理想气体麦克斯韦速率分布.
大学物理,气体动理论14-06 麦克斯韦气体分子速率分布律
i ~ i 1
N i
N i N
5
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克 斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻 耳兹曼由经典统计力学导出。 由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布 的实验，直到20世纪二十年代才实现。 1920年斯特 恩首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物 理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年 密勒和库士测出钍蒸汽分子的速率分布。 斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分 布律的实验。实验证实了麦克斯韦的分子按速率分 布的统计规律。
14.6 麦克斯韦速率分布律
一 测定气体分子速率分布的实验
第14章 气体动理论
实验装置
接抽气泵
2
l v
Hg
金属蒸汽 狭 缝
v l
显 示 屏
8
l
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
9
14.6 麦克斯韦速率分布律
测量原理
第14章 气体动理论
(1) 能通过细槽到达检测 器的分子所满足的条件 L v L v (2) 通过改变角速度ω的 大小，选择速率 v
28
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
求：速率在 v1 ~ v2 之间的分子的平均速率。
(3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间 L v v 2
(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比 相应速率下的分子数。
10
14.6 麦克斯韦速率分布律
速率区间 (m/s) 实验数据 氧分子在 273K时的 速率分布
麦克斯韦速率分布
一般气体、液体、固体及在恒定外场中的经典系统，
只要系统的能量可写成：
分子的动量分量
E
3N
i 1
Pi2 2m
U
(q1 , q2 ,
qi
,
)
广义坐标
分子间相互作用的能量及在外场中的势能之和
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年 在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中导 出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦速率分布律。
但由前面 u2 u2 知，vrms v 总成立
例1．速率分布函数 f 的v物理意义为：
（Ａ）具有速率v 的分子占总分子数的百分比． （Ｂ）速率分布在v 附近的单位速率间隔中的
分子数占总分子数的百分比．
（Ｃ）具有速率v 的分子数． （Ｄ）速率分布在 v 附近的单位速率间隔中
的分子数．
3
)2
exp(
m1v12 2kT
)
v12dv1
注意
dN 2 N2
f (v2 )dv2
4
(
m2
2 kT
3
)2
exp(
m2v22 2kT
)
v22dv2
混合气中各组分的麦氏分布率不一样，但有一点一定相同：
混合气达到平衡后，各组分的温度T必然相同。
7. 统计物理证明，麦氏分布率不仅适用于理气，也适用于
速率分布函数为：
麦克斯韦速率分布概率密度
f (v) 4 (
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2
2 kT
2kT
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
麦克斯韦速率分布律
理气
d(m )F (器 dt壁）
真实气体 d (m ) (F 器 壁 f 内 部 )d t 分 子
pi
β
a
修正为
RT
Pb Pi
由于分子之间存在引力 而造成对器壁压强减少 内压强 P i
基本完成了第二 步的修正
内压强 1) 与碰壁的分子数成正比 2) 与对碰壁分子有吸引力作用的分子数成正比
解： 已知 T27 K,3 p1.0at m 1.01 1350 P,a d3.51 0 1m 0
kT 2d 2 p
1 .4 1 3 .1 1 . 3 4 (3 .5 8 1 1 2 0 3 1 0 2 )0 1 7 .0 3 150 6 .9 1 8 0 m
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
例 计算在 27C时，氢气和氧气分子的方均
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦速率分布律: 1、速率分布率的实验测量 2、 分布函数及其意义 3、 麦克斯韦速率分布函数 4、 速率分布函数的应用
1.测定气体分子速率分布的实验
m ( H 2 ) m ( O 2 )
o
2000 v/ms1 vp(H 2)vp(O 2)
vp(H2) vp(O2)
气体的分子速率与理想气体状态
气体的分子速率与理想气体状态气体是由大量的分子或原子组成，它们在自由状态下运动，并且具有很高的能量。
分子速率是描述气体分子运动速度的物理量，而理想气体状态是指满足理想气体方程的气体。
一、气体的分子速率气体分子速率是指气体分子在三维空间内的速度。
根据动能定理，分子平均动能（E）与其速率（v）之间存在以下关系：E=mv²/2。
其中，m是分子的质量。
气体分子速率的大小与气体分子间的平均距离和温度有关。
根据理论推导和实验研究，我们可以得出以下结论：1. 分子速率与温度正相关：根据麦克斯韦速率分布定律，气体分子的速率服从高斯分布曲线。
当温度升高时，高速分子占比增加，低速分子占比减少，平均速率也随之增加。
2. 分子速率与分子质量反相关：相同温度下，分子质量较小的气体分子具有更高的速率。
因此，分子速率与分子质量成反比。
3. 分子速率与气体密度无关：无论气体密度如何，气体分子的速率不会受到密度的影响。
因此，在相同温度下，不同压力下的气体分子速率是相等的。
二、理想气体状态理想气体状态是指满足理想气体方程（PV=nRT）的气体状态。
其中，P为气体压强，V为气体体积，n为气体的物质的量，R为气体常数，T为气体的绝对温度。
理想气体状态的特点包括：1. 分子间无相互作用：理想气体假设分子间没有相互作用力，分子之间的碰撞相互独立，不会发生能量损失。
2. 分子运动自由无碰撞：理想气体中的分子可自由运动，并且分子之间的碰撞是完全弹性碰撞。
这种假设使得理想气体的分子速率与分子间的相对位置无关。
3. 体积可忽略：理想气体的分子体积可以忽略不计，气体分子间的距离远大于分子自身的体积。
理想气体状态方程（PV=nRT）是描述理想气体行为的数学关系，它建立了气体的物态方程，使得我们可以通过测量气体的P、V、T等参数来计算气体的物质的量和常数R。
综上所述，气体的分子速率与理想气体状态密切相关。
分子速率受温度和分子质量的影响，而理想气体状态满足理想气体方程，描述了满足一定条件下的气体性质及行为。
能量均分原理麦克斯维速率分布率.ppt
z
P(x, y, z)
y
cos2 cos2 cos2 1
x
的限制，转动自由度只有两个，r=2
两个刚性质点总自由度数 i t r 3 2 5 6
3.三个或三个以上的刚性质点
需3个平动自由度和3个转动自由度。
平动自由度 转动自由度 总自由度
t=3 r=3 i=t+r=6
分子数占总分子数的百分比。 麦克斯韦首先从理论上推导出理想气体的 速率分布函数。
21
三、麦克斯韦速率分布律的应用
利用麦克斯韦速率分布率可计算最可几速率、方
均根速率、平均速率等物理量。
1.最可几速率vP
气体分子 f (v)
最可几速率表 示在该速率下分子出 现的概率最大。
各种运动速率都 有，在哪个速率 下出现的概率最
- 归一化条件。
0
f (v )dv 0
dN Ndv
dv 1 N
0N dN
N N
1
f (v)
o
v
分子在整个速率区间内出现的概率为 1 。
20
二.速率分布函数的物理意义
f (v) dN Ndv
•表示在速率 v 附近，单位速率区间内分
子出现的概率，即概率密度。
•或表示在速率 v 附近，单位速率区间内
双原子分子理想气体，其密度为 ρ=1.24 ×10－2kg/m3。
求（1）方均根速率，（2）气体的摩尔质量,(3)平均平
动动能和转动动能是多少？(4)0.3mol的该气体内能是多
少？
解：由
P
1 3
nm0 v2
1 3
v2
麦克斯韦气体速率分布律
v Z
二、平均自由程和平均碰撞次数的计算
1、平均碰撞次数 假定 每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。
只有某一个分子A以平均速率 其余分子都静止。
d d d
v
运动，
v
A
v
v
A
v
d
d d 球心在圆柱 体内的分子
运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将 与分子A 碰撞
一秒钟内: 分子A经过路程为 v 2 相应圆柱体体积为 d v 圆柱体内 2 2 d v n Z d v n 分子数
vf (v )dv
8kT 8 RT RT v 1.60 m M M
3、方均根速率 (1)定义： 大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做 方均根速率。 (2)计算：
v2
2 v dN
N
2
2 v Nf (v )dv
N
v 2 f (v )dv
vrms
3kT 3 RT RT v 1.73 m M M
麦克斯韦 速率分布函数
3 2
mv 2
v
2
m——分子的质量 T——热力学温度 k——玻耳兹曼常量
三、三种统计速率
1、最可几速率vP (1) 定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最可几 速率或最概然速率。 (2) 物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的
小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率最大。
速率分布函数
(2) 物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总
分子数的概率，或概率密度。
dN f (v )dv N v2 N ＝ f (v)dv N v1
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率 表示速率分布在v1→v2内的 分子数占总分子数的概率
麦克斯韦速率分布定律
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
麦克斯韦气体分子速率分布律
问题3：容器内N个分子的速率分布有什么规律？ 1
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但大 量分子从整体上会出现一些统计规律。
1859年，麦克斯韦用概率论证明了在平衡态下，理 想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯 韦速度分布律，若不考虑分子速度的方向，则叫麦克 斯韦速率分布律。
若要将气体分子按速率分布准确描述，则需要将
速率区间尽可能取小，当Δv→0时，即取dv为分子速
率区间，其相应分子数为dNv。
则任一速率区间（v→v＋dv）间内的分子出现的概率
为
dN v
N
这概率在各速率区间是不同的，它应是速率 v 的函数，
并且与区间的大小dv成正比
dNv f (v)dv N
其中 f(v) 称为分子的速率分布函数。
第七章 气体动理论
v
4 3/2
a3/2
v3eav2 dv
0
利用积分公式 x e dx 3 ax2 1
0
2a2
v
4
1/2
a3/2
1 2a2
2
a
8kT
m
由
k R NA
和 M NAm
得： v 8kT 8RT 1.59 RT －平均速率
m M
一、速率分布函数
按统计假设，各种速率下的分子都存在，用某一 速率区间内分子数占总分子数的百分比，表示分子按 速率的分布规律。
1.将速率从 0→∞ 分割成很多相等的速率区间。 2
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
一、速率分布函数
第七章 气体动理论
麦克斯韦气体分子速率分布律
速率区间 （m/s）
100以下 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 600～700 700～800 800～900
900以上
分子数出现的概率 ΔN/N
0.014 0.081 0.165 0.214 0.206 0.151 0.092 0.048 0.020 0.009
25
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于 电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著 《论电和磁》，并于1873年出版。1871年受聘为剑桥 大学新设立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著 名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室 的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。
(v)dv
N
v1
N
表示在速率v1～v2速率区间内， 分子出现的概率。
(4)
v2
Nf (v)dv N
表示在速率v1 ～ v2速率区间内， 分子出现的个数。
v1
20
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
麦克斯韦速率分布律的实验 验证
麦克斯韦在 1860 年 从理论上预言了理想气 体的速率分布律。60 年 后，也就是 1920 年斯特 恩通过实验验证了这一 规律，后来密勒和库将 实验进一步完善。
ΔN→0
v
N vdN
vf (v)dv
0N
0
14
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
2.平均速率 v
v 0 vf (v)dv
代入麦克斯韦理想气体的速率分布函数：
v 4
m
3
/
2
7-(4-5)麦克斯韦速率分布.
f (v)
f ( v ) dN N dv
v ~ v dv v p
v
2)
f (v)dv 1
0
3) f (v) 极大值处对应的速率 最概然速率 v p v p 附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比最大
第六章 气体动理学理论 1895，麦克斯韦应用统计方法推导出速率分布定律。
0
v0 0
6 v03
v
3 (v0
v)dv
3 10
v02
方均根速率为
v2
3 10v0
(3) 速率介于0~v0/3之间的分子数
f
(v)
6
v03
v(v0
v)
0
0 v v0 v v0
v0
v0
6
7N
N
dN
3 Nf (v)dv
0
3 0
N
v03
v(v0
m
2 方均根速率
第六章 气体动理学理论
v2 大量分子速率的平方平均值的平方根
v2
v 2dN
0
v2 f (v)dv
N
0
v2 4
m
3
/
2
e
mv 2 2kT
v2dv
4
m
3/ 2
v
4
e
mv 2 2kT
dv
0
2kT
1 2
mv 2
Nf
(v)dv
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
麦克斯韦速率分布定律ΔN
f(v) T1
T2(> T1)
f(v) μ2(> μ1) μ1
O
v p1 v p2
vO
v p2 v p1
v
例 氦气的速率分布曲线如图所示。
求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况； (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率。
解 (2) v p
2RT M
RT 2 103
1、速率分布函数 f(v)
设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区
间内分子数的比率为
dN N
f
(v ) dv
f (v) dN Ndv
f(v)
称为速率分布函数
分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总分子数比率
讨论 分子束中的速率分布和容器中的是否相同？
2、 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下，分子速率分布函数
df (v ) 0 dv vvp
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
M
M
2. 平均速率
v
v
dN N
1 N
0 v Nf (v
)dv
v
v f (v )dv
8kT 1.60
RT
0
π
M
3. 方均根速率
v 2
v
2
f
(v
)dv
3kT
0
μ
说明
v 2 3kT 1.73 RT
分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
(7)曲线下面的总面积, 等
2019精品平衡态下,理想气体分子速度分布是有规律的,这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方
tl v
v l
而其他速率的分子则将沉积在槽壁上，小孔充
分小，改变角速度，用光度学方法测量各次在胶
片上所沉积的金属层厚度，可得气体速率分布。
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粒子速率分布实验曲线如下所示：
相对粒子数
O
v
粒子速率分布实验曲线
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二、 速率分布函数
1.研究气体分子的速率分布 • 把速率分成若干相等区间 • 求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 • 各区间的分子数占气体分子总数的百分比
现在
W v ＝ 99 vp 100
W v ＝ 1 vp 50
把这些量值代入，即得
N ＝ N
4 π
99 100
2
e
99 100
2
1 1.66% 50
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选择进入下一节 §5-0 教学基本要求 §5-1 热运动的描述 理想气体模型和物态方程 §5-2 分子热运动和统计规律 §5-3 理想气体的压强和温度公式 §5-4 能量均分定理 理想气体的内能 §5-5 麦克斯韦速率分布律 *§5-6 麦克斯韦-玻耳兹曼能量分布律 重力场中粒
§5-5 麦克斯韦速率分布律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
一、分子速率的实验测定
A
j
P
恒
狭
温 箱
缝
S
B
C
显 示
屏
l
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当圆盘以角速度 转动时，只有满足下列关系
式的分子才能通过C的狭缝射到屏P上。
lim f (v)
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布（Maxwell velocity distribution）是描述理想气体分子速度分布的一种概率分布函数。
它是根据麦克斯韦速度分布定律得出的。
麦克斯韦速度分布定律认为在一定温度下，气体分子速度的分布呈现高斯分布。
其概率密度函数表达式为：
f(v) = (m / (2πkT))^(3/2) e^(-mv^2 / (2kT))
其中，f(v)表示速度为v的分子的概率密度，m表示分子的质量，T 表示气体的绝对温度，k为玻尔兹曼常数。
根据麦克斯韦速率分布，可以得到以下几个特点：
1. 速度分布的峰值出现在平均速度处；
2. 随着温度的增加，峰值变得更加平坦，速度分布的范围扩大；
3. 随着分子质量的增加，速度分布的峰值下降，分布的范围变窄。
麦克斯韦速率分布在研究气体的热运动性质以及计算气体的宏观性质时非常有用。
二维平面的麦克斯韦速率分布
二维平面的麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布是一种描述理想气体中不同速率分子的概率分布的数学模型，能够很好地解释气体热学性质、动力学性质和传输性质。
它最早由麦克斯韦于1860年提出，是理想气体动力学的重要基础。
二维平面中的麦克斯韦速率分布与三维空间的情况类似，但存在一些不同之处。
本文将重点介绍二维平面中的麦克斯韦速率分布。
首先，需要了解二维平面上的分子速度是矢量，其大小为速率，给定两个方向分量。
因此，需要以速率的大小为自变量而非速度的大小。
对于具有质量m、速率为v的单个分子，其具有的能量为Ek=1/2mv2，因此速率在(v,v+dv)范围内的分子具有的能量区间为(Ek, Ek+dEk)。
在单位面积中，速率处于(v,v+dv)的分子数可以通过以下方程计算：dN = 2πN (m/2πKT) exp(-mv2/2KT) vdvdθ其中，N为单位体积中的分子数，m为单个分子的质量，T为温度，K为玻尔兹曼常数，θ为速率的方向角。
这个方程的前半部分2πN代表速率和方向角两个自由度。
因此，在任何一个方向上，单位面积中的分子数将是2πN。
后半部分的指数函数代表了分子能量与温度的关系。
因此，对于一个给定的温度，速率较高的分子所占比例相对较小。
二维平面中麦克斯韦速率分布的大小是由分子在两个方向上的速率来描述的，因此需要乘以2πv。
因此，单位面积中速率为v的分子在速率方向上的数目可以写成以下形式：其中，dvdvθ表示单位面积范围内速率为(v,v+dv)、方向角为(θ,θ+dθ)的分子所占的体积分数。
由于在速率方向上，每个分子都可以被描述为一个面积为2πv的圆，因此需要乘以该因子来取得正确的分子数量。
这个方程被称为二维平面麦克斯韦速率分布函数，描述了单位面积中速率在(v,∞)范围内的分子数。
因为单位面积中速率的数量与速率平方成比例，因此，速率的平均值为：<v> = ∫vN(v)dv / ∫N(v)dv=<v2>1/2 = (2KT/πm)1/2其中，<v>表示速率的平均值，<v2>表示速率平方的平均值。
麦克斯韦速率分布函数的物理意义
麦克斯韦速率分布函数的物理意义速率分布函数[1]是⼀个描述分⼦运动速率分布状态的函数。
⼀个符合玻尔兹曼分布的粒⼦体系，如理想⽓体，其体系中粒⼦运动速率的分布可以⽤如下的速率分布函数来描述：通常速率分布函数也采⽤依动量和依动能分布的形式，虽然形式上有所不同但因为动量动能和速率的相关关系，这些表达⽅式本质上和依速率表⽰的速率分布函数还是⼀样的在处理某些特殊体系的情况下可能会⽤到⼆维和⼀维的速率分布函数，如固体表⾯吸附的理想⽓体就可以看做是在⼆维平⾯上运动的⼀个⼆维独⽴粒⼦体系，当处理这个体系有关分⼦运动速率的问题的时候就要⽤到⼆维速率分布函数在平衡状态下,当分⼦的相互作⽤可以忽略时,分布在任⼀速率区间v～v+△v间的分⼦数dN占总分⼦数N的⽐率（或百分⽐）为dN / N .dN / N是v 的函数,在不同速率附近取相等的区间,此⽐率⼀般不相等.当速率区间⾜够⼩时（宏观⼩,微观⼤）,dN / N 还应与区间⼤⼩成正⽐：其中f(v)是⽓体分⼦的速率分布函数.分布函数f(v)的物理意义是：速率在v 附近,单位速率区间的分⼦数占总分⼦数的⽐率.分布函数f(v)满⾜归⼀化条件：⼤量分⼦的系统处于平衡态时,可以得到速率分布函数的具体形式：式中T是热⼒学温度,m为分⼦质量,k为玻尔兹曼常数.上式就是麦克斯韦速率分布律.麦克斯韦速率分布是⼤量分⼦处于平衡态时的统计分布,也是它的最概然分布.⼤量分⼦的集合从任意⾮平衡态趋于平衡态,其分⼦速率分布则趋于麦克斯韦速率分布,其根源在于分⼦间的频繁碰撞.上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)⽰意图,曲线下⾯宽度为dv 的⼩窄条⾯积等于分布在此速率区间内的分⼦数占总分⼦数的⽐率dN/N .我们可以看到：同⼀种理想⽓体在平衡状态下,温度升⾼时速率分布曲线变宽、变平坦,但曲线下的总⾯积不变.随着温度的升⾼,速率较⼤的分⼦在分⼦总数中的⽐率增⼤.同⼀温度下,分⼦质量m越⼩,曲线越宽越平坦,在分⼦总数中速率较⼤的分⼦所占⽐率越⾼.。
(24) 麦克斯韦气体分子速率分布定律 2
vv1 ~ v2 vf (v )dv
v2 v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
g(v )
0
g(v ) f (v )dv
0
f (v )dv
（24）麦克斯韦速率分布律、三大速率 思考题：解释下列表达式的含义 ① f (v )dv 表示分布在速率v 附近
气体动理论
v0 3 0 v0 3 0
vdN dN
v0 3 0
6 2 N 3 v (v 0 v )dv v0 3v 0 7 N 27 14
（24）麦克斯韦速率分布律、三大速率
气体动理论
讨 速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算 论
vv1 ~ v2
v2
v1 v2 v1
vf (v )dv f (v )dv
气体动理论
实验装置
接抽气泵
2
l v
Hg
金属蒸汽 狭 缝
v l
显 示 屏
l
2
（24）麦克斯韦速率分布律、三大速率 (3)速率介于0~v0/3之间的分子数
气体动理论
N dN Nf (v )dv
v0 3 0
v0 3 0
6 7N N 3 v (v 0 v )dv 27 v0
(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子平均速率为
v 0 ~ v0
3
N /( Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
（24）麦克斯韦速率分布律、三大速率
气体动理论
N 1 N 1 dN 分布函数 f ( v) lim lim v0 Nv N v0 v N dv
2.4麦克斯韦速度分布
•因为f（vx ，vy，vz)= • f(vx)dvxdvx· f(vy)dvy· f(vz)dvz •麦克斯韦速度分布有
m f (vi )dv i 2kT
1/ 2
mv i2 exp 2kT dv i
其中Hale Waihona Puke 可分别代表x、y、z。0
x
误差函数erf(x)有表可查
• [例2.2] 试求在标准状态下氮气分子速 度的x分量小于800m· s-1的分子数占全部 分子数的百分比.
• [解] 首先求出273 K时氮气分子（摩尔 质量Mm=0.028 kg）的最概然速率 .
2 RT vp 402m s 1 Mm
vx 800 ux ~2 vp 402
• ●欲求分子速度的x分量在vx 到vx+dvx内而vy、、 vz任意的分子数dN(vx), • 这就是速度空间中垂直于x 轴的无穷大薄平板中 的代表点数，显然可对vy、vz积分后求出：
dN(v x ) Nf (v x )dvx
f (v y )dvy
f (v z )dvz
dN（vy）/N = f(vy)dvy • dN（vz）/N = f(vz)dvz 分别表示y及z方向速度分量的概率分布函 数。 ●根据处于平衡态的气体的分子混沌性 假设，分子速度没有择优取向，故 f（vx）、f（vy）、f（vz）应具有相同形 式。
2.3 麦克斯韦速率分布
而右边打斜条区域表示分子速率介于v1 到 内分子数与总分子数之比，其数值应该从下面 的积分求出
v1
f (v)dv
v1
m v2 2 m 3/ 2 4 ( ) exp v dv 2kT 2kT
• ●计算积分时，可利用附录2-1中的积分 公式 3 / 2 2 2
§2.3 麦克斯韦速率分布
• ●气体分子热运动的特点是 • 大数分子无规则运动及它们之间频繁地相互碰 撞， • 分子以各种大小不同的速率向各个方向运动， • 在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换动量和能 量，使每一分子的速度不断变化。 • ●处于平衡态的气体，虽然每个分子在某一瞬时 的速度大小、方向都在随机地变化着，但是大多 数分子之间存在一种统计相关性， • 这种统计相关性表现为平均说来气体分子的速率 （指速度的大小）介于 v 到v + dv 的概率（即 速率分布函数）是不会改变的
•
二、麦克斯韦速率分布（Maxwell speed distribution） ● 早在 1859 年，英国物理学家麦克斯韦利用 平衡态理想气体分子在三个方向上作独立运动 的假设导出了麦克斯韦速率公布，其表达式如 下：
m 3/ 2 f (v)dv 4 ( ) e 2kT
mv 2 2 kT
dN f (v) dv dv Ndv
• ●因为处于平衡态的分子源中气体分子的平均 速度为零， • 平均来说，每一分子均不改变空间位置， • 故f（v）dv是“静态”的速率分布。 • ●但分子束中的分子都在作匀速运动， • 说明F（v）dv是一种“动态”的分布， • 它表示了粒子通量（指单位时间内透过的分子 束中的分子数）中的速率分布。 • ●但f（v）dv与F（v）dv间存在一定关系，故 可利用实验测得的分子束速率分布图线求得理 想气体速率分布。
麦克斯韦气体速率分布律
麦克斯韦气体速率分布律Maxwell Velocity Distribution大家知道，由气体的温度公式可以得出气体分子的方均根速率。
例如在时，氦气。
氧气。
但我们要注意的是，方均根速率仅是运动速率的一种统计平均值，并非气体分子都以方均根速率运动。
事实上，处于平衡状态下的任何一种气体，各个分子均以不同的速率、沿各个方向运动着。
有的速率大于方均根速率，有的速率小于方均根速率，它们的速率可以取零到无穷大之间的任意值。
而且由于气体分子间的相互碰撞，每个分子的速度也在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。
然而就大量分子整体而言，在平衡状态下，分子的速率分布遵守一个完全确定的统计性分布规律又是必然的。
下面我们介绍麦克斯韦应用统计理论和方法导出的分子速率分布规律。
气体分子按速率分布的统计规律，最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中也导出该规律。
由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到本世纪二十年代才实现。
1920年斯特恩（O.Stern首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier和库士（Kusch测出钍蒸汽分子的速率分布。
斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。
限于数学上的原因和本课程的要求，我们不推导这个定律，只介绍它的一些基本内容。
*麦克斯韦（J. C. Maxwell，1831—1879）英国物理学家，经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。
他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，这个理论包括电磁现象的所有基本定律，并预言了以光速传播的电磁波的存在。
1873年，他的《电磁学通论》问世，这本书凝聚着杜费、富烂克林、库仑、奥斯特、安培、法拉第……的心血，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。
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dA
x
vi dt
dI= 2 mnivix2 dt dA = mdt dA ( nivix2 + nivix2) = mdt dA n v 2 i ix vix>0 vix<0 i (vix>0) P= = nm vx2 = 1 nm v2 = 2 n( 1 m v2 ) = 2 n t dt dA 3 3 2 3
i
dN N n dV V
v x ni v ix
ni 0
i
ni
i
2 v2 n v x i ix i
2 x 2 y 2 z
ni
i
v x v y vz 0
v 0
1 2 v v v v 3
1 考察速度在 vi vi vi 区间的分子
该区间的数密度为：ni dA 法向为 x 轴 2m vix a 单分子： 一次碰撞动量变化 b 集体行为 在 dt 时间内与dA碰撞的分子数 ni vix dt dA dI = 2 mnivix2 dt dA 相应的冲量 2 考察整个速度区间 总的数密度为 n ni
i
§ 3 理想气体压强和温度
三. 理想气体的微观模型 1. 单个分子的力学性质的假设
a ) 分子当作质点； b ) 无相互作用场； c ) 弹性碰撞； d ) 服从牛顿力学
2. 分子集体的统计假设 a）分子的速度各不相同，不断变化； b）平衡态时分子数密度到处一样； N: 体积 V 中的分子数 c）平衡态时分子的速度各向均匀 3. 分子速度平均值，方均值 速度数密度 ni ：单位速度区间内的分子数密度
3 8. 31 273 1836m / s -3 2.02 10 3 8. 31273 461m/ s v2 -3 32 10
§ 4 麦克斯韦速率分布律
1 速率分布函数 f(v)：单位速率区间内分子数占总分子数的比例 设总分子数N，速率区间 v ~ v+dv 内分子数 dNv
0
v 2 3kT m
2
v 2 vi
3kT v dN v 2 v f ( v )dv N m N 0 0
2
速率的任意函数的平均值
g ( v ) g(v ) f (v )dv
0
例：将麦氏分布改写成按平动动能的分布率，求最概然平动动能
解：
1 t mv 2 2
dI
3．理想气体的温度和分子平均平动动能
PV NkT
3 t kT 2
P nkT
2 温度标志物体内部分子无规运动的剧烈程度。 温度是统计概念，只能用于大量分子。 方均根速率 3kT = m =
v2
v
2
3RT
例.在 0 oC 时， H2 分子 O2 分子
-
EK kT
麦克斯韦 速率分布函数图 f ( vp ) f ( v) dNV 面积= N
最可几速率
vp v v+dv
v
分布函数曲线与横轴围成的面积为1 温度与分布函数 温度越高，速率大的分子数越多
f ( v) f ( vp 1 ) T1 f ( vp 2 ) T2 f ( vp 3 )
T3
T3>T2>T1
dN v f (v ) Ndv
显然
f (v )dv 1
归一化条件
0
任何分布函数都满足归一化条件 2 理想气体 麦克斯韦 速率分布函数 温度为T 的理想气体其速率分布函数为
mv 2 2 v e 2 kT
m f (v ) 4 2kT
3/ 2
C (T )v 2e
v
vp
三个特征速率 v p v 最可几速率 平均速率
N i
v
2
m f (v ) 4 2kT
3/ 2
mv 2 2 2 kT v e
v p 2kT m
分子数最大对应的速率
v 8kT（m）
v vi N
方均根速率
N i
0
8kT vdN vf (v )dv m N
本次课的主要内容
1 理想气体的微观解释 2 理想气体压强和温度
3 麦克斯韦速率分布函数
平均值的计算
§ 2 理想气体的微观解释
必须用统计的方法寻找其统计规律 一 气体分子热运动 数密度 n=31019 个分子/dm3 分子间有一定的作用力 平均速率约 二 统计规律性 v = 500m/s ； 平均碰撞次数约 z = 1010 次/秒
大量偶然事件整体上的规律性。
定义: 某一事件 i 发生的概率为 Pi Ni ---- 事件 i 发生的 次数 N ---- 各种事件发生的 总次数
Ni Pi lim N N
统计规律有以下几个特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义 （2）它是不同于个体规律的整体规律 （3）总是伴随着涨落 ——不可能对观测量进行精确的预测
2 t v m
1
dv ( 2 t m )-1 / 2 d t
代入麦克斯韦速率分布
F ( t )d t
最概然平动动能
( kT )
-3 / 2
t
1 / 2 - t /( kT )
e
d t
dF ( t ) 0 d t
得到：
t, p
kT 2