高等数学 第八章 习题课
高等数学(同济第七版)第八章课后答案
a -c.
l)3 A = -(1IH + Ill)一;)= - 卡 - c.
4
一、《高等数学》{第七版)下00习�全解
言。 .
D4r1 =
?’ … -
(
,18
+
b
BD4)
=
-
a
- c.
a,i 4.已知l网点M 1 (0.l.2)利l M2 (1. -l. 0).试用卢I生 f,T; .-t< ,1�式表不,:., :,, .11 , 叫戊
nt Fi,, 14.试iif.nJJ以气!!X A(4. I.9). R( 10. - I.的.r.(2.4.3)为顶点的 · ((1 ff�{(: :Y 1'1 <r1
?角:/巳.
iiF. 111 I A革I :=/(10-4) 1 +(-I-I) ) +(。-9) 2 ::7.
I |元 =/(2-4) 2 +<.:i-门 2 +(3-9)1::7,
” 17. 的,,Jr,川
I I I ..!.. = 饵 U知 Ir =4.贝lj l勺’j,, r
r ,·o执 0=4 ·叫 王 : 4X =2.
3
2
: J: 18. 才句 (I() 1 右,-�� fl:点IJ(2. 叶 ,7). 'l;:.° (1: .t 输 、y圳和 z 4111 l二的投影依次为4, -4和1
二
yOz
面
( 2) 111 ("O揭 β=!!刘lβ=0 , 攸向;,t与 ) 4·111 la]向.JliJI'β=0知。=β= 旦 2 . 伙向没if'i自于宫和h和I J'轨,且II与z都Ii平行,
高等数学训练教程第二版课后练习题含答案
高等数学训练教程第二版课后练习题含答案简介“高等数学训练教程”是为大学高等数学教学补充而设计的辅导材料。
本教程第二版的课后习题数量更加丰富,难度也更加适合大学生群体。
同时,本教程还提供习题答案及解析,方便同学们自我检验和提高。
内容本教程分为10章,分别是:1.第一章:数列与级数2.第二章:函数极限与连续3.第三章:一元函数微分学4.第四章:一元函数积分学5.第五章:微积分基本公式与常微分方程6.第六章:重积分与曲线积分7.第七章:空间解析几何8.第八章:多元函数微分学9.第九章:矢量分析10.第十章:多元函数积分学每一章都包含了基本概念和定理的介绍,以及对应的例题和习题。
其中的习题涵盖了各个难度级别,并包含详细的解答,方便同学们查看。
使用方法本教程适合大学数学专业的学生和其他使用高等数学作为必修课的学生使用。
同学们可以按照自己所学的章节进行选择,这样对于课后习题的巩固与练习会很有帮助。
同学们可以使用Markdown文本格式打开本教程,方便自己查看。
由于本教程包含了大量的数学符号和公式,建议使用支持LaTeX语法的软件进行查看和编辑。
另外,同学们在查看习题答案和解析的时候,可以先自行完成习题,再对着答案进行比对和核对。
对比过程中可以思考和讨论题目的解法,从而提高数学的理解和应用能力。
其他说明本教程的课后习题涵盖了大量的高等数学知识点。
同学们可以根据自己的需求进行选择和使用,帮助自己更好地掌握这门学科。
同时,也欢迎同学们提出宝贵的意见和建议,我们会根据大家的反馈继续优化和完善本教程。
最后,希望同学们在使用本教程的过程中能够收获到实实在在的成效,为自己的学业和未来的发展打下坚实的数学基础。
高等数学课后习题答案--第八章
第八章 多元函数积分学 §3 三重积分的计算及其应用 习 题
1. 计算下列三重积分 (1) ∫∫∫ xy 2 z 3 dσ ,其中 Ω 是曲面 z = xy 和平面 y = x, x = 1, z = 0 所围成的区域;
Ω
(2) ∫∫∫ xzdσ ,其中 Ω 是由平面 z = 0 , x = y, y = z 以及抛物柱面 y = x 2 所围成的
D D
的大小。 【解】 利用 sin 2 x ≤ x 2 .则 sin 2 ( x + 2 y + 3z ) ≤ ( x + 2 y + 3z ) 2 积分得
∫∫∫ sin
D
2
( x + 2 y + 3 z )dσ ≤ ∫∫∫ ( x + 2 y + 3 z ) 2 dσ
D
4. 利用重积分的性质,估计积分值
(1) ∫∫ sin( x 2 + y 2 )dσ ,其中 D = {( x, y ) |
D
π
4
≤ x2 + y2 ≤
3π }; 4
dxdy , 其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 8}; ln(4 + x + y ) D 2 2 1 (3) ∫∫ e x + y dσ ,其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ }. 4 D
习题参考资料
第八章 多元函数积分学 §2 二重积分的计算 习 题
1. 计算二重积分
(1) ∫∫ xye xy dσ ,其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1};
2
D
(2) ∫∫
高等数学课后答案 第八章 习题详细解答
习 题 8-11.设有一个面薄板(不计其厚度),占有xOy 面上的闭区域D ,薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷,且(,)x y μ在D 上连续,试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆,其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限,便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}.2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤;又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤.试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.解 由二重积分的几何意义知,1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积;2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积.由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称,故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分,其中位于第一卦限的部分即为2Ω.由此可知124I I =.3. 利用二重积分定义证明: (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积;(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数;(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ,1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡,故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积,故不论把D 怎样分割,积分和的极限总是不变的,因此在分割D 时,可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。
高等数学《曲线积分与曲面积分》习题课
L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体,
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
的侧面积.
解 由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
2
解
z
y 1绕y轴旋转面方程为
x 0
y 1 z2 x2
(如下图)
欲求
I
(8
y
1) xdydz
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
P Q R
*
(
x
y
z
)dxdydz
x
2
o1
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
2
2
3
dxdz
D
8
a 0 dx (e x m) 0 0, OA 0
M
A(a,0) x
I
m a2 0 m a2.
AMOA OA
8
8
曲面面积的计算法
z
z f (x, y) S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
a
bo
A
s LB
y
x S dS
1
z
2 x
z
2 y
高等数学(1)-2习题册8章答案
第八章 空间解析几何与向量代数第1次课 空间直角坐标系 向量及其线性运算1.在x 轴上求与点(3,1,7)A -及(7,5,5)B -等距离的点. 解:设所求点为(,0,0)x ,据题意知:22(3)149(7)2525x x --++=-++得2x =,于是所求点为(2,0,0).2.把ABC ∆的BC 边三等分,设分点依次为12,D D ,再把各分点与点A 连接起来,试以,AB c BC a −−→→−−→→==表示向量−→−−→−A D A D 21,.解:113D A c a −−→=-- ,2D A −−→23c a =-- .3.已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ,计算向量123M M -的模、方向角.解:1236M M -= ,2,,343πππαβγ===.4.求平行于向量(3,2,1)a →=-的单位向量.解:0(aa→=5.已知||3a →=,其方向余弦31cos ,32cos ==βα,求向量a →的坐标表示式.解:设(,,)x y z a a a a →=,则2cos 3x aaα==,1cos 3y a a β== ,所以2x a =,1y a =. 又222cos cos cos 1αβγ++=,得24cos 9γ=,2cos 3γ=±. 2cos 3z a aγ==± ,所以2z a =±,于是,所求向量a →的坐标表示式为(2,1,2)a →=±.6.一向量的终点为)7,1,2(-B ,它在x 轴,y 轴和z 轴上的投影依次为4,4-和1,求该向量的起点A 的坐标.解:设起点A 的坐标为(,,)x y z ,则由24,14,71x y z -=--=--=可得(,,)(2,3,6)x y z =-.7.设32a i j k →→→→=--,2b i j k →→→→=+-,求(1)→→→→⨯⋅b a b a ,;(2) ,3)2(→→⋅-b a →→⨯b a 2;(3) ),cos(→∧→b a ;(4)b prj a →.解:(1)3,57a b a b i j k →→→→⋅=⨯=++ ;(2)(2)318a b →→-⋅=-,210214a b i j k →→⨯=++ ;(3)cos(,)14a ba b a b→→→∧→→→⋅==; (4)cos 14b prj a a ϕ→→===.8.已知)2,1,1(M 1-,)1,3,3(M 2,)3,1,3(M 3,求与−→−21M M 、−→−32M M 同时垂直的单位向量.解:设所求单位向量(,,)a x y z →=.12(2,4,1)M M −−→=-,23(0,2,2)M M −−→=-.1223M M M M ⨯241644022i j ki j k =-=---所求单位向量a →=12231223M M M M M M M M ⨯⨯=±. 9.已知(3,0,4),(5,2,14)OA OB =-=--,求AOB ∠平分线上的单位向量.解:AOB ∠平分线上的一个向量为011(3,0,4)(5,2,14)515OC OA OB =+=-+-- 2(2,1,1)15=-.所以,所求的AOB ∠平分线上的单位向量为OC OC= . 10.若向量3a b + 垂直于75a b - ,4a b - 垂直于72a b - ,求a 和b之间的夹角.解:由题意知:(3)(75)0a b a b +⋅-= ,(4)(72)0a b a b -⋅-=22716150a a b b +⋅-= ,2273080a a b b -⋅+=整理得:24623a b b ⋅= ,22a b b ⋅= ,将22a b b ⋅= 代入22716150a a b b +⋅-= 得,a b = ,又22112cos(,)2b a b a b a b b→→→→∧→→→→⋅===故1(,)arccos23a b π→∧→==. 11.在Oxy 面上,求垂直于(5,3,4)a =-,并与a 等长的向量b .解:设b (,,0)x y =,则b ===2250x y +=又由a b ⊥ ,可得 530x y -=.于是解方程组2250x y +=,530x y -=得1717x y ==或,1717x y =-=- 即b(,1717=或b(,0)1717=--. 12.求向量(3,12,4)a =- 在向量(1,0,2)(1,3,4)b =-⨯-上的投影.解:(1,0,2)(1,3,4)b =-⨯-102(6,2,3)134i j k=-=-.b prj a→(3,12,4)a b →→=⋅=-67=13.设向量4=α,3=β,6),(^πβα=,求以βα2+和βα3-为边的平行四边形的面积.解:以βα2+和βα3-为边的平行四边形的面积为22(2)(3)3()2()6S αβαβααββαβ=+⨯-=-⨯+⨯-^55s i n (,)543s i n6παβαβαβ=⨯=⋅⋅=⨯⨯30=提高题:设(2,1,2),(1,1,)a b z =--=,问z 为何值时^(,)a b 最小?并求出此最小值. 解:记^(,)a b ϕ=,则cos a ba bϕ→→→→⋅==所以,ϕ=d1d3zϕ==当4z<-时,dd zϕ<;当4z>-,dd zϕ<.所以,当4z=-时,^(,)a bϕ=有最小值,且min4πϕ==.第2次课平面及其方程空间直线及其方程1.求满足下列条件的平面方程:(1)过点1(1,2,0)M和2(2,1,1)M且垂直于平面П:1=-xy.解:所求平面的法向量()1,1,0(1,1,1)110111i j kn=-⨯-=--i j=+.所求平面方程为1(1)1(2)0x y⋅-+⋅-=,即30x y+-=.(2)过点(2,3,0)A -,(1,1,2)B -且与向量{4,5,1}a →=平行.解:所求平面的法向量()3,4,2(4,5,1)342451i j kn =-⨯=- 14531i j k =-++所求平面方程为14(2)5(3)310x y z -⋅++⋅-+=,即14531430x y z --+=(3)过(1,1,1),(2,2,2)A B ---和(1,1,2)C -.解:所求平面的法向量()3,3,3(0,2,3)333023i j kn =--⨯-=--- 396i j k =-++.所求平面方程为3(1)9(1)6(1)0x y z -⋅-+⋅-++=,即320x y z -++=.2.求平行于平面6650x y z +++=,而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面.解:设所求平面方程为1x y za b c++=.由题意知 116111/6/1/6abc t ab c ⎧=⎪⎪⎨⎪===⎪⎩得111,,66a b c t t t ===,将其代入116abc =,得16t =.所以 1,6,1a b c ===故所求平面方程为116x y z ++=. 3.一平面通过Oz轴与平面27x y +=的夹角为3π,试求此平面方程. 解:因为所求平面过Oz ,所以可设平面方程为0Ax By += (1) 则其法向量为(,,)A B O .平面27x y +=的法向量为(2,1,.因为所求平面与已知平面的夹角为3π,所以cos 3π=223830A AB B +-= (2) 联立(1)、(2)解得 13A B =再由A B 、不同时为零,代入式(1)可得所求平面方程为 30x y +=或30x y -=.4.求与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z ++-==都平行、且过原点的平面方程. 解:{}{}120,1,1,1,2,1s s ==由题意所求平面平行于两直线,则平面的法向量n与该两直线的方向向量垂直,即12011121i j kn s s i j k =⨯==-+-又平面过原点,所以所求平面方程为 即 0x y z -+=.5.求满足下列条件的直线方程:(1)过点(4,1,3)-且平行于直线31122-=-=-z y x . 解:方向向量(2,1,3)s =- ,故所求直线方程为413213x y z -+-==-.(2)过点(5,2,3)-且垂直于平面132=+-z y x 的直线方程.解:方向向量(2,3,1)s = ,故所求直线方程为523213x y z --+==-.(3)过点(0,2,4)且与直线⎩⎨⎧=-=+2312z y z x 平行.解:12(1,0,2),(0,1,3)n n ==-.方向向量s = 12102(2,3,1)013i j kn n ⨯==--故所求直线方程为34221x y z --==-.6.试求直线21:24x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩的对称式方程和参数方程.解:直线L 的方向向量为{}11321112121--==⨯=,,kj i n n v 点(-2,0,3)在直线L 上,所求直线L 的对称式方程:13132--=-=+z y x7.求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面220x y z -+=的夹角.解:12(1,1,3),(1,1,1),(2,2,1)n n n ==--=-.方向向量s = 12113(2,4,2)111i j kn n ⨯==---.则sin s n s nϕ⨯==⋅故所求夹角为arcsin6. 8.求直线⎩⎨⎧=++-=--+0220532:z y x z y x l 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.解:包含l 的平面束方程为235(22)0x y z x y z λ+--+-++=.(12)(2)(3)520x y z λλλλ++-+--+= 12(4,1,1),(12,2,3)n n λλλ=-=+--则124(12)(2)(3)1010n n λλλλ⋅=+--+-=-= ,得110λ=.故所求投影直线方程为12192948041x y z x y z +--=⎧⎨-+=⎩.提高题:1.已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1),线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ,求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.第3次课 曲面及其方程 空间曲线及其方程1.建立以点(1,3,2)-为球心,且通过坐标原点的球面方程. 解:2222(1)(3)(2)x y z R -+-++= 因为过原点,得214R =.所求球面方程为222(1)(3)(2)14x y z -+-++=.2.一动点与两定点)1,3,2(和)6,5,4(等距离,求该动点的轨迹方程. 解:设该点坐标为(,,)x y z ,则=所以该动点的轨迹方程为441063x y z ++=.3.求下列旋转曲面的方程:(1)xOy 面上的椭圆22221x y a b+=绕x 轴旋转所形成的旋转面的方程为( 122222=++bz y a x ).(2)zOx 面上的抛物线22x z =绕x 轴旋转的旋转抛物面方程是( 222y z x += ).(3)yOz 面上曲线22yz =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程为( 222()z x y =+ ). (4)xOy 面上曲线9422=+y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程为( 222()94x z y ++= ). 4.方程222y z x +=表示的二次曲面是( 圆锥面 ).5.方程221x y +=在空间所表示的图形是( 圆柱面 ). 6.方程22201x y x x z ⎧+-=⎨+=⎩代表的图形是( 椭圆 ).7.曲线22251x y z z ⎧++=⎨=⎩在xOy 面上的投影曲线方程为( ⎩⎨⎧==+0422z y x ). 8.曲线222112x y z z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影曲线方程为( ⎪⎩⎪⎨⎧==+04322z y x ). 9.下列曲面是否是旋转曲面?若是,它是如何产生的?(1)z y x 422=+ (2)14425222=--z y x 解:(1)是,由xOz 面上曲线24x z =绕z 轴旋转而成,或yOz 面上曲线24y z =绕z 轴旋转而成. (2)是,由xOy 面上曲线221254x y -=绕x 轴旋转而成,或xOz 面上曲线221254x z -=绕x 轴旋转而成.10.画出下列曲面(或立体)的图形:(1))(222y x z += (2)Rz z y x 2222=++(3)22y x z +=与222y x z --=所围的立体11.求以直线113:234x y z L ---==为中心轴,底半径为2的圆柱面方程. 解:圆柱面是到直线L 的距离为2的动点轨迹,设所求圆柱面上点的坐标为(,,)x y z ,由点到直线的距离公式知2=将上式两边平方,整理即得所求圆柱面方程为16(1)(3)12(1)(1)580x z x y --+--+=2.证明:直线0:x z l a c y b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在曲面2222221x y z a b c +-=上. 证明:曲面2222221x y z a b c+-=是一个单叶双曲面,要证明直线l 在该曲面上,只需证明只需l 上的每一点都在该曲面上.直线l 的参数方程为:x at l y b z ct =⎧⎪=⎨⎪=-⎩将上式代入曲面方程,满足曲面2222221x y z a b c+-=方程,故直线l 在曲面上.13.求曲线222222:x y z l z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩,在xOy 平面上的投影曲线的方程. 解:在曲线l 方程中消去z ,即得曲线l 在xOy 平面上的投影柱面方程为22222()2x y x y +++=即 2222(2)(1)0x y x y +++-=因为2220x y ++≠,所以有2210x y +-=,故所求投影曲线方程为 2210x y z ⎧+=⎨=⎩提高题:1. 椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是经过点(4,0)且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. (1) 求1S 及2S 的方程;(2) 求1S 及2S 之间的立体体积.第4次课 第八章 总复习题1.设3,4a b == ,且a b ⊥ ,求()()a b a b +⨯- .解:因为a b ⊥ ,^sin(,)sin 12a b π== 故^()()22sin(,)243124a b a b b a b a a b +⨯-=⨯==⨯⨯⨯=2.设(2,3,1),(1,2,5),,a b c a c b =-=-⊥⊥ ,且(27)10c i j k ⋅+-= ,求 c .解:设(,,)c x y z = ,由,c a c b ⊥⊥ 有230250270x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩,得65155,,12412x y z ===,所以65155(,,)12412c = . 3.设()2a b c ⨯⋅= ,求[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+ .解:[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+()()a b b b a c b c c a =⨯+⨯+⨯+⨯⋅+()()a b a c b c c a =⨯+⨯+⨯⋅+()()()()()()a b c a c c b c c a b a a c a b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅2()a b c =⨯⋅4=4.直线过点(3,5,9)A --,且与两直线135:23y x L z x =+⎧⎨=-⎩和247:510y x L z x =-⎧⎨=+⎩相交,求此直线方程. 解:设所求直线方程3:59x lt L y mt z nt =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩因为直线L 与1L 和2L 相交,所以59359623mt lt nt lt +=-++⎧⎨-+=-+-⎩,即(3)92m l t n l-=-⎧⎨=⎩ 51247915510mt lt nt lt +=-+-⎧⎨-+=-++⎩即(4)24(5)4m l t n l t -=-⎧⎨-=⎩得2,22n l m l ==.令1l =,则2,22n m ==.故所求直线方程为3:52292x t L y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩.5.求过点(1,0,4)-,平行于平面340x y z -+=,且与直线132z x y +=-=相交的直线方程. 解:设所求直线方程为1,(,,)4x lt y mts l m n z nt =-+⎧⎪==⎨⎪=+⎩. 平面的法向量(3,4,1)n =- ,由于直线与平面平行,所以n s ⊥ ,即340l m n -+= 因为两直线相交,故有432nt lt mt +=-+=. ()3(2)4m l t l n t -=⎧⎨-=⎩,即43100m n l +-= 于是得419,728l n m n ==. 令28n =,得16,19l m ==.故所求直线方程为31619428x t y t z t =-+⎧⎪=⎨⎪=+⎩.6.求通过下列两平面1:220x y z ∏+--=和2:32210x y z ∏--+=的交线,且与平面3:32360x y z ∏++-=垂直的平面方程.解:设所求平面方程为(22)(3221)x y z x y z λμ+--+--+= 即 (23)(2)(2)(2)x y z λμλμλμλμ++-+--+-+= 由于该平面⊥平面2∏,所以它们的法向量一点互相垂直,于是3(23)2(2)3(2)0λμλμλμ++-+--=得50λμ-=.取1,5λμ==,代入(22)(3221)0x y z x y z λμ+--+--+=,得 所求平面方程为1791130x y z --+=.7.求与两平面632350x y z ---=和632630x y z ---=相切的球面方程,其中的一个切点为(5,1,1)--.解:由两平行平面的距离公式4d ==所以,球半径为2.求出另一个切点,过点作平面的法线方程561312x t y t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=--⎩代入另一个平面方程,得47t =.从而得到球心坐标为471311(,,)777--.故所求球面方程为 222471311()()()4777x y z -++++= 8.求曲线22222(1)(1)z x y z x y ⎧=--⎪⎨=-+-⎪⎩在三个坐标面上的投影曲线的方程. 解:方程组消z ,得22x y x y +=+,故曲线在xOy 面上的投影为 2200x y x y z ⎧+--=⎨=⎩ 同理可得曲线在yOz 面上和xOz 面上的投影为222243200y z yz y z x ⎧++--+=⎨=⎩和222243200x z xz x z y ⎧++--+=⎨=⎩。
高等数学第六版下册课后习题答案-同济大学
本答案由大学生必备网 免费提供下载第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念,定理,公式和重要结论理解多元函数的概念,会表达函数,会求定义域; 理解二重极限概念,注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8-11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(,求),(y x xy f +解:(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+,求),(y x f解:(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域,并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解:22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解:2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解:1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解:22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一:(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二:(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一:(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二:(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一:2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二:222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解:222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解:224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解:x y =(2)x y xy z 2222-+=解:22y x =第二节 偏导数本节主要概念,定理,公式和重要结论1.偏导数:设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义,则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→, yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数,简称偏导数.求),(y x f x 时,只需把y 视为常数,对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数,二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数,如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同,有如下4个:xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,,其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数,则它们相等,即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8-21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解:21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解:2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解:(1z x ∂==∂z y ∂==∂(4))ln(222z y x u ++= 解:222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解:22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解:2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解:(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解:[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: (1)yxy x z arcsin)1(2-+=,求)1,0(x z 解:20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ (2)xyx e x z yarctan)1(2-+=,求)0,1(y z 解:01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =, 求22x z ∂∂,22yz ∂∂,y x z∂∂∂2解:ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=,求22x z ∂∂,22yz ∂∂,y x z ∂∂∂2,x y z ∂∂∂2解:2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z , 求22x z ∂∂, yx z ∂∂∂2解:22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ,求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解:00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆,00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=, 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=, 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念,定理,公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微,并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分,记作dz .2.可微的必要条件:若),(y x f z =在),(00y x 可微,则 (1)),(y x f 在),(00y x 处连续;(2)),(y x f 在),(00y x 处可偏导,且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==,从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地,对于区域D 内可微函数, dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件:若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导,且偏导数在),(00y x 处连续,则),(y x f z =在),(00y x 可微。
高等数学下册课件-第8章-习题课
=9+4+2 | a || b | (a, b) 19
2.
a b ab 0
A B (2a b ) (a b ) 2 | a |2 | b |2
=2( +2)=0
2
3. cos(a,b) a b 1 | a || b | 2
sin(a,b) 1 1 3 42
| a b || a || b | sin(a,b) 10 3
三、设点 M (x, y, z)
M1M 3MM 2 (x 2, y 5, z 3) 3(3 x, 2 y,5 z)
x 2 3(3 x)
y
5
3(2
y)
z 3 3(5 z)
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
x 11, y 1 , z 3
4
4
OM 1 (11, 1,12) 4
四、1.原式 (6 7 8)c 21c (21, 42, 21) 2.原式 (9 1 4)(21 7 2 41) 280
i jk 3.原式 3 1 2 (3, 1,5)
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、实例分析
例1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程.
(整理)高等数学课后答案第八章习题详细解答
习 题 8-11.设有一个面薄板(不计其厚度),占有xOy 面上的闭区域D ,薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷,且(,)x y μ在D 上连续,试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆,其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆=.任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限,便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}.2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤;又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤.试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.解 由二重积分的几何意义知,1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积;2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积.由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称,故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分,其中位于第一卦限的部分即为2Ω.由此可知124I I =.3. 利用二重积分定义证明: (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积;(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数;(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D DD =,1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡,故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积,故不论把D 怎样分割,积分和的极限总是不变的,因此在分割D 时,可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。
高等数学课件同济大学版第八章习题课
直线: xxyyzz,s(m ,n,p ) mn p
垂直: sn0
m n p ABC
平行: sn0
m A n B p C 0
夹角公式: sin sn
sn
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 相关的几个问题 (1) 过直线
L: A A 2 1x x B B 2 1y y C C 1 2zz D D 1 2 0 0
A x 0 B y 0 C z 0 D A2B2C2
M0
d
n
M1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3) 点 M 0(x0,y0,z0)到直线
L: xx1yy1zz1 mn p
的距离为
L
M 0(x0,y0,z0) d
d M0M1s s
s(m ,n,p)
M 1(x1,y1,z1)
1
m2 n2 p2
i jk sn1n2 1 0 4 ( 4,3,1 )
2 1 5
利用点向式可得方程
x 3 y2 z5
4
3
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求直线 x2y3z4与平面 112
2 x y z 6 0
t
的交点 .
提示: 化直线方程为参数方程
x2t
y
3 t
z 4 2 t
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为(1,2,2).
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 x1y1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程(类似8-6,题1). 提示: 先求二直线交点 P. 过已知点且垂直于已知直线
i
j
k
x 1 x 0y 1 y 0z 1 z 0
高等数学课件习题课8
(2)找 两 种 不 同 趋 近 方 式 , 使 lim f(x,y)存 在 , 但
x x0 y y0
两 者 不 相 等 , 此 时 也 可 断 言 f(x,y)在 点 P0(x0,y0) 处 极 限 不 存 在 .
二元函数的连续性
定义
设n元函数f(P)的定义域为点集D, P0是其聚 点且P0D,如果limf(P)f(P0)则称n元
u x
zv wy
特殊地 zf(u ,x,y) 其中 u(x,y)
x z u f u x fx, yzu f u yfy.
隐函数的求导法则
1 . F (x ,y)0
dy dx
Fx Fy
.
2 . F (x ,y ,z) 0
z yFy Fz源自,z yFy Fz
.
3.
F(x, y,u,v)0 G(x, y,u,v)0
连续偏导数,则对于每一点P(x, y)D,都
可定出一个向量f x
i
f y
j
,这向量称为函
数z f(x, y)在点P(x, y)的梯度,记为
grfa(xd ,y) fxi fyj. 三元函数的梯度
grf(a x ,y ,d z) f xi f yj f zk.
多元函数的极值
极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 . 使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .
设 P 0 是 函 数 f(P )的 定 义 域 的 聚 点 , 如 果 f(P )在 点 P 0 处 不 连 续 , 则 称 P 0 是 函 数 f(P )的 间 断 点 . 注意:二元函数可能在某些孤立点处间断,也可能
在曲线上的所有点处均间断。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”: lim f(P)f(P 0) (P 0 定义)区域
多元函数的基本概念
fx
, cos
fy
1
f
2 x
f
2 y
1
f
2 x
f
2 y
cos r
1
1
f
2 x
f
2 y
有 cos2 cos2 cos2 r 1
注意:根号前要取“+”号都取“+”号,表示法线的一个方向。
根号前要取“-? 号都取“-? 号,表示法线的另一个方向。
6. 求多元函数极值
(x-tx00)
y(ty0)0
z z0
( t0)
法平面方程:( t0 )(x-x0)+(t0 )(y-y0 ) (z z0 ) 0
若曲线为
F (x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
曲线的切向量为
T
Fy
Gy
Fz , Fz Gz M Gz
Fx , Fx Gx M Gx
Fy
Gy
M
高等数学(XAUAT)
切线:
x x0 Fy Fz
y y0 Fz Fx
z z0 Fx Fy
Gy Gz M Gz Gx M Gx Gy M
法平面:Fy Gy
Fz Gz
M
x
x0
Fz Gz
Fx Gx
M
y
y0
Fx Gx
高等数学(XAUAT)
c.
如果方程组
F(x,y,u,v)=0 G(x,y,u,v)=0
满足隐函数存
在定理条件则方程组可确定u, v是x, y的函数,这时,
高等数学第八章 第四节
则复合函数 z = f [ ( t ),ψ ( t )]在对应点 t可导, 且
其导数可用下列公式计算: 其导数可用下列公式计算 d z z d u z d v . = + d t u d t v d t
证 设 t 获得增量 t,
则 u = ( t + t ) ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t );
问: 项数 每一项 中间变量 的个数 的个数.
例 设 y = (cos x )
sin x
dy , 求 dx
法一:对数求导法 解 法一 对数求导法
v 法二 令u = cos x , v = sin x , 则y = u
dy y du y dv = + dx u dx v dx
= vu
v 1
( sin x ) + u ln u(cos x )
例
设 w = f ( x + y + z , xyz ) , f 具有二阶
w 2 w 连续偏导数, 连续偏导数,求 和 . x xz
解 令 u = x + y + z, 记
v = xyz;
f ( u , v ) f1′ = , u ′′ f11 ,
2 f ( u, v ) ′′ f12 = , u v ′′ f 22 .
z z u z v z w + = + x u x v x w x
z z u z v z w = + + y u y v y w y
z
u v w
x
y
例 设z =
1
u2 + v 2 + w 2 w = 2xy . 求 z x
《高等数学CII》课程教学大纲
课堂讲授
习题9.3:1、2、3、4、7;
习题9.4:8、11、12(3)(4);
习题9.5:2、4、6、10(1)(2)
5
§9.6多元函数微分学在几何中的应用;§9.7方向导数与梯度
§9.8多元函数的极值
6
重点:曲线上一点处的切向量;
曲面上一点处切平面的法向
6
重点:常数项级数的性质;正项级数的审敛法。
难点:常数项正项级数的审敛法;绝对收敛与条件收敛。
课堂讲授
习题12.1:2、3;
习题12.2:1、2、4、5
15
§12.3幂级数;§12.4函数展成幂级数
6
重点:幂级数的收敛域与收敛半径;函展成幂级数。
难点:用间接法将函数展开为幂级数;幂级数的和函数的求法;泰勒级数。
4.培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
理论教学进程表
周次
教学主题
教学时长
教学的重点与难点
教学方式
作业安排
1
第8章§8.1向量及其线性运算;§8.2向量的数量积与向量积;
§8.3平面及其方程
6
重点:向量的数量积与向量积;平面的点法式方程。
难点:向量的向量积。
课堂讲授
习题8.1:15、17;习题8.2:1、2、3、9;
17
第12章习题 课;全面总复习
6
课堂讲授;第12章习题讨论课
合计:
102
成绩评定方法及标准
考核内容
评价标准
权重
完成作业
分A 、B、 C三级;缺交一次扣2分,最多扣20分
10%
到堂情况
苏州大学理工类高等数学(课次练习)下习题及解答
´1
0
ex2
0=y
dx
=
−
´y
0
f
(s)ds
+
´ xy
0
f
(xy),
∂F ∂y
=
− f (y) +
f
f (s)ds+ (xy)x +
0 = x f (xy) − f (y).
√
3. f (x, y) = x + (y − 1) arcsin
x y
.
√
解
因为 f (x, y) = x+(y−1) arcsin
=
y
−
x2−y2
(x2+y2)2
,
∂ ∂
f y
=
∂ ∂y
(xy
+
x x2+y2
)
=
x−
x×2y (x2+y2)2
=
x−
2xy
(x2+y2
)2
,
故
fx′(0, 1)
=
∂ ∂
f x
|(0,1)
=
(y −
x2−y2
(x2+y2)2
)
x=0,y=1
=
2,
fy′(0, 1)
=
∂ ∂
f y
|(0,1)
=
(x −
x + 1)d x + xxyzxz(ln
x)d y +
xxyzxy(ln x)dz.
3 多元复合函数的求导法则
8
√
3.
z= 解
ln
1 + x2
+ y2, √
高等数学第八章习题课
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
6,多元连续函数的性质
(1)最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次. (2)介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在 D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介 于这两值之间的任何值至少一次.
7,偏导数概念
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义,当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时,相应地函数有增量 f ( x 0 + x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) ,
全微分 全微分 概念 概念
高阶偏导数 高阶偏导数
偏导数 偏导数 概念 概念
隐函数 隐函数 求导法则 求导法则 微分法在 微分法在 几何上的应用 几何上的应用
多元函数的极值 多元函数的极值
1,区域 (1)邻域
设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点,δ 是某 一正数,与点 P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于δ 的点 P ( x , y ) 的全体,称为点 P0 的δ 邻域,记为U ( P0 , δ ) ,
x → x0 y → y0
说明:
(1)定义中 P → P0 的方式是任意的; (2)二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x → x0 y → y0
(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
4,极限的运算
设 P → P0 时,f ( P ) → A, f ( P ) → B , 则 (1). f ( P ) ± g ( P ) → A ± B; ( 2). f ( P ) g ( P ) → A B; ( 3). f ( P ) g ( P ) → A B ( B ≠ 0).
x = x0 或 y = y0
f x ( x 0 , y0 ) .
同理可定义函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数, 为
f ( x 0 , y0 + y ) f ( x 0 , y0 ) lim y → 0 y z f , , z y x = x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . 记为 = = y = y0 y x = x0 y x = x 0 y y y y
(4)n维空间
设 n 为取定的一个自然数,我们称 n 元数组 ( x1 , x 2 , , x n ) 的全体为 n 维空间,而每个n 元数 组 ( x 1 , x 2 , , x n ) 称为 n 维空间中的一个点,数 x i 称为该点的第i 个坐标.
2,多元函数概念
定义 设 D 是平面上的一个点集,如果对于每 个点 P ( x . y ) ∈ D ,变量 z 按照一定的法则总有确 定的值和它对应,则称 z 是变量 x, y 的二元函数, 记为 z = f ( x , y ) (或记为 z = f (P ) ). 类似地可定义三元及三元以上函数.
第八章 习题课
一,主要内容
平面点集 平面点集 和区域 和区域
极 限 运 算 极 限 运 算 多元连续函数 多元连续函数 的性质 的性质 多元函数概念 多元函数概念
多元函数 多元函数 的极限 的极限
多元函数 多元函数 连续的概念 连续的概念
方向导数 方向导数
复合函数 复合函数 求导法则 求导法则
全微分形式 全微分形式 的不变性 的不变性
z f 数,记作 , , z y 或 f y ( x , y ) . y y
8,高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z = 2 = f yy ( x , y ), = 2 = f xx ( x , y ), x x x y y y
当 n ≥ 2 时,n 元函数统称为多元函数.
3,多元函数的极限
定义 设函数 z = f ( x , y ) 的定义域为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是其聚点,如果对于任意给定的正数ε ,总存在 正 数 δ , 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 <| PP0 |= ( x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 < δ 的 一 切 点,都有 | f ( x , y ) A |< ε 成立,则称 A 为函数 z = f ( x , y ) 当 x → x 0 , y → y 0 时的极限, 记为 lim f ( x , y ) = A (或 f ( x , y ) → A ( ρ → 0)这里 ρ =| PP = f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x 的偏导数都存在,那么这个偏导数 就是 x , y 的函数,它就称为函数 z = f ( x , y )对 自变量 x 的偏导数,
z f 记作 , , z x 或 f x ( x , y ). x x
同理可以定义函数 z = f ( x , y )对自变量 y 的偏导
f ( x 0 + x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) 存在,则称 如果 lim x → 0 x 此极限为函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 x 的
偏导数,记为
z f , ,zx = = x x = x0 x x = x0 y y y y
0 0
5,多元函数的连续性
定义 设 n 元函数 f (P ) 的定义域为点集 D, P0 是 其聚点且 P0 ∈ D ,如果 lim f ( P ) = f ( P0 ) 则称n
P → P0
元函数 f (P ) 在点 P0 处连续.
设 P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点,如果 f (P ) 在点 P0 处不连续,则称 P0 是函数 f (P ) 的 间断点.
U ( P0 , δ ) = {P | PP0 |< δ }
= { x, y) | ( ( x x 0 ) + ( y y0 ) < δ .
2 2
}
δ P0
(2)区域 连通的开集称为区域或开区域.
(3)聚点
设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的 一个点,如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点.