD所成的角,由题意知AN =22,从而MN =7,又NH =32=MH ,∴cos ∠HNM =12MNNH=73.[引申2]本例(3)中与异面直线a 、b 所成角都为75°的直线有__4__条. 注:与异面直线所成角都为θ,则 (1)0<θ<π6时,0条;(2)θ=π6时,1条;(3)π6<θ<π3时,2条; (4)π3<θ<π2时,4条; (5)θ=π2时,1条.名师点拨求异面直线所成角的方法 1.平移法(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角. (2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角. (3)三求:解三角形,求出所作的角.注:①为便于作出异面直线所成角,可用补形法,如将三棱柱补成四棱柱;②注意余弦定理的应用.2.(理)向量法建立空间直角坐标系,利用公式|cos θ|=|m ·n ||m ||n |求出异面直线的方向向量的夹角.若向量夹角是锐角或直角,则该角即为异面直线所成角;若向量夹角是钝角,则异面直线所成的角为该角的补角.〔变式训练3〕(1)(2021·某某某某调研)如图,等边△ABC 为圆锥的轴截面,D 为AB 的中点,E 为弧BC 的中点,则直线DE 与AC 所成角的余弦值为( C )A .13B .12C .22D .34(2)(2021·某某师大附中期中)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,AB =AC =AA 1,则直线A 1B 与AC 1所成角的大小为( B )A .30°B .60°C .90°D .120°[解析](1)取BC 的中点O ,连接OE ,OD ,∵D 为AB 的中点,∴OD ∥AC ,∴∠EDO 即为DE 与AC 所成的角,由E 为BC ︵的中点得OE ⊥BC ,又平面ABC ⊥平面BCE , ∴OE ⊥平面ABC ,从而OE ⊥OD , 设正△ABC 的边长为2a ,则OD =a =OE , ∴cos ∠EDO =cos π4=22,故选C .(2)解法一:(平移法)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,连接A 1C ,A 1C ∩AC 1=O ,则O 为A 1C 的中点,取BC 的中点H ,连接OH ,则OH ∥A 1B ,∴∠AOH 或其补角即为直线A 1B 与AC 1所成的角.设AB =AC =AA 1=1,则BC =2,易得AO =AH =OH =22,∴三角形AOH 是正三角形,∴∠AOH =60°,即异面直线所成角为60°.故选B . 解法二:(理)(向量法)如图建立空间直角坐标系,不妨设AB =1,A 1B 与AC 1所成角为θ,则A 1B →=(1,0,-1),AC 1→=(0,1,1),∴cos θ=|A 1B →·AC 1→||A 1B →|·|AC 1→|=12×2=12. ∴θ=60°,故选B .名师讲坛·素养提升空间几何体的截面问题例4 (原创)E 、F 分别为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CC 1、C 1D 1的中点,若AB=6,则过A 、E 、F 三点的截面的面积为__71532__.[解析]作直线EF 分别与直线DC 、DD 1相交于P 、Q ,连AP 交BC 于M ,连AQ 交A 1D 1于N ,连接NF 、ME . 则五边形AMEFN 即为过A 、E 、F 三点的截面. 由题意易知AP =AQ =117,PQ =92,∴S △APQ =91532, 又ME ∥AQ ,且EM AQ =13,∴S △MPE =S △QNF =19S △APQ ,∴S AMEFN =79S △APQ =71532.名师点拨作出截面的关键是找到截线,作出截线的主要根据有: (1)确定平面的条件; (2)三线共点的条件; (3)面面平行的性质定理. 〔变式训练4〕(2021·百师联盟联考)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,用一个平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,则下列结论正确的是__(1)(4)__.(1)这两部分的表面积也相等 (2)截面可以是三角形 (3)截面可以是五边形 (4)截面可以是正六边形[解析]平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,则平面α一定过正方体的中心,所以这两部分的表面积也相等,根据对称性,截面不会是三角形、五边形,但可以是正六边形(如图).故选(1)(4).。

2021新高考数学新课程一轮复习:第七章 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系含解析

2021新高考数学新课程一轮复习:第七章 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系含解析

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系组基础关1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C l,直线AB∩l=M,过A,B,C 三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过()A.点A B.点BC.点C但不过点M D.点C和点M答案 D解析因为M∈AB⊂平面ABC,C∈平面ABC.M∈l⊂β,C∈β,所以γ∩β=直线CM.2.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又a⊂α,b⊂β,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能异面或平行.故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.3.(2019·华南师大附中模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是线段BC上的动点,F是线段CD1上的动点,且E,F不重合,则直线AB1与直线EF的位置关系是()A.相交且垂直B.共面C.平行D.异面且垂直答案 D解析如图所示,AB1⊥平面BCD1,EF⊂平面BCD1,故AB1⊥EF且AB1与EF异面.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线()A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条答案 D解析在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点,如图所示,所以D正确.5.下列各图是正方体和正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是()答案 D解析①在A中易证PS∥QR,∴P,Q,R,S四点共面.②在C中易证PQ ∥SR,∴P,Q,R,S四点共面.③在D中,∵QR⊂平面ABC,PS∩平面ABC=P且P QR,∴直线PS与QR为异面直线.∴P,Q,R,S四点不共面.④在B 中P,Q,R,S四点共面,证明如下:取BC中点N,可证PS,NR交于直线B1C1上一点,∴P,N,R,S四点共面,设为α,可证PS∥QN,∴P,Q,N,S四点共面,设为β.∵α,β都经过P,N,S三点,∴α与β重合,∴P,Q,R,S四点共面.故选D.6.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处,若M为线段A′C的中点,则异面直线BM 与P A′所成角的正切值为()A.12B.2 C.14D.4答案 A解析 取A ′D 的中点N ,连接PN ,MN (如图),由于M 是A ′C 的中点,故MN ∥CD ∥PB ,且MN =PB ,故四边形PBMN 为平行四边形,故MB ∥PN ,在Rt △A ′DP 中,tan ∠A ′PN =A ′N A ′P =12,即异面直线BM 与P A ′所成角的正切值为12.7.如图,已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形,C 是圆柱下底面弧AB ︵的中点,C 1是圆柱上底面弧A 1B 1︵的中点,那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________.答案2解析 如图,取圆柱下底面AB ︵的另一中点D ,连接C 1D ,AD ,因为C 是圆柱下底面AB ︵的中点,所以AD ∥BC ,所以直线AC 1与AD 所成的角即为异面直线AC 1与BC 所成的角,因为C 1是圆柱上底面A 1B 1︵的中点,所以C 1D 垂直于圆柱下底面,所以C 1D ⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D=2AD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为2,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.8.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH 在原正方体中互为异面直线的对数为________.答案 3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB 与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行.故互为异面直线的有3对.9.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB的中点为M,DD′的中点为N,则异面直线B′M与CN所成的角是________.答案90°解析取AA′的中点Q,连接QN,BQ,设BQ与B′M相交于点H,则QN AD BC,从而有四边形NQBC为平行四边形,所以NC∥QB,则有∠B′HB 或其补角为异面直线B′M与CN所成的角.又因为B′B=BA,∠B′BM=∠BAQ=90°,BM=AQ,所以△B′BM≌△BAQ,所以∠MB′B=∠QBM.而∠B′MB+∠MB′B=90°,从而∠B′MB+∠QBM=90°,所以∠MHB=90°,所以∠B′HB=90°,即异面直线B′M与CN所成的角是90°.10. (2020·广州模拟)如图,圆柱O1O2的底面圆半径为1,AB是一条母线,BD 是⊙O1的直径,C是上底面圆周上一点,∠CBD=30°,若A,C两点间的距离为7,则圆柱O1O2的高为________,异面直线AC与BD所成角的余弦值为________.答案23714解析连接CD,则∠BCD=90°,因为圆柱O1O2的底面圆半径为1,所以BD =2.因为∠CBD=30°,所以CD=1,BC=3,易知AB⊥BC,所以AC=AB2+BC2=7,所以AB=2,故圆柱O1O2的高为2.连接AO2并延长,设AO2的延长线与下底面圆周交于点E,连接CE,则AE=2,∠CAE即异面直线AC与BD所成的角.又CE=DE2+CD2=5,所以cos∠CAE=AC2+AE2-CE22AC·AE=7+4-52×7×2=3714.组能力关1.(2019·湖北重点中学联考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,O 为底面矩形ABCD两条对角线的交点,若异面直线A1O与BC所成的角为60°,则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为()A.4 2 B.4 3 C.8 2 D.8 3答案 A解析如图,取AB的中点E,连接OE,则有OE∥BC,且OE=12BC=1,所以∠A1OE即为异面直线A1O与BC所成的角,所以∠A1OE=60°.在直角三角形A1OE中,A1E=OE·tan60°=3,故在直角三角形A1AE中,A1A=A1E2-AE2=(3)2-1=2,所以长方体的体积为V=S正方形ABCD·AA1=2×2×2=4 2.2.(2019·蓉城名校联考)如图,在底面边长为R的正六棱锥A-CDEFGH中,以其高AB为直径的球面分别与AC,AD交于M,N两点,若球的半径也为R,那么BM,BN夹角的余弦值为()A.45 B.35C.1825 D.1725答案 B解析如图所示,在Rt△ABD中,BD=R,AB=2R,△ABD∽△BND∽△ANB,所以DNNB =NBAN=BDAB=12,所以DNAN=14,ANAD=45,同理,可证AMAC=45,在△ACD中,ANAD=AMAC=45,所以MN∥CD,所以MNCD=45,所以MN=45R,在△BMN中,BM=BN=2R5,MN=45R,由余弦定理得cos∠MBN =4R25+4R25-⎝⎛⎭⎪⎫45R22·4R25=35.3.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________.答案78解析如图所示,连接ND,取ND的中点E,连接ME,CE,则ME∥AN,则异面直线AN,CM所成的角即为∠EMC.由题可知CN=1,AN=22,∴ME= 2.又CM=22,DN=22,NE=2,∴CE=3,则cos∠EMC=CM2+ME2-CE22CM·ME=8+2-32×22×2=78.4.(2019·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是________.答案②③④解析还原成正四面体A-DEF,如图所示,其中H与N重合,A,B,C三点重合.易知GH与EF异面,BD与MN异面.又△GMH为等边三角形,∴GH与MN成60°角,易证DE⊥AF,MN∥AF,∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.组素养关1.(2019·广西桂林中学高三模拟)(多选)如图,在直二面角A-BD-C中,△ABD,△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形,取AD的中点E,将△ABE沿BE翻折到△A1BE,在△ABE的翻折过程中,下列可能成立的是()A.BC与平面A1BE内某直线平行B.CD∥平面A1BEC.BC与平面A1BE内某直线垂直D.BC⊥A1B答案 ABC解析 连接CE ,当平面A 1BE 与平面BCE 重合时,BC ⊂平面A 1BE ,所以平面A 1BE 内必存在与BC 平行和垂直的直线,故A ,C 可能成立;在平面BCD 内过B 作CD 的平行线BF ,使得BF =CD ,连接EF ,则当平面A 1BE 与平面BEF 重合时,BF ⊂平面A 1BE ,故平面A 1BE 内存在与BF 平行的直线,即平面A 1BE 内存在与CD 平行的直线,所以CD ∥平面A 1BE ,故B 可能成立.若BC ⊥A 1B ,又A 1B ⊥A 1E ,则A 1B 为直线A 1E 和BC 的公垂线,所以A 1B <CE ,设A 1B =1,则经计算可得CE =32,与A 1B <CE 矛盾,故D 不可能成立.故选ABC.2.(2019·陕西西安交大附中高三模拟)如图,已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动,点N 在正方体的底面ABCD 内运动,则MN 的中点P 的轨迹的面积是________.答案 π2解析 连接DN ,则△MDN 为直角三角形,在Rt △MDN 中,MN =2,P 为MN 的中点,连接DP ,则DP =1,所以点P 在以D 为球心,半径R =1的球面上,又因为点P 只能落在正方体上或其内部,所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18,故所求面积S =18×4πR 2=π2.3.(2019·江西南昌二中高三模拟)如图所示,AC 是圆O 的直径,B ,D 是圆O 上两点,AC =2BC =2CD =2,P A ⊥圆O 所在的平面,P A =3,点M 在线段BP 上,且BM =13BP .(1)求证:CM∥平面P AD;(2)求异面直线BP与CD所成角的余弦值.解(1)证明:如图,作ME⊥AB于点E,连接CE,则ME∥AP.因为AC是圆O的直径,AC=2BC=2CD=2,所以AD⊥DC,AB⊥BC,所以∠BAC=∠CAD=30°,∠BCA=∠DCA=60°,AB=AD=3,因为BM=13BP,所以BE=13BA=33,tan∠BCE=BEBC=33,所以∠BCE=∠ECA=30°=∠CAD,所以EC∥AD.又ME∩CE=E,P A∩DA=A,所以平面MEC∥平面P AD,又CM⊂平面MEC,CM⊄平面P AD,所以CM∥平面P AD.(2)过点A作平行于BC的直线交CD的延长线于点G,作BF ∥CG 交AG 于点F ,连接PF ,则∠PBF 或其补角为异面直线BP 与CD 所成的角,设∠PBF =θ.易知AF =1,BP =6,BF =2,PF =2,故cos θ=BP 2+BF 2-PF 22BP ·BF =6+4-426×2=64.即异面直线BP 与CD 所成角的余弦值为64.。

高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第3节 空间点、

高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第3节 空间点、
Байду номын сангаас
(2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈直线 CE,CE⊂平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD.8 分 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA,∴CE,D1F,DA 三线共点.12 分
[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法: (1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面. (2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面 α,再证明其余元素确定平面 β,最后证明平面 α,β 重合. 2.证明点共线问题的常用方法: (1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基 本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线 上.
[变式训练 1] 如图 7-3-3 所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形,BC 綊12AD,BE 綊12FA,G,H 分别为 FA,FD
的中点. (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形;
(2)C,D,F,E 四点是否共面?为什么?
图 7-3-3
[解] (1)证明:由已知 FG=GA,FH=HD,得 GH 綊12AD.2 分
平面的基本性质
如图 7-3-2,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分 别是 AB 和 AA1 的中点.求证:
(1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点.
【导学号:31222249】
图 7-3-2
[证明] (1)如图,连接 EF,CD1,A1B. ∵E,F 分别是 AB,AA1 的中点, ∴EF∥BA1.2 分 又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E,C,D1,F 四点共面.5 分
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高考数学一轮复习第七章立体几何第三节空间点直线平面之间的位置关系学案文含解析新人教A版第三节空间点、直线、平面之间的位置关系2019考纲考题考情1.平面的基本性质2.空间两直线的位置关系(2)平行公理:公理4:平行于同一直线的两条直线互相平行——空间平行线的传递性。

(3)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

(4)异面直线所成的角:①定义:设a 、b 是两条异面直线,经过空间任一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ,把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)。

②范围:⎝⎛⎦⎥⎤0,π2。

3.直线与平面的位置关系1.公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面。

2.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线。

3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角。

一、走进教材1.(必修2P 43练习T 1改编)下列命题中正确的是( ) A .过三点确定一个平面 B .四边形是平面图形C .三条直线两两相交则确定一个平面D .两个相交平面把空间分成四个区域解析 对于A ,过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面,故A 错误;对于B ,四边形也可能是空间四边形,不一定是平面图形,故B 错误;对于C ,三条直线两两相交,可以确定一个平面或三个平面,故C 错误;对于D ,平面是无限延展的,两个相交平面把空间分成四个区域,故D 正确。

答案 D2.(必修2P 49练习题)若直线a 不平行于平面α,且a ⊄α,则下列结论成立的是( ) A .α内的所有直线与a 异面 B .α内不存在与a 平行的直线 C .α内存在唯一的直线与a 平行 D .α内的直线与a 都相交解析 若直线a 不平行于平面α,且a ⊄α,则线面相交,A 选项不正确,α内存在直线与a 相交;B 选项正确,α内的直线与直线a 的位置关系是相交或者异面,不可能平行;C 选项不正确,因为α内的直线与直线a 的位置关系是相交或者异面,不可能平行;D 选项不正确,α内只有过直线a 与平面的交点的直线与a 相交。

故选B 。

答案 B 二、走近高考3.(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CC 1的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A .22B .32C .52D .72解析 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,CD ∥AB ,所以异面直线AE 与CD 所成角为∠EAB ,设正方体棱长为2a ,则由E 为棱CC 1的中点,可得CE =a ,所以BE =5a 。

又由AB ⊥平面BCC 1B 1,可得AB ⊥BE ,所以tan ∠EAB =BEAB =5a 2a =52。

故选C 。

答案 C4.(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为( )A .32B .22C .33D .13解析 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1外依次再作两个一样的正方体,如图所示,易知AE ∥B 1D 1,AF ∥CD 1,所以平面AEF ∥平面CB 1D 1,即平面AEF 就是过点A 的平面α,所以AE 为平面α与平面ABCD 的交线,即为m ,AF 为平面α与平面ABB 1A 1的交线,即为n ,所以m ,n 所成角即为AE 与AF 所成角,也是B 1D 1与CD 1所成角,为∠CD 1B 1。

而△CD 1B 1为等边三角形,因此∠CD 1B 1=π3,所以sin ∠CD 1B 1=32。

答案 A 三、走出误区微提醒:①对等角定理条件认识不清致误;②缺乏空间想象能力致误。

5.若∠AOB =∠A 1O 1B 1,且OA ∥O 1A 1,OA 与O 1A 1的方向相同,则下列结论中正确的是( ) A .OB ∥O 1B 1且方向相同 B .OB ∥O 1B 1 C .OB 与O 1B 1不平行 D .OB 与O 1B 1不一定平行解析 两角相等,角的一边平行且方向相同,另一边不一定平行,故选D 。

答案 D6.已知直线a 和平面α,β,α∩β=l ,a ⊄α,a ⊄β,且a 在α,β内的射影分别为直线b 和c ,则直线b 和c 的位置关系是( )A .相交或平行B .相交或异面C .平行或异面D .相交、平行或异面解析 依题意,直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面。

故选D 。

答案 D7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB ∥CD ,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________。

解析EF与正方体左、右两侧面均平行。

所以与EF相交的平面有4个。

答案 4考点一平面的基本性质【例1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列说法是否正确,并说明理由。

(1)直线AC1在平面CC1B1B内;(2)设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1;(3)由点A,O,C可以确定一个平面;(4)由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;(5)设直线l是平面ABCD内的直线,直线m是平面DD1C1C内的直线,若l与m相交,则交点一定在直线CD上。

解(1)错误。

若AC1⊂平面CC1B1B,又BC⊂平面CC1B1B,则A∈平面CC1B1B,且B∈平面CC1B1B,所以AB⊂平面CC1B1B,与AB⊄平面CC1B1B矛盾,故(1)中说法错误。

(2)正确。

因为O,O1是两平面的两个公共点,所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1。

(3)错误。

因为A,O,C三点共线,所以不能确定一个平面。

(4)正确。

因为A,C1,B1不共线,所以A,C1,B1三点可确定平面α,又四边形AB1C1D 为平行四边形,AC1,B1D相交于O2点,而O2∈α,B1∈α,所以B1O2⊂α,又D∈B1O2,所以D∈α。

(5)正确。

若l与m相交,则交点是两平面的公共点,而直线CD为两平面的交线,所以交点一定在直线CD上。

1.三个公理是立体几何的基础。

公理1是确定直线在平面内的依据;公理2是利用点或直线确定平面的依据;公理3是确定两个平面有一条交线的依据,同时也是证明多点共线、多线共点的依据。

2.证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用公理3,证明点在两个平面的交线上,或者选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在该直线上。

【变式训练】(1)在空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH相交于点P,那么( )A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面DBC内D.点P必在平面ABC外(2)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是( )解析(1)如图,因为EF⊂平面ABC,而GH⊂平面ADC,且EF和GH相交于点P,所以P 在两面的交线上,因为AC是两平面的交线,所以点P必在直线AC上。

(2)A、B、C图中四点一定共面,D中四点不共面。

答案(1)A (2)D考点二空间两条直线的位置关系微点小专题方向1:异面直线的判定【例2】(2019·益阳、湘潭调研考试)下图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有( )A.①③B.②③C.②④D.②③④解析由题意,可知题图①中,GH∥MN,因此直线GH与MN共面;题图②中,G,H,N 三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此直线GH与MN共面;题图④中,连接GN,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,所以直线GH 与MN异面。

故选C。

答案 C异面直线的判定方法1.反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面。

此法在异面直线的判定中经常用到。

2.定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线。

方向2:平行垂直的判定【例3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行解析如图,连接C1D,则C1D过点N,在△C1DB中,MN∥BD,故C正确;因为CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BD,所以MN与CC1垂直,故A正确;因为AC⊥BD,MN∥BD,所以MN与AC垂直,故B正确;因为A1B1与BD异面,MN∥BD,所以MN与A1B1不可能平行,故D错误。

答案 D线线平行或垂直的判定方法1.对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断。

2.对于线线垂直,往往利用线面垂直的定义,由线面垂直得到线线垂直。

【题点对应练】1.(方向1)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线。

其中正确的结论为________(注:把正确结论的序号都填上)。

解析A,M,C1三点共面,且在平面AD1C1B中,但C∉平面AD1C1B,因此直线AM与CC1是异面直线,同理AM与BN也是异面直线,AM与DD1也是异面直线;①②错误,④正确;M,B,B1三点共面,且在平面MBB1中,但N∉平面MBB1,因此直线BN与MB1是异面直线,③正确。

答案③④2.(方向2)若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列命题中正确的是( )①若直线m,n都平行于平面α,则m,n一定不是相交直线;②若直线m,n都垂直于平面α,则m,n一定是平行直线;③已知平面α,β互相垂直,且直线m,n也互相垂直,若m⊥α,则n⊥β;④若直线m,n在平面α内的射影互相垂直,则m⊥n。

A.②B.②③C.①③D.②④解析对于①,m与n可能平行,可能相交,也可能异面,①错误;对于②,由线面垂直的性质定理可知,m与n一定平行,故②正确;对于③,还有可能n∥β或n与β相交,③错误;对于④,把m,n放入正方体中,如图,取A1B为m,B1C为n,平面ABCD为平面α,则m与n在α内的射影分别为AB与BC,且AB⊥BC。

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