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【广东省广州市】2017届高三12月模拟考试理科数学试卷-答案

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2017年高考理科数学全国卷2(含答案解析)

2017年高考理科数学全国卷2(含答案解析)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共6页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.3i 1i +=+ （ ）A .12i +B .12i -C .2i +D .2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=.若{}1AB =，则B =（ ）A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A .90πB .63πC .42πD .36π5.设x ，y 满足约束条件2330,2330,30.x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩≤≥≥则2z x y =+的最小值是（ ）A .15-B .9-C .1D .9 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A .12种B .18种C .24种D .36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ）A .乙可以知道四人的成绩B .丁可以知道四人的成绩C .乙、丁可以知道对方的成绩D .乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A .2B .3C .4D .59.若双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ）A .2B .3C .2D .23310.已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A .32B .155C .105D .3311.若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为 （ ） A .1-B .32e --C .35e -D .112.已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________最小是（ ） A .2-B .32-C . 43-D .1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX = .14.函数23()sin 4f x x x =+-([0,])2x π∈的最大值是 . 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑. 16.已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN = .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知2sin()8sin 2B AC +=. （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b .18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）.其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50 kg ，新养殖法的箱产量不低于50 kg ”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o90BAD ABC ∠=∠=，E 是PD 的中点.（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值.20.（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12xC y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21.（12分）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --＜＜.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知0a >，0b >，332a b +=.证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：3i (3i)(1i)2i 1i 2++-==-+，故选D . 名师点睛：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除.除法实际上是分母实数化的过程.在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若1z ，2z 互为共轭复数，则221212||||z z z z ⋅=⋅，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化.【考点】复数的除法 2.【答案】C【解析】试题分析：由{1}AB =得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140m -+=，3m =，{1,3}B =，故选C ．名师点睛：集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性． 【考点】交集运算，元素与集合的关系 3.【答案】B【解析】试题分析：设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：7(12)38112x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B .名师点睛：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论.【考点】等比数列的应用，等比数列的求和公式4.【答案】B【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．名师点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．【考点】三视图，组合体的体积 5.【答案】A【解析】试题分析：画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 表示斜率为2k =-的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点(6,3)B --处取得最小值，min 2(6)(3)15Z =⨯-+-=-，故选A .名师点睛：求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值，当0b ＞时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b ＜时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.【考点】应用线性规划求最值 6.【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343C A 36⨯=种．故选D ．名师点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素（或位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 【考点】排列与组合，分步乘法计数原理 7.【答案】D【解析】试题分析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩.故选D .名师点睛：合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下） 【考点】合情推理 8.【答案】B【解析】试题分析：阅读程序框图，初始化数值1a =-，1K =，0S =. 循环结果执行如下：第一次：011S =-=-，1a =，2K =； 第二次：121S =-+=，1a =-，3K =； 第三次：132S =-=-，1a =，4K =；第四次：242S =-+=，1a =-，5K =； 第五次：253S =-=-，1a =，6K =； 第六次：363S =-+=，1a =-，7K =. 结束循环，输出3S =.故选B .名师点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：①要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；②要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；③按照题目的要求完成解答并验证. 【考点】程序框图 9.【答案】A【解析】试题分析：由几何关系可得，双曲线22221x y a b -=(00)a b >>，的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线距离为d ==则点(2,0)到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e =．故选A ． 名师点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a ＝－转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．【考点】双曲线的离心率，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 10.【答案】C【解析】试题分析：如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1BC D ∠，1=2BC 60=3BD，11=C D AB易得22211=C D BD BC +，因此111cos =5BC BC D C D ∠，故选C .名师点睛：平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π(0]2，，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.【考点】异面直线所成的角，余弦定理，补形的应用 11.【答案】A 【解析】试题分析：由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)ex f x x x -=--，故21()(2)ex f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-，故选A ．名师点睛：（1）可导函数()y f x ＝在点0x 处取得极值的充要条件是0()0f x '＝，且在0x 左侧与右侧()f x '的符号不相同；（2）若()f x 在()a b ，内有极值，那么()f x 在()a b ，内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．【考点】函数的极值，函数的单调性 12.【答案】B【解析】试题分析：如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以(2,2)PB PC x y +=--，22233()22)22(22PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+--≥，当(0P 时，所求最小值为32-，故选B .【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.【考点】平面向量的坐标运算，函数的最值二、填空题 13.【答案】1.96【解析】试题分析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,0.02X B ，由二项分布的期望公式可得(1)1000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=．【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()C 1n kkk n p X k p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．【考点】二项分布的期望与方差14.【答案】1【解析】试题分析：化简三角函数的解析式，则22231()1cos cos(cos144f x x x x x x=--=-+=-+由π[0,]2x∈可得cos[0,1]x∈，当cos x=()f x取得最大值1.名师点睛：本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析.【考点】三角变换，复合型二次函数的最值15.【答案】21nn+【解析】试题分析：设等差数列的首项为1a，公差为d，由题意有113,4102432,adda+⨯=+=⎧⎪⎨⎪⎩解得11,1,da=⎧⎨=⎩数列的前n项和1(1)(1)(1)11222nn n n n nSnn da n--+++⨯==⨯=，裂项可得12112()(1)1kS k k k k==-++，所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n==-+-++-=-=+++∑.名师点睛：等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量1a，n a，d，n，n S，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法.使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.【考点】等差数列前n项和公式，裂项求和.16.【答案】6【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F'，作MB l⊥与点B，NA l⊥与点A，由抛物线的解析式可得准线方程为2x=-，则2AN=，4FF'=在直角梯形ANFF'中，中位线32AN FFBM'+==，由抛物线的定义有：3MF MB==，结合题意，有3MN MF==，故336FN FM NM=+=+=．【考点】抛物线的定义，梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．三、解答题17.【答案】（1）15cos17B=；（2）2b=．【解析】试题分析：（1）利用三角形内角和定理可知A B C+=，再利用诱导公式化简sin()A C+，利用降幂公式化简21cossin22B B-=，结合22sin cos1B B+=即可求出cos B；（2）利用（1）中结论15cos17B=，结合三角形面积公式可求出ac的值，根据6a c+=，进而利用余弦定理可求出b的值.试题解析：（1）由题设及πA B C ++=，可得2sin 8sin 2BB =，故sin 4(1cos B B =-. 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217ABC S ac B ac =△.又=2ABC S △，则172ac =.由余弦定理及6a c +=得：222217152cos ()2(1cos )362(1)4217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+=，所以2b =.【考点】余弦定理，三角形面积公式【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正余弦定理、三角形面积公式等知识进行求解.解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意a c +，ac ，22a c +三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐． 18.【答案】（1）0.4092；（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）52.35 kg ．【解析】试题分析：（1）利用相互独立事件概率公式即可求得事件A 的概率估计值； （2）写出列联表计算的2K 观测值，即可确定有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）结合频率分布直方图估计中位数为52.35 kg .试题解析：（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg ”，由题意知()()()()P A P BC P B P C ==，旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为0.0120.0140.0240.0340.0()4050.62⨯++++=， 故()P B 的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为0.0680.0460.0100.00850.6)6(+++=⨯， 故()P C 的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯=. （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：2K 的观测值22200(62663438)15.70510010096104K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈. 由于15.705 6.635＞，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为0.0040.0200.04450(.)340.5++⨯=＜，箱产量低于55 kg 的直方图面积为0.0040.0200.0440.0685(0.680.)5+++⨯=＞， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.50.345052.38(kg)0.068-+≈.名师点睛：（1）利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大． （2）利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．【考点】独立事件概率公式，独立性检验原理，频率分布直方图估计中位数 19.【答案】（1）证明：取PA 的中点F ，连结EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF AD ∥，1=2EF AD ，由=90BAD ABC =∠∠得BC AD ∥, 又1=2BC AD ，所以EF BC ∥，四边形BCEF 是平行四边形，CE BF ∥. 又BF ⊂平面PAD ,BCE ∉平面PAB ，故CE ∥平面PAB .（2）由已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C，P，(1,0,PC ，(1,0,0)AB ， 设(,,)M x y z ，则(1,,)BM x y z =-，(,1,PM x y z =-，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而=(0,0,1)n 是底面ABCD 的法向量， 所以cos ,sin 45BM 〈〉=n2=，即222(1)0x y z -+-=.① 又M 在棱PC 上，设PM PC λ=，则x λ=，1y =，z =.②由①②解得，11,x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（舍去），11,x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以(1M -，从而(1AM =. 设000(,,)x y z =m 是平面ABM 的法向量，则0,0,AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0000(220,0,x y x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩所以可取(0,m .于是cos ,||||⋅〈〉==m n m n m n ，因此二面角M AB D --. 【解析】试题分析：（1）取PA 的中点F ，连结EF ，BF ,由题意证得CE BF ∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,m ，(0,0,1)n ，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --. 名师点睛：（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,〈〉m n 互补或相等，故有|cos ,|||o |s |c θ⋅〈〉=＝m nm n m n ．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【考点】判定线面平行，面面角的向量求法20.【答案】（1）设(,)P x y =，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，0(,)NP x x y -，0(0,)NM y .由2NP NM =得0x x =，0y y . 因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=.因此点P 的轨迹方程为222x y +=.（2）由题意知(1,0)F =-.设(3,)Q t =-，(,)P m n =，则，(3,)OQ t =-，(1,)PF m n =---，33OQ PF m tn ⋅=+-，(,)OP m n =，(3,)PQ m t n =---.由1OP PQ ⋅=得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=.所以0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【解析】试题分析：（1）设出点P 、M 的坐标，利用2NP NM =得到点P 与点M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222xy +=；（2）利用1OP PQ ⋅=可得坐标之间的关系：2231m m tn n --+-=，结合（1）中的结论整理可得0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥，据此即可得出结论. 名师点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系(,)0F x y ==． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入（相关点）法：动点(,)P x y =依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而运动，常利用代入法求动点(,)P x y =的轨迹方程． 【考点】轨迹方程的求解，直线过定点问题 21.【答案】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.设()ln g x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥. 因为(1)=0g ，()0g x ≥，故(1)=0g '，而1()g x a x'=-，(1)1g a '=-，得1a -. 若1a -，则1()1g x x'=-.当01x ＜＜时，()0g x '＜，()g x 单调递咸； 当1x ＞时，()0g x '＞，()g x 单调递增.所以1x =是()g x 的极小值点，故()(1)0g x g =≥. 综上，1a =.（2）由（1）知2()ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--．设()22ln h x x x =--，则1()2'x h x=-．当1(0,)2x ∈ 时，()0h'x ＜；当1(,)2x ∈+∞时，()0h'x ＞，所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．又2(e )0h -＞，1()02h ＜，(1)0h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当0(0,)x x ∈时，()0h x ＞；当0(,1)x x ∈时，()0h x ＜，当(1,)x ∈+∞时，()0h x ＞． 因为()()f 'x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点． 由0()0f 'x =得00ln 2(1)x x =-，故000()(1)f x x x =-． 由0(0,1)x ∈得01()4f x ＜． 因为0x x =是()f x 在(0,1)的最大值点，由1(1)e 0,-∈，1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=． 所以220e ()2f x --＜＜．【解析】试题分析：（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得1a =，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数()22ln h x x x =--，结合()h x 的单调性和()f x 的解析式即可证得题中的不等式成立.名师点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 22.【答案】（1）()()22240x y x -+=≠ （2）2【解析】试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB △面积的最大值.理科数学试卷 第21页（共22页） 理科数学试卷 第22页（共22页） 试题解析：（1）设P 的极坐标为()()0ρθρ,＞，M 的极坐标为11()()0ρθρ,＞. 由题设知OP ρ=，14cos OM ρθ==. 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程为0)4cos (ρθρ=＞，因此2C 的直角坐标方程为22(240)()x y x -+=≠.（2）设点B 的极坐标为()(0)B B ραρ,＞，由题设知2OA =，4cos B ρα=，于是OAB △的面积1ππsin 4cos sin 2sin 22233B S OA AOB ρααα⎛⎫⎛⎫=⋅⋅∠=⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当π12α=-时，S取得最大值2+OAB △面积的最大值为2.名师点睛：本题考查了极坐标方程的求法及应用。

2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试卷及答案

2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试卷及答案

试卷类型：A 2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16B ．13C ．12D ．38图1俯视图侧视图正视图6．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C A ．16 B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8, 按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257 B ．256C ．254D ．253表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB == ，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与 圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .DCBA15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；CBa 图3重量/克0.0320.02452515O （注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n = ，则样本数据的平均值为112233X x p x p x p =+++ （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在的小球个数为ξ，求ξ18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图419．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=.（1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+ .2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==. 在△ABC中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分 由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分） (1)解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3，……………6分 ()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. ……………10分 为：∴ξ的分布列……………11分 ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=） 18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则1==，AM MB∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABFE，平面ABCD 平面=，ABFE AB∴EF∥AB，即EF∥MB. ……………1分∵EF=MB1=∴四边形EMBF是平行四边形. ……………2分∴EM∥FB，EM FB=.在Rt△BFC中，2224=，得FB=+==，又FB FCFB FC BC∴EM=……………3分在△AME中，AE=1AM=，EM=∴222+==，3AM EM AE∴⊥. AM EM……………4分∴AM FB⊥.⊥，即AB FB∵四边形ABCD是正方形，∴⊥. AB BCMO HFEDCB……………5分∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO∥FH，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD . (9)分∴EO ⊥平面ABCD .∵AO⊂平面ABCD，∴EO⊥AO. ……………10分∵AO BD⊥，,EO BD O EO=⊂平面EBD，BD⊂平面EBD，∴AO⊥平面EBD. (11)分∴AEO∠是直线AE与平面BDE所成的角. ……………12分在Rt△AOE中，tanAOAEOEO∠==……………13分∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为……………14分证法2：连接AC，AC与BD相交于点O取BC的中点H，连接,OH EO，则OH∥AB，112OH AB==.由（1）知EF∥AB，且12EF AB=∴EF∥OH，且EF OH=.∴四边形EOHF是平行四边形.∴EO∥FH，且1EO FH==. ……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD . (8)分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅= ，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-. 令1x =，则平面BDE的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos , n AE ⋅=n AE n AE3=. ……………11分∴cos 3θ==，sintan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE 所成角的正切值为……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n+--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列. ∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，①()1231442434144n nn T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=， ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ . 由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠- ， ……………11分 两边对x取导数得，12123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ .……………13分 ∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+, 即1y =+, ……………1分化简得24x y =. ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x x x x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B的坐标为()211142,441kk k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441kk k --+. …………6分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()a f x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分 ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-.……………4分令()2ln 2x g x x x=-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022k g k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x k x x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022xx x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n = 分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n--=+. ……………14分。

【广东省广州】2017届高三12月模拟考试理科数学年试题

【广东省广州】2017届高三12月模拟考试理科数学年试题

广东省广州市2017届高三12月模拟考试理科数学试卷答 案一、选择题（1）~（5）BDABA（6）~（10）CDCBB（11）~（12）DA二、填空题 （13）6 （14）40 （15）3 （16）2 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）因为1a =，2cos 2C c b +=，由余弦定理得2221222b c c b b+-⨯+=,即221b c bc +-=．……………………（2分）所以22211cos 222b c bc A bc bc +-===．…………………………………………（4分）由于0πA ＜＜，所以π3A =．…………………………………………（6分）（Ⅱ）法1：由12b =及221bc bc +-=，得2211()122c c +-=，……………………（7分）即24230c c --=，………………………………………………………………（8分）解得c =或c =（舍去）．…………………………………………（9分）由正弦定理得sin sin c aC A=，…………………………………………（10分）得sin sin60C =︒=．………………………………………（12分） 法2：由12b =及正弦定理得sin sin b aB A=，…………………………………………（7分）得1sin sin602B =︒=．…………………………………………（8分）由于b a ＜，则060B A ︒=︒＜＜，则cos B =．…………………………………………（9分） 由于180A B C ++=︒，则120C B =︒-．………………………………………（10分）所以sin sin(120)C B =︒-sin120cos cos120sin B B =︒-︒．………………………………………（11分）12+E8=……………………………………………………………（12分） （18）解： （Ⅰ）150.46780.16EX a b =⨯+++⨯=，即67 3.2a b +=，……………………（1分） 又由1X 的概率分布列得0.40.11,0.5a b a b +++=+=，……………………（2分） 得0.3a =，0.2b =．…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由已知得，样本的频率分布表如下：………………………………………………………………（5分）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下：………………………………………………………………（6分）所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………（7分） 即乙厂产品的等级系数的数学期望为4.8．……………………………………………（8分） （Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为616=，…………（9分） 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.81.24=，…（10分）据此，乙厂的产品更具可购买性．……………………………………………（12（19）解：（Ⅰ）因为ABC △是等边三角形，M 是AB 的中点， 所以CM AB ⊥．…………………………………（1分） 因为EA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以CM EA ⊥．…………………………………（2分） 因为AMEA A =，所以CM ⊥平面EAM ．……………………（3分） 因为EM ⊂平面EAM ，所以CM EM ⊥．……………………………（4分）（Ⅱ）法1：以点M 为坐标原点，MC 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB ⊥平面ABC ，PN M DECBA所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角．……………………………………（5分） 由题意得tan 2BDDMB MB∠==，即2BD MB =，…………………………………（6分） 从而BD AC =．不妨设2AC =，又2AC AE =，则CM 1AE =.…………………………（7分） 故(0,1,0)B，C ，(0,1,2)D ，(0,1,1)E -．……………………………（8分） 于是(3,1,0)BC =-，(0,0,2)BD=，(1,1)CE =-，(CD =， 设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =由00m BC m BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得111020y z -==⎪⎩，令11x=，得1y所以(1,3,0)m =．…………………………………（9分）由00n CE n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得222222020y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，令21x =，得2y =2z =．所以3(1,n =-．…………………………………（10分）所以cos ,0||||m nm n m n <>==．…………………………………（11分） 所以二面角B CD E --的余弦值为0．…………………………………（12分） 法2：因为DB ⊥平面ABC ，所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角．…………………………………（5分） 由题意得tan 2BDDMB MB∠==，即2BD MB =，…………………………………（6分） 从而BD AC =．不妨设2AC =，又2AC AE =，则CM =1AE =，2AB BC BD ===．…………………………………（7分） 由于EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，则EA BD ∥． 取BD 的中点N ，连接EN ，则2EN AB ==． 在Rt END △中，ED= 在Rt EAC △中，EC =在Rt CBD △中，CD ，取CD 的中点P ，连接EP ，BP ，BE ，则EP CD ⊥，BP CD ⊥…………………………………（8分）所以EPB ∠为二面角B CD E --的平面角．…………………………………（9分） 在Rt EPC △中，EP在Rt CBD △中，12BP CD =在Rt EAB △中，EB =因为2225EP BP EB +==，…………………………………（10分） 所以90EPB ∠=︒．…………………………………（11分）所以二面角B CD E --的余弦值为0．…………………………………（12分） （20）解：（Ⅰ）设圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为(,)x y ，由于动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆222:(2)1F x y -+=相内切，所以动圆P 与圆1F 只能内切．…………………………………（1分） 所以1271PF R PF R ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………………………………（2分）则121264PF PF F F +=>=．…………………………………（3分） 所以圆心P 的轨迹是以点1F ，2F 为焦点的椭圆， 且3a =，2c =，则2225b a c =-=．所以曲线C 的方程为22195x y +=．…………………………………（4分）（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)Q x y ，直线MN 的方程为2x my =+，由222195x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(59)20250m y my ++-=，则1222059my y m +=-+，1222559y y m =-+．…………………………………（5分）所以||MN =（6分）2230(1)59m m +=+．…………………………………（7分） 因为MN OQ ∥，所以QMN △的面积等于OMN △的面积．…………………（8分）点O 到直线:2MN x my =+的距离d ．……………………………（9分）所以QMN △的面积221130(1)||2259m S MN d m +==⨯+.………（10分） t =，则221(1)m t t =-≥，2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++．设4()5(1)f t t t t=+≥，则222454()5t f t t t -'=-=． 因为1t ≥，所以2254()0t f t t -'=＞．所以4()5f t t t=+在[1,)+∞上单调递增．所以当1t =时，()f t 取得最小值，其值为9．…………………………………（11分）所以QMN △的面积的最大值为309．…………………………………（12分） 说明：QMN △的面积2121||||2S OF y y =-． （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．()ln mx nf x m x x+'=+．………………………………………………………………（1分） 依题意得(e)e f =，'(e)2f =，即e e e 2e m n m nm +=⎧⎪+⎨+=⎪⎩……………………（3分） 所以1m =，0n =．………………………………………………………………（4分） 所以()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+．当1(0,)ex ∈时，()0f x '<；当1(,)e x ∈+∞时，()0f x '>．所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e，单调递增区间是1(,)e +∞.………………（6分）（Ⅱ）当a ，b +∈R 时，()()()22f a f b a bf ++≥．()(b)()22f a f a b f ++≥等价于ln ln ln222a ab b a b a b+++≥， 也等价于2ln (1)ln(1)ln20a a a ab b b b-+++≥．………………………………………（7分）不妨设a b ≥，设()ln(2)(1)ln(1)ln2g x x x x x =-+++（[1,)x ∈+∞）则()ln(2)ln(1)g x x x '=-+．…………………………………………………………（8分） 当[1,)x ∈+∞时，()0g x '≥，所以函数()g x 在[1,)+∞上为增函数，即()ln2(1)ln(1)ln2(1)0g x x x x x g =-+++≥=，……………………（9分）故当[1,)x ∈+∞时，()ln2(1)ln(1)ln20g x x x x x =-+++≥（当且仅当1x =时取等号）．令1ax b=≥，则()0a g b ≥，…………………………………………（10分）即2ln (1)ln(1)ln20a a a a b b b b-+++≥（当且仅当a b =时取等号），……………（11分） 综上所述，当a ，b +∈R 时，()()()22f a f b a bf ++≥（当且仅当a b =时取等号）………（12分）（22）解：（Ⅰ）由sin 1cos x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=，……………………（1分）所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=．……………………（2分） 由2cos 4sin ρθθ=，得2(cos )4sin ρθρθ=，……………………（3分） 把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得24x y =，所以曲线C 的直角坐标方程为24x y =．…………………………………………（5分） （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入24x y =，得22sin 4cos 40t t ϕϕ--=，………………（6分）当πϕ=时，||AB 的最小值为4．…………………………………………（10分）（Ⅱ）因为()()|21||21||(21)(21)|23333f x f x x x x x+--++--+==≥………………（7分）（8分）（9分）2)(,)3+∞．（10分）。

2017年全国卷1(理科数学)含答案

2017年全国卷1(理科数学)含答案

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则【A 】 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是【B 】A ．14 B ．π8 C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为【B 】 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为【C 】A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是【D 】 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为【C 】 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为【B 】A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入【D 】A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是【D 】 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为【A 】 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则【D 】A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的&最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是【A】A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广州市2017届高三12月模拟考试数学理试题(广州调研零模)答案

广州市2017届高三12月模拟考试数学理试题(广州调研零模)答案

2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题（1）B （2）D （3）A （4）B （5）A （6）C（7）D （8）C （9）B （10）B （11）D （12）A 二、填空题（13）6 （14）40 （15）3 （16）2 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）因为1=a ，b c C 2cos 2=+，由余弦定理得2221222b c c b b +-⨯+=,即221b c bc +-=. ……………………2分 所以22211cos 222b c bc A bc bc +-===. …………………………………………4分 由于0A π<<, 所以3A π=. …………………………………………6分（Ⅱ）法1: 由12b =及221b c bc +-=, 得2211122c c ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭, ……………………7分即24230c c --=, ………………………………………………………………8分 解得1134c +=或1134c -=(舍去). …………………………………………9分 由正弦定理得sin sin c aC A=, …………………………………………10分 得113339sin sin 6048C ︒++=⨯=. ………………………………………12分法2: 由12b =及正弦定理得sin sin b aB A=, …………………………………………7分得13sin sin 6024B ︒==. …………………………………………8分 由于b a <, 则060B A ︒︒<<=, 则213cos 1sin 4B A =-=. …………………………………………9分 由于180A B C ︒++=, 则120C B ︒=-. ………………………………………10分所以()sin sin 120C B ︒=-sin120cos cos120sin B B ︒︒=- ………………………………………11分 313132424=⨯+⨯3938+=. ……………………………………………………………12分 (18) 解:（Ⅰ）150.46780.16EX a b =⨯+++⨯=, 即67 3.2a b +=, ① ……………………1分又由1X 的概率分布列得0.40.11,0.5a b a b +++=+=, ② ……………………2分 由①②得0.3,0.2.a b == …………………………………………………………4分 （Ⅱ）由已知得，样本的频率分布表如下：……………………………………………………………5分用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下：………………………………………………………………6分所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………7分即乙厂产品的等级系数的数学期望为4.8. ……………………………………………8分 （Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6, 价格为6元/件，所以其性价比为616=， ………………………………………………………………………………9分因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8, 价格为4元/件，所以其性价比为4.81.24=， ……………………………………………………………………………10分2X3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.12X3 4 5 6 7 8 p 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1zyxM DE CB A据此，乙厂的产品更具可购买性. ……………………………………………12分 (19) 解:（Ⅰ）因为△ABC 是等边三角形，M 是AB 的中点, 所以CM AB ⊥. …………………………………1分 因为EA ⊥平面ABC , CM ⊂平面ABC , 所以CM EA ⊥. …………………………………2分 因为AM EA A = ,所以CM ⊥平面EAM . ……………………3分 因为EM ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥. ……………………………4分（Ⅱ）法1: 以点M 为坐标原点，MC 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -.因为DB ^平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角. ……………………………………5分 由题意得tan 2BDDMB MB∠==, 即2BD MB =,…………………………………6分 从而BD AC =.不妨设2AC =, 又2AC AE =, 则3CM =, 1AE =.…………………………7分 故()0,1,0B ,()3,0,0C, ()0,1,2D , ()0,1,1E -. ……………………………8分于是()3,1,0BC =- , ()0,0,2BD =,()3,1,1CE =-- ,()3,1,2CD =- ,设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为111222(,,),(,,)m x y z n x y z ==,由0,0,m BC m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11130,20,x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 令11x =,得13y =,所以()1,3,0m =. …………………………………9分由0,0,n CE n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22222230,320,x y z x y z ⎧--+=⎪⎨-++=⎪⎩ 令21x =,得233y =-, 2233z =.所以3231,,33n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ . …………………………………10分所以cos ,0m nm n m n⋅<>== . …………………………………11分所以二面角B CD E --的余弦值为0. …………………………………12分 法2: 因为DB ^平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角. …………………………………5分PNM DECB A由题意得tan 2BDDMB MB∠==, 即2BD MB =,…………………………………6分 从而BD AC =.不妨设2AC =, 又2AC AE =,则3CM =, 1AE =, 2AB BC BD ===. …………………………………7分 由于EA ^平面ABC ,DB ^平面ABC , 则EA ∥BD . 取BD 的中点N , 连接EN , 则2EN AB ==. 在Rt △END 中, 225ED EN ND =+=, 在Rt △EAC 中, 225EC EA AC =+=, 在Rt △CBD 中, 2222CD BC BD =+=,取CD 的中点P , 连接EP ,BP , BE ,则,EP CD BP CD ⊥⊥. …………………………………8分 所以EPB ∠为二面角B CD E --的平面角. …………………………………9分 在Rt △EPC 中, 223EP EC CP =-=,在Rt △CBD 中, 122BP CD ==, 在Rt △EAB 中, 225EB EA AB =+=,因为2225EP BP EB +==, …………………………………10分 所以90EPB ︒∠=. …………………………………11分 所以二面角B CD E --的余弦值为0. …………………………………12分 (20) 解：（Ⅰ）设圆P 的半径为R , 圆心P 的坐标为(,)x y ，由于动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切，所以动圆P 与圆1F 只能内切. …………………………………1分所以127,1.PF R PF R ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ …………………………………2分则4||6||||2121=>=+F F PF PF . …………………………………3分 所以圆心P 的轨迹是以点12,F F 为焦点的椭圆, 且3,2a c ==, 则2225b a c =-=.所以曲线C 的方程为15922=+y x . …………………………………4分（Ⅱ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线MN 的方程为2x my =+，由222,1,95x my x y ì=+ïïïíï+=ïïî可得225920250m y my ++-=（）， 则1212222025,5959m y y y y m m +=-=-++. …………………………………5分所以()()22121214MN m y y y y 轾=++-犏臌 …………………………………6分()22222010015959m m m m 轾骣犏÷ç=+-+÷ç犏÷ç桫++犏臌()22301.59m m +=+ …………………………………7分因为//MN OQ ，所以△QMN 的面积等于△OMN 的面积. …………………8分 点O 到直线2:+=my x MN 的距离221d m=+. ……………………………9分所以△QMN 的面积222221130(1)23012259591m m S MN dm m m ++=?创=+++.…………………………………10分 令21m t +=，则221m t =-(1)t ≥ ，()223030304545195t t S t t t t===+-++. 设()()451f t t t t =+?，则()2224545t f t t t -¢=-=. 因为1t ³, 所以()22540.t f t t-¢=> 所以()45f t t t=+在[)1,+?上单调递增.所以当1t =时, ()f t 取得最小值, 其值为9. …………………………………11分所以△QMN 的面积的最大值为309. …………………………………12分 说明: △QMN 的面积()222121212213014259m S OF y y y y y y m +=?=+-=+.(21) 解:（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.()ln mx nf x m x x+'=+. ………………………………………………………………1分 依题意得(e)e,(e)2f f '==，即e e,e 2,e m n m nm +=⎧⎪+⎨+=⎪⎩……………………3分 所以1,0m n ==. ………………………………………………………………4分 所以()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.当1(0,)ex ∈时, ()0f x '<; 当1(,)e x ∈+∞时, ()0f x '>. 所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e , 单调递增区间是1(,)e+∞.………………6分（Ⅱ）当,R a b +∈时，()()()22f a f b a b f ++≥. ()()()22f a f b a b f ++≥等价于ln ln ln 222a a b b a b a b+++≥，也等价于2ln(1)ln(1)ln 20a a a ab b b b-+++≥. ………………………………………7分 不妨设a b ≥，设()()ln 2(1)ln(1)ln2g x x x x x =-+++（[1,)x ∈+∞）,则()ln(2)ln(1)g x x x '=-+. …………………………………………………………8分当[1,)x ∈+∞时，()0g x '≥，所以函数()g x 在[1,)+∞上为增函数， 即()ln 2(1)ln(1)ln 2(1)0g x x x x x g =-+++≥=， ……………………9分 故当[1,)x ∈+∞时，()ln 2(1)ln(1)ln 20g x x x x x =-+++≥（当且仅当1x =时取等 号）.令1a x b =≥，则()0ag b ≥， …………………………………………10分 即2ln(1)ln(1)ln 20a a a ab b b b-+++≥（当且仅当a b =时取等号），……………11分 综上所述，当,R a b +∈时，()()()22f a f b a b f ++≥（当且仅当a b =时取等号）. ………………………………………………………………12分(22) 解: (Ⅰ) 由sin ,1cos ,x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=, ……………………1分所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=. ……………………2分由2cos 4sin =ρθθ, 得()2cos 4sin ρθρθ=, ……………………3分 把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式, 得y x 42=,所以曲线C 的直角坐标方程为y x 42=. …………………………………………5分 (II) 将直线l 的参数方程代入y x 42=, 得22sin4cos 40t t ϕϕ--=, ………………6分设A 、B 两点对应的参数分别为12,t t , 则122cos sin t t ϕϕ+=4, 122sin t t ϕ=-4, …………………………………………7分 所以2121212()4AB t t t t t t =-=+-=242216cos 16sin sin sin ϕϕϕϕ+=4. ……9分 当2πϕ=时, AB 的最小值为4. …………………………………………10分(23) 解：（Ⅰ）由13ax -≤, 得313ax -≤-≤，即24ax -≤≤. ……………………1分当0a >时，24x a a-≤≤. …………………………………………………………2分 因为不等式()3f x ≤的解集是}{|12x x -≤≤所以21,42,aa ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得 2.a =…………………………………………………………3分当0a <时，42x a a ≤≤-. …………………………………………………………4分因为不等式()3f x ≤的解集是}{|12x x -≤≤所以22,41,aa⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩无解. …………………………………………………………5分所以 2.a=（II）因为()()()()212121212.3333x xx xf x f x--+-+++-=≥=………………7分所以要使()()3f x f xk+-<存在实数解，只需23k>. ………………8分解得23k>或23k<-. ………………………………………………………9分所以实数k的取值范围是22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………………………10分。

2017高考全国卷1数学试题及答案解析(理科)

2017高考全国卷1数学试题及答案解析(理科)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=<A B x x B ．AB =RC ．{}1=>A B x xD ．A B =∅2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．π8C ．12D ．π43. 设有下面四个命题，则正确的是（）1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．13p p ，B ．14p p ，C ．23p p ，D ．24p p ， 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．85. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x的取值范围是（） A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，6.()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．357. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16 8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．1011. 设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x<<D ．325y x z <<12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三理科数学试卷+答案

高三理科数学试卷+答案

理科数学试题一、选择题（每题5分，共60分）1.已知i 是虚数单位,复数z 满足2(1i)1i z-=+则z =()B.2C.12.已知全集{}2|230,{3}U x x x A =+-≤=-,则U A =ð()A.(,3](1,)-∞⋃+∞B.(3,1]- C.[3,1)- D.[3,1]-3.已知0.30.3121,log 0.3,0.32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是()A.a b c<< B.c a b<< C.a c b << D.a c b<<4.函数2()cos ln f x x x =的图象大致为()A. B.C.D.5.已知向量,a b 的夹角为π4,且2,a b == ,则a b -= ()A.1B.2C.4D.66.若曲线e 1xy =+在0x=处的切线,也是ln y x b =+的切线,则b =()A.-1B.2C.4D.37.在等差数列{}n a 中,12018a =-,其前n 项和为n S ,若151051510S S -=则2020S =()A.0B.2018C.-2019D.20208、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8π3+ B.8π+ C.82π3+D.89.如图,已知点()2,2A 与反比例函数2y x=,在正方形ABOC 内随机取一点P ,则点P 取自图中阴影部分的概率为()10.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,过F 且倾斜角为120的直线与抛物线C 交于,A B 两点,若,AF BF 的中点在y 轴上的射影分别为,M N ,且||43MN =,则抛物线C 的准线方程为()A.32x =-B.2x =- C.3x =- D.4x =-11.已知函数2,0()2ln ,0x x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪>⎩,若函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点,则实数k 的取值范围()A.21(0,)eB.1(,0)2- C.(0,e)D.211(,)2e-12.已知等边ABC △的边长为23,,M N 分别为,AB AC 的中点,将AMN △沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -.点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点,当四棱锥A MNCB -的体积最大时,P 到平面MNCB 距离的最大值为()A.1312+ B.1312+ C.33+ D.35+二、填空题（每题5分，共20分）13.太极图被称为"中华第一图".从孔庙大成殿梁柱,到楼观台,三茅宫等的标记物,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为"阴阳鱼太极图".在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组222240(1)1x y x x y ⎧+⎪≤≤≥⎨⎪++⎩或22(1)1x y +-≤来表示,设(),x y 是阴影中任意一点,则z x y =+的最大值为_______.A.ln 22B.1ln 22+ C.2ln 22- D.1ln 22-14.某校举行歌唱比赛,高一年级从6名教师中选出3名教师参加,要求李老师,王老师两名老师至少有一人参加,则参加的三名老师不同的唱歌顺序的种数为______.(用数字作答)15.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足π2,(π)04f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭,且()f x 在区间ππ(,43上单调,则ω的值有_____个.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左,右顶点12,A A ,右焦点为1,F B 为虚轴的上端点,在线段1BF 上(不含端点)有且只有一点P满足120PA PA ⋅=,则双曲线的离心率为________.三、解答题（共70分）17、（本题12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12n na a +=，149a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12121log log 1n n n a b a S ++=⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，PA PB PC ==.（1）证明：PBD △为直角三角形；（2）若2PD =，E 是PC 的中点，且二面角P AB E --的余弦值为5714，求三棱锥P ABE -的体积.19、（本题12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A B B C C D D E +++、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为371624241673％、％、％、％、％、％、％、％．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100、[]81,90、[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布()60,169N ．（1）求物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[]61,80的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）20、（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，下顶点为M ，直线2MF 与E 的另一个交点为P ，连接1PF ，若1PMF △的周长为12PF F △的面积为313b .(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线:(1)l y kx m m =+≠-与椭圆E 交于A ，B 两点，当m 为何值时，MA MB ⊥恒成立？21、（本题12分）已知函数213()e3x a f x x -=-，其中常数a ∈R .(1)若()f x 在(0,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，求证：导函数()y f x '=与函数241y x x =-+的图象有两个交点.22.（本题10分）在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数),以O 为极点以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为π6θ=.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求AB 的值.理科数学参考答案1.答案：A 解析：复数z 满足2(1i)1i z -=+,2(1i)2i 2i(1i)1i 1i 1i 2z ----∴====--++,||z ∴==2.答案：B 解析：全集{|(3)(1)0}[3,1],{3}U x x x A =+-≤=-=-,则(3,1]U A =-ð.3.答案：B 解析：0.3.311221110.31,log 0.3log 1222a ⎛⎫⎛⎫<<=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,c a b ∴<<.4.答案：C解析：易知()(),()f x f x f x -=∴为偶数,当(0,1)x ∈时,2cos 0,ln 0x x ><,所以当(0,1)x ∈时,()0f x <,故只有C 选项满足条件.5.答案：B解析：||82a b -===+= 6.答案：D解析： e 1x y =+的导数为'e x y =,曲线 e 1x y =+在0x =处的切线斜率为1k =,则曲线 e 1x y =+在0x =处的切线方程为2,ln y x y x b -==+的导数为1y x '=设切点为(),m n .则11m=解得1,3m n ==,即有3ln1b =＋解得3b =.7.答案：D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的性质可得112n S n a d n -=+为等差数列,n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为2d .15105,5515102S S d -=∴⨯=.解得2d =.则2020202020192020(2018)220202S ⨯=⨯-+⨯=.8.答案：A 解析：该几何体是由一个四棱锥和一个圆柱的一半组成的几何体,体积为2118π12222π233⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+.9.答案：D解析：由题意可得正方形的面积为4,联立,22y y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得12x y =⎧⎨=⎩.所以阴影部分面积为221122d 22ln (42ln 2)(20)22ln 2x x x x ⎛⎫-=-=---=- ⎪⎝⎭⎰,所以所求概率22ln 21ln 242P --==.10.答案：C 解析：抛物线2(:20)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,过F 且倾斜角为120的直线方程设为)2py x =-联立抛物线的方程可得2220py +-=.设A 的纵坐标为1y ,B 的纵坐标为2y ,,M N 的纵坐标为1211,22y y ,可得21212y y y p +==-,则121||2y y -=,可得()212124192y y y y +-=,即为22192443p p =+解得6p =,则抛物线的准线方程为3x =-.11.答案：A解析：如图,作出函数,0()2ln ,0xx f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象,函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点,则函数()f x 与函数1y kx =+的图象有且只有三个交点,函数1y kx =+图象恒过点()0,1则直线1y kx =+在图中阴影部分内时,函数()f x 与1y kx =+有三个或两个交点.当直线1y kx =+与ln y x =的图象相切时,设切点为()00,ln x x 切线斜率为000011,ln 1k x x x x =∴=⋅+解得202211e ,,0,e ex k k ⎛⎫=∴=∴∈ ⎪⎝⎭.12.答案：A 解析：如图,由题意,易知,CM BM BN CN ⊥⊥,所以取BC 的中点E ,则E 是等腰梯形MNCB 外接圆圆心.AMN △为等边三角形,所以取MN 中点D ,连接AD ,在AD 上取点F 使2AF FD =,所以点为F AMN △外心.易知13,,1,.22AD MN DE MN DF AF DE ⊥⊥===设点O 为四棱锥A MNCB -的外接球球心OE ∴⊥平面MNCB ,OF ⊥平面AMN .当四棱锥A MNCB -的体积最大时,平面AMN ⊥平面MNCB .π31,,222ADE OF ED OE FD ∴∠=====设四棱锥A MNCB -的外接球半径R,则222134R AF OF =+=.所以当四棱锥A MNCB -的体积最大时,P 到平面MNCB距离的最大值为max d R OE =+=.13.答案：1解析：依题意,,,z x y y x z z =+∴=-+表示直线y x z =-+在y 轴上的截距,所以当直线y x z =-+与圆22(1)1x y +-=切于如图的点A 时,z 最大(1)z >.因为直线y x z =-+与圆相切,所以点()0,1到直线0x y z +-=的距离为1,即11z =>,1=,解得1z =+.14.答案：96解析：第一步:先选3人,李老师与王老师至少有一人参加,用间接法,有3364C C 20416-=-=种;第二步,将3人排序,有336A =种.故不同发言顺序的种数为16696⨯=.15.答案：9解析：由π2,(π)04f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭知,*π3ππ,N 4244T kT k +=-=∈,*3π2(12),,N 123k T k k ω+∴==∈+又因为()f x 在区间ππ(,)43上单调,ππ342T ∴-≤故π2π,126T Tω≥∴=≤,即2(12)1712,32k k +≤∴≤,*N ,0,1,2,8k k ∈∴= 符合条件的ω的值有9个.16.解析：由题意1(,0),(0,)F c B b ,则直线1BF 的方程为0bx cy bc +-=,在线段1BF 上(不含端点)有且只有一点满足120PA PA ⋅=,则1PO BF ⊥,且PO a =,a ∴=即22222222b c a a b c b c =⋅+=+ ,42244230,310c a c a e e ∴-+=-+=,解得2351522e e ++=∴=.17.答案：（1） 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12n na a +=，149a a +=.∴数列{}n a 为等比数列，公比2=q ,又149a a +=，11a ∴=.因此数列{}n a 的通项公式为12n n a -=,*n N ∈.（2）由()12121log log 1n n n a b a S ++=⋅+，得1221111(1)1log 2log 2n n n b n n n n +===-++.11111122311n n T n n n =-+-+-=++ .18.解析：（1）因为四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，所以AD BD CD ==，取AB 的中点M ，连接DM ，PM ，易知DM AB ⊥，因为PA PB =，所以PM AB ⊥，因为PM DM M ⋂=，所以AB ⊥平面PDM ，又PD ⊂平面PDM ，所以PD AB ⊥.取BC 的中点N ，连接DN ，PN ，同理得PD BC ⊥，又AB BC B ⋂=，所以PD ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，故PBD △为直角三角形.（2）由（1）可知，直线DM ，DC ，DP 两两垂直，故可以D 为坐标原点，DM ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示.设AB a =，则,,02a A ⎫-⎪⎪⎝⎭，,,02a B ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,,0)C a ，(0,0,2)P ，因为E 是PC 的中点，所以0,,12a E ⎛⎫⎪⎝⎭，则(0,,0)AB a =，,,222aPA a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,12BE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()111,,x y z =m ，则0,0,AB PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得11110,320,22ay a ax y z =⎧--=⎪⎩令12x =，则2a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭m .设平面ABE 的法向量为()222,,x y z =n ，则0,0,AB BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得2220,30,2ay z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令21x =，则⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n，所以2324|cos ,|a +〈〉=m n .令2314t a =+，则14=，解得73t =或4t =，所以237143a +=或23144a +=，所以43a =或2a =.连接AC ，因为12P ABC P ABCD V --=，12E ABC P ABC V V --=，所以2111344312P ABE E ABC P ABCD V V AB DM PD a ---===⨯⨯⨯⨯=.当2AB =时，三棱锥P ABE -；当43AB =时，三棱锥P ABE -19.答案：（1）因为物理原始成绩()260,13N ξ~，所以()()()478647606086P P P ξξξ<<=<<+≤<()()1160136013602136021322P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯0.6820.95422=+0.818=．所以物理原始成绩在()47,86的人数为20000.8181636⨯=（人）．（2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[]61,80内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为X 0123P2712554125361258125所以数学期望()26355E X =⨯=．20.解析：(1)设122F F c =.由椭圆的定义可知，1PMF △的周长为4a =a =直线2MF 的方程为by x b c =-，与22221x y a b +=联立可得点2322222,a c b P a c a c ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，12PF F ∴△的面积为333222112223b b c c b a c c ⨯⨯==++，即232c c =+，解得1c =或2c =(舍)，则2221b a c =-=，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=.(2)联立22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222214220k x kmx m +++-=，()228210k m ∆=-+>.由(1)可知(0,1)M -，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++，()212122242222121k m my y k x x m m k k +=++=-+=++，()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++()22222222222242212121k m k m m k m k k k --=-+=+++，()()1122,1,1 MA MB x y x y ∴⋅=+⋅+uuu r uuu r ()()121211x x y y =+++1212121x x y y y y =++++22222222221212121m m k mk k k --=++++++.由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=uuu r uuu r ，故23210m m +-=，解得13m =或1m =-(舍)，∴当13m =时，MA MB ⊥恒成立.21.解析：(1)因为()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以212()2e 0x f x ax -'=-≥在(0,)+∞上恒成立，即212e 2x a x -≤恒成立，只需使212mine 2x a x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可.设212e ()(0)x h x x x -=>，则2122121432e 2e 2(1)e ()x x x x x x h x x x -----'==.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 在(0,1)上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()h x 的最小值为(1)e h =，所以e 2a≤，解得2e a ≤，故实数a 的取值范围是(,2e]-∞.(2)证明：当1a =时，212()2e x f x x -'=-.令()221()()412e 41x g x f x x x x -'=--+=--，则21()44x g x e -'=-.令()0g x '>得12x >；令()0g x '<得12x <，所以()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 在12x =处取极小值，1102g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.因为32(1)410e g -=+->，3(2)290g e =->，所以存在12111,,,222x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120,0g x g x ==，所以()g x 有两个零点，即导函数()y f x '=与函数241y x x =-+的图象有两个交点.22.答案：(1)曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩.得曲线C 的普通方程为224120x y x +--=.所以曲线C 的极坐标方程为24cos 12ρρθ-=.(2)设,A B 两点的极坐标方程分别为12ππ(,,66ρρ,12||AB ρρ=-,又,A B 在曲线C 上,则12,ρρ是2π4cos 1206ρρ--=的两根.12121212,||AB ρρρρρρ∴+==-∴=-=.23.答案：(1).∵0,0a b >>,1a b +=由基本不等式得:2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,当且仅当12a b ==时等号成立,由ab m ≤恒成立,14m ∴≥(2).∵(),0,a b ∈+∞()4141459b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪⎝⎭故要使41212x x a b+≥--+恒成立,第7页共7页则2129x x --+≤当2x ≤-时,不等式化为:1229x x -++≤,解得62x -≤≤-当122x -<<时,不等式化为:1229x x ---≤,解得122x -<<当12x ≥时,不等式化为:2129x x ---≤,解得1122x ≤≤故 x 的取值范围[]6,12-.。

2017年广州市一模理科数学试题答案

2017年广州市一模理科数学试题答案

绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自 己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应 位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）复数()221i 1i+++的共轭复数是 （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- （2）若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤，则（A ）M N = （B ）M N ⊆ （C ）N M ⊆ （D ）M N =∅I （3）已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列,则3546a a a a ++的值是（A ）512 （B ）512 （C ）352- （D ）352+ （4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别 是双曲线C 的左，右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF =, 则2PF 等于（A）1（B）13（C）4或10（D）1或13（6）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为83, 则该几何体的俯视图可以是（7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为（A）12（B）1532（C）1132（D）516（8）已知1F,2F分别是椭圆C()2222:10x ya ba b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C上存在点P使12F PF∠为钝角, 则椭圆C的离心率的取值范围是（A）22⎛⎫⎪⎪⎝⎭（B）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（C）20,2⎛⎝⎭（D）10,2⎛⎫⎪⎝⎭（9）已知:0,1xp x e ax∃>-<成立, :q函数()()1xf x a=--是减函数, 则p是q的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC为鳖臑, PA⊥平面ABC, 2PA AB==，4AC=, 三棱锥-P ABC的四个顶点都在球O的球面上, 则球O的表面积为（A）8π（B）12π（C）20π（D）24π（11）若直线1y=与函数()2sin2f x x=的图象相交于点()11,P x y，()22,Q x y，且12x x-=23π，则线段PQ与函数()f x的图象所围成的图形面积是（A）233π+（B）33π（C）2323π（D）323π（12）已知函数()32331248f x x x x=-++, 则201612017kkf=⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（A）0（B）504（C）1008（D）2016P CBA第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

广州市2017届高三12月模拟考试数学(理)试题及答案

广州市2017届高三12月模拟考试数学(理)试题及答案

2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学本试卷共4页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}2A x x =≤，{}2230B x x x =--≤，则AB =（ ）(Ａ) []2,3- (Ｂ) []1,2- (Ｃ) []2,1- (Ｄ) []1,2 2．设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（ ）（A ）1 （B（C（D3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q = （ ） (A) 1- (B) 1 (C) 2- (D) 24．已知双曲线：C 12222=-b x a y （0,0>>b a ）的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C 的离心率为（ ）(A)25(B) 5 (C)26(D) 65．若将()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） （A ）8π （B ）4π（C ）38π （D ）34π6．GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期，C 期各播出1间学校，现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务，不同的选法共有（ ） （A ）140种 （B ）420种 （C ）840种 （D ）1680种7．已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是（ ）8．设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c = ，则,,a b c 的大小关系为（ ）(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << 9．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 1110．已知抛物线:C x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若MF PF 3=，则=MN （ ） (Ａ)221 (Ｂ)332 (Ｃ) 10 (Ｄ) 1111．如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） (A) π25 (B)π425 (C) π29 (D) π429 12．若函数()()x a x e x f xcos sin +=在⎪⎭⎫⎝⎛ 2,4ππ上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） (A) (],1-∞ (B) (),1-∞ (C) [)1,+∞ (D) ()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷与答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷与答案

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则{|0}A B x x =<I A B =R U {|1}A B x x =>U A B =∅I 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是14π812π4设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为13,p p 14,p p 23,p p 24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入 >1000和n =n +1 >1000和n =n +2≤和n =n +1≤和n =n +29.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin(2x +2π3)，则下面结正确的是 A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度，得到曲线C 210.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．1011.设xyz为正数，且235x y z==，则A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是26，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017全国高考Ⅱ卷-真题+答案打印版-理科数学

2017全国高考Ⅱ卷-真题+答案打印版-理科数学

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017•新课标Ⅱ）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4．（5分）（2017•新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．96．（5分）（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）（2017•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2B．3C．4D．59．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．C．D．10．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．112．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．﹣1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=．14．（5分）（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．15．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则=．16．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．18．（12分）（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k）0.0500.010 0.001K 3.841 6.635 10.828K2=．19．（12分）（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．20．（12分）（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x 轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．21．（12分）（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（22．（10分）（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．参考答案一、选择题1．【解答】解：===2﹣i，故选D．2．【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．故选：C．3．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．4．【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选：B．5．【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．6．【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×=36种．故选：D．7．【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D．8．【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；7≤6不成立，退出循环输出，S=3；故选：B．9．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得e2=4，即e=2．故选：A．10．【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．11．【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）=（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．解得a=﹣1．可得f′（x）=（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，=（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故选：A．12．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B三、填空题13．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．14．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则f（t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：115．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．16．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2=6．故答案为：6．三、解答题17．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，∵S△ABC=ac•sinB=2，∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（2）2×2列联表：箱产量＜50kg箱产量≥50kg 总计旧养殖法6238100新养殖法3466100总计96104200则K2=≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由题意可知：方法一：=5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．19．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．20．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足=．可得（x﹣x0，y）=（0，y0），可得x﹣x0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，解得m=，即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由k OQ=﹣，k PF=，由k OQ•k PF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．21．【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，因为h′（x）=a﹣，且当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．（二）选考题22．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当=，即a=b=1时取等号，（2）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．。

专题06 切比雪夫函数(解析版)

专题06 切比雪夫函数(解析版)

专题06 切比雪夫函数一．考情分析纵观近几年的高考真题，出现了一类题目。

看似是一道有关二次函数的题目；二次函数的定义域和值域相同。

大多数学生或老师，第一眼看过去，以为是定轴动区间或定区间动轴的问题，然后就进入讨论的误区。

深入讨论，就会发现，计算复杂，讨论纷扰。

最后就是不了了之。

然后，再次审视题目，就会发现我们陷入误区。

切比雪夫函数或切比雪夫不等式，在此时的应用，就可以让我们秒解这类题目。

数学的学习，就是要学习数学，领悟数学，秒杀数学。

二．经验分享1.切比雪夫不等式①马尔科夫不等式：()(),(X 0)E X P X αα≥≤≥；②切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况：()21|X |k P k μσ-≥≤()0,k μσ>其中是期望，是标准差. 2. 切比雪夫函数与切比雪夫不等式的意义马尔科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等数学中学习的内容，是概率与统计学中的一个定理。

主要意思：事情的大多会集中在平均值附近或者事情的发生大多在平均值上的概率最大。

也就说，马尔科夫不等式或者切比雪夫不等式只是对概率的一个估计，既然是估计，就有可能正确，也有可能不正确。

但是按照这两个不等式来看，在概率学的角度上。

发生的概率是最大。

但在高中数学学习初等函数，用这个两个不等式解题，就会有出奇制胜，秒杀的快感。

三、题型分析（一）切比雪夫函数的巧解 例 1.已知函数()()R b a b a x x x f ∈++=,|-|212，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是 ． 【传统解法】【切比雪夫不等式解法】【解析】根据切比雪夫不等式：()()R b a b a x x x f ∈++=,|-|212，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤ 对称轴为压轴，所以[]1,1a x =∈-，()()R b a b x x f ∈,2+=， 当1x =±，|(1)|=|1+b|1f ±≤,故此次1,b =-12a b +的最大值()111+122⨯-=- 【变式训练】已知函数)0()-2()(2>++=m n x m mx x f ，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则)32(f =【切比雪夫不等式解法】【解析】根据切比雪夫不等式：若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，也就是对称轴应该是0x =；2=02mx m-=-，解之得：m 2=，2(x)2x f n =+,故此|(1)||2n |1f =+≤恒成立； 故此1n =-,所以2(x)2x 1f =-.91-)32(=∴f .（二）其他类型函数的例2．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3a t t ++-≤，可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤，由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43.【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.【变式训练1】 【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)数学】已知函数()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩， ()22g x x x =--，设b 为实数，若存在实数a ，使得()()2g b f a +=成立，则b 的取值范围为A ．[]1,2-B ．37,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,42⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】A【解析】因为()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩， 所以当0x ≥时，()12x f x +=单调递增，故()122x f x +=≥；当0x <时，()()21112x f x x x x x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+-≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x-=-，即1x =-时，取等号，【变式训2】【高2017级资阳市高三第二次诊断性考试理科数学，12题】已知直线2y x =与曲线(x)ln(ax b)f =+相切，则ab 的最大值为（ ）A.4e B.2eC.eD.2e【答案】C【解析】由题意得：设切点为00(x ,y )A ，因为切点既在直线2y x =上，也在曲线(x)ln(ax b)f =+上，所以得到：002x ln(ax b)=+①；同时求导：'2y =和'ay ax b=+，切点在00(x ,y )A ，故此02a ax b =+②；联立①②得：01ln 22a x ⎛⎫=⎪⎝⎭再带入②整理得：1ln 222a aa b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简：22ln ln 222222a a a a a a b ab ⎛⎫⎛⎫=-⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0a >； 构造函数22(x)ln(),(x 0)222x x x H =->，'1(x)ln ,(x 0)22x H x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ 故当(0,2x e ∈，'1(x)ln 022x H x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，22(x)ln()222x x x H =-是单调递增； 当()2,x e ∈+∞，'1(x)ln 022x H x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，22(x)ln()222x x x H =-是单调递减。

2017届高考押题金卷(全国卷Ⅰ)数学(理)试卷(含答案)

2017届高考押题金卷(全国卷Ⅰ)数学(理)试卷(含答案)

绝密★启封前2017高考押题金卷（全国卷Ⅰ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分.考试时间为120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.若集合2{|0},{|(0,1)},xM x x x N y y a a a R =-<==>≠表示实数集，则下列选项错误的是 A ．M N M =I B ．M N R =U C ．R M C N ϕ=I D ．R C M N R =U 2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z =（） A ．1251313i + B ．1251313i -+ C ．1251313i -- D ．1251313i - 3.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同”，B=“至少出现一个6点”，则条件概率P （A|B ）是（ ）A. B. C. D.4.曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．⎠⎜⎛0π2 (sin x －cos x )d x B ．2⎠⎜⎛0π4 (sin x －cos x )d xC ．⎠⎜⎛0π2 (cos x －sin x)d x D ．2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x)d x5.按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =( )A. 45B. 47C. 49D. 516．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为 A ．10000立方尺 B ．1 1000立方尺 C ．12000立方尺D ．13000立方尺7.设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若3184=S S ，则168S S 等于A.91B.103 C.31 D.81 8.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且02=++OC OB OA ，那么（A ） AO OD =u u u r u u u r （B ） 2AO OD =u u u r u u u r （C ） 3AO OD =u u u r u u u r D 2AO OD =u u u r u u u r把a 的右数第i 位数字赋给t是 否输入6?i >1i i =+输出b0b =1i =12i b b t -=+⋅9.已知点P （x,y)满足41x y y xx +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A ．2B ．26C ．25D ．410.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若212||||8PF PF a ⋅=，且12PF F ∆的最小内角为30o ，则双曲线C 的离心率是A.2B.2C.3D. 311数列{a n }的通项公式为an=11(1)n n++，关于{a n }有如下命题：P1：{a n }为先减后增数列；P2：{a n }为递减数列； P3：*,n n N a e ∀∈>P4：*,n n N a e ∃∈<其中正确的是A. P1,P3B. P1,P4C. P2,P3D. P2,P412.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R . 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是（）AB.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上) 13. (4y x的展开式中33x y 的系数为。

【广东省广州市】2017届高三12月模拟考试理科数学试卷

【广东省广州市】2017届高三12月模拟考试理科数学试卷

广东省广州市2017届高三12月模拟考试理科数学试卷本试卷共4页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{|||2}A x x =≤，2{|230}B x x x =--≤，则A B =（ ）A ．[2,3]-B ．[1,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]（2）设(1i)(i)2x y ++=，其中,x y 是实数，则|2i|x y +=（ ） A ．1BCD（3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2（4）已知双曲线C ：22221y x a b -=（0a ＞，0b ＞）的渐近线方程为12y x =±，则双曲线C 的离心率为（ ）ABCD（5）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图像向左平移ϕ个单位，所得图像关于轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．π8B ．π4C ．3π8D ．3π4（6）GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目，分A ，B ，C 三期播出，A 期播出两间学校，B 期，C 期各播出1间学校，现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务，不同的选法共有（ ） A ．140种B ．420种C ．840种D ．1 680种（7）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧⎪=⎨⎪⎩≥＜()()g x f x =--，则函数()g x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ． （8）设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．b c a ＜＜D ．c b a ＜＜（9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）yA ．7B ．9C （10）已知抛物线:C 28y x =的焦点为若3PF MF =，则||MN =（ ） A ．212 B ．323C （11A ．25πB ．254C ．29π D ．294（12）若函数()e (sin cos )x f x x a x =+在A ．(,1]-∞ B ．(,1)-∞ C 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本小题共4题，每小题5分．（13）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD =________． （14）按照国家规定，某种大米质量(单位：kg )必须服从正态分布2(10,)N ξσ，根据检测结果可知(9.910.1)0.96P ξ=≤≤，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有2000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg 以下的职工数大约为________．（15）已知x ，y 满足约束条件22022020x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≤，若z x ay =-（0a ＞）的最大值为4，则a =________．（16）在数列{}n a 中，12a =，28a =，对所有正整数n 均有21n n n a a a +++=，则20171n n a ==∑________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，2cos 2C c b +=．M DE BA（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若12b =，求sin C ． （18）（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ．已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲，乙两厂的产品都符合相应的执行标准． （Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望16EX =，求a ，b 的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（Ⅲ）在（Ⅰ）,（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性．（19）（本小题满分12分）如图，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，ABC △是等边三角形，2AC AE =，M 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：CM EM ⊥，（Ⅱ）若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2，求二面角B CD E --的余弦值． （20）（本小题满分12分） 已知动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆222:(2)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于M ，N 两个不同的点，求QMN △面积的最大值． （21）（本小题满分12分）设函数()()ln f x mx n x =+，若曲线()y f x =在点(e,(e))P f 处的切线方程为2e y x =-（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若a ，b +∈R ，试比较()()2f a f b +与()2a bf +的大小，并予以证明．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为sin 1cos x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πϕ＜＜），曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当ϕ变化时，求||AB 的最小值． （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|1|f x ax =-，不等式()3f x ≤的解集是{|12}x x -≤≤． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若()()||3f x f x k +-＜存在实数解，求实数k 的取值范围．。

2017年高考新课标2理科数学真题及答案

2017年高考新课标2理科数学真题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅱ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）31ii+=+ A.12i + B.12i - C.2i + D.2i - （2）设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若{}1A B =,则B =A.{}1,3-B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,5（3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏 4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为A.90πB.63πC.42πD.36π（5）设x,y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y=+的最小值是A.15- B.9- C.1 D.9（6）安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有A.12种B.18种C.24种D.36种（7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩（8）执行右面的程序框图,如果输入的1a=-,则输出的S=C.4D.5（9）若双曲线C:22221x y a b-=(0a >,0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2,则C 的离心率为D.3（10）已知直三棱柱111ABC A B C -中,120ABC ︒∠=,2AB =,11BC CC ==,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A.2B.5C.5D.3 （11）若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为A.1-B.32e --C.35e -D.1（12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值是A.2-B.32- C. 43- D.1-第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

广东省广州市2017届高三12月模拟考试理科综合试卷.pdf

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C．输出功率为160kW
D．所受阻力大小为1600N
21．如图，A、B、C、D是正四面体的四个顶点，现在A固定一电荷量为+q的点电荷，在B固定一电荷量为-q的点电荷
，取无穷远电势为零，下列说法正确的是
A．棱AB中点的电势为零
B．棱AB中点的场强为零
C．C、D两点的电势相等
D．C、D两点的场强相同
（2）完成下表实验过程：
操作步骤装置C的实验现象解释原因检查装置气密性后，添加药品pH计读数约为13用离子方程式表示（以S2－为例
）： ① 打开K2，关闭K3，调节K1使硫酸缓慢匀速滴下．导管口有气泡冒出，
② ；
．pH计读数逐渐
③ 反应分步进行：
Na2CO3+SO2 Na2SO3+CO2
图中直径MN的两端分别开有小孔，筒可绕其中心轴线转动，圆筒的转动方向和角速度大小可以通过控制装置改变。一不
计重力的负电粒子从小孔M沿着MN方向射入磁场，当筒以大小为ω0的角速度转过90°时，该粒子恰好从某一小孔飞出圆
筒。
(1)若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，求该粒子的荷质比和速率分别是多大？
(2)若粒子速率不变，入射方向在该截面内且与MN方向成30°角，则要让粒子与圆筒无碰撞地离开圆筒，圆筒角速
N的运动周期之比等于
A． B． C． D．
18．如图，粗糙水平面上a、b、c、d 四个相同小物块用四根完全相同的轻弹簧连接，正好组成一个等腰梯形，系
统静止。ab之间、ac之间以及bd之间的弹簧长度相同且等于cd之间弹簧长度的一半，ab之间弹簧弹力大小为cd之间弹簧
弹力大小的一半。若a受到的摩擦力大小为f，则
；作为欧姆表使用时，选择开关应
接

2017年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含答案及解析)

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2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．02．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．805．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5B．4C．3D．28．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．810．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017新课标Ⅲ全国高考理科数学试卷含答案

2017新课标Ⅲ全国高考理科数学试卷含答案

2017新课标III 理一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【解析】A 表示圆x 2＋y 2＝1上所有点的集合，B 表示直线y ＝x 上所有点的集合，故A ∩B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A ∩B 元素的个数为2，故选B ．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝22或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－22，则A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，有2个元素．2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则∣z ∣＝( )A ．12B ．22C ． 2D ．2【解析】方法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i＝1＋i ，∴|z |＝2．方法二 ∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，∴|z |＝2．3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是( )A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析：由折线图可知，各年的月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选A ．4．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为() A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x 3y 3的项为x C 25(2x )2(－y )3＋y C 35(2x )3(－y )2＝40 x 3y 3，则x 3y 3的系数为40，故选C ．5．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A．x28－y210＝1 B．x24－y25＝1 C．x25－y24＝1 D．x24－y23＝1【解】由题设知ba＝52①，又由椭圆x212＋y23＝1与双曲线有公共焦点，易知a2＋b2＝c2＝9②，由①②解得a＝2，b＝5，则双曲线C的方程为x24－y25＝1．6．设函数f(x)＝cos (x＋π3)，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为2π-B．y＝f(x)的图像关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在(π2，π)单调递减【解析】函数f(x)＝cos (x＋π3)的图象可由y＝cos x向左平移π3个单位得到，如图可知，f(x)在(π2，π)上先递减后递增，D选项错误，故选D．π23π53-π36πg xyO解析A项，因f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，故f(x)的一个周期为－2π，A项正确．B项，因f(x)图象的对称轴为直线x＝kπ－π3(k∈Z)，当k＝3时，直线x＝8π3是其对称轴，B项正确．C项，f(x ＋π)＝cos⎝⎛⎭⎫x＋4π3，将x＝π6代入得到f⎝⎛⎭⎫7π6＝cos3π2＝0，故x＝π6是f(x＋π)的一个零点，C项正确．D 项，因f(x)＝cos⎝⎛⎭⎫x＋π3的递减区间为⎣⎡⎦⎤2kπ－π3，2kπ＋2π3(k∈Z)，递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ＋2π3，2kπ＋5π3(k ∈Z)，故⎝⎛⎭⎫π2，2π3是减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是增区间，D项错误．7．执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A．5 B．4 C．3 D．2解析：当输入的正整数N是所给选项中最小的正整数2时，t＝1，M＝100，S＝0，则第一次循环，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2；第二次循环，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，此时t ≤2不成立，输出S ＝90＜91．故选D ．8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．ΠB ．3π4C ．π2D ．π4【解】球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的12，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r ＝32，故该圆柱的体积V ＝π×(32)2×1＝3π4．9．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为()A ．－24B ．－3C ．3D ．8【解析】因{a n }为等差数列，且a 2，a 3，a 6成等比数列，设公差为d ．则a 23＝a 2a 6，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，又a 1＝1，代入上式可得，d 2＋2d ＝0，又d ≠0，则d ＝－2，故S 6＝6a 1＋15d ＝－24，故选A ．10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A ．63 B ．33 C ．23 D ．13【解】以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点O (0，0)，半径为a ．由题意，圆心到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离为2ab a 2＋b 2＝a ，即a 2＝3b 2．又e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63，故e ＝63，故选A ．11．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C ．12 D ．1【解】由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1] ＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，故f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，故f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e －1＋1)＝0，解得a ＝12． 12．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为A ．3B ．2 2C ．5D ．2【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，2)，D (0，2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距()A O DxyBP gCE离为212＋22＝25，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45，因P 在圆C 上，故P (1＋255cos θ，2＋255sin θ)，AB →＝(1，0)，AD →＝(0，2)，AP →＝λAB →＋μAD →＝(λ，2μ)，故⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2，选A ． 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．【解析】画出可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z 4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1．14．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________．【解析】由{a n }为等比数列，设公比为q ．⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，②，显然q ≠－1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1，故a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8． 15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －12)＞1的x 的取值范围是________．【解析】当x ≤0时，f (x )＋f (x －12)＝(x ＋1)＋(x －12＋1)，原不等式化为2x ＋32＞1，解得－14＜x ≤0，当0＜x ≤12时，f (x )＋f (x －12)＝2x ＋(x －12＋1)原不等式化为2x ＋x ＋12＞1，该式恒成立，当x ＞12时，f (x )＋f (x －12)＝2x ＋2x －12，又x ＞12时，2x＋2x －12＞212＋20＝1＋2＞1恒成立，综上可知，不等式的解集为(－14，＋∞)．【解二】因f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，，f (x )＋f (x －12)＞1，即f (x －12)＞1－f (x )由图象变换可画出y ＝f (x －12)与y ＝1－f (x )的图象如下：g12-g 1211(,)44-g1()2y f x =-1()y f x =-yx由图可知，满足f (x －12)＞1－f (x )的解为(－14，＋∞)．16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①．当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②．当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③．直线AB 与a 所称角的最小值为45°； ④．直线AB 与a 所称角的最小值为60°； 其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)【解析】由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC ＝1，AB ＝2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD →的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CA →的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则D (1，0，0)，A (0，0，1)，直线a 的单位方向向量a ＝(0，1，0)，|a |＝1．B 点起始坐标为(0，1，0)，直线b 的单位方向向量b ＝(1，0，0)，|b |＝1．设B 点在运动过程中的坐标B ′(cos θ，sin θ，0)，其中θ为CB ′→与CD →的夹角，θ∈[0，2π)．那么AB ′在运动过程中的向量AB ′→＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB ′→|＝2．设直线AB ′与a 所成的夹角为α∈[0，π2]，cos α＝22|sin θ|∈[0，22]．故α∈[π4，π2]，故③正确，④错误．直线AB ′与b 所成的夹角为β，则β∈[0，π2]，cos β＝|AB ′→·b ||b ||AB ′→|＝22|cos θ|．当AB ′与a 成60°角时，α＝π3，|sin θ|＝2cos α＝2cos π3＝2×12＝22．因cos 2θ＋sin 2θ＝1，故|cos θ|＝22．故cos β＝22|cos θ|＝12．因β∈[0，π2]，故β＝π3，此时AB ′与b 成60°角．故②正确，①错误．三、解答题：(共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分．17．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2．(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．【解析】(1)由已知可得tan A ＝－3，故A ＝2π3．在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0．解得c ＝－6(舍去)，c ＝4．(2)由题设可得∠CAD ＝π2，故∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6．故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1．又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，故△ABD 的面积为3．18．(12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】(1)由题意知，X 所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1630×3＝0．2，P (X ＝300)＝3630×3＝0．4，P (X ＝500)＝25＋7＋430×3＝0．4．因此X 的分布列为(2)200≤n ≤500．当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ，若最高气温位于区间[20，25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1 200－2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ；因此E (Y )＝2n ×0．4＋(1 200－2n )×0．4＋(800－2n )×0．2＝640－0．4n ．当200≤n ＜300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ；因此E (Y )＝2n ×(0．4＋0．4)＋(800－2n )×0．2＝160＋1．2n ．故n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．19．(12分)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD ．(1)证明：平面ACD ⊥平面ABD ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．【解析】(1)由题设可得，△ABD ≌△CBD ，从而AD ＝DC ．又△ACD 是直角三角形，故∠ADC ＝90°．取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO ＝AO ．又由于△ABC 是正三角形，故BO ⊥AC ．故∠DOB 为二面角D -AC -B 的平面角．在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2．又AB ＝BD ，故BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°．故平面ACD ⊥平面ABC ．(2)由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直．以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，0，0)，D (0，0，1)．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E (0，32，12)．故AD →＝(－1，0，1)，AC →＝(－2，0，0)，AE →＝(－1，32，12)．设n ＝(x ，y ，z )是平面DAE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋32y ＋12z ＝0.可取n ＝(1，33，1)．设m 是平面AEC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AE →＝0.同理可取m ＝(0，－1，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝77．故二面角D -AE -C 的余弦值为77．DBC EO20．(12分)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．【解析】(1)设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2，消去x 得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4．OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＝－4(m 2＋1)＋2m ·2m ＋4＝0．故OA →⊥OB →，即O 在圆M 上．(2)由(1)可得，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4．故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2．由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0．由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4．故2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12．当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10．当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为(94，－12)，圆M 的半径为854，圆M 的方程为(x －94)2＋(y ＋12)2＝8516． 21．(12分)已知函数f (x )＝x －1－a ln x ． (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，(1＋12)(1＋122)·…·(1＋12n )＜m ，求m 的最小值．【解】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①．若a ≤0，因f (12)＝－12＋a ln 2＜0，故不满足题意．②．若a ＞0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax 知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增，故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．由于f (1)＝0，故当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1．(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x ＞0，令x ＝1＋12n ，得ln(1＋12n )＜12n ．从而ln(1＋12)＋ln(1＋122)＋…＋ln(1＋12n )＜12＋122＋…＋12n ＝1－12n ＜1．故(1＋12)(1＋122)…(1＋12n )＜e ，又(1＋12)(1＋122)…(1＋12n )＞(1＋12)(1＋122)·(1＋123)＝13564＞2，故当n ≥3时，(1＋12)(1＋122)…(1＋12n )∈(2，e)，由于(1＋12)(1＋122)…(1＋12n )＜m ，且m ∈N *．故整数m 的最小值为3． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt ，(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k，(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解析：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．故C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110．代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，故交点M 的极径为5．23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|． (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1解得x ＞2．故f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ．而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－(|x |－32)2＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54．故m 的取值范围为(－∞，54]．。

2017届高考全真模拟预测考试(第3次考试)---全国卷理科数学试题

2017届高考全真模拟预测考试(第3次考试)---全国卷理科数学试题

2017届高考全真模拟预测考试（第3次考试）理科数学试题命题：tangzhixin 时量120分钟．满分150分．一、选择题：共12题1．已知全集U={1,2,3,4,5},∁U A={1,2},则集合A的真子集的个数为A.8B.7C.6D.32．若复数z满足(1+i)z=2i(i是虚数单位),则在复平面内,复数z对应的点的坐标为A.(1,1)B.(1,2)C.(1,-1)D.(-1,1)3．命题“存在φ0∈R,使得函数f(x)=tan(πx+φ0)的图象关于点(,0)对称”的否定是A.存在φ0∈R,使得函数f(x)=tan(πx+φ0)的图象都不关于点(,0)对称B.对任意的φ∈R,函数f(x)=tan(πx+φ0)的图象都不关于点(,0)对称C.对任意的φ∈R,函数f(x)=tan(πx+φ0)的图象都关于点(,0)对称D.存在φ0∈R,使得函数f(x)=tan(πx+φ0)的图象关于点(,0)不对称4．已知平面向量a,b满足b=(-,1),b·(a-b)=-3,a为单位向量,则向量b在向量a方向上的投影为A.4B.1C.-4D.-105．已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上的点到直线l的距离的最小值为A. B. C.1 D.36．设等比数列{a n}的前n项和为S n,且满足S2=3,S3-S1=6,则a6=A.16B.32C.35D.467．已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图完全相同,则该几何体的体积是A.πB.3πC.2πD.8．已知x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+y的最大值为2a+6,最小值为2a-2,则实数a 的取值范围是A.[-1,1]B.(0,1]C.[-1,0)D.[-1,0)∪(0,1]9．已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的部分图象如图所示,A、B两点之间的距离为10,且f(2)=0,若将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长度后所得函数图象关于y轴对称,则t的最小值为A.1B.2C.3D.410．如图所示,在边长为2的正方形ABCD中,圆心为B,半径为1的圆与AB、BC分别交于E、F,则阴影部分绕直线BC旋转一周形成几何体的体积等于A.πB.6πC.D.4π11．已知数列{a n}满足(3-a n+1)(3+a n)=9,且a1=3,则数列{}的前6项和S6=A.6B.7C.8D.912．已知函数f(x)=|ln x|-a x(x>0,0<a<1)的两个零点是x1,x2,则A.0<x1x2<1B.x1x2=1C.1<x1x2<eD.x1x2>e二、填空题：共4题13．执行如图所示的程序框图,若输出的结果是,则整数N=.14．设m∈N且0≤m<5,若192 016+m能被5整除,则m=.15．已知定义在(0,+∞)上的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log3x]=4,则函数f(x)的图象在x=处的切线的斜率为.16．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,且|AF|=4|FB|,O为坐标原点,若△AOB的面积S△AOB=,则p=.三、解答题：共8题17．已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sin2B-2sin2A=sin2C,tan (A+B)=.(1)求sin C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.18．为了解某校高三甲、乙两个小组每天的平均运动时间,经过长期统计,抽取10天的数据作为样本,得到甲、乙两组每天的平均运动时间(单位:min)的茎叶图如图所示.(1)假设甲、乙两个小组这10天的平均运动时间分别为t1,t2,方差分别为,.(i)比较t1,t2的大小;(ii)比较,的大小(只需写出结果);(2)设X表示未来3天内甲组同学每天的平均运动时间超过30 min的天数,以茎叶图中平均运动时间超过30 min的频率作为概率,求X的分布列和数学期望.19．如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,∠ABC=60°,四边形BEFD是矩形,且BE=BA,平面BEFD⊥平面ABC D.(1)求证:AE⊥CF;(2)求二面角A-EF-C的平面角的余弦值.20．在平面直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上的非坐标轴上的点,且4k OA·k OB+1=0(k OA,k OB分别为直线OA,OB的斜率).(1)证明:+,+均为定值;(2)判断△OAB的面积是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.21．已知函数f(x)=x2+mx+ln x.(1)若函数f(x)不存在单调递减区间,求实数m的取值范围;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),且m≤-,求f(x1)-f(x2)的最小值.22．如图,E为圆O的直径AB上一点,OC⊥AB交圆O于点C,延长CE交圆O于点D,圆O在点D处的切线交AB的延长线于点F.(1)证明:EF2=FA·FB;(2)若AD=2BD,BF=2,求圆O的直径.23．在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,并取相同的长度单位建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ-)=m(m∈R).(1)求直线l的直角坐标方程与圆C的普通方程;(2)若圆C上到直线l的距离为1的点有3个,求m的值.24．已知函数f(x)=|x|+|x-a|的最小值为3.(1)求实数a的值;(2)若a>0,求不等式f(x)≤5的解集.参考答案1.B【解析】本题考查集合的补运算、真子集的概念.求解时先求出集合A,再计数即可.注意试题所求的是真子集的个数.由全集U={1,2,3,4,5},∁U A={1,2}知,A={3,4,5},所以集合A的子集有8个,真子集有7个.2.A【解析】本题考查复数的除法运算及其几何意义,属于基础题.求解时先求出复数z的代数形式,再找复数z在复平面内对应的点.解法一由(1+i)z=2i得,z==i(1-i)=1+i,故在复平面内,复数z对应的点的坐标为(1,1),选A.解法二设z=a+b i(a,b∈R),由(1+i)z=2i得,a-b+(a+b)i=2i,所以a-b=0,且a+b=2,解得a=b=1,所以z=1+i,故在复平面内,复数z对应的点的坐标为(1,1),选A.3.B【解析】本题考查特称命题的否定,属于基础题.所给命题是特称命题,因此其否定一方面要把“特称”改“全称”,另一方面要否定结论,故其否定应该为“对任意的φ∈R,函数f(x)=tan(πx+φ)的图象都不关于点(,0)对称”.4.B【解析】本题考查向量的数量积以及投影的求法,属于基础题.解题时,根据坐标求出向量b的模及向量a,b的数量积,然后求投影.因为b=(-,1),b·(a-b)=-3,所以|b|=2,a·b=1.又a为单位向量,则向量b在向量a方向上的投影为=1.5.A【解析】由题意知,圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径,即-.6.B【解析】本题主要考查等比数列的通项公式等知识,意在考查考生的基本运算能力.熟练掌握等比数列的通项公式是解决此类问题的关键.设等比数列{a n}的公比为q,由S2=3,S3-S1=6,得a1+a2=3,a2+a3=6,则q==2,代入a1+a1q=3得a1=1,所以a n=2n-1,a6=25=32.7.D【解析】本题考查几何体的三视图与直观图、柱体的体积公式等.由三视图可知,该几何体是一个半径分别为2和的同心圆柱,即大圆柱内挖掉了小圆柱.两个圆柱的高均为1,所以该几何体的体积为4π×1-()2π×1=,选D.8.A【解析】本题考查线性规划的相关知识.求解时先根据约束条件画出可行域,再根据题意列出不等式组进行求解.画出可行域如图中阴影部分所示,易知A(2,6),B(2,-2),C(-2,2),由于z=ax+y的最大值为2a+6,最小值为2a-2,故,从而-1≤a≤1,故选A.9.B【解析】本题考查三角函数的图象与性质以及三角函数图象的平移变换等.首先利用函数图象确定函数解析式中各个参数的取值,然后根据平移后函数的性质确定平移的单位长度.由图可设A(x1,3),B(x2,-3),所以|AB|==10,解得|x1-x2|=8,所以T=2|x1-x2|=16,故=16,解得ω=.所以f(x)=3sin(x+φ),由f(2)=0得3sin(+φ)=0,又-≤φ≤,所以φ=-.故f(x)=3sin(x-),将f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-t)=3sin[(x-t)-]=3sin[x-(t+)].由题意得,函数g(x)的图象关于y轴对称,所以t+=kπ+(k∈Z),解得t=8k+2(k∈Z),故正数t的最小值为2,选B.10.B【解析】本题考查旋转体的体积的求解等,考查考生的空间想象能力和基本的运算能力.由旋转体的定义可知,阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆锥.该圆柱的底面半径R=BA=2,母线长l=AD=2,故该圆柱的体积V1=π×22×2=8π,半球的半径为1,其体积V2=π×13=,圆锥的底面半径为2,高为1,其体积V3=π×22×1=,所以阴影部分绕直线BC 旋转一周形成几何体的体积V=V1-V2-V3=6π.11.B【解析】本题考查数列的通项公式及前n项和,考查考生的运算求解能力,属于中档题.解题时,通过(3-a n+1)(3+a n)=9可知数列{}为等差数列,计算即得结论.因为(3-a n+1)(3+a n)=9-3a n+1+3a n-a n+1a n=9,所以3a n+1-3a n=-a n+1a n,两边同时除以3a n+1a n得-=-,即+.又a1=3,所以数列{}是以为首项,为公差的等差数列,所以S n=n+·,故S6==7.12.A【解析】本题考查基本初等函数的图象与性质、函数零点的概念等,考查考生的数形结合思想.求解时将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题进行求解.因为f(x)=|ln x|-a x=0⇔|ln x|=a x,作出函数y=|ln x|,y=a x的图象如图所示,不妨设x1<x2,则0<x1<1<x2,从而ln x1<0,ln x2>0,因此|ln x1|==-ln x1,|ln x2|==ln x2.故ln x1x2=ln x1+ln x2=-<0,所以0<x1x2<1.13.15【解析】本题考查算法等基础知识,重点考查程序框图的阅读与应用.本题的算法事实上刻画的是裂项相消法求和.通解当k=1时,S=,当k=2时,S=++-,当k=3时,S=++-,当k=4时,S=++-,……当k=14时,S=++-,当k=15时,S=++-,此时输出S,由题意知框图中N=15.优解由程序框图可知,输出的S=++…+=1-,令1-,解得N=15.14.4【解析】本题考查二项式定理在解决数学问题中的应用.求解问题的关键是通过建立19与5的数量关系以及运用二项式定理将该关系式展开.由题意得192 016+m=(-1+20)2 016+m=×200×(-1)2 016+×20×(-1)2 015+×202×(-1)2 014+…+×202016×(-1)0+m=5M+1+m,其中M∈N*,又5M+1+m能被5整除,0≤m<5,故m=4.15.1【解析】本题考查函数解析式的求解、导数的几何意义,考查考生分析问题、解决问题的能力.由题意,设f(x)-log3x=m>0,则f(x)=log3x+m,由f[f(x)-log3x]=4可得f(m)=log3m+m=4,即m=34-m,解得m=3,所以f(x)=log3x+3,f'(x)=,从而f'()=1,即所求切线的斜率为1.16.1【解析】本题考查了抛物线的方程和性质、直线与抛物线的位置关系等.解题的思路是先利用|AF|=4|FB|得到直线l的斜率,从而得到AB的长以及点O到直线AB的距离,再通过面积建立关于p的方程,即可求解.抛物线y2=2px的焦点F(,0),准线x=-.如图,过A,B作准线的垂线AA',BB',垂足分别为A',B'.过点B作BH⊥AA',交AA'于H,则|BB'|=|HA'|.设|FB|=t,则|AF|=4t,∴|AH|=|AA'|-|A'H|=4t-t=3t.又|AB|=5t,∴在Rt△ABH中,cos∠A'AB=,∴tan∠A'AB=.则可得直线AB的方程为y=(x-),由得8x2-17px+2p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=+p=.又点O到直线AB的距离为d=|OF|sin ∠A'AB=.∴S△AOB=,又S△AOB=,故p2=1,又p>0,∴p=1.17.(1)在△ABC中,0<A<π,0<B<π,由tan(A+B)==tan(B+),得A=.从而由2sin2B-2sin2A=sin2C得2sin2B-1=sin2C,即cos 2B+sin2C=0.将B=-C代入上式,化简得tan C=2,从而sin C=.(2)由(1)知,cos C=.所以sin B=sin(A+C)=sin(+C)=.由正弦定理知c=b,又bc sin A=3,所以b·b·=3,故b=3.【解析】本题主要考查两角和的三角公式、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数之间的关系、正弦定理等基础知识,考查考生对基础知识的掌握程度和运算求解能力.【备注】在新课标全国卷Ⅱ中,解答题第一题往往是数列或三角,而三角的考查一般与三角形有关,重点考查三角形中的三角恒等变换,三角函数的基础知识在解三角形中的应用,正、余弦定理等.复习时要重点把握三角恒等变换、三角函数的图象和性质、解三角形三大主流题型.18.(1)(i)由已知得,t1=(2×10+5×20+3×30+5+2+2+6+3+2+1+5+1+2)=23.9,t2=(3×10+2×20+3×30+5+8+3+5+5+2+ 5+0+1+3)=19.7,所以t1>t2.(ii)由茎叶图可知,甲组的数据较集中,乙组的数据较离散,所以.(2)由茎叶图可知,样本中甲组同学每天的平均运动时间超过30 min的人数为3,所以频率为=0.3.由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3,X~B(3,0.3),所以P(X=0)=×0.30×0.73=0.343,P(X=1)=×0.31×0.72=0.441,P(X=2)=×0.32×0.71=0.189,P(X=3)=×0.33×0.70=0.027,所以X的分布列为X0 1 2 3P 0.3430.4410.1890.027EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9.【解析】本题考查平均数和方差的大小比较,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题.(1)(i)由茎叶图分别求出t1,t2的值,进而比较大小;(ii)由茎叶图得到甲组的数据较集中,乙组的数据较离散,由此能比较,的大小.(2)由题意得X的所有可能取值,分别求出相应的概率,进而得分布列和数学期望.【备注】新课标全国卷Ⅱ中,概率与统计解答题往往将统计与概率结合在一起考查,大都与频率分布直方图、茎叶图和离散型随机变量的分布列有关,复习时应熟练掌握统计的基础知识和基本思想,熟悉统计数据的处理方法,准确理解各种分布图表的意义,掌握常见概率模型的计算,牢记数学期望和方差的计算公式.19.(1)解法一连接AC,分别取EC,EF,BD的中点为G,M,N,连接GM,GN,MN,则GM∥FC,GN∥AE,如图1.由题意,易证BE⊥AB,不妨设AB=1,则GM=GN=,MN=BE=1,由勾股定理的逆定理知GM⊥GN.故AE⊥CF.解法二不妨设AB=1,则·=(+)·(+)=·+·=-1+1=0.因此AE⊥CF.解法三如图2,将原几何体补成直四棱柱,则依题意,其侧面ABEG为正方形,对角线AE,BG显然垂直,故AE⊥CF.解法四连接AC,根据题意易证AB⊥AC,BE⊥平面ABCD,如图3,建立空间直角坐标系,不妨设AB=1,则A(0,0,0),E(1,0,1),C(0,,0),F(-1,,1),所以=(1,0,1),=(-1,0,1),从而·=(1,0,1)·(-1,0,1)=0,故AE⊥CF.(2)连接AC,根据题意易证AB⊥AC,BE⊥平面ABCD,如图3,建立空间直角坐标系,不妨设AB=1,则A(0,0,0),E(1,0,1),C(0,,0),F(-1,,1),所以=(1,0,1),=(-1,,1),=(1,-,1),=(-1,0,1),设平面AEF的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1·=0,且n1·=0,得,取x1=,则y1=2,z1=-,得平面AEF的一个法向量为n1=(,2,-),同理可求得平面CEF的一个法向量为n2=(,2,).记二面角A-EF-C的平面角为α,由图可知,α为锐角,则cosα=.【解析】本题考查线线垂直的证明、二面角余弦值的求解,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.【备注】立体几何解答题主要围绕线面位置关系的证明以及空间角的计算展开,在线面位置关系中,垂直关系是核心,也是新课标高考命题的热点,空间角主要考查二面角,可利用传统法和向量法求解.20.(1)依题意,x1,x2,y1,y2均不为0,则由4k OA·k OB+1=0,得+1=0,化简得y2=-,因为点A,B在椭圆上,所以+4=4①,+4=4②,把y2=-代入②,整理得(+4)=16.结合①得=4,同理可得=4,从而+=4+=4,为定值,++=1,为定值.(2)S△OAB=|OA|·|OB|sin∠AOB=··=··==|x1y2-x2y1|.由(1)知=4,=4,易知y2=-,y1=或y2=,y1=-,S△OAB=|x1y2-x2y1|=|+2|==1,因此△OAB的面积为定值1.【解析】本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等.(1)可通过已知条件“4k OA·k OB+1=0”以及椭圆上点的坐标关系确定x1,y1,x2,y2之间的数量关系,进而进行定值的证明;(2)先求出三角形面积的表达式,通过合理变形,再结合点在椭圆上进行求解.21.(1)依题意,x>0,且f'(x)=x+m+.记g(x)=x2+mx+1,①若Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2,则g(x)≥0恒成立,f'(x)≥0恒成立,符合题意;②若Δ=m2-4>0,即m>2或m<-2,当m>2时,x2+mx+1=0有两个不等的负根,符合题意,当m<-2时,x2+mx+1=0有两个不等的正根,则在两根之间函数f(x)单调递减,不符合题意.综上可得m≥-2.(2)由题意得x1,x2为g(x)=x2+mx+1的两个零点,由(1)得x1+x2=-m,x1x2=1, 则f(x1)-f(x2)=+mx1+ln x1-(+mx2+ln x2)=(-)+m(x1-x2)+ln x1-ln x2=(-)-(x1+x2)(x1-x2)+ln x1-ln x2=ln-(-)=ln-·=ln-(-).记=t,由x1<x2且m≤-知0<t<1,且f(x1)-f(x2)=ln t-(t-),记φ(t)=ln t-(t-),则φ'(t)=<0,故φ(t)在(0,1)上单调递减.由m≤-知(x1+x2)2≥,从而+≥,即≥,故t+≥,结合0<t<1,解得0<t≤,从而φ(t)的最小值为φ()=-ln 2,即f(x1)-f(x2)的最小值为-ln 2.【解析】本题考查函数的单调性、极值,导数在研究函数性质中的应用.第(1)问对m分情况讨论来求解;第(2)问可先对f(x1)-f(x2)进行变形,再将问题转化为单变量函数问题来解决.【备注】利用导函数的符号判断函数的单调性,进而求解函数的极值与最值及含参问题的讨论一直是近几年高考的重点,尤其是含参数的函数的单调性是近几年命题的热点.导数与函数、不等式的综合问题多涉及恒成立与含参问题的求解,主要方法是利用导数将原问题转化为函数的单调性和最值问题.22.(1)由题意得,OC=OD,所以∠OCE=∠ODE,又OC⊥AB,FD是圆O的切线,所以∠COE=∠ODF=90°,故∠OEC=∠EDF,又∠OEC=∠FED,所以∠FED=∠FDE,所以FD=FE.由切割线定理得,FD2=FA·FB,故EF2=FA·FB.(2)由于FD是切线,所以∠FDB=∠A,又∠DFB=∠AFD,所以△FBD∽△FDA.所以,从而FD=4,FA=8,又BF=2,所以AB=FA-FB=8-2=6,即圆O的直径为6.【解析】本题主要考查圆的基本性质、切割线定理、三角形相似等.(1)关键是EF=FD的证明,可从角度关系入手;(2)利用三角形相似来求解.【备注】几何证明选讲主要围绕四点共圆的判定、三角形相似、直角三角形中的射影定理、圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理等展开,一般与圆有关,因此圆的相关性质及三角形相似的判定定理等是复习的重点.23.(1)由(α为参数)得(x-1)2+(y-2)2=9,而ρcos(θ-)=m⇔ρcosθ+ρsinθ=m,即x+y=m.所以直线l的直角坐标方程为x+y=m,圆C的普通方程为(x-1)2+(y-2)2=9.(2)由于圆C的半径为3,根据题意,若圆C上到直线l的距离为1的点有3个,则圆心C(1,2)到直线l的距离为2,可得=2,解得m=3+2或m=3-2.【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系等.24.(1)解法一显然a=0不符合题意;若a>0,则f(x)=|x|+|x-a|=,此时函数f(x)的最小值为a,故a=3;若a<0,则f(x)=|x|+|x-a|=,此时函数f(x)的最小值为-a,故a=-3.综上可得,a=±3.解法二f(x)=|x|+|x-a|=|x|+|a-x|≥|x+a-x|=|a|,因此|a|=3,a=±3,经验证均符合题意.故实数a的值为±3.(2)若a>0,则a=3,f(x)≤5⇔|x|+|x-3|≤5,若x≥3,则|x|+|x-3|≤5⇔2x-3≤5,解得3≤x≤4;若0≤x<3,则|x|+|x-3|≤5⇔3≤5恒成立,所以此时的解集为{x|0≤x<3};若x<0,则|x|+|x-3|≤5⇔3-2x≤5,解得-1≤x<0.综上,所求解集为{x|-1≤x≤4}.【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解,考查考生的运算求解能力和分类讨论思想.【备注】在高考中,不等式选讲的考查方向主要有解绝对值不等式(一般是两个绝对值的和或差)和不等式的证明问题等.求解这类问题的关键是去绝对值,不等式的证明大多是利用基本不等式或柯西不等式来实现.。

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广东省广州市2017届高三12月模拟考试理科数学试卷答 案一、选择题（1）~（5）BDABA（6）~（10）CDCBB（11）~（12）DA二、填空题 （13）6 （14）40 （15）3 （16）2 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）因为1a =，2cos 2C c b +=，由余弦定理得2221222b c c b b+-⨯+=,即221b c bc +-=．……………………（2分）所以22211cos 222b c bc A bc bc +-===．…………………………………………（4分）由于0πA ＜＜，所以π3A =．…………………………………………（6分）（Ⅱ）法1：由12b =及221bc bc +-=，得2211()122c c +-=，……………………（7分）即24230c c --=，………………………………………………………………（8分）解得c =或c =（舍去）．…………………………………………（9分）由正弦定理得sin sin c aC A=，…………………………………………（10分）得sin sin60C =︒=．………………………………………（12分） 法2：由12b =及正弦定理得sin sin b aB A=，…………………………………………（7分）得1sin sin602B =︒=．…………………………………………（8分）由于b a ＜，则060B A ︒=︒＜＜，则cos B =．…………………………………………（9分） 由于180A B C ++=︒，则120C B =︒-．………………………………………（10分）所以sin sin(120)C B =︒-sin120cos cos120sin B B =︒-︒．………………………………………（11分）12+E8=……………………………………………………………（12分） （18）解： （Ⅰ）150.46780.16EX a b =⨯+++⨯=，即67 3.2a b +=，……………………（1分） 又由1X 的概率分布列得0.40.11,0.5a b a b +++=+=，……………………（2分） 得0.3a =，0.2b =．…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由已知得，样本的频率分布表如下：………………………………………………………………（5分）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下：………………………………………………………………（6分）所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………（7分） 即乙厂产品的等级系数的数学期望为4.8．……………………………………………（8分） （Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为616=，…………（9分） 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.81.24=，…（10分）据此，乙厂的产品更具可购买性．……………………………………………（12（19）解：（Ⅰ）因为ABC △是等边三角形，M 是AB 的中点， 所以CM AB ⊥．…………………………………（1分） 因为EA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以CM EA ⊥．…………………………………（2分） 因为AMEA A =，所以CM ⊥平面EAM ．……………………（3分） 因为EM ⊂平面EAM ，所以CM EM ⊥．……………………………（4分）（Ⅱ）法1：以点M 为坐标原点，MC 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB ⊥平面ABC ，PN M DECBA所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角．……………………………………（5分） 由题意得tan 2BDDMB MB∠==，即2BD MB =，…………………………………（6分） 从而BD AC =．不妨设2AC =，又2AC AE =，则CM 1AE =.…………………………（7分） 故(0,1,0)B，C ，(0,1,2)D ，(0,1,1)E -．……………………………（8分） 于是(3,1,0)BC =-，(0,0,2)BD=，(1,1)CE =-，(CD =， 设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =由00m BC m BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得111020y z -==⎪⎩，令11x=，得1y所以(1,3,0)m =．…………………………………（9分）由00n CE n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得222222020y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，令21x =，得2y =2z =．所以3(1,n =-．…………………………………（10分）所以cos ,0||||m nm n m n <>==．…………………………………（11分） 所以二面角B CD E --的余弦值为0．…………………………………（12分） 法2：因为DB ⊥平面ABC ，所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角．…………………………………（5分） 由题意得tan 2BDDMB MB∠==，即2BD MB =，…………………………………（6分） 从而BD AC =．不妨设2AC =，又2AC AE =，则CM =1AE =，2AB BC BD ===．…………………………………（7分） 由于EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，则EA BD ∥． 取BD 的中点N ，连接EN ，则2EN AB ==． 在Rt END △中，ED= 在Rt EAC △中，EC =在Rt CBD △中，CD ，取CD 的中点P ，连接EP ，BP ，BE ，则EP CD ⊥，BP CD ⊥…………………………………（8分）所以EPB ∠为二面角B CD E --的平面角．…………………………………（9分） 在Rt EPC △中，EP在Rt CBD △中，12BP CD =在Rt EAB △中，EB =因为2225EP BP EB +==，…………………………………（10分） 所以90EPB ∠=︒．…………………………………（11分）所以二面角B CD E --的余弦值为0．…………………………………（12分） （20）解：（Ⅰ）设圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为(,)x y ，由于动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆222:(2)1F x y -+=相内切，所以动圆P 与圆1F 只能内切．…………………………………（1分） 所以1271PF R PF R ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………………………………（2分）则121264PF PF F F +=>=．…………………………………（3分） 所以圆心P 的轨迹是以点1F ，2F 为焦点的椭圆， 且3a =，2c =，则2225b a c =-=．所以曲线C 的方程为22195x y +=．…………………………………（4分）（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)Q x y ，直线MN 的方程为2x my =+，由222195x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(59)20250m y my ++-=，则1222059my y m +=-+，1222559y y m =-+．…………………………………（5分）所以||MN =（6分）2230(1)59m m +=+．…………………………………（7分） 因为MN OQ ∥，所以QMN △的面积等于OMN △的面积．…………………（8分）点O 到直线:2MN x my =+的距离d ．……………………………（9分）所以QMN △的面积221130(1)||2259m S MN d m +==⨯+.………（10分） t =，则221(1)m t t =-≥，2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++．设4()5(1)f t t t t=+≥，则222454()5t f t t t -'=-=． 因为1t ≥，所以2254()0t f t t -'=＞．所以4()5f t t t=+在[1,)+∞上单调递增．所以当1t =时，()f t 取得最小值，其值为9．…………………………………（11分）所以QMN △的面积的最大值为309．…………………………………（12分） 说明：QMN △的面积2121||||2S OF y y =-． （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．()ln mx nf x m x x+'=+．………………………………………………………………（1分） 依题意得(e)e f =，'(e)2f =，即e e e 2e m n m nm +=⎧⎪+⎨+=⎪⎩……………………（3分） 所以1m =，0n =．………………………………………………………………（4分） 所以()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+．当1(0,)ex ∈时，()0f x '<；当1(,)e x ∈+∞时，()0f x '>．所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e，单调递增区间是1(,)e +∞.………………（6分）（Ⅱ）当a ，b +∈R 时，()()()22f a f b a bf ++≥．()(b)()22f a f a b f ++≥等价于ln ln ln222a ab b a b a b+++≥， 也等价于2ln (1)ln(1)ln20a a a ab b b b-+++≥．………………………………………（7分）不妨设a b ≥，设()ln(2)(1)ln(1)ln2g x x x x x =-+++（[1,)x ∈+∞）则()ln(2)ln(1)g x x x '=-+．…………………………………………………………（8分） 当[1,)x ∈+∞时，()0g x '≥，所以函数()g x 在[1,)+∞上为增函数，即()ln2(1)ln(1)ln2(1)0g x x x x x g =-+++≥=，……………………（9分）故当[1,)x ∈+∞时，()ln2(1)ln(1)ln20g x x x x x =-+++≥（当且仅当1x =时取等号）．令1ax b=≥，则()0a g b ≥，…………………………………………（10分）即2ln (1)ln(1)ln20a a a a b b b b-+++≥（当且仅当a b =时取等号），……………（11分） 综上所述，当a ，b +∈R 时，()()()22f a f b a bf ++≥（当且仅当a b =时取等号）………（12分）（22）解：（Ⅰ）由sin 1cos x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=，……………………（1分）所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=．……………………（2分） 由2cos 4sin ρθθ=，得2(cos )4sin ρθρθ=，……………………（3分） 把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得24x y =，所以曲线C 的直角坐标方程为24x y =．…………………………………………（5分） （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入24x y =，得22sin 4cos 40t t ϕϕ--=，………………（6分）当πϕ=时，||AB 的最小值为4．…………………………………………（10分）（Ⅱ）因为()()|21||21||(21)(21)|23333f x f x x x x x+--++--+==≥………………（7分）（8分）（9分）2)(,)3+∞．（10分）。

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