安徽省合肥市2020年高三第二次质量检测理科数学试卷文字版含解析
2020届安徽省合肥市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
数学（理）试题一、单选题1．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】先对复数进行化简，进而可得到它在复平面内对应点的坐标，从而可得到答案。
【详解】由题意，，故在复平面内对应点为，在第一象限，故选A.【点睛】本题考查了复数的四则运算，及复数的几何意义，属于基础题。
2．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求出集合，然后与集合取交集即可。
【详解】由题意，，，则，故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题。
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．【答案】C4．在中，，则（）A．B．C．D．【答案】B5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比净利润占比则下列判断中不正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B6．将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．函数的周期是C．函数在上单调递增D．函数在上最大值是1【答案】C7．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若，则该椭圆离心率是（）A．B．C．D．【答案】D8．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务必须排在前三项执行，且执行任务之后需立即执行任务；任务、任务不能相邻.则不同的执行方案共有（）A．36种B．44种C．48种D．54种【答案】B9．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A10．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案。
合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)
合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1 14.3815.2y x =± 16.2π(第一空2分，第二空3分)三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)设{}n a 的公差为d ，由21a =，714S =得11172114a d a d +=⎧⎨+=⎩.解得112a =，12d =，所以2n n a =. ∵()212212322n n n nn b b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，∴()1212312n n n b b b b --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(2n ≥)，两式相除得2n n b =(2n ≥). 当1n =时，12b =适合上式.∴2n n b =. ………………………………5分 (2)∵()cos 2cos 2n n n n n c b a ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴()()()23421222132cos2cos 2cos2cos 22cos 2cos 222n n n n T n ππππππ--=++++⋅⋅⋅++ ()()()()24622462=2cos 2cos 22cos 32cos 22212n nnn ππππ+++⋅⋅⋅+=-+-++-⋅L()()()141444145nn +---+-==-+. ………………………………12分18.(本小题满分12分) 解：(1)//CD AB .理由如下：连结CD ，分别取AF BE ，的中点M N ，，连结DM CN MN ，，，由图(1)可得，ADF ∆与BCE∆都是等腰直角三角形且全等，则DM AF ⊥，CN BE ⊥，DM CN =，如图.∵平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM AF ⊥，∴DM ⊥平面ABEF . 同理得，CN ⊥平面ABEF ，∴//DM CN . 又∵DM CN =，∴四边形CDMN 为平行四边形，∴//CD MN . ∵M N ，分别是AF BE ，的中点，∴//MN AB ，∴//CD AB . ………………………………5分 (2)在AB 边上取一点P ，使得AP DF =. 由图(1)可得，ADFP 为正方形，即AP FP =. ∵M 为AF 的中点，∴MP MA ⊥.由(1)知，MD ⊥平面ABEF ，∴M A M P M D ，，两两垂直.以M 点为坐标原点，直线M A M P M D ，，分别为坐标轴建立空间直角坐标系xyz M -，如图. 设2AF =，则D (0，0，1)，A (1，0，0)，P (0，1，0)，F (-1，0，0)， ∴FD =u u u r (1，0，1)，FE AP ==u u u r u u u r(-1，1，0).设平面DFE 的一个法向量为()m x y z =u r ，，. 由00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u ru u u r u r得00x z x y +=⎧⎨-+=⎩. 令1x =，则11y z ==-，，∴m =u r(1，1，-1).由平面ADF 是坐标平面xMz 可得：平面ADF 一个法向量为n =r(0，1，0).设平面ADF 与平面DFE 所成的锐角二面角为θ，则3cos cos m n m n m n θ⋅=<>==⋅r r u r r r r ，，∴平面ADF 与平面DFE 所成锐二面角的余弦值为33. ………………………………12分19.(本小题满分12分) 解:(1)设直线l 的方程为12y x m =+.设A (11x y ，)，B (22x y ，). 由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=，则212123x x m x x m +=-=-，. 由()22430m m ∆=-->，解得22m -<<.又∵点P (31 2，)在直线l 的左上方，∴21m -<<. 若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，则220AF BF ⋅=u u u u r u u u u r，即()()1122110x y x y --⋅--=，，，化简得274110m m +-=，解得117m =-，或1m =(舍). ∴直线l 的方程为11127y x =-. ………………………………5分 (2)∵121212123331312222221111PA PBy y x m x m k k x x x x ------+=+=+----()12111111m x x ⎛⎫=+-+ ⎪--⎝⎭()()()1212122111x x m x x x x -+=+--++()221113mm m m +=+-++-222102m m m m --+=+=+-， ∴直线1x =平分APB ∠，即PAB ∆的内切圆的圆心在定直线1x =上. …………………………12分20.(本小题满分12分)解:(1)∵010210131p p p <<⎧⎪<≤⎨⎪≤-<⎩，解得103p <≤.()14004001200400400200E A p p p p =+--=-， ()1200300900100300200E B p p p p =+--=+， ()()104E A E B p >⇒<<；()()14E A E B p =⇒=；()()1143E A E B p <⇒<≤. ∴当104p <<时，应选择方案A ；当1143p <≤时应选择方案B ； 当14p =时，既可以选择方案A 也可以选择方案B . ……………………………5分 (2)因为=0.2p ，根据(1)的结果，应选择方案A ，所以新产品的年度总成本为32128101603y x x x =-++. 设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为1ξ，2ξ和3ξ，则1160x y ξ=-，213604x x y ξ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3160x x y ξ=--，∴ξ的分布列为()()11130.4600.4600.2604E x y x x y x x y ξ⎡⎤⎛⎫=⨯-+⨯--+⨯--⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦322155016032x x x =-++-. ………………………………9分 设()322155016032f x E x x x ξ==-++-，020x <≤，∴()221550f x x x '=-++.()0010f x x '>⇒<<，()01020f x x '<⇒<<. ∴()f x 在(0，10)上单调递增，在(]10 20，上单调递减， ∴当10x =时，()f x 取得最大值，即年产量为10万件时，()E ξ取得最大值， 此时()()max 10423.3f x f =≈(万元).由(1)知，预期平均年利润的期望()400200360E A p =-=(万元).因为423.3360>，所以在年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润.……………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)()sin x f x e x =，定义域为R . ()()sin cos 2sin 4x x f x e x x e x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭.由()0f x '<解得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得372244k x k ππππ+<<+(k Z ∈). ∴()f x 的单调递减区间为372 244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，(k Z ∈). ………………………………5分(2)由已知()sin x g x e x ax =-，∴()()sin cos x g x e x x a '=+-. 令()()h x g x '=，则()2cos x h x e x '=.∵()0x π∈，，∴当0 2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '>；当2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，∴()h x 在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，即()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减. ∵()01g a '=-，202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()0g e a ππ'=--<.①当10a -≥，即01a <≤时，()00g '≥， ∴()g x '在()0π，上的图象大致如右图， ∴02x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使得()00g x '=，∴当()00x x ∈，时，()0g x '>；当()0x x π∈，时，()0g x '<， ∴()g x 在()00x ，上单调递增，在()0x π，上单调递减.∵()00g =，∴()00g x >.又∵()0g a ππ=-<，∴由零点存在性定理可得，此时()g x 在()0 π，上仅有一个零点. ②若13a <<时，()0g '=10a -<，又∵()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，而202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，从而()g x '在()0 π，上图象大致如右图. ∴10 2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()10g x '=，()20g x '=，且当()10x x ∈，、()2x x π∈，时，()0g x '<；当()12x x x ∈，时，()0g x '>. ∴()g x 在()10x ，和()2x π，上单调递减，在()12x x ，上单调递增.∵()00g =，∴()10g x <. ∵2230222g e a e πππππ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，∴()20g x >.又∵()0g a ππ=-<，由零点存在性定理可得，()g x 在()12x x ，和()2x π，内各有一个零点， 即此时()g x 在()0 π，上有两个零点. 综上所述，当01a <≤时，()g x 在()0π，上仅有一个零点；当13a <<时，()g x 在()0π，上有两个零点. ………………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得，曲线C 的普通方程为221259x y +=. ∵sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭3cos sin 230ρθρθ+-=，∴直线l 3230x y +-=. ………………………………5分(2)设直线l 的参数方程为1223x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1212697t t t t +==-，.∴()21212123630243649MP MQ t t t t t t +=-+-=+………………………………10分23.(本小题满分10分)(1)由题意知，32为方程135x x m-+-=的根，∴391522m-+-=，解得1m=.由1351x x-+-<解得，3724x<<，∴74n=. ………………………………5分(2)由(1)知1a b c++=，∴222222222b c c a a b bc ac aba b c a b c+++++≥++.()()()() 222222222222222222 21a b b c c a a b b c b c c a c a a babc abc⎡⎤=++=+++++⎣⎦，()()222122222abcab c bc a ca b a b cabc abc≥++=++=，∴2222222b c c a a ba b c+++++≥成立. ………………………………10分。
2020-2021学年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)及答案解析
安徽省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合为自然数集，则下列选项正确的是（）A．M⊆{x|x≥1} B．M⊆{x|x＞﹣2} C．M∩N={0} D．M∪N=N2．若i是虚数单位，复数z满足（1﹣i）z=1，则|2z﹣3|=（）A．B．C．D．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a9=1，S18=0，当S n取最大值时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．104．若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）A．B． C．±1 D．6．点G为△ABC的重心，设=，=，则=（）A．﹣B．C．﹣2D．27．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．14 B．C．22 D．8．执行下面的程序框图，则输出的n的值为（）A．10 B．11 C．1024 D．20489．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥P ﹣ABC的外接球的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π10．已知实数x，y满足，若z=kx﹣y的最小值为﹣5，则实数k的值为（）A．﹣3 B．3或﹣5 C．﹣3或﹣5 D．±311．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（）A．{x|x≠±1} B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．命题“”的否定是______．14．双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|=2c，以坐标原点O为圆心，c 为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|=c+2，则P点的横坐标为______．15．已知各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n，若，则a n=______．16．若函数f（x）=x2（x﹣2）2﹣a|x﹣1|+a有4个零点，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数为偶函数，（1）求b；（2）若a=3，求△ABC的面积S．18．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x个月）和市场占有率（y%）的几组相关对应数据；x 1 2 3 4 5y 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）附：．19．如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD，若DA=DH=DB=4，AE=CG=3（1）求证：EG⊥DF；（2）求BE与平面EFGH所成角的正弦值．20．已知椭圆经过点，且离心率为，F1，F2是椭圆E的左，右焦点（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B是椭圆E上关于y轴对称两点（A，B不是长轴的端点），点P是椭圆E上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别交y轴于点M，N，求证：直线MF1与直线NF2的交点G在定圆上．21．已知函数g（x）=ax3+x2+x（a为实数）（1）试讨论函数g（x）的单调性；（2）若对∀x∈（0，+∞）恒有，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，PA∥BD（1）求证：∠ACB=∠ACD；（2）若PA=3，PC=6，AM=1，求AB的长．23．在直角坐标系xOy中，曲线（α为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ+ρcosθ=m（1）若m=0，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围．24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a∈R）的最小值为a（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）≤5．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合为自然数集，则下列选项正确的是（）A．M⊆{x|x≥1} B．M⊆{x|x＞﹣2} C．M∩N={0} D．M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解分式不等式求出集合M，进而逐一分析四个答案的正误，可得结论．【解答】解：∵=[﹣2，1），N为自然数集，故M⊆{x|x≥1}错误；M⊆{x|x＞﹣2}错误；M∩N={0}正确；M∪N=N错误；故选：C．2．若i是虚数单位，复数z满足（1﹣i）z=1，则|2z﹣3|=（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】设z=a+bi，得到（a+b）+（b﹣a）i=1，根据对应的系数相等得到a+b=1，a﹣b=0，求出a，b的值，求出复数的模即可．【解答】解：设z=a+bi，则（1﹣i）z=（1﹣i）（a+bi）=1，∴（a+b）+（b﹣a）i=1，∴a+b=1，a﹣b=0，∴a=b=，则|2z﹣3|=|2（+i）﹣3|=|﹣2+i|=，故选：B．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a9=1，S18=0，当S n取最大值时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a9=1，S18=0，∴a1+8d=1，18a1+d=0，可得：a1=17，d=﹣2．∴a n=17﹣2（n﹣1）=19﹣2n，由a n≥0，解得，∴当S n取最大值时n的值为9．故选：C．4．若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b都是正数，则=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a ＞0时取等号．故选：C．5．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）A．B． C．±1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质可求出M的横坐标，带诶抛物线方程解出M的纵坐标，代入斜率公式计算斜率．【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣．∵点M到焦点F的距离等于2p，∴M到准线x=﹣的距离等于2p．∴x M=，代入抛物线方程解得y M=±p．∴k MF==．故选：D．6．点G为△ABC的重心，设=，=，则=（）A．﹣B．C．﹣2D．2【考点】向量的三角形法则．【分析】由题意作图辅助，从而利用线性运算求解即可．【解答】解：由题意知，+=，即+=，故=﹣2=﹣2，故选C．7．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．14 B．C．22 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体的体积V=4+×2=14．故选：A．8．执行下面的程序框图，则输出的n的值为（）A．10 B．11 C．1024 D．2048【考点】程序框图．【分析】先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1满足条件S≤2016，n=2，S=1+2=3满足条件S≤2016，n=4，S=3+4=7满足条件S≤2016，n=8，S=7+8=15满足条件S≤2016，n=16，S=15+16=31满足条件S≤2016，n=32，S=31+32=63满足条件S≤2016，n=64，S=63+64=127满足条件S≤2016，n=128，S=127+128=255满足条件S≤2016，n=256，S=255+256=511满足条件S≤2016，n=512，S=511+512=1023满足条件S≤2016，n=1024，S=1023+1024=2047不满足条件S≤2016，退出循环，输出n的值为1024．故选：C．9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥P ﹣ABC的外接球的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【考点】球的体积和表面积．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：∵AB=AC=2，∠BAC=60°，∴由余弦定理可得BC=2，设△ABC外接圆的半径为r，则2r==4，∴r=2，设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R2=d2+22=22+（2﹣d）2，∴d=1，R2=5，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=20π．故选：A．10．已知实数x，y满足，若z=kx﹣y的最小值为﹣5，则实数k的值为（）A．﹣3 B．3或﹣5 C．﹣3或﹣5 D．±3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分k＞0和k＜0讨论得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（﹣2，﹣1），化z=kx﹣y为y=kx﹣z，由图可知，当k＜0时，直线过A时在y轴上的截距最大，z有最小值为k﹣2=﹣5，即k=﹣3；当k＞0时，直线过B时在y轴上的截距最大，z有最小值﹣2k+1=﹣5，即k=3．综上，实数k的值为±3．故选：D．11．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】方法一：由题意，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类，求取种数，再满足其前提下，学生C第一个出场顺序也为两类，再根据概率公式计算即可，方法二：直接根据分步计数原理，可得，再根据概率公式计算即可．【解答】解：方法一：“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类．第一类：A最后一个出场，从除了B之外的3人选1人安排第一个，其它的任意排，故有A31A33=18种，第二类：A不是最后一个出场，从除了A，B之外的3人选2人安排在，第一个或最后一个，其余3人任意排，故有A32A33=36种，故学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场的种数18+36=54种，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的”的出场顺序为：分为两类第一类：学生C第一个出场，A最后一个出场，故有A33=6种，第二类：学生C第一个出场，A不是最后一个出场，从除了A，B之外的2人选1人安排在最后一个，其余3人任意排，故有A21A33=12种，故在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的种数6+12=18种，故学生C第一个出场的概率为=，方法二：先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31（非第一）种方法，其余三个自由排，共有A31A31A33=54这是总结果；学生C第一个出场，先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31，C第一个出场，剩余2人自由排，故有A31A31A22=18种，故学生C第一个出场的概率为=，故选：A．12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（）A．{x|x≠±1} B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x＜0的取值范围．【解答】解：当x＞0时，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0设：g（x）=x2f（x）﹣x2则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1∴x2f（x）﹣x2＜f（1）﹣1即g（x）＜g（1）即x＞1；当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．命题“”的否定是．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“”的否定是：．故答案为：．14．双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|=2c，以坐标原点O为圆心，c 为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|=c+2，则P点的横坐标为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得圆O的方程，联立双曲线的方程，求得P的横坐标，再由双曲线的定义，和直角三角形的勾股定理，可得c，b，化简整理可得所求横坐标的值．【解答】解：坐标原点O为圆心，c为半径的圆的方程为x2+y2=c2，由，解得x2=，由|PF1|=c+2，由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a=c+2﹣2=c，在直角三角形PF1F2中，可得c2+（c+2）2=4c2，解得c=1+，由c2=a2+b2=1+b2，可得b2=3+2，可得P的横坐标为=．故答案为：．15．已知各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n，若，则a n= ．【考点】数列递推式．【分析】把已知数列递推式变形，可得（n≥2），即数列{a n}从第二项起构成以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求得答案．【解答】解：由S1=2，得a1=S1=2，由，得，又a n＞0，∴2S n=S n+a n+1，即S n=a n+1，当n≥2时，S n﹣1=a n，两式作差得：a n=a n+1﹣a n，即，又由，求得a2=2，∴当n≥2时，．验证n=1时不成立，∴，故答案为：．16．若函数f（x）=x2（x﹣2）2﹣a|x﹣1|+a有4个零点，则a的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【分析】利用函数的零点与方程的根的关系，转化为两个函数的交点问题，画出函数的图象，然后求解a的范围即可．【解答】解：函数f（x）=x2（x﹣2）2﹣a|x﹣1|+a有4个零点，转化为：x2（x﹣2）2﹣a|x﹣1|+a=0由4个根，即y=x2（x﹣2）2；y=a|x﹣1|﹣a=两个函数的图象有4个交点，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如图：当a＜0时，如图中蓝色的折线，函数有4个零点，可得﹣1＜a＜0；当a＞0时，如图中的红色折线，此时函数有4个零点．满足题意．综上：a∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数为偶函数，（1）求b；（2）若a=3，求△ABC的面积S．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角函数的辅助角公式进行化简，结合三角函数是偶函数，建立方程关系进行求解即可．（2）根据正弦定理先求出A，然后根据三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（1）在△ABC中，由f（x）为偶函数可知，所以又0＜B＜π，故所以…（2）∵，b=，∴由正弦定理得sinA==，∴A=或，当A=时，则C=π﹣﹣=，△ABC的面积S==当时，则C=π﹣﹣==，△△ABC的面积S===…18．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x个月）和市场占有率（y%）的几组相关对应数据；x 1 2 3 4 5y 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）附：．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据表中数据，计算、，求出和，写出线性回归方程；（2）根据回归方程得出上市时间与市场占有率的关系，列出不等式求出解集即可预测结果．【解答】解：（1）根据表中数据，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）=0.1；∴==0.042，∴=0.1﹣0.042×3=﹣0.026，所以线性回归方程为；…（2）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.042个百分点；由，解得x≥13；预计上市13个月时，市场占有率能超过0.5%．…19．如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD，若DA=DH=DB=4，AE=CG=3（1）求证：EG⊥DF；（2）求BE与平面EFGH所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结AC，则可证AC⊥平面BDF，由四边形AEGC为平行四边形得出EG∥AC，故而EG⊥平面BDF，于是EG⊥DF；（2）设AC，BD交点为O，以O为原点建立空间坐标系，求出和平面EFGH的法向量，则|cos ＜＞|即为所求角的正弦值．【解答】解：（1）连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BF，又BD⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，BD∩BF=B，∴AC⊥平面BDF，∵AE∥CG，AE=CG，∴四边形AEGC是平行四边形，∴EG∥AC，∴EG⊥平面BDF，又DF⊆平面BDF，∴EG⊥DF．（2）设AC∩BD=O，EG∩HF=P，∵四边形ABCD为菱形，AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，∴AD∥BC，AE∥BF，∴平面ADHE∥平面BCGF，∴EH∥FG，同理可得：EH∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴P为EG的中点，又O为AC的中点，∴OP∥AE，AE=OP，∴OP⊥平面ABCD，又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，∵OP=（BF+DH），∴BF=2．以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵△ABD是等边三角形，AB=4，∴OA=2．∴E（2，0，3），P（0，0，3），F（0，2，2），B（0，2，0）．∴=（2，﹣2，3），=（2，0，0），=（0，2，﹣1）．设平面EFGH的一个法向量为，则，∴，令y=1，得．设BE与平面EFGH所成角为θ，则．20．已知椭圆经过点，且离心率为，F1，F2是椭圆E 的左，右焦点（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B是椭圆E上关于y轴对称两点（A，B不是长轴的端点），点P是椭圆E上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别交y轴于点M，N，求证：直线MF1与直线NF2的交点G在定圆上．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆经过点，且离心率为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0），直线PA的方程为，从而，同理得，由此能证明直线F1M与直线F2N 交于点G在以F1F2为直径的圆上．【解答】解：（1）∵椭圆经过点，且离心率为，∴由条件得，解得，∴椭圆C的方程．…证明：（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0）直线PA的方程为，令x=0，得故，同理可得，，∴=∴F1M⊥F2N，∴直线F1M与直线F2N交于点G在以F1F2为直径的圆上．…21．已知函数g（x）=ax3+x2+x（a为实数）（1）试讨论函数g（x）的单调性；（2）若对∀x∈（0，+∞）恒有，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令，求出函数f（x）的最小值，通过讨论a的范围，得到g（x）的单调性，求出g（x）的最大值小于f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）g'（x）=3ax2+2x+1（i）当a=0时，g（x）在单调减和单调增；（ii）当a≠0时，△=4﹣12a，当时，g'（x）=3ax2+2x+1≥0恒成立，此时g（x）在R单调增；当时，由g'（x）=3ax2+2x+1=0得，，g（x）在（x1，x2）单调减，在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）单调增；当a＜0时，g（x）在（x2，x1）单调增，在（﹣∞，x2）和（x1，+∞）单调减；（2）令，则因此，f（x）在（0，1）单调减，在（1，+∞）单调增∴f min（x）=f（1）=1当a＞﹣1时，g（1）=a+2＞1=f（1），显然，对∀x∈（0，+∞）不恒有f（x）≥g（x）；当a≤﹣1时，由（1）知，g（x）在（0，x1）单调增，在（x1，+∞）单调减，，即所以，在（0，+∞）上，，又所以，即满足对∀x∈（0，+∞）恒有f（x）≥g（x）综上，实数a∈（﹣∞，﹣1]．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，PA∥BD（1）求证：∠ACB=∠ACD；（2）若PA=3，PC=6，AM=1，求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用弦切角定理及平行线的性质，证明：∠ACB=∠ACD；（2）由切割线定理及△AMB～△ABC，求AB的长．【解答】（1）证明：∵PA为切线，∴∠PAB=∠ACB．∵PA∥BD，∴∠PAB=∠ABD=∠ACD，∴∠ACB=∠ACD…（2）解：已知PA=3，PC=6，AM=1，由切割线定理PA2=PB•PC得：，∵PA∥BD，得又知△AMB～△ABC，所以所以AB2=AM•AC=4，所以AB=2…23．在直角坐标系xOy中，曲线（α为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ+ρcosθ=m（1）若m=0，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围．【考点】摆线在刻画行星运动轨道中的作用；参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出曲线C的普通方程，直线的普通方程，利用圆的到直线的距离距离与半径比较，即可得到结果．（2）利用圆心到直线的距离与已知条件列出关系式，即可得到结果．【解答】解：（1）曲线（α为参数），曲线C的直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，是一个圆；圆心（1，1），半径为：．直线l：ρsinθ+ρcosθ=0，可得直线l的直角坐标方程为：x+y=0圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相切…（2）由已知可得：圆心C到直线lx+y=m的距离，解得﹣1≤m≤5…24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a∈R）的最小值为a（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）≤5．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）根据绝对值的几何意义求出f（x）的最小值，从而求出a的值即可；（2）求出f（x）的分段函数形式，从而求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|≥|4﹣a|=a，从而解得a=2…（2）由（1）知，f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=，综合函数y=f（x）的图象知，解集为…。
安徽省合肥市2020年高三第二次教学质量检测理科数学试题(含答案)
A. -5
3.r+ 2y- 3
B. -4
C. 7
· D. 16
4.已知 f(:r） 为奇函数，当 .T < （：）时， f（�T) = e-.-r … ex2 ( e 是自然对数的底数〉 ， 则曲线
Y = f(.r）在 .T = 1处的切线方程是
A. y ＝一 町 ＋ e B. y = er +e
C. y ＝町 － e
充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥气若复数 z 满足 （eiir +
cost)
i) •
和 sin8 联系在一起，
z = i，则 I zl =
A ....
R号
已号
nD. ..!?.
2.r+y-4 注。
时崎旧隅
； ：三。 3.若实数 .T 'y 满足约束条件 x-y 十 4 ；主 0，则 z = 2x-y 的最小值是
同理得，CN 平面 ABEF ，∴ DM // CN . 又∵ DM CN ∴四边形CDMN 为平行四边形 ∴CD // MN .
∵M，N 分别是 AF，BE 的中点 ∴MN // AB
∴CD // AB .
………………………………5 分
(2)在 AB 边上取一点 P ，使得 AP DF .
由图(1)可得， ADFP 为正方形，即 AP FP . ∵M 为 AF 的中点 ∴MP MA .
合肥市 2020 年高三第二次教学质量检测
数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
合肥市2020届高三第二次教学质量检测(理科数学)详细解析
x x
y1 ，
∴ 的分布列为
60x y1
60
3 4
x
x
y1
60 x x y1
p
0.4
0.4
0.2
E
0.4 60x
y1
0.4
60
3 4
x
x
y1
0.2 60
x x
y1
2 3
x3
15 2
x2
50x
160
.
………………………………9 分
设f
x E
2 3
x3
15 2
x2
50x
160
，0 x 20 ，∴ f x 2x2
15x 50 .
f x 0 0 x 10 ， f x 0 10 x 20 .
高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）
设平面 DFE 的一个法向量为m x，y，z .
由 FFDE
m m
0 0
得 xxzy00
.
令 x 1 ，则 y 1，z 1 ，∴m (1，1，-1).
由平面 ADF 是坐标平面 xMz 可得：平面 ADF 一个法向量为n (0，1，0).
由(1)知，MD 平面 ABEF ，∴MA，MP，MD 两两垂直.
以M 点为坐标原点，直线MA，MP，MD 分别为坐标轴建立空间直角坐标系M xyz ，如图.
设AF 2 ，则 D (0，0， 1)， A (1，0，0)， P (0，1，0)， F (-1，0，0)， ∴ FD (1，0，1)， FE AP (-1，1，0).
∵b1 b2 b3 bn 2 2 2 2 ，∴b1 b2 b3 bn1 2 2 ( n 2 )，
2020合肥二模试题-理(含答案)
合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷 (60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2230A x x x =--≤，{}22x B x =≥，则A B =A.1 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B.1 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.13 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D.[]2 3， 2.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+将自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数sin θ、cos θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数z 满足()i e i z i π+⋅=，则z =2323.若实数x ，y 满足约束条件240 40 3230 x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，，，则2z x y =-的最小值是 A.-5 B.-4 C.7 D.164.已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2x f x e ex -=-(e 是自然对数的底数)，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是A.y ex e =-+B.y ex e =+C.y ex e =-D.1122y e x e e e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭5.若cos803tan101m +=，则m =A.4B.2C.-2D.-46.已知函数()()tan f x x ωϕ=+(0 02πωϕ><<，)的图象关于点( 06π，)成中心对称，且与直线y a =的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 图象的对称中心为 06k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈C.函数()f x 的图象可由tan 2y x =的图象向左平移6π得到D.函数()f x 的递增区间为2326k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈7.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是①由图1和图2面积相等得abd a b=+；②由AE AF ≥可得22+22a b a b+≥； ③由AD AE ≥可得22+2112a b a b≥+；④由AD AF ≥可得222a b ab +≥. A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①③ 8.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A B C ，，三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶.经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A B C ，，扶贫项目 A B C 选择意向贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁择，则不同的选法种数有A.24种B.16种C.10种D.8种9.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示.已知半球的半径为6，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于A.24πB.()1833π+C.21πD.()1842π+10.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点D (3，0)的直线l 交抛物线C 于点A B ，，若13FA FB -=，则FA FB ⋅=A.-9B.-11C.-12D.2311.若关于x 的不等式22ln 4ax a x x ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是A.(]2ln 3 2ln 2--，B.() 2ln 2-∞-，C.(] 2ln 3-∞-，D.() 2ln 3-∞-， 12.在三棱锥P ABC -中，二面角P AB C --、P AC B --和P BC A --的大小均等于3π，345AB AC BC =∶∶∶∶，设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，直线PO 与平面ABC 交于点Q ，则POOQ= A.14B.2C.3D.4第Ⅱ卷 (90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 第16题第一空2分，第二空3分. 把答案填在答题卡上的相应位置.13.若向量a 和b 满足22a a b =-=，1a b -=，则a b ⋅= .14.三人制足球(也称为笼式足球)以其独特的魅力，吸引着中国众多的足球业余爱好者.在某次三人制足球传球训练中，A 队有甲、乙、丙三名队员参加.甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人.若由甲开始发球(记为第一次传球)，则第4次传球后．，球仍回到甲的概率等于 . 15.已知双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上一个动点，若BPF ∆周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C 的渐近线方程为 .16.已知ABC ∆三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，()sin B A -，sin A ，sin C 成等差数列，则：(1)C = ；(2)tan tan AB= .三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21a =，714S =，数列{}n b 满足221232n n n b b b b +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=.⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；⑵若数列{}n c 满足()cos n n n c b a π=，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．18.(本小题满分12分)在矩形ABCD 中，E F ，在边CD 上，BC CE EF FD ===，如图(1).沿BE AF ，将CBE ∆和DAF ∆折起，使平面CBE 和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，如图(2).⑴试判断图(2)中直线CD 与AB 的位置关系，并说明理由； ⑵求平面ADF 和平面DEF 所成锐角二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知椭圆C 的方程为22143x y +=，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，点P (1，32)在直线l 的左上方．⑴若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，求此时直线l 的方程；⑵求证：PAB ∆内切圆的圆心在定直线1x =上.20.(本小题满分12分)某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A 是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B 是对原有生产线进行技术改造.由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化.市场销售状态畅销 平销 滞销 市场销售状态概率(01p <<) 2p13p -p预期平均年利润 (单位：万元)方案A 700 400 -400 方案B600300-100⑵记该生产线升级后的产品(以下简称“新产品”)的年产量为x (万件)，通过核算，实行方案A 时新产品的年度总成本1y (万元)为32128101603y x x x =-++，实行方案B 时新产品的年度总成本2y (万元)为32213201003y x x x =-++.已知0.2p =，20x ≤，若按(1)的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价t (元)分别为60，3604x -，60x -，且生产的新产品当年都能卖出去.试问：当x 取何值时，新产品年利润ξ的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标.21.(本小题满分12分)已知函数()sin x f x e x =.(e 是自然对数的底数) (1)求()f x 的单调递减区间；(2)记()()g x f x ax =-，若03a <<，试讨论()g x 在(0，π)上的零点个数.(参考数据：2 4.8e π≈)请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(ϕ为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P Q ，两点，M (2，0)，求MP MQ +的值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知不等式|1||35|x x m -+-<的解集为(32n ，). (1)求n 的值；(2)若三个正实数a b c ，，满足a b c m ++=.证明：2222222b c c a a b a b c+++++≥.合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1 14.3815.2y x =± 16.2π，51-(第一空2分，第二空3分)三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)设{}n a 的公差为d ，由21a =，714S =得11172114a d a d +=⎧⎨+=⎩.解得112a =，12d =，所以2n n a =. ∵()212212322n n n nn b b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，∴()1212312n n n b b b b --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(2n ≥)，两式相除得2n n b =(2n ≥). 当1n =时，12b =适合上式.∴2n n b =. ………………………………5分(2)∵()cos 2cos 2n n n n n c b a ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴()()()23421222132cos 2cos 2cos 2cos 22cos 2cos 222n n n n T n ππππππ--=++++⋅⋅⋅++()()()()24622462=2cos 2cos 22cos 32cos 22212n nnn ππππ+++⋅⋅⋅+=-+-++-⋅()()()141444145nn +---+-==-+. ………………………………12分18.(本小题满分12分)解：(1)//CD AB .理由如下： 连结CD ，分别取AF BE ，的中点M N ，，连结DM CN MN ，，，由图(1)可得，ADF ∆与BCE ∆都是等腰直角三角形且全等，则DM AF ⊥，CN BE ⊥，DM CN =，如图.∵平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM AF ⊥，∴DM ⊥平面ABEF . 同理得，CN ⊥平面ABEF ，∴//DM CN . 又∵DM CN =，∴四边形CDMN 为平行四边形，∴//CD MN . ∵M N ，分别是AF BE ，的中点，∴//MN AB ，∴//CD AB . ………………………………5分 (2)在AB 边上取一点P ，使得AP DF =. 由图(1)可得，ADFP 为正方形，即AP FP =. ∵M 为AF 的中点，∴MP MA ⊥. 由(1)知，MD ⊥平面ABEF ，∴M A M P M D ，，两两垂直. 以M 点为坐标原点，直线M A M P M D ，，分别为坐标轴建立空间直角坐标系xyz M -，如图. 设2AF =，则D (0，0，1)，A (1，0，0)，P (0，1，0)，F (-1，0，0)，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABBCADABDACD∴FD =(1，0，1)，FE AP ==(-1，1，0). 设平面DFE 的一个法向量为()m x y z =，，. 由00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x z x y +=⎧⎨-+=⎩.令1x =，则11y z ==-，，∴m =(1，1，-1).由平面ADF 是坐标平面xMz 可得：平面ADF 一个法向量为n =(0，1，0). 设平面ADF 与平面DFE 所成的锐角二面角为θ，则3cos cos m n m n m nθ⋅=<>==⋅，， ∴平面ADF 与平面DFE 所成锐二面角的余弦值为33. ………………………………12分19.(本小题满分12分) 解:(1)设直线l 的方程为12y x m =+.设A (11x y ，)，B (22x y ，). 由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=，则212123x x m x x m +=-=-，. 由()22430m m ∆=-->，解得22m -<<.又∵点P (31 2，)在直线l 的左上方，∴21m -<<. 若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，则220AF BF ⋅=，即()()1122110x y x y --⋅--=，，，化简得274110m m +-=，解得117m =-，或1m =(舍). ∴直线l 的方程为11127y x =-. ………………………………5分 (2)∵121212123331312222221111PA PB y y x m x m k k x x x x ------+=+=+----()12111111m x x ⎛⎫=+-+ ⎪--⎝⎭()()()1212122111x x m x x x x -+=+--++()221113mm m m +=+-++-222102m m m m --+=+=+-， ∴直线1x =平分APB ∠，即PAB ∆的内切圆的圆心在定直线1x =上. …………………………12分20.(本小题满分12分)解:(1)∵010210131p p p <<⎧⎪<≤⎨⎪≤-<⎩，解得103p <≤.()14004001200400400200E A p p p p =+--=-， ()1200300900100300200E B p p p p =+--=+，()()104E A E B p >⇒<<；()()14E A E B p =⇒=；()()1143E A E B p <⇒<≤. ∴当104p <<时，应选择方案A ；当1143p <≤时应选择方案B ；当14p =时，既可以选择方案A 也可以选择方案B . ……………………………5分(2)因为=0.2p ，根据(1)的结果，应选择方案A ，所以新产品的年度总成本为32128101603y x x x =-++. 设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为1ξ，2ξ和3ξ，则1160x y ξ=-，213604x x y ξ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3160x x y ξ=--，∴ξ的分布列为()()11130.4600.4600.2604E x y x x y x x y ξ⎡⎤⎛⎫=⨯-+⨯--+⨯--⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦322155016032x x x =-++-. ………………………………9分 设()322155016032f x E x x x ξ==-++-，020x <≤，∴()221550f x x x '=-++.()0010f x x '>⇒<<，()01020f x x '<⇒<<.∴()f x 在(0，10)上单调递增，在(]10 20，上单调递减， ∴当10x =时，()f x 取得最大值，即年产量为10万件时，()E ξ取得最大值， 此时()()max 10423.3f x f =≈(万元).由(1)知，预期平均年利润的期望()400200360E A p =-=(万元).因为423.3360>，所以在年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润.……………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)()sin x f x e x =，定义域为R . ()()sin cos 2sin 4x x f x e x x e x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭.由()0f x '<解得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得372244k x k ππππ+<<+(k Z ∈). ∴()f x 的单调递减区间为372 244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，(k Z ∈). ………………………………5分(2)由已知()sin xg x e x ax =-，∴()()sin cos x g x e x x a '=+-.令()()h x g x '=，则()2cos x h x e x '=.∵()0x π∈，，∴当0 2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '>；当2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，∴()h x 在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，即()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减. ∵()01g a '=-，202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()0g e a ππ'=--<.①当10a -≥，即01a <≤时，()00g '≥，∴()g x '在()0π，上的图象大致如右图，∴02x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使得()00g x '=，∴当()00x x ∈，时，()0g x '>；当()0x x π∈，时，()0g x '<，ξ160x y -13604x x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ()160x x y --p0.4 0.40.2∴()g x 在()00x ，上单调递增，在()0x π，上单调递减. ∵()00g =，∴()00g x >.又∵()0g a ππ=-<，∴由零点存在性定理可得，此时()g x 在()0 π，上仅有一个零点. ②若13a <<时，()0g '=10a -<，又∵()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，而202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，从而()g x '在()0 π，上图象大致如右图. ∴10 2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()10g x '=，()20g x '=，且当()10x x ∈，、()2x x π∈，时，()0g x '<；当()12x x x ∈，时，()0g x '>.∴()g x 在()10x ，和()2x π，上单调递减，在()12x x ，上单调递增.∵()00g =，∴()10g x <. ∵2230222g e a e πππππ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，∴()20g x >.又∵()0g a ππ=-<，由零点存在性定理可得，()g x 在()12x x ，和()2x π，内各有一个零点，即此时()g x 在()0 π，上有两个零点. 综上所述，当01a <≤时，()g x 在()0π，上仅有一个零点；当13a <<时，()g x 在()0π，上有两个零点. ………………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得，曲线C 的普通方程为221259x y +=. ∵sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭3cos sin 230ρθρθ+-=，∴直线l 3230x y +-=. ………………………………5分(2)设直线l 的参数方程为1223x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1212697t t t t +==-，.∴()21212123630243649MP MQ t t t t t t +=-+-=+………………………………10分23.(本小题满分10分)(1)由题意知，32为方程135x x m -+-=的根，∴391522m -+-=，解得1m =. 由1351x x -+-<解得，3724x <<，∴74n =. ………………………………5分 (2)由(1)知1a b c ++=，∴222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c +++++≥++. ()()()()22222222222222222221a b b c c a a b b c b c c a c a a b abc abc ⎡⎤=++=+++++⎣⎦，()()222122222abcab c bc a ca b a b c abc abc ≥++=++=， ∴2222222b c c a a b a b c +++++≥成立. ………………………………10分。
2020合肥二模试题-理（含答案）
2020年二模理科试题年二模理科试题第1页 共9页 合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(理科理科) )(考试时间：考试时间：120120分钟 满分：满分：150150分)第Ⅰ卷 (60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.若集合若集合{}2230A x x x =--≤，{}22x B x =≥，则A B =IA.1 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B.1 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.13 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D.[]2 3， 2.2.欧拉公式欧拉公式cos sin i e i θθθ=+将自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数sin θ、cos θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数z 满足()i e i z i π+⋅=，则z =A.1B.22C.32D.23.3.若实数若实数x ，y 满足约束条件240 40 3230 x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，，，则2z x y =-的最小值是的最小值是A.-5B.-4C.7D.164.4.已知已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2x f x e ex -=-(e 是自然对数的底数是自然对数的底数))，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是处的切线方程是A.y ex e =-+B.y ex e =+C.y ex e =-D.1122y e x e e e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭5.5.若若cos803tan101m +=o o，则m =A.4B.2C.-2D.-46.6.已知函数已知函数()()tan f x x ωϕ=+(0 02πωϕ><<，)的图象关于点的图象关于点(( 06π，)成中心对称，且与直线y a =的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是，则下列叙述正确的是A.A.函数函数()f x 的最小正周期为πB.B.函数函数()f x 图象的对称中心为 06k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈C.C.函数函数()f x 的图象可由tan 2y x =的图象向左平移6π得到得到D.D.函数函数()f x 的递增区间为2326k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈7.7.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图11，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青朱、青).).).将三种颜色的图形进行重组，得到如图将三种颜色的图形进行重组，得到如图将三种颜色的图形进行重组，得到如图22所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.3.设设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是，则下列推理正确的是①由图1和图2面积相等得abd a b=+；②由AE AF ≥可得22+22a b a b +≥； ③由AD AE ≥可得22+2112a ba b≥+；④由AD AF ≥可得222a b ab +≥.A.A.①②③④①②③④①②③④B. B.①②④①②④C. C.②③④②③④D. D.①③①③8.8.为了实施为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A B C ，，三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶丁四个贫困户进行产业帮扶..经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A B C ，，三个扶贫项目的意向如下表：三个扶贫项目的意向如下表：扶贫项目扶贫项目 A B C 选择意向贫困户选择意向贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁甲、乙、丙甲、乙、丙丙、丁丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有择，则不同的选法种数有A.24种B.16种C.10种D.8种9.9.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示.已知半球的半径为6，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于A.24πB.()1833π+C.21πD.()1842π+ 10.10.已知抛物线已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点D (3(3，，0)0)的直线的直线l 交抛物线C 于点A B ，，若13FA FB -=u u u r u u u r ，则FA FB ⋅=u u u r u u u rA.-9B.-11C.-12D.2311.11.若关于若关于x 的不等式22ln 4ax a x x ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是的取值范围是A.(]2ln 3 2ln 2--，B.() 2ln 2-∞-，C.(] 2ln 3-∞-，D.() 2ln 3-∞-， 12.12.在三棱锥在三棱锥P ABC -中，二面角P AB C --、P AC B --和P BC A --的大小均等于3π，345AB AC BC =∶∶∶∶，设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，直线PO 与平面ABC 交于点Q ，则POOQ= A.14B.2C.3第Ⅱ卷 (90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 第16题第一空2分，第二空3分. 把答案填在答题卡上的相应位置.13.13.若向量若向量a r 和b r 满足22a a b =-=r r r ，1a b -=r r ，则a b ⋅=r r . 14.14.三人制足球三人制足球(也称为笼式足球也称为笼式足球))以其独特的魅力，吸引着中国众多的足球业余爱好者以其独特的魅力，吸引着中国众多的足球业余爱好者..在某次三人制足球传球训练中，A 队有甲、乙、丙三名队员参加丙三名队员参加..甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人一个人..若由甲开始发球(记为第一次传球记为第一次传球))，则第4次传球后．，球仍回到甲的概率等于，球仍回到甲的概率等于 . . 15.15.已知双曲线已知双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上一个动点，若BPF ∆周长的最小值等于实轴长的周长的最小值等于实轴长的44倍，则双曲线C 的渐近线方程为的渐近线方程为 . .16.16.已知已知ABC ∆三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，()sin B A -，sin A ，sin C 成等差数列，则：成等差数列，则：(1)(1)C = ；(2)tan tanA B = .三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(17.(本小题满分本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21a =，714S =，数列{}n b 满足221232n n n b b b b +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=.⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；的通项公式；⑵若数列{}n c 满足()cos n n n c b a π=，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．18.(18.(本小题满分本小题满分12分) 在矩形ABCD 中，E F ，在边CD 上，BC CE EF FD ===，如图如图(1).(1).沿BE AF ，将CBE ∆和DAF ∆折起，使平面CBE 和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，如图垂直，如图(2). (2).⑴试判断图⑴试判断图(2)(2)(2)中直线中直线CD 与AB 的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；⑵求平面ADF 和平面DEF 所成锐角二面角的余弦值所成锐角二面角的余弦值. .19.(19.(本小题满分本小题满分12分) 已知椭圆C 的方程为22143x y +=，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，点P (1(1，，32)在直线l 的左上方．的左上方．⑴若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，求此时直线l 的方程；的方程； ⑵求证：PAB ∆内切圆的圆心在定直线1x =上.20.(20.(本小题满分本小题满分12分) 某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A 是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B 是对原有生产线进行技术改造是对原有生产线进行技术改造..由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化发生变化..该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表:市场销售状态市场销售状态畅销畅销 平销平销 滞销滞销 市场销售状态概率市场销售状态概率((01p <<) 2p13p -p预期平均年利润预期平均年利润(单位：万元单位：万元) )方案A700 400 -400方案B 600 300 -100 ⑴以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？⑵记该生产线升级后的产品(以下简称“新产品”)的年产量为x (万件万件))，通过核算，实行方案A 时新产品的年度总成本1y (万元万元))为32128101603y x x x =-++，实行方案B 时新产品的年度总成本2y (万元万元))为32213201003y x x x =-++已知0.2p =，20x ≤，若按若按(1)(1)(1)的标准选择方案，的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价t (元)分别为60，3604x -，60x -，且生产的新产品当年都能卖出去且生产的新产品当年都能卖出去..试问：当x取何值时，新产品年利润ξ的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标.21.(21.(本小题满分本小题满分12分) 已知函数()sin x f x ex =.(e 是自然对数的底数是自然对数的底数))(1)(1)求求()f x 的单调递减区间；的单调递减区间；(2)(2)记记()()g x f x ax =-，若03a <<，试讨论()g x 在(0(0，，π)上的零点个数上的零点个数..(参考数据：2 4.8e π≈)请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(22.(本小题满分本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(ϕ为参数为参数)).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)(1)写出曲线写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)(2)若直线若直线l 与曲线C 交于P Q ，两点，M (2(2，，0)0)，求，求MP MQ +的值的值. .23.(23.(本小题满分本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知不等式|1||35|x x m -+-<的解集为的解集为((32n ，). (1)(1)求求n 的值；的值；(2)(2)若三个正实数若三个正实数a b c ，，满足a b c m ++=.证明：2222222b c c a a b a b c+++++≥.合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题届高三第二次教学质量检测数学试题((理科理科) )参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1 14.3815.2y x =± 16.2π，512-(第一空2分，第二空3分)三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(17.(本小题满分本小题满分12分) 解：解：(1)(1)(1)设设{}n a 的公差为d ，由21a =，714S =得11172114a d a d +=⎧⎨+=⎩. 解得112a =，12d =，所以2n n a =.∵()212212322n n n nn b b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，∴()1212312n n n b b b b --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(2n ≥)， 两式相除得2n n b =(2n ≥). 当1n =时，12b =适合上式适合上式. .∴2nn b =. ………………………………………………………………55分(2)(2)∵∵()cos 2cos 2n n n n n c b a ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴()()()23421222132cos 2cos 2cos 2cos 22cos 2cos 222n nn n T n ππππππ--=++++⋅⋅⋅++()()()()24622462=2cos 2cos 22cos 32cos 22212nnnn ππππ+++⋅⋅⋅+=-+-++-⋅L()()()141444145n n +---+-==-+. ………………………………………………………………1212分18.(18.(本小题满分本小题满分12分) 解：解：(1)(1)//CD AB .理由如下：理由如下： 连结CD ，分别取AF BE ，的中点M N ，，连结DM CN MN ，，，由图由图(1)(1)(1)可得，可得，ADF ∆与BCE ∆都是等腰直角三角形且全等，则DM AF ⊥，CN BE ⊥，DM CN =，如图，如图. .∵平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM AF ⊥，∴DM ⊥平面ABEF . 同理得，CN ⊥平面ABEF ，∴//DM CN . 又∵DM CN =，∴四边形CDMN 为平行四边形，∴//CD MN . ∵M N ，分别是AF BE ，的中点，的中点， ∴//MN AB ，∴//CD AB . ………………………………………………………………55分 (2)(2)在在AB 边上取一点P ，使得AP DF =. 由图由图(1)(1)(1)可得，可得，ADFP 为正方形，即AP FP =. ∵M 为AF 的中点，∴MP MA ⊥. 由(1)(1)知，知，MD ⊥平面ABEF ，∴M A M P M D ，，两两垂直两两垂直. . 以M 点为坐标原点，直线M A M P M D ，，分别为坐标轴建立空间直角坐标系xyz M -，如图，如图. . 设2AF =，则D (0(0，，0，1)1)，，A (1(1，，0，0)0)，，P (0(0，，1，0)0)，，F (-1(-1，，0，0)0)，，题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 ABBCADABDACD∴FD =u u u r (1(1，，0，1)1)，，FE AP ==u u u r u u u r(-1(-1，，1，0). 设平面DFE 的一个法向量为()m x y z =u r ，，. 由00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r得00x z x y +=⎧⎨-+=⎩. 令1x =，则11y z ==-，，∴m =u r(1(1，，1，-1). 由平面ADF 是坐标平面xMz 可得：平面ADF 一个法向量为n =r(0(0，，1，0). 设平面ADF 与平面DFE 所成的锐角二面角为θ，则，则3cos cos 3m n m n m n θ⋅=<>==⋅r r u r r r r ，， ∴平面ADF 与平面DFE 所成锐二面角的余弦值为33. ………………………………………………………………1212分19.(19.(本小题满分本小题满分12分) 解:(1):(1)设直线设直线l 的方程为12y x m =+.设A (11x y ，)，B (22x y ，).由2214312x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=，则212123x x m x x m +=-=-，. 由()22430m m ∆=-->，解得22m -<<.又∵点P (31 2，)在直线l 的左上方，∴21m -<<.若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，则220AF BF ⋅=u u u u r u u u u r，即()()1122110x y x y --⋅--=，，， 化简得274110m m +-=，解得117m =-，或1m =(舍).∴直线l 的方程为11127y x =-. ………………………………………………………………55分(2)(2)∵∵121212123331312222221111PA PB y y x m x m k k x x x x ------+=+=+----()12111111m x x ⎛⎫=+-+ ⎪--⎝⎭()()()1212122111x x m x x x x -+=+--++()221113m m m m +=+-++-222102m m m m --+=+=+-， ∴直线1x =平分APB ∠，即PAB ∆的内切圆的圆心在定直线1x =上. ……………………………………………………1212分20.(20.(本小题满分本小题满分12分) 解:(1):(1)∵∵010210131p p p <<⎧⎪<≤⎨⎪≤-<⎩，解得103p <≤. ()14004001200400400200E A p p p p =+--=-， ()1200300900100300200E B p p p p =+--=+， ()()104E A E B p >⇒<<；()()14E A E B p =⇒=；()()1143E AE B p <⇒<≤.∴当104p <<时，应选择方案A ；当1143p <≤时应选择方案B ；当14p =时，既可以选择方案A 也可以选择方案B . …………………………………………………………55分 (2)(2)因为因为=0.2p ，根据，根据(1)(1)(1)的结果，应选择方案的结果，应选择方案A ，所以新产品的年度总成本为，所以新产品的年度总成本为32128101603y x x x =-++.设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为1ξ，2ξ和3ξ，则，则1160x y ξ=-，213604x x y ξ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3160x x y ξ=--， ∴ξ的分布列为的分布列为()()11130.4600.4600.2604E xy x x y x x y ξ⎡⎤⎛⎫=⨯-+⨯--+⨯--⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦322155016032x x x =-++-.………………………………9分 设()322155016032f x E x x x ξ==-++-，020x <≤，∴()221550f x x x '=-++.()0010f x x '>⇒<<，()01020f x x '<⇒<<.∴()f x 在(0(0，，10)10)上单调递增，在上单调递增，在(]10 20，上单调递减，上单调递减，∴当10x =时，()f x 取得最大值，即年产量为10万件时，()E ξ取得最大值，取得最大值，此时()()max10423.3f x f =≈(万元万元). ).由(1)(1)知，预期平均年利润的期望知，预期平均年利润的期望()400200360E A p =-=(万元万元). ).因为423.3360>，所以在年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润.…………………………………………………………1212分21.(21.(本小题满分本小题满分12分)解：解：(1)(1)()sinx f x e x =，定义域为R . ()()sin cos 2sin 4x xf x e x x e xπ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭. 由()0f x '<解得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得372244k x k ππππ+<<+(k Z ∈).∴()f x 的单调递减区间为372 244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，(k Z ∈).………………………………………………………………55分 (2)(2)由已知由已知()sin x g x e x ax =-，∴()()sin cos x g x e x x a '=+-.令()()h x g x '=，则()2cos x h x e x '=.∵()0x π∈，，∴当0 2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '>；当2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，∴()h x 在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，上单调递减，即()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减上单调递减. . ∵()01g a '=-，202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()0g e a ππ'=--<. ①当10a -≥，即01a <≤时，()00g '≥， ∴()g x '在()0π，上的图象大致如右图，上的图象大致如右图，∴02x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使得()00g x '=， ∴当()00x x ∈，时，()0g x '>；当()0x x π∈，时，()0g x '<，ξ160x y -13604x x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()160x x y --p0.40.40.2∴()g x 在()00x ，上单调递增，在()x π，上单调递减上单调递减. .∵()00g =，∴()00g x >. 又∵()0g a ππ=-<，∴由零点存在性定理可得，此时()g x 在()0 π，上仅有一个零点上仅有一个零点.. ②若13a <<时，()0g '=10a -<，又∵()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，上单调递减， 而202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，从而()g x '在()0 π，上图象大致如右图上图象大致如右图.. ∴10 2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()10g x '=，()20g x '=， 且当()10x x ∈，、()2x x π∈，时，()0g x '<；当()12x x x ∈，时，()0g x '>.∴()g x 在()10x ，和()2x π，上单调递减，在()12x x ，上单调递增上单调递增. . ∵()00g =，∴()10g x <. ∵2230222g e a e πππππ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，∴()20g x >. 又∵()0g a ππ=-<，由零点存在性定理可得，()g x 在()12x x ，和()2x π，内各有一个零点，内各有一个零点，即此时()g x 在()0 π，上有两个零点上有两个零点.. 综上所述，当01a <≤时，()g x 在()0π，上仅有一个零点；上仅有一个零点；当13a <<时，()g x 在()0π，上有两个零点上有两个零点. . ………………………………12分22.(22.(本小题满分本小题满分10分) (1)(1)曲线曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得，曲线C 的普通方程为221259x y +=. ∵sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3cos sin 230ρθρθ+-=， ∴直线l 的直角坐标方程为3230x y +-=. ………………………………………………………………55分(2)(2)设直线设直线l 的参数方程为12232xt y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数为参数))， 将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1212697t t t t +==-，.∴()212121236302436497MP MQ t t t t t t +=-=+-=+=. ………………………………10分23.(23.(本小题满分本小题满分10分) (1)(1)由题意知，由题意知，32为方程135x x m -+-=的根，∴391522m -+-=，解得1m =.由1351x x -+-<解得，3724x <<，∴74n =. ………………………………………………………………55分 (2)(2)由由(1)(1)知知1a b c ++=，∴222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c+++++≥++. ()()()()22222222222222222221a b b c c a a b b c b c c a c a a b abc abc ⎡⎤=++=+++++⎣⎦，()()222122222abcab c bc a ca b a b c abc abc ≥++=++=， ∴2222222b c c a a b a b c +++++≥成立成立.. ………………………………………………………………1010分。
2020届安徽省合肥市高三第二次教学质量检测数学(文)试题(解析版)
数学（文）试题一、单选题1．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2．若复数满足，则（）A．1 B．C．2 D．【答案】D【解析】先利用复数的除法运算法则化简复数，然后利用复数模的公式求解即可. 【详解】因为，所以，则，故选D.3．若双曲线的焦点到渐近线的距离是2，则的值是（）A．2 B．C．1 D．4【答案】A4．在中，，若，，则（）A．B．C．D．【答案】A5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比净利润占比则下列判断中不正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B6．若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的慨率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不等式表示的区域面积为，表示的区域的面积为，利用几何概型概率公式即可得出结论.【详解】不等式表示的区域是半径为1的圆，面积为，且满足不等式表示的区域是边长为的正方形，面积为，在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的慨率，故选B.7．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（）（注：1丈=10尺）A．1946立方尺B．3892立方尺C．7784立方尺D．11676立方尺【答案】B8．将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．函数的周期是C．函数在上单调递增D．函数在上最大值是1【答案】C9．设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C11．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，所以为偶函数，选项B错误，，令，则恒成立，所以是单调递增函数，则当时，，故时，，,即在上单调递增，故只有选项A正确。
2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设A ={x|x 2−x −2<0}，B ={y|y =3x }，则A ∩B =( )A. (0,+∞)B. (0,2)C. (−1,0)D. (−1,2)2. 欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：e ix =cosx +isinx(i 为虚数单位).它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数z =3i +√2e π4i 的模为( )A. √3B. √5C. 2√2D. 23. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 34. 曲线y =xe x 在x =1处的切线方程为( )A. ex −y =0B. (1−e)x +y −1=0C. 2ex −y −e =0D. (1+e)x −y −1=05. (1−tan 215°)cos 215°的值等于( )A. 1−√32B. 1C. √32D. 126. 函数y =3tan x2的图象向左平移π3个单位得到的函数的一个对称中心是( )A. (π6,0)B. (2π3,0)C. (−2π3,0) D. (0,0)7. 已知log 2(a +4b)=2log 2(2√ab)，则a +b 的最小值是( )A. 2B. √2+1C. 94D. 528. 甲、乙、丙、丁4人排成一排，要求甲与乙相邻，甲与丙不相邻，则不同的排法种数为( )A. 6B. 8C. 10D. 129. 图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. (83+2√2)π B. (83+4√2)πC. (4+2√2)πD. (8+4√2)π10. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为N ，过点F 作直线与抛物线交于A ，B 两点，若NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|AF|−|BF|= ( )A. 2B. 3C. 4D. 511. 若曲线C 1：y =x 2与曲线C 2：y =ae x (a >0)至少存在两个交点，则a 的取值范围为( )A. [8e 2,+∞)B. (0,8e 2]C. [4e 2,+∞)D. (0,4e 2]12. 三棱锥A −BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉=π3，则二面角A −BD −C 的大小为( )A. π3B. 2π3C. π3或2π3D. π6或π3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(2,3)，则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ． 15. 已知F 是双曲线C ：x 2−y 28=1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,6√6)，当△APF 周长最小时，点P 的纵坐标为______ ．16. 在△ABC 中，已知A ，B ，C 成等差数列，且b =√3，则sinA+sinB+sinCa+b+c=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }满足a 1=3，a 4+a 5+a 6=45．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{1a n a n+1}的前n 项和T n ．18. 如图，在三棱柱A 1B 1C 1−ABC 中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，点D是BC 的中点．(1)求证：AD ⊥C 1D ；(2)求平面ADC 1与平面ABB 1A 1所成二面角的正弦值．19. 作斜率为13的直线l 与椭圆C ：x 236+y 24=1交于A ，B 两点(如图所示)，且P(3√2,√2)在直线l 的左上方．(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上； (2)若∠APB =60°，求△PAB 的面积．20.为了适应市场的变化，某企业准备投产一批特殊型号的新产品，已知该种产品的成本C与产量−3q2+20q+10(q>0)，该种产品的市场前景通过调研分析有如下结q的函数关系式为C=q33果：设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量ξq表示当产量为q而市场前景无法确定时的利润．(1)分别求利润L1，L2，L3关于产量q的函数；(2)当产量q确定时，求期望Eξq；(3)试问产量q取何值时，Eξq取得最大值．21.已知函数f(x)=e x−ex(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2<2．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sin 2t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)． (1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|2x +4|，f(x)≤M +3的解集为{x|−4≤x ≤2}。
安徽省合肥市2020届高三4月第二次质量检测 数学理科(含答案)
14.三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者，在某次三 人制足球传球训练中，A 队有甲、乙、丙三名队员参加。甲、乙丙三人都等可能地将球传给另外两 位队友中的一个人。若由甲开始发球（记为第一次传球），则第 4 次传球后，球仍回到甲的概率等于 _________.
15.已知双曲线
si（n B A）, sinA, sinC 成等差数列，则:（1）C＝__________ （2） tan A tan B
三、解答题:本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分）
已知等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn ， a2＝1, S7＝14 ，数列｛bn｝满足
2
D． 2
2x y 4 0
3.若实数
x，y
满足约束条件
x
y
4
0
则 z＝2x y 的最小值是
3x 2 y 3 0
A． 5
B．
4 C． 7 D．16
4.已知 （f x）为奇函数，当 x＜0 时， （f x）＝ex ex2 （ e 是自然对数的底数）则曲线
y＝（f x）在 x＝1处的切线方程是
当年都能卖出去试问:当 x 取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到 预期目标. 21.（本小题满分 12 分）
已知函数 （f x）＝ex sin x （ e 是自然对数的底数）
（1）求 （f x）的单调递减区间
·5·
（2）记 g（x）＝（f x） ax, 若0＜a＜3 ，试讨论 g（x）在 (0, ) 上的零点个数.（参考数据 e 2 4.8 ）
折起，使 平面CBE和平面DAF都与平面ABEF 垂直，如图（2）
2020届安徽省合肥市高三下学期4月第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届安徽省合肥市高三下学期4月第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．若集合{}2230A x x x =--≤，{2xB x =≥，则A B =I （ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]2,3【答案】A【解析】解不等式确定集合,A B 后由交集运算得结论． 【详解】由题意13{|}A x x =-≤≤，1{|}2B x x =≥， ∴1{|3}2A B x x =≤≤I ． 故选：A ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式和指数不等式，掌握指数函数性质和一元二次不等式求解方法是解题关键．2．欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()i i i ez π+⋅=，则z =（ ）A ．1BC D【答案】B【解析】由新定义化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出z 后再求模． 【详解】 由题意(1)cos sin 1(1)(1)i i i i i i z e ii i i i i πππ--====+++-+-+--111222i i -+==-，∴z ==． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化i e π为代数形式，然后求解．3．若实数x ，y 满足约束条件240403230x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．5-B ．4-C ．7D ．16【答案】B【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图射线BA ，线段BC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:20l x y -=，向上平移直线l 时2z x y =-减小，∴当l 过点(0,4)B 时，2z x y =-取得最小值－4． 故选：B ．【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，注意本题中可行域不是多边形内部，而是一个开放性区域．4．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2xf x e ex -=-（e 是自然对数的底数），则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是（ ） A ．y ex e =-+ B ．y ex e =+C ．y ex e =-D ．1122y e x e e e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】由奇函数求出0x >时，函数解析式，再求出导函数后可得切线斜率，从而得切线方程． 【详解】由于()f x 是奇函数，所以0x >时，22()()()x x f x f x e ex e ex =--=--=-+，(1)0f =，()2x f x e ex '=-+，(1)2f e e e '=-+=，所以所求切线方程为(1)y e x =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的奇偶性，解题关键是由奇函数定义求出0x >时函数解析式后对函数的求导．5．若cos801m ︒+︒=，则m =（ ） A ．4 B ．2C ．2-D ．4-【答案】A【解析】移项由切化弦化简1︒，然后可得m ． 【详解】由题意1-︒12(cos10)cos10221cos10cos10cos10︒︒︒︒︒=-==︒︒︒2sin(3010)2sin 204sin10cos10cos10cos10cos10︒-︒︒︒︒===︒︒︒4sin104cos80cos80m =︒=︒=︒，所以4m =．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角差的正弦公式与二倍角公式、诱导公式．在三角函数式中同时出现了正弦、余弦、正切时，可用切化弦方法变形后再化简． 6．已知函数()()tan 0,02f x x ωϕωϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与直线y a =的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 图象的对称中心为(),06k k Z π⎛⎫π+∈⎪⎝⎭ C ．函数()f x 的图象可由tan 2y x =的图象向左平移6π得到 D ．函数()f x 的递增区间为(),2326k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用正切函数的性质进行判断． 【详解】由()f x 的图象与直线y a =的两个相邻交点间的距离为2π，知函数最小正周期是2π，A 错； 由此得22πωπ==，又由,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其图象对称中心得，26k πϕπ⨯+=或262k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，又02πϕ<<，所以6π=ϕ． 所以()tan(2)6f x x π=+，由262k x ππ+=得412k x ππ=-，对称中心是(,0),412k k Z ππ-∈，B 错； tan 2y x =的图象向左平移6π得到tan 2()tan(2)()63y x x f x ππ=+=+≠，C 错；由2262k x k πππππ-<+<+，得2326k k x ππππ-<<+，即函数的增区间是(),2326k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，D 正确． 故选：D ．本题考查正切型函数的图象与性质，掌握正切函数的性质是解题关键．7．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形．该矩形长为+a b ，宽为内接正方形的边长d ．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（ ）①由图1和图2面积相等得abd a b=+； ②由AE AF ≥2222a b a b ++≥；③由AD AE ≥222112a b a b+≥+； ④由AD AF ≥可得222a b ab +≥． A ．①②③④ B ．①②④C ．②③④D ．①③【答案】A【解析】根据图形进行计算． 【详解】①由面积相等得()ab a b d =+，abd a b=+，正确；②在图3中，由三角形面积得AF =，又AE a b==+， 由AE AF ≥≥2a b +≥，正确；③AD =AD AE ≥≥2211ab a b a b ≥=++，正确；④由由AD AF ≥≥，所以222a b ab +≥，正确．四个推理都正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查推理，通过构造几何图形推导出基本不等式及其推论．本题考查数学文化，激发学生的学习积极性．8．为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶．经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如下表：若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有（ ） A ．24种 B ．16种C ．10种D ．8种【答案】B【解析】按只有一个项目有2个贫困户选和只选2个项目，每个项目两个贫困户选，分类讨论． 【详解】只有一个项目有2个贫困户选：C 项目有2个贫困户选，甲乙分别选取,A B 项目，方法为22A ＝2种，B 项目有2个贫困户选，方法数有22114A ++=种，A 项目有2个贫困户选，不能丙丁同时选A ，方法数有111115++++=种，共2＋4＋5＝11种，只选2个项目，每个项目两个贫困户选，先AB ，有13C ＝3种，选AC 只有1种，选BC 只有1种，共3＋1＋1＝5种， 综上共有方法数11＋5＝16种． 故选：B ． 【点睛】本题考查分布列组合的综合应用，掌握分类计数原理和分步计数原理是解题关键． 9．某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为6，则当此几何体体积最小时，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（ ）A ．24πB ．(1833+πC ．21πD ．(1842+π【答案】D【解析】设设圆柱高为x (06)x <<，求圆柱底面半径，从而用x 表示出圆柱体积，由导数知识求得最大值，此时该几何体体积最小，再求其表面积即可． 【详解】设圆柱高为x (06)x <<，则圆柱底面半径为26r x =-，圆柱体积为223(6)(6)V r x x x x x πππ==-=-，2(63)V x π'=-，由0V '=得2x 2-舍去），当2)x ∈时，0V '>，函数3(6)V x x π=-递增，2,6)x ∈时，0V '<，函数3(6)V x x π=-递减，∴2x =时，3max [62(2)]42V ππ==，262r x -=，圆柱体积最大时，此几何体体积最小．22222(18S ππππ=⨯+⨯⨯=+全．故选：D ． 【点睛】本题考查几何体的体积与表面积，考查导数在体积最值中的应用．解题关键是用圆柱的高x 表示出圆柱的体积，由圆柱体积的最大值得几何体体积的最小值．10．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()3,0D 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，若FA FB -=u u u r u u u r ，则FA FB ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．9-B ．11-C ．12-D ．【答案】A【解析】设直线直线l 方程为(3)y k x =-（此时中斜率k 显然存在），设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，由抛物线的定义条件FA FB -=u u u r u u u r可转化为12x x -=，从而可求得k ，再由向量数量积的坐标表示计算出结论． 【详解】抛物线24y x =中焦参数2p =，焦点为(1,0)F ，设1122(,),(,)A x y B x y∴1212(1)(1)FA FB x x x x -=+-+=-=u u u r u u u r显然直线l 不与x 轴垂直，设其方程为(3)y k x =-，由24(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222(64)90k x k x k -++=，∴212264k x x k ++=，129x x =． ∴2222121212264()()4()4913k x x x x x x k+-=+-=-⨯=，24k =，∴127x x +=． ∴11221212(1,)(1,)(1)(1)FA FB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+u u u r u u u r22121212121212(1)(1)(3)(3)()1[3()9]x x k x x x x x x k x x x x =--+--=-+++-++9=-．故选：A ． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查平面向量数量积的坐标表示，考查抛物线的定义，解题过程中，利用抛物线定义把已知条件FA FB -=u u u r u u u r转化继12x x -是关键．11．若关于x 的不等式22ln 4ax a x x ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]2ln3,2ln 2-- B ．(),2ln 2-∞- C ．(],2ln3-∞- D ．(),2ln3-∞-【答案】C【解析】首先确定2是题设不等式的一个整数解，然后按1不是不等式的解和1是不等式的解分类讨论． 【详解】首先2x =时，不等式为224ln 24a a ->--，恒成立，即整数2是不等式的一个解，则由题意1或3是不等式的另一个整数解．若1不是不等式的解，则22ln14a a -≤--，2a ≥，此时不等式化为：(2)ln 24a x x a -+>-，易知函数(2)ln y a x x =-+在(0,)+∞上是增函数，则大于2的所有整数都是原不等式的解，不合题意．所以1是原不等式的解，大于3的所有整数不是原不等式的解，2a <， 所以3x ≥时，不等式22ln 4ax a x x -≤--恒成立，即24ln 2x xa x --≤-在[3,)+∞上恒成立， 设24ln ln ()222x x xg x x x --==---，则2222ln ln 1()(2)(2)x x x x x g x x x --+-'=-=--，3x ≥时，ln 1x >，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()(3)2ln3g x g ≥=-，所以2ln3a ≤-． 综上a 的取值范围是(,2ln 3]-∞-． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式的整数解问题，解题关键是转化为不等式在22ln 4ax a x x -≤--在[3,)+∞上恒成立，再变形转化为求函数的最值．12．在三棱锥P ABC -中，二面角P AB C --、P AC B --和P BC A --的大小均等于3π，::3:4:5AB AC BC =，设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，直线PO 与平面ABC 交于点Q ．则POOQ=（ ） A ．14B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】设3AB x =，由三个二面角相等得顶点P 在底面上的射影H 是ABC V 的内心，过ABC V 外心作平面ABC 的垂线，外接球球心就在这条垂直线，由外接球半径求得球心到底面的距离后利用平行线性质可得结论． 【详解】如图，作PH ⊥平面ABC ，垂足为H ，因此三个侧面,,PAB PBC PCA 与底面ABC 所成的二面角相等，所以H 是ABC V 的内心，又::3:4:5AB AC BC =，设3,4,5AB x AC x BC x ===，则222AB AC BC +=，即ABC V 是直角三角形，斜边是BC ，作HN BC ⊥于N ，连接PN ，由PH ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PH BC ⊥，PH HN H =I ，所以BC ⊥平面PHN ，PN ⊂平面PHN ，所以BC PN ⊥，所以PNH ∠是二面角P BC A --的平面角，所以3PNH π∠=，ABC V 是直角三角形，所以2AB AC BCHN x +-==，所以tan PH HN PNH =∠=，设M 是BC 中点，则M 是ABC V 的外心，连接OM ，则OM ⊥平面ABC ，所以//PH OM ，OM BC ⊥，连接HM ，如图PHMO 是直角梯形，在Rt ABC V 中可得HM x ==，若外接球球心在O '位置，如图，则在直角梯形PHMO '中，222()PO HM PH O M ''=+-，在直角O MC '△中，222O C O H MC ''=+，而O P O C ''=，所以22()HM PH O M '+-22O M MC '=+，即222255()(3)()22x x O M O M x ''+-=+，解得33O M x '=-，所以O 在平面ABC 的下方（O 与P 在平面ABC 的两侧），且3OQ x =． 直线PO 与平面ABC 交于点Q ．则Q HM ∈，由//PH MO 得333PQ PHxOQ OMx===，所以4PO PQ OQ OQ OQ +==． 故选：D ．【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，考查二面角的概念，解题关键是掌握结论：一是三棱锥三个侧面与底面所成二面角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形内心．二是三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与该面垂直的直线上．本题确定球心位置时可以分类球心是在平面ABC 的哪一侧，也可以先画图假设在O '位置，计算出MO '的长，如果0MO '>，位置正确，如果0MO '<，则O 在另一侧．二、填空题13．已知向量a r 和b r满足22a a b =-=r r r ，1a b -=r r ，则a b ⋅=r r __________．【答案】1【解析】利用数量积的定义把模转化为数量积后可得． 【详解】由题意222222(2)442442a b a b a a b b a b b -=-=-⋅+=-⋅+=r r r r r r r r r r r ，①， 22222()2221a b a b a a b b a b b -=-=-⋅+=-⋅+=r r r r r r r r r r r ，②，由①②联立可解得1a b ⋅=r r．故答案为：1． 【点睛】本题考查向量的数量积的运算，解题关键是掌握向量数量积的性质，向量的模的运算转化为向量的数量积．14．三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者．在某次三人制足球传球训练中，A 队有甲、乙、丙三名队员参加．甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第4次传球后．，球仍回到甲的概率等于__________． 【答案】38【解析】用树状图表示出传球事件，即可得概率． 【详解】画出树状图表示出传球事件：由树状图，知第四次传回甲的概率是63168P ==． 故答案为：38．【点睛】本题考查古典概型，解题方法是用树状图写出所有基本事件，从而可计算概率．15．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上一个动点，若BPF △周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C 的渐近线方程为__________． 【答案】2y x =±【解析】把P 到右焦点的距离转化为P 到左焦点的距离，根据最小值可建立,,a b c 的等式，从而求得ba，得渐近线方程．【详解】设1F 是双曲线的左焦点，如图，则12PF PF a =+，12BF BP PF BF BP PF a ++=+++，显然2211BP PF BF b c +≥=+，当且仅当1,,B P F 三点共线时取等号， ∴BPF △的最小值是2222b c a ++，∴222242b c a a ++=⨯，2222229a b c b b a =+=++，224b a =，2ba=，∴渐近线方程为2y x =±． 故答案为：2y x =±．16．已知ABC V 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，()sin B A -，sin A ，sin C 成等差数列，则：（1）C =__________；（2）tan tan AB=__________． 【答案】π251- 【解析】（1）由已知结合等差数列和等比数列的性质列式，由正弦定理化角为边，由和差角的正弦公式化简后由余弦定理可得；（2）由（1）计算出sin ,cos A A ，然后由同角关系可计算出结果． 【详解】（1）由sin A ，sin B ，sin C 成等比数列得2sin sin sin B A C =，∴2b ac =，又()sin B A -，sin A ，sin C 成等差数列，∴2sin sin()sin A B A C =-+， 即2sin sin()sin()sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos A B A A B B A B A A B A B B A=-++=-++=，∴sin sin cos A B A =，∴2222b c a a b bc+-=⋅，即222222b c a ac b +-==，∴222+=a b c ，∴2C π=；（2）由（1）可得2A B π+=，22sin sin cos cos 1sin A B A A A ===-，解得1sin cos 2A B ==，cos sin A B +=∴22tan sin cos sin 1tan cos sin cos 2A AB A B A B A ===． 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角间的三角函数关系在解三角形中的应用，同时还考查了诱导公式、两角和与差的正弦公式，解题中需确定选用的公式．属于中档题．三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21a =，714S =，数列{}n b 满足221232n n n b b b b +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足()cos n n n c b a =π，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）2n n a =．2nn b =．（2）()12445n n T ++-=-【解析】（1）由基本量法求出等差数列{}n a 的通项公式，用作商法可求得n b ，但要注意1b 的求法；（2）根据cos()2nπ的周期性，化简后由等比数列前n 项和公式计算． 【详解】解：（1）设{}n a 的公差为d ，由21a =，714S =得11172114a d a d +=⎧⎨+=⎩．解得112a =，12d =，所以2n n a =．∵()212212322n n n nn b b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，∴()()12123122n n n b b b b n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=≥，两式相除得()22nn b n =≥．当1n =时，12b =适合上式． ∴2nn b =．（2）∵()cos π2cos π2nn n n n c b a ⎛⎫==⎪⎝⎭， ∴()2342π3π2cos2cos π2cos 2cos 2π22n T =+++()()21221π2cos2cosπ2n n n n --+⋅⋅⋅++()()()24622cos π2cos 2π2cos 3π2cos πn n =+++⋅⋅⋅+()246222212nn =-+-+⋅⋅⋅+-⋅ ()()()141444145nn +---+-==-+．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式，考查了由递推关系求数列的通项公式，考查等比数列的前n 项和，解题中求和时要注意利用余弦定理的周期性，得出新数列的公比．18．如图（1），在矩形ABCD 中，E ，F 在边CD 上，BC CE EF FD ===．沿BE ，AF 将CBE △和DAF △折起，使平面CBE 和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，如图（2）．（1）试判断图（2）中直线CD 与AB 的位置关系，并说明理由； （2）求平面ADF 和平面DEF 所成锐角二面角的余弦值．【答案】（1）CD ∥AB ．见解析（2 【解析】（1）分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连结CD ，DM ，CN ，MN ，可证得DM 与CN 都与平面ABEF 垂直，从而得它们平行且相等，得平行四边形CDMN ，得//CD MN ，在图（1）中可证得//MN AB ，从而得结论；（2）在AB 边上取一点P ，使得AP DF =，可证得MA ，MP ，MD 两两垂直．以M 点为坐标原点，直线MA ，MP ，MD 分别为坐标轴建立空间直角坐标系M xyz -，用空间向量法求二面角的余弦． 【详解】解：（1）CD AB P ．理由如下：连结CD ，分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连结DM ，CN ，MN ，由图（1） 可得，ADF V 与BCE V 都是等腰直角三角形且全等，则DM AF ⊥，CN BE ⊥，DM CN =，如图．∵平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM AF ⊥，∴DM ⊥平面ABEF ．同理得，CN ⊥平面ABEF ，∴DM CN P ．又∵DM CN =∴四边形CDMN 为平行四边形，∴CD MN ∥． ∵M ，N 分别是AF ，BE 的中点∴MN AB P ∴CD AB P ．（2）在AB 边上取一点P ，使得AP DF =． 由图（1）可得，ADFP 为正方形，即AP FP =． ∵M 为AF 的中点∴MP MA ⊥．由（1）知，MD ⊥平面ABEF ，∴MA ，MP ，MD 两两垂直．以M 点为坐标原点，直线MA ，MP ，MD 分别为坐标轴建立空间直角坐标系M xyz -，如图．设2AF =，则()0,0,1D ，()1,0,0A ，()0,1,0P ，()1,0,0F -，∴()1,0,1FD =u u u r ，()1,1,0FE AP ==-u u u r u u u r． 设平面DFE 的一个法向量为(),,m x y z =u r． 由00FD m FE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v 得00x z x y +=⎧⎨-+=⎩． 令1x =，则1y =，1z =-，∴()1,1,1m =-u r．由平面ADF 是坐标平面xMz 可得：平面ADF 一个法向量为()0,1,0n =r．设平面ADF 与平面DFE 所成的锐角二面角为θ，则3cos cos ,m n m n m nθ⋅===⋅u r r u r r u r r∴平面ADF 与平面DFE 3【点睛】本题考查线面平行的性质定理，考查用空间向量法求二面角．解题关键是找到过同一点的两两垂直的三条直线，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系．本题考查了学生的空间想象能力，运算求解能力，属于中档题．19．已知椭圆C 的方程为22143x y +=，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 的左上方． （1）若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆右焦点2F ，求此时直线l 的方程； （2）求证：PAB △的内切圆的圆心在定直线1x =上． 【答案】（1）11127y x =-．（2）见解析【解析】（1）设直线l 的方程为12y x m =+．设()11,A x y ，()22,B x y ．由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，由判别式大于0得m 的一个范围，由点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 的左上方再一个m 的范围，两者结合得m 的取值范围，以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，说明220AF BF ⋅=u u u u r u u u u r，用坐标表示并代入1212,x x x x +可求得m ，注意m 的取值范围，即得直线方程；（2）由（1）计算0PA PN k k +=，即得直线1x =是APB ∠的内角平分线，可得结论． 【详解】解：（1）设直线l 的方程为12y x m =+．设()11,A x y ，()22,B x y ． 由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=，则12x x m +=-，2123x x m =-． 由()22430m m =-->△，解得22m -<<． 又∵点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 的左上方，∴21m -<<． 若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，则220AF BF ⋅=u u u u r u u u u r，即()()11221,1,0x y x y --⋅--=，化简得274110m m +-=，解得117m =-，或1m =（舍）． ∴直线l 的方程为11127y x =-． （2）∵1212332211PAPBy y kk x x --+=+--12123131222211x m x mx x ----=+-- ()12111111m x x ⎛⎫=+-+ ⎪--⎝⎭()()()1212122111x x m x x x x -+=+--++()222221110132m m m m m m m m +--+=+-=+=++-+-， ∴直线1x =平分APB ∠，即PAB △的内切圆的圆心在定直线1x =上． 【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，考查直线的对称性．直线与椭圆相交问题采取设而不求思想，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，用1212,x x x x +参与运算求解．20．某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A 是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B 是对原有生产线进行技术改造．由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表：（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品”）的年产量为x （万件），通过核算，实行方案A 时新产品的年度总成本1y （万元）为32128101603y x x x =-++，实行方案B 时新产品的年度总成本2y （万元）为32213201003y x x x =-++．已知0.2p =，20x ≤．若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价t （元）分别为60，3604x -，60x -，且生产的新产品当年都能卖出去．试问：当x 取何值时，新产品年利润ξ的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．【答案】（1）当104p <<时，应选择方程A ；当1143p <≤时应选择方程B ；（2）年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润．【解析】（1）根据表格数据计算出两种方案的平均年利润的期望值，比较可得；（2）求出方案A ，按市场销售状态的新产品的年利润ξ的分布列，求出期望值，再用导数的知识求得最大值即可． 【详解】解：（1）∵010210131p p p <<⎧⎪<≤⎨⎪≤-<⎩，解得103p <≤．()14004001200400400200E A p p p p =+--=-， ()1200300900100300200E B p p p p =+--=+，()()104E A E B p >⇒<<； ()()14E A E B p =⇒=；()()1143E A E B p <⇒<≤． ∴当104p <<时，应选择方程A ；当1143p <≤时应选择方程B ；当14p =时，根据（1）的结果，应选择方案A ，所以新产品的年度总成本为32128101603y x x x =-++．（2）设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为1ξ，2ξ和3ξ， 则1160x y ξ=-，213604x x y ξ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3160x x y ξ=--， ∴ξ的分布列为()()11130.4600.4600.2604E x y x x y x x y ξ⎡⎤⎛⎫=⨯-+⨯--+⨯--⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦322155016032x x x =-++-．设()322155016032f x E x x x ξ==-++-，020x <≤， ∴()221550f x x x '=-++．()0010f x x '>⇒<<，()01020f x x '<⇒<<．∴()f x 在()0,10上单调递增，在(]10,20上单调递减，∴当10x =时，()f x 取得最大值，即年产量为10万件时，()E ξ取得最大值， 此时()()max 10423.3f x f =≈（万元）．由（1）知，预期平均年利润的期望()400200360E A p =-=（万元）．因为423.3360>，所以在年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润．【点睛】本题考查了概率的性质，考查离散型随机变量的概率分布列和数学期望，用导数求出函数的最大值，考查学生的运算求解能力和实际应用能力．属于中档题型．21．已知函数()sin xf x e x =．（e 是自然对数的底数） （1）求()f x 的单调递减区间；（2）记()()g x f x ax =-，若0<<3a ，试讨论()g x 在()0,π上的零点个数．（参考数据：2 4.8e π≈）【答案】（1）()3π7π2π,2π44k k k Z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭．（2）见解析 【解析】（1）求出导函数()f x '，解不等式()0f x '<，结合三角函数的性质可得解；（2）求出()(sin cos )x g x e x x a '=+-，令()()hx g x '=，由导数的知识求得()h x 的单调性，然后通过讨论(0),(),()2g g g ππ'''的正负确定()g x 的单调性的极值，确定其零点个数．【详解】解：（1）()sin xf x e x =，定义域为R ． ()()πsin cos sin 4x x f x e x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭． 由()0f x '<解得πsin 04x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得()3π7π2π2π44k x k k Z +<<+∈．（2）由已知()sin x g x e x ax =-，∴()()sin cos x g x e x x a '=+-．令()()h x g x '=，则()2cos xh x e x '=． ∵()0,πx ∈，∴当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>； 当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<， ∴()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 即()g x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． ∵()01g a '=-，()ππ0g e a '=--<． ①当10a -≥，即01a <≤时，()00g '≥，∴π02g ⎛⎫'> ⎪⎝⎭． ∴0π,π2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=， ∴当()00,x x ∈时，()0g x '>；当()0,πx x ∈时，()0g x '<，∴()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,πx 上单调递减．∵()00g =，∴()00g x >．又∵()ππ0g a =-<，∴由零点存在性定理可得，此时()g x 在()0,π上仅有一个零点．②若13a <<时，()010g a '=-<，又∵()g x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又π2π02g e a ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， ∴1π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x '=，()20g x '=， 且当()10,x x ∈、()2,πx x ∈时，()0g x '<；当()12,x x x ∈时，()0g x '>． ∴()g x 在()10,x 和()2,πx 上单调递减，在()12,x x 上单调递增．∵ππ22ππ3π0222g e a e ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，∴()20g x >． 又∵()ππ0g a =-<，由零点存在性定理可得，()g x 在()12,x x 和()2,πx 内各有一个零点，即此时()g x 在()0,π上有两个零点．综上所述，当01a <≤时，()g x 在()0,π上仅有一个零点；当13a <<时，()g x 在()0,π上有两个零点．【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、求极值等问题，考查等人转化思想、分类讨论思想的综合应用，涉及构造函数、多次求导等方法，有一定的综合性，考查学生的分析问题能力和逻辑思维能力，属于难题．22．在直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，()2,0M ，求MP MQ +的值． 【答案】（1）221259x y +=0y +-=．（2【解析】（1）由22cos sin 1ϕϕ+=消去参数可得曲线C 的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直线l 的直角坐标方程； （2）写出直线l 以M为起点的标准参数方程1222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，由利用参数的几何意义，由韦达定理及弦长公式可得弦长．（1）曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得， 曲线C 的普通方程为221259x y +=．∵πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 0θρθ+-=， ∴直线l0y +-=．（2）设直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1267t t +=，129t t =-． ∵M 点在直线l 上， ∴127MP MQ t t +=-===． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线标准参数方程的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题．23．已知不等式135x x m -+-<的解集为3,2n ⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求n 的值；（2）若三个正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=．证明：2222222b c c a a b a b c +++++≥． 【答案】（1）74n =（2）见解析 【解析】（1）根据不等式的解集与方程根的关系求出m ，然后解绝对值不等式得n ． （2）首先利用基本不等式得222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c+++++≥++，通分后，再凑配成()()()2222222222221a b b c b c c a c a a b abc ⎡⎤+++++⎣⎦，再利用基本不等式可得．（1）由题意知，32为方程135x x m -+-=的根， ∴391522m -+-=，解得1m =． 由1351x x -+-<1x <时，1531x x -+-<，54x >，x ∈∅， 513x ≤≤时，1531x x -+-<，32x >，∴3523x <≤， 53x >时，1351x x -+-<，74x <，∴5734x <<， 综上不等式解为3724x <<，∴74n =． （2）由（1）知1a b c ++=， ∴222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c+++++≥++． ()2222222a b b c c a abc=++ ()()()2222222222221a b b c b c c a c a a b abc ⎡⎤=+++++⎣⎦， ()()222122222abc ab c bc a ca b a b c abc abc ≥++=++=， ∴2222222b c c a a b a b c+++++≥成立． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式的证明．考查推理能力与运算求解能力．证明不等式时应用基本不等式不需要考虑等号成立的条件，即使等号取不到，不等式仍然成立．。
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合肥市2020年高三第二次教学质量检测
数学试题（理科）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项
1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．
第I 卷（满分60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．
1．若集合{}{}
22,0322≥=≤--=x x B x x x A ，则B A I =（ ） A ．]3,21[ B ．]1,21[ C ．]21,3[- D ．]3,2[
2．欧拉公式θθθsin cos i e i +=把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数θcos 和θsin 联系在一起，充
分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足i z i e i =⋅+)(π，则z =（ ）
A ．1
B ．22
C ．2
3 D ．2 3．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≥+-≥-+032304042y x y x y x ，则y x z -=2的最小值是（ ）
A ．5-
B ．4-
C ．7
D ．16
4．已知)(x f 为奇函数，当0<x 时，2)(ex e
x f x -=-（e 是自然对数的底数），则曲线)(x f y =在1=x 处
的切线方程是（ ）
A ．e ex y +-=
B ．e ex y +-=
C ．e ex y +-=
D ．e ex y +-=
5．若110tan 380cos =+οοm ，则m =（ ）
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4-
6．已知函数)20,0)(tan()(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象关于点)0,6(π
成中心对称，且与直线y=a 的两个相邻交点间的距离为2
π，则下列叙述正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为π
B ．函数)(x f 图象的对称中心为))(0,6(Z k k ∈+π
π
C ．函数)(x f 的图象可由2tan =y 的图象向左平移6
π得到 D ．函数)(x f 的递增区间为))(6
2,32(Z k k k ∈+-ππππ 7．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b ，宽为内接正接正方形的边长d ，由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推理正确的是（ ）
①由图1和图2面积相等得b a ab d +=； ②由AE≥AF 可得2
222b a b a +≥+； ③由AD≥AE 可得b a b a 112222+≥+； ④由AD≥AF 可得ab b a 222≥+。