集合的含义与表示作业
集合知识点总结及习题
集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/nA A ABC A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩一、集合有关概念 1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3．元素与集合的关系——（不）属于关系 （1）集合用大写的拉丁字母A 、B 、C …表示元素用小写的拉丁字母a 、b 、c …表示（2）若a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A,记作a ∈A;若不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A,记作a ∉A;4.集合的表示方法：列举法与描述法。
集合的含义与表示
(2)在集合的书写形式上,要注意规范性. 如关于x的方程x-a=0的解集应写成{a},而不是a. (3)在没有指定集合的表示方法时,能明确表示集 合的要明确表示出来. 如所有小于20的既是奇数 又是素数的数组成的集合表示{3,5,7,11,13,17,19} 更为明确; 又如非负奇数组成的集合表示为 {x|x=2n+1,n∈N}更为恰当,这一点需要注意.
（2）小于2003的数； （3）和2003非常接近的数。 （4）我国的小河流 （5）大于３小于１１的偶数
3、元素与集合之间的关系：
集合常用大写字母A，B，C，D，……标记， 元素常用小写字母a，b，c，d，……标记。
若a是集合A的元素， 就说a属于集合A ， 记作 a∈A ； 若a不是集合A的元素， 则a不属于集合A ， 记作 aA。 例如:A={1，2，3，4，5}
问题探究：
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释 为:许多的人或物聚在一起. 在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 我们怎样理解数学中的“集合”？
知识探究 考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数；
（2）绝对值小于3的整数；
（3）大兴八中高一、3班的所有男同学； （4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点. 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别 形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.上述4个集 合中的元素分别是什么？
1 2
、 | - |、 0.5 组成的集合有3个元素。 (3)1
(4)集合{1,3,5,7}与集合{3,1,7,5}表示 同一个集合。
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
2.给出下列关系 (1) 0.5 R (2) 2 R
(3) | -3 | N
集合的含义与表示
【学习导引】集合是数学中最基本的概念，就如几何中的点、线、面一样是无法“被定义”的，我们只能用描述性的语言来说明，而无法去定义集合。
一般地，我们把一些元素组成的总体叫作集合。
集合中的元素有三个特征：确定性、互异性、无序性。
互异性是一个常考的考点。
简单来说，集合肯定是一些元素组成的全体，但反过来，“全体”未必是集合。
集合常用的三种表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图法），各有优点，用什么方法要具体情况具体分析。
【知识点1】元素与集合的概念及符号表示【例题1】下列对象中可以构成集合的是（ ）.大苹果.小橘子.中学生.著名的数学家分析：判断一个全体能否构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素。
详解：.大苹果到底以多大算大，标准不明确.小橘子到底以多小算小，标准不明确.中学生标准明确，可以构成集合.“著名”的标准不明确答案：.【例题2】下列对象中不能构成集合的是（ ）.拥有电脑的人.2023年高考数学难题.所有有理数.小于的正整数分析：判断一个全体能否构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素。
详解：.一个人是否拥有电脑是明确的.数学难题因人而异，标准不明确.有理数标准明确.小于的正整数有,标准明确答案：.【知识点2】元素的三个特性与集合的相等【例题1】数集中的元素所满足的条件是___.分析：集合中元素的三个特性：①确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是否是某个集合的元素；②互异性：是指对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的，即一个集合中不能出现相同的元素；③无序性：集合中的元素是没有先后顺序ππ的。
详解：根据集合中元素的互异性可知：解得：且所以，满足的条件是的一切实数.【例题2】已知集合,,若,求的值.分析：根据集合相等即元素相同，求出的可能取值；再根据集合元素互异性求出值。
集合的含义及其表示
集合的含义及其表示一、集合的相关概念元素集合一般用大括号”{}”表示集合,也常用大写的拉丁字母A、B、C…表示集合.用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素二、集合三大特性：思考：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由；(1) 大于3小于11的偶数；(2) 我国的小河流。
三、重要数集：四、元素对于集合的关系五、集合的分类有限集：无限集：空集：六、集合的表示方法1、列举法：例1 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合。
思考题 (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?2、描述法：3、Venn图：例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。
课堂小结集合间的基本关系观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};② A={x| x＞1}, B={x | x2＞1};③ A={四边形}, B={多边形};④ A={x | x是两边相等的三角形},B={x| x是等腰三角形} ．一、子集的定义：一般地,对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B 的子集。
记作：读作：Venn图表示：判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×：①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( )②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ( )③A={0}, B={x x2+2=0} ( )④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( )二、集合相等的定义：一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的都是集合B的元素,同时集合B中的都是集合A的元素,则称集合A等于集合B,记作三、真子集对于两个集合A与B,如果A B,但存素 ,则称集合A 是集合B的真子集．记作A B四、几个结论①空集是任何集合的子集Φ A②空集是任何非空集合的真子集Φ A （A ≠ Φ）③任何一个集合是它本身的子集，即 A A④对于集合A ，B ，C ，如果 A B,且B C ，则A C例3 设A={x,x 2,xy}, B={1,x,y},且A=B ，求实数x,y 的值．例4 已知集合 与集合 满足Q P ， 求a 的取值组成的集合A 作业布置1．教材P.12 A 组 5 B 组2.2. 若A={x |－3≤x≤4}, B={x | 2m －1≤x≤m+1},当B A 时,求实数m 的取值范围．3.已知}06|{2=-+=x x x P },01|{=+=ax x Q {}{}AC B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆1.1.3 集合的基本运算（1）观察集合A,B,C元素间的关系：(1) A={4，5，6，8}B={3，5，7，8} C={3，4，5，6，7，8}(2) A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}， C={x|x是实数}一、并集一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集,记作读作即A∪B=例1. A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A∪B.例2.设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A∪B性质1A∪A = A∪φ = A∪B B∪A二、交集观察集合A,B,C元素间的关系：A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}，C={5，8}一般地,由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集。
集合的含义与表示
例3若方程x2－5x＋6＝0
和方程x2－x－2＝0的解为元素的集为
M，则M中元素的个数为
(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
例3若方程x2－5x＋6＝0
和方程x2－x－2＝0的解为元素的集为
M，则M中元素.3 D.4
例4已知集合 A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
例4已知集合 A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
解：当a＝0时，x＝－1. 当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2. ∴a＝1时这个元素为－2. ∴a＝0时这个元素为－1.
课堂练习
1.教科书5面练习第1、2题 2.教科书11面习题1.1第1、2题
课堂小结
1.集合的定义 2.集合元素的性质 3.集合与元素的关系 4.集合的表示 5.集合的分类
课后作业
教科书12面习题1.1第3、4题
⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
4.集合元素的性质:
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一.
⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}.
⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
写字母表示.
2.集合的表示: 集合常用大写字母表示，元素常用小
写字母表示.
3.集合与元素的关系:
2.集合的表示: 集合常用大写字母表示，元素常用小
写字母表示.
3.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a∈A.
高中数学：1.1.1集合的含义与表示 (23)
题型四 方程的解集 例5 如果方程ax＋b＝0的解集为A，cx＋d＝0的解集为B， 利用A，B表示： (1)(ax＋b)(cx＋d)＝0的解集； (2)(ax＋b)(cx＋d)≠0的解集．
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【解析】 (1){x|(ax＋b)(cx＋d)＝0}＝{x|ax＋b＝0}∪{x|cx ＋d＝0}＝A∪B.
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3．已知A＝{x|x<－5或x≥4}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3}，若B ⊆A，则实数a的取值范围是________．
答案 a<－8或a≥3 解析 ∵B⊆A，∴a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.
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4．设A，B为两个集合，下列四个命题： ①A B⇔对任意x∈A，有x∉B； ②A B⇔A与B没有公共元素； ③A B⇔A⊉B； ④A B⇔存在x∈A，使得x∉B. 其中真命题序号是________．(把符合要求的真命题序号都 写上)
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自助餐走向高考
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1．(2019·课标全国Ⅲ，理)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B
＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1，0，1}
B．{0，1}
C．{－1，1}
D．{0，1，2}
答案 A 解析 集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}．
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2．(2019·浙江)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝
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答案 ④
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5．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝ 0}，若A∪B＝A，求a的值．
解析 A＝{1，2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A. ∴B＝∅或{1}或{2}或{1，2}． 当B＝∅时，无解． 当B＝{1}时，11＋ ×11＝ ＝aa， －1，得a＝2. 当B＝{2}时，22＋ ×22＝ ＝aa， －1，无解．
1.1集合的含义与表示
1.1 集合的含义与表示【学习目标】1. 认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法；了解从属关系；2. 掌握集合的表示方法,并能正确地表示一些简单的集合. 重点:集合的表示方法 难点:描述法 【引入新课】在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 【探究新知】 探究1:集合的概念(1) 1～10以内所有的素数（质数）； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的正方形； (4)翔宇班2019级全体学生.思考：上述4个集合中的元素分别是什么? 这4个实例的共同特征是什么?归纳定义：一般地，我们把 统称为元素，把 叫做集合（简称为集）.注：集合通常用大写的拉丁字母C B A ,,…表示，集合中的元素用小写的拉丁字母a ,b ,c …表示.探究2:集合元素的三个特征思考1：咱班的所有美女能不能构成一个集合？由此说明集合中的元素具有什么性质？ 思考2：由实数2、3、2组成的集合有几个元素？由此说明集合中的元素具有什么性质？ 思考3：由实数1、2组成的集合记为M ,由实数2、1组成的集合记为N ,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么特征？归纳元素的特征： 。
思考：如果用A 表示2019级翔宇班全体学生组成的集合，用a 表示2019级翔宇班的一位同学，b 是一名枣庄三中的一位同学，那么,a b 与集合A 分别有什么关系? 由此看见元素与集合之间有什么关系？归纳：如果a 是集合A 的元素，就说 ，记作 ；如果a 不是集合A 的元素，就说 ，记作 .探究4:常用数集及其记法N ；N *或N + ；Z ； Q ；R探究5:集合的表示方法思考1：地球上的四大洋组成的集合怎么表示呢？归纳定义列举法: .注意：大括号不能缺失,不必考虑顺序,元素之间用“,”隔开；思考2: 你能用列举法表示不等式37-<x 的解集吗? 归纳定义描述法: 。
. 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.注意：描述法表示集合应注意集合的代表元素如2{(,)|1}x y y x =-；2{|1}y y x =-；2{|1}x y x =-不同.例1.用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程x x =2的所有实数根组成的集合； (3)由1~20以内的所有质数组成的集合.例2.用描述法表示下列集合：（1）不等式23>-x 的所有解组成的集合; （2）直线1+=x y 上所有点组成的集合; （3）所有奇数组成的集合.例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程02-2=x 的所有实数根组成的集合;（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.例4.已知集合A 是由三个元素,25a a +,12组成的，且，求.【当堂检测】1.下列给出的对象中，能组成集合的是( )A.一切很大的数B.好心人C.漂亮的小女孩D.方程x 2－1＝0的实数根 2.下面说法正确的是( )A.所有在N 中的元素都在N *中B.所有不在N *中的数都在Z 中C.所有不在Q 中的实数都在R 中D.方程4x ＝－8的解既在N 中又在Z 中 3.由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.44. .设A ＝{x ∈N |1≤x <6}，则下列正确的是( ) A.6∈A B.0∈A C.3∉A D.3.5∉A5.已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可6.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( )A.{x |x ＝4k －1，k ∈Z }B.{x |x ＝2k －1，k ∈Z }C.{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }D.{x |x ＝2k ＋3，k ∈Z } 7.用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为8.一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是【课堂小结】1.1 集合的含义与表示--课时作业A一、选择题1．已知集合A 由x <1的数构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A2．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素 D ．5个元素 3．下列结论中，不正确的是( )A ．若a ∈N ，则－a ∉NB ．若a ∈Z ，则a 2∈ZC ．若a ∈Q ，则|a |∈QD ．若a ∈R ，则3a ∈R4．已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y|y |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．1∈MC ．－2∉MD ．2∈M5．已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形6．已知集合A ＝{a ，b ，c }中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{0,1}D ．{0,1,2} 7．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( ) A ．－1∉A B ．－11∈A C ．3k 2－1∈A D ．－34∉A 二、填空题8．在方程x 2－4x ＋4＝0的解集中，有________个元素． 9．下列所给关系正确的个数是________． ①π∈R ；②3D ∈/Q ；③0∈N *；④|－4|D ∈/N *.10．如果有一集合含有三个元素：1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是___________________．. 11．已知a ，b ∈R ，集合A 中含有a ，ba ，1三个元素，集合B 中含有a 2，a ＋b,0三个元素，若A ＝B ，则a ＋b ＝____.13．已知集合M 中的元素是正整数，且满足命题“如果x ∈M ，则(4－x )∈M ”，则满足条件的集合M 的个数为________． 三、解答题14．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a 的值．15．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R . (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值．16．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．(1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．1.1 集合的含义与表示--课时作业B一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( )A ．{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1} B ．{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2} C ．{1,2} D ．{(1,2)}2．集合A ＝{x ∈Z |－2<x <3}的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合C ．点(x ，y )D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合 4．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m |m ＝x |x |＋y |y |＋xy|xy |}为( )A ．{0,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．{1，－3}5．下列选项中，集合M ，N 相等的是( ) A ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3} B ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} C ．M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}D ．M ＝{(x ，y )|x ＝3且y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x ＝3或y ＝2} 6．集合{3，52，73，94，…}用描述法可表示为( )A ．{x |x ＝2n ＋12n ，n ∈N *}B ．{x |x ＝2n ＋3n ，n ∈N *}C ．{x |x ＝2n －1n ，n ∈N *} D ．{x |x ＝2n ＋1n，n ∈N *} 7．下列命题中正确的是( )①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上命题都不对***m ∈N *}，若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，则下列结论中可能成立的是( )A ．2 006＝a ＋b ＋cB ．2 006＝abcC ．2 006＝a ＋bcD ．2 006＝a (b ＋c )二、填空题9．方程x 2－5x ＋6＝0的解集可表示为_______________． 10．集合{x ∈N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为_____________．11．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________． 12．定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝{x |x －23<0}，则集合A －B ＝____________. 13．给出下列集合：①{(x ，y )|x ≠1，y ≠1，x ≠2，y ≠－3}；②{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠1，y ≠1且⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠2，y ≠－3}；③{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠1，y ≠1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≠2，y ≠－3}；④{(x ，y )|[(x －1)2＋(y －1)2]·[(x －2)2＋(y ＋3)2≠0]}．其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)、(2，－3)之外所有点的集合”的序号有________． 三、解答题14．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．15．用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．16．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，用列举法表示集合P ＋。
集合的含义与表示1
[点评] 在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来 后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求， 有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结 合题目要求和隐含条件，加以重视．
(2)互异性 一个给定的集合中的元素必须 是互不相同的．即同一元素在同一集合中，不 能重复出现.例如集合是由a，a，b这三个元素构 成的，是错误的说法.
(3)无序性 在一个集合中，元素之间是平 等的，它们都充当集合中的一员，无先后次序 之说，无高低贵贱之分.例如由1，2，3构成的 集合与由3，2，1构成的集合是相同的集合.
[解析] (1)∵1 是 A 的元素∴1 是方程 ax2＋2x＋1＝0 的 一个根，∴a×12＋2×1＋1＝0，即 a＝－3，
∴方程即为－3x2＋2x＋1＝0， ∴x1＝1，x2＝－13，∴集合 A 中的其他元素为－13.
(2)若 a＝0，方程化为 2x＋1＝0，此时有且仅有一个根 x ＝－12；
｛x|x是 book中的字母｝
A⊆B的图形语言
A B
用平面上封闭 的曲线的内部 表示集合这图
叫Venn图
2：数轴
表示实数取值范围的集合，往往用数 轴直观表示。
如：{x| x>3}表示为
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集合的分类
根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以 下两大类：
1.有限集
含有有限个元素的集合称为有限集.
●探索延拓
分类讨论的思想
ห้องสมุดไป่ตู้
已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实 数解作为元素构成的集合．
(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素； (2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B； (3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围． 探究1.集合的元素即为方程的解？ 探究2.方程是一次还是二次？方程无解、有一解、二解分 别满足什么条件？
集合的含义-高中数学知识点讲解
集合的含义1．集合的含义【知识点的认识】1、集合的含义：集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．（1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中的元素；区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数轴表示法，韦恩图法）用图的形式来描述表示出集合的每一个元素．（2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．）用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征．【典型例题分析】题型一：判断能否构成集合典例 1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于 5 的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式 2x+1＞7 的整数解．分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可．解答：（1）小于 5 的自然数为 0，1，2，3，4，元素确定，所以能构成集合．为{0，1，2，3，4}．（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合．（3）由 2x+1＞7 得x＞3，因为x 为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{x|x＞3，且x∈Z}．点评：本题主要考查集合的含义和表示，利用元素的确定性，互异性是判断元素能否构成集合的条件，比较基础．1/ 3典例 2：下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}N＝{3，2}B．M＝{（x，y）|x+y＝1}N＝{y|x+y＝1}C．M＝{（4，5）}N＝{（5，4）}D．M＝{2，1}N＝{1，2}分析：利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D 四个选项进行一一判断．解答：A、M＝{（3，2）}，M 集合的元素表示点的集合，N＝{3，2}，N 表示数集，故不是同一集合，故A 错误；B、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M 集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N 表示直线x+y＝1 的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B 错误；C、M＝{（4，5）} 集合M 的元素是点（4，5），N＝{（5，4）}，集合N 的元素是点（5，4），故C 错误；D、M＝{2，1}，N＝{1，2}根据集合的无序性，集合M，N 表示同一集合，故D 正确；故选D．点评：此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．题型二：集合表示的含义典例 3：下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．分析：根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，A 为数集，B 为数集，C 为点集．解答：A 是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；B 是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；C 为点集，是由抛物线y＝x2+1 上的点构成．点评：本题的考点用描正确理解用描述法表示集合的含义，要通过代表元素的特点正确理解集合元素的构成．【解题方法点拨】研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清楚其元素表示的意义是什么．2/ 32．函数的值【知识点的认识】函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：①基本不等式法：如当x＞0 时，求 2x +8的最小值，有 2x +푥8푥≥ 2 2푥⋅8푥= 8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小值为 2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）＝lnx﹣x 在（0，+∞）的值域解：f′（x）=1푥― 1=1―푥푥∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；故值域为（﹣∞，﹣1）【命题方向】函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主3/ 3。
高中数学知识点：集合的含义及表示
高中数学知识点：集合的含义及表示
集合的概念：
1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）；集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
常用数集及其表示方法：
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
集合中元素的特性：
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
易错点:
（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示
成Z。
集合的含义和表示乐乐课堂
集合的含义和表示乐乐课堂
一、集合的概念
集合是数学中的一个基本概念，它由一些确定的、互异的元素组成。
我们可以用大括号{} 或者集合符号如表示一个集合。
集合中的元素具有无序性和确定性。
二、集合的表示方法
1.列举法：直接将集合中的元素一一列举出来，如{1, 2, 3, 4}。
2.描述法：用文字描述集合的元素特征，如{x | x 是自然数，且x > 0}。
3.符号法：用集合符号表示，如：表示一个包含无限个元素的集合。
三、集合的运算与关系
1.并集：表示两个集合中所有元素的集合，符号为∪。
2.交集：表示两个集合中共有的元素组成的集合，符号为∩。
3.补集：表示全集中不属于某个集合的元素组成的集合，符号为。
4.关系：如子集、超集、平等关系等。
四、实际应用：集合在生活中的例子
1.购物时的优惠活动，如满减、折扣等。
2.学生选课，需要考虑课程时间、地点等因素。
3.数据分析中的数据分类和统计。
五、总结与拓展
集合论是数学的基础，掌握集合的相关知识和运算对学习其他数学分支有很大帮助。
在实际生活中，集合理论也发挥着重要作用。
了解和熟练运用集合
概念，可以提高我们在生活和学术中的问题解决能力。
高一数学集合的含义与表示
⑴上课前要预习
⑵上课时要认真 ⑶关于作业 ⑷自己整理问题集
集合的有关概念
元素(element)---我们把研究的对象 统称为元素
集合(set)---把一些元素组成的总体叫 做集合, 简称集.
一般用大括号”{ }”表示集合,也常用 大写的拉丁字母A、B、C…表示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
注:组成集合的元素可以是物,数,图,点等
集合三大特性：
（1）确定性：集合中的元素必须是确定 的．
(2)互异性：集合中的元素必须是互不相同 的。
(3)无序性：集合中的元素是无先后顺序的． 集合中的任何两个元素都可以交换位置．
只要构成两个集合的元素是一样 的，我们就称这两个集合是相等 的
；钣金加工 钣金激光切割 / 钣金加工 钣金激光切割
思考：
判断以下元素的全体是否组成集合，并 说明理由； (1) 大于3小于11的偶数； (2) 我国的小河流。
判断下列例子能否构成集合
中国的直辖市
√
身材较高的人
×
著名的数学家
×
高一(5)班眼睛很近视的同学 ×
注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词 都不能构成集合
重要数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
练一练：用符号“∈”或“ ”
填空：
(1) 3.14__∈_____Q
(2) π_______Q
(3) 0__∈_____N
(4) 0_______N+
(5) (-0.5)0__∈_____Z (6) 2__∈_____R
集合的分类
有限集：含有限个元素的集合 无限集：含无限个元素的集合 空集：不含任何元素的集合
高一数学集合的含义与表示
作业
教材Ｐ.11
Ｔ1~4.
；高佣联盟 ；
晚一去到目の地就感觉不对劲,一味听见旁边有介绍有机蔬菜,明摆着希望他们成为第一批客人.不管蔬菜の味道如何,朋友关系掺了杂质总是让人心里不痛快.幸亏这些不是他朋友.余岚の小农场早就搞好了,就等今年开春正式播种有机种子.“这也难怪,做生意本来就是先从熟 人做起.我们是外来户,在她们眼里人脉广,能帮忙打开缺口总比她们摸石子过河の靠谱.”陆易站在商人角度来分析.“外人怎样跟我们无关,我们按计划行事.”柏少华一脸の无所谓.柏少君双腿搁在茶几上打嬉戏,身边发生の事他一概不理.德力踢他一脚,“喂,你怎么看？那 些可是你朋友.”这小子最单纯容易上钩.柏少君两耳不闻窗外事,“我不管,谁家の好吃吃谁家の.”他最好命,一向随遇而安.第二天,陆羽又提起那截大羊腿对准四只汪の饭盆开始削肉条拌饭.这时,门外一声呼喊,“陆陆！”“哎.”陆羽应了声,吩咐小福,“开门.”几只护院 神犬是她の得力好帮手.“你在干嘛？”柏少君进入院子一看,惊讶道.“给小福它们加菜.”用刀顺着肉の纹理削下去会轻松很多.女人の力度弱得惨不忍睹.柏少君夺过大羊腿,一把水果刀挥得银芒闪闪眼花缭乱,看不清哪儿跟哪儿,只见肉片一丝一块地往下掉.陆羽帮忙换盆 子,直到四只汪都有才罢手.至于小吉,它有猫粮和小鱼干,各得其所.“对了,你找我干嘛？”重新收起羊腿,陆羽问他.削了四份肉丝,柏少君像是不费吹灰之力,脸不红气不喘.“植树,去不去？我们订了好多果树苗到了,趁现在天气好赶紧种.”咦？种树造林可是惠国惠民の好 事,日后上山随手摘果子.“好,等我换身衣服.”陆羽忙回房换一身简便又保暖の休闲服,她好多年没过植树节了,没想到今年有机会.这群邻居真会玩,如果接下来他们肯种田就更好了,她以后买米买菜不用跑外边了,哈哈哈...“对了,种完树我们开始种菜,你门口の地是你の 吧？要不要开荒？一起种.”陆羽闻言缩一下肩,耶？她也要种？第86部分在云岭村,植树节提前了.松溪边种了几棵柳树,距离老远才有一棵,因为河边本来就种有梅树和一些别の.这些人不动原生态,尽可能不改变村里の格局添加几棵,完善田园风光罢了.他们说,烟笼翠濛,裹 雨拖风,河边种柳意境深重.听得陆羽无比惊诧,“你们好厉害,都是从小学の华语？”“少华说の,他说多种几棵明年这里の景致会更加美丽.”德力脚踩铁铲稍一用力,挑起一铲泥土填进树坑里.少华？陆羽脑子里映出那晚认真研究菜谱の男人来,他当时专注の模样很好看.都 说认真の男人帅气,而帅气の男人会厨艺不仅帅气,还快绝迹了吧？极品啊！没想到这山窝窝里藏着三个,难怪外边の女生常常跑进来围观.“陆陆.”陆易那边の坑挖好了,情深の呼唤她带着树苗过去.“哦,来了.”陆羽忙给他拿了两棵,柏少君那儿也要一棵.没错,这几天她根 本做不了什么,除了给大家分分棵苗之外.等她挖坑？半天挖不了一个,一天种一棵她能种到夏天.美化居住环境,人人参与多出一分力.树是少华掏の钱,所以他很悠闲,偶尔出来逛逛充当一下监工,然后回去给大家煮一顿美餐犒赏一下.几个男人做事肯定比她一个女人有效率,两 三天功夫,他们买回来の几车树苗就种完了.除了松溪边,他们租の田边各种几棵,村路两旁也种了榉树,并且得到老村长の认可.这种树高大,盛夏荫凉,秋叶红艳,很有观赏价值.种在村里の有花,也有果树,譬如海棠、玉兰之类,零散不规则地种.山里の树本来就多,他们只种了几 棵红叶枫在山边,并且在那里插下一块温馨提示牌,说明林里不属于村庄范围,有猛禽出没等字样.他们基本上都在自己の地盘种,不侵犯别人の田地.休闲居和少华家周围种了银杏,庭园种下五棵黑樱桃.“你家要不要来几棵？”柏少君问陆羽.陆羽忙摇头,“不用不用.”她院里 の树还不够多吗？宅子旁边の树也有些年头长得十分茂盛,夏天坐在门外の平地乘凉,看看田野,望望山,特别の舒心养眼,足够了.“话说,那些银杏种得活吗？”她反而有些担心这个.“种不活再说.”少君满不在乎地耸耸肩,这一点他从来没想过.种完树,勉强挖了几个坑の陆 羽全身酸痛,邻居却没事人似の第二天一大早又开始忙活.他们用除草机除草,用松土机翻泥松土,顺便给她の也翻了一遍,不像以前の农民那么费劲.她院里の菜圃也挖过了,去他们店取了些菜种回来自己搞,剩下门口那块地不知种什么好.瘦田无人耕,耕开有人争,借了两亩地给 别人,剩下一亩她自己要了.虽然她不会耕田,可看见别人种,自己也总想种些什么.邻居们不种水稻、小麦之类,平常吃の米和面仍要从外边进货.至于地里,他们种の是蔬菜、瓜果之类,方便餐厅取用.云岭村在大动土,老村长喜闻乐见,经常和老伴过来逛逛.二老喜欢年轻人兴致 高昂地开荒耕田,眼里仿佛看到未来几年の光景.年前の时候,休闲居の人曾找过他租耕地,可惜儿媳不同意,嫌弃他们给の租金太低.这年头,手里有地,心不慌.何玲在等他们提价回头,等他们开始开荒播种才知道,原来他们不声不响地找到那些离乡多年の原居民租下一大片丢荒 の田地和好几栋土坯房,前不久正推倒重建.这消息险些把她气出病来.现在她逢人便说这些城里人吃饱撑の乱找乐子,说是种地,不定哪天就扔了.像陆羽那样,院里の菜园子长期营养不良,浪费种子啥の.当然,这一切只在外界流传,云岭村の新居民对此一无所知.得 知云岭村忙得热火朝天,余家妹子和小伙伴们也经常来玩.商业上の事跟生活是分开の,做不成生意大家还是朋友嘛.开春要做の事很多,余岚の小农场也很忙,平时无事很少来,倒是余薇空闲得很.“干嘛不统一种？我正想跟我妈说与你们云岭村共同开发,将村里の树全部改成梅 树或者桃树呢.何玲也有这个意向,可你们今天这么搞不太好吧？何玲一家能同意？”她眉宇之间微微蹙起,像是不满,更像充满忧虑.“干嘛要她同意？我们在自己の地方种,又不在她家门口.”柏少君趁中午休息の功夫,和陆羽蹲在她门口平地の边缘,审视下边那亩地琢磨着种 什么好.本来有三亩の,两亩借给他们了.“村子是大家の,当然要统一意见.”余薇不悦地盯着两个靠得太近の人,眼珠一转,硬往两人中间蹲下把柏少君挤开老远,“陆陆,村子开发对大家都好,应该齐心协力の对吧？”陆羽仍在苦苦思索,心不在焉道：“就这样我挺喜欢の,够 安静.”嘿,就等她这句话,小心思得逞の余薇心花怒放.一天傍晚,陆羽喂完猫狗,然后在院子里逗那几只出来散步の小奶猫玩.它们会走路了,尾巴像竖起の一根小天线喵喵地在院里走来走去,对这个世界充满了好奇.主宠玩得正开心时,何玲来了.她以往来の时候笑容满面,今天 却气势汹汹不太友善.“我说杏子,听说你把定康家の地借给别人了？哎哟,你怎能做这种事呢？虽然你租了房子,可地你没租啊！我前些日子正和定康商量着租给那些游客种些什么.现在好了,地没了,你看怎么办吧.”摊摊手,似是一脸の无奈.陆羽无语了会儿,“玲姐,我租房 の合同上清楚写明这些地也包括在内,”关键是,“而且借给少君他们时,我特地约了定康叔过来说这事,他亲口同意并且另签了合同,不信咱们打电筒问他.”就前几天の事,邻居们得知她不想种地,便半开玩笑地说让她给他们种算了.租也可以,总之丢空太可惜.事关田地房产, 别说陆羽多了一段经历,时下の小青年们哪个敢不慎重对待？分分钟掉坑里烦死你.况且,她就是利用这一招对付亲哥の,敢草率吗？第87部分所以,她回去打了电筒问卓文鼎.卓大律师说屋归屋,田归田,建议她直接约房东周定康出来与邻居们洽谈,重新拟定一份田地租赁合同. 钱给了,新合同也签了.如今何玲这么说,不知是房东见利起心觉得钱少要反悔,还是何玲睁着眼睛说瞎话,以为她一个城里小姑娘考虑不周容易出漏子.“怎么可能？！”何玲脸色不好看了,“就算你跟他谈过,也不能擅作主张同意他们在村里乱搞.你要清楚自己の身份只是一名 租客,没资格对我们村指手划脚の.”这段话口气冲得很,像要跟她吵架.“我没指手划脚啊！”陆羽哭笑不得,仍耐着性子说,“玲姐你先消消气,有话慢慢说.”“我没气,你说到底有没这事吧！”谎话被拆穿,何玲显得气急败坏口不择言.“你让我说什么事？你得讲个明白.” 这指责没头没脑の,陆羽有点生气了.“你给我装什么蒜？姓陆の,你扪心自问刚来の时候我帮了你多少.没有我介绍你能租到这么好の房子？没有我公爹他们帮忙,你在村里能住得这么舒服？现在好了,安定下来就看我们不顺眼想赶尽叩绝了是不是？你这叫什么,叫忘恩负义！ 没脸没皮...”何玲索性撕了脸皮,坐在院里指着陆羽开骂,将以往积攒下来の浊气,加上在休闲居碰壁受到の难堪一并发泄出来.一只小奶猫对这个物种很是好奇,不断歪着小脑袋望她,小腿噌噌噌地跑过来想凑近看清楚一些.对于骂架,陆羽是吵不赢の,当初冲嫂子叫嚷是趁对 方不觉意.如今何玲声如洪钟般响亮,她开口说话声音绝对被盖过.听她老提以前对自己の帮助,陆羽有些明白了,这人今晚不是来讲道理,而是存心过来找碴发泄の.何玲の不断地捶腿数落,偶尔跺跺脚,眼看那小奶猫就走到她脚边.生怕它被迁怒,陆羽赶紧过去把它抱开.谁知她 一过去,何玲以为她要打自己整个跳将起来.“好啊！你还想打我？！我呸,老娘打架那会儿你还不知道在哪个窝里躺着呢！”本来就想打可惜没机会,如今她一个箭步过来举手冲着陆羽一巴掌,“我打死你个不要脸の小娘皮,道理说不过就想打我？打就打,老娘怕过谁？”陆羽 怎么可能挨打？抱着小奶猫缓步闪过.院里の四只汪见主人挨打,顿时冲着何玲扑来并凶狠地吠起来.小吉本来趴在屋檐下看着孩子们跟主人玩耍,这会儿也跳出来着急地喵喵叫.“不许咬！你们退后.”生怕闹出人命,最终倒霉の是自己和四只汪,陆羽利用轻盈の步伐将另外几 只乱跑の小奶猫全部捡起来放在一旁,命令四只凶性大发の狼狗们,“坐下,看好它们不许乱跑.”主子の命令不可违逆,四只汪无奈地排排坐挡在小奶猫们跟前,冲着原地转圈找人の何玲凶狠地吼,身子不敢动.陆羽の练习一直没落下,她の速度掌控自如,可快可慢,步履轻盈,一 般人完全看不出来.“玲姐,你冷静点.”家里の宠物安全了,陆羽才有功夫应付抓狂发疯の何玲.“我很冷静,你就是个有爹生没娘教の丧门星小娼妇...”“啪！”の一巴掌,将何玲打倒在地.几乎与此同时,有客人在家便一直敞开の院门口冲来一群人,有男
新教材高中数学第一章预备知识1集合 集合的概念与表示第2课时集合的表示素养作业北师大版必修第一册
第一章 §1 1.1 第2课时A 组·素养自测一、选择题1．用列举法表示集合{x |x 2－3x ＋2＝0}为( C ) A ．{(1,2)} B ．{(2,1)} C ．{1,2}D ．{x 2－3x ＋2＝0}[解析] 解方程x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2．用列举法表示为{1,2}． 2．直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合为( B ) A ．{0,1}B ．{(0,1)}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故该集合为{(0,1)}．3．已知x ∈N ,则方程x 2＋x －2＝0的解集为( C ) A ．{x |x ＝2} B ．{x |x ＝1或x ＝－2} C ．{x |x ＝1}D ．{1,－2}[解析] 方程x 2＋x －2＝0的解为x ＝1或x ＝－2．由于x ∈N ,所以x ＝－2舍去．故选C ．4．若A ＝{－1,3},则可用列举法将集合{(x ,y )|x ∈A ,y ∈A }表示为( D ) A ．{(－1,3)} B ．{－1,3}C ．{(－1,3),(3,－1)}D ．{(－1,3),(3,3),(－1,－1),(3,－1)}[解析] 因为集合{(x ,y )|x ∈A ,y ∈A }是点集或数对构成的集合,其中x ,y 均属于集合A ,所以用列举法可表示为{(－1,3),(3,3),(－1,－1),(3,－1)}．5．下列集合中,不同于另外三个集合的是( B ) A ．{x |x ＝1} B ．{x |x 2＝1} C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}[解析] 因为{x |x ＝1}＝{1},{x |x 2＝1}＝{－1,1},{y |(y －1)2＝0}＝{1},所以B 选项的集合不同于另外三个集合．6．下列说法：①集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R }；③一次函数y ＝x ＋2和y ＝－2x ＋8的图象交点组成的集合为{x ＝2,y ＝4},正确的个数为( D )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 由x 3＝x ,得x (x －1)(x ＋1)＝0,解得x ＝0或x ＝1或x ＝－1．因为－1∉N ,故集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{0,1},故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义,而“R ”表示所有的实数组成的集合,故实数集正确表示应为{x |x 为实数}或R ,故②不正确．联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴一次函数与y ＝－2x ＋8的图象交点为(2,4),∴所求集合为{(x ；y )|x ＝2且y ＝4},故③不正确．二、填空题7．已知A ＝{(x ,y )|x ＋y ＝4,x ∈N ,y ∈N },用列举法表示A 为__{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}__．[解析] ∵x ＋y ＝4,x ∈N ,y ∈N , ∴x ＝4－y ∈N ,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0.∴A ＝{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}．8．集合{1,2,3,2,5,…}用描述法表示为．[解析] 注意到集合中的元素的特征为n ,且n ∈N *,所以用描述法可表示为{x |x ＝n ,n ∈N *}．9．已知集合A ＝{x |2x ＋a ＞0},且1∉A ,则实数a 的取值范围是__(－∞,－2]__． [解析] 因为1∉A ,则应有2×1＋a ≤0, 所以(－∞,－2]． 三、解答题10．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝143x ＋2y ＝8,的解集；(2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．[解析] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2，,也可用列举法表示为{(4,－2)}． (2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1,因此可用列举法表示为{1},也可用描述法表示为{x |x 2－2x ＋1＝0}．(3)集合的代表元素是点,可用描述法表示为{(x ,y )|x ＜0且y ＞0}．(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中,代表元素为点,可用描述法表示为{(x ,y )|y ＝x 2＋2x －10}．(5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中,代表元素为y ,是实数,可用描述法表示为{y |y ＝x 2＋2x －10}．B 组·素养提升一、选择题 1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1,y ＝－1}B ．{1}C ．{(1,－1)}D ．{(x ,y )|(1,－1)}[解析] 方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除A,B,而D 的集合表示方法有误,排除D ．2．用列举法可将集合{(x ,y )|x ∈{1,2},y ∈{1,2}}表示为( D ) A ．{1,2} B ．{(1,2)} C ．{(1,1),(2,2)}D ．{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}[解析] x ＝1,y ＝1；x ＝1,y ＝2；x ＝2,y ＝1；x ＝2,y ＝2．∴集合{(x ,y )|x ∈{1,2},y ∈{1,2}}表示为{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},故选D ． 3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( BD ) A ．{x |x ＝2k －1,k ∈N } B ．{x |x ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥2} C ．{x |x ＝2k ＋3,k ∈N }D ．{x |x ＝2k ＋5,k ∈N }[解析] 选项A,C 中,集合内的最小奇数不大于4． 4．(多选题)下列各组中M ,P 表示不同集合的是( ABD ) A ．M ＝{3,－1},P ＝{(3,－1)} B ．M ＝{(3,1)},P ＝{(1,3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1,x ∈R },P ＝{x |x ＝t 2＋1,t ∈R } D ．M ＝{y |y ＝x 2－1,x ∈R },P ＝{(x ,y )|y ＝x 2－1,x ∈R }[解析] 选项A 中,M 是由3,－1两个元素构成的集合,而集合P 是由点(3,－1)构成的集合；选项B 中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M ≠P ；选项D 中,M 是二次函数y ＝x 2－1,x ∈R 的所有因变量组成的集合,而集合P 是二次函数y ＝x 2－1,x ∈R 图象上所有点组成的集合．故选ABD ．二、填空题5．若集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0,a ∈R }中只有一个元素,则实数a 的值是__0或1__． [解析] 集合A 中只有一个元素,有两种情况：当a ≠0时,由Δ＝0,解得a ＝1,此时A ＝{－1},满足题意；当a ＝0时,x ＝－12,此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12,满足题意．故集合A 中只有一个元素时,a 的值是0或1．6．设A ,B 为两个实数集,定义集合A ＋B ＝{x |x ＝x 1＋x 2,x 1∈A ,x 2∈B },若A ＝{1,2,3},B ＝{2,3},则集合A ＋B 中元素的个数为__4__．[解析] 当x 1＝1时,x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时,x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时,x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6．∴A ＋B ＝{3,4,5,6},共4个元素． 三、解答题7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪86－x ∈N ,试用列举法表示集合A ．[解析] 由题意可知6－x 是8的正约数,当6－x ＝1时,x ＝5；当6－x ＝2时,x ＝4；当6－x ＝4时,x ＝2；当6－x ＝8时,x ＝－2,而x ≥0,∴x ＝2,4,5,即A ＝{2,4,5}．8．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 中只有一个元素,求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集,则当a ＝0时,A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23,符合题意；当a ≠0时,方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根,则Δ＝9－8a ＝0,解得a ＝98,此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43,符合题意．综上所述,当a ＝0时,A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23,当a ＝98时,A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43．(2)由(1)可知,当a ＝0时,A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23符合题意；当a ≠0时,要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根, 则Δ＝9－8a ≥0,解得a ≤98且a ≠0．9 8．综上所述,若集合A中至少有一个元素,则a≤。
集合的含义及表示1.1.1
1.“地球上的四大洋”能组成一个集合
吗?它有几个元素?你能把这个集合表示 出来吗?
结论:｛太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋｝ 注意：把集合的元素一一列举出来,并用 花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫 做列举法.例如{a,b,c}
例3.集合的表示(列举法)
1.用列举法表示下列集合：
(1)小于5的所有自然数组成的集合； (2)由1～9内的所有质数组成的集合
知识探究（一）
考察下列集合： （1）小于5的所有自然数组成的集合； （2）方程 的所有实数根组成的集合. 思考1：这两个集合分别有哪些元素？ （ 1 ） 0 ， 1 ， 2， 3 ， 4 ； （2）-1，0，1 思考2：由上述两组数组成的集合可分别怎样表 示？ （1）{0，1，2，3，4}； （2）{-1，0，1} 思考3：这种表示集合的方法叫什么名称？ 列举法 思考4：列举法表示集合的基本模式是什么？ 把集合的元素一一列举出来，并用花括号 } “{ }”括起来，即 {a, b, c,
; .
例3 设集合 已知 ，求实数 1或-4
，
的值.
例4 已知集合A={1,2,3},B={1,2},设集 合C= ,试用列 举法表示集合C.
C={-1，0，1，2}
知识探究（二）
考察下列集合： （1）不等式 的解组成的集合； （2）绝对值小于2的实数组成的集合. 思考1：这两个集合能否用列举法表示？ 思考2：如何用数学式子描述上述两个集合的元素 特征？ （1）x R，且 x 5 ； （2）x R，且 | x | 2 思考3：上述两个集合可分别怎样表示？
思考3:集合 义如何？ 的几何意
y
y x2
x
o
理论迁移
例1 用适当的方法表示下列集合： （1）绝对值小于3的所有整数组成的集合；
集合的含义及表示用.2021优秀PPT文档
思考？
你能用列举法表示不等式x73的解集吗?
描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为 描述法.如：
xR| x10
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及 取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写 出这个集合中元素所具有的共同特征.
一 般 符 号 范 围 |共 同 特 征
⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1}而非{1，1}.
⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}， {2，1}为同一集合.
例1
对于以下说法： ①接近于 0 的数的全体构成一个集合； ②棱柱的全体构成一个集合； ③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于 3 的所有自然数构成一个集合． 正确的是( D )
⑵ { 0 } ≠ (填＝或≠)
集合的表示方法
列举法 描述法 区间表示
列举法
将集合中的元素一一列举出来，元素与元素之 间用逗号隔开。
用花括号{ }括起来
例2
用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程 x2 x的所有实数根组成的集合； (3)方程 x 12 0 的所有实数根组成的集合； (4)由1～20以内的所有质数组成的集合.
③ 满足不等式a≤x<b 或a<x≤b的实数x的集合, 叫作半开半闭区间，分别记作[a,b), (a,b],
定义
名称
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x| a<x<b } 开区间
{x| a≤x<b} 半开半闭区间
{x| a<x≤b} 半开半闭区间
符号 [a, b] (a, b) [a, b) (a, b]
集合的名词解释
集合的名词解释集合，在我们日常生活中随处可见，无论是在数学领域、社会活动中还是自然界中，都存在着各种各样的集合。
那么，什么是集合？集合是指由一些个体或对象组成的整体或类别。
在这篇文章中，我们将探讨集合的概念、性质和应用。
一、集合的概念集合是一种基本的数学概念，它是由一些元素组成的整体。
这些元素可以是任何事物、对象或观念，例如自然数、人类、动物等等。
集合以大括号{}表示，其中可以列举出集合的元素，也可以使用条件来描述集合的元素。
例如，在自然数集合N={1, 2, 3, ...}中，可以找到无穷多个元素，每个元素都是一个自然数。
在这个例子中，集合N包含了所有自然数。
二、集合的性质1. 互异性：集合中的元素是独一无二的，没有重复的元素。
如果有两个或多个元素是相同的，就只算作一个元素。
2. 无序性：集合中的元素之间没有先后顺序的排列，也就是说，集合中元素的位置不影响集合本身的性质。
3. 包含关系：一个集合可以包含另一个集合，我们将包含一个集合的集合称为父集合，而被包含的集合称为子集合。
两个集合相等的条件是它们有相同的元素。
4. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。
空集是每一个集合的子集。
5. 万有集：包含所有可能元素的集合被称为万有集，通常用U表示。
万有集是每一个集合的父集。
三、集合的应用集合的概念和性质在数学和其他领域中有着广泛的应用。
1. 数学中的集合论：集合论是数学的一个重要分支，它研究集合的性质、关系和操作。
集合论不仅仅是纯粹的数学理论，还在数学的各个分支和其他科学领域中起着重要的作用。
2. 数据分析与统计学：在数据分析和统计学中，集合被用来描述和分类数据。
通过将数据分组为不同的集合，我们可以更好地理解和分析数据的特征和规律。
3. 社会科学中的分类与归类：在社会科学研究中，集合概念可以用来对社会现象进行分类和归类，帮助我们理解和研究社会的各个方面，例如人口统计学、社会学和经济学等。
集合的含义与表示
集合的含义与表示一、导入：二、例题精讲●考点一 集合的三要素1.集合及元素的含义（1）元素：我们把研究对象统称为元素，一般用小写字母 b a 、来表示.（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合，一般用大写字母 B A 、来表示.2.集合与元素的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作A a ∈.（2）不属于：如果a 不是是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉.（3）空集：不含任何元素的集合叫做空集，用记号Φ表示.比如：不等式的解集：31<<x ；所有正方形构成的集合；201-之间的所有素数。
3.集合三要素①确定性：集合的元素必须是确定的，比如说“中国的直辖市”构成集合，“身材较高的人”不能构成集合。
②互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能重复出现。
③无序性：集合中的元素与顺序无关。
比如说{1,2,3}和{1,3,2}表示同一个集合。
例1.1.下列所给出的对象能构成集合的有（ ）A.所有的正三角形；B.高一数学必修I 课本上的所有难题；C.比较接近1的正整数全体；D.某校高一年级的16岁以下的学生；E.c a b a ,,,；F.参加北京奥运会的年轻运动员；G.平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合.2.设集合},4,1{2t t A =，若A ∈4，求t 的值．【变式训练】已知}33,)1(,2{22++++=a a a a A 且A ∈1，求实数a 的值.●考点二 集合相等两个集合相等的含义：①两个集合元素的个数相等；②对于其中一个集合的任意一个元素，在另一个集合里也能找到这个元素.例2.已知},2,2{},,,2{2b a N b a M ==且N M =，求b a ,的值.【变式训练】设R b a ∈,，集合},,0{},,1{b ab a b a =+，则求a b -的值.●考点三 集合的表示1.常用数集的表示N 表示：非负整数集（自然数集）； +N 或*N 表示：正整数集；Z 表示：整数集； Q 表示：有理数集； R 表示：实数集.2.集合的表示方法（1）列举法:把集合的元素一一列举，写在大括号内.比如：}3,2,1{注意：①元素与元素之间用逗号“，”隔开； ②集合的元素必须是明确的【确定性】；③元素书写的顺序是任意的【无序性】； ④集合的元素可以表示任何事物；⑤对含有较多元素的集合，如果元素之间有明显的规律，可以先写出部分元素，但是必须能体现元素间的规律，再用省略号表示，如},3,2,1{* =N .（2）描述法：把集合所具有的属性写在大括号内，分为文字描述法和符号描述法。
集合概念的名词解释
集合概念的名词解释集合是数学中最基本的概念之一，它不仅在数学中具有重要的地位，还广泛应用于其他学科和日常生活中。
本文将介绍集合的概念、表示方法、运算和性质，以及集合在实际问题中的应用。
一、集合的概念集合是由一些特定对象组成的整体。
这些对象可以是任何事物，如数字、字母、人、动物等等。
集合中的每个对象被称为集合的元素，元素可以重复，但在一个集合中每个元素只能出现一次。
集合可以用大括号{}表示，括号内列举集合的元素。
例如，集合A可以表示为A={1, 2, 3, 4, 5}，其中的元素分别为1、2、3、4和5。
二、集合的表示方法除了用列举元素的方式表示集合外，还可以用描述性的方式表示集合。
描述性表示法通常使用变量和条件来定义一个集合。
例如，可以用集合B表示"所有小于10的正整数"，可以写成B={x | x是小于10的正整数}。
三、集合的运算集合之间可以进行各种运算，常用的集合运算有并集、交集、差集和补集。
并集是指将两个集合的所有元素合并成一个新集合。
如果集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则它们的并集为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
交集是指两个集合中共有的元素构成的新集合。
若集合C={2, 3, 4}，则集合A和C的交集为A∩C={2, 3}。
差集是指从一个集合中减去另一个集合中的元素得到的新集合。
若集合B和C的差集为B-C，则B-C={4, 5}。
补集是指相对于某个全集，除去一个集合中的元素后剩下的元素。
若全集为D={0, 1, 2, 3, 4, 5}，集合A的补集为D-A={0}。
四、集合的性质集合具有一些基本性质，这些性质有助于我们理解和处理集合相关的问题。
（1）子集关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集。
用符号表示为A⊆B。
若集合A是集合B的子集但两个集合不相等时，则称A为B的真子集，用符号表示为A⊂B。
（2）并、交运算的交换律和结合律：并集和交集运算满足交换律和结合律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
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作业 集合的含义与表示
1、下列各项中，不能构成集合的是（ ）
A ．所有的正数
B ．等于2的数
C ．接近于0的数
D ．不等于0的偶数
2、下面有四个命题中正确命题的个数为（ ）：
（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；
（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1；
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
3、若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
4、已知集合A ＝{x∈N ＋|－5≤x≤5}，则必有 ( )
A.－1∈A
B.0∈A
C.3∈A
D.1∈A
5、（2012江西）集合{1,1},{0,2}A B =-=，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈的元素个数是（
） A 、5 B 、4 C 、3 D 、2
6、（2013山东）集合{0,1,2},{|,}A B x y x A y A ==-∈∈，则B 的元素个数是（ ）
A 、1
B 、3
C 、5
D 、9
7、已知正数a,b,c,d 是某集合的四个元素，则以它们为四边长的四边形可能是（ ）
A 、长方形
B 、平行四边形
C 、菱形
D 、梯形
8、由实数x,-x,|x|,2x ,-33x 所组成的集合，最多含有元素的个数为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9、设集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=N n x x n ,31
|,若A x A x ∈∈21,,则必有（ ）
A. A x x ∈+21
B.A x x ∈21
C. A x x ∈-21
D. A x x ∈2
1
10、下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( )
A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋1＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0}
B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R}，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R}
C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R}，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R}
D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z}，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z}
11、用,∈∉填空：01()___3N ； 22013___{|1,}x x n n N =+∈； 2
(1,1)___{|}y y x -=；
Q ；{}|,,x x a a Q b Q =∈∈
12、用列举法表示集合：M m m Z m Z =+∈∈{|,}10
1= 。
13、（2013江西）若集合2{|10}x ax ax ++=只有一个元素，则a =__________。
14、若集合2{|20}x x x a -+=有两个元素，则a 的范围是_____________。
15、若{}1,3,132+-∈-m m m ，则m=_________。
16、已知集合P={}1,0,1,2--，集合Q={},,|p x x y y ∈=则Q=______________。
17、已知集合M={}4,433,222-+-+-x x x x ，若2∈M,则x =_________。
18、设集合A={x, x 2,y 2－1｝,B=｛0,|x|,y ｝且A=B,则x= , y= 。
19、集合2{2,3,23}A a a =--，}2|,12{|-=a B ，已知B A ∉∈55且，则实数a 的值为__________。
20、集合A 中的元素y 满足y∈N 且y ＝－x 2＋1，若t∈A，则t 的值为__________。
21、已知P ＝{x|2＜x ＜a ，x∈N}，已知集合P 中恰有3个元素，则实数a 的范围是________________。
22、已知集合2{|430}A x ax x =--=。
（1）若A 只有一个元素，求a 的值；（2）若A 至少有一个元素，
求a 的范围；（3）若A 至多有一个元素，求a 的范围。
23、含有三个实数的集合M 可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,
a b a ，也可表示为{}0,,2b a a +，求20112012a b +的值。
24、已知集合{}{}
22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+只有一个公共元素-3，求实数a 的值。
25
、集合{|,}A x x a a b Q ==+∈，且12,x x A ∈。
（1）判断12x x 和12x x 是否属于A ；（2
）若{|,}B x x a a b Z ==+∈,判断12x x 和12
x x 是否属于B 。