北科 经管 大物 课件(19)简谐振动

F v
A x
-A
F v
F=0 x=0
二、描述简谐振动的特征量
x = A cos(ωt + ϕ )
1、振幅 A (位移最大值的绝对值) 2、振动圆频率ω 周期T 和频率 v
ω = 2πν
T=
2π
ω
1 ν= T
3、相位 (1) (ω t +ϕ )是 t 时刻的相位 (2) ϕ 是t =0时刻的相位 — 初相
x0 = A cos ϕ v 0 = − Aω sin ϕ
⎛ v0 ⎞ A＝ x + ⎜ ⎟ ⎝ω ⎠ v0 tgϕ = − ωx 0
2 0 2
⎛ v0 ⎞ A＝ x + ⎜ ⎟ ⎝ω ⎠
2 0
求A，然后由 x0=Acosϕ v0=-Aωsinϕ 两者的共同部分求ϕ 。
例1：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m，物 体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长 到0.04m处释放，求振动方程。 解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、ω和即可。 由题可知，k=0.72N/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04m，v0＝0， 代入公式可得
dψ εk = − 适用于一切产生电动势的闭合回路 dt G G (a) G v × B ⋅ dl 适用于切割磁力线的导体 εk = ∫
(b)
(
)
步骤： 1）将运动导线分割成无数dl，任定dl方向
K K K K G 确定其 v × B及v × B ⋅ dl 2）任选dl，
3）积分
5 机械振动和电磁振荡
合振动加强
合振动减弱
A1 A2 A2 A1
二、垂直方向同频率简谐振动的合成 1、分振动 2、合运动
2 2
x=A1cos(ω t+ϕ 1)
y=A2cos(ω t+ϕ 2)
x y x y 2 + − 2 cos( ϕ − ϕ ) = sin (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
k ω＝ = m
A=
2 v0
0.72 −1 = 6rad ⋅ s 0.02
2 0 2 x0 + 2 = 0.04 2 + 2 = 0.04m 6 ω
又因为x0为正，初速度v0＝0，可得
ϕ =0
因而简谐振动的方程为：
x = 0.04 cos( 6t ) (m)
2、简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例) A、简谐振动系统的能量特点
G A G A1
x2
ϕ
x1
ϕ1 ϕ2
x
x =A cos(ω t+ϕ )
(2) A =
(1)频率仍然是ω
2 A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 (3) tg ϕ = A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2
x
一、同方向同频率的简谐振动的合成
弹簧振子:
C、固有(圆)频率
k ω= m
固有频率决定于 系统内在性质
⎧ x0 = A cos ϕ ⎧ x = A cos(ωt + ϕ ) t =0 ⎯⎯ →⎨ ⎨ ⎩υ = −ω A sin(ωt + ϕ ) ⎩υ0 = −ω A sin ϕ 2 ⎛ υ0 ⎞ υ 2 0 ϕ = arctan ⎜ − A = x0 + 2 ⎟ ω ⎝ ω x0 ⎠
1 2 (3) 机械能 E = E k + E p = kA 2
B、由起始能量求振幅
1 2 1 2 2 (1) 动能 Ek = kA sin (ω t + ϕ ) Ekmax = kA 2 2 1 t +T 1 2 E k = ∫ E k dt = kA T t 4
Ekmin = 0
简谐振动系统 机械能守恒
(A)
K A o1
2
ω
x
A
(B)
oK A
1 2
A
ω
x
K A (C) o −1 2 A
ω
x
−1 2 A
(D)
o
ω
K A
x
一质点作简谐振动，周期为 T ．质点由平 衡位置向 x 轴正方向运动时，由平衡位置 到二分之一最大位移这段路程所需要的时 间为 (B) T /6 (A) T /4. (C) T /8 (D) T /12
四、简谐振动的动力学方程及能量 1、简谐振动的动力学方程（动力学部分） 定义：质点在一个与 对平衡位置的位移成正比且反向 的合外力作用下的运动 A、受力特点: 线性恢复力 (F= -kx) B、动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
d2x x = Acos(ωt + ϕ ) F = − kx = ma = m 2 dt 2 2 d x k d x 2 ⇒ + ω + x=0 x=0 2 2 dt m dt
1 2 1 2 2 2 υ = mω A sin (ωt + ϕ ) (1) 动能 Ek = m 2 1 2 2 2 = kA sin (ωt + ϕ ) 2
1 2 1 2 2 E = kx = kA cos (ω t + ϕ ) (2) 势能 p 2 2 Epmax, Epmin, Ep 情况同动能
振动有各种不同的形式机械振动 电磁振动 … 广义振动 — 任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化 振动分类：受迫振动 自由振动 阻尼自由振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由 非谐振动 无阻尼自由 (简谐振动) 谐振动
§5.2 简谐振动
一. 谐振动的定义
——离开平衡位置 的位移是时间的正 弹 弦或余弦函数 簧 振 表达式： 子 x(t)=Acos(ω t+ϕ) 的 特点： 振 (1)等幅振动 动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
θ l
转 动 正方 + 向 m mg
2π l T = = 2π ω g
θ = θ m cos(ωt + ϕ )
m = 5×10 -3 kg 弹簧振子 k = 2×10 -4 N·m -1 t = 0 时 x0 = 0 v0 = 0.4 m·s -1 完成下述简谐振动方程
k m
0.2 (rad · s –1)
Q
Δϕ = π
Δϕ = 5π/4
Δϕ = 3π/2
Δϕ = 7π/4
作业: 5.1 5.2 5.3 5.4 5.6
D、由初始条件求振幅和相位
四、常数A和ϕ 的确定
x = A cos(ω t + ϕ ) dx v= = −ω A sin(ω t + ϕ ) dt
说明： (1) 一般来说ϕ 的取值在－π 和π(或0和2π)之间； (2) 在应用上面的式子求ϕ 时，一般来说有两个值，还要 由初始条件来判断应该取哪个 值； (3)常用方法：由 2
A = (1)若两分振动同相
A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
2ห้องสมุดไป่ตู้1 2 2
ϕ 2−ϕ 1=±2kπ (k=0,1,2,…)
则A=A1+A2 , 两分振动相互加强 (2)若两分振动反相 ϕ 2−ϕ 1=±(2k+1)π (k=0,1,2,…) 则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱 如 A1=A2 , 则 A=0
x0
2
v0
0.2
2 (m) (SI)
某物体沿 X 轴作简谐运动，振幅 A = 0.12 m， 周期 T = 2 s，t = 0 时 物体背离原点移动到位置 x0 = 0.06 m处 初相 ϕ ,
t = 0 .5 s 时的位置 x, 速度 v, 加速度 a
由简谐振动方程 x = A cos (ω t﹢ϕ ) t = 0 时 0.06 = 0.12 cos ϕ 得 ϕ =±π / 3 再由题意知 t = 0 时物体正向运动，即 A 0 ，则 ϕ 在第四象限，故取 ϕ = π / 3 且 将 A = 0.12 m，T = 2 s ,
三、简谐振动的描述方法 1、解析法 由 x=Acos(ω t+ϕ ) 已知表达式 ⇒ A、T、ϕ 已知A、T、ϕ ⇒ 表达式 2、曲线法
m o x0 = 0 A xo -A x
ϕ = π /2
T t
已知曲线 ⇒ A、T、ϕ
已知 A、T、ϕ ⇒ 曲线
三、简谐振动的描述方法 3、旋转矢量法
G A
t=t
(1) 合运动一般是在 2A1 ( x向)、2A2 ( y向) 范围 内的一个椭圆 (2) 椭圆的性质 (方位、长短轴、左右旋 ) 在 A1 、A2确定之后, 主要决定于Δ ϕ = ϕ 2-ϕ 1
二、垂直方向同频率简谐振动的合成
Δϕ = 0 Δϕ = π/4
P
·
.
Δϕ = π/2
Δϕ = 3π/4
2 E0 2E 1 2 = E = kA ⇒ A = k k 2
3、简谐振动的动力学解法 1）由分析受力出发 例3. 简谐振动实例 2）由分析能量出发 (单摆)
M = − l ⋅ mg sin θ (θ很小) ≈ − l ⋅ mg ⋅ θ 2 2 d θ M = Jα = ml ⋅ 2 dt 2 g dθ g ∴ 2 + θ = 0 ω= l dt l
ω t+ϕ
G A t=0
x
ω
ϕ
o x = A cos(ω t + ϕ)
G A 旋转方向：逆时针方向 G A 与x轴的夹角：相位 G A 在x轴上的投影：振动方程
G A 旋转角速度：振动的圆频率ω
G A 的大小：振幅 A
一个质点作简谐振动，振幅为A，在 1 起始时刻质点的位移为 2 A ，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动 的旋转矢量图为 :