数学选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程

∴点P(1，－2)在方程x ＋(y－1) ＝10表示的曲线上，点 Q( 2，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)∵点M 上，
m ，－m 2
在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线
m ∴x＝ 2 ，y＝－m是方程x2＋(y－1)2＝10的解．
m 18 2 2 则 2 ＋(－m－1) ＝10，∴m＝2或m＝－ 5 ．
• 解：(1)如图所示直线l上点的坐标都是方程 |x|＝2的解，然而，坐标满足方程|x|＝2的 点不一定在直线l上，如(－2，0)不在直线l 上． • 因此|x|＝2不是l的方程，命题不正确．
• (2)以方程x＝0(0≤y≤3)的解为坐标的点都 在中线AO所在的直线上，但直线上有些 点(如(0,4))的坐标不是方程x＝0(0≤y≤3) 的解． • 因此x＝0(0≤y≤3)不是中线AO所在直线的 方程， • 所以命题(1)、(2)是假命题．
18 因此，实数m的值是2或－ 5 ．
• 学习曲线与方程时，最重要的是建立对应 观点，从点和坐标的对应开始，向曲线和 方程的对应过渡，循序渐进地提升对应观 点，最终形成一种思什么？ • (1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程 是|x|＝2； • (2)已知等腰△ABC的三顶点A(0,3)，B(－ 2,0)，C(2,0)．中线AO(O为原点)所在直 线的方程是x＝0(0≤y≤3)．
2 2
或x2＋y2－4＝0．
或x2＋y2＝4．
1 由圆x ＋y ＝4的圆心到直线x＋y－1＝0的距离d＝ ＝ 2 2 2 <2，得直线与圆相交．
x＋y－1＝0， ∴ 2 2 x ＋y ≥4，
表示直线在圆x2＋y2＝4外的射线．
又∵x2＋y2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆． ∴原方程表示一个圆x2＋y2＝4和直线x＋y－1＝0在圆x2 ＋y2＝4外的两条射线．(如图所示)
• 1．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y) ＝0的解”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0” 的( ) • A．充分不必要条件 • B．必要不充分条件 • C．充要条件 • D．既不充分又不必要条件
• 2．已知曲线C的方程为x2－xy＋2y＋1＝ 0，则下列各点中，在曲线C上的点是 ( ) • A．(－1,2) B．(1，－2) • C．(2，－3) D．(3,6) • 解析：将四个点的坐标一一代入曲线C的 方程，若成立，则说明点在曲线上． • 答案：B
• 2．1 曲线与方程 • 2．1．1 曲线与方程
• 1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关 系． • 2．理解曲线的方程和方程的曲线的意义．
• 曲线的方程与方程的曲线 • 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点 的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的 点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建 立了如下的关系： 点的坐标 • (1)曲线上 都是这个方程的解； 曲线上的点 • (2)以这个方程的解为坐标的点都是 ． • 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲 线叫做方程的曲线．
5．下列方程表示如图所示的直线C，对吗？为什么？ (1) x－ y＝0； (2)x2－y2＝0； (3)|x|－y＝0．
解：(1)曲线C上的点不全都是方程 x － y ＝0的解，如 点(－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的 解”这一结论； (2)尽管“曲线C上的坐标都是方程的解”，但以方程x2 －y2＝0的解为坐标的点不全在曲线C上，如点(2，－2)等， 即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结 论；
•
证明：以坐标原点为圆心，半径 等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断 点M1(3，－4)，M2(－3,2)是否在这个圆 上． • 【分析】 解答本题的关键是从两方面进 行突破，即先证圆上的任意一点的坐标都 是这个方程的解，再证以这个方程的解为 坐标的点都在这个圆上．
【证明】 (1)设M(x0，y0)是圆上任意一点． 因为点M 到坐标原点的距离等于5，
• 思考 若曲线C的方程是f(x，y)＝0，则点 P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？ • 充要条件是f(x0，y0)＝0．
• 1．曲线与方程的实质是曲线C的点集 {M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x， y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．曲线 的性质完全反应在它的方程上，方程的性 质又反映在它的曲线上．
2 ∴ x0 ＋y2 0＝5， 2 即x0 ＋y2 0＝25．
∴(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．
(2)设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，
2 那么x0 ＋y 2 0＝25． 2 两边开方取算术平方根，得 x0 ＋y 2 0＝5，
即点M(x0，y0)到坐标原点的距离等于5， ∴点M(x0，y0)是这个圆上的一点． 由(1)、(2)可知，x2＋y2＝25是以坐标原点为圆心，半径 等于5的圆的方程． 经判定(3，－4)适合方程x2＋y2＝25，(－3,2)不适合方 程，故点M1在这个圆上，点M2不在这个圆上．
• 3．已知曲线C：xy＋3x＋ky＋2＝0，则 当k＝________时，曲线C经过点(2，－ 1)． • 解析：将点(2，－1)代入方程xy＋3x＋ky ＋2＝0，得2×(－1)＋3×2＋k×(－1)＋ 2＝0，解得k＝6． • 答案：6
4．给出下列结论： y ①方程 ＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直 x－2 线； ②到x轴距离为2的点的直线方程为y＝－2； ③方程x(x2＋y2－3)＝0表示的曲线是一条直线和一个 圆． 其中错误的结论为________(填序号)．
•
到两坐标轴距离相等的点满 足的方程是x－y＝0吗？为什么？ • 解：显然不对(只具备条件(2)而不具备条 件(1))．这是因为，到两坐标轴距离相等 的点的轨迹是两条直线：l1：x－y＝0和l2： x＋y＝0，直线l1上的点的坐标都是方程x －y＝0的解，但直线l2上的点(除原点外) 的坐标不是方程x－y＝0的解，方程x－y ＝0只是直线l1的方程，它不是所求轨迹 的方程．
y 解析：①方程 ＝1即y＝x－2(x≠2)，方程所表示直 x－2 线应不包含点(2,0)，∴结论错误；②因为到x轴距离为2的点 的直线方程还有一个为y＝2，即不具备完备性，∴结论错 误；③由x(x2＋y2－3)＝0，得x＝0或x2＋y2＝3，它表示一条 直线和一个圆，∴结论正确．故填①②．
答案：①②
或x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1， 因此，原方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)原方程变为2(x－1)2＋(y＋1)2＝0．
2 2x－1 ＝0， ∴ 2 y ＋ 1 ＝0，
x＝1， ∴ y＝－1.
∴方程表示的图形是点A(1，－1)．
• 判断方程表示什么曲线，就要把方程进行 同解变形，常用的方法有：配方法、因式 分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式， 然后根据方程、等式的性质作出准确判 定．
若将本例中(1)的方程改为“(x＋y－ 1)· x2＋y2－4＝0”，则它表示什么曲线？
x＋y－1＝0， 解：原方程等价于 2 2 x ＋y －4≥0， x＋y－1＝0， ∴ 2 2 x ＋y ≥4，
(1)方程(x＋y－1) x－1＝0表示什么曲线？ (2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？
• 【分析】 将等式进行同解变形，转化为 已知曲线的方程的形式，从而判断出原方 程表示的曲线．
【解】 (1)由方程(x＋y－1)· x－1＝0得
x＋y－1＝0， x－1≥0，
(3)类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程 的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上， (1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：
(1) x－ y＝0
(2)x2－y2＝0
(3)|x|－y＝0
• 2．曲线上的点的坐标都是这个方程的 解．说明曲线上没有点的坐标不满足方程， 即曲线上所有的点都符合这个条件而无任 何例外，这就是轨迹的“纯粹性”；以这 个方程的解为坐标的点都在曲线上，说明 符合条件的所有点都在曲线上且无遗漏， 此即轨迹的“完备性”． • 3．从充要条件的角度看，关系(1)或(2)仅 是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必 要条件，只有两者都满足了，“曲线的方 程”和“方程的曲线”才具备充分性．
• 【错因总结】 对解答本题时易犯的错误 具体分析如下： • ①常见错误 • 只证(1)或(2)中的一种情况． • ②错误原因 • 对曲线和方程的意义模糊不清．解答本题 既需要说明曲线上的任意一点的坐标都是 这个方程的解，又需说明以这个方程的解 为坐标的点都在这条曲线上，即必须满足 “纯粹性”和“完备性”，二者缺一不 可．
已知方程x2＋(y－1)2＝10． (1)判断点P(1，－2)，Q( 2 ，3)是否在方程表示的曲线 上；
m (2)若点M 2 ，－m在方程表示的曲线上，求m的值．
• 【分析】 判断方程是否是曲线的方程， 要从两个方面着手：一是检验曲线上点的 【解】 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，( 2 )2＋(3－1)2＝ 坐标是否都适合方程，二是检验以方程的 6≠10， 解为坐标的点是否在曲线上． 2 2