第一章章 综合复习学案

本章复习学案
1.会求集合的交、并、补运算问题.
2.能根据函数的解析式求函数的定义域和值域.
3.掌握分段函数求值、分段函数方程的解法.
4.能综合运用函数的单调性和奇偶性解决相关问题.
专题一 集合的关系与集合的运算
1.对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B （或B ⊇A ）.
2.如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ）.
3.一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A ∪B . 数学语言表示为A ∪B ={}B x A x x ∈∈或,| .
4. 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B .数学语言表示为A ∩B ={}B x A x x ∈∈且,| .
5.对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作C U A ， 数学语言表示为C U A ={}A x U x x ∉∈且,| .
例1：设全集U =R ,A ={x |x ≤2}，B ={x |x >－1}．
(1)求A ∩B 及A ∪B ；
(2)求C U (A ∩B )及C U (A ∪B )．
提出问题：
1、涉及连续数集的交、并、补运算时，一般思路是什么？
结论：在数轴上把数集表示出来，运用数形结合的思想方法，直观形象得出结论，并写出过程。

2、请同学们在数轴上把集合A ,B 表示出来，数形结合，依据集合运算的定义写出解题过程. 结论：例1：(1)如图1.4-1-1，利用数轴可直观地得到结果：
A ∩B={}21|≤<-x x ； A ∪B=R
(2)C U (A ∩B )={}2,1|>-≤x x x ； C U (A ∪B )=Ø
例2：设全集U =R ，集合A ={}1|>x x ，B ={}0|<+a x x ，且B (C U A )，求实数a 的取值范围. 提出问题：
1、C U A 如何表示？集合B 的最简形式是什么？
结论：1、C U A={}1|≤x x ；B={}a x x -<|
2、B (C U A )的含义是什么？请写出本题的解题过程.
结论：
2、B (C U A )的含义集合B 是集合C U A 的子集，即集合B 中的每一个数都是集合C U A 中的数。

例3：若集合A ={}
72,4,223+--a a a B = ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+++---
+-+62),83(21,22,1,12322a a a a a a a a ，且A ∩B ={}5,2 ，则a = . 提出问题： 1、.A ∩B ={}5,2 ，根据集合交集运算的定义，722
3+--a a a 的值是什么？如何解这一方程？ 结论：
2、由上面的问题，我们得出A ={}5,4,2,由题意知，2和5这两个元素也一定在集合B 中，那么集合B 中的哪个元素等于2？哪个元素等于5？本题怎么求解比较方便？请给出解答过程.
结论：
例4：设集合A ={a |a =3n +2,n ∈Z }，集合B ={b |b =3k －1,k ∈Z }，试判断集合A ，B 的关系．
提出问题：
1、两个集合A 与B 间的关系有哪些情况？
结论：
2、如何说明两个集合A ，B 相等？
结论：
3、3n +2,n ∈Z 与3k －1,k ∈Z 有什么关系？请写出本题的解题过程.
结论：
专题二 函数的定义
1. 一般地,设A ，B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =f (x ),x ∈A .其中x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.显然，{f (x )|x ∈A }⊆B .
2.已知函数的解析式求定义域时，常涉及的解题依据有：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数为非负数；③实际问题要考虑实际意义；④如果f (x )是由几个数学式子构成的，其定义域为使每个数学式子都有意义的x 的取值集合；⑤对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；⑥零指数幂的底数不为0.⑤⑥在本书后面即将学习.
3.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.
例5：求下列函数的定义域：
（1）y =2
11x -+4+x ；（2）y =.|3|5--x 提出问题：本例中求函数定义域要满足哪些条件？结果有什么要求？请写出本题的解答过程. 结论：
例6：(1)已知函数f (x )的定义域为(-1,0)，则函数f (2x +1)的定义域为( )
A.(-1,1)
B.（-1-21）
C.(-1,0)
D.（2
1，1） (2)已知函数y =f (2x －1)的定义域为［－1,1］，则函数y =f (x )的定义域为 .
提出问题：求抽象函数的定义域有什么依据？请据此写出题目的解析过程.
结论：
例7：求函数y =x +1-x 的值域.
提出问题：1.函数y =x +1-x 的定义域是什么？
结论：
提出问题：2.函数y =x ,y =1-x 和函数y =x +1-x 在［1,+∞)上的单调性如何？
结论：
提出问题：3.如果一个函数f (x )在区间[a,b]上单调递增，它的值域如何确定？据此写出本题结果. 结论：
例8：判断下列函数是否表示同一函数？
（1）f (x )=1与g (x )=
x
x ；（2）f (x )=2x 与g (t )=|t |． 提出问题：
1、要判断两个函数是否表示同一函数，需要分析哪几个方面？
结论：
2、这两组函数的定义域分别是什么？如何观察对应关系是否一致？你能对两组函数作出判断吗？ 结论：
专题三 分段函数
有些函数，在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数.
例9：求函数f (x )=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<-)21( ,2)10 ( ,)0(
,11x x x x x 的定义域和值域.
提出问题：
1、分段函数的定义域和值域如何确定？
结论：
2、根据上面的问题，请给出本题的解答过程.
结论：
例10：已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤-<-)0(
,4)0( ,32x x x x ，则f (f (6))= .
提出问题：
1、求分段函数的函数值的思路和方法是什么？
结论：
2、对于多重函数求值的问题，解决的顺序是什么？请写出本题的解析过程.
结论：
例11：设f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤-<)0( ,12
1)0(
,1x x x x ，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是 ． 提出问题：
1、如何写出f (a )的表达式？
结论：
2、由f (a )>a 可以建立关于a 的不等式，求解的结果要注意什么问题？
结论：
3、请给出本题的解析过程.
结论：
例12：作出函数y =|x －2|(x +1)的图象.
提出问题：
1、含有绝对值的函数式，一般要去掉绝对值符号，本例中去绝对值符号的分类标准是什么？ 结论：
2、将函数的绝对值符号去掉并化简，可得到什么形式？
结论：
3、如何画分段函数的图象，据此解答本题.
结论：
专题四函数的性质
1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
2.一般地，如是要对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
3.偶函数的图象关于y轴对称，在两个对称的区间上单调性相反；奇函数的图象关于坐标原点对称，在两个对称的区间上单调性相同.
例13：设定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1-m）＜f（1），求实数m的取值范围.
提出问题：
1、f（x）是偶函数，且在区间[0，2]上单调递减，那么f（x）在它的对称区间上有什么样的单调性？结论：
2、1－m有什么范围限制？x=1－m与x=1一定在同一个单调区间内吗？
结论：
3、如果1－m∈[0，2]，此时可得到什么结论？如果1－m∈[-2，0] 呢？由此写出本题的解答过程.
结论：。