2015年中考数学第一轮复习---方程与不等式
2015年中考数学考点专项二：方程与不等式 一元二次方程
专项二
方程与不等式
2015年考点：一元二次方程
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知识点:配方法的应用专项二来自方程与不等式2015年考点：一元二次方程
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知识点:解一元二次方程：因式分解法
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知识点:估算一元二次方程的近似解
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知识点:解一元二次方程：直接开方法
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知识点:解一元二次方程：配方法
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知识点:根与系数的关系
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知识点:解一元二次方程：公式法
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知识点:一元二次方程的一般形式
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知识点:一元二次方程的解
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知识点:一元二次方程的定义
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【名师面对面】2015中考数学总复习 第2章 第5讲 一次方程与方程组课件
一次方程(组)的应用
几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的方程组成二元 一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定 系数的另外的方程(或方程组)，解方程(组)即可．
二元一次方程组的解 根据方程组的特点灵活选择代入法或加减法．当方程组中一 个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用 代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值 相等或成整数倍时，用加减法较方便．
一次方程(组)的应用
a x bx 3 1．已知关于x的方程 的解是x＝2，其中a≠0且 2 3 a b b≠0，求代 b a 数式－的值．
1 B. 2
C．1
D．2
【解析】第1题可以逐个代入检测判断；第2题将x与y的值代 入方程组求出m与n的值，即可确定出m－n的值．
方程(组)的相关概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值 相等的未知数的值叫做方程的解． 2．一元一次方程：只含有____未知数，并且未知数的最高 次数是____，系数不等于0的____方程叫做一元一次方程， 其标准形式为_______________，其解为x＝________. 3．二元一次方程：含有________未知数，并且未知数的项 的次数都是________，这样的整式方程叫做二元一次方 程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)． 4．二元一次方程组：具有相同未知数的________二元一次 方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．一般形式： a1x b1 y=c1， (a ，a 不可同时为0；b ，b 不可同时为0)． 1 2 1 2
x=2 将x＝2代入①得y＝2，则方程组的解为 y=2
1 1 mx ny , 2 2 2．(2014· 贺州)已知关于x，y的方程组 mx ny 5
【聚焦中考】2015中考数学(安徽)总复习教学案：第二章 方程与不等式
第二章方程与不等式第6讲一次方程与方程组1．定义(1)含有未知数的__等式__叫做方程；(2)只含有__一个__未知数，且含未知数的项的次数是__一次__，这样的整式方程叫做一元一次方程；(3)含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1，这样的整式方程叫做二元一次方程．(4)将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组．如果方程组中含有__两个未知数__，且含未知数的项的次数都是__一次__，这样的方程组叫做二元一次方程组．2．方程的解(1)能够使方程左右两边__相等的__未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程．(2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．(3)二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解．3．解法(1)解一元一次方程主要有以下步骤：__去分母__；__去括号__；__移项__；__合并同类项__；未知数的系数化为1.(2)解二元一次方程组的基本思想是__消元__，有__代入消元法__与__加减消元法__．即把多元方程通过__加减__、__代入__、换元等方法转化为一元方程来解．两个方法(1)代入消元法；(2)加减消元法．1．(2014·咸宁)若代数式x＋4的值是2，则x等于( B )A．2B．－2C．6D．－62．(2014·无锡)某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在六一儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打八折出售，圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为( B )A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87C ．2×0.9x ＋1.2×0.8(60＋x )＝87D ．2×0.9x ＋1.2×0.8(60－x )＝873．(2014·抚州)已知a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝2，a ＋2b ＝6，则3a ＋b 的值为( A )A ．8B ．4C ．－4D ．－84．(2014·襄阳)若方程mx ＋ny ＝6的两个解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，则m ，n 的值为( A )A ．4，2B ．2，4C ．－4，－2D ．－2，－45．(2014·绍兴)如图①，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②，则被移动的玻璃球的质量为( A )A ．10克B ．15克C ．20克D ．25克一元一次方程的解法【例1】 解下列方程： (1)12x －45＝710； (2)7x －12[x －12(x －1)]＝23(x －1)．解：(1)5x －8＝7，5x ＝8＋7，5x ＝15，∴x ＝3(2)7x －12(12＋12)＝23(x －1)，7x －14x －14＝23x －23，去分母，得84x －3x －3＝8x －8，73x ＝－5，∴x ＝－573【点评】 (1)去括号可用分配律，注意符号，勿漏乘；含有多重括号的，按去括号法则逐层去括号；(2)去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项(特别是常数项)，若分子是多项式，则要把它看成一个整体加上括号；(3)解方程后要代回去检验解是否正确；(4)当遇到方程中反复出现相同的部分时，可以将这个相同部分看作一个整体来进行运算，从而使运算简便．1．解方程： (1)3－57x ＝135；(2)2x －16＝5x ＋18；(3)x ＋24＝2x －36＋1.解：(1)－57x ＝85－3，－57＝－75，∴x ＝4925(2)4(2x －1)＝3(5x ＋1)，8x －4＝15x ＋3，－7x ＝7，∴x ＝－1 (3)3(x ＋2)＝2(2x －3)＋12，3x －4x ＝－6＋12－6，－x ＝0，∴x ＝0二元一次方程(组)的解法【例2】(1)(2014·六安模拟)方程x ＋2y ＝5的正整数解有( B ) A ．一组 B ．二组 C ．三组 D ．四组(2)(2014·威海)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝3，x 2－y 3＝1.解：方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝3①，3x －2y ＝6②，②－①，得3y ＝3，即y ＝1，将y ＝1代入①，得x ＝83，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83y ＝1【点评】 (1)解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择，当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(或两个)方程的两边同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选用加减法比较简便；(2)用加减消元法时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元，这样会使运算量较小，提高准确率．2．解方程组：(1)⎩⎨⎧718（x ＋y ）＝1，①34x ＋79（x ＋y ）＝5；②(2)(2014·滁州模拟)1－6x ＝3y －x 2＝x ＋2y3.解：(1)把①代入②，得34x ＋2×1＝5，34＝3，∴x ＝4，把x ＝4代入①，得718(4＋y )＝1，4＋y ＝187，y ＝187－4＝－107，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－107(2)∵1－6x ＝3y －x 2＝x ＋2y3，∴⎩⎨⎧1－6x ＝3y －x2，①3y －x 2＝x ＋2y 3，②化简得⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋3y ＝2，x ＝y ，∴方程组的解为⎩⎨⎧x ＝17y ＝17已知方程(组)解的特征，求待定系数【例3】 (1)(2014·宣城模拟)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值是( B )A ．－34B .34C .43D ．－43(2)已知方程组⎩⎨⎧2x －3y ＝3，ax ＋by ＝－1与⎩⎨⎧3x ＋2y ＝11，2ax ＋3by ＝3的解相同，求a ，b 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝3，3x ＋2y ＝11，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.把⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝－1，2ax ＋3by ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝－1，2a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝5【点评】 (1)先将待定系数看成已知数，解这个方程组，再将求得的含待定系数的解代入方程中，便转化成一个关于k 的一元一次方程；(2)几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程(或方程组)，解方程即可．3．(1)当m 取什么值时，方程x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝7，mx －y ＝0有公共解；(2)已知关于x ，y 的二元一次方程(a －1)x ＋(a ＋2)y ＋5－2a ＝0，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝7，∴⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－1.代入mx －y ＝0，得4m ＋1＝0，m ＝－14 (2)解法一：取a ＝1，得3y ＋3＝0，y ＝－1，取a ＝－2，得－3x ＋9＝0，x ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1 解法二：整理得(x ＋y －2)a ＝x －2y －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1第7讲一元二次方程1．定义只含有__一个未知数__，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．2．解法首先考虑__直接开平方法__，__因式分解法__；其次考虑__配方法__，__公式法__．3．公式一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式： __x ＝2a (b 2－4ac ≥0)__．4．一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)：(1)b 2－4ac ＞0⇔方程有两个__不相等__的实数根； (2)b 2－4ac ＝0⇔方程有两个__相等__的实数根； (3)b 2－4ac ＜0⇔方程__没有__实数根． 5．一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝__－ba __，x 1x 2＝__ca__．转化思想一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程)，通过转化、归结为已解决的问题(一元一次方程)，也就是不断地把“未知”转化为“已知”．一个注意注意：(1)根的判别式“b 2－4ac ”只有在确认方程为一元二次方程时才能使用；(2)使用时，必须将一元二次方程转化为一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，以便确定a ，b ，c 的值．一个防范正确理解“方程有实根”的含义．若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”．1．(2014·宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( C ) A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 22．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac满足的条件是( B )A．b2－4ac＝0B．b2－4ac＞0C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥03．(2014·安徽)已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x的值是( B )A．－6 B．6C．－2或6 D．－2或304．(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A )A．x1小于－1，x2大于3B．x1小于－2，x2大于3C．x1，x2在－1和3之间D．x1，x2都小于35．(2014·玉林)x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使1x1＋1x2＝0成立？则正确的是结论是( A )A．m＝0时成立B．m＝2时成立C．m＝0或2时成立D．不存在一元二次方程的解法【例1】解下列方程：(1)(2014·滁州模拟)x2＋4x－1＝0；(2)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1.(1)解：原式可化为(x2＋4x＋4－4)－1＝0，即(x＋2)2＝5，两边开方，得x＋2＝±5，解得x1＝－2＋5，x2＝－2－ 5(2)解法一：(1997－x)2＋(x－1996)2－1＝0，(1997－x)2＋(x－1997)(x－1995)＝0，(x－1997)[(x－1997)＋(x－1995)]＝0，2(x－1997)(x－1996)＝0，x1＝1997，x2＝1996 解法二：因为(1997－x)2＋(x－1996)2＝[(1997－x)＋(x－1996)]2－2(1997－x)(x－1996)，所以原方程可化为1－2(1997－x )(x －1996)＝1，2(1997－x )(x －1996)＝0，x 1＝1997，x 2＝1996【点评】 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．1．用指定的方法解下列方程：(1)(2014·亳州模拟)(2x －1)2＝9；(直接开平方法)(2)x 2＋3x －4＝0；(配方法)(3)x 2－2x －8＝0；(因式分解法) (4)x (x ＋1)＋2(x －1)＝0.(公式法)解：(1)(2x －1)2＝9，2x －1＝±3，∴x ＝1±32，x 1＝2，x 2＝－1 (2)x 2＋3x －4＝0，(x ＋32)2＝254，x ＋32＝±52，∴x 1＝1，x 2＝－4 (3)x 2－2x －8＝0，(x －4)(x ＋2)＝0，x 1＝4，x 2＝－2 (4)x (x ＋1)＋2(x －1)＝0，x 2＋3x －2＝0，x ＝－3±172×1，∴x 1＝－3－172x 2＝－3＋172配方法【例2】 用配方法把代数式3x －2x 2－2化为a (x ＋m )2＋n 的形式，并说明无论x 取何值，这个代数式的值总是负数．并求出当x 取何值时，这个代数式的值最大．解：3x －2x 2－2＝－2(x 2－32x )－2＝－2(x 2－32x ＋916－916)－2＝－2(x 2－32x ＋916)＋98－2＝－2(x －34)2－78，∵－2(x －34)2≤0，∴－2(x －34)2－78＜0，当x ＝34时，代数式最大值为－78【点评】 (1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前，先将二次项系数－2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式．(2)注意与方程的配方的区别．2．(1)(2014·聊城)用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，此方程可变形为( A )A．(x＋b2a2＝b2－4ac4a2B．(x＋b2a)2＝4ac－b24a2C．(x－b2a)2＝b2－4a4a2D．(x－b2a)2＝4ac－b24a2(2)对于二次三项式x2－10x＋36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法？说明你的理由．解：不同意小聪的说法．理由如下：x2－10x＋36＝x2－10x＋25＋11＝(x－5)2＋11≥11，当x＝5时，x2－10x＋36有最小值11一元二次方程根的判别式【例3】(2014·深圳)下列方程没有实数根的是( C )A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0 D．(x－2)(x－3)＝12【点评】对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况的描述，必须借助根的判别式，Δ≥0方程有两个实数根，Δ＞0方程有两个不相等的实数根，Δ＝0方程有两个相等的实数根，Δ＜0方程没有实数根，反之亦然．3．(2014·十堰)已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值．解：解：(1)由题意有Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理得8m＋8≥0，解得m≥－1，∴实数m的取值范围是m≥－1(2)由两根关系，得x1＋x2＝－2(m＋1)，x1·x2＝m2－1，(x1－x2)2＝16－x1x2，(x1＋x2)2－3x1x2－16＝0，∴[－2(m＋1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m －9＝0，解得m＝－9或m＝1.∵m≥－1，∴m＝1与几何问题的综合【例4】(1)已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．解：(1)解方程x2－9x＋20＝0，x1＝4，x2＝5，当腰长x＝4时，4＋4＝8，不合题意，舍去，∴腰长x＝5(2)(2014·六安模拟)已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－3k x＋8＝0，则△ABC的周长是__6或12或10__．【点评】(1)将构成三角形的条件“三角形任意两边之和大于第三边”与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思想．(2)根据题意得k≥0且(3k)2－4×8≥0，而整数k＜5，则k＝4，方程变形为x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8＝0，所以△ABC的边长可以为2，2，2或4，4，4或4，4，2，然后分别计算三角形周长．4．(2014·芜湖模拟)如果三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15＝0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是( A )A．5.5B．5C．4.5D．4第8讲列方程(组)解应用题1．列方程(组)解应用题的一般步骤(1)__审题__；(2)__设元__；(3)找出包含未知数的__等量关系__；(4)__列出方程(组)__；(5)__求出方程(组)的解__；(6)__检验并作答__．2．各类应用题的等量关系(1)行程问题：路程＝速度×时间；相遇问题：两者路程之和＝全程；追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程．(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．(3)几何图形问题：面积问题：S长方形＝ab(a，b分别表示长和宽)；S正方形＝a2(a表示边长)；S圆＝πr2(r表示圆的半径)；体积问题：V长方体＝abh(a，b，h分别表示长、宽、高)；V正方体＝a3(a表示边长)；V圆锥＝13πr2h(r表示底面圆的半径，h表示高)；其他几何图形问题：如线段、周长等．(4)增长率问题：如果基数用a表示，末数用A表示，x表示增长率，时间间隔用n表示，那么增长率问题的数量关系是：a(1±x)n＝A.(5)利润问题利润＝销售价－进货价＝标价×折扣(x10)－进货价；(x表示打x折)利润率＝利润进货价；销售价＝(1＋利润率)×进货价．(6)利息问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息．一种思想方法方程思想是把未知数看成已知数，让所设未知数的字母和已知数一样参加运算．这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志．两种设元方法(1)直接设元．(2)间接设元．1．(2014·宁夏)服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利20%，则这款服装每件的进价是__200__元．2．(2014·新疆)六一儿童节前夕，某超市用3360元购进A ，B 两种童装共120套，其中A 型童装每套24元，B 型童装每套36元．若设购买A 型童装x 套，B 型童装y 套，依题意列方程组正确的是( B )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12036x ＋24y ＝3360B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12024x ＋36y ＝3360C .⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋24y ＝120x ＋y ＝3360 D .⎩⎪⎨⎪⎧24x ＋36y ＝120x ＋y ＝33603．(2014·莱芜)已知A ，C 两地相距40千米，B ，C 两地相距50千米，甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地，设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是( B )A .40x ＝50x －12B .40x －12＝50xC .40x ＝50x ＋12 D .40x ＋12＝50x4．(2013·安徽)目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是( B ) A ．438(1＋x )2＝389 B ．389(1＋x )2＝438 C ．389(1＋2x )＝438 D ．438(1＋2x )＝3895．(2014·随州)某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是__20%__．一元一次方程的应用【例1】 (2014·淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：例如：一户居民7月份用电420度，则需缴电费420×0.85＝357(元)．某户居民5，6月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于400度．问该户居民5，6月份各用电多少度？解：当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电(500－x)度，由题意，得0.55x＋0.6(500－x)＝290.5，解得x＝190，∴6月份用电500－x＝310度．当5月份用电量为x度＞200度，6月份用电量为(500－x)度，由题意，得0.6x＋0.6(500－x)＝290.5，300＝290.5，原方程无解．∴5月份用电量为190度，6月份用电310度【点评】(1)列方程解应用题，要抓住关键性词语，如共、多、少、倍、几分之几等，顺着题意来理清等量关系，可采用直接设未知数，也可以采用间接设未知数的方法，要根据实际情况灵活运用．(2)当要求的未知量有两个时，可以用字母x表示其中一个，再根据两个未知量之间的关系，用含x的式子表示另一个量，解方程后，再代入求出另一个未知量的值．1．(2014·合肥模拟)某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件，已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件，求该企业捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？解：设该企业捐给乙校的矿泉水件数是x，则捐给甲校的矿泉水件数是(2x－400)，依题意得方程(2x－400)＋x＝2000，解得x＝800，2x－400＝1200.答：该企业捐给甲校的矿泉水1200件，捐给乙校的矿泉水800件二元一次方程组的应用【例2】(2014·呼和浩特)为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4，5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4，5月份的电费分别为多少元？解：设基本电价为x 元/千瓦时，提高电价为y 元/千瓦时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧180x ＋150y ＝213，180x ＋60y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.6，y ＝0.7，则4月份电费为160×0.6＝96(元)，5月份电费为180×0.6＋230×0.7＝108＋161＝269(元)．答：这位居民4月份的电费为96元，5月份的电费为269元【点评】 本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．2．(2014·济南)2014年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元．其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？解：设小李预定了小组赛球票x 张，淘汰赛球票y 张，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，550x ＋700y ＝5800，解之⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，∴小李预定了小组赛球票8张，淘汰赛球票2张分式方程的应用【例3】 (2013·安徽)某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．(1)若每副乒乓球拍的价格为x 元，请你用含x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；(2)若购买的两种球拍数一样，求x . 解：(1)(4000＋25x )元(2)设购买每副乒乓球拍用去了x 元，则购买每副羽毛球拍用去了(x ＋20)元，由题意得2000x ＝2000＋25x x ＋20，解得x 1＝40，x 2＝－40，经检验，x 1，x 2都是原方程的根，但x ＞0，∴x ＝40.即每副乒乓球拍为40元【点评】 分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意．3．(2014·芜湖模拟)端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？解：设乙种粽子的单价是x 元，则甲种粽子的单价为(1＋20%)x 元，由题意得300（1＋20%）x ＋400x ＝260，解得x ＝2.5，经检验：x ＝2.5是原分式方程的解，(1＋20%)x ＝3，购买甲种粽子为3003＝100个，乙种粽子为4002.5＝160个．答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个一元二次方程的应用【例4】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元，根据题意得(45－x)(20＋4x)＝2100，解得x1＝10，x2＝30，因应尽快减少库存，故x＝30.答：每件衬衫应降价30元【点评】(1)现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程．(2)解出方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根．4．(2014·蚌埠模拟)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米第9讲不等式与不等式组1．定义(1)用__不等号__连接起来的式子叫做不等式；(2)使不等式成立的未知数的值叫做__不等式的解__；(3)一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做__不等式的解集__；(4)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式．2．不等式的基本性质(1)不等式两边都__加上(或减去)__同一个数或同一个整式，不等式仍然成立；若a＞b，则a±c＞b±c.(2)不等式两边都__乘(或除以)__同一个__正数__，不等式仍然成立；若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac ＞b c.(3)不等式两边都__乘(或除以)__同一个__负数__，改变不等号的方向，改变后不等式仍能成立；若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜bc3．解一元一次不等式的步骤及程序除了“不等式两边都乘或除以一个负数时，不等号的方向改变”这个要求之外，与解一元一次方程类似．4．列不等式解应用题的一般步骤(1)__审题__；(2)__设元__；(3)找出能够包含未知数的__不等量关系__；(4)__列出不等式(组)__；(5)__解不等式(组)__；(6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值；(7)写出答案．5．解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“同大取其大、同小取其小、大小小大中间夹、大大小小无处找(无解)”．“解与解集”的联系与区别不等式的解是指使不等式成立的每一个数，而不等式的解集是指由全体不等式的解组成的一个集合．两个失误与防范“≥”“≤”分别表示“大于或等于”“小于或等于”的意思，它们都包括后面连接的数．“非负整数”即“不是负数的整数”，包含了0和正整数，此时0易被忽略，从而造成漏解．利用列不等式解决实际问题，其关键是根据题中的“超过”“不足”“大于”“小于”“不低于”“不少于”等反映数量关系的词语(特别要注意理解好生活和生产实际中“不超过”、“至少”的含义，这两者转化为相应的不等号应分别是“≤”和“≥”)，列出不等式(组)，迎刃而解．1．(2014·绍兴)不等式3x ＋2＞－1的解集是( C ) A ．x ＞－13 B ．x ＜－13C ．x ＞－1 D ．x ＜－12．(2014·怀化)不等式组⎩⎨⎧4x －1＜7，2x ＋3≥1的解集是( A )A ．－1≤x ＜2B ．x ≥－1C ．x ＜2D ．－1＜x ≤23．(2013·安徽)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3＞0，x ＋1≥0，其解集在数轴上表示正确的是( D )4．(2014·钦州)不等式组⎩⎨⎧3x ≥9，x ＜5的整数解共有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(2014·绵阳)某商品的标价比成本价高m %，根据市场需要，该商品需降价n %出售，为了不亏本，n 应满足( B )A ．n ≤mB ．n ≤100m100＋mC ．n ≤m 100＋mD ．n ≤100m100－m不等式的性质【例1】 若a ＜b ＜0，则下列式子：①a ＋1＜b ＋2；②a b ＞1；③a ＋b ＜ab ；④1a ＜1b ，正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点评】 将一个不等式两边同时加上(或减去)同一个数，不等号方向肯定不变；将一个不等式两边同时乘(或除以)同一个不确定的数，则需要进行分类讨论．1．(1)(2014·滨州)a ，b 都是实数，且a ＜b ，则下列不等式的变形正确的是( C ) A ．a ＋x ＞b ＋x B ．－a ＋1＜－b ＋1 C ．3a ＜3b D .a 2＞b2(2)如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a ，b ，则下列结论正确的是( C )A ．a ＋b ＞0B ．ab ＞0C ．a －b ＞0D ．|a |－|b |＞0一元一次不等式的解法【例2】 (2014·北京)解不等式：12－1≤23x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．解：3x －6≤4x －3，∴x ≥－3【点评】 整个解一元一次不等式的过程与解一元一次方程极为相似，只是最后一步把系数化为1时，需要看清未知数的系数是正数还是负数．如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号方向改变．2．(2014·淮北模拟)解不等式：2x －13－9x ＋26≤1，并把解集表示在数轴上．解：去分母，得2(2x －1)－(9x ＋2)≤6，去括号，得4x －2－9x －2≤6，－5x ≤10，系数化为1，得x ≥－2，在数轴上表示为一元一次不等式组的解法【例3】 (2014·东营)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋23＜1，2（1－x ）≤5.把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋23＜1①，2（1－x ）≤5②，解不等式①，得x ＜1，解不等式②，得x ≥－32，所以不等式组的解集为－32≤x ＜1.解集中的整数解有－1，0【点评】 求不等式组的解集，不管组成这个不等式组的不等式有几个，都要先分别求解每一个不等式，再利用口诀或利用数轴求出它们的公共解集，还要确定其中的特殊解．3．(1)(2014·马鞍山模拟)若把不等式组⎩⎨⎧2－x ≥－3，x －1≥－2的解集在数轴上表示出来，则其对应的图形为( B )A ．长方形B ．线段C ．射线D ．直线(2)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝3k －1，x ＋2y ＝－2的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值范围是__k ＞2__．(3)(2014·遵义)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥－1，①1＋2x 3＞x －1，②并把不等式组的解集在数轴上表示出来．解：由①，得x ≥－1，由②，得x ＜4，故此不等式组的解集为－1≤x ＜4.在数轴上表示为一元一次不等式的应用【例4】 (2014·铜陵模拟)某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？解：设应答对x 道，则：10x －5(20－x )＞90，解得x ＞1223，∵x 取整数，∴x 最小为13，答：他至少要答对13道题【点评】利用列不等式解决实际问题，其关键是根据题中的“超过”“不足”“大于”“小于”“不低于”“不少于”等反映数量关系的词语，列出不等式或不等式组，问题便迎刃而解．4．(1)亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元．设x 个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( B )A ．30x －45≥300B ．30x ＋45≥300C ．30x －45≤300D ．30x ＋45≤300(2)(2014·安庆模拟)在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场？解：设这个班要胜x场，则负(28－x)场，由题意，得3x＋(28－x)≥43，2x≥15，解得x≥7.5，∵场次x为正整数，∴x≥8.答：这个班至少要胜8场。
北师大数学中考一轮综合复习 方程(组)与不等式(组)
北师大数学中考一轮综合复习 方程（组）与不等式（组）知识点1 一元一次方程1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么bc ；如果，那么bc2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a【典例】例1（2021秋•营口期末）解下列方程：（1）；（2）．例2（2020秋•潮阳区期末）已知关于x的方程2（x+1）﹣m=−m−22的解比方程5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1的解大2．（1）求第二个方程的解；（2）求m的值．例3（2020秋•蓬江区校级月考）已知关于x的方程3x﹣6（x−b3）＝4x和3x+b4−1−5x8=1有相同的解，求这个解．例4（2021春•绿园区期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题．解方程：|x﹣5|＝2．解：当x﹣5≥0时，原方程可化为x﹣5＝2，解得x＝7；当x﹣5＜0时，原方程可化为x﹣5＝﹣2，解得x＝3．所以原方程的解是x＝7或x＝3．（1）解方程：|2x+1|＝7．（2）已知关于x的方程|x+3|＝m﹣1．①若方程无解，则m的取值范围是；②若方程只有一个解，则m的值为；③若方程有两个解，则m的取值范围是．例5（2021秋•佳木斯期末）第五中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工16件，乙工厂每天能加工24件，且单独加工这批服装甲工厂比乙工厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲工厂每天费用80元，需付乙工厂每天费用120元． （1）求这批校服共有多少件；（2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两个工厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天；（3）经学校研究制定如下方案，方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按（2）问的方式完成．请你通过计算帮学校选择一种省钱的加工方案．例6（2020秋•道里区期末）为满足防控新冠疫情的需要，某医务物品供应商欲购买一批疫情防护套装．现有甲、乙两个医用物品生产厂家，均标价每套防护套装80元．甲的优惠方案：购买物品一律九折；乙的优惠方案：如果超出600套，则超出的部分打八折． （1）购进多少套防护套装时，从甲生产厂家与乙生产厂家的进货价钱一样？（2）第一次购进了1000套，第二次购进的数量比第一次购进数量的2倍多100套，求医务用品供应商两次购进防护套装最少花多少钱？【随堂练习】1．（2020秋•金安区校级期中）如果关于x 的方程x−43=8−x+22的解与方程4x ﹣（3a +1）＝6x +2a ﹣1的解相同，求a 的值．2．（2020秋•建湖县校级月考）已知关于x 的一元一次方程1−x−mx3=0． （1）若该方程的解为x ＝1，求m 的值；（2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数m 的值．3．（2021秋•鱼台县期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：|x ﹣3|＝2．解：当x ﹣3≥0时，原方程可化为x ﹣3＝2，解得x ＝5； 当x ﹣3＜0时，原方程可化为x ﹣3＝﹣2，解得x ＝1． 所以原方程的解是x ＝5或x ＝1． （1）解方程：|3x ﹣2|﹣4＝0． （2）解关于x 的方程：|x ﹣2|＝b ．4．（2021秋•牡丹江期末）某体育用品商店销售足球和篮球，其中篮球的单价比足球多30元，已知购买4个足球和3个篮球的费用相等． （1）求购买每个足球、篮球的单价分别是多少元？（2）由于“双十二”的来临，商店决定对所售商品进行促销．现有两种促销方案可供选择：方案一：买5个篮球赠一个足球． 方案二：所购买的商品均打9折．当购买6个篮球和多少个足球时，两种促销方案所花费用一致？（3）在（2）条件下，购买10个篮球和5个足球最少费用为 元．5．（2020秋•讷河市期末）某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于20人，其中有15名男同学，景点门票全票价为30元，对集体购票有两种优惠方案． 方案一：所有人按全票价的90%购票；方案二：前20人全票，从第21人开始每人按全票价的80%购票； （1）若共有35名同学，则选择哪种方案较省钱？ （2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？知识点2 一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. （1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba-. （3）<0一元二次方程没有实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠21,240)x b ac =-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax关于x 的一元二次方程有两根分别为，，那么 a b -，c a. 【典例】例1（2020秋•合肥期末）用适当的方法解方程 （1）2（x +2）2﹣8＝0 （1）2x 2+x −12=0．例2（2021秋•潍坊期中）解下列关于x 的方程： （1）3x 2﹣54＝0；（2）（x ﹣1）（x +2）＝2（x +2）； （3）（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）＝8．例3 （2020秋•兰州期中）解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0时，我们可以将x ﹣1看成一个整体，设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得x ＝5，所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5．请利用这种方法求下列方程： （1）（2x +5）2﹣（2x +5）﹣2＝0； （2）32x ﹣4×3x +3＝0．例4（2021秋•金乡县期中）解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0时，我们可以将x ﹣1看成一个整体，设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4，当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得：x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得：x ＝5，所以原方程的解：x 1＝2，x 2＝5．请利用这种方法求方程（2x +5）2﹣7（2x +5）+12＝0的解．20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x例5（2020秋•白银期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝m2（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．例6（2021秋•长安区校级期末）某公司自主研发一款健康的产品﹣﹣燕窝饮品，主要成分是水果和燕窝．经过一段时间的门店销售发现，当售价是40元/杯，每天可售出60杯．若每杯每降低1元，就会多售出3杯．已知每杯饮品的实际成本是20元，每天的其他费用是300元，物价局规定每件销售品的利润率不得高于成本的80%．若每天的毛利润可达到600元．（1）求该饮品的售价；（2）为支持今年的“洪灾”行动，该门店每卖一杯饮品，向某救助基金会捐款1元，求该店每月（按30天计算）的捐款金额．【随堂练习】1．（2021秋•江油市期末）解下列一元二次方程：（1）x2+10x+16＝0；（2）x（x+4）＝8x+12．2．（2021秋•博兴县月考）解方程：（1）2x2﹣12x+5＝0．（2）2x2﹣5x+1＝0（用配方法）．3．（2021秋•呼和浩特期末）已知关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22＝k2+2k，求出k的值．4．（2021秋•振兴区校级月考）华美科技大厦一商户销售一种电子产品，每件进价为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？5．（2020秋•法库县期末）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？知识点3 分式方程1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.【典例】例1（2021秋•铁岭县期末）解下列分式方程：（1）+4＝；（2）﹣1＝．例2（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3+mxx2−9=3x+3．（1）若该分式方程有增根，则增根为．（2）在（1）的条件下，求出m的值，例3（2021春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．解得y1＝3，y2＝﹣1．当y＝3时，x2+1＝3，∴x＝±．当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．∴原方程的解为：x1＝，x2＝﹣．我们将上述解方程的方法叫做换元法，请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0．例4 （2020秋•河南期末）随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.4元．（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？例5（2020秋•连山区期末）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？【随堂练习】1．（2021秋•黔西南州期末）解方程：（1）；（2）．2．（2021秋•攸县期中）已知关于x的方程无解，求m的值．3．（2021秋•庆阳期末）庆阳香包又称“绌绌”，是甘肃庆阳的一种民俗物品．某商店准备用3000元购进A、B两种香包共150个，已知购买A种香包与购买B种香包的费用相同，且A种香包的单价是B种香包单价的2倍．（1）求A、B两种香包的单价各是多少元；（2）若计划用4500元的资金再次购进A、B两种香包共200个，已知A、B两种香包的单价不变，求A，B两种香包各购进多少个．4．（2021秋•铁西区期末）元旦将至，天猫某电商用4400元购入一批玩具盲盒，然后以每个60元的价格出售，很快售完．电商又以9600元的价格再次购入该商品．数量是第一次购入数量的1.6倍，售价每个上调了16元，进价每个也上调了16元．（1）该电商第一次购入的玩具盲盒每个进价是多少元？（2）该电商既要尽快售完第二次购入的玩具盲盒，又要使在这两次销售中获得的总利润不低于4000元．打算将第二次购入的部分盲盒按每个九折出售，最多可将多少个盲盒打折出售？知识点4 方程组(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解：使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1（2021秋•甘州区校级期末）解方程组：（1）；（2）例2（2021•饶平县校级模拟）已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b值．例3（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，求实数x，y，m的值．例4（2020秋•太原期末）某景点的门票价格如下表：（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？例5（2020•越秀区校级二模）今年是脱贫攻坚最后一年，某镇拟修一条连通贫困山区村子的公路，现有甲、乙两个工程队．若甲、乙合作，36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，这样所需550万元．（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？（2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？【随堂练习】1．（2021秋•芗城区校级期中）解下列方程组：（1）；（2）．2．（2021春•沈丘县期末）已知方程组与有相同的解，求m，n的值．3．（2021秋•长丰县月考）已知关于x，y的二元一次方程组．（1）当方程组的解为时，求a的值．（2）当a＝﹣2时，求方程组的解．（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由．4．（2021秋•宝山区校级月考）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？5．（2021•济宁模拟）某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数的2倍比乙商品件数的3倍多20件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（利润＝售价﹣进价）：甲 乙 进价（元/件） 20 28 售价（元/件）2640（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品的件数分别是多少？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖出后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以同样的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲商品件数是第一次的2倍，乙商品的件数不变．甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次甲、乙两种商品销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多560元，则第二次乙商品是按原价打几折销售的？知识点5不等式（组）1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+＜； （2）若＞，＞0则＞ （或＞ ）； a b a c c b a b c ac bc c a cb（3）若＞，＜0则 ＜ （或＜ ）. 3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax ＞b 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号 、移项、合并同类项、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. 7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.a b c ac bc c a cb ax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x【典例】例1（2020秋•肇源县期末）若0＜m ＜1，m 、m 2、1m的大小关系是（ ）A ．m ＜m 2＜1mB ．m 2＜m ＜1mC ．1m＜m ＜m 2D ．1m＜m 2＜m例2（2020秋•嵊州市期中）解不等式（组）并把解表示在数轴上 （1）3x +2＞14； （2）1+x 2−2x+13≤1．例3（2020春•海珠区校级月考）解下列不等式： （1）2x ﹣1＜﹣6； （2）x−12＜4x−53；（3）解不等式组：{x −3(x −2)≥41+2x 3＞x −1，并在数轴上表示它的解集．例4（2020秋•道里区期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元． （1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？【随堂练习】1．（2020秋•萧山区期中）解下列不等式 （1）3x ﹣4≤4+2（x ﹣2）；（2）2+x 3＞2x−15+12．（2020秋•江干区校级期中）求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来． {5x −2＞3(x +1)x−12≤1−1−x 33．（2020春•沙河口区期末）为了让居民早日用上天然气，市燃气公司要给某小区用户改装天然气．现有360户申请了但还未改装的用户，此外每天还有新的申请．已知燃气公司每个小组每天改装的数量相同，且每天新申请的户数也相同，若安排2个小组同时做，则30天可以改装完所有新、旧申请；若再增加3个小组同时做，则可以减少20天就改装完所有新、旧申请．（1）求该小区7天内有多少需要改装的新、旧申请用户？（2）如果要求在7天内改装完所有新、旧申请，但前3天只能安排4个小组改装，那么最后几天至少需要增加多少个小组，才能完成任务？4．（2020•广西）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的14，求甲种树苗数量的取值范围．（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？综合运用1．（2020秋•常熟市期中）若关于x 的方程x+m 3=x −m2与方程3+4x ＝2（3﹣x ）的解互为倒数，求m 的值．2．（2020秋•武都区期末）解方程： （1）x−12=4x 3；（2）5x+13−2x−16=1．3．（2020秋•武汉月考）解不等式组{3−2(x −1)＜3x 1−x−13≥0，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．4．（2020秋•白云区期中）已知方程x 2﹣（k +1）x +k ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．5．（2020秋•朝阳县期末）某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元． （1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？6．（2020秋•鞍山期末）假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km 的乡村敬老院．（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度． （2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？7．（2020秋•本溪期末）某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：（1）求x，y的值；（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从三水荷花世界打车到大旗头古村，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．8．（2020秋•长沙月考）我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？。
2015年中考数学考点专项二：方程与不等式 二次根式
知识点:二次根式化简
专项二
方程与不等式
2015年考点：二次根式
【难易度】
□已掌握
知识点:最简二次根式
专项二
方程与不等式
2015年考点：二次根式
【难易度】
□已掌握
知识点:商的算术平方根
专项二
方程与不等式
2015年考点：二次根式
【难易度】
□已掌握
知识点:积的算术平方根专项二 Nhomakorabea方程与不等式
2015年考点：二次根式
专项二
方程与不等式
2015年考点：二次根式
【难易度】
□已掌握
知识点:二次根式的混合运算
专项二
方程与不等式
2015年考点：二次根式
【难易度】
□已掌握
知识点:二次根式加减法
专项二
方程与不等式
2015年考点：二次根式
【难易度】
□已掌握
知识点:二次根式性质
专项二
方程与不等式
2015年考点：二次根式
【难易度】
【难易度】
□已掌握
知识点:二次根式的乘法
专项二
方程与不等式
2015年考点：二次根式
【难易度】
□已掌握
知识点:二次根式的化简求值
专项二
方程与不等式
2015年考点：二次根式
【难易度】
□已掌握
知识点:二次根式定义、有意义、自变量的取值范围
专项二
方程与不等式
2015年考点：二次根式
【难易度】
□已掌握
知识点:二次根式的除法运算
第二章方程与不等式
中考数学总复习资料2方程与不等式一、方程与方程组二、不等式与不等式组知识结构及内容： 1几个概念2一元一次方程（一）方程与方程组 3一元二次方程4方程组 5分式方程 6应用1、 概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解2、 一元一次方程：解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零）例题：.解方程： （1）3131=+-x x （2）x x x -=--+22132解： 解：（3）【05湘潭】 关于x 的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m= 。
3、一元二次方程：（1） 一般形式：()002≠=++a c bx ax（2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求根公式()002≠=++a c bx ax ()042422≥--±-=ac baac b b x①、解下列方程：（1）x 2－2x ＝0； （2）45－x 2＝0；（3）(1－3x )2＝1； （4）(2x ＋3)2－25＝0. （5）（t －2）（t +1）=0； （6）x 2＋8x －2＝0(7 )2x 2－6x －3＝0； （8）3（x －5）2＝2（5－x ）解：② 填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； （2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2；（3）x 2＋23x ＋（ ）＝（x ＋ ）2（3）判别式△＝b ²－4ac 的三种情况与根的关系当0>∆时 有两个不相等的实数根 ，当0=∆时 有两个相等的实数根 当0<∆时 没有实数根。
当△≥0时 有两个实数根例题．①．（无锡市）若关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 满足 ( )A.k ＞1B.k ≥1C.k ＝1D.k ＜1②（常州市）关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 根的情况是（ ）（A ）有两个不相等实数根（B ）有两个相等实数根（C ）没有实数根（D ）根的情况无法判定③．（浙江）已知方程022=++q px x 有两个不相等的实数根，则p、q满足的关系式（ ）A 、42>-q p B 、2>-q p C 、42≥-q p D 、2≥-q p（4）根与系数的关系：x 1＋x 2=ab -，x 1x 2=ac例题： （浙江富阳市）已知方程011232=-+x x 的两根分别为1x 、2x ，则2111x x +的值是（ ）A 、112 B 、211 C 、112-D 、211-4、 方程组：−−−−→−−−−→代入消元代入消元加减消元加减消元三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元例题：解方程组⎩⎨⎧=-=+.82,7y x y x 20328x y x y -=⎧⎨+=⎩ 11233210x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ ⎩⎨⎧x ＋y ＝93（x ＋y ）＋2x ＝33解5、分式方程：分式方程的解法步骤：（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验 （2） 换元法 例题：①、解方程：211442-=+-x x 的解为065422=++-x x x 根为②、【北京市海淀区】当使用换元法解方程3)1(2)1(2=-+-+x x x x 时，若设1+=x x y ，则原方程可变形为（ ）A ．y 2＋2y ＋3＝0 B ．y 2－2y ＋3＝0 C ．y 2＋2y －3＝0 D ．y 2－2y －3＝0 （3）、用换元法解方程433322=-+-xx x x 时，设xx y32-=，则原方程可化为（ ）（A ）043=-+yy （B ）043=+-yy （C ）0431=-+yy （D ）0431=++yy6、应用：（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）（2）一元二次方程（增长率、面积问题）（3）方程组实际中的运用 例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度） 解：②乙两辆汽车同时分别从A 、B 两城沿同一条高速公路驶向C 城.已知A 、C 两城的距离为450千米，B 、C 两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10 千米/时，结果两辆车同时到达C 城.求两车的速度 解③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）解④【05绵阳】已知等式(2A-7B) x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立，求A、B的值解⑤【05南通】某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表：捐款（元） 1 2 3 4人数 6 7表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组A、272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B、2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C、273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D、2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩解⑥已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.解⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.解：1几个概念（二）不等式与不等式组 2不等式3不等式（组）1、几个概念：不等式（组）、不等式（组）的解集、解不等式（组）2、不等式：（1）怎样列不等式：1．掌握表示不等关系的记号2．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子． (1)和、差、积、商、幂、倍、分等运算(2)“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语． 例题：用不等式表示：①a 为非负数，a 为正数，a 不是正数 ② (1)x 的32与5的差小于1； (2)8与y 的2倍的和是正数；(3)x 与5的和不小于0； (4) x 的41小于或等于2；(5)x 的4倍大于x 的3倍与7的差；(6)x 与8的差的32不超过0解：（2）不等式的三个基本性质不等式的性质1：如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c ，a －c>b －c推论：如果a ＋c >b ，那么a>b －c 。
中考数学专题训练第3讲一次方程与一元一次不等式(知识点梳理)
整式知识点梳理考点01 方程的有关概念一、等式1.等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。
2.等式的性质：（1）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果b a =，那么c b c a ±=±（c 为一个数或式子））。
（2）性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果b a =，那么bc ac =.如果）（0≠=c b a ，那么cb c a =） 3.等式性质的延伸：（1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍相等，即如果b a =，那么a b =。
（2）传递性：如果b a =，c b =，那么c a =。
二、方程的概念和方程的解1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。
2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。
3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
4.判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：（1）它是方程中的未知数的值.（2）将它分别代入方程的左右两边，若左边等于右边，则它是方程的解，否则不是。
5.解方程：求方程解的过程叫作解方程。
6.方程的解和解方程的区别：方程的解是一个结果，解方程则是得到这个结果的一个过程。
7.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。
8.一元一次方程知识拓展：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数.（2）一元一次方程满足3个条件：①是整式方程.②只含有一个未知数.③未知数的次数是1.（3）一元一次方程的标准形式：),0(0是已知数、b a a b ax ≠=+。
考点02 解一元一次方程与一元一次方程的应用一、解一元一次方程1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项，注意移项要变号。
2.解一元一次方程的步骤：（1）去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）.（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）.（3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）.（4）合并同类项：把等号两边的同类项分别合并，化成“b ax =”的形式（0≠a ）.（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数a 得方程的解为ab x =。
2015届安徽中考数学总复习课件：第9讲 不等式与不等式组
不等式的解则是使不等式成立的未知数的值，二者的
关系是：解集包括解，所有的解组成了解集．
两个失误与防范 “≥”“≤”分别表示“大于或等于”“小于或等 数”即“不是负数的整数”，包含了0和正整数，此 时0易被忽略，从而造成漏解． 利用列不等式解决实际问题，其关键是根据题中的 “超过”“不足”“大于”“小于”“不低于”“不 少于”等反映数量关系的词语(特别要注意理解好生活 和生产实际中“不超过”“至少”的含义，这两者转 化为相应的不等号应分别是“≤”和“≥”)，列出不 等式(组)，迎刃而解．
安 徽 省
数
学
第二章 方程与不等式
第9讲 不等式与不等式组
要点梳理 1．定义 (1)用 不等号 连接起来的式子叫做不等式； ； (2)使不等式成立的未知数的值叫做 不等式的解 (3)一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做 不等式的解集 ；
(4)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程， 叫做解不等式．
1．(2014· 绍兴)不等式 3x＋2＞－1 的解集是( C ) 1 A．x＞－3 C．x＞－1 1 B．x＜－3 D．x＜－1
4x－1＜7， 2．(2014· 怀化)不等式组 的解集是( A ) 2x＋3≥1
A．－1≤x＜2 C．x＜2
B．x≥－1 D．－1＜x≤2
x－ 3＞ 0， 3．(2013· 安徽)已知不等式组 其解集在数轴上表示 x ＋ 1 ≥ 0 ，
一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“同大
取其大、同小取其小、大小小大中间夹、大大小小 无处找(无解)”．
“解与解集”的联系与区别
不等式的解是指使不等式成立的每一个数，而不等
式的解集是指由全体不等式的解组成的一个集合．因
精品 中考数学一轮综合复习 第05课 方程与不等式(分式方程)
中考数学一轮复习第05课 方程与不等式（分式方程）知识点：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧増根：解分式方程步骤：定义：分式方程相同字母或因式：系数：分式的通分分式的加减法则：相同字母或因式：系数：分式的约分分式的乘除法则：分式的运算分式的符号法则：分式的基本性质：的条件：分式值为的条件：分式值为分式值为零的条件：分式无意义的条件：分式有意义的条件：定义：分式)3()2()1()2()1()2()1(1-1课堂同步：1.下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a b c c -++=-;④m n m n m m---=-中,成立的是（ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④2.下列各式中，可能取值为零的是（ ） A.2211mm +- B.211m m -+ C.211m m +- D.211m m ++ 3.如果把分式xyy x 2+中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值( ) A.扩大10倍 B.缩小10倍 C.是原来的23 D.不变 4，有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意,可得方程（ ） A.9001500300x x =+ B.9001500300x x =- C.9001500300x x =+ D.9001500300x x =-5.化简1(1)(1)1m m -++的结果是 6.化简：2222222a b a b a ab b a b--÷+++=______________ 7.如果实数x 满足0322=-+x x ，那么代数式11)21(2+÷++x x x 的值为_ _. 8.某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路,为了减少施工对城市交通所造成的影响,实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务.求原计划每小时修路的长度.若设原计划每小时修x m ，则根据题意可得方程 ．9.轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是 千米/时．10.当x 取什么值时，下列分式有意义： (1)32-x x (2)141+-x x (3)422+x x (4)1212+-+x x x (5)4-x x (6)21102x x -+11.化简下列各分式：a b a b a b b a +⋅+)2﹢﹣（ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+÷+-1111222x x x xx 224422111m m m m m m -+-÷+---，其中x=212.解方程：(1)32121---=-x x x (2)2163524245--+=--x x x x13.已知:25)5)(2(14-++=+-+x B x A x x x 求A,B.14.已知:3511=+y x ,求yxy x y xy x +++-2232的值. 15.如果21<<x ，试化简x x --2|2|x x x x |||1|1+---.16.已知：432z y x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值.17.已知:251=+x x ，求(1)221x x +;(2)1242++x x x 的值.18.已知分式方程21212-=---x k x x 的解为正数，求k 的取值范围.19.已知实数a 满足a 2+2a ﹣15=0，求12231211222+-++÷-+-+a a a a a a a 的值．25，可提前20.某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产%10天完成任务，问原计划日产多少台？21.现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务.求原来每天装配的机器数.22.某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？23.某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少.24.有一工程需在规定日期内完成，如果甲单独工作，刚好能够按期完成；如果乙单独工作，就要超过规定日期3天.现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙单独完成，刚好在规定日期完成，求规定日期是几天？25.张明与李强共同清点一批图书,已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同,且李强平均每分钟比张明多清点10本,求张明平均每分钟清点图书的数量．26.某公司投资某个工程项目,现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目.公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍;甲、乙两队合作完成工程需要20天;甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元．根据以上信息,从节约资金的角度考虑,公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？27.乌梅一上市,水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅,前两天以高于进价40% 的价格共卖出150kg,第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出,前后一共获利750元,求小李所进乌梅的数量．28.某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子,节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒;节日过后每盒以低于进价5元作为售价,售完余下的粽子,整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．29.学校新到一批理、化、生实验器材需要整理,若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成,现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后,李老师因事外出,王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？30.某书店老板去图书批发市场购买某种图书.第一次用1200元购书若干本,并按该书定价7元出售，很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时,出现滞销,便以定价的4折售完剩余的书.试问该老板这两次售书总体上是赔钱了,还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱,赔多少？若赚钱,赚多少？31.某校为美化校园,计划对面积为1800m2的区域进行绿化,安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍,并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时,甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元,乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元,至少应安排甲队工作多少天？第05课 方程与不等式（分式方程）测试题日期： 月 日 满分：100分 时间：20分钟 姓名： 得分：1.分式21+-x x 的值为0时,x 的值是（ ） A.0 B.1 C.-1 D.-2 2.下列各式与yx y x +-相等的是( ) A.55+++-y x y x B.y x y x +-22 C.)()(222y x y x y x ≠-- D.2222y x y x +- 3.计算111---a a a 的结果为（ ） A.11-+a a B.1--a a C.-1 D.1-a 4.计算：211(1)1m m m +÷⋅--的结果是（ ） A.221m m --- B.221m m -+- C.221m m -- D.21m -5.已知2111=-b a ，则ba ab -的值是( ) A.21 B.-21 C.2 D.-2 6.化简)11()12(x x x x -÷--的结果是（ ） A.x 1 B.x-1 C.x 1-x D.1-x x7.计算 dd c c b b a 1112⨯÷⨯÷⨯÷ 的结果是（ ） A.2a B.2222d c b a C.bcd a 2 D.其他结果 8.甲安装队为A 小区安装66台空调,乙安装队为B 小区安装60台空调,两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台.设乙队每天安装x 台,根据题意,下面所列方程中正确的是（ ）A.66602x x =-B.66602x x =-C.66602x x =+D.66602x x=+ 9.甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作.甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队,两队又共同工作了1天,总量全部完成.那么乙队单独完成总量需要（ ）Ａ.6天 Ｂ.4天 Ｃ.3天 Ｄ.2天10.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于（ ） A.6 B.-6 C.215 D.27- 11.如图,设）（乙图中阴影面积甲图中阴影面积0>>=b a k ，则有（ ） A.k ＞2B.1＜k ＜2C.D. 12.设m ＞n ＞0，m 2＋n 2=4mn ，则22m n mn -的值等于( ) A.32B.3C.6D.3 13.对于分式5312-+x x ，（1）当 时，分式有意义； （2）当 时，分式无意义；（3）当 时，分式的值为0； （4）当 时，分式的值为1；14.化简分式：x x x 1)11(2-÷+ 22()a b ab b a a a --÷- 221()a b a b a b b a-÷-+-17.先化简,再求代数式:1222122+-+÷--+a a a a a a 的值,其中260tan 60-=a .18.某漆器厂接到制作480件漆器订单,为了尽快完成任务,该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%,结果提前10天完成任务.原来每天制作多少件？19.甲、乙两地相距828km,一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地,直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地,求两车的平均速度。
精品 中考数学一轮综合复习 第03课 方程与不等式(一元一次方程、二元一次方程组)
9.利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图①方式放置，再交换两木块的位置， 按图②方式放置.测量的数据如图,则桌子的高度是（ A.73cm B.74cm C.75cm ） D.76cm
10.已知 x=-2 是方程 mx-6=15+m 的解，则 m= ______ 11.已知方程 (n 1) x
36.有一个水池,用两个水管注水.如果单开甲管,2 小时 30 分注满水池,如果单开乙管,5 小时注满水池. （1）如果甲、乙两管先同时注水 20 分钟,然后由乙单独注水.问还需要多少时间才能把水池注满？ （2）假设在水池下面安装了排水管丙管,单开丙管 3 小时可以把一满池水放完.如果三管同时开放,多少 小时才能把一空池注满水？
37.张老师带领该校七年级“三好学生”去开展夏令营活动，甲旅行社说： “如果老师买全票一张，则学 生可享受半价优惠。 ”乙旅行社说： “包括老师在内按全票价的 6 折优惠。 ”若全票价为 240 元，当学生 从数为多少人时，两家旅行社的收费一样多？
38.去年秋季以来,我市某镇遭受百年一遇的特大干旱,为支援该镇抗旱,上级下拨专项抗旱资金 80 万元 用于打井.已知用这 80 万元打灌溉用井和生活用井共 58 口， 每口灌溉用井和生活用井分别需要资金 4 万 元和 0.2 万元，求这两种井各打多少口？
39.小华从家里到学校的路是一段平路 和一段下坡路 .假设他始终保持平路每分钟走 60 米,下坡路每分 ．．．． ．．．．． 钟走 80 米,上坡路每分钟走 40 米,从家里到学校需 10 分钟,从学校到家里需 15 分钟.请问小华家离学校 多远？
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40.在“家电下乡”活动期间,凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价 13%的财政补贴.村 民小李购买了一台 A 型洗衣机,小王购买了一台 B 型洗衣机，两人一共得到财政补贴 351 元,又知 B 型洗 衣机售价比 A 型洗衣机售价多 500 元.求：(1)A 型洗衣机和 B 型洗衣机的售价各是多少元？ (2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？
人教版中考数学第一轮复习第二章方程与不等式
第二章 方程与不等式第七讲 一次方程（组）【基础知识回顾】一、 等式的概念及性质：1、等式：用“=”连接表示 关系的式子叫做等式2、等式的性质：①、性质1：等式两边都加（减） 所得结果仍是等式，即：若a=b,那么a±c=②、性质2：等式两边都乘以或除以 （除数不为0）所得结果仍是等式 即：若a=b,那么a c= ，若a=b （c≠o ）那么a c= 【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”，不能漏项②等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值 】二、方程的有关概念：1、含有未知数的 叫做方程2、使方程左右两边相等的 的值，叫做方程的解4、一个方程两边都是关于未知数的 ，这样的方程叫做整式方程三、一元一次方程：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 的 方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成 的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤：1。
2。
3。
4。
5。
【名师提醒：1、一元一次方程的解法的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则，要注意灵活准确运用；2、特别提醒：去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。
】四、二元一次方程组及解法：1、 解二元一次方程组的基本思路是： ；2.解方程组的解法：① 消元法 ② 消元法【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有 组，我们通常在实际应用中要求其正整数解 2、二元一次方程组的解应写成 五、列方程（组）解应用题：一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知量和未知量2、设：直接或间接设未知数3、列：根据题意寻找等量关系列方程（组）4、解：解这个方程（组），求出未知数的值5、验：检验方程（组）的解是否符合题意6：答：写出答案（包括单位名称）【重点考点例析】 一、选择题1．一元一次方程2x=4的解是（ ）A ．x=1 B ．x=2 C ．x=3 D．x=4x=ay=b 的形式2．已知方程组2535x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x+y的值为（）A．-1 B．0 C．2 D．3A．4150048000x yx y+=⎧⎨+=⎩B．4150068000x yx y+=⎧⎨+=⎩C．1500468000x yx y+=⎧⎨+=⎩D．1500648000x yx y+=⎧⎨+=⎩二、填空题12．方程组31x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是．13．若方程组7353x yx y+=⎧⎨-=-⎩，则3（x+y）-（3x-5y）的值是．14．湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完．设敬老院有x位老人，依题意可列方程为．15．某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价元．三、解答题20．解方程组128 x yx y=+⎧⎨+=⎩．21．解方程组251x yx y+=⎧⎨-=⎩．【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果ax 2 =b 则X 2 = X1= X2=2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为即方程两边都二次项系数,②、移项：把项移到方程的边③、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法】三、一元二次方程根的判别式关于X的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示①当时，方程有两个不等的实数根②当时，方程看两个相等的实数根方程有两个实数跟，则③当时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】四、一元二次方程根与系数的关系：关于X的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1、X2则x1+x2 = x1x2 =【重点考点例析】一、选择题1．方程x2-5x=0的解是（）A．x1=0，x2=-5 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=0 2．已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-23．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x-1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根4．一元二次方程2x2-5x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（）A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解6．已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4 B．-4 C．1 D．-17．若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k=1 D．k≥08．若关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜-4 B．m＞-4 C．m＜4 D．m＞49．关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．-110．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4 11．用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x-1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=2二、填空题三、解答题21．选择适当的方法解下列方程：（1）27(23)28x -=； （2）223990y y--= （3）221x +=； （4）2(21)3(21)20x x ++++= 23．关于x 的一元二次方程为（m-1）x 2-2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？24．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？25.要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m ，（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a 对题目的解起着怎样的作用？第九讲 分式方程【基础知识回顾】一、分式方程的概念分母中含有 的方程叫做分式方程【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即分式方程 ﹥整式方程2、解分式方程的一般步骤：①、 ②、 ③、3、增根：转化 去分母 A B D E F在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。
中考数学第一轮复习资料(超全)
中考一轮复习第一部分数与代数第一章数与式第1讲实数第2讲代数式第3讲整式与分式第1课时整式第2课时因式分解第3课时分式第4讲二次根式第二章方程与不等式第1讲方程与方程组第1课时一元一次方程与二元一次方程组第2课时分式方程第3课时一元二次方程第2讲不等式与不等式组第三章函数第1讲函数与平面直角坐标系第2讲一次函数第3讲反比例函数第4讲二次函数第二部分空间与图形第四章三角形与四边形第1讲相交线和平行线第2讲三角形第1课时三角形第2课时等腰三角形与直角三角形第3讲四边形与多边形第1课时多边形与平行四边形第2课时特殊的平行四边形第3课时梯形第五章圆第1讲圆的基本性质第2讲与圆有关的位置关系第3讲与圆有关的计算第六章图形与变换第1讲图形的轴对称、平移与旋转第2讲视图与投影第3讲 尺规作图 第4讲 图形的相似 第5讲 解直角三角形第三部分 统计与概率第七章 统计与概率 第1讲 统计 第2讲 概率第一部分 数与代数第一章 数与式 第1讲 实数考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分） 1、相反数实数与它的相反数时一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= -b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
中考数学复习：第二章：方程与不等式专题复习
分式方程及其应用
•中考预知 •1、分式方程的解法； •2、分式方程实际的应用。
考点1：分式方程的解法
• 1．分式方程:分母中含有字母的方程叫分式方程. • 2．解分式方程的一般步骤： • （1）去分母，在方程的两边都乘以分母的最小公倍数，约去分母，
化成整式方程；
• （2）解这个整式方程； • （3）验根，把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使
一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
典例精讲
• 1、下列方程是一元二次方程的是（ ）
• A．ax2 bx c 0
• B．x2 2x x2 1
• C．x 1x 3 0
• D． 1 x 2 x2
• 2、分别用下列方法解方程
• （1）(2x 1) 2 9（直接开平方法）
（2）4x2–8x+1=0（配方法）
2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0，不可能都有两个相等的实数根．
• 七、判定三角形的形状 • 例7 设a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程c（x2＋n）＋b（x2－n）
－2ax＝0(n>0)有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
• 八、讨论方程有理根的问题 • 例8 m为有理数，讨论后为何值时，方程x2＋4(1－m)x＋3m2－2m＋4k＝0
典例精讲
• 1、已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的 是（ ）
• A．a＋c＞b＋c
B．c－a＜c－b
• C．
D．a2＞ab＞b2
• 2、若a＞b，则下列不等关系一定成立的是（ ）
• A. ac bc
B. a b cc
C. c a c b D. a c b c
2015年中考数学考点专项二：方程与不等式 二元一次方程组
□已掌握
知识点:解二元一次方程组－代入消元法
专项二
方程与不等式
2015年考点：二元一次方程租
【难易度】
□已掌握
知识点:解二元一次方程组
专项二
方程与不等式
2015年考点：二元一次方程租
【难易度】
□已掌握
知识点:二元一次方程组的解
专项二
方程与不等式
2015年考点：二元一次方程租
【难易度】
□已掌握知识点:二元一次方程源自定义专项二方程与不等式
2015年考点：二元一次方程租
【难易度】
□已掌握
知识点:解二元一次方程组－加减消元法
专项二
方程与不等式
2015年考点：二元一次方程租
【难易度】
□已掌握
知识点:二元一次方程组的应用－和差倍分问题
专项二
方程与不等式
2015年考点：二元一次方程租
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□已掌握
知识点:解二元一次方程
专项二
方程与不等式
2015年考点：二元一次方程租
【难易度】
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知识点:二元一次方程的解
专项二
方程与不等式
2015年考点：二元一次方程租
【难易度】
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知识点:二元一次方程组的定义
专项二
方程与不等式
2015年考点：二元一次方程租
精品 中考数学一轮综合复习 第05课 方程与不等式(分式方程)
）
Ｃ.3 天
Ｄ.2 天
1 1 a 2ab b 的值等于（ 4 ，则 a b 2a 2b 7 ab
B.-6
甲图中阴影面积 ，则有（ （a b 0） 乙图中阴影面积
A.6 11.如图,设 k A.k＞2
D. 2
7
B.1＜k＜2
2 2
C.
12.设 m＞n＞0，m ＋n =4mn，则 A. 2 3
2 B. m 1
C.①③ ） C. m 1
m2 1
2 1 m 1
3.如果把分式 x 2 y 中的 x 和 y 都扩大 10 倍，那么分式的值(
xy
3 D.不变 2 4， 有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜 900kg 和 1500kg， 已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块 少 300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设一块试验田每亩收获蔬菜 x kg，根据题意,可得方 程（ ） 900 1500 900 1500 900 1500 A. B. C. D. 900 1500 x 300 x x x 300 x x 300 x 300 x
22.某人骑自行车比步行每小时多走 8 千米，已知他步行 12 千米所用时间和骑自行车走 36 千米所用时 间相等，求这个人步行每小时走多少千米？
23.某校少先队员到离市区 15 千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的 1.2 倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少.
66 60 66 60 66 60 66 60 B. C. D. x x2 x2 x x x2 x2 x 9.甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作.甲队单独工作 2 天完成总量的三分之一，这时
【中考复习方案】(北京)2015中考数学总复习 第16课时 二次函数与方程、不等式课件
考点聚焦
京考探究
第16课时┃二次函数的应用
热考二
在坐标系中研究现实生活中的抛物线
例 2 如图 16－1 是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽度为 4 m．当水面下降 1 m 时，水面宽度增加了多少？(结果保留根号)
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京考探究
第16课时┃二次函数的应用
解： 建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为 y ＝ ax2(a<0)．
第16课时┃二次函数的应用
热 考 京 讲
热考一 用二次函数的性质解决实际问题
例 1 [2014· 青岛] 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单 价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元， 每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本． (1)求出每天的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间的函数关 系式； (2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润 是多少？ (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，且每天 的总成本不超过 7000 元， 那么销售单价应控制在什么范围内？(每 天的总成本＝每件的成本×每天的销售量)
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京考探究
第16课时┃二次函数的应用
方法点析
这是一类“形状是抛物线”的题，这类题比“规律是二次 函数”的题(如图形、利润等)直观，需建立适当坐标系，用待定 系数法确定函数解析式，再用解析式解决有关问题．这类题还 包括如喷泉、掷铅球、涵洞、跳水运动等问题． 实际问题中建立直角坐标系后，一定要注意坐标系中的点 与实际问题中量的关系，尤其是用负数表示实际问题中的量时．
1 将 A(2，－2)代入解析式，解得 a＝－ ， 2 1 ∴y＝－ x2. 2 当 y＝－3 时，x＝± 6. 此时水面宽度为 2 6 m， ∴水面宽度增加了(2 6－4)m.
中考数学第1编教材知识梳理篇第2章不等式组与方程组第5讲不等式与不等式组精讲试题
第二章不等式(组)与方程(组)第五讲不等式与不等式组,考标完全解读)考点考试内容考试要求一元一次不等式不等式、不等式解、解集概念了解在数轴上表示不等式的解集掌握不等式性质掌握一元一次不等式概念了解解一元一次不等式掌握一元一次不等式组列一元一次不等式组解决实际问题理解一元一次不等式组解集了解解一元一次不等式组理解,感受宜宾中考)1.(2016宜宾中考)宜宾市某化工厂，现有A 种原料52 kg ，B 种原料64 kg ，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A 种原料3 kg ，B 种原料2 kg ；生产1件乙种产品需要A 种原料2 kg ，B种原料4 kg ，则生产方案的种数为( B )A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种2．(2013宜宾中考改编)对于实数a ，b ，定义一种运算“*”为：a*b ＝a 2＋ab －2，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（－2）*x －4<0，1*x －3<0的解集为__－1＜x ＜4__． 3．(2015宜宾中考)一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，5x －1>0的解集是__x ＞15__．4．(2014宜宾中考)在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．(1)小李考了60分，那么小李答对了多少道题？(2)小王获得二等奖(75～85分)，请你算算小王答对了几道题． 解：(1)设小李答对了x 道题． 依题意，得 5x －3(20－x)＝60. 解得x ＝15.答：小李答对了15道题； (2)设小王答对了y 道题．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5y －3（20－y ）≥75，5y －3（20－y ）≤85，解得1358≤y ≤1458.∵y 是正整数，∴y ＝17或18. 答：小王答对了17道题或18道题．,核心知识梳理)不等式的概念及性质1．不等式：一般地，用不等号连接的式子叫做__不等式__．2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的__值__叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的__解集__．3．不等式的基本性质性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向__不变__；性质2：不等式两边同乘(或除)以一个正数，不等号的方向__不变__；性质3：不等式两边同乘(或除)以一个负数，不等号的方向__改变__．【针对练习】已知a，b，c均为实数，若a>b，c≠0，下列结论不一定正确的是( D) A．a＋c>b＋c B．c－a<c－bC.ac2>bc2D．a2>ab>b2一元一次不等式的解法及数轴表示4．一元一次不等式：只含有__一个__未知数，且未知数的次数是__1次__的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式是__ax＋b>0__或ax＋b<0(a≠0)．5．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)__合并同类项__；(5)系数化为1.6．一元一次不等式的解集在数轴上的表示解集解集在数轴上的表示x＜a一元一次不等式组的解法及数轴表示7．一元一次不等式组：含有相同未知数的若干个__一元一次__不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组．8．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的__解集__的公共部分．9．解一元一次不等式组的步骤：(1)先求出各个不等式的__解集__；(2)再利用数轴找它们的__公共部分__；(3)写出不等式组的解集．10．几种常见的不等式组的解集如表(a<b，且a，b为常数)续表11.求不等式(组)的特殊解，一方面要先求不等式(组)的__解集__，然后在解集中找__特殊__解．12．列不等式(组)解应用题的步骤：(1)找出实际问题中的__不等__关系，设定未知数，列出不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案．【针对练习】(眉山中考)已知点M(1－2m，m－1)在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( B)一元一次不等式的实际应用13．审题→设一个未知数→找出题中所有的数量关系→列出不等式→解不等式→检验不等式的解集是否合理、是否符合实际情况．正确理解“至少”“最多”“不低于”“不大于”和“不等于”等词的含义．【针对练习】一个工程队原定在10天内至少要挖土600 m3，在前两天一共完成了120 m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，则后6天平均每天要挖土__80____m3__．,重点难点解析)不等式的性质及应用【例1】如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是( )A．a2＞b2B．1－a＞1－bC．1＋a＞1－bD．1＋a＞b－1【解析】根据不等式的性质即可得出答案．A．不等式两边都平方，不等号可能改变，如－2>－3，则(－2)2<(－3)2，错误；B.a>b两边同乘以－1不等号改变，得－a<－b，两边再加1，得1－a<1－b，错误；C.不等式右边的b变为－b，不等式符号可能改变，错误；D.不等式左边加1，右边减1，正确．【答案】D【针对训练】1．下列四个命题中，正确的有( C)①若a>b，则a＋1>b＋1；②若a>b ，则a －1>b －1； ③若a>b ，则－2a>－2b ； ④若a>b ，则2a>2b.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个求解不等式(组)中的字母【例2】若不等式12x<2的解集都能使关于x 的一次不等式(a －3)x<a ＋5成立，则a 的取值范围是________．【解析】先求出12x<2的解集，再根据不等式(a －3)x<a ＋5用a 表示出x 的解集，再由题意可知不等式(a －3)x<a ＋5的解集包含12x<2的解集，列关于a 的不等式求解即可得到a 的取值范围．【答案】3＜a≤173【针对训练】2．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －1>4（x －1），x<m 的解集为x<3，那么m 的取值范围为(D )A ．m ＝3B ．m>3C ．m<3D ．m ≥3一元一次不等式(组)的解法【命题规律】考查一元一次不等式(组)的解法，根据不等式的解集找出不等式组的公共解集，以解答题为主．【例3】 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3（x －1）<5x ＋1，x －22≥2x－4，并指出它的所有非负整数解．【解析】求出每一个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可． 【答案】解：⎩⎪⎨⎪⎧3（x －1）<5x ＋1，①x －22≥2x－4，②由①，得x>－2，由②，得x≤2.∴原不等式解集为－2<x≤2，非负整数解为0，1，2.【点评】本题主要考查对不等式的性质、解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点的理解和掌握，按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．能根据不等式的解找出不等式组的解集是解本题的关键．注意在数轴上表示不等式的解集时，点是用实心圆圈还是空心圆圈．【针对训练】3．(巴中中考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －1<x ＋1，2（2x －1）≤5x＋1的最大整数解为(C )A ．1B ．－3C ．0D ．－14．(广安中考)函数y ＝3x ＋6中自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的是( A )一元一次不等式(组)应用【例4】我国从2017年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题，答对一题记10分，答错(或不答)一题记－5分，小明参加本次竞赛得分要超过100分．他至少要答对________道题．【解析】根据题意列不等式，设答对x题，则答错(或不答)(20－x)题，所以10x－5(20－x)＞100即可．【答案】14【针对训练】5．2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31 t，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70 t.(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148 t，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？解：(1)设一辆大型渣土运输车一次运输土方x t，一辆小型渣土运输车一次运输土方y t.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝31，5x ＋6y ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝5.答：一辆大型渣土运输车一次运输土方8 t ，一辆小型渣土运输车一次运输土方5 t ；(2)设渣土运输公司决定派出大型渣土运输车m 辆，则派出小型渣土运输车(20－m)辆．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧8m ＋5（20－m ）≥148，20－m≥2，解得：16≤m≤18.又∵m 为整数．∴m 可取16或17或18.因此有如下三种派车方案：方案一：派出大型渣土运输车16辆，小型渣土运输车4辆；方案二：派出大型渣土运输车17辆，小型渣土运输车3辆；方案三：派出大型渣土运输车18辆，小型渣土运输车2辆．,当堂过关检测)1.若m>n ，下列不等式不一定成立的是( D )A ．m ＋2>n ＋2B ．2m>2nC .m 2>n 2D ．m 2>n 22．(达州中考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，13（x －2）<x ＋1的解集在数轴上表示正确的是( D )3．(2017毕节中考)关于x 的一元一次不等式m －2x 3≤－2的解集为x≥4，则m 的值为( D ) A ．14 B ．7 C ．－2 D ．24．(2017内江中考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋7≥2，2x －9＜1的非负整数解的个数是( B )A ．4B ．5C ．6D ．75．(2017泰安中考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋9＞6x ＋1，x －k ＜1的解集为x ＜2.则k 的取值范围为( C )A ．k ＞1B ．k ＜1C ．k ≥1D ．k ≤16．(2017武汉中考)某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元．(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件；(2)如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，则该公司有哪几种不同的购买方案？解：(1)设购买甲种奖品x 件，则购买乙种奖品(20－x)件．40x ＋30(20－x)＝650，解得x ＝5，20－x ＝15.答：购买甲种奖品5件，乙种奖品15件；(2)设购买甲种奖品m 件，则购买乙种奖品(20－m)件．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20－m≤2m，40m ＋30（20－m ）≤680，解得203≤m ≤8. ∵m 为整数，∴m ＝7或m ＝8，当m ＝7时，20－m ＝13；当m ＝8时，20－m ＝12.即该公司有两种不同的进货方案：方案一：购买甲种奖品7件，乙种奖品13件；方案二：购买甲种奖品8件，乙种奖品12件．7．为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？解：设购买球拍x个．依题意，得1.5×20＋22x≤200，解得x≤7811.又x为整数，∴x最大＝7.答：孔明应该买7个球拍．教后反思：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。
精品 中考数学一轮综合复习 第04 课 方程与不等式(一元一次不等式、不等式组)
中考数学一轮复习第04课方程与不等式（一元一次不等式、不等式组）知识点：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<>>>>⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧不等式组的解集。
的公共部分，作为整个利用数轴求出这些解集个不等式的解集；分别求出不等式组中每解不等式组步骤：。
；；；）（法：不等式组解集的确定方式组的解集。
叫做这个一元一次不等几个不等式解集的组中解集：一元一次不等式。
叫做一元一次不等式组不等式组的几个不等式所组成的定义：含有相同未知数一元一次不等式组解法步骤：定义：一元一次不等式那么，公式表示：若，，不等号的方向不等式两边性质那么，公式表示：若，，不等号的方向不等式两边性质，那么公式表示：若，，不等号的方向不等式两边性质不等式的性质。
，小向大向圆圈；再确定方向：则是原点；不好喊边界点，若解集包含边界点，是界点。
体表示方法是先确定边上直观的表示出来，具以在注意：不等式的解集可解集。
的全体，叫做不等式的有未知数的不等式的解不等式的解集：一个含，叫做不等式的解。
成立的不等式的解：使不等式等式，常见的不等号有连接起来的式子叫做不不等式定义：用不等式)2()1()4()3()2(1,,,,0.3,0.2.1c b a c b a b a 同步练习：1.根据下图甲、乙所示，对a，b,c 三种物体的重量判断不正确的是()A.a<cB.a<bC.a>cD.b<c2.如果关于x 的不等式1)1(+>+a x a 的解集为1<x ,那么a 的取值范围是()A.a>0B.a<0C.a>-1D.a<-13.已知方程组21321x y mx y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +<，则()A.m >-1B.m >1C.m <-lD.m <14.已知关于x 的不等式52->+m x 的解集如图所示，则m 的值为（）A.1B.0C.-1D.-25.不等式组⎩⎨⎧-<++≤14242x x xx 的正整数解有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知a，b，c 均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是()A.a＋c＞b＋cB.c－a＜c－bC.a c 2＞bc2D.a 2＞ab＞b27.已知关于x，y 的方程组⎩⎨⎧=--=+a y x a y x 343，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：①⎩⎨⎧-==15y x 是方程组的解；②当a=-2时,x,y 的值互为相反数；③当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a 的解；④若x≤1,则1≤y≤4．其中正确的是（）A.①②B.②③C.②③④D.①③④8.函数31x y x +=+的自变量x 的取值范围是_____________9.若y x y y x y x >-->+,，那么（1）x＋y>0;（2）y－x<0;（3）xy≤0;（4）yx<0中，正确结论的序号为________。
中考数学专题复习《方程与不等式》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《方程与不等式》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．下列等式变形错误的是（ ）A ．若 33x y -=- 则 0x y -=B ．若112x x -= 则 12x x -= C ．若 13x -= 则 4x =D ．若 342x x += 则 324x x -=-2．用配方法解一元二次方程2870x x +-= 则方程可化为（ ）A ．2(4)23x +=B ．2(8)23x +=C ．2(4)9x +=D ．2(8)9x +=3．在解方程3157246x x -+-= 时 第一步去分母 去分母后结果正确的是（ ） A ．12(31)12212(57)x x --⨯=+ B ．3(31)1222(57)x x --⨯=+ C ．3(31)322(57)x x --⨯=+D ．3(31)22(57)x x --⨯=+4．下列方程为一元一次方程的是（ ）A ．+2=3 x yB ．5y =C ．22x x =D ．12y y+= 5．《九章算术》中记载：“今有善田一亩 价三百 恶田七亩 价五百．今并买一顷 价钱一万．问善恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩 价值300钱 坏田7亩 价值500钱．今共买好 坏田1顷（1顷=100亩） 价钱10000钱．问好 坏田各买了多少亩？设好田买了x 亩 坏田买了y 亩 则下面所列方程组正确的是（ ） A ．{x +y =100300x +7500y =10000 B ．{x +y =100300x +5007y =10000 C ．{x +y =1007500x +300y =10000D ．{x +y =1005007x +300y =100006．已知方程组35ax by ax by +=-⎧⎨-=⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩则2a b -的值是（ ） A ．3B ．－3C ．5D ．－57．如图 由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上 重叠部分（阴影）的面积是4m 2 广告牌所占的面积是 30m 2（厚度忽略不计） 除重叠部分外 矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m 2 设矩形面积是xm 2 三角形面积是ym 2 则根据题意 可列出二元一次方程组为（ ）A ．{x +y −4=30(x −4)−(y −4)=2B ．{x +y =26(x −4)−(y −4)=2C ．{x +y −4=30(y −4)−(x −4)=2D ．{x −y +4=30x −y =28．为了奖励学习认真的同学 班主任老师给班长拿了40元钱 让其购买奖品 现有单价为4元的A 种学习用品和单价为6元的B 种学习用品可供选择 若40元钱恰好花完 则班长的购买方案有（ ） A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种9．若x y < 则下列不等式中不成立的是（ ）A ．22x y -<-B ．22x y -<-C ．22x y ->- D ．22x y ->-10．已知公式12111R R R =+ （ 12R R ≠ ） 则表示 1R 的公式是（ ） A ．212R RR RR -=B ．212RR R R R =-C ．1212()R R R R R +=D ．212RR R R R=-二 填空题11．已知2x =是方程230x x m -+=的解 则m 的值为 ． 12． 已知a ＝120222023+ b ＝120232023+ c ＝120242023+ 则代数式 2（a 2＋b 2＋c 2-ab-bc-ac ）的值是 ．13．若一元二次方程 22(1)310k x x k -++-= 有一个根为 0x = 则k= ．14．今年春节某超市组装了甲 乙两种礼品盆 他们都是由 ,,a b c 三种零食组成 其中甲礼品盒装有3千克 a 零食 1千克 b 零食 1千克 c 零食 乙礼品盒装有2千克 a 零食 2千克 b 零食 2千克 c 零食 甲 乙两种礼品盒的成本均为盆中 ,,a b c 三种零食的成本之和.已知每千克 a 的成本为10元 乙种礼品盒的售价为60元 每盒利润率为25%甲种每盒的利润率为50%当甲 乙两种礼盒的销售利润率为13时 该商场销售甲 乙两种礼盒的数量之比是 . 三 解答题15．计算：（1）解方程组：{y =2x −5 ①7x −3y =20 ② （2）解不等式：32523x x --> （3）解不等式组：523923x x ->⎧⎨-<⎩（4）解不等式组：{5x −12≤2(4x −3)x+42<3−6x−1616．解方程：241x - + 21x + ＝ 1xx - 17．小红和小凤两人在解关于x y 的方程组 {ax +3y =5 ，bx +2y =8 .时 小红只因看错了系数a 得到方程组的解为 {x =−1 ，y =2 . 小凤只因看错了系数b 得到方程组的解为 {x =1 ，y =4 .求a b 的值和原方程组的解.18．阅读理解下列材料然后回答问题：解方程:x²-3|x|+2=0解：（1）当x≥0时 原方程化为x²-3x+2=0 解得： 1x =2 2x =1 （ 2 ）当x ＜0时 原方程化为x²+3x+2=0 解得： 1x =1 2x =-2. ∴原方程的根是 1x =2 2x =1 3x =1 4x =-2. 请观察上述方程的求解过程 试解方程x²-2|x-1|-1=0.19．如图 在矩形ABCD 中剪去正方形ABFE 后 剩下的矩形EFCD 与原矩形ABCD 相似．求矩形ABCD 的宽和长的比．20．为了丰富市民的文化生活 我市某景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游 特推出了如下门票收费标准：标准一：如果人数不超过20人 门票价格为60元/人标准二：如果人数超过20人 每超过1人 门票价格降低2元 但门票价格不低于50元/人．（1）当夜游人数为15人时 人均门票价格为 元 当夜游人数为25人时 人均门票价格为 元（2）若某单位支付门票费用共1232元 则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游？21．已知 422(2)50a a b y y+--+= 是关于y 的一元一次方程.（1）求 ,a b 的值. （2）若 2a x =-是 2211632x x x m--+-+= 的解 求 b m a m +-- 的值.22．新冠疫情以来 口罩成为了生活和工作的必需品.某口罩生产企业主要生产过滤式和供气式两种口罩.有过滤式口罩机和供气式口罩机各 10 台 统计发现 去年每台过滤式口罩机的产量比每台供气式口罩机多 60 万个 过滤式口罩的出厂价为 0.2 元/个 供气式口罩的出厂价为 4 元/个 两种口罩全部售出 总销售额为 10200 万元.（1）去年每台供气式口罩机的产量为多少万个？（2）今年 为了加大口罩供应量 该企业优化了生产方法 在保持口罩机数量不变的情况下 预计每台过滤式口罩机和供气式口罩机的产量将在去年基础上分别增加 2%a 和 %a .由于过滤式口罩更受市场欢迎 出厂价将在去年的基础上上涨 %a 而供气式口罩的出厂价保持不变 两种口罩全部售出后总销售额将增加20%17a 求 a 的值. 23．定义一种新运算“a ⊗ b”：当a≥b 时 a ⊗ b=a+2b 当a ＜b 时 a ⊗ b=a-2b.例如：3 ⊗ (-4)=3(8)(5)+-=- ()61262430-⊗=--=- .（1）填空：（-3） ⊗ （-2）=（2）若 (34)(5)(34)2(5)x x x x -⊗+=-++ 则x 的取值范围为 （3）已知 (57)(2)1x x -⊗-> 求x 的取值范围（4）利用以上新运算化简： ()()2235102m m m m ++⊗- .答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】A.若 33x y -=- 则 0x y -= 正确B.若112x x -= 两边同乘以2 则 22x x -= 故错误 C.若 13x -= 则 4x = 正确 D.若 342x x += 则 324x x -=- 正确 故答案为：B.【分析】等式的基本性质：（1）等式两边同加（或减）同一个数（或式子） 结果仍相等 （2）在不等式两边同乘一个数 或除以一个不为0的数 结果仍相等。
中考数学复习分类精品课件：第二单元《方程与不等式》
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(2)已知 A，B 两件服装的成本共 500 元，鑫洋服装店老板分别以 30% 和 20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利 130 元，问 A，B 两件 服装的成本各是多少元？
解：设 A 服装的成本为 x 元，根据题意，得 30%x＋20%(500－x)＝130.解得 x＝300. 则 500－x＝200. 答：A，B 两件服装的成本分别为 300 元，200 元．
的关系；
(2)设：设关键未知数(可设直接或间接未知数)；
(3)列：根据题意寻找⑲ 等量关系
列方程(组)；
(4)解：解方程(组)；
(5)验：检验所解答案是否正确，是否符合题意和实际情况；
(6)答：规范作答，注意单位名称．
2．常见的应用题类型及基本数量关系：
常见类型
基本数量关系
路程＝速度×时间
相遇
行
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离.
(2)面积问题常见图形：
(3)利润问题； (4)握手问题．
7．(1)某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元．已知两 次降价的百分率都为 x，那么 x 满足的方程是 100(1－x)2＝81 ；
(2)某机械厂七月份营业额为 1 000 万元，第三季度总的营业额为 3 990 万元．设该厂八、九月份平均每月的营业额增长率为 x，那么 x 满足的方程 是1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3 990 ．
3．解下列方程： (1)2(x＋3)＝5x； 解：去括号，得 2x＋6＝5x. 移项，得 2x－5x＝－6. 合并同类项，得－3x＝－6. 系数化为 1，得 x＝2.
(2)x＋2 1－2＝x4. 解：去分母，得 2(x＋1)－8＝x. 去括号，得 2x＋2－8＝x. 移项，得 2x－x＝8－2. 合并同类项，得 x＝6.
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2018中考数学第一轮复习---方程与不等式一、选择题：1.若关于x 的分式方程m －1x －1＝2的解为正数，则m 的取值范围是…………………………【 】A 、m ＞－1B 、m ≠1C 、m ＞1且m ≠－1D 、m ＞－1且m ≠1 2.若y 2＋4y ＋4＋x ＋y －1＝0，则xy 的值等于………………………………………【 】A 、6B 、2C 、－2D 、－6 3.将方程x-13－x ＋1＝4去分母，结果正确的是……………………………………………【 】A 、x －1－3(x －1)＝12B 、x －1－3x ＋1＝12C 、x －1－3(x ＋1)＝12D 、x －1－3x ＋3＝4 4.方程﹣=0解是………………………………………………………………………【 】A.x=B.x=C.x=D.x=﹣15.一元二次方程x 2+2x ﹣6=0的根是……………………………………………………【 】A.x 1=x 2=B.x 1=0，x 2=﹣2C.x 1=，x 2=﹣3D.x 1=﹣，x 2=36.若不等式组有解，则实数a 的取值范围是……………………………【 】A.a ＜﹣36B.a ≤﹣36C.a ＞﹣36D.a ≥﹣367.如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m （g ）的取值范围，在数轴上可表示为………………………………………………………【 】A. B.C. D.8.已知关于x 的一元二次方程x 2+ax+b =O 有一个非零根-b ，则a-b 的值为…………….【 】A ．1B ．-1C ．0D ．一2 9.不等式组﹣2≤x +1＜1的解集，在数轴上表示正确的是……………………………….【 】A ．B ．C ．D ．10.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为……………………………【 】A.x(5+x)=6B. x(5－x)=6 C x(10－x)=6 D .x(10－2x)=611.已知面包店面包一个15元，小明去此店买面包，结账时店员告诉小明：“如果你再多买一个面包就可以打九折，价钱会比现在便宜45元”，小明说：“我买这些就好了，谢谢．”根据两人的对话，判断结账时小明买了多少个面包？【 】A.38B.39 C 40 D .4112.小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得【 】 A 、 B 、 C 、D 、13.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是……………………………………………………………………………【 】A 、8B 、7C 、6D 、514.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是………………………………………【 】A.（3+x）（4﹣0.5x）=15B.（x+3）（4+0.5x）=15C.（x+4）（3﹣0.5x）=15D.（x+1）（4﹣0.5x）=1515.某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是……………………【】A．350元B．400元C．450元D．500元16.某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是…………………………………………….【】A．=B．=C．=D．=17.某商店同时卖出两套奥运福娃，每套均卖168元，按成本计算，其中一套盈利20%，另一套亏本20%，则该商店在这次经营中…………………………………………………【】A、亏本了14元B、盈利了14元C、不亏不盈D、盈利20元二、填空题：1.二元一次方程5x＋y＝20的正整数解是2.已知xyz≠0，且x＋3y＋5z＝0，2x＋3y＋z＝0，则x2+y2-2z23x2+2y2+z2的值为3.一个两位数，十位上数字比个位上数字大7，十位数字与个位上数字的和是这个两位数的19，则这个两位数为4.商品按进价增加20%出售，因积压需降价处理，如果想获得8%利润，则出售价需打折5.温州皮鞋畅销世界，享誉全球．某皮鞋专卖店老板对第一季度男女皮鞋的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图（如图）．由于三月份开展促销活动，男、女皮鞋的销售收入分别比二月份增长了40%，60%．已知第一季度男女皮鞋的销售总收入为200万元．（1）一月份销售收入万元，二月份销售收入万元，三月份销售收入元；（2）二月份男、女皮鞋的销售收入各为、万元.6.甲仓库乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨．若设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨，则可列方程为7.某百货商场服装柜在销售中发现：“宝乐”童装平均每天可售出20套，每套盈利40元，为了迎接六一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：如果每套童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8套。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每套童装应降价多少元？设每套降价x元，则可列方程为8.为了帮助四川地震灾区重建家园，某学校号召师生自愿捐款．第一次捐款总额为20000元，第二次捐款总额为56000元，已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元．求第一次捐款的人数是多少？若设第一次捐款的人数为x，则根据题意可列方程为9.一项工程，若甲、乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费102000元；若甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．若让一个公司单独完成这项工程，公司的施工费较少.10.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的45倍，购进数量比第一次少了30支．若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价元.三、解答题：1.为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20：1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可一月份25%二月份30%三月份45%第一季度男女皮鞋以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？（2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．2.某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票．某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算？3.为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？4.为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品．小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元．（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？5.学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元．（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．6.某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：（1）符合题意的搭配方案有几种？（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？7.某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：（1）求出足球和篮球的单价；（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？8.一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两辆车合运，10天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天．（1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？（2）已知两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元．试问：租甲乙车两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少？请说明理由．9.一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？10.“六•一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？11.据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？12.武汉江汉一桥维修工程中，拟由甲、乙两个工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可知道：若两个工程队合做24天，恰好完成；若两个工程队合做18天后，甲工程再单独做10天，也恰好完成，请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该项目各需多少天？（2）又已知甲工程队每天的施工费为0.6万元，乙工程队每天的施工费为0.35万元，要使该项目总的施工费不超过22万元，则乙工程队最少施工多少天？13.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；•按标价的八五折销售该工艺品8 件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价、标价分别为多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？14.某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元．（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？（2）该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，•销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元，•试写出该经营业主有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？15.为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A,B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元.（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A,B两种学习用品各多少件？（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？。