1-2函数的几种特性
高中数学函数知识点(详细)
第二章 函数一．函数1、函数的概念：〔1〕定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． 〔2〕函数的三要素：定义域、值域、对应法那么〔3〕相同函数的判断方法：①表达式相同〔与表示自变量和函数值的字母无关〕；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：〔1〕定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。
〔2〕确定函数定义域的原那么：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。
〔3〕确定函数定义域的常见方法：①假设)(x f 是整式，那么定义域为全体实数②假设)(x f 是分式，那么定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。
③假设)(x f 是偶次根式，那么定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数 ()2143432-+--=x x xy 的定义域。
例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。
④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥假设)(x f 为复合函数，那么定义域由其中各根本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 〔4〕求抽象函数〔复合函数〕的定义域函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域 函数)12(-x f 的定义域为[0,1〕求)31(x f -的定义域3、值域 :〔1〕值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
〔2〕确定值域的原那么：先求定义域 〔3〕常见根本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数〔正余弦、正切〕〔4〕确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
3.2.1函数的性质-单调性课件(人教版)
在区间上单调递增.
()在区间上单调递减.
就叫做函数 () 的单调递增区间， 就叫做函数 () 的单调递增区间，
简称增区间.
简称减区间.
(2)用定义法证明函数的单调性
（1）取值；
课堂例题
例1 根据定义，研究函数() = + ( ≠ 0)的单调性。
追问1:由初中知识可知，一次函数图象的上升还是下降取决于谁？
追问2:根据单调性的定义，判断单调性的关键是比较 (1 )和(2 ) 的大小？
那如何比较(��1 )和(2 )的大小呢？
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当1＜2时，(1)＜(2)还是
章节：第三章 函数的概念与性质
标题：3.2函数的基本性质 (1)
单调性
目
录
1.教学目标
2.新课讲授
3.新课小结
4.作业巩固
环节1：教学目标分解
教学目标
1.理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；会根
据单调定义证明函数单调性； 理解函数的最大（小）值
及其几何意义；
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
(1)＞(2)．根据实数大小关系的基本事实，只要考察(1)－(2)与0
的大小关系．
解：函数()＝＋（ ≠ 0）的定义域是，∀1，2 ∈ ，且1＜2，
则(1)－(2)＝(1＋)－(2＋)＝(1－2).
由1＜2，得1－2＜0．所以
(2)任意取1 ,2 ∈ (−∞, 0],
当1 ＜2 时，有(1 ) < (2 ).
函数() = ||在区间(−∞, 0]上是单调递增的.
1-1-2 一元函数
上册： 1. 一元函数微分学 (1 ~ 3 章) 2. 一元函数积分学 (4 ~ 6 章) 3. 向量代数与空间解析几何 (第7 章) 下册： 4. 多元函数微分学 (第 8 章) 5. 多元函数积分学 (9 ~ 10 章) 6. 无穷级数 (第 11 章) 7. 微分方程 (第 12 章)
o
(2) y = f ( x ) 单调递增 (减)
−1 y = f ( x ) 也单调 其反函数
y
y=e
x
递增 (减) . 例如 , 指数函数 y = e x , x ∈ ( −∞ , + ∞ ) 对数函数 y = ln x , x ∈ ( 0 , + ∞ )
O
y = ln x
x
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线 y = x 对称 .
f ( x) ≤ M ,
y M y = f (x) X x
则称 f ( x )在X上有界.
若 ∃常数M > 0，使 ∀ x ∈ D ,
O -M
f ( x) ≤ M ,
则称 f ( x ) 为有界函数.
注 1° f (x)在X上有上界: ∃常数 M1 ，使 (下) (M2) f (x) ≤ M 1.
y
单调增加或单调减少的 函数 统称为单调函数.
O
x1
x2 x
注 函数单调与否同所论区间有关.
4. 周期性
∀ x ∈ D , ∃ 常数T > 0 , 且 x ± T ∈ D , 若
f ( x ± T ) = f ( x)
则称 f ( x )为周期函数 , 称 T 为周期. ( 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 ). y f (t)
北师大版高中数学选择性必修第二册 第一章 1.2 数列的函数特性、递推公式
n
}是递增数列
n+1
答案 D
解析 由数列的通项 an=
n
n+1
递增数列,故选 D.
知,an+1-an=
n+1
n+2
−
n
n+1
=
1
>0,即数列{
(n+2)(n+1)
n
n+1
}是
二、数列的递推公式
不是所有的数列
都能写出递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么
这个式子叫作这个数列的递推公式.
(2)作图如下:
由图知数列{bn}是递减数列.
反思感悟数列的单调性除了画出散点图进行判断外,还可以根据数列单调
性的定义,利用an+1与an的大小进行判断.
Байду номын сангаас
变式训练1已知数列{an}的通项公式为an=-n2+2n-2.画出数列{an}的图象,
并判断其单调性.
解 作图如下:
由图知数列{an}为递减数列.
2 3
a1· · ·…· =an(n≥2,n∈N+)成立.试
1
2
-1
根据这一结论,完成问题:已知数列{an}满足:a1=1,
-1
数列{an}的通项公式.
=
-1
(n≥2,n∈N
+),求
解 (1)当 n≥2 时,
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2 + 2 + … + 2=2(n-1)+1=2n-1.
1-1,2 函数与极限
例5 求y 1 x 的定义域
2
解：1 x 0
2
x 1
2
D : [1,1]
例6
1 y 1 x2
D : (1,1)
函数的两要素： 定义域与对应法则.
例7 函数y1 x与y2 x 不相同
2
例8 函数y1 lg x与y2 lg x 是否相同
1 2 2
解： D1 (0,)
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
例2
{ x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
2.数域: 对加减乘除封闭的数的集合 (集合中的任意两个数做加减乘除运算,结果仍在此集合中) 实数集的基本性质： 1.实数集是数域 2.对加、乘运算满足交换律、结合律、分配律 3.实数域是有序数域：两个不同的数有大小关系， 并且在加法和乘法运算中保持大小关系 4.实数域的完备性（连续性）：实数域中的任何 一个单调有界序列一定有极限存在
(n 1) n (2n 1) 1 1 1 6n 3 3 2n 6n 2
而且当分割越细（即 n 越大），此和越接近于曲 边形的面积，于是当 n 无限增大时，An 所逼近的值 （不难看出，此值是 1/3 ）就是该曲边形的面积。 上述求曲边图形面积的方法：拆分区间、以直代 曲（以矩形代替曲边图形）、无限累加，这种方法 带有普遍意义。 -----这也就是积分概念的最原始模型。
2022版高中数学第一章数列1、1数列的概念1、2数列的函数特性基础训练北师大版必修5
数列的概念 数列的函数特性基础过关练题组一 对数列概念的理解1.下列说法正确的是 ( ) A.1,2,3,4,…,n 是无穷数列B.数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列C.同一个数在数列中不能重复出现D.数列{2n +1}的第6项是13 2.下面四个结论:①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n })上的函数; ②数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点; ③数列的项数是无限的; ④数列的通项公式是唯一的.其中正确的是 ( ) A.①② B.①②③ C.②④ D.①②③④ 题组二 数列的通项公式3.数列23,45,67,89,…的第10项是 ( )A.1617B.1819C.2021D.22234.(2019山东菏泽高二期末)设a n =1n +1n +1+1n +2+1n +3+…+1n 2(n ∈N +),则a 2= ( )A.12B.12+13C.12+13+14D.12+13+14+155.(2020河南南阳高二下期中)已知数列√2,2,2√2,4,…,则16√2是这个数列的(深度解析) A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项6.数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的通项公式为 ( )A.a n =19(10n-1) B.a n =29(10n-1)C.a n =13(1-110n )D.a n =310(10n-1)7.如图是关于星星的图案,每个图案中的星星数可构成一个数列,则该数列的一个通项公式是 ( )A.a n =n 2-n +1 B.a n =n (n -1)2C.a n =n (n +1)2D.a n =n (n +2)28.下列各数中,是数列{n (n +1)}中的一项的是 ( ) A .380 B .29 C .32 D .239.设a n =1n +1+1n +2+1n +3+…+12n (n ∈N +),那么a n +1-a n 等于 ( ) A.12n +1 B.12n +2C.12n +1+12n +2D.12n +1-12n +210.数列4,6,8,10,…的一个通项公式为 . 题组三 数列的性质11.已知数列{a n }的通项公式是a n =n3n +1,那么这个数列是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列12.设函数f (x )={(3-n )n -3,n ≤7,n n -6,n >7,数列{a n }满足a n =f (n ),n ∈N +,且数列{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是 ( )A.(94,3)B.[94,3) C.(1,3) D.(2,3)13.若数列{a n }为递减数列,则{a n }的通项公式可能为 (填序号). ①a n =-2n +1;②a n =-n 2+3n +1;③a n =12n;④a n =(-1)n.能力提升练一、选择题 1.()给出以下通项公式:①a n =√22[1-(-1)n];②a n =√1-(-1)n;③a n ={√2,n 为奇数,0,n 为偶数.其中可以作为数列√2,0,√2,0,√2,0,…的通项公式的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③2.(2021陕西西安一中高二上第一次月考,)已知数列{a n }中,a 1=1,(n +1)a n =na n +1,则a 12=( )A.11B.12C.13D.14 3.()把3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图),则第7个三角形数是( )A.28B.29C.32D.36 4.()已知数列{a n }中,a 1=3,a n +1=-1nn +1(n ∈N +),能使a n =3的n 可以为 ( )A.17B.16C.15D.14 5.(2019山东烟台招远一中高二月考,)已知a n =n -√79n -√80(n ∈N +),则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是 ( ) A.a 1,a 50 B.a 1,a 8 C.a 8,a 9 D.a 9,a 50 6.()在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +lg (1+1n),则a n =( )A.2+lg nB.2+(n -1)lg nC.2+n lg nD.1+n lg n 二、填空题 7.()斐波那契数列(Fibonaccisequence),又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:0,1,1,2,3,5,8,13,21,…,则该数列的第12项为 .8.(2020安徽宣城高一下期末,)已知a n =n 2-tn +2020(n ∈N +,t ∈R),若数列{a n }中的最小项为第3项,则t 的取值范围为 .易错 9.()某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形,则f (6)= .……10.()在数列{a n }中,a 1=a ,a 2=b ,a n +1+a n -1=a n (n ≥2且n ∈N +),则a 2020= .三、解答题 11.()写出下列数列的一个通项公式.(1)-11+1,14+1,-19+1,116+1,…; (2)2,3,5,9,17,33,…; (3)12,25,310,417,…;(4)-13,18,-115,124,….12.()在数列{a n }中,a n =(n +1)(1011)n.(1)讨论数列{a n }的单调性; (2)求数列{a n }的最大项.答案全解全析 第一章 数列 §1 数列 1.1 数列的概念1.2 数列的函数特性基础过关练1.D 数列1,2,3,4,…,n ,共n 项,是有穷数列,A 错误;数列中的项是有次序的,B 错误; 数列中的数可以重复出现,C 错误;当n =6时,2×6+1=13,D 正确.2.A 易知①②正确;数列的项数可以是有限的,也可以是无限的,③错;数列的通项公式可能不唯一,比如数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…的通项公式可以是a n =sinn π2,也可以是a n =cos(n +3)π2,④错.故选A .3.C 由题意知数列的通项公式是a n =2n2n +1(n ∈N +),所以a 10=2×102×10+1=2021.故选C . 4.C ∵a n =1n +1n +1+1n +2+1n +3+…+1n 2(n ∈N +),∴a 2=12+13+14.故选C .5.B 可将数列改写为√2,(√2)2,(√2)3,(√2)4,…,由此可归纳出该数列的通项公式为a n =(√2)n ,又16√2=(√2)9,所以其为该数列的第9项. 方法总结要判断某一个数是不是数列中的项,其实就是看相应方程有没有正整数解.6.C 数列0.9,0.99,0.999,0.9999,…的通项公式为1-110n ,而数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的每一项都是上面数列对应项的13,故选C .7.C 从题图中可观察星星的构成规律,当n =1时,有1个;当n =2时,有3个;当n =3时,有6个;当n =4时,有10个;……, ∴a n =n (n +1)2.故选C .8.A 令380=n (n +1),即n 2+n -380=0, 解得n =19或n =-20(舍去), 所以380是{n (n +1)}中的第19项. 同理,可检验B 、C 、D 不是该数列中的项.9.D 由题意知a n +1=1n +2+1n +3+…+12n +12n +1+12n +2,所以a n +1-a n =12n +1-12n +2. 10.答案 a n =2n +2解析 各项是从4开始的偶数,所以a n =2n +2. 11.A 因为a n =n 3n +1=13(3n +1)-133n +1=13-13(3n +1)是关于n 的增函数,所以数列{a n }是递增数列.12.D 由a n =f (n ),n ∈N +是递增数列可得{3-n >0,n >1,n (8)>n (7),即{3-n >0,n >1,n 2>18-7n ,解得2<a <3.13.答案 ①③解析 分别作出函数y =-2n +1和y =12n的图像(图略),由图像可知①③中的数列{a n }为递减数列.②中第1项和第2项相等,故不是递减数列.④是摆动数列.能力提升练一、选择题1.D 经代入检验,①②③均可作为已知数列的通项公式.2.B ∵(n +1)a n =na n +1,∴n n n =nn +1n +1, ∴数列{n n n }是常数列,nn n =n 11=1,∴a n =n ,∴a 12=12.故选B.3.D 设3,6,10,15,21,…为数列{a n },则a n =(n +1)(n +2)2,当n =7时,a 7=8×92=36.4.B 由a 1=3,a n +1=-1n n+1,得a 2=-14,a 3=-43,a 4=3,所以数列{a n }是周期为3的周期数列,则由选项知a 16=3,故选B . 5.C 因为y =√79n -√80=1+√80-√79n -√80在(-∞,√80)上单调递减,在(√80,+∞)上单调递减,所以当x ∈(-∞,√80)时y ∈(-∞,1),此时a n ∈[a 8,a 1]⊆(-∞,1),当x ∈(√80,+∞)时y ∈(1,+∞),此时a n ∈[a 50,a 9]⊆(1,+∞),因此数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别为a 8,a 9. 6.A 解法一:由已知得a n +1-a n =lgn +1n, 所以a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =lgn n -1+lg n -1n -2+lg n -2n -3+…+lg 21+2 =lg (nn -1×n -1n -2×n -2n -3×…×32×21)+2 =2+lg n.解法二:由a n +1=a n +lg (1+1n )得a n +1=a n +lg(n +1)-lg n ,所以a n +1-lg(n +1)=a n -lg n =a 1-lg1=2,即数列{a n -lg n }是常数列,且a n -lg n =2,所以a n =2+lg n. 二、填空题 7.答案 89信息提取 ①该数列的前9项分别为0,1,1,2,3,5,8,13,21;②求该数列的第12项.数学建模 本题为涉及数学文化的情境题,从“兔子数列”的前几项入手,挖掘出其内在规律:从第3项起,每1项均等于前面两项之和,便可求得其第12项.解析 记“兔子数列”为{a n },则a 10=a 8+a 9=13+21=34,a 11=a 9+a 10=21+34=55,a 12=a 10+a 11=34+55=89,即第12项为89.8.答案 (5,7)解析 函数y =x 2-tx +2020的图像是开口向上的抛物线,其对称轴为直线x =n2,因为数列{a n }中最小项为第3项, 所以52<n 2<72,解得5<t <7. 易错警示将数列的通项a n 看作是关于n 的函数时,要特别注意以下两点:一是其相应的函数图像是由一群离散的点组成的,二是其定义域为正整数集或正整数集的子集. 9.答案 61解析 f (1)=1=2×1×0+1,f (2)=1+3+1=2×2×1+1, f (3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1, f (4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1,故f (n )=2n (n -1)+1.当n =6时,f (6)=2×6×5+1=61. 10.答案 -a解析 由已知得a n +1=a n -a n -1,所以a 3=a 2-a 1=b -a ,a 4=a 3-a 2=-a ,a 5=a 4-a 3=-b ,a 6=a 5-a 4=a -b ,a 7=a 6-a 5=a ,……, 所以数列{a n }是以6为周期的周期数列,而2020=336×6+4,所以a 2020=a 4=-a. 三、解答题11.解析 (1)∵第n 项的符号为(-1)n ,分子都是1,分母是n 2+1, ∴a n =(-1)n·1n 2+1.(2)∵a 1=2=1+1,a 2=3=2+1,a 3=5=22+1,a 4=9=23+1,a 5=17=24+1,a 6=33=25+1,……,∴a n =2n -1+1. (3)∵a 1=12=112+1,a 2=25=222+1,a 3=310=332+1,a 4=417=442+1,……,∴a n =n n 2+1.(4)∵a 1=-13=-11×3,a 2=18=12×4,a 3=-115=-13×5,a 4=124=14×6,……,∴a n =(-1)n·1n (n +2).12.解析 (1)由题意知a n >0,令n nn n -1>1(n ≥2), 即(n +1)(1011)n n (1011)n -1>1(n ≥2),解得2≤n <10,即a 9>a 8>…>a 1. 令n nnn +1>1,即(n +1)(1011)n (n +2)(1011)n +1>1,整理,得n +1n +2>1011,解得n >9,即a 10>a 11>….又n 9n 10=1,所以数列{a n }从第1项到第9项递增,从第10项起递减.(2)由(1)知a 9=a 10=1010119最大.。
高等数学二全部笔记
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n , (n 为实数)3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1)4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1)5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
「精品」北师大版高中数学必修一课件4-1-1~2-精品课件
∴ ff01＞ ＜00， ， f2＞0，
(6 分)
即 1a＞ －02， ＋1＜0， 4a－4＋1＞0，
解得34＜a＜1.(8 分)
(3)当 a＜0 时，设方程的两根为 x1，x2， 则 x1·x2＝1a＜0，(10 分) x1，x2 一正一负不符合题意． 综上，a 的取值范围为34，1(12 分)
1.25
f(1.25)＜0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)＞0
(1.25,1.375)
1.312 5
f(1.312 5)＜0
(1.312 5,1.375)
∵|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1， 故函数 f(x)＝x3－x－1 在(1,1.5)内的一个近似零点为 1.375， 即方程 x3－x－1＝0 在(1,1.5)内的一个近似解为 1.375.
规律方法 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零 点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值， 进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数值符 号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该 函数的单调性．
【训练 1】 求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1； (3)f(x)＝x3－4x.
规律方法 使用二分法求方程的近似解应转化为求其相应函数 的近似零点，当区间两个端点在满足精确度条件下的近似值相 等时，所得区间两个端点的近似值便为所求方程的根(或函数零 点)．
【训练 2】 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥 部的电话线路发生了故障，这是一条 10 km 长的线路，每隔 50 m 有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到 一个简便易行的方法吗？
同济六版七版高等数学课件
例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间
的函数关系式.
解
单三角脉冲信号的电压
例2 解
故
三、函数的特性
1．函数的有界性:
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
-M
y M
o
X
x 无界
-M
2．函数的单调性:
y
o
x
y
o
x
3．函数的奇偶性:
y
-x o x
x
偶函数
y
-x
o
xx
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大.
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4.三角函数 正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
5.反三角函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
定义:
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
有限集 无限集
数集分类: N----自然数集 Q----有理数集
数集间的关系:
Z----整数集 R----实数集
微积分第一章1-2
是X 到Y 的单射; 若f 既是单射,又是满射,则称f 为一一映射(或 双射).
5
2. 逆映射与复合映射
设f 是X 到Y 的单射, 则对每个y R f , 有唯一的 x X , 适合f ( x ) y . 于是可定义一个新映射g , 即 g : Rf X
注 : (1) 构成映射必须具备三个要素 :
集合X ,即定义域; 集合Y ,即值域的范围; 对应法 则f , 使对每个x X , 有唯一确定的y f ( x )与之对应.
(2) 对每个x X , 元素x的像 y是唯一的; 而对每 个y R f , 元素 y的原像不一定是唯一的.
(3) 一般地Rf Y , 不一定Rf Y .
当x (1, )时, 对应的 函数值f ( x ) 1 x.
O
y
y 1 x
y2 x
1
x
21
2. 函数的几种特性
(1) 函数的有界性
设D是函数f ( x )的定义域 , 数集X D , 若存在 数K 1 , 对任一x X , 有 f ( x ) K1 , 则称函数f ( x )在X 上有上界.而K 1 称为函数f ( x )在 X 上的一个上界. 若存在数K2 , 对任一x X , 有
8
注 : 对于映射g : X Y1 和映射f : Y2 Z , 只有 当Rg D f 时, 才能构成复合映射f g.
一般地, 若f 使f
g有意义, 但g f 未必有意义.即 g与g f 也未必相同.
g与g f 都有意义,f
二次函数的特性
二次函数的特性二次函数是一种形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数在数学中具有一些独特的特性，本文将介绍二次函数的性质和特点。
一、图像特性1. 平移：二次函数的图像可以通过平移来改变其位置。
对于函数y=ax^2+bx+c，当向右平移h个单位时，函数变为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c；当向上或向下平移k个单位时，函数变为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c+k。
2. 对称轴：二次函数的图像关于一条直线对称，这条直线称为对称轴。
对于函数y=ax^2+bx+c，对称轴的公式为x=-b/2a。
3. 开口方向：二次函数的图像的开口方向取决于系数a的正负。
若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下。
4. 顶点：二次函数的图像的顶点是函数的极值点，对于函数y=ax^2+bx+c，顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二、性质特征1. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即函数取值为0的点。
对于函数y=ax^2+bx+c，零点的求解可使用二次方程的求根公式，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
2. 判别式：二次函数的判别式可以判断二次方程的根的情况。
判别式的计算公式为Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，函数有两个不相等的实根；当Δ=0时，函数有两个相等的实根；当Δ<0时，函数无实根。
3. 极值点：二次函数的顶点是函数的极值点。
当a>0时，顶点为函数的最小值点；当a<0时，顶点为函数的最大值点。
4. 单调性：二次函数在对称轴两侧具有不同的单调性。
当a>0时，函数在对称轴左侧递减，在右侧递增；当a<0时，函数在对称轴左侧递增，在右侧递减。
5. 奇偶性：二次函数的奇偶性与系数b相关。
当b为偶数时，函数为偶函数，对称轴为y轴；当b为奇数时，函数为奇函数，对称轴为原点。
三、应用领域1. 物理学：二次函数常被应用于描述自由落体运动、抛物线的轨迹以及弹性系数等物理现象。
高等数学微积分教学ppt(2)
本节内容 :
二、函数的极限
1、自变量趋于有限值时函数的极限
1).
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积.
面积为A )
边长为
(真值:
边长
面积
直接观测值
间接观测值
任给精度 ,
要求
确定直接观测值精度 :
定义1 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4.三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
5.反三角函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
四. 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为非初等函数 .
例如 ,
并可用一个式子表示的函数 ,
例6. 求
解:
利用定理 4 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
内容小结
1). 无穷小与无穷大的定义
2). 无穷小与函数极限的关系
Th1
3). 无穷小与无穷大的关系
Th3
4). 无穷小的运算法则
Th4
Th5
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数、极限与连续
第一章
二、函数
一、集合
第一节
函数
元素 a 属于集合 M , 记作
一阶传递函数和二阶传递函数的区别
一阶传递函数和二阶传递函数的区别一阶和二阶传递函数都是控制系统学科中常见的概念，用于描述信号在系统中的传递过程。
一阶传递函数和二阶传递函数之间的区别是什么呢？本文将从几个方面进行介绍。
1. 结构一阶传递函数和二阶传递函数的结构不同。
一阶传递函数只含有一个惯性环节和一个比例环节，其形式可以表示为：$$G(s) = \frac{K}{1+Ts}$$$K$ 是比例系数，$T$ 是时延。
在频域上，一阶传递函数的幅频特性呈一次函数形状，在低频时增益为 $K$，在高频时逐渐趋向于零。
$$G(s) = \frac{K}{(1+\frac{2ζ}{\omega_n}s+\frac{1}{\omega_n^2}s^2)}$$$K$ 是比例系数，$\omega_n$ 是自然频率，$ζ$ 是阻尼比。
在频域上，二阶传递函数的幅频特性呈现二次函数形状，除了自然频率时有一个峰值外，还存在一个极点，极点位置与阻尼比有关。
2. 响应特性$K$ 是系统稳态增益，$T$ 是时延。
可见，一阶传递函数的阶跃响应是一个指数收敛的过程，最终收敛到 $K$。
对于二阶传递函数，其阶跃响应的形式为：$$y(t) = \begin{cases}K(1-e^{-\zeta \omega_n t}\cos(\omega_d t)), & \text{当}\ 0<\zeta<1 \\K(1+\frac{t}{T_{1}})e^{-\omega_n t}, &\text{当}\ \zeta=1 \\K(\frac{\omega_n}{\omega_d})e^{-\zeta \omega_n t}(sin(\omega_d t +\phi)-sin(\phi)), &\text{当}\ \zeta>1\end{cases}$$$\omega_d$ 是阻尼震荡频率，$T_1$ 是由零点引起的时延，$\phi$ 是相位角。
必修1-3.2.1-2几种不同增长的函数模型
教
堂
师
互 动
∴f(2 012)>g(2 012)>g(6)>f(6)．
பைடு நூலகம்备 课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
思
学
想
教
方
法
法
分
技
析
巧
教 学 方 案 设 计
1. 解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”、“对数增 长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间
当 堂 双 基 达 标
课 的．
前 自 主
课
自
时
主
导 学
【答案】 D
作 业
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
当 堂 双 基 达 标
课 前
用(
)
课
自
主 导
A．一次函数
B．二次函数
时 作 业
学
C．指数型函数
D．对数型函数
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
思
学
想
教
方
法
法
分
技
析
巧
教 学 方 案 设 计
当 堂 双 基
【解析】 结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可 达 标
课 前
知，只有 D 选项对数型函数符合题设条件，故选 D.
标
课
前 自
和建立数学模型．
课 时
主 导 学
二次函数的平移与拉伸变换特性分析
二次函数的平移与拉伸变换特性分析二次函数的平移与拉伸变换特性分析：二次函数是高中数学中重要的概念之一，它是形如f(x) = ax^2 + bx+ c的函数。
在实际问题中，我们常常需要对二次函数进行平移与拉伸变换，以适应不同的情境。
本文将对二次函数的平移与拉伸变换进行深入分析，探讨其特性与应用。
一、平移变换特性分析平移是指将二次函数的图像在平面上进行移动，使其整体上下、左右移动至新的位置。
平移变换通常可由以下公式表示：1. 横向平移：f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为平移的向量。
2. 纵向平移：f(x) = a(x^2) + bx + (c + d)，其中d为纵向平移量。
平移变换特性的分析如下：1. 横向平移特性：当平移到右边时，h为正值，图像向左移动；当平移到左边时，h为负值，图像向右移动。
平移距离与h成正比例，即平移的距离为h倍的单位长度。
2. 纵向平移特性：当纵向平移到上方时，d为正值，图像向下移动；当纵向平移到下方时，d为负值，图像向上移动。
平移距离与d成正比例，即平移的距离为d倍的单位长度。
通过平移变换，二次函数的图像可以灵活地适应不同的平面位置，使其与实际问题的要求相匹配。
二、拉伸变换特性分析拉伸是指调整二次函数图像的尺寸，使其变窄或变宽，变高或变矮。
拉伸变换通常可由以下公式表示：1. 横向拉伸：f(x) = a(bx)^2 + cx + d，其中b为横向拉伸的倍数。
2. 纵向拉伸：f(x) = (a/c)(x^2) + bx + c，其中c为纵向拉伸的倍数。
拉伸变换特性的分析如下：1. 横向拉伸特性：当b的绝对值大于1时，图像在横轴方向上被拉伸，变得更加窄长；当0 < |b| < 1时，图像在横轴方向上被收缩，变得更加宽短。
2. 纵向拉伸特性：当c的绝对值大于1时，图像在纵轴方向上被拉伸，变得更加高瘦；当0 < |c| < 1时，图像在纵轴方向上被收缩，变得更加矮胖。
二次函数的幂函数特性
二次函数的幂函数特性在数学中，二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是实数且a不等于零。
二次函数的幂函数特性指的是二次函数的一些特点和性质，下面将逐一介绍。
【特性一】顶点坐标二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，可以通过计算公式x = -b / (2a)来求得。
具体地，对于f(x) = ax^2 + bx + c这样的二次函数，其顶点坐标为(xv, yv)，其中xv = -b / (2a)，yv = f(xv)。
【特性二】对称轴二次函数的图像具有对称性，其对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程可以通过求解x = xv来得到。
【特性三】开口方向二次函数的开口方向取决于二次系数a的正负性。
当a大于零时，抛物线开口朝上；当a小于零时，抛物线开口朝下。
【特性四】判别式二次函数的判别式可以用来判断抛物线与x轴的交点个数和位置。
判别式的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。
当Δ大于零时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ等于零时，抛物线与x轴有一个重复的交点；当Δ小于零时，抛物线与x轴没有交点。
【特性五】对称性二次函数的图像关于其顶点对称。
也就是说，如果(x1, y1)是函数图像上的一个点，那么顶点坐标xv和yv之间的关系可以表示为x1 = 2xv - x1，y1 = 2yv - y1。
【特性六】最值二次函数的最值即为其顶点的纵坐标。
当二次系数a大于零时，抛物线的最小值为yv；当二次系数a小于零时，抛物线的最大值为yv。
【特性七】轴对称二次函数关于其对称轴轴对称，也就是说，对于任意实数x，f(x) =f(2xv - x)。
通过以上介绍可以看出，二次函数具有多种特性，这些特性可以帮助我们更准确地理解和分析二次函数的性质。
在解题和应用问题方面，掌握这些特性将对我们的思考和解决问题的方法起到很大的帮助作用。
因此，对于学习二次函数来说，理解和掌握其幂函数特性是非常重要的。
正割函数知识点总结
正割函数知识点总结一、定义正割函数是指对数值x对应的正割值, 记作sec(x)。
正割函数的定义域为除了x=kπ+(π/2) (k为整数)之外的所有实数，值域为[-1,1]的闭区间。
正割函数与余割函数的关系为sec(x)=1/cos(x)。
正割函数的图像是以原点为中心的周期图像，其周期为2π。
二、性质1. 周期性：正割函数的周期是2π。
2. 奇偶性：正割函数是一个奇函数，即满足sec(-x)=-sec(x)。
3. 连续性：正割函数在定义域内是连续的。
三、图像正割函数的图像是一个以原点为中心的周期图像，其周期为2π。
图像在x轴上有无数个渐近线。
四、导数正割函数的导数可以通过链式法则计算得出。
根据导数的定义，正割函数sec(x)的导数为sec(x)tan(x)。
五、反正割函数反正割函数（secant inverse function）是正割函数的反函数，表示为sec^(-1)(x)。
反正割函数的定义域为[-∞,-1]∪[1,∞]，值域为[0,π/2]∪[π,3π/2]的闭区间。
六、常见变换1. 水平位移：y=sec(x-a)表示将正割函数的图像向右平移a个单位。
2. 垂直位移：y=sec(x)+b表示将正割函数的图像向上平移b个单位。
3. 垂直缩放：y=csec(x)表示将正割函数的图像在y方向上缩放c倍。
七、应用1. 解析几何：正割函数在解析几何中用于描述曲线的形状和特性。
2. 物理学：在物理学中，正割函数可以用来描述波动和振动的行为。
3. 工程学：在工程学中，正割函数可以用来解决各种问题，比如谐振和波动等。
在实际应用中，正割函数常常与余割函数、正弦函数、余弦函数等其它三角函数结合使用，以描述更加复杂的问题。
总结起来，正割函数是三角函数中的一种，具有很多重要的性质和应用。
在学习和工作中，深入了解正割函数的定义、性质、图像、导数、反正割函数等知识点对于掌握三角函数的相关知识是非常重要的。
希望这篇文章能够帮助读者对正割函数有更深入的理解。
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f ( x ) ln( x 1 x 2 ) ln
ln 1 x 1 x
2
( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 )
( x 1 x2 )
2
ln x 1 x
2
1
ln x 1 x
f(x)是奇函数。
f ( x).
1
y 1 x2
1 y 2 x
O
x
O
1
x
y M y=f(x) o x 有界 E
y M
o
x0
E 无界
x
-M
-M
二、函数的单调性: 设函数 f ( x )的定义域为D, 区间E D,
如果对于区间 E 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x )在区间 E上是单调增加的 ;
称 f ( x )为奇函数;
y
y f ( x)
f ( x)
-x
f ( x )
o
x
x
奇函数图像
例1 讨论下列函数的奇偶性：
(1) f ( x ) ln( x 1 x 2 );
e x e x (2) g( x ) . 2
解：（1）因为该函数的定义域(－∞,＋∞)关于原点 对称，且
1，x 1 x 7、设 f ( x ) 0，x 1 ，g ( x ) e ， 1 x 1 ， 求 f [ g ( x )] ，g[ f ( x )] ，并作出它们的图形 .
20 千克以下不计费， 8、火车站行李收费规 定如下：
20～50 千克每千克收费 0.20 元，超出 50 千克超
第二节 函数的几种特性
一、函数的有界性
二、函数的单调性
三、函数的奇偶性 四、函数的周期性
一、函数的有界性:
定义1 设函数 y f ( x ) 在数集E上有定义，若存在数 数L(或N） , 使得对任一 x E， 都有
f ( x )≤L(或f ( x )≥N )
则称函数f ( x )在E上有上界（或下界） .
e , x 1 g[ f ( x )] 1, x 1 . 1 , x 1 e
0 x 20 8、 y 0.2 x ,20 x 50 10 0.3( x 50), x 50
e x e x (2) g( x ) . 2
（2）因为该函数的定义域(－∞,＋∞)关于原点对称，且
e x e x g( x ) g( x ). 2 所以函数g(x)是偶函数．
四、函数的周期性:
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的 数l , 使得对于任一 x D, ( x l ) D.且 f ( x l ) f ( x )
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
E
x
设函数 f ( x )的定义域为D, 区间E D,
如果对于区间 E上任意两点 x1及 x2 , 当x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的;
y
y f ( x)
恒成立. 则称f ( x )为周 期函数, l称为f ( x )的周期.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
例如，sin x,cos x 都是以 2 为周期的周期函数；
tan x ,cot x 都是以 为周期的周期函数。
八、小结
函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性.
出部分每千克 0.30 元，试建立行李收费 f ( x ) (元 )
于行李重量 x (千克 ) 之间的函数关系，并作 出图 形.
1 x , ( 1,1) . 6、 y ln 1 x 1, x 0 7、 f [ g( x )] 0, x 0 ； 1, x 0
练 习 题
1、证明 y lg x 在 ( 0, ) 上的单调性. 2、证明任一定义在区间 ( a, a ) ( a 0 ) 上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 3、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数， x 2 ,1 x 0 且 f ( x) ,试在 (,) 上绘出 0, 0 x 1 f ( x ) 的图形. 4、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. ax b 5、证明函数 y 的反函数是其本身. cx a e x ex 6、求 f ( x ) x 的反函数，并指出其定义域. x e e
若函数 y f ( x ) 在数集E上既有上界又有下界，则称
在数集E上有上界。
显然，y f ( x ) 在数集E上有界的充分必要条件是 存在常数M＞0，使得任一 x E，都有
f ( x) ≤M
例如，函数 y=1－x2 在实数集R上有上界1； 例如，函数 y=1/x2 在数集(0, 1)上有下界0，但无上界; 例如，函数 y=sinx 在实数集R 上有上有界。 y y
f ( x1 )
f ( x2 )
o
x
E
三、函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
偶函数图像
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x ) f ( x )