三角函数的诱导公式教学设计

1.2.3三角函数的诱导公式教学设计(第1课时)
一、三维目标
1．知识与技能
（1）建构合理的问题情境，让学生体验公式的推导过程并能够理解借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；
（2）理解记忆的基本上，能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。

2．过程与方法
（1）经历由观察图形、直观感知探讨数量关系式的过程，培养学生的数学发现能力和概括能力；
（2）通过对诱导公式的发现和探究、运用过程，培养学生的化归能力，提高分析问题和解决问题的能力。

3．情感、态度、价值观
（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度；
（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。

二、教学重点与难点
教学过程中的重点是，探求－α的诱导公式推导过程。

π＋α，π－α与的诱导公式的推导，在小结－α的诱导公式发现过程的基础上，在教师的引导下由学生自己推出。

教学过程中的难点是，对角α的任意性的理解。

π＋α，π－α与角α终边位置的几
何关系的发现以及表示。

以及发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，从而根据三角函数的定义发现三角函数的之间的关系即发现诱导公式的“路线图”。

三、教学方法与教学手段
问题教学法、自主探究法，多媒体课，数学实验
四、教学过程
课堂脉络：温故知新——问题引导——特殊探路——动画感知
自主探究——归纳方法——巩固反馈——开放小结（一）温故知新，问题提出
师：如何求任意角三角函数的函数值？（定义法，三角函数线）
师：如何将任意角三角函数求值问题转化为0°-360°角三角函数求值问题？
问题1求390°的正弦、余弦值.
【设计意图】哈尔莫斯说：问题是数学的心脏。

数学的课堂教学活动教学应当从问题开始。

教师通过设计合理的问题，把数学教学的“锚”，抛在学生最近发展区内，为教学的展开提供知识和思维的生长点。

通过问题激活学生思维的火花。

这个问题虽然只是一个特殊的问题，“承上”，复习三角函数的定义，“启下”，为后面诱导公式的导出作了很好的铺垫。

一般地，由三角函数的定义易知，终边相同角的同名三角函数值相等，即有： 结论1：三角函数具体数值与终边的位置关系密切相关
结论2: 三角函数值与终边单位圆交点的坐标存在对应关系
这组公式用弧度制可以表示成
运用这组诱导公式，我们可以把任意角转化为0~2π角，所以这组公式称为“诱导公式一”。

（二）特殊探路，动画感知
师：如何利用对称推导出角- α 与角的三角函数之间的关系。

下面我们通过几何画板的动画，三角函数值存在什么关系？
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-3-2.5-2-1.5-1-0.5
0.51 1.52
-α
α
P cos α,sin α()
关于x 轴对称角-α：(0.76， -0.64)
P cos α,sin α()
线3线2线1线圆周原点
显示3显示2隐藏1任意角的三角函数任意角隐藏 轴
（三）自主探究——归纳方法
由三角函数定义，我们知道，终边相同的角的同一三角函数值一定相等。

反过来呢？如果两个角的同名三角函数值相等，它们的终边一定相同吗?比如说：
问题2你能找出和30°角余弦值相等，但终边不同的角吗？ 举例说明.
角 与角 的终边关于x 轴对称，有：
研究路线：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系
sin(α+2k π) = sinα，
cos(α+2k π) = co sα， (k ∈Z )
tan(α+2k π) = ta nα。

sin(α+k ·360°) = sinα， cos(α+k ·360°) = co sα，(k ∈Z ) tan(α+k ·360°) = ta nα。

（公式一）
sin(-α) = -sin α，
cos(-α) = cos α，
tan(-α) = -tan α。

（公式二）
【设计意图】引导学生从关注坐标到关注角的终边之间的对称关系，从而将对称作为三角函数的一种研究方法使用，将上述研究的结果一般化。

思考1 请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式二)的?
【设计意图】引导反思，阶段概括。

在这里留足学生讨论的时间，带着学生去总结反思，细化得到公式的步骤。

师：如何利用对称推导出π+ α,π- α与α的三角函数值之间的关系。

两个角的终边关于x 轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？
1.41.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-3-2.5-2-1.5-1-0.5
0.51 1.52
π-α
α
P cos α,sin α()
关于y 对称角π-α：(-0.62， 0.78)
P cos α,sin α()
线3线2线1线圆周原点
显示3隐藏2显示1任意角的三角函数任意角隐藏 轴
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-3-2.5-2-1.5-1-0.5
0.51 1.52
π+α
α
P cos α,sin α()
关于原点对称π+α：(-0.43， -0.90)
P cos α,sin α()
线3线2线1线圆周原点
隐藏3显示2显示1任意角的三角函数任意角
隐藏 轴
角π- α 与角 的终边关于y 轴对称，有：
sin(π -α) = sin α，
cos(π -α) = - cos α， tan(π -α) = - tan α。

（公式三）
角π + α 与角 终边关于原点O 对称，有：
【设计意图】将上述研究的方法一般化.同时通过“你准备怎么研究”等元认知提示语，引导学生学会在解决问题时，合理地制订解题计划。

（四）简单应用，巩固反馈
例1 求下列各三角函数值：
(1) sin 7
6π ； (2) cos(-60°)； （3）tan(-855︒)。

(请你和你的同桌互相出一些需要利用诱导公式一~四解决的简单三角函数求值问题) (追问学生你是怎么想的?从而引出思考2)
思考2 由例1和大家自己编制的问题，你能自己归纳一下利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
【设计意图】 阶段概括用公式的方法，感悟在解决问题的过程中，如何合理的使用这几组公式。

当然，公式的熟练使用不是一节课就可以完成的，需要学生在今后的学习中不断体会，不断总结和概括，进而将诱导公式内化到自己的知识结构中去。

（五）回顾反思，开放小结
问题4 回顾一下，我们是怎样获得诱导公式的?研究的过程中，你有哪些体会? 具体地，可以用知识树表示如下：
【设计意图】开放式小结，不同的学生有不同的学习体验和收获。

感受数学公式一脉相承的气息。

（六）分层作业，拓展探究
1、阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法；
2、必做题 课本23页 13
3、思考题
角间关系
对称关系 坐标关系 三角函值 公式二
公式一
公式三
公式四
sin(π + α) = -sin α， cos(π + α) = -cos α， tan(π + α) = tan α。

（公式四）
（1）你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导到另外一组公式吗？
（2）角α和角β的终边还有哪些特殊的位置关系，你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？
【设计意图】阅读课本旨在培养学生良好的学习习惯。

事实上，本节课学完之后，还有几个问题需要研究：这几组公式之间是相互独立的吗？还有哪些对称需要我们去研究？以选做题的形式出现，促使学生的课后思考和自主探究。