2019届江苏泰州中学高三摸底考试数学试卷【含答案及解析】
2019届江苏省泰州市高三第一次模拟考试理科数学试卷【含答案及解析】
2019届江苏省泰州市高三第一次模拟考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知集合，集合，则____________________ ．2. 如图，在复平面内，点对应的复数为，若（为虚数单位），则____________________ ．3. 在平面直角坐标系中，双曲线的实轴长为____________________ ．4. 某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么____________________ ．5. 执行如图所示的伪代码，当输入的值分别为时，最后输出的的值为____________________ ．6. 甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为，甲乙下成和棋的概率为，则乙不输棋的概率为____________________ ．7. 已知直线与圆相交于两点，若，则____________________ ．8. 若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是____________________ ．9. 如图，长方体中，为的中点，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则的值为____________________ ．10. 已知公差为的等差数列及公比为的等比数列满足，则的取值范围是______________ ．11. 设是上的奇函数，当时，，记，则数列的前项和为______________ ．12. 在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是______________ ．13. 若正实数满足，则的最大值为____________________ ．14. 已知函数（其中为常数，），若实数满足：① ，② ，③，则的值为____________________ ．二、解答题15. 在中，角的对边分别为，向量．（1）若，求证：；（ 2 ）若，，求的值．16. 如图，在三棱锥中，，，点，分别为，的中点．（1）求证：直线平面；（ 2 ）求证：．17. 一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成，米，如图所示．小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后，经弹射器以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内，落点记为．设弧度，小球从到所需时间为．（1）试将表示为的函数，并写出定义域；（ 2 ）求时间最短时的值．18. 已知数列满足，其中是数列的前项和．（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；（2）若，，求数列的通项公式；（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，设，求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．19. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆，为椭圆右顶点．过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中．设直线的斜率分别为．（1）求的值；（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由；（ 3 ）求证：直线必过点．20. 已知函数，，．（1）若，求证：（ⅰ）在的单调减区间上也单调递减；（ⅱ）在上恰有两个零点；（ 2 ）若，记的两个零点为，求证：．21. 如图，圆是的外接圆，点是劣弧的中点，连结并延长，与以为切点的切线交于点，求证： .22. 已知矩阵的一个特征值为，求 .23. 在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆的一条准线的交点位于轴上，求实数的值.24. 已知正实数满足，求证： .25. 如图，在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中， AC = 3 ， BC = 4 ， AB = 5 ， AA 1 = 4．（1）设，异面直线AC 1 与CD所成角的余弦值为，求的值；（ 2 ）若点D是AB的中点，求二面角D—CB 1 —B的余弦值．26. 已知，若存在互不相等的正整数… ，使得… 同时小于，则记为满足条件的的最大值．（1）求的值；（2）对于给定的正整数，（ⅰ）当时，求的解析式；（ⅱ ）当时，求的解析式．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。
江苏省泰州市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)
T 的值是 ________．
a5＋ a3
7. 已知数列 {a n} 满足 log2an＋ 1－ log2an＝ 1，则
＝ ________．
a3＋ a1
8. 若抛物线 y 2＝ 2px(p>0) 的准线与双曲线 x 2－ y 2＝ 1 的一条准线重合，则 p＝ ________．
9. 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中， M 为棱 AA 1 的中点，记三棱锥 A 1MBC 的体积为 V 1，四
17. (本小题满分 14 分 ) 如图，三个小区分别位于扇形
OAB 的三个顶点上， Q 是弧 AB 的中点，现欲在线段 OQ 上找一
处开挖工作坑 P(不与点 O，Q 重合 )，为小区铺设三条地下电缆管线 PO，PA，PB，已知 OA ＝2 千米， π
∠AOB ＝ 3，记∠APQ ＝ θr ad ，地下电缆管线的总长度为 y 千米． (1) 将 y 表示成 θ的函数，并写出 θ的范围；
3. 复数 z 满足 zi＝ 4＋ 3i(i 是虚数单位 )，则 |z|＝ ________． 4. 函数 y＝ 1－ x2的定义域是 ________．
5. 从 1， 2， 3， 4，5 这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为
6 的概率为 ________．
6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的
V1
棱锥 A 1BB 1C1C 的体积为
V
2，则
V
的值是
2
________．
10. 已知函数 f(x) ＝2x4＋ 4x 2，若 f(a＋ 3)>f(a － 1)，则实数 a 的取值范围为 ________． 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，过圆 C1：(x－ k) 2＋(y ＋ k － 4)2＝ 1 上任一点 P 作圆 C2：x2＋ y2＝ 1
2019届泰州市高三一模数学试题(160分含评分标准)
2018～2019学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人：张 俊 吴春胜 张圣官 展国培 审题人：杨鹤云 唐咸胜注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． （参考公式：柱体的体积V Sh =，椎体的体积 13V Sh =） 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.函数()sin 2f x x =的最小正周期为 ▲ ．2.已知集合{}24,A a =，{}1,16B =-，若AB ≠∅，则a = ▲ ．3.复数z 满足43z =+i i （i 是虚数单位），则z = ▲ ．4.函数y =的定义域是 ▲ ．5. 从1,2,3,4,5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为 ▲ ．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是 ▲ ．7.已知数列{}n a 满足212log log 1n n a a +-=中，则5331a a a a +=+ ▲ ．8. 若抛物线22(0)y px p =>的准线与双曲线221x y -=的一条准线重合，则p = ▲ ．9. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点M 为棱1AA 的中点，记 三棱锥1A MBC -的体积为1V ，四棱锥111A BB C C -的体积为2V ，则1AA （第6题）12V V 的值是 ▲ ． 10. 已知函数42()24f x x x =+，若(3)(1)f a f a +>-，则实数a 的取值范围为 ▲ ．11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆221:()(4)1C x k y k -++-=上任一点P 作圆222:1C x y +=的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k = ▲ ．12. 已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上一点，且满足20PA PB PD ++=，0PA PB PC λμ++=，则λμ= ▲ ．13. 已知函数3332,()34,x x a x af x x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+-<⎪⎩，若存在00x <，使得0()0f x =，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14.在ABC ∆中，已知2sin sin sin()sin A B C C θλ-=，其中1tan 2θ=(02θπ<<)， 若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ= ▲ 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）已知向量(sin 1)x =，a ，1(cos )2x =，b ，其中(0π)x ∈，．（1）若//a b ，求x 的值； （2）若tan 2x =-，求+a b 的值．16.（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点O 为对角线BD 的中点，点E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点．已知PA AB ⊥，PA AD ⊥． 求证：（1）直线//PB 平面OEF ； （2）平面OEF ⊥平面ABCD ．BD如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，点Q 是弧AB 的中点．现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P （不与点,O Q 重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ．已知2OA =千米，π3AOB ∠=．记 APQ rad θ∠=，地下电缆管线的总长度为y 千米．（１）将y 表示为θ的函数，并写出θ的范围；（２）请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ．已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点Q 的横坐标为0x ，求0x 的取值范围．设,A B 为函数()y f x =图象上相异两点，且点,A B 的横坐标互为倒数．过点,A B 分别作函数()y f x =的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数()f x 的“优点”．（1）若函数2ln ,01(),1x x f x ax x <<⎧=⎨>⎩不存在“优点”，求实数a 的值；（2）求函数2()f x x =的“优点”的横坐标的取值范围； （3）求证：函数()ln f x x =的“优点”一定落在第一象限．20.（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 1232a a a +=，且对任意的,2n n ∈≥N 都有1112(25)n n n nS n S S ra +--++=．（1）若10a ≠，213a a =，求r 的值； （2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由； （3）当1r =时，求证：数列{}n a 是等差数列．2018～2019学年度第一学期期末考试高三数学答案一、填空题 1.π 2. 4- 3.5 4.[1,1]- 5.156. 87. 48.9.1410. (1,)-+∞11. 2 12. 34- 13. [1,0)- 14. 二、解答题15.（本题满分14分）解：（1）因为(sin 1)x =，a ，1(cos )2x =，b ，//a b ，所以1sin cos 12x x =⨯， ……………3分即sin 21x =，因为(0π)x ∈，，所以22x π=，所以4x π=． ……………7分（2）因为(sin 1)x =，a ，1(cos )2x =，b ，因为tan 2x =-，所以sin 2cos x x =-，则1sin cos 02x x +=， 所以1sin cos 02x x ⋅+=a b =， ……………10分所以2222222192(sin 1)(cos )44x x +=++⋅+=+++=a b a b a b =a b ，所以32+=a b ． ……………14分16.（本题满分14分） 证明：（1）在PBD ∆中，O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以// OF PB ，……………3分因为PB ⊄平面OEF ，OF ⊂平面OEF ， ……………7分所以直线//PB 平面OEF （2）连结AC ，因为底面ABCD 为平行四边形，O 为BD 的中点， 所以O 为AC 的中点，在PAC ∆中，O 为AC 的中点，E 为PC 的中点， 所以// OE PA ，……………9分 因为PA AB ⊥，PA AD ⊥， 所以OE AB ⊥，OE AD ⊥，……………11分又因为AB AD A =，AB AD ，在平面ABCD 内， 所以OE ⊥平面ABCD ， 因为OE ⊂平面OEF ，所以平面OEF ⊥平面ABCD ．……………14分17.（本题满分14分）解：（1）因为点Q 是弧AB 的中点，所以π6AOP ∠=，PA PB =， 因为APQ θ∠=，所以APO πθ∠=-，π6PAO θ∠=-， 在OPA ∆中，由正弦定理，sin(π)sinsin()66PA OA OPππθθ==--，即2sin sin()26PA OP πθθ==-， 所以2sin()16sin sin PA OP πθθθ-==，， ……………4分所以2sin()112cos 6sin sin sin sin y PO PA PB πθθθθθθ--=++=++=，7()612ππθ∈，．……………7分（2）因为2cos sin y θθ-=，7()612ππθ∈，， 所以212cos sin y θθ-'=，令0y '=，得3πθ=， ……………10分当()63ππθ∈，时，0y '<，当7π()312πθ∈，时，0y '>，所以当3πθ=时，y有极小值，且是最小值，此时2sin()6sin 3OP ππ==………13分 答：（1）2cos sin y θθ-=，7()612ππθ∈，． （2）当OP……………14分 18.（本题满分16分）解： （1）由题意得12c a =，26a a c+=，解得2,1a c ==，所以b 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ……………4分(2) （法1）设(,)B m n ，则22143m n +=， 因为(2,0)A -，AB BQ ⊥，所以直线BQ 的方程为2()m y x m n n+=--+， 因为P 是AB 的中点，所以2(,)22m n P -，所以直线OP 的方程为2ny x m =-， 联立直线BQ 、OP 的方程得2()2m nx m n x n m +--+=-， ……………8分 解得22022(2)(2)4m m m n x m n-++=-+，由22143m n +=得223(4)4n m =--，代入上式化简得06x m =+，……………14分 因为22m -<<，所以048x <<． ……………16分（法2）设直线AB 的方程为(2)y k x =+，将(2)y k x =+代入椭圆方程22143x y +=得2222(43)1616120k x k x k +++-=， 解得228643B k x k -+=+，所以2228612(2)4343B k k y k k k -+=+=++， 则直线BQ 的方程为22212186()4343k k y x k k k -+-=--++， 因为P 是AB 的中点，则22228628432243A C P k x x k k x k -+-++-+===+， 216243P B k y y k ==+，所以直线OP 的斜率为22263438443k k k kk +=--+，则直线OP 的方程为34y x k =-，………8分 联立直线OP 、BQ 的方程得202162443k x k +=+212443k =++， ……………14分因为2433k +>，所以2120443k <<+，21244843k <+<+，即048x <<． ……………16分19.（本题满分16分）解：（1）不妨设(,())(01)A t f t t <<， 当01x <<时，1()f x x '=，则1()f t t '=；当1x >时，()2f x ax '=，则12()af t t'=， 因为函数2ln ,01(),1x x f x ax x <<⎧=⎨>⎩不存在优点，所以对任意的01t <<，都有12at t =，所以12a =． ……………4分（2）设2(,)A t t ，211(,)B t t ，由题意0,1t ≠±， 过,A B 两点的切线方程分别为22()y t t x t -=-，2121()y x t t t-=-，……………6分 联立得222112()()t x t t x t t t -+=-+，即22112()t x t t t -=-，所以11()2x t t=+，……8分因为1t ≠±，所以当0t >时，12t t +>；当0t <时，12t t+<-，所以优点横坐标的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞．……………10分（3）证：设优点为P 00(,)x y ，只要证00x >，00y >． 设1(,ln ),(,ln )A t t B t t-，不妨设A 在B 的右边，则1t >， 过,A B 的切线方程分别为：1()ln y x t t t =-+，1()ln y t x t t=--，联立这两个方程得022ln 1t x t t =-，202(1)ln 11t ty t +=--， ……………2分 因为1t >，所以022ln 01tx t t =>-， 设()221ln +1t h t t t -=-()1t >，则()2222(1)0(1)t h t t t -'=>+()1t >．所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10h t h >=，则221ln +1t t t ->．因为当1t >时，210t ->，所以()22+1ln 101t t y t =->-．故函数()ln f x x =的优点P 一定落在第一象限． ……………16分20.（本题满分16分）证明：（1）因为213a a =，1232a a a +=，所以312125a a a a =+=， 当2n =时，12312114()9()a a a a a a ra ++-++=， 所以11111114(35)9(3)a a a a a a ra ++-++=，即11a ra =， 因为10a ≠，所以1r =．……………4分（2）数列{}n a 不能是等比数列，理由如下： 假设{}n a 是等比数列，设公比为q ，因为1232a a a +=，所以21112a a q a q +=，等比数列需满足10a ≠，所以2q =或1q =-，……………6分当2q =时，因为2n =时，12312114()9()a a a a a a ra ++-++=，即11111114(24)9(2)a a a a a a ra ++-++=，则2r =， 又3n =时，343216()112S a S S a +-+=，所以41173a a =， 而111117,2,4,3a a a a 不构成等比数列，所以此时不满足要求；……………8分 当1q =-时，因为2n =时，12312114()9()a a a a a a ra ++-++=，即11111114()9()a a a a a a ra -+--+=，则5r =， 又3n =时，343216()115S a S S a +-+=，所以4153a a =，而11115,,,3a a a a -不构成等比数列，所以此时不满足要求， 故数列{}n a 不能是等比数列．……………10分（3）当2n =时，12312114()9()a a a a a a a ++-++=，即312455a a a =+， 因为1232a a a +=，所以21313,5a a a a ==，所以21314,9S a S a ==， 当3n =时，343216()11S a S S a +-+=，所以417a a =。
2019年江苏省泰州市高考数学一模试卷
2019年江苏省泰州市高考数学一模试卷学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、填空题（共14小题）1.函数f（x）＝sin2x的最小正周期为．2.已知集合A＝{4，a2}，B＝{﹣1，16}，若A∩B≠∅，则a＝．3.复数z满足zi＝4+3i（i是虚数单位），则|z|＝．4.函数y＝的定义域为﹣．5.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是．6.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是．7.已知数列{a n}满足log2a n+1﹣log2a n＝1，则＝．8.若抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与双曲线x2﹣y2＝1的一条准线重合，则p＝．9.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1﹣MBC的体积为V1，四棱锥A1﹣BB1C1C的体积为V2，则的值是．10.已知函数f（x）＝2x4+4x2，若f（a+3）＞f（a﹣1），则实数a的取值范围为﹣11.在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1上任一点P作圆C2：x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝．12.已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足，，则λμ＝﹣．13.已知函数，若存在x0＜0，使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是﹣．14.在△ABC中，已知sin A sin B sin（C﹣θ）＝λsin2C，其中，若为定值，则实数λ＝．二、解答题（共6小题）15.已知向量，，其中x∈（0，π）．（1）若，求x的值；（2）若tan x＝﹣2，求||的值．16.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知P A⊥AB，P A⊥AD．求证：（1）直线PB∥平面OEF；（2）平面OEF⊥平面ABCD．17.如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，P A，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米．（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C 的离心率为，点A到右准线的距离为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围．19.设A，B为函数y＝f（x）图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别做函数y＝f（x）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f（x）的“优点”．（1）若函数不存在“优点，求实数a的值；（2）求函数f（x）＝x2的“优点”的横坐标的取值范围；（3）求证：函数f（x）＝lnx的“优点”一定落在第一象限．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，2a1+a2＝a3，且对任意的n∈N*，n≥2都有2nS n+1﹣（2n+5）S n+S n﹣1＝ra1．（1）若a1≠0，a2＝3a1，求r的值；（2）数列{a n}能否是等比数列？说明理由；（3）当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2019年江苏省泰州市高考数学一模试卷参考答案一、填空题（共14小题）1.【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数f（x）＝sin2x的最小正周期为＝π，故答案为：π．【知识点】三角函数的周期性及其求法2.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{4，a2}，B＝{﹣1，16}，A∩B≠∅，∴a2＝16，解得a＝±4．故答案为：±4．【知识点】交集及其运算3.【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由zi＝4+3i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：5．【知识点】复数求模4.【分析】令被开方数大于等于0，解不等式求出定义域．【解答】解：要使函数有意义，需满足1﹣x2≥0解得﹣1≤x≤1故答案为{x|﹣1≤x≤1}【知识点】函数的定义域及其求法5.【分析】基本事件总数n＝＝10，这2个数的和为6包含的基本事件有2个，由此能求出这2个数的和为6的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，基本事件总数n＝＝10，这2个数的和为6包含的基本事件有：（1，5），（2，4），共2个，则这2个数的和为6的概率是p＝＝．故答案为：．【知识点】古典概型及其概率计算公式6.【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，T＝1满足条件i≤2，执行循环体，T＝1×21＝2，i＝2满足条件i≤2，执行循环体，T＝2×22＝8，i＝3不满足条件i≤2，退出循环，输出T的值为8．故答案为：8．【知识点】伪代码7.【分析】由对数的运算性质结合等比数列的通项公式可得结果．【解答】解：∵log2a n+1﹣log2a n＝1，∴＝2，∴数列{a n}是公比q为2的等比数列，∴＝q2＝4．故答案为：4．【知识点】等比数列8.【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出p的值．【解答】解：抛物线y2＝2px的准线为：x＝﹣，双曲线x2﹣y2＝1的左准线为：x＝﹣＝﹣，由题意可知﹣＝﹣，p＝．故答案为：．【知识点】圆锥曲线的综合9.【分析】设出棱柱的棱长，然后求解三棱锥A1﹣MBC的体积为V1，四棱锥A1﹣BB1C1C的体积为V2，推出结果．【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，A到BC是距离为：t，记三棱锥A1﹣MBC的体积为V1＝•t＝•t四棱锥A1﹣BB1C1C的体积为V2＝则＝＝．故答案为：．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积10.【分析】根据f（x）的解析式可看出f（x）是偶函数，并且在（0，+∞）上单调递增，从而由f（a+3）＞f（a﹣1）得到f（|a+3|）＞f（|a﹣1|），从而得出|a+3|＞|a﹣1|，两边平方即可解出a的范围．【解答】解：f（x）＝2x4+4x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增；∴由f（a+3）＞f（a﹣1）得：f（|a+3|）＞f（|a﹣1|）；∴|a+3|＞|a﹣1|；∴（a+3）2＞（a﹣1）2；解得a＞﹣1；∴实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．【知识点】奇偶性与单调性的综合11.【分析】根据题意，由圆C1的方程求出圆心的坐标，分析可得圆心在直线y＝﹣x﹣4上，结合圆与圆的位置关系分析可得当C1C2的连线与直线y＝﹣x+4垂直时，线段PQ长最小，据此可得＝1，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1的圆心为（k，4﹣k），半径r＝1，则圆心在直线y＝﹣x+4上，点P为圆C1上任意一点，过点P作圆C2：x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，当C1C2的连线与直线y＝﹣x+4垂直时，线段PQ长最小，此时有＝1，解可得：k＝2；故答案为：2．【知识点】圆方程的综合应用12.【分析】利用向量加减法把所给两个条件中的向量都转化为，对比可得解．【解答】解：由，得＝，即；…①由，得，即，∴，即（μ+1），∴，…②由①②可得，得，∴，故答案为：﹣【知识点】平面向量的基本定理及其意义13.【分析】分别求得x＜a，x≥a时f（x）的导数，求得单调性、极值，讨论a＝0，a＜0，a＞0，结合函数f（x）存在负的零点，可得a的范围．【解答】解：由f（x）＝x3+3x﹣4a的导数为f′（x）＝3x2+3＞0，可得x＜a为增函数，可得f（x）＜a3﹣a，且x≥a时，f（x）＝x3﹣3x﹣4a的导数为f′（x）＝3x2﹣3，即有﹣1＜x＜1时，f（x）递减；x＞1或x＜﹣1时，f（x）递增，可得x＝1为极小值﹣2+2a，x＝﹣1处取得极大值2+2a，a＝0时，x＜0时，f（x）＜0；x≥0时，f（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增，无负的零点；0＜a＜1时，x＜a时，f（x）＜f（a）＜0，函数f（x）无负的零点；当a≥1时，x＜a时，f（x）递增，x≥a，f（x）递增，f（x）也无负的零点；当a＜0时，由f（a）≥0即a3﹣a≥0，解得﹣1≤a＜0，可得f（x）存在负的零点．故答案为：[﹣1，0）．【知识点】分段函数的应用14.【分析】由，可求sinθ，cosθ，然后由sin A sin B sin（C﹣θ）＝λsin2C，结合两角差的正弦公式可求sin A sin B，然后进行化简，结合其特点及为定值可求λ．【解答】解：由，可得，sinθ＝，cosθ＝，∵sin A sin B sin（C﹣θ）＝λsin2C，sin A sin B sin C﹣sin A sin B cos C＝λsin2C，∴sin A sin B＝＝∵＝＝，＝＝为定值，∴则实数λ＝故答案为：【知识点】两角和与差的余弦函数二、解答题（共6小题）15.【分析】（1）根据即可得出，从而得出sin2x＝1，根据x∈（0，π）即可得出2x∈（0，2π），从而得出2x＝，从而得出x的值；（2）根据tan x＝﹣2可得出sin x＝﹣2cos x，可求出，从而可求出．【解答】解：（1）∵；∴sin x cos x＝，即sin2x＝1；∵x∈（0，π）；∴；（2）∵tan x＝＝﹣2；∴sin x＝﹣2cos x；∵；∴＝＝．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示16.【分析】（1）由O为PB中点，F为PD中点，得PB∥FO，由此能证明PB∥平面OEF．（2）连结AC，推导出P A∥OE，由P A⊥AB，P A⊥AD，得P A⊥平面ABCD，从而OE⊥平面ABCD，由此能证明平面OEF⊥平面ABCD．【解答】证明：（1）O为PB中点，F为PD中点，∴PB∥FO，而PB⊄平面OEF，FO⊂平面OEF，∴PB∥平面OEF．（2）连结AC，∵ABCD为平行四边形，∴AC与BD交于点O，O为AC中点，又E为PC中点，∴P A∥OE，∵P A⊥AB，P A⊥AD，AB∩AD＝A，∴P A⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又OE⊂平面OEF，∴平面OEF⊥平面ABCD．【知识点】直线与平面平行的判定、平面与平面垂直的判定17.【分析】（1）由题意在△∠AOP中利用正弦定理求得P A、OP，把y表示为θ的函数，再求出θ的取值范围；（2）由（1）构造函数，利用导数f（θ）的单调性，求出f（θ）的最小值以及对应θ的值即可．【解答】解：（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性知P A＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，又∠APO＝π﹣θ，∠OAP＝，由正弦定理，得：，又OA＝2，所以，P A＝，OP＝，所以，y＝P A+PB+OP＝2P A+OP＝＝，又∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝（π+）＝，所以，θ∈（，）；（2）令，θ∈（，），令，得：，所以，f（θ）在上单调递减，在（，）上单调递增；所以，当，即OP＝时，f（θ）有唯一的极小值，即是最小值：f（θ）min＝2，答：当工作坑P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小．【知识点】已知三角函数模型的应用问题18.【分析】（1）根据已知条件列有关a、c的方程组，解出a和c的值，进而可得出b的值，从而求出椭圆C的标准方程；（2）设直线AB的方程为x＝my﹣2，m≠0，将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，求出点B的坐标，进而求出点P的坐标，分别写出直线OP和直线BQ的方程，联立这两条直线方程，求出x0的表达式，利用不等式的性质求出x0的取值范围．【解答】解：（1）依题意，有：，即，又＝6，所以，＝6，解得：a＝2，c＝1，b＝＝，所以，椭圆C的方程为：；（2）由（1）知，A（﹣2，0）、设AB：x＝my﹣2，m≠0，将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，解得，即点B的坐标为，则，所以，直线OP的斜率为，则直线OP的方程为，直线BQ的斜率为k BQ＝﹣m，所以，直线BQ的方程为，将直线OP的方程与直线BQ的方程联立，得出．因此，x0的取值范围是（4，8）．【知识点】直线与椭圆的位置关系19.【分析】（1）由题意可得f′（x）＝f′（）对x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，不妨取0＜x＜1，求得导数，可得a的范围；（2）设A（t，t2），B（，），（0＜t＜1），求得导数和切线方程，求得交点的横坐标，结合基本不等式可得所求范围；（3）设A（t，lnt），B（，﹣lnt），0＜t＜1，求得导数，以及切线方程，求交点，由构造函数法，即可得到交点的坐标均为正数．【解答】解：（1）若函数不存在“优点，可得f′（x）＝f′（）对x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，不妨取0＜x＜1，可得f′（x）＝＝＝f′（），即3a＝x，即有a∈（0，），故存在两条切线平行，且a的范围是（0，）；（2）设A（t，t2），B（，），（t≠0），f′（x）＝2x，以A，B为切点的切线方程为y＝2tx﹣t2，y＝x﹣，令2tx﹣t2＝x﹣，可得x＝（t+）＞1或x＜﹣1，可得“优点”的横坐标的取值范围为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）；（3）证明：设A（t，lnt），B（，﹣lnt），0＜t＜1，由f′（x）＝，以A，B为切点的切线方程为y＝+lnt﹣1；y＝tx﹣lnt﹣1，可令tx﹣lnt﹣1＝+lnt﹣1，可得x＝＞0，y＝（lnt2﹣），设t2＝m∈（0，1），可令h（m）＝lnm﹣，h′（m）＝﹣＝＞0，即h（m）递增，h（m）＜h（1）＝0，即lnt2﹣＜0，又＜0，则y＝（lnt2﹣）＞0，函数f（x）＝lnx的“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，一定落在第一象限．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程20.【分析】（1）在已知数列递推式中，取n＝2，可得4a3﹣5a2﹣4a1＝ra1，结合已知2a1+a2＝a3即可求得r值；（2）假设数列{a n}是等比数列，公比为q，求得q＝2或q＝﹣1，再由已知可得2n（q2﹣q）＝3q﹣1，不能得到对任意n≥3恒成立，故数列{a n}不可能是等比数列；（3）当r＝1时，令n＝2，整理得：﹣4a1﹣5a2+4a3＝ra1，结合已知可得a2＝3a1，a3＝5a1，令n＝3，得a4＝7a1．由（2）可知，4S n＝2na n+1﹣a n﹣ra1（n≥2），进一步得到2na n+1+a n﹣1＝（2n+3）a n（n≥3），可得2（n﹣1）a n+a n﹣2＝（2n+1）a n﹣1（n≥4）．得到2n[（a n+1﹣a n）﹣（a n﹣a n﹣1）]＝（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）（n≥4）．从而得到（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）＝0（n≥4）．即a n﹣a n﹣1＝a n﹣1﹣a n﹣2（n≥4），由此可得数列{a n}是以a1为首项，以2a1为公差的等差数列．【解答】解：（1）令n＝2，得：4S3﹣9S2+S1＝ra1，即：4（a3+a2+a1）﹣9（a2+a1）+a1＝ra1，化简，得：4a3﹣5a2﹣4a1＝ra1，∵2a1+a2＝a3，a2＝3a1，∴4×5a1﹣5×3a1﹣4a1＝ra1，解得：r＝1；（2）假设数列{a n}是等比数列，公比为q，则，且a1≠0，解得q＝2或q＝﹣1．由2nS n+1﹣（2n+5）S n+S n﹣1＝ra1，可得4S n＝2na n+1﹣a n﹣ra1（n≥2）．∴4S n﹣1＝2（n﹣1）a n﹣a n﹣1﹣ra1，两式相减得：2na n+1+a n﹣1＝（2n+3）a n，两边同除以a n﹣1，可得2n（q2﹣q）＝3q﹣1，∵q≠1，∴q2﹣q≠0，则上式不可能对任意n≥3恒成立，故数列{a n}不可能是等比数列；证明：（3）当r＝1时，令n＝2，整理得：﹣4a1﹣5a2+4a3＝ra1，又由2a1+a2＝a3，可得a2＝3a1，a3＝5a1，令n＝3，可得6S4﹣11S3+S2＝a1，解得a4＝7a1．由（2）可知，4S n＝2na n+1﹣a n﹣ra1（n≥2），∴4S n﹣1＝2（n﹣1）a n﹣a n﹣1﹣ra1（n≥3），两式相减得：2na n+1+a n﹣1＝（2n+3）a n（n≥3），∴2（n﹣1）a n+a n﹣2＝（2n+1）a n﹣1（n≥4）．∴2n[（a n+1﹣a n）﹣（a n﹣a n﹣1）]＝（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）（n≥4）．∵（a4﹣a3）﹣（a3﹣a2）＝0，∴（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）＝0（n≥4）．即a n﹣a n﹣1＝a n﹣1﹣a n﹣2（n≥4），又∵a3﹣a2＝a2﹣a1＝2a1，∴数列{a n}是以a1为首项，以2a1为公差的等差数列．【知识点】等比数列、数列递推式、等差数列。
江苏省泰州市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)
2019届高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V＝Sh，锥体的体积V＝Sh一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 函数f(x)＝sin 2x的最小正周期为________．2. 已知集合A＝{4，a2}，B＝{－1，16}，若A∩B≠∅，则实数a＝________．3. 复数z满足z i＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝________．4. 函数y＝的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是________．7. 已知数列{a n}满足log2a n＋1－log2a n＝1，则＝________．8. 若抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线x2－y2＝1的一条准线重合，则p＝________．9. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体积为V1，四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则的值是________．10. 已知函数f(x)＝2x4＋4x2，若f(a＋3)>f(a－1)，则实数a的取值范围为________．11. 在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：(x－k)2＋(y＋k－4)2＝1上任一点P作圆C2：x2＋y2＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ的长最小时，k＝________．12. 已知P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足＋＋2＝0，λ＋μ＋＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝若存在x0＜0，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．14. 在△ABC中，已知sin A sin B sin(C－θ)＝λsin2C，其中tanθ＝，若＋＋为定值，则实数λ＝________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量a＝(sin x，1)，b＝，其中x∈(0，π)．(1) 若a∥b，求x的值；(2) 若tan x＝－2，求|a＋b|的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线BD的中点，E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD.求证：(1) 直线PB∥平面OEF；(2) 平面OEF⊥平面ABCD.17. (本小题满分14分)如图，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O，Q重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θ rad，地下电缆管线的总长度为y千米．(1) 将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，B是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C 的离心率为，点A到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围．19. (本小题满分16分)设A，B为函数y＝f(x)图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别作函数y＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1) 若函数f(x)＝不存在“优点”，求实数a的值；(2) 求函数f(x)＝x2的“优点”的横坐标的取值范围；(3) 求证：函数f(x)＝ln x的“优点”一定落在第一象限．20. (本小题满分16分)已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.(1) 若a2＝3a1，求r的值；(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设正数a，b，c满足3a＋2b＋c＝1，求＋＋的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设f n(x)＝f n－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程f n(x)＝0和方程f n(x)＝1根的个数分别为g n(0)，g n(1)．(1) 求g2(1)的值；(2) 证明：g n(0)＝g n(1)＋1.2019届高三年级第一次模拟考试(七)(泰州)数学参考答案1. π2. ±43. 54. [－1，1]5.6. 87. 48. 9. 10. (－1，＋∞)11. 212. －13. [－1，0)14.15. (1) 因为a∥b，所以sin x cos x＝，即sin 2x＝1.因为x∈(0，π)，所以x＝.(2) 因为tan x＝＝－2，所以sin x＝－2cos x.因为a＋b＝，所以|a＋b|＝＝＝.16. (1) O为BD的中点，F为PD的中点，所以PB∥FO.因为PB⊄平面OEF，FO⊂平面OEF，所以PB∥平面OEF.(2) 连结AC，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC与BD交于点O，O为AC的中点．因为E为PC的中点，所以PA∥OE.因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.因为OE⊂平面OEF，所以平面OEF⊥平面ABCD.17. (1) 因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，又∠APO＝π－θ，∠OAP＝θ－，由正弦定理，得＝＝，又OA＝2，所以PA＝，OP＝，所以y＝PA＋PB＋OP＝2PA＋OP＝＝，因为∠APQ＞∠AOP，所以θ>，∠OAQ＝∠OQA＝(π－)＝，所以θ∈.(2) 令f(θ)＝，θ∈，f′(θ)＝＝0，得θ＝，f(θ)在区间上单调递减，在区间(，)上单调递增，所以当θ＝，即OP＝千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min＝2.答：当工作坑P与O的距离为千米时，地下电缆管线的总长度最小．18. (1) 依题意，得解得所以b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB：x＝my－2，m≠0，联立解得或即B(，)，则P(，)，所以k OP＝－，OP：y＝－x.因为AB⊥BQ，所以k BQ＝－m，所以直线BQ的方程为BQ：y＝－mx＋，联立得x0＝＝8－∈(4，8)．19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′对x∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，不妨取x∈(0，1)，则f′(x)＝＝＝f′恒成立，即a＝，经验证，a＝符合题意．(2) 设A(t，t2)，B(t≠0且t≠±1)，因为f′(x)＝2x，所以A，B两点处的切线方程分别为y＝2tx－t2，y＝x－，令2tx－t2＝x－，解得x＝∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3) 设A(t，ln t)，b，t∈(0，1)，因为f′(x)＝，所以A，B两点处的切线方程分别为y＝x＋ln t－1，y＝tx－ln t－1，令x＋ln t－1＝tx－ln t－1，解得x＝>0，所以y＝·＋ln t－1＝(ln t－)，设h(m)＝ln m－，m∈(0，1)，则h′(m)＝>0，所以h(m)单调递增，所以h(m)<h(1)＝0，即ln t－<0.因为<0，所以y＝·＋ln t－1>0，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．20. (1)令n＝2，得4S3－9S2＋S1＝ra1，即4(a3＋a2＋a1)－9(a2＋a1)＋a1＝ra1，化简，得4a3－5a2－4a1＝ra1.因为2a1＋a2＝a3，a2＝3a1，所以4×5a1－5×3a1－4a1＝ra1，解得r＝1.(2) 假设数列{a n}是等比数列，公比为q，则由2a1＋a2＝a3得2a1＋a1q＝a1q2，且a1≠0，解得q＝2或q＝－1，由2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1，得4S n＝2na n＋1－a n－ra1(n≥2)，所以4S n－1＝2(n－1)a n－a n－1－ra1(n≥3)，两式相减，整理得2na n＋1＋a n－1＝(2n＋3)a n，两边同除以a n－1，可得2n(q2－q)＝3q－1.因为q＝2或－1，所以q2－q≠0，所以上式不可能对任意n≥3恒成立，故数列{a n}不可能是等比数列．(3) r＝1时，令n＝2，整理得－4a1－5a2＋4a3＝a1，又由2a1＋a2＝a3可知a2＝3a1，a3＝5a1，令n＝3，可得6S4－11S3＋S2＝a1，解得a4＝7a1，由(2)可知4S n＝2na n＋1－a n－a1(n≥2)，所以4S n－1＝2(n－1)a n－a n－1－a1(n≥3)，两式相减，整理得2na n＋1＋a n－1＝(2n＋3)a n(n≥3)，所以2(n－1)a n＋a n－2＝(2n＋1)a n－1(n≥4)，两式相减，可得2n[(a n＋1－a n)－(a n－a n－1)]＝(a n－a n－1)－(a n－1－a n－2)(n≥4)．因为(a4－a3)－(a3－a2)＝0，所以(a n－a n－1)－(a n－1－a n－2)＝0(n≥4)，即a n－a n－1＝a n－1－a n－2(n≥4)，又因为a3－a2＝a2－a1＝2a1，所以数列{a n}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列．21. A. 将λ＝－2代入＝λ2－(x－1)λ－(x＋5)＝0，得x＝3，B. 由题意得曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.将直线l的参数方程代入(x＋1)2＋y2＝4得＋＝4，即4t2－4t－3＝0，解得t1＝－，t2＝，则AB＝|t1－t2|＝＝2.C. 因为3a＋2b＋c＝1，所以＋＋＝(2a＋a＋b＋b＋c)·≥(×＋×＋×)2＝(＋1＋1)2＝6＋4，当且仅当＝＝时，等号成立，所以＋＋的最小值为6＋4.22. (1) 以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C1(1，1，3)，所以＝(－1，0，3)，＝(1，1，3)，所以cos〈，〉＝＝.(2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以＝(1，0，－3)，＝(1，1，－3)，＝(1，1，3)，＝(0，1，0)，设平面A1BC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令z1＝1，则n1＝(3，0，1)．设平面AC1D的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则即令z2＝1，则n2＝(－3，0，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝＝－，所以平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值为.23. (1) 当n＝2时，f2(x)＝f1(1－|2x－1|)＝f(1－|2x－1|)＝1－|2(1－|2x－1|)－1|＝1，所以2(1－|2x－1|)＝1，所以1－|2x－1|＝，所以2x－1＝±，所以x＝或x＝，所以g2(1)＝2.(2) 因为f(0)＝f(1)＝0，所以f n(0)＝f n(1)＝0.因为f1(x)＝1－|2x－1|∈[0，1]，当x∈时，f1(x)单调递增，且f1(x)∈(0，1]，当x∈时，f1(x)单调递减，且f1(x)∈[0，1)．下面用数学归纳法证明：方程f n(x)＝0(x∈(0，1])、方程f n(x)＝1(x∈(0，1])、方程f n(x)＝0(x∈[0，1))、方程f n(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n(1)．(ⅰ) 当n＝1时，方程f1(x)＝0(x∈(0，1])、方程f1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．(ⅱ) 假设n＝k时，方程f k(x)＝0(x∈(0，1])、方程f k(x)＝1(x∈(0，1])、方程f k(x)＝0(x∈[0，1))、方程f k(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k(1)，则当n＝k＋1时，有f k＋1(x)＝f k(f1(x))．当x∈时，f1(x)∈(0，1]，方程f k＋1(x)＝0的根的个数为g k(1)．当x∈时，f1(x)∈[0，1)，方程f k＋1(x)＝0的根的个数也为g k(1)．所以方程f k＋1(x)＝0(x∈(0，1])的根的个数为g k＋1(0)＝2g k(1)，同理可证：方程f k＋1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f k＋1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f k＋1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k(1)，由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立，又因为f n(0)＝f n(1)＝0，所以g n(0)＝g n(1)＋1.。
2019届江苏省泰州市高三第一次模拟考试数学试卷及答案
2019届江苏省泰州市高三一模考试
数学试卷
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：柱体的体积V＝Sh，锥体的体积V＝1 3 Sh
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 函数f(x)＝sin 2x的最小正周期为________．
2. 已知集合A＝{4，a2}，B＝{－1，16}，若A∩B≠∅，则实数a＝________．
3. 复数z满足z i＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
4. 函数y＝1－x2的定义域是________．
5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．
6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是________．
7. 已知数列{a
n }满足log2a n＋1－log2a n＝1，则
a
5
＋a
3
a
3
＋a
1
＝________．
8. 若抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线x2－y2＝1的一条准线重合，则p ＝________．
9. 如图，在直三棱柱ABCA
1B
1
C
1
中，M为棱AA
1
的中点，记三棱锥A
1
MBC的体
积为V
1，四棱锥A
1
BB
1
C
1
C的体积为V
2
，则
V
1
V
2
的值是________．。
江苏省泰州市2019届高三年级一模考试数学答案
由(2)可知4Sn＝2nan＋1－an－a1(n≥2)，
所以4Sn－1＝2(n－1)an－an－1－a1(n≥3)，
两式相减，整理得2nan＋1＋an－1＝(2n＋3)an(n≥3)，
所以2(n－1)an＋an－2＝(2n＋1)an－1(n≥4)，
两式相减，可得2n[(an＋1－an)－(an－an－1)]＝(an－an－1)－(an－1－an－2)(n≥4)．
因为f′(x)＝ ，
所以A，B两点处的切线方程分别为y＝ x＋lnt－1，y＝tx－lnt－1，
令 x＋lnt－1＝tx－lnt－1，
解得x＝ >0，
所以y＝ · ＋lnt－1＝ (lnt－ )，
设h(m)＝lnm－ ，m∈(0，1)，
则h′(m)＝ >0，
所以h(m)单调递增，
所以h(m)<h(1)＝0，
(2)由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，
所以 ＝(1，0，－3)ห้องสมุดไป่ตู้ ＝(1，1，－3)， ＝(1，1，3)， ＝(0，1，0)，
设平面A1BC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
所以4×5a1－5×3a1－4a1＝ra1，
解得r＝1.
(2)假设数列{an}是等比数列，公比为q，则由2a1＋a2＝a3得2a1＋a1q＝a1q2，且a1≠0，解得q＝2或q＝－1，
由2nSn＋1－(2n＋5)Sn＋Sn－1＝ra1，
得4Sn＝2nan＋1－an－ra1(n≥2)，
所以4Sn－1＝2(n－1)an－an－1－ra1(n≥3)，两式相减，整理得2nan＋1＋an－1＝(2n＋3)an，
因为(a4－a3)－(a3－a2)＝0，
江苏省泰州市2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析
江苏省泰州市2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020 B ．20l9C ．2018D ．2017【答案】B 【解析】 【分析】根据题意计算20190a >，20200a <，201920200a a +>，计算201810b <，201910b >，20182019110b b +>，得到答案. 【详解】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，故20190a >，20200a <，201920200a a +>，12n n n n b a a a ++=，故1211n n n n a a b a ++=， 当2017n ≤时，10nb >，2018201820192020110a a a b =<，2019201920202021110a a a b =>， 2019202020182019201820192020201920202021201820192020202111110b a a a a a a a a a a a a b ++=+=>，当2020n ≥时，10nb <，故前2019项和最大. 故选：B . 【点睛】本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.2．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围.【详解】{}12M x x =<≤Q ，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.因此，实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 3．已知()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式是（ ）A ．32cos 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．2cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．2cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．32cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由图象求出A 以及函数()y f x =的最小正周期T 的值，利用周期公式可求得ω的值，然后将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()y f x =的解析式，结合ϕ的取值范围求出ϕ的值，由此可得出函数()y f x =的解析式. 【详解】由图象可得2A =，函数()y f x =的最小正周期为542663T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，232T πω∴==. 将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()y f x =的解析式得32cos 2626f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得cos 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22ππϕ-<<Q ，3444πππϕ∴-<+<，则04πϕ+=，4πϕ∴=-， 因此，()32cos 24x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解. 【详解】由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题. 5．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】 【分析】 【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值， 因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.6．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1x g x e--=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】由函数的性质可得：()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称，函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，可得()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称， 函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，函数()y f x =的图像与函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像的位置关系如图所示，可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称， 则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题. 7．己知全集为实数集R ，集合A={x|x 2 +2x-8>0}，B={x|log 2x<1}，则()R A B ⋂ð等于（ ） A ．[-4,2] B ．[-4,2)C ．(-4,2)D ．(0,2)【答案】D 【解析】 【分析】求解一元二次不等式化简A ，求解对数不等式化简B ，然后利用补集与交集的运算得答案. 【详解】解：由x 2 +2x-8>0，得x ＜-4或x ＞2， ∴A={x|x 2 +2x-8>0}＝{x| x ＜-4或x ＞2}， 由log 2x<1，x ＞0，得0＜x ＜2， ∴B={x|log 2x<1}＝{ x |0＜x ＜2}， 则{}|42R A x x =-≤≤ð， ∴()()0,2R A B =I ð. 故选：D. 【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.8．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e = D ．01a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln xa x =；构造函数()ln x g x x=，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围. 【详解】由log a x x =得，ln ln xa x=. 令()ln xg x x=，则()21ln xg x x-'=， 令()0g x '=，解得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减； 所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1e g e e e==， 则()ln xg x x=的图象如下图所示：由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e=， 解得01a <<或1e a e =. 故选：C 【点睛】本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.9．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,2]C ．(,0][2,)-∞+∞UD ．(,1)[2,)-∞⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】 设32y k x -=-，则k 的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论. 【详解】 解：设32y k x -=-，则k 的几何意义为点(,)P x y 到点(2,3)D 的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点D 的直线平行于x 轴时，此时302y k x -==-成立； 32y k x -=-取所有负值都成立； 当过点A 时，32y k x -=-取正值中的最小值，1(1,1)0x A x y =⎧⇒⎨-=⎩，此时3132212y k x --===--； 故32y x --的取值范围为(,0][2,)-∞+∞U ； 故选：C. 【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在． 10．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =3【答案】D 【解析】 【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]1,1t ∈-则()322g t t t =-，()226g t t '=-，[1t ∈-，1]，则33t -<<时()0g t '>，13t -<<-或13t >>()0g t '<，即()g t在,33⎛- ⎝⎭上单调递增，在1,⎛- ⎝⎭和⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减；且g =⎝⎭()10g -=，max y g ∴==<⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．11．若()*3n x n N ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a，则aa-=（ ） A ．36π B ．812πC ．252πD ．25π【答案】C 【解析】()*3x nn N ∈展开式的通项为()52133,0,1,,rn r n rrn r r r n n T C x C x r n ---+===L ，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即25r n =为整数，故n 的最小值为1．所以5252aπ--⎰=⎰=.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.12．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ． 故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届江苏省泰州中学高三下学期5月第四次模拟考试数学试题及答案
江苏省泰州中学2019届高三第四次调研测试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知{}0,2,4A =，{}2,3,4B =，则A B =I ______.2.若复数z 满足()21z i i -=+（i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数），则z =______.3.依据下列算法的伪代码：运行后输出的结果是______. 4.函数()f x =______. 5.双曲线()222109x y b b-=>右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则b =______.6.若将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有一个球的概率是 ．7.若x ，y 满足不等式组1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则32x y +的最大值为______.8.已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为______.①若a c ⊥，b c ⊥，则//a b ；②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；③若a α⊥，b α⊥，则//a b ；④若a α⊥，a β⊥，则//αβ.9.已知函数()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象过点30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为______. 10.等比数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S ，满足765430S S S -+=，则4S =_________．的11.当a b c >>时，a c a ba b b c--+--的最小值是______. 12.在平面四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，4AC =，3BD =，60AOB ∠=︒，若2AD BC ⋅=u u u r u u u r ，则AB DC ⋅=u u u r u u u r______.13.在直角坐标平面xOy 上，⊙O ：221x y +=，⊙O 1：()2234x y -+=.过x 轴的左半轴上一点M 作⊙O 的切线，与⊙O 切于点A ，与⊙O 1分别交于点B 、C .若AB = BC ，则点M 的坐标为________.14.已知函数()()()222,2,x a x x a g x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，若存在[]2,3a ∈-，使得函数()y g x at =-有三个零点，则实数t 的取值范围是______.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.一副直角三角板（如图1）拼接，将BCD ∆折起，得到三棱锥A BCD -（如图2）.（1）若,E F 分别为,AB BC 的中点，求证：//EF 平面ACD ； （2）若平面ABC ⊥平面BCD ，求证：平面ABD ⊥平面ACD .16.如图，在圆内接ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B Ð的大小；（2）若点D 是劣弧AC 上一点，3AB =，2BC =，1AD =，求四边形ABCD面积.17.如图，某景区是一个以C的圆形区域，道路1l ，2l 成60︒角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB ，点A ，B 分别在1l 和2l 上，修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成的三角地块OAB .（1）求修建木栈道AB 与道路1l ，2l 围成的三角地块OAB 面积的最小值；（2）若景区中心C 与木栈道A 段连线的CAB α∠=. ①将木栈道AB 的长度表示为α的函数，并指定定义域； ②求出木栈道AB 的长度最小值.18.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，离心率为3，点()1,1B 在椭圆上，点D 与点B关于原点对称.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求经过点A ，B 且和y 轴相切的圆的方程；（3）若P ，Q 是椭圆上异于A ，D 的两个点，且//PQ AD ，点B 在直线PQ 的上方，试判断PBQ ∠的平分线是否经过x 轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.19.已知函数()ln f x a x c =-(其中,,a b c 是常数，且,,a b c ∈R )，曲线()y f x =在1x =处的切线的的方程为1122b b y x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求,a c 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦(其中e 是自然对数的底)，使得()00f x x -＞成立，求b 的取值范围；（3）设()()g x f x mx =+，若对任意[)4,b ∈+∞，均存在t ∈R ，使得方程()g x t =有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围.20.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，公比为()1q q ≠.令{}*|,N k k A k a b k ==∈.（1）若{}1,2A =.①当n a n =，求数列{}n b 的通项公式；②设10a >，0q >，试比较n a 与()3n b n ≥的大小？并证明你的结论. （2）问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论.数学Ⅱ（附加题）选做题：请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修4—2：矩阵与变换21.已知点(),P a b ，先对它作矩阵122122M ⎡-⎢⎥=⎥⎥⎣⎦对应的变换，再作2002N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为(，求实数a ，b 的值.选修4—4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中θ为参数.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值.选修4—5：不等式选讲23.定义{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，设222min ,b h a a b ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，其中a ，b 均为正实数，证明：1h ≤.必做题：第24、25题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积.(1)求概率(P X =的值；(2)求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．25.已知在数列{}n a 中，11a =，21a =，32a =，44a =，且对于任意*N n ∈有431n n n n a a a a +++=++. （1）求证：任意*N n ∈，21221n n n a a a +-=+；（2）求证：任意*N n ∈..江苏省泰州中学2019届高三第四次调研测试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.【答案】{2,4}2.【答案】1−i3.【答案】154. [2,3)∪(3,+∞)5.【答案】46. 297.【答案】38.【答案】③④9. 7√21010.【答案】4011.【答案】312.【答案】−413.【答案】(−4,0)14.【答案】2<t<2512二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）因为E,F分别为AB,BC的中点，所以EF//AC，又EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，所以EF//平面ACD.（2）因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，CD⊂平面BCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB.又因为AB⊥AC,AC∩CD=C，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD.所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACD.16.（1）设外接圆的半径为R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入得2RsinAcosC+2RsinCcosA=2×2RsinBcosB，即sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，所以sinB=2sinBcosB.因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，所以cosB=12.因为0<B<π，所以B=π3.（2）在△ABC中，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC=9+4−2×3×2×12=7，所以AC=√7.因为A，B，C，D四点共圆，所以∠ADC=2π3.在△ACD中，AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcos∠ADC，代入得7=1+CD2−2⋅CD⋅(−12)，所以CD2+CD−6=0，解得CD=2或CD=−3（舍）.所以S ABCD=SΔABC+SΔACD=12AB⋅BCsin∠ABC+12AD⋅CDsin∠ADC=12×3×2×√32+12×1×2×√32=2√3.17.（1）设三角地带OAB面积为S，OB=a，OA=b，AB=C，三角形内切圆面积S=12r(a+b+c)，又因为S=12ab sin∠BOA=√34ab，所以12r(a+b+c)=√34ab⇒√32(a+b+c)=√34ab，得a+b+c=12ab，①在△OAB中，由余弦定理得c2=a2+b2−2ab cos∠BOA⇒c2=a2+b2−2ab cos602c2 =a2+b2−ab≥ab，②由①和②得ab≥36，S=√34ab≥9√3，修建的木栈道AB与道路l1，l2围成的三角地带OAB面积的最小值为9√3平方千米.（2）①设直线AB 和圆C 相切点M ，∠CAB =α(0<α<π3)，则∠CBM =π3−α， tan α=CMAM，AM =√3tan α，tan (π3−α)=CMBM ，BM =CMtan (π3−α)，AB =AM +BM =√3tan α+√3tan (π3−α)(0<α<π3)；②AB =√3tan α+√3tan (π3−α)=(√3tan α√3√3−α3)=(1tanα+√3−α)[tan α+(√3−tan α)]−3≥6，当且仅当α=π6时等号成立， 故木栈道AB 的长度最小值为6km . 18.（1）由{ ca=√631a 2+1b 2=1c 2+b 2=a 2 ，解得{a 2=4b 2=43 ，所以椭圆的标准方程为C ：x 24+3y 24=1.（2）设经过点A ，B 且和y 轴相切的圆的圆心为E (m,n )，半径为r ，圆的方程为(x −m )2+(y −n )2=r 2，由题意可知r =m ，因为A (2,0)，B (1,1)在圆上， 所以{(2−m )2+n 2=m 2(1−m )2+(1−n )2=m2 ，解得{m =1n =0r =1 或{m =5n =4r =5 ， 故所求的圆的方程为(x −1)2+y 2=1或(x −5)2+(y −4)2=25.（3）设点P 、Q 分别为P(x P ,x Q )、Q(x Q ,y Q )，直线PB 、QB 的斜率分别为k 1、k 2， 联立直线PB 与椭圆方程{y −1=k 1(x −1)x 24+3y 24=1， 化简得(1+3k 12)x 2+6k 1(1−k 1)x +3(1−k 1)2−4=0，∵x =1是方程的一个解，∴x P =3(1−k 1)2−41+3k 12=1−6k 1+21+3k 12，则y P =−1+2−2k11+3k 12， 同理可得x Q =3(1−k 2)2−41+3k 22=1−6k 2+21+3k 22，则y Q =−1+2−2k21+3k 22，∴直线PQ 的斜率k PQ =y P −yQ x P−x Q=6(k 1+k 2)+2−6k 1k 26−6(k1+k 2)−18k 1k 2，又∵PQ//AD 且k AD =13，∴k PQ =6(k 1+k 2)+2−6k 1k 26−6(k1+k 2)−18k 1k 2=13，化简得k 1+k 2=0，∴直线PB 、QB 关于直线x =1对称，即x =1为∠PBQ 的角平分线所在的直线，∴∠PBQ的角平分线经过x轴上的定点(1,0).19.（1）f′(x)=ax2√x ，由题知f(1)=−b+c=−b，且f′(1)=a−b2=1−b2，解得a=1,c=0；（2）由（1）知f(x)=lnx−b√x，因为存在x0∈[e,e2]，使得f(x0)＞−x0，即0x +√x0−b＞0，设ℎ(x)=√x√x−b，则需ℎ(x)max＞0，ℎ′(x)=2x√x ，设H(x)=x+2−lnx，则H′(x)=1−1x＞0在[e,e2]上恒成立，即H(x)单调递增，又因为H(e)=e+1＞0，所以H(x)＞0在[e,e2]上恒成立，即ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)max=ℎ(e2)=2e+e−b，令ℎ(x)max=2e +e−b＞0，解得b＜2e+e；（3）g(x)=lnx−b√x+mx，g′(x)=2mx−b√x+22x =2m(√x)2−b√x+22x，①当m≤0时，对任意b∈[4,+∞)，易知方程2m(√x)2−b√x+2=0均仅有唯一解x=x0，且当x∈(0,x0)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当x∈(x0,+∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，故方程g(x)=t最多有两个不同的实数解，所以m≤0不符合题意；② 当m＞0时，若Δ=b2−16m≤0，则g′(x)≥0恒成立，g(x)单调递增，方程g(x)=t最多只有一个实数解，不符题意，所以对任意b∈[4,+∞)，应有Δ=b2−16m＞0，即m∈(0,1)，此时，易知方程2m(√x)2−b√x+2=0在(0,+∞)上有两个不同的实数根x1,x2，因为g′(1)=2m+2−b2＜0，不妨取x1＜x2，则有x1＜1，列表如下：由表可知，g(x)的极大值为g(x1)=lnx1−b√x1+mx1，因为2mx1−b√x1+2=0，所以g(x1)=lnx1−b√x1+mx1=lnx1−mx1−2＜0，又因为b2m2＞1，且g′(b2m2)=mb2+2m22b2＞0，所以b2m2＞x2，因为g(b 2m2)=ln b2m2＞0＞g(x1)，所以必然存在t∈(max{g(x12),g(x2)},g(x1))，使得方程g(x)=t在区间(x12,x1),(x1,x2),(x2,b2m2)上均有一个实数解，符合题意；综上所述，实数m的取值范围为(0,1).20.（1）由A={1,2}，得a1=b1，a2=b2.设数列{a n}公差为d，数列{b n}公比为q，由a2=b2⇒a1+d=a1q，故d=a1(q−1).①因为a n=n，a1=b1=1，a2=b2=2，所以数列{b n}的公比q=b2b1=2，所以，b n=2n−1.②答：a n<b n(n=1,2,⋅⋅⋅).证明如下：因为a1>0，q>0，q≠1，所以b n−a n=a1q n−1−[(a1+(n−1)a1(q−1)]=a1(q n−1−1)−a1(q−1)(n−1)=a1(q−1)(q n−2+q n−1+⋯+1)−a1(q−1)(n−1)=a1(q−1)[q n−2+q n−3+⋯+1−(n−1)]=a1(q−1)[(q n−2−1)+(q n−3−1)+⋯+(q−1)]=a2(q−1)2[(q n−3+q n−4+⋯+1)+(q n−4+q n−5+⋯+1)+⋯+(q+1)+1]>0.所以a n<b n(n=1,2,⋅⋅⋅).（2）不妨设a n=a+b n(b≠0)，b n=pq n，由a n=b n⇔a+bn=pq n⇒ap +bpn=q n.令s=a p，t=bp，(t≠0)，原问题转化为关于n的方程q n−tn−s=0，①最多有多少个解.下面我们证明：当q>0时，方程①最多有2个解；q<0时，方程②最多有3个解. 当q>0时，考虑函数f(x)=q x−tx−s，则f′(x)=q x lnq−t，如果tlnq<0，则f(x)为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果tlnq>0，且不妨设由f′(x)=0得f′(x)有唯一零点x0=log q t lnq，于是当x >x 0时，f′(x )恒大于0或恒小于0，当x <x 0时，f′(x )恒小于0或恒大于0，这样f (x )在区间(0,x 0)与(x 0,+∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解.当q <0时，如果t >0.如果n 为奇数，则方程①变为|q |n +tn +s =0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①.如果n 为偶数，则方程①变为|q |n −tn −s =0，由q >0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个.这样，最多有3个正数满足方程①.对于t <0，同理可以证明，方程①最多有3个解.综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个.再由当a n =6n −8，b n =(−2)n ，则a 1=b 1，a 2=b 2，a 4=b 4，A ={1,2,4}.由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个.数学Ⅱ（附加题）选做题：请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4—2：矩阵与变换21.依题意，NM =[2002][12−√32√3212]=[1−√3√31]， 由逆矩阵公式得，(NM )−1=[14√34−√3414]， 所以[14√34−√3414][84√3]=[5−√3]，即有a =5，b =−√3. 选修4—4：坐标系与参数方程22.由ρcos (θ+π3)=2，得ρ(12cosθ−√32sinθ)=2，即l 的直角坐标方程为x −√3y −4=0.因为椭圆C 的参数方程为{x =√3cosθy =sinθ， 所以椭圆C 上的点到直线l 距离d =|√3cosθ−√3sinθ−4|2=|√6cos(θ+π4)−4|2=4−√6cos(θ+π4)2，所以d 的最大值为2+√62，最小值为2−√62. 选修4—5：不等式选讲23.因为a ，b 均为正实数，所以ℎ2≤2aba 2+b 2，因为a 2+b 2≥2ab ，所以2ab a +b ≤1，即ℎ2≤1. 必做题：第24、25题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 73=35种取法，其中X =√3的三角形如ΔABF ，这类三角形共有6个因此P =(X =√3)=6C 73=635. （2）由题意，X 的可能取值为√3,2,√6,2√3,3√3其中X =√3的三角形如ΔABF ，这类三角形共有6个；其中X =2的三角形有两类，，如ΔPAD （3个），ΔPAB （6个），共有9个；其中X =√6的三角形如ΔPBD ，这类三角形共有6个；其中X =2√3三角形如ΔCDF ，这类三角形共有12个；其中X =3√3的三角形如ΔBDF ，这类三角形共有2个；因此P =(X =√3)=635,P =(X =2)=935P =(X =√6)=635,P =(X =2√3)=1235,P =(X =3√3)=235 所以随机变量的概率分布列为：所求数学期望E(X)=√3×635+2×935+√6×635+2√3×1235+3√3×235=36√3+6√6+1835. 25. （1）因为a 3=a 2+a 1，因此n =1时，命题成立；假设n =k 时，命题成立，即a 2k+1=a 2k +a 2k−1，则a 2k+3=a 2k+2+a 2k +a 2k−1=a 2k+2+a 2k+1，即n =k +1时，命题也成立， 因此任意n ∈N ∗，a 2n+1=a 2n +a 2n−1.（2）易知a 1=1，a 2=1，a 3=2，a 4=4，a 5=6，a 6=9，a 7=15，a 8=25， √a 2a 4=2，√a 4a 6=6，√a 6a 8=15，猜想√a 2n a 2n+2=a 2n+1，n ∈N ∗，证明：当n =1时，命题成立；假设n =k 时，命题成立，即√a 2k a 2k+2=a 2k+1，则√a 2k+2a 2k+4=√a 2k+2(a 2k+3+a 2k+1+a 2k )=√a 2k+2(a 2k+2+a 2k+1+a 2k+1+a 2k )=√a 2k+22+2a 2k+1a 2k+2+a 2k a 2k+2=√a 2k+22+2a 2k+1a 2k+2+a 2k+12 =a 2k+2+a 2k+1=a 2k+3，即n =k +1时，命题也成立，所以√a 2n a 2n+2=a 2n+1，n ∈N ∗，又a 2n+1∈N ∗，因此任意n ∈N ∗，√a 2n a 2n+2为正整数.。
【2019泰州一模】江苏省泰州市2019届高三第一次模拟考试 数学
2019届高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________．3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________． 8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________．9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________． 10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，若1tan A ＋1tan B ＋2tan C 为定值，则实数λ＝________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)．(1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：(1) 直线PB ∥平面OEF ；(2) 平面OEF ⊥平面ABCD.17. (本小题满分14分)如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π3，记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y 千米． (1) 将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．。
2019泰州高三一模数学
2019届高三年级第一次模拟考试(七)(泰州)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________．3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________． 9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，若1tan A ＋1tan B＋2tan C为定值，则实数λ＝________． 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)．(1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：(1) 直线PB ∥平面OEF ； (2) 平面OEF ⊥平面ABCD.如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π3，记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．(1) 将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，B 是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．设A ，B 为函数y ＝f(x)图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别作函数y ＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1) 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，0<x<1，ax 2， x>1不存在“优点”，求实数a 的值；(2) 求函数f(x)＝x 2的“优点”的横坐标的取值范围；(3) 求证：函数f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.(1) 若a2＝3a1，求r的值；(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2019届高三年级第一次模拟考试(七)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设正数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝1，求1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设f n(x)＝f n－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程f n(x)＝0和方程f n(x)＝1根的个数分别为g n(0)，g n(1)．(1) 求g2(1)的值；(2) 证明：g n(0)＝g n(1)＋1.2019届高三年级第一次模拟考试(七)(泰州)数学参考答案1. π2. ±43. 54. [－1，1]5. 15 6. 87. 4 8. 2 9. 14 10. (－1，＋∞) 11. 212. －34 13. [－1，0) 14. 51015. (1) 因为a ∥b ，所以sin x cos x ＝12，即sin 2x ＝1.因为x ∈(0，π)，所以x ＝π4.(2) 因为tan x ＝sin xcos x ＝－2，所以sin x ＝－2cos x .因为a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋12，1＋cos x ， 所以|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋（1＋cos x ）2＝94＋sin x ＋2cos x ＝32.16. (1) O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以PB ∥FO.因为PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ， 所以PB ∥平面OEF.(2) 连结AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AC 与BD 交于点O ，O 为AC 的中点． 因为E 为PC 的中点， 所以PA ∥OE.因为PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面OEF ，所以平面OEF ⊥平面ABCD.17. (1) 因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP ＝∠BOP ＝π6，又∠APO ＝π－θ，∠OAP ＝θ－π6，由正弦定理，得PA sin π6＝OA sin （π－θ）＝OPsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，又OA ＝2，所以PA ＝1sin θ，OP ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6sin θ，所以y ＝PA ＋PB ＋OP ＝2PA ＋OP ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6sin θ＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，因为∠APQ ＞∠AOP ，所以θ>π6，∠OAQ ＝∠OQA ＝12(π－π6)＝5π12，所以θ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π12. (2) 令f(θ)＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π12， f′(θ)＝1－2cos θsin 2θ＝0，得θ＝π3， f(θ)在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上单调递减，在区间(π3，5π12)上单调递增， 所以当θ＝π3，即OP ＝233千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min ＝2 3.答：当工作坑P 与O 的距离为233千米时，地下电缆管线的总长度最小．18. (1) 依题意，得⎩⎨⎧c a ＝12，a ＋a 2c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB ：x ＝my －2，m ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，3x 2＋4y 2＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6m 2－83m 2＋4，y ＝12m 3m 2＋4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0，即B(6m 2－83m 2＋4，12m 3m 2＋4)，则P(－83m 2＋4，6m 3m 2＋4)， 所以k OP ＝－3m 4，OP ：y ＝－3m 4x. 因为AB ⊥BQ ，所以k BQ ＝－m ，所以直线BQ 的方程为BQ ：y ＝－mx ＋6m 3＋4m 3m 2＋4， 联立⎩⎨⎧y ＝－3m 4x ，y ＝－mx ＋6m 3＋4m 3m 2＋4，得x 0＝8（3m 2＋2）3m 2＋4＝8－163m 2＋4∈(4，8)．19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′⎝⎛⎭⎫1x 对x ∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，不妨取x ∈(0，1)，则f′(x)＝1x ＝2a x ＝f′⎝⎛⎫1x 恒成立，即a ＝12， 经验证，a ＝12符合题意． (2) 设A(t ，t 2)，B ⎝⎛⎭⎫1t ，1t 2(t ≠0且t ≠±1)， 因为f′(x)＝2x ，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝2tx －t 2，y ＝2t x －1t 2， 令2tx －t 2＝2t x －1t 2，解得x ＝12⎝⎛⎭⎫t ＋1t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3) 设A(t ，ln t)，b ⎝⎛⎭⎫1t ，－ln t ，t ∈(0，1)，因为f′(x)＝1x， 所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝1tx ＋ln t －1，y ＝tx －ln t －1， 令1tx ＋ln t －1＝tx －ln t －1， 解得x ＝2ln t t －1t>0， 所以y ＝1t ·2ln t t －1t＋ln t －1＝t 2＋1t 2－1(ln t －t 2－1t 2＋1)， 设h(m)＝ln m －m 2－1m 2＋1，m ∈(0，1)， 则h′(m)＝（m 2－1）2m （m 2＋1）2>0，所以h(m)单调递增，所以h(m)<h(1)＝0，即ln t －t 2－1t 2＋1<0. 因为t 2＋1t 2－1<0， 所以y ＝1t ·2ln t t －1t＋ln t －1>0， 所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．20. (1)令n ＝2，得4S 3－9S 2＋S 1＝ra 1，即4(a 3＋a 2＋a 1)－9(a 2＋a 1)＋a 1＝ra 1，化简，得4a 3－5a 2－4a 1＝ra 1.因为2a 1＋a 2＝a 3，a 2＝3a 1，所以4×5a 1－5×3a 1－4a 1＝ra 1，解得r ＝1.(2) 假设数列{a n }是等比数列，公比为q ，则由2a 1＋a 2＝a 3得2a 1＋a 1q ＝a 1q 2，且a 1≠0，解得q ＝2或q ＝－1，由2nS n ＋1－(2n ＋5)S n ＋S n －1＝ra 1，得4S n ＝2na n ＋1－a n －ra 1(n ≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－ra 1(n ≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n ， 两边同除以a n －1，可得2n(q 2－q)＝3q －1.因为q ＝2或－1，所以q 2－q ≠0，所以上式不可能对任意n ≥3恒成立，故数列{a n }不可能是等比数列．(3) r ＝1时，令n ＝2，整理得－4a 1－5a 2＋4a 3＝a 1，又由2a 1＋a 2＝a 3可知a 2＝3a 1，a 3＝5a 1，令n ＝3，可得6S 4－11S 3＋S 2＝a 1，解得a 4＝7a 1，由(2)可知4S n ＝2na n ＋1－a n －a 1(n ≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－a 1(n ≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n (n ≥3)，所以2(n －1)a n ＋a n －2＝(2n ＋1)a n －1(n ≥4)，两式相减，可得2n[(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)]＝(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)(n ≥4)． 因为(a 4－a 3)－(a 3－a 2)＝0，所以(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)＝0(n ≥4)，即a n －a n －1＝a n －1－a n －2(n ≥4)，又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝2a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列．21. A. 将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x ＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，B. 由题意得曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t代入(x ＋1)2＋y 2＝4得⎝⎛⎭⎫12－t ＋12＋⎝⎛⎭⎫12＋t 2＝4，即4t 2－4t －3＝0，解得t 1＝－12，t 2＝32，则AB ＝2|t 1－t 2|＝2⎪⎪⎪⎪－12－32＝2 2.C. 因为3a ＋2b ＋c ＝1，所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c＝(2a ＋a ＋b ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c≥(2a ×1a ＋a ＋b ×1a ＋b ＋b ＋c ×1b ＋c )2＝(2＋1＋1)2 ＝6＋42， 当且仅当1a 2a ＝1a ＋b a ＋b ＝1b＋cb ＋c 时，等号成立，所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c的最小值为6＋4 2. 22. (1) 以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(0，0，3)，B(1，0，0)，C 1(1，1，3)，所以BA 1→＝(－1，0，3)，AC 1→＝(1，1，3)，所以cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝－1＋910×11＝411055. (2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以A 1B →＝(1，0，－3)，A 1C →＝(1，1，－3)，AC 1→＝(1，1，3)，AD →＝(0，1，0)， 设平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧A 1B →·n 1＝0，A 1C →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3z 1＝0，x 1＋y 1－3z 1＝0， 令z 1＝1，则n 1＝(3，0，1)．设平面AC 1D 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n 2＝0，AD →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3z 2＝0，y 2＝0， 令z 2＝1，则n 2＝(－3，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－9＋110×10＝－45， 所以平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值为35. 23. (1) 当n ＝2时，f 2(x)＝f 1(1－|2x －1|)＝f(1－|2x －1|)＝1－|2(1－|2x －1|)－1|＝1， 所以2(1－|2x －1|)＝1，所以1－|2x －1|＝12， 所以2x －1＝±12， 所以x ＝14或x ＝34， 所以g 2(1)＝2.(2) 因为f(0)＝f(1)＝0，所以f n (0)＝f n (1)＝0.因为f 1(x)＝1－|2x －1|∈[0，1]，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f 1(x)单调递增，且f 1(x)∈(0，1]， 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，f 1(x)单调递减，且f 1(x)∈[0，1)．下面用数学归纳法证明：方程f n (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝1(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝0(x ∈[0，1))、方程f n (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n (1)．(ⅰ) 当n ＝1时，方程f 1(x)＝0(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝0(x ∈[0，1))、方程f 1(x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．(ⅱ) 假设n ＝k 时，方程f k (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝0(x ∈[0，1))、方程f k (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k (1)，则当n ＝k ＋1时，有f k ＋1(x)＝f k (f 1(x))．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f 1(x)∈(0，1]，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数为g k (1)． 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，f 1(x)∈[0，1)，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数也为g k (1)． 所以方程f k ＋1(x)＝0(x ∈(0，1])的根的个数为g k ＋1(0)＝2g k (1)， 同理可证：方程f k ＋1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k ＋1(x)＝0(x ∈[0，1))、方程f k ＋1(x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k (1)，由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立，又因为f n (0)＝f n (1)＝0，所以g n (0)＝g n (1)＋1.。
系列数学(理)试题金卷10套：(百强校) 江苏省泰州中学2019届高三上学期摸底考试数学试题解析(解析版)
江苏省泰州中学2019届高三摸底考试数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}|0A x x =>，{}1,0,1,2B =-，则A B I 等于 ． 【答案】{}1,2 【解析】试题分析：A B I {}|0x x =>I {}1,0,1,2-{}=1,2考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在实行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知复数z 满足()1i z i +⋅=-，则z 的模为 ．【解析】试题分析：()111||1+i 22i i i i z i z z z ----+⋅=-⇒==⇒=⇒=考点：复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 3.已知23112log log a a+=，则a = ．【解析】试题分析：223112log 2log 32log 626,0log log a a a a a a a a+=⇒+=⇒=⇒=>⇒=考点：对数运算4.右图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为 ．【答案】110考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5.若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为k 的值是 ．【答案】8【解析】试题分析：由题意得28.b k b =⇒== 考点：双曲线渐近线6.在△ABC 中，2AB =， 1.5BC =，120ABC ∠=︒，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 ． 【答案】32π考点：旋转体体积7.下面求258112012+++++…的值得伪代码中，正整数m 的最大值为 ．【答案】2019 【解析】试题分析：第一次循环：2,5S I ==;第二次循环：25,8S I =+=;第三次循环：258,11S I =++=;直至2582012,2015S I m =++++=≥L 结束循环，所以正整数m的最大值为2015. 考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8.向量(cos10,sin10)a =︒︒，(cos 70,sin 70)b =︒︒，|2|a b -= ．【解析】试题分析：1cos 70cos10sin 70sin10cos 60,||||12a b a b ⋅=︒︒+︒︒====or r r r ，所以|2|a b -===r r考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式实行化简.9.对于函数()y f x =，若存有区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[],ka kb （0k >），则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】1(1,1)e+考点：函数与方程【思路点睛】(1)使用函数图象解决问题时，先要准确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.10.函数42sin 11xy x x =-++（x R ∈）的最大值与最小值之和为 ．【答案】2 【解析】试题分析：因为42sin 1xy x x =++为奇函数，其最大值与最小值之和为0，所以函数42sin 11xy x x =-++（x R ∈）的最大值与最小值之和为2 考点：奇函数性质11.已知圆O ：222x y r +=（0r >）及圆上的点(0,)A r -，过点A 的直线l 交圆于另一点B ，交x 轴于点C ，若OC BC =，则直线l 的斜率为 ．【答案】考点：直线与圆位置关系12.已知||3AB =|，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，△ADC ，△BCE 均为等边三角形，则△CDE 的外接圆的半径的最小值是 ．【解析】试题分析：设,AC m CB n ==,则3m n +=，在△CDE 中，由余弦定理知2222222292cos ()3()3()24m n DE CD CE CD CE DCE m n mn m n mn m n +=+-⋅∠=+-=+-≤+-=，当且仅当32m n ==时取等号，所以32DE ≥，所以△CDE的外接圆的半径2sin DE R DCE ==≥∠ 考点：余弦定理，基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13.已知实数x 、y 满足20,50,40,x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若不等式222()()a x y x y +≥+恒成立，则实数a 的最小值是 ． 【答案】95c考点：线性规划，不等式恒成立【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 14.设等比数列{}n a 满足公比*q N ∈，*n a N ∈，且{}n a 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a =，则q 的所有可能取值的集合为 ． 【答案】{}8127932,2,2,2,2【解析】试题分析：由题意，8112n n a q-=，设该数列中任意两项为,m l a a ，它们的积为p a ，则811811811222m l p q q q ---=，即8112p m l q --+=，故1p m l --+必须是81的正约数，即1p m l --+的可能取值为1,3,9,27,81，所以q 的所有可能取值的集合为{}8127932,2,2,2,2考点：等比数列二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知02παβπ<<<<，且5sin()13αβ+=，1tan 22α=． （1）求cos α的值；（2）证明：5sin 13β>． 【答案】（1）3cos 5α=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）先由二倍角公式求出22tan2tan 1tan 2ααα=-43=，再根据同角三角函数关系及锐角范围求3cos 5α=（2）以算代证，即先算出sin β的值，利用()=βαβα+-，将所求角转化为已知角，结合两角差的正弦公式及同角三角函数关系求得()5312463sin sin ()13513565βαβα=+-=⨯--⨯=⎡⎤⎣⎦，最后再与513比较大小即可 试题解析：解：（1）将1tan22α=代入22tan2tan 1tan 2ααα=-，得4tan 3α=，∴22sin 4,cos 3sin cos 1,αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩又(0,)2πα∈，解得3cos 5α=． （2）易得322ππαβ<+<，又5sin()13αβ+=， ∴12cos()13αβ+=-，由（1）可得4sin 5α=， ∴()53124635sin sin ()1351356513βαβα=+-=⨯--⨯=>⎡⎤⎣⎦． 考点：二倍角公式，同角三角函数关系，两角差的正弦公式 【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是准确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。
一模数学(泰州)答案
(这是边文，请据需要手工删加)江苏省泰州市2019届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. π2. ±43. 54. [－1，1]5. 156. 87. 48. 29. 14 10. (－1，＋∞) 11. 2 12. －3413. [－1，0) 14.51015. (1) 因为a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，a ∥b ， 所以sin x cos x ＝1×12，(3分)即sin 2x ＝1，因为x ∈(0，π)，所以2x ＝π2，所以x ＝π4.(7分)(2) 因为a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ， 因为tan x ＝－2，所以sin xcos x ＝－2，则12sin x ＋cos x ＝0， 所以a ·b ＝12sin x ＋cos x ＝0，(10分)所以||a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2＝(sin 2x ＋1)＋⎝⎛⎭⎫14＋cos 2x ＝94， 所以||a ＋b ＝32.(14分)16. (1) 在△PBD 中，O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以OF ∥PB ，(3分)因为PB ⊄平面OEF ，OF ⊂平面OEF ， 所以直线PB ∥平面OEF.(7分)(2) 连接AC ，因为底面ABCD 为平行四边形，O 为BD 的中点， 所以O 为AC 的中点，在△PAC 中，O 为AC 的中点，E 为PC 的中点， 所以OE ∥PA ，(9分)因为PA ⊥AB ，PA ⊥AD ， 所以OE ⊥AB ，OE ⊥AD ，(11分)又因为AB ∩AD ＝A ，AB ，AD 在平面ABCD 内， 所以OE ⊥平面ABCD ， 因为OE ⊂平面OEF ，所以平面OEF ⊥平面ABCD.(14分)17. (1) 因为点Q 是弧AB 的中点，所以∠AOP ＝π6，P A ＝PB ，因为∠APQ ＝θ，所以∠APO ＝π－θ，∠P AO ＝θ－π6，在△OP A 中，由正弦定理得P A sin π6＝OA sin （π－θ）＝OP sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 即P A 12＝2sin θ＝OPsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以P A ＝1sin θ，OP ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6sin θ，(4分)所以y ＝PO ＋P A ＋PB ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6sin θ＋1sin θ＋1sin θ＝2－cos θsin θ＋3，θ∈⎝⎛⎭⎫π6，7π12.(7分) (2) 因为y ＝2－cos θsin θ＋3，θ∈⎝⎛⎭⎫π6，7π12， 所以y ′＝1－2cos θsin 2θ，令y ′＝0，得θ＝π3，(10分) 当θ∈⎝⎛⎫π6，π3时，y ′<0，当θ∈⎝⎛⎫π3，7π12时，y ′>0， 所以当θ＝π3时，y 有极小值，且是最小值，此时OP ＝2sinπ6sin π3＝233.(13分)答：(1) y ＝2－cos θsin θ＋3，θ∈⎝⎛⎭⎫π6，7π12. (2) 当OP 为233km 时，地下电缆管线的总长度最小．(14分)18. (1) 由题意得c a ＝12， a 2c ＋a ＝6，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 方法一：设B(m ，n)，则m 24＋n 23＝1，因为A(－2，0)，AB ⊥BQ ，所以直线BQ 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m)＋n ，因为P 是AB 的中点，所以P ⎝⎛⎭⎫m －22，n 2，所以直线OP 的方程为y ＝nm －2x ， 联立直线BQ ，OP 的方程得－m ＋2n (x －m)＋n ＝nm －2x, (8分)解得x 0＝（m －2）（m 2＋2m ＋n 2）m 2－4＋n 2，由m 24＋n 23＝1得n 2＝－34(m 2－4)，代入上式化简得x 0＝m ＋6，(14分) 因为－2<m<2，所以4<x 0<8.(16分)方法二：设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)(k ≠0)，将y ＝k(x ＋2)代入椭圆方程x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x B ＝－8k 2＋64k 2＋3，所以y B ＝k(－8k 2＋64k 2＋3＋2)＝12k4k 2＋3，则直线BQ 的方程为y －12k 4k 2＋3＝－1k (x －－8k 2＋64k 2＋3)，因为P 是AB 的中点，则x P ＝x A ＋x C 2＝－2＋－8k 2＋64k 2＋32＝－8k 24k 2＋3，y P ＝12y B ＝6k4k 2＋3，所以直线OP 的斜率为6k4k 2＋3－8k24k 2＋3＝－34k ，则直线OP 的方程为y ＝－34k x ，(8分) 联立直线OP ，BQ 的方程得x 0＝16k 2＋244k 2＋3＝4＋124k 2＋3， (14分)因为4k 2＋3>3，所以0<124k 2＋3<4，4<4＋124k 2＋3<8，即4<x 0<8.(16分)19. (1) 不妨设A(t ，f(t))(0<t<1)，当0<x<1时，f′(x)＝1x ，则f′(t)＝1t；当x>1时，f′(x)＝2ax ，则f′⎝⎛⎭⎫1t ＝2a t ， 因为函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，0<x<1，ax 2，x>1不存在优点，所以对任意的0<t<1，都有1t ＝2a t ，所以a ＝12.(4分)(2) 设A(t ，t 2)，B ⎝⎛⎭⎫1t ，1t 2，由题意t ≠0，±1，过A ，B 两点的切线方程分别为y －t 2＝2t(x －t)，y －1t 2＝2t ⎝⎛⎭⎫x －1t ，(6分) 联立得2t(x －t)＋t 2＝2t ⎝⎛⎭⎫x －1t ＋1t 2，即2⎝⎛⎭⎫t －1t x ＝t 2－1t 2，所以x ＝12⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，(8分) 因为t ≠±1，所以当t>0时，t ＋1t >2；当t<0时，t ＋1t <－2，所以优点横坐标的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(10分) (3) 设优点为P(x 0，y 0)，只要证x 0>0，y 0>0.设A(t ，ln t)，B ⎝⎛⎭⎫1t ，－ln t ，不妨设A 在B 的右边，则t>1, 过A ，B 的切线方程分别为y ＝1t (x －t)＋ln t ，y ＝t ⎝⎛⎭⎫x －1t －ln t ， 联立这两个方程得x 0＝2tt 2－1ln t ，y 0＝（t 2＋1）ln t t 2－1－1，(12分)因为t>1，所以x 0＝2tt 2－1ln t>0，设h(t)＝ln t －t 2－1t 2＋1(t>1)，则h′(t)＝（t 2－1）2t （t 2＋1）2>0(t>1)．所以函数h(t)在(1，＋∞)上是增函数，所以h(t)>h(1)＝0，则ln t>t 2－1t 2＋1.因为当t>1时，t 2－1>0，所以y 0＝（t 2＋1）ln tt 2－1－1>0.故函数f(x)＝ln x 的优点P 一定落在第一象限．(16分) 20. (1) 因为a 2＝3a 1，2a 1＋a 2＝a 3，所以a 3＝2a 1＋a 2＝5a 1， 当n ＝2时，4(a 1＋a 2＋a 3)－9(a 1＋a 2)＋a 1＝ra 1，所以4(a 1＋3a 1＋5a 1)－9(a 1＋3a 1)＋a 1＝ra 1，即a 1＝ra 1， 因为a 1≠0，所以r ＝1.(4分)(2) 数列{a n }不能是等比数列，理由如下： 假设{a n }是等比数列，设公比为q ，因为2a 1＋a 2＝a 3，所以2a 1＋a 1q ＝a 1q 2，等比数列需满足a 1≠0，所以q ＝2或q ＝－1，(6分)当q ＝2时，因为n ＝2时，4(a 1＋a 2＋a 3)－9(a 1＋a 2)＋a 1＝ra 1， 即4(a 1＋2a 1＋4a 1)－9(a 1＋2a 1)＋a 1＝ra 1，则r ＝2， 又n ＝3时，6(S 3＋a 4)－11S 3＋S 2＝2a 1，所以a 4＝173a 1，而a 1，2a 1，4a 1，173a 1不构成等比数列，所以此时不满足要求；(8分)当q ＝－1时，因为n ＝2时，4(a 1＋a 2＋a 3)－9(a 1＋a 2)＋a 1＝ra 1， 即4(a 1－a 1＋a 1)－9(a 1－a 1)＋a 1＝ra 1，则r ＝5，又n ＝3时，6(S 3＋a 4)－11S 3＋S 2＝5a 1，所以a 4＝53a 1，而a 1，－a 1，a 1，53a 1不构成等比数列，所以此时不满足要求，故数列{a n }不能是等比数列．(10分)(3) 当n ＝2时，4(a 1＋a 2＋a 3)－9(a 1＋a 2)＋a 1＝a 1，即4a 3＝5a 1＋5a 2， 因为2a 1＋a 2＝a 3，所以a 2＝3a 1，a 3＝5a 1，所以S 2＝4a 1，S 3＝9a 1， 当n ＝3时，6(S 3＋a 4)－11S 3＋S 2＝a 1，所以a 4＝7a 1. 因为2nS n ＋1－(2n ＋5)S n ＋S n －1＝a 1，所以2n(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝4S n ＋a 1，即2na n ＋1－a n ＝4S n ＋a 1， 所以当n ≥3时，2(n －1)a n －a n －1＝4S n －1＋a 1，两式相减得2na n ＋1－(2n －1)a n ＋a n －1＝4a n ，即2na n ＋1－(2n ＋3)a n ＋a n －1＝0，(12分) 所以2(n ＋1)a n ＋2－(2n ＋5)a n ＋1＋a n ＝0，两式相减得(2n ＋2)a n ＋2－(4n ＋5)a n ＋1＋(2n ＋4)·a n －a n －1＝0， 所以2(n ＋1)(a n ＋2－2a n ＋1＋a n )＝a n ＋1－2a n ＋a n －1，(14分) 所以a n ＋1－2a n ＋a n －1＝12n (a n －2a n －1＋a n －3)＝…＝12n －3n （n －1）…（n －4）(a 4－2a 3＋a 2)＝0，所以对任意的n ≥3，都有a n ＋1－2a n ＋a n －1＝0，又因为a 3－2a 2＋a 1＝0，所以数列{a n }是等差数列．(16分)江苏省泰州市2019届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x ＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，解得x ＝3， 矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12523，(5分) 所以Mα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2858.(10分) B. 因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t ，所以x ＋y ＝1，因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ，所以曲线C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，它是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆．(5分)圆心(－1，0)到直线l 的距离为d ＝||－1＋0－112＋12＝2，所以AB ＝222－（2）2＝2 2.(10分)C ．因为3a ＋2b ＋c ＝1，由柯西不等式得1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＝(3a ＋2b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＝[(2a )2＋(a ＋b )2＋(b ＋c )2][⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋c 2]≥(2a ·1a ＋a ＋b ·1a ＋b＋b ＋c ·1b ＋c)2＝(2＋2)2＝6＋42，(6分) 当且仅当2a 1a ＝a ＋b 1a ＋b ＝b ＋c 1b ＋c，即2a ＝a ＋b ＝b ＋c 时取等号， 又由于3a ＋2b ＋c ＝1，所以此时a ＝c ＝2－12，b ＝3－222， 所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c的最小值为6＋4 2.(10分)22. (1) 以AB →，AD →，AA 1→为一组正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ， 所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，A 1(0，0，3), C 1(1，1，3)， A 1B →＝(1，0，－3)，AC 1→＝(1，1，3)，所以cos 〈A 1B →，AC 1→〉＝A 1B →·AC 1→||A 1B →||AC 1→＝－810×11＝－411055，所以异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值是411055.(4分)错误!(2) 设平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为A 1B →＝(1，0，－3)，BC →＝(0，1，0)，又因为⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·BC →＝0所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3z ＝0，y ＝0，取z ＝1，得n 1＝(3，0，1)，同理可得，平面AC 1D 的一个法向量为n 2＝(－3，0，1)，(7分) 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2||n 1||n 2＝－810×10＝－45，所以sin 〈n 1，n 2〉＝35，所以平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值是35.(10分)23. (1) 令f(x)＝1，有1－|2x －1|＝1，得x ＝12，令f 2(x)＝1，有f(f(x))＝1，得f(x)＝12，即1－||2x －1＝12，得x ＝14或34，所以g 2(1)＝2.(4分)(2) 因为f(0)＝f(1)＝0，所以f n (0)＝f n (1)＝0，因为f 1(x)＝1－||2x －1∈[0，1]，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f 1(x)单调递增，且f 1(x)∈(0，1]， 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，f 1(x)单调递减，且f 1(x)∈[0，1)，(6分)下面用数学归纳法证明：方程f n (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝1(x ∈(0，1])、方程 f n (x)＝0(x ∈[0，1))、方程f n (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n (1)．①当n ＝1时，方程f 1(x)＝0(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝0(x ∈[0，1))、方程f 1(x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立，②假设n ＝k 时，方程f k (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝0 (x ∈[0，1))、方程f k (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k (1)， 则当n ＝k ＋1时，有f k ＋1(x)＝f k (f 1(x))，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f 1(x)∈(0，1]，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数为g k (1)， 当x ∈错误!时，f 1(x)∈[0，1)，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数也为g k (1)，所以，方程f k ＋1(x)＝0(x ∈(0，1])的根的个数为g k ＋1(0)＝2g k (1)． 同理可证：方程f k ＋1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k ＋1(x)＝0(x ∈[0，1))、方程f k ＋1(x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k (1)，(8分)由①②可知，命题成立，又因为f n (0)＝f n (1)＝0，所以g n (0)＝g n (1)＋1.(10分)。
江苏省泰州市2019届高三数学第一次模拟考试试题
2019届高三年级第一次模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________． 3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________． 5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________． 6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________． 9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，若1tan A ＋1tan B ＋2tan C为定值，则实数λ＝________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)． (1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：(1) 直线PB ∥平面OEF ； (2) 平面OEF ⊥平面ABCD.如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π3，记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．(1) 将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，B 是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．设A ，B 为函数y ＝f(x)图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别作函数y ＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1) 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，0<x<1，ax 2， x>1不存在“优点”，求实数a 的值；(2) 求函数f(x)＝x 2的“优点”的横坐标的取值范围；(3) 求证：函数f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.(1) 若a2＝3a1，求r的值；(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设正数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝1，求1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，AB ＝1. (1) 求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；(2) 求平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝1－|2x －1|，0≤x ≤1，设f n (x)＝f n －1(f 1(x))，其中f 1(x)＝f(x)，方程f n (x)＝0和方程f n (x)＝1根的个数分别为g n (0)，g n (1)． (1) 求g 2(1)的值；(2) 证明：g n (0)＝g n (1)＋1.2019届高三年级第一次模拟考试(七)(泰州)数学参考答案 1. π 2. ±4 3. 5 4. [－1，1] 5. 516. 87. 48.9. 4110. (－1，＋∞) 11. 2 12. －43 13. [－1，0) 14. 10515. (1) 因为a ∥b ，所以sin x cos x ＝21，即sin 2x ＝1. 因为x ∈(0，π)，所以x ＝4π. (2) 因为tan x ＝cos x sin x＝－2， 所以sin x ＝－2cos x . 因为a ＋b ＝，1＋cos x 1，所以|a ＋b |＝＋（1＋cos x ）21＝＋sin x ＋2cos x 9＝23.16. (1) O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以PB ∥FO.因为PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ， 所以PB ∥平面OEF.(2) 连结AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AC 与BD 交于点O ，O 为AC 的中点． 因为E 为PC 的中点， 所以PA ∥OE.因为PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面OEF ，所以平面OEF ⊥平面ABCD.17. (1) 因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP ＝∠BOP ＝6π， 又∠APO ＝π－θ，∠OAP ＝θ－6π，由正弦定理，得6π＝sin （π－θ）OA ＝6π，又OA ＝2， 所以PA ＝sin θ1，OP ＝6，所以y ＝PA ＋PB ＋OP ＝2PA ＋OP ＝6＝sin θ3sin θ－cos θ＋2， 因为∠APQ ＞∠AOP ，所以θ>6π，∠OAQ ＝∠OQA ＝21(π－6π)＝125π， 所以θ∈125π.(2) 令f(θ)＝sin θ3sin θ－cos θ＋2，θ∈125π， f′(θ)＝sin2θ1－2cos θ＝0，得θ＝3π，f(θ)在区间3π上单调递减，在区间(3π，125π)上单调递增，所以当θ＝3π，即OP ＝33千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min ＝2. 答：当工作坑P 与O 的距离为33千米时，地下电缆管线的总长度最小．18. (1) 依题意，得＝6，a2解得c ＝1，a ＝2，所以b ＝＝，所以椭圆C 的方程为4x2＋3y2＝1.(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB ：x ＝my －2，m ≠0， 联立3x2＋4y2＝12，x ＝my －2， 解得3m2＋412m 或y ＝0，x ＝－2，即B(3m2＋46m2－8，3m2＋412m )，则P(3m2＋4－8，3m2＋46m)， 所以k OP ＝－43m ，OP ：y ＝－43mx.因为AB ⊥BQ ，所以k BQ ＝－m ，所以直线BQ 的方程为BQ ：y ＝－mx ＋3m2＋46m3＋4m， 联立，6m3＋4m 得x 0＝3m2＋48（3m2＋2）＝8－3m2＋416∈(4，8)．19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′x 1对x ∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立， 不妨取x ∈(0，1)，则f′(x)＝x 1＝x 2a ＝f′x 1恒成立，即a ＝21， 经验证，a ＝21符合题意．(2) 设A(t ，t 2)，Bt21(t ≠0且t ≠±1)， 因为f′(x)＝2x ，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝2tx －t 2，y ＝t 2x －t21，令2tx －t 2＝t 2x －t21，解得x ＝21t 1∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3) 设A(t ，ln t)，b ，－ln t 1，t ∈(0，1)，因为f′(x)＝x 1，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝t 1x ＋ln t －1，y ＝tx －ln t －1，令t 1x ＋ln t －1＝tx －ln t －1，解得x ＝t 1>0，所以y ＝t 1·t 1＋ln t －1＝t2－1t2＋1(ln t －t2＋1t2－1)，设h(m)＝ln m －m2＋1m2－1，m ∈(0，1)，则h′(m)＝m （m2＋1）2（m2－1）2>0，所以h(m)单调递增，所以h(m)<h(1)＝0，即ln t －t2＋1t2－1<0.因为t2－1t2＋1<0，所以y ＝t 1·t 1＋ln t －1>0，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．20. (1)令n ＝2，得4S 3－9S 2＋S 1＝ra 1，即4(a 3＋a 2＋a 1)－9(a 2＋a 1)＋a 1＝ra 1，化简，得4a 3－5a 2－4a 1＝ra 1.因为2a 1＋a 2＝a 3，a 2＝3a 1，所以4×5a 1－5×3a 1－4a 1＝ra 1，解得r ＝1.(2) 假设数列{a n }是等比数列，公比为q ，则由2a 1＋a 2＝a 3得2a 1＋a 1q ＝a 1q 2，且a 1≠0，解得q ＝2或q ＝－1，由2nS n ＋1－(2n ＋5)S n ＋S n －1＝ra 1，得4S n ＝2na n ＋1－a n －ra 1(n ≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－ra 1(n ≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n ，两边同除以a n －1，可得2n(q 2－q)＝3q －1.因为q ＝2或－1，所以q 2－q ≠0，所以上式不可能对任意n ≥3恒成立，故数列{a n }不可能是等比数列．(3) r ＝1时，令n ＝2，整理得－4a 1－5a 2＋4a 3＝a 1，又由2a 1＋a 2＝a 3可知a 2＝3a 1，a 3＝5a 1，令n ＝3，可得6S 4－11S 3＋S 2＝a 1，解得a 4＝7a 1，由(2)可知4S n ＝2na n ＋1－a n －a 1(n ≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－a 1(n ≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n (n ≥3)，所以2(n －1)a n ＋a n －2＝(2n ＋1)a n －1(n ≥4)，两式相减，可得2n[(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)]＝(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)(n ≥4)． 因为(a 4－a 3)－(a 3－a 2)＝0，所以(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)＝0(n ≥4)，即a n －a n －1＝a n －1－a n －2(n ≥4)，又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝2a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列．21. A. 将λ＝－2代入2＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，B. 由题意得曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.将直线l 的参数方程＋t 1代入(x ＋1)2＋y 2＝4得－t ＋11＋＋t 1＝4，即4t 2－4t －3＝0，解得t 1＝－2，t 2＝2，则AB ＝|t 1－t 2|＝23＝2.C. 因为3a ＋2b ＋c ＝1，所以a 1＋a ＋b 1＋b ＋c 1＝(2a ＋a ＋b ＋b ＋c )·b ＋c 1≥(×a 1＋×a ＋b 1＋×b ＋c 1)2＝(＋1＋1)2＝6＋4，当且仅当a ＝a ＋b ＝b ＋c 时，等号成立，所以a 1＋a ＋b 1＋b ＋c 1的最小值为6＋4.22. (1) 以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(0，0，3)，B(1，0，0)，C 1(1，1，3)，所以→BA1＝(－1，0，3)，→AC1＝(1，1，3)，所以cos 〈→BA1，→AC1〉＝11－1＋9＝55110.(2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以→A1B ＝(1，0，－3)，→A1C ＝(1，1，－3)，→AC1＝(1，1，3)，→AD ＝(0，1，0)， 设平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则·n1＝0，A1C 即x1＋y1－3z1＝0，x1－3z1＝0，令z 1＝1，则n 1＝(3，0，1)．设平面AC 1D 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则·n2＝0，AD 即y2＝0，x2＋y2＋3z2＝0，令z 2＝1，则n 2＝(－3，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝|n1||n2|n1·n2＝10－9＋1＝－54，所以平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值为53.23. (1) 当n ＝2时，f 2(x)＝f 1(1－|2x －1|)＝f(1－|2x －1|)＝1－|2(1－|2x －1|)－1|＝1，所以2(1－|2x －1|)＝1，所以1－|2x －1|＝21，所以2x －1＝±21，所以x ＝4或x ＝4，所以g 2(1)＝2.(2) 因为f(0)＝f(1)＝0，所以f n (0)＝f n (1)＝0.因为f 1(x)＝1－|2x －1|∈[0，1]，当x ∈21时，f 1(x)单调递增，且f 1(x)∈(0，1]，当x ∈，11时，f 1(x)单调递减，且f 1(x)∈[0，1)．下面用数学归纳法证明：方程f n (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝1(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝0(x ∈[0，1))、方程f n (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n (1)．(ⅰ) 当n ＝1时，方程f 1(x)＝0(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝0(x ∈[0，1))、方程f 1(x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．(ⅱ) 假设n ＝k 时，方程f k (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝0(x ∈[0，1))、方程f k (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k (1)，则当n ＝k ＋1时，有f k ＋1(x)＝f k (f 1(x))．当x ∈21时，f 1(x)∈(0，1]，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数为g k (1)．当x ∈，11时，f 1(x)∈[0，1)，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数也为g k (1)． 所以方程f k ＋1(x)＝0(x ∈(0，1])的根的个数为g k ＋1(0)＝2g k (1)， 同理可证：方程f k ＋1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k ＋1(x)＝0(x ∈[0，1))、方程f k ＋1(x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k (1)，由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立，又因为f n (0)＝f n (1)＝0，所以g n (0)＝g n (1)＋1.。
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2019届江苏泰州中学高三摸底考试数学试卷【含答案
及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、填空题
1. 已知集合，，则等于
____________________ ．
2. 已知复数满足，则的模为____________________ ．
3. 已知，则____________________ ．
4. 下图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为____________________ ．
5. 若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值是
____________________ ．
6. 在△ 中，，，，若使△ 绕
直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是____________________ ．
7. 下面求的值得伪代码中，正整数的最大值为
____________________ ．
8. 向量，，
____________________ ．
9. 对于函数，若存在区间，当时的值域为
（），则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是____________________ ．
10. 函数（）的最大值与最小值之和为
____________________ ．
11. 已知圆：（）及圆上的点，过点的直
线交圆于另一点，交轴于点，若，则直线的斜率为
____________________ ．
12. 已知 |，是线段上异于，的一点，△ ，
△ 均为等边三角形，则△ 的外接圆的半径的最小值是
____________________ ．
13. 已知实数、满足若不等式恒成立，则实数的最小值是____________________ ．
14. 设等比数列满足公比，，且中的任意两项之
积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为
____________________ ．
二、解答题
15. 已知，且，．
（1）求的值；
（2）证明：．
16. 如图，正方形所在的平面与△ 所在的平面交于，
平面，且．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
17. 某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经
销这个产品期间第个月的利润函数（单位：万元）．为了获得更多地利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第个
月的利润率为，例如．
（1）求；
（2）求第个月的当月利润率；
（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．
18. 已知椭圆：．
（1）椭圆的短轴端点分别为，（如图），直线，分别与椭
圆交于，两点，其中点满足，且．
①证明直线与轴交点的位置与无关；
②若△ 面积是△ 面积的 5倍，求的值；
（2）若圆：．，是过点的两条互相垂直的直线，其中交圆于、两点，交椭圆于另一点．求△ 面
积取最大值时直线的方程．
19. 已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．
（1）求的通项公式；
（2）设，若数列为等比数列，求的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
20. 已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求的单调区间；
（2）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；
（3）若存在不等实数，，使得，证明：．参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】。