必修二数学教案 学案(全册)-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
高中数学必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系导学案
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥b共面直线=>a∥cc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
【平煤高中学案必修二】10 空间中直线与直线的位置关
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系学习目标（1）了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义； （2）掌握平行公理，掌握等角定理； （3）掌握两条异面直线所成角的定义及垂直. 一、学前准备预习教材4448P P -的内容．1. 叫异面直线2. 空间中两直线的位置关系如何？3. 空间中两直线平行与平面中两直线平行意义是否一致？4. 如何形象地画两异面直线？5. 把图示的正方体展开图还原为正方体后，线段GH EF CD AB ,,,所在直线是异面直线的有对二、体验探究 探究一问题：如图，长方体1111ABCD A BC D -中，1111//,//,BB AA DD AA 问11BB DD 与平行吗？公理4：空间中平行于同一条直线的所有直线都相互__ ____.（空间平行线的传递性）【例1】如图，空间四边形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD DA 、、、的中点. （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形．（2）若加上条件AC BD =，四边形EFGH 是什么图形？ （3）若加上条件AC BD ⊥，四边形EFGH 是什么图形？ （4）若AC BD =且AC BD ⊥，结果又如何？探究二1. 问题： 在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．问：空间中此结论是否继续成立？2. 定理（等角定理）：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边 ，则这两个角 ．DCBA A 1D 1C 1B 1HGF EDCBA D CB A A 1D 1C 1B 13. 什么叫两条异面直线所成的角？如何度量异面直线所成的角？4.什么叫异面直线垂直？回忆平面中两直线垂直情形，理解空间中两直线的垂直，体会垂直概念的发展．在下图中举出一些是异面垂直的直线。
三、合作交流1. 右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：① BM 与ED 平行； ② CN 与BE 是异面直线； ③ CN 与BM 成60º角； ④ DM 与BN 垂直.以上四个说法中，正确说法的序号依次是 .【例2】如图，正方体1111ABCD A BC D -中， （1）哪些棱所在的直线与直线1BA 是异面直线？ （2）求直线1BA 和1CC 所成的角的大小； （3）哪些棱所在的直线与直线1AA 垂直？四、反馈练习1. 把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为 （ ） A ． 12 B ．24 C ． 36 D ． 482. 正方体''''ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，异面直线'B M 与CN 所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是 30°的直线有且仅有（ ）A ． 1条B ． 2条C ． 3条D ． 4条 4．正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为 度． 5. 长方体1111ABCD A B C D -中，32=AB ,32=AD ,21=AA 。
人教版高中数学必修2-2.1导学案-空间中直线与直线之间的位置关系
2、1、2 空间中直线与直线之间的位置关系一、【学习目标】1、正确理解空间中直线与直线的位置关系,两直线的异面关系；2、以公理4和等角定理为基础，理解两异面直线所成角概念以及应用；3、培养学生空间想象能力，以及有根有据、实事求是的科学态度和品质.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读第44页—45页探究上面的内容，回答问题（异面直线）材料一：思考：同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？教室内的日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线，既不相交，也不共面，即它们不同在任何一个平面内；又如天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交也不共面，即不能处在同一平面内.如下图：材料二：阅读教材“观察”的内容，如下：<1>根据材料和教材内容，请你总结出什么叫异面直线？<2>学习完异面直线以后，请总结一下空间两条直线的位置关系有几种？结论：<1>异面直线是指.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用证明；<2>空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型，可以得出结论.2、阅读教材第45页例2上面内容，回答问题（公理4）材料三：教材45页观察内容<3>结合材料三，和教材内容，请你总结归纳出公理4.结论：<3>公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：a ∥b, ⇒ca ∥c .强调：公理4实质上是说平行具有 性，在平面、空间这个性质都适用.公理4是判断空间两条直线 的依据，不必证明，可直接应用.3、阅读教材46页内容，回答问题（等角定理、异面直线所成角）<4>请你通过学习总结出等角定理.<5>你能给“两异面直线所成角”下一个定义吗？你能否总结出异面直线所成角的画法？两异面直线所成角的范围是多少？什么叫做两直线垂直？ 结论：<4>空间中如果两个角的两边分别对应 ，那么这两个角相等或者 ；<5>可以把异面直线所成角转化为 所成角表示，如图所示，已知两异面直线a,b ，经过空间内任一点O 做直线 ，我们把''b a 、所成的 (或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.两条异面直线所成角的范围是 .如果两条异面直线所成的角为 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b ，记作b a ⊥.三、【练习与巩固】 练习一：请同学们自学教材第例2、例3，检查自己是否完成了这节课的学习目标； 练习二：完成教材第48页练习1、2.四、【作业】1、必做题：教材51页习题2.1A 组第4题<1><2><3>；B 组1<2><3>题；2、选做题：教材第52页习题2.1A 组第8题.。
高中数学必修二教案：2.1.2空间直线与直线的位置关系
空间直线与直线的位置关系
三维目标
1.知识与技能：1．掌握空间两条直线的位置关系，理解异面直线的概念。2．理解并掌握公理4，并能运用它解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法：培养空间想象力。
3.情感态度与价值观：通过对空间直线间不同位置关系的理解、运用和展示，体会数学世界的美妙，培养学生的美学意识。
5.已知 、b是异面直线，c∥ ，那么c与b（）
A.一定是异面直线B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习
1.判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗?
1 2 3
4 5 6
2.辨析
①、空间中没有公共点的两条直线是异面直线
②、分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线
重点目标
知识与技能
难点目标
过程与方法
导入示标
目标三导
学做思一：空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢？
学做思二：空间中两条直线的位置关系有三种，哪三种？
学做思三：异面直线怎样判定？
达标检测
1．设直线 、b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则 、b的位置关系是
2．如图2.1.2-3，在长方体 中，
（1）若E、F分别是AB、BC的中点，则EF和A1C1的位置关系是
（2）若E是AB的三等分点，F是AB、BC的中点，则EF和A1C1的位置关系是
（1）图2.1.2-3 （2）
3．P51习题2.1A组第6题
4．一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一能相交、可能平行、可能异面
③、不同在某一平面内的两条直线是异面直线
④、平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线
高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：（1）了解空间中两条直线的位置关系，并能判断直线与直线之间的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4，并能运用它证明简单的几何问题。
二、教学重、难点：1．重点: （1）空间中两条直线的位置关系的判定；（2）理解并掌握公理4。
2．难点: 理解异面直线的概念、画法。
三、教具准备多媒体课件长方体模型自制的空间四边形模型四、教学过程：（一）复习引入1前面我们已学习了平面的概念及其基本性质。
回顾一下，怎样确定一个平面呢？（公理3及其三个推论）2 在一个平面内，两直线有哪几种位置关系呢？在空间中呢？（二）新课推进1、空间中两条直线的位置关系以学生身边的实例引出空间两条直线位置关系问题相交：同一平面内，有且只有一个公共点平行：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2、异面直线（1）概念：不同在任何一个平面内的两条直线 （2）判断：下列各图中直线l 与m 是异面直线吗?1 2 34 5 6【设计意图】：让学生直观判断异面直线，既加深了对概念的理解，又可引出异面直线的画法，还为下面的辨析作好铺垫。
（3）画法：用一个或两个平面衬托（4）探究αlm αlmlmαβlmαβαl m l m αβαlml αβm l mαβlm αβ共面直线：①、空间中没有公共点的两条直线是异面直线 ②、分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线 ③、不同在某一平面内的两条直线是异面直线 ④、平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线 ⑤、既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 （以上面（2）判断中的图6做反例）（5）结合实例小结判断异面直线的关键① 例1：如图2.1.2-1，在正方体1111ABCD A B C D 中,哪些棱所在的直线与1BA 成异面直线?图2.1.2-1② 判断异面直线的关键：既不相交，又不平行 如图，正方体ABCD-EFGH 中,O 为侧面ADHE 的中心，求(1)BE 与CG 所成的角？ (2)FO 与BD 所成的角？解：(1)如图: ∵BF ∥CG ，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE 与CG 所成的角， 又 BEF 中∠EBF =45 ， 所以BE 与CG 所成的角是45° （2）略。
高中数学人教版必修2 2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系 教案(系列二)
珍贵文档2.1.2 空间中直线与直线的位置关系姓名： ；班级： 1探究导航[知识要点]1.两条直线的位置关系；2.平行线间的传递性（公理4）；3.空间的等角定理；4.异面直线所成的角（或夹角）；5.空间两条直线互相垂直．[学习要求]1.了解空间中两条直线的位置关系；2.掌握公理4及等角定理3.理解异面直线的概念；4掌握异面直线所成角的求法． 2记忆和理解教材新知知识点一：空间两条直线的位置关系 [提出问题]问题1：在同一平面内，两条直线有怎样的位置关系？ 问题2：若把立交桥抽象成一条直线，它们是否在同一平面内？有何特征？问题3：观察一下，日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在直线，是否也具有类似的特征？ [导入新知] 1．异面直线（1）定义：不同在 的两条直线． （2）异面直线的画法2．空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种． （1）若从公共点的数目分，可以分为： ① 只有一个公共点—— ；② 没有公共点（2）若从平面的基本性质分，可以分为：① 在同一平面内② 不同在任何一个平面内—— ； 思考：若βα⊂⊂b a ,，那么a 与b 一定是异面直线吗？知识点二：平行公理及等角定理 [提出问题]1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行． 问题：空间中是否有类似规律？ 2．观察下图中的AOB ∠与B O A '''∠问题1：这两个对应的两条边之间有什么样的位置关系？问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？[导入新知]1．平行公理（公理4）（1）文字表述：平行于同一直线的两条直线，这一性质叫做空间．符号表述：⇒⎭⎬⎫cbba////．2．等角定理：空间中如果两个角的两边分别，那么这两个角或．3．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线ba,，经过空间任意一点O作直线bbaa//,//''，我们把a'与b'所成的（或）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（2）异面直线所成的角θ的取值范围：．（3）当=θ时，异面直线a与b垂直，记作：．3突破常考题型题型一：两条直线位置关系的判定[例1]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是；②直线A1B与直线B1C的位置关系是；③直线D1D与直线D1C的位置关系是；④直线AB与直线B1C的位置关系是．[活学活用]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和B1C1的中点，问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．题型二：平行公理及等角定理的应用[例2]在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD和AD的中点．（1）求证：四边形MN A1C1是梯形；（2）求证：111CADDNM∠=∠珍贵文档[活学活用]已知如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．题型三：两异面直线所成的角[例3]如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成角的大小．[活学活用]已知正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？（2）直线BA1和CC1的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？珍贵文档珍贵文档4应用落实体验 [随堂即时演练]1．如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与AA 1平行和异面的棱的条数是（ ）A ．6，4B ．3，4C ．5,，8D ．8，42．已知如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，2321===AA AD AB ,．BC 和A 1C 1以及BC 1和AB 1所成的角分别是（ ）A ．6045, B ．4545, C ．9060, D ．6030, 3．如果B O OB A O OA ''''//,//，那么AOB ∠和B O A '''∠ ．4．已知b a ,是异面直线，直线c //直线a ，那么c 与b 的位置关系 ．5．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB=CD ，CD AB ⊥， E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．5课时跟踪检测A 组基础达标1．空间两个角βα,，且α与β的两边对应平行，60=α，则β为（ ）A ． 60B ． 120C ． 30D ． 60或 120 2．给出下列四个命题：①若b a ,是异面直线，c b ,是异面直线，则c a ,异面； ②若直线b a ,相交，c b ,相交，则c a ,相交； ③若b a //，则b a ,与c 所成的角相等； ④若c b b a ⊥⊥,，则c a //． 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（ ）A．梯形B．矩形C．平行四边形D．正方形4．在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且352===PRQRPQ,,，那么异面直线AC和BD所成的角是（）A．90B．60C．45D．305．在三棱锥A—BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角是60，那么FEG∠为（）A．60B．30C．120D．60或1206．如图，将无盖的正方体纸盒展开，直线AB，CD，在原正方体的位置关系是（）A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成607．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是．8．已知ba,为不垂直的异面直线，α是一个平面，则ba,在α上的射影有可能的是（）①两条平行的直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在以上结论中，正确的是（写出所有正确的结论的编号）9．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别AA1，CC1是的中点．求证：1EDBF//且1EDBF=10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求（1）AA1与B1C所成的角；（2）A1B与B1C所成的角．珍贵文档珍贵文档B 能力提升11．如图，在空间四边形ABCD 中，两条对边3==CD AB ，E ，F 分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且521===EF FC BF ED AE ,，求AB 和CD 所成的角的大小．。
高一数学必修二2.1.2空间中直线与直线的位置关系导学案(解析版)
2.1.2空间中直线与直线的位置关系一、课标解读（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
二、自学导引问题1、观察长方体模型，归纳空间中两条直线的关系：异面直线：1、定义2、异面直线的画法问题2：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？公理4：问题3：思考教材P47的思考题，∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？等角定理：异面直线所成的角：三、合作探究1、如何理解异面直线的定义？2、求异面直线所成的角的步骤？四、典例精析例1 如图所示，已知E,F,G,H 分别为空间四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 的中点,求证： （1）E,F,G,H 四点共面（2）若四边形EFGH 是矩形；求证：AC ⊥BD变式训练1.已知11111,D C B A ABCD E E -分别是正方体的棱11,D A AD 的中点，求证： E E 1‖B B 1例2 如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，的中点分别是1111,,C B B A N M .问：（1）理由是否是异面直线？说明和CN AM （2）理由是否是异面直线？说明和11CC B D变式训练 2 如图所示，分别是是异面直线，F E b D C a B A b a ,,,,,,∈∈线段，的中点，和BD AC 的结论的位置关系，并证明你和、和判断b EF a EF .例3 如图所示，正方体1AC 中，的中点，、分别是1111,C B B A F E 求异面直线1DB 与EF 所成角的大小.变式训练3 正方体1111D C B A ABCD -，求所成的角与111D B B AABCDD 1C 1B 1 A 1MN五、自主反馈1、正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是( ) A 、2对 B 、3对 C 、6对D 、12对2、过平面内一点与平面外一点的直线，和平面内不过该点的直线是( ) A 、平行线 B 、相交直线 C 、异面直线D 、互相垂直的相交直线 3、平面与平面相交，直线a，直线b，则这三个命题中，不正确的命题个数是( )①a 、b 必为异面直线 ②a 、b 必为平行直线③a 、b 必为相交直线 A 、0B 、1C 、2D 、34、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面对角线中，与AD 1成60°角的有( ) A 、4条 B 、6条 C 、8条D 、10条5、异面直线a 、b 成60°角，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围是( ) A 、［30°，90°］B 、［60°，90°］C 、［60°，120°］D 、［30°，120°］6、在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和B1C1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是： A 、23 B 、1010C 、53 D 、54答案2.1.2 空间中直线与直线的位置关系 例1 证明：（1）在中ABD ∆,//,,BD EH AD AB H E ∴的中点，分别是 四点共面同理H G F E FG EH BD FG ,,,,//,//∴∴（2）由（1）知GH AC BD EH //,//同理,GH EH EFGH ⊥∴是矩形，四边形又BD AC ⊥∴例2 （1）不是异面直线，理由：111111//,,C A MN C B B A N M ∴的中点，分别是 C C A A C C D D D D A A 111111//,//,//=∴==而又 AC C A ACC A //1111∴∴是平行四边形四边形 在同一个平面内得到C N M A AC MN ,,,,//∴不是异面直线和CN AM ∴（2）是异面直线，证明略例3 解：连接1111,D B C A ,点，设它们相交于O 1111//,//,,C A EF D B OG OG G DD 则连接的中点取 所成的角或补角与为异面直线EF DB GOA 11∠∴ 111111,C A GO C A O GC GA ⊥∴=的中点，为 901所成的角为与异面直线EF DB ∴变式训练 1. 略2.证明：假设α共面，设为和a EFααα∈∴⊂⊂F E B A a EF ,,,,,则,,αα⊂⊂∴AE BF ,,BF D AE C ∈∈ 又共面，从而b a b D C ,,,αα∈∴∈∴假设不成立这与题设矛盾，∴∴EF与a是异面直线603.自主反馈答案1. C；2、C；3、D；4、C；5、A ；6、D。
高中数学A版数学必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学案
2.1.2空间中直线与直线的位置关系1.教学目标1.1知识与技能(1)通过学习能知道空间直线的三种位置关系;(2)初步理解异面直线的概念,会判断两直线的异面关系;(3)初步理解与运用公理4解决问题,初步了解等角定理;(4)初步理解异面直线所成角的概念,运用平移的方法求异面直线所成的角.1.2过程与方法(1)通过学习经历异面直线的概念的形成过程，体会异面直线的直观画法；(2)通过长方体的模型让学生发现与感知平行线的传递性质．(3)通过对等角定理的温故知新的探究，解决了异面直线的定义，并能求简单的异面直线所成的角；1.3情感、态度与价值观(1)让学生初步体会化归思想与空间想象能力的养成意义；(2)培养学生自主发现问题与解决问题的能力．2.重点、难点2.1重点：异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用．2.2难点：异面直线概念的理解与求法．3.教学准备：长方体模型，直线、平面教具，教学课件．4.教学过程设计：4.1复习引入：平面三个公理和作用设计意图：巩固上一节课的知识以及集中学生的注意力，让学生快速投入本节课的学习中4.2异面直线4.2.1异面直线的概念思考1： 同一平面内的直线有哪些位置关系？思考2：在空间中，两条直线不相交则平行吗？思考3：在空间中，无公共点的两条直线一定平行吗？设计意图：由一系列问题，诱发学生探知的欲望，养成思考问题的习惯．师生活动：教师放课件图片，引导学生观察：黑板所在直线与课桌边缘所在直线的位置关系，立交桥上下面公路所在直线的位置关系等例子，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的位置关系,从而得出异面直线的概念.板书：异面直线的定义：把不同在任何．．．．．一个平面内的两直线叫做异面直线．（关键点：不同在任何一个平面内）．概念辨析：例1：判断正误（1）下面两图中直线m 和l 都是异面直线（2） （3） 设计意图：通过3道判断题，让学生深刻解定义中关键词“不同在任何一个平面内”，加深对异面直线的理解。
高中数学必修2教案2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4共面直线。
高中数学 必修二 2.1.2空间中直线与直线的位置关系学案学案 新人教A版必修2
2.1.2空间中直线与直线的位置关系学案回顾﹒预习通过预习回答下列问题:（1）空间中两条直线有多少种位置关系？ （2）公理4及等角定理的内容是什么？（3）异面直线所成角的概念？自主﹒合作﹒探究 探究一、异面直线 1、定义：2、判定：例1： 判断下列各图中直线l 与m 的位置关系（1） （2） （3）（4） （5） （6）探究二、空间直线的平行关系 （1）平行关系的传递性公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.例2、已知ABCD 是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，连结EF ，FG ，GH ，HE ，求证：EFGH 是一个平行四边形。
αl m l m αβαl ml αβm lmαβlm αβB F C探究：在例2中，如果再加上条件AC = BD,那么四边形EFGH是什么图形？（2）等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？（用图形表示）探究三、异面直线所成的角1、定义：2、异面直线所成的角的求法3、两条直线互相垂直例3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线?(2)求下面异面直线所成角的度数1）AB与CC1；2）A1 B1与AC；3）A1B与D1B1 4）AD1与B1C （3）与直线BB1垂直的棱有多少条？当堂达标（一）判断对错：1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。
( )2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。
( )3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。
( )4、过一点能引且只能引一条直线和已知直线垂直。
( )5、一条直线垂直两条平行直线中的一条，它一定与另一直线垂直。
( )（二）如图，空间四边形SABC 中各边及对角线长都相等，若E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）A 、90︒B 、60︒C 、45︒D 、30︒反思﹒提升1、空间中两直线的位置关系2、空间直线的平行关系及相关定理3、两条异面直线所成的角研究空间图形的一种基本思路：把空间图形问题转化为平面图形问题 拓展﹒延伸1．已知异面直线a ，b 分别在平面α、β内，且α∩β＝c,那么直线c 一定（ ） A ．与a 、b 都相交；B ．只能与a 、b 中的一条相交；C ．至少与a 、b 中的一条相交；D ．与a 、b 都平行．2、若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是（ ） A ．异面或平行 B ．异面或相交 C ．异面 D ．相交、平行或异面3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ） A ．一定平行 B ．一定相交F EB AC SC．一定异面 D．相交或异面4. 给出下列命题：①若平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一定存在平面α和异面直线a、b同时平行.其中正确命题的序号是 .5．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有（填序号）.①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面。
高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案新人教A版必修2
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系教材版本人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书A版数学必修2教材分析空间中直线与直线的位置关系是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质的基础上提出来的。
它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础，是我们研究的重点。
学情分析本班学生为省级重点高中学生，初中基础较好，理解力较强。
空间直线的三种位置关系在现实中大量存在，学生对它们已有一定的感性认识。
其中，相交直线与平行直线是平面几何的内容，同学们已经非常熟悉。
异面直线的概念是学生比较生疏的，也是本节的重点和难点。
设计思想从日常生活中的实例入手，直观感知异面直线不同于相交直线、平行直线的特点，抽象概括出异面直线的定义；通过对位置关系的内涵的探讨，同时类比平面内两直线的位置关系的量化研究，引导学生发现两条异面直线的位置关系应包含角度与距离两项指标；让全体学生经历异面直线所成的角的科学性研究，引导学生发现公理4与等角定理两个理论依据，以及体会空间图形问题转化为平面图形问题的降维转化思想；例题的分析与讲解让学生加深对异面直线所成角的定义的理解，同时初步掌握平移的方法求异面直线所成的角.教学目标［知识与技能］1.知道空间直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，初步掌握判断两直线的异面关系的方法，掌握异面直线的衬托画法；2.以公理4和等角定理为基础，初步理解异面直线所成角的概念，运用平移的方法求异面直线所成的角.［过程与方法］1. 从日常生活中的实例入手，让学生经历直观感知异面直线特点，并抽象概念出异面直线定义的过程；2. 通过类比日常生活中确定两个物体位置关系、以及平面几何中研究两直线位置关系的量化方法，发现研究异面直线位置关系的两个数量：角及距离；3. 让学生经历对异面直线所成的角定义的科学性的探究，发现公理4及等角定理是异面直线所成的角定义的科学性的理论依据；4. 经过对异面直线所成角的学习，让学生体会空间图形问题往往降维处理，转化成平面图形问题解决的思想.［情感、态度与价值观］由一系列问题引发学生思考，深化对概念的理解与应用，养成独立思考的习惯，形成严谨的科学研究态度。
高中数学人教A版必修二教案：2.1.2空间直线与直线之间的位置关系
直.
1．填空题：
学生独立完成
答案：.
2．（1）因为 BC∥B′C′，
所以∠B′C′A′是异面直线 A′C′与
（1）如图，AA′是长方体 BC 所成的角. 在 Rt△A′B′C′中，
随堂练习 的一条棱，长方体中与 AA′平 A′B′= 2 3 ，B′C′= 2 3 ，所以
行的棱共有
条.
∠B′C′A′ = 45°.
探索新知 与 b′所成的锐角(或直角)叫做 置选取无关；
培养空间
异面直线 a 与 b 所成的角(或夹
②两条异面直线所成的角 想象能图
角). （2）异面直线互相垂直
(0, ] ； 2
力和转化 化归以能
如果两条异面直线所成的
③因为点 O 可以任意选取， 力.
角是直角，那么我们就说这两 这就给我们找出两条异面直线
师：我们把上述规律作为 能力语言
例2 如
本章的第 4 个公理.
表达能力
图所示，空
公理 4：平行于同一条直 和探索创
间四边形
线的两条直线互相平行.
新意识.
ABCD 中，
师：现在请大家思考公理
E、F、G、
4 是否可以推广，它有什么作 通过分析
H 分别是 AB、BC、CD、DA 用.
和引导，
的中点.求证：四边形 EFGH 是
（2）如果
（2）因为 AA′∥BB′，所
OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么 以∠B′BC′是异面直线 AA′ 和
∠AOB 和∠A′O′B′
. BB′ 所成的角.
答案：（1）3 条. 分别是
在 Rt△BB′C′中，B′C′ =
--------------------------------------------------------
高中数学必修2《空间中直线与直线之间的位置关系》教案共5页
广东省中学青年数学教师优秀课评比参赛课例——教案课题：《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》授课老师：潮州市湘桥区南春中学郑珠珠教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修21、教学目标（1）知识目标：掌握空间中两条直线的位置关系，理解异面直线的概念；以公理4和等角定理为基础，理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
（2）能力目标：通过研究空间中两直线的位置关系以及异面直线所成的角，培养学生的空间想象力、观察能力和分析问题的能力。
（3）情感目标：让学生体验从具体到抽象的学习规律，在探究活动中增强学生的合作意识和动手能力，激发学生的学习兴趣。
2、教学重点、难点重点：（1）空间中两条直线之间的位置关系；（2）异面直线及其所成角的概念。
难点：理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
3、教学方法与手段本节课应该始终贯彻“以学生为主体，以教师为主导，以观察、探究为主线”的教学理念，坚持具体与抽象相结合的原则，采用“启发式”、“讨论式”等教学方法，并充分利用多媒体和实物模型辅助教学，化静为动，进一步培养学生的空间想象力和观察能力，并在动手、讨论的过程中培养学生合作、探究的能力。
4、教学过程（一）创设情境，提出问题1、思考：同一平面内两直线有几种位置关系？学生：相交、平行。
老师：那么空间中的两条直线呢？引出本节课的课题：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2、让学生观察两个生活实例，直观感知异面直线不平行、不相交的特征：（1）天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线，既不平行，也不相交；（2）立交桥上下两层桥面所在直线，既不平行，也不相交。
（二）启发引导，构建概念1、让学生观察长方体模型（如图），发现：直线'A B与直线'C C既不平行也不相交。
学生在几何模型中进一步体会异面直线不平行、不相交的特征，从而构建：【异面直线的概念】不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
注1：对“任何”这个词的理解。
人教A版高中数学必修二2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》word教案
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系.学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1（二）推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1,BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？ 通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a ∥b,b ∥c ⇒a ∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？ 可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a 、b ，在空间中任取一点O ，过点O 分别引a′∥a ，b′∥b ，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O 有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a ，b″∥b ，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O 取在a 或b 上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a 、b 相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5（三）应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，且FG=BD 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG .所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD.求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC ⊥BD.求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD ，所以EF=EH. 因为FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH.所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 变式训练如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；（2）求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB 与CC 1； （2）A 1B 1与DC ； （3）A 1C 与D 1B ； （4）DC 与BD 1； （5）D 1E 与CF. 解：（1）∵C ∈平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，又C ∉AB ，C 1∉平面ABCD,∴AB 与CC 1异面.（2）∵A 1B 1∥AB ，AB ∥DC ，∴A 1B 1∥DC.（3）∵A 1D 1∥B 1C 1，B 1C 1∥BC ，∴A 1D 1∥BC ，则A 1、B 、C 、D 1在同一平面内. ∴A 1C 与D 1B 相交.（4）∵B ∈平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，又B ∉DC ，D 1∉平面ABCD,∴DC 与BD 1异面.（5）如图10，CF 与DA 的延长线交于G ，连接D 1G ， ∵AF ∥DC ，F 为AB 中点，∴A 为DG 的中点. 又AE ∥DD 1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG .因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG=BC 21，FG ∥AD ，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF为所求.由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin ∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ， ∴HG·HE·sin ∠EHG=612sin ∠EHG . ∴612sin ∠EHG=312.∴sin ∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°.（四）知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三（五）拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB 与CD 所在直线垂直；②CD 与EF 所在直线平行；③AB 与MN 所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D（六）课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.（七）作业课本习题2.1 A组3、4.。
高一数学必修2人教A导学案2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB 异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
共面直线=>a ∥c例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点求证：四边形EFGH 是平行四边形证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG 所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？4、组织学生思考教材P46的思考题让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
【教学目标】
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】
重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】
（一）创设情景、导入课题
问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？
问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？ 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB 异面的有哪些？ 2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：
3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相
平行。
在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？
生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥b
共面直线
=>a ∥c
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD
因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=2
1BD 同理FG ∥BD 且FG=
2
1BD 因为EH ∥FG 且EH=FG
所以四边形 EFGH 是平行四边形
点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用
变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：
∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
5、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b ，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
例2已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,
（1） 哪些棱所在直线与直线BA 1是异面直线？ （2） 哪些棱所在的直线与AA 1垂直？
2
解析：考察异面直线的理解
解：（1）棱1.DD1.D1C1.B1C1所在直线分别与直线BA1是异面直线
（2）直线AB.BC.CD.DA.A1B1.B1C1.C1D1.D1A1分别与AA1垂直
点评：理解异面直线，垂直包括相交垂直与异面垂直
变式：在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。
（6条）
【板书设计】
一、空间中两条直线的位置关系
二、异面直线所成角
三、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】P49 1、2
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
课前预习学案
一．预习目标：明确直线间的位置关系
二预习内容：2.1.2课本内容思考：空间两条直线有多少种位置关系
三、提出疑惑
课内探究学案
一．学习目标
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
学习重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
学习难点：异面直线所成角的计算。
二． 学习过程
1
共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2.以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b ，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； 注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角
例1空间四边形 ABCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形
2
变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 例2已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,
（1） 哪些棱所在直线与直线BA 1是异面直线？ （2） 哪些棱所在的直线与AA 1垂直？
变式：在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。
（6条）
课后练习与提高
一．选择题
1.垂直于两条异面直线的直线有（ ）条 A 1 B2 C 无数 D 以上都不对
2.两线段AB 、CD 不在同一平面内，如果AC =BD ，AD =BC ，则AB 与CD （ ）
A 垂直
B 平行
C 相交
D 以上都不对
3．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中 ①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60º角； ④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④二．填空题
4.在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为 ________
5. 空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD
的中点，EF =求异面直线,AD BC 所成的角为_________
三．解答题
6. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,求(1)A 1B 与B 1D 1所成角;(2)AC 与BD 1所成角.
E A F
B C M
N
D
新课标第一网系列资料。