弹性力学徐芝纶版第8章

平衡条件
§8-1
平衡微分方程
取出微小的平行六面体， d v d x d y d z， 考虑其平衡条件:
F
x
0,
x
F
M
y
0,
0,
F
z
0;
z
M
0,
y
M
0.
平衡微分方程
由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，
yz zy zx xz yx xy
(7 8)
几何方程
从几何方程同样可得出形变与位移 之间的关系： ⑴ 若位移确定，则形变完全确定。 从数学上看，由位移函数求导数是完全 确定的，故形变完全确定。 ⑵ 若形变确定，则位移不完全确定。
位移边界条件
若在 su 边界上给定了约束位移分量
u , v , w ，则空间问题的位移边界条件为：
三应力不变量。这些不变量常用于塑性力
学之中。
一点应力状态
6.最大与最小的应力
(1)正应力 设物体内某点的三个主应力已经求得为 σ1 σ 2 σ 3，将x、y、z轴分别放在三个主 应力的方向，则 x σ1 , y σ 2 , z σ 3 , xy yz zx 0。 则 n l 2 σ1 m 2 σ 2 n 2 σ 3 由 l 2 m2 n2 1
m1 n1 yx zx (σ x σ1 ) 0, l1 l1 m1 n1 (σ y σ1 ) zy xy 0. l1 l1
(d)
应力主向
m1 n1 由上两式解出 l1 , l1 。然后由式(b)得出
l1
1 m1 2 n1 2 1 ( ) ( ) l1 l1
3 2 2 yz 2 zx 2 xy
(σ xσ y σ z σ σ σ 2 yz zx xy ) 0.
2 x yz 2 y zx 2 z xy
(7-6 )
应力主向
3.应力主向 设主应力 σ1 的主向为 l1 , m1 , n1。代入式 (a)中的前两式，整理后得
移项缩写为：

2
ij
ij l j 0
2 2
考虑方向余弦关系式，有
l m n 1. 或 li li 1
求主应力
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为：
(σ x σ )l yx m zx n 0, xy l (σ y σ )m zy n 0, xz l yz m (σ z σ )n 0。
第一节
第二节 第 3、 4节 第5-7节 第 8节 例题
平衡微分方程
物体内任一点的应力状态 主应力 最大与最小的应力
几何方程及物理方程 轴对称问题的基本方程
第八章 空间问题的基本理论
在空间问题中，应力、形变和位移等基 本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以 及按位移求解和按应力求解的方法，都是 与平面问题相似的。因此可以通过简化得 到平面问题的相应方程。
斜面应力
§8-3、4 主应力 最大与最小的应力
1.假设 n 面(l , m , n)为主面，则此斜面上
n 0 , p σ n σ.
斜面上沿坐标向的应力分量为：
p x l , p y m , p z n .
代入 p x , p y , p z , 得到：
l l x m yx n zx m l xy m y n zy n l xz m yz n z
v v u y , xy . y x y
空间问题的几何方程为：
u v w x , y , z x y z w v u w v u yz , zx , xy y z z x x y
一点应力状态
（2）切应力 用同样的方法可以得到切应力的极值为 1 2 2 3 3 1 。最大和 , , 2 2 2 最小的切应力作用于通过中间主应力、 并且“平分最大和最小正应力的夹角”的平 面 上。
一点应力状态
7.关于一点应力状态的结论：
(1)6个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要6个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面上的 应力也完全确定并可求出。 (2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及 主应力。
.
(e)
再求出 m1 及 n1 。
4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力
σ1 ,σ 2 ,σ 3 （证明见书上）。
应力不变量
5.应力不变量 若从式(c) 求出三个主应力 σ1 , σ 2 , σ 3 ， 则式(c)也可以用根式方程表示为，
( σ1 )( σ 2 )( σ 3 ) 0




(7 12)


⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：
E E x ( x ), yz yz 1 1 2 2(1 ) E E y ( y ), zx zx 1 1 2 2(1 ) E E z ( z ), xy xy 1 1 2 2(1 )
斜面应力
§8-2 物体内任一点的应力状态
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐标的应力分量 σ x … yz …，来求出斜
面(法线为 n ）上的应力。
斜面应力
斜面的全应力p 可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量:
p ( px , p y , pz ).
p沿法向和切向分量:
p (σ n , n ).
2 yz 2 zx 2 xy
1 ii jj ij ji 2 I 3 σ1σ 2 σ 3 x σ y σ z 2 xy yz zx σ x σ σ
2 yz 2 y zx 2 z xy
ij
上式中的各式，左边是不随坐标选择 而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关， 但其和也应与坐标选择无关。 所以分别称 I1,I 2 ,I 3 为第一、二、
σ n lp x mpy np z
l 2σ x m2σ y n2σ z 2mn yz 2nl zx 2lm xy .
n n
σ n p j l j ijli l j
由
p p p p σ ,
2 2 x 2 y 2 z 2 n 2 n
求主应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得
σ x σ
xy xz
σ y σ
yx yz
σ z σ
zx zy 0,
展开，即得求主应力的方程,
σ (σ x σ y σ z )σ (σ yσ z σ z σ x σ xσ y )σ
得
p p p σ
2 n 2 x 2 y 2 z
2 n
(7 4)
n n
从式(7-3)、(7-4 )可见, 当六个坐标面 上的应力分量确定之后，任一斜面上的应
力也就完全确定了。
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应力边界条件
3. 在
sσ 上的应力边界条件
(7 5)
l x m yx n zx f x s l xy m y n zy s f y (在sσ 上) l m n f xz yz z x s
(7 14)
由物理方程可以导出
1 2 Θ, E
（7-13）
Θ x y z 称为体积应力。
E 1 2
--称为体积模量。
结论
结论： 空间问题的应力，形变，位移等15个未 知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数
平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 F x 0 , 得
σ x yx zx fx 0 , x y z ( x, y, z ). (c)
同理可得
yx x zx fx 0 y z x zy xy y fy 0 z x y yz xz z fz 0 x y z
空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出： 现仅考虑只有xy平面内的位移 u , v 时的 情况进行推导： 通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段 PA dx, PB dy,
定义
变形前位置： P, A, B,
变形后位置： P, A, B －－各点的位置如图。
几何方程
u x , x
x y z.
(d)
其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。
物理方程
空间问题的物理方程
可表示为两种形式： ⑴ 应变用应力表示，用于按应力求解方法：
1 21 x σ x (σ y σ z ) , yz yz E E 1 21 y σ y (σ z σ x ) , zx zx E E 1 21 z σ z (σ x σ y ) , xy xy E E
一点应力状态
2 2 2 l 1 m n l 消去 得
由
n (1 m n )σ1 m σ 2 n σ 3 n n
2 2 2 2
m
0,
n
0
2 m 0, n 0, l 1 得：
可以得到 n 的一个极值为 1 。 同理可得 n 的另外两个极值为 2 , 3。 则最大、最小正应力为主应力中的最大、 最小值。
(u ) s u ,
(u, v, w).
(7-9 )
体积应变
体积应变定义为：
dv dv dv (d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z
d xd y d z
(1 x )(1 y )(1 z ) 1
同理可得 p x l x m yx n zx p y l xy m y n zy p z l xz m yz n z
p j ijli
7 2
i, j x, y, z
(7 3)
(b)
2. 求 p (σ n , n )
σ ( 1 2 3 )
3 2
(σ1σ 2 σ 2σ 3 σ 3σ1 ) σ1σ 2σ 3 0
上式 和( 7-6 )是等价的方程，故 σ 的各 幂次系数应相等，从而得出：
应力不变量
I1 σ x σ y σ z σ1 σ 2 σ 3 ii I 2 σ1σ 2 σ 2 σ 3 σ 3σ1 σ y σ z σ z σ x σ x σ y ( )
(3) 3个主应力包含了此点的最大和最小 正应力。 (4) 一点存在3个应力不变量 I1,I 2 ,I 3
σ1 σ 3 . (5) 最大和最小切应力为 2
设 σ1 σ 2 σ3
，作用于通过中间
主应力、并且“平分最大和最小正应
力的夹角”的平面上。
几何方程
§8-5、7 几何方程及物理方程
px p y pz
1. 求 p ( p x , p y , p z )
取出如图的包含斜面 的微分四面体，斜面面积 为ds, 则x面，y面和z面的 面积分别为lds,mds,nds。
由四面体的平衡条件 得出坐标向的应力分量, p x l x m yx n zx
F
x
0
n n