《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计
高中数学必修5高中数学必修5《2.1数列的概念与简单表示法(一)》教案
2．1数列的概念与简单表示法（一）一、教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.二、教学重点、教学难点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.三、教学过程：导入新课“有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。
”，（一）、复习准备：1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数. 阅读教材提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？（二）、讲授新课：1. 教学数列及其有关概念：（1）三角形数：1，3，6，10，···（2）正方形数：1，4，9，16，··· （2）1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。
（4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，。
有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？ ----------数列的有序性（2）数列中的数可以重复吗？（3）数列与集合有什么区别？集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。
② 数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.③ 数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a .④ 数列的分类：(1)按项数分：有穷数列与无穷数列，(2)按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.⑤ 数列中的数与它的序号有怎样的关系？序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变动的量。
高中数学教案 第1讲 数列的概念与简单表示法
第1讲数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.1.数列的有关概念(1)数列的定义一般地，我们把按照□1确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是□2序号n，对应的函数值是□3数列的第n项a n，记为a n＝f(n).数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.2.数列的表示法解析式法、表格法、□4图象法.3.数列的单调性从第2项起，每一项都□5大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都□6小于它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，□7各项都相等的数列叫做常数列.4.数列的通项公式和递推公式(1)如果数列{a n}的□8第n项a n与它的□9序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.(2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用□10一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.5.数列的前n 项和公式如果数列{a n }的前n 项和S n 与它的□11序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n 项和公式.常用结论1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，则通项公式为a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2，n ∈N *.2.在数列{a n }中，若a n n ≥a n －1，n ≥a n ＋1(n ≥2)，若a n n ≤a n －1，n ≤a n ＋1(n ≥2).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2.回源教材(1)已知数列a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，则a 5＝.猜想a n ＝.解析：∵a 1＝2，a n ＝2－1a n －1，∴a 2＝2－12＝32，a 3＝2－23＝43，a 4＝2－34＝54，a 5＝2－45＝65，故猜想a n ＝n ＋1n .答案：65n ＋1n(2)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，则a n ＝.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，且a 1＝1也满足此式，故a n ＝2n －1，n ∈N *.答案：2n －1(3)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝.解析：由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，a 4＝16＝5×4－4，…，归纳可知a n ＝5n －4.答案：5n －4由a n 与S n 的关系求通项公式例1(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝5S n (n ≥1)，则a n ＝()A.5×6nB.5×6n ＋1，n ＝1，×6n －2，n ≥2，n ＝1，×6n －2＋1，n ≥2解析：C当n ＝1时，a 2＝5S 1＝5a 1＝5，当n ≥2时，a n ＝5S n －1，所以a n ＋1－a n ＝5(S n －S n －1)＝5a n ⇒a n ＋1＝6a n ，而a 2＝5a 1≠6a 1，所以数列{a n }从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列，所以a n ，n ＝1，×6n －2，n ≥2.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋2－3，则a n ＝.解析：根据题意，数列{a n }满足S n ＝2n ＋2－3，当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋2－3)－(2n ＋1－3)＝2n ＋1，当n ＝1时，有a 1＝S 1＝8－3＝5，不符合a n ＝2n ＋1，故a n ，n ＝1，n ＋1，n ≥2.，n ＝1，n ＋1，n ≥2反思感悟已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写.训练1(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n a n ＝n ·2n ，则数列{a n }的通项公式为a n ＝.解析：由题意，2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n a n ＝n ·2n ①，当n ＝1时，2a 1＝2，∴a 1＝1，当n ≥2时，2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n －1a n －1＝(n －1)·2n －1②，①－②得2n a n ＝n ·2n －(n －1)2n －1＝(n ＋1)2n －1(n ≥2)，∴a n ＝n ＋12(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝1满足上式，∴a n ＝n ＋12.答案：n ＋12(2)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，S n S n ＋1＝－a n ＋1(n ∈N *)，则a 10＝.解析：根据题意，数列{a n }满足S n S n ＋1＝S n －S n ＋1，且S n ≠0，则1S n ＋1－1S n ＝1，因为a 1＝1，所以1S 1＝11，公差为1的等差数列，则1S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以S n ＝1n ，a 10＝S 10－S 9＝110－19＝－190.答案：－190由数列的递推关系求通项公式累加法例2设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝.解析：由题意a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2).以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（n －1）（2＋n ）2＝n 2＋n －22.又因为a 1＝1，所以a n ＝n 2＋n2(n ≥2).因为当n ＝1时也满足此式，所以a n ＝n 2＋n2(n ∈N *).答案：n 2＋n2(n ∈N *)累乘法例3已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝.解析：因为a n ＋1a n＝2n ，所以a na n －1＝2n －1，a n －1a n －2＝2n －2，…a 3a 2＝22，a 2a 1＝2(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2…·a 3a 2·a2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·22·2·2＝21＋2＋3＋…＋(n －1)·2＝2（n －1）·n2＋1＝2n 2－n ＋22，当n ＝1时也满足此式，所以a n ＝2n 2－n ＋22(n ∈N *).答案：2n 2－n ＋22(n ∈N *)反思感悟1.累加法：已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)，可用累加法求a n ，即a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1.2.累乘法：已知a 1，且a na n －1＝f (n )(n ≥2)，可用累乘法求a n ，即a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a2a 1·a 1.训练2(1)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a n ＝()A.4＋1n B.4－1nC.2＋1n D.2－1n解析：B因为a n＋1＝a n＋1n－1n＋1，所以a n＋1－a n＝1n－1n＋1，所以当n≥2时，a2－a1＝1－12，a3－a2＝12－13，…，a n－a n－1＝1n－1－1n(n≥2)，累加可得a n－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1 n (n≥2)，因为a1＝3，所以a n＝1－1n＋3＝4－1n(n≥2)，当n＝1时，a1＝3，满足上式，所以a n＝4－1n，故选B.(2)在数列{a n}中，已知a n＋1＝nn＋2a n(n∈N*)，且a1＝4，则数列{a n}的通项公式a n＝.解析：由a n＋1＝nn＋2a n，得a n＋1a n＝nn＋2故a2a1＝13，a3a2＝24，…，a na n－1＝n－1n＋1(n≥2)，以上式子累乘得，a na1＝13×24×…·n－3n－1·n－2n·n－1n＋1＝2n（n＋1）.因为a1＝4，所以a n＝8n（n＋1）(n≥2).因为a1＝4满足上式，所以a n＝8n（n＋1）(n∈N*).答案：8n2＋n(n∈N*)数列的性质数列的单调性例4已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋k2n，若数列{a n}为递减数列，则实数k的取值范围为()A.(3，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)解析：D因为a n＋1－a n＝3n＋3＋k2n＋1－3n＋k2n＝3－3n－k2n＋1，由数列{a n}为递减数列，知对任意n∈N*，a n＋1－a n＝3－3n－k2n＋1＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).数列的周期性例5(2024·哈尔滨质检)已知数列{a n}的前n项积为T n，a1＝2且a n＋1＝1－1 a n，则T2024＝.解析：∵a2＝1－1a1＝12，a3＝1－1a2＝－1，a4＝1－1a3＝2，…，∴数列{a n}是周期为3的数列.又a1a2a3＝2×12×(－1)＝－1，且2024＝3×674＋2，∴T2024＝(－1)674·a2023·a2024＝1×2×12＝1.答案：1数列的最值例6已知数列{a n}的通项公式为a n＝12n－15，其最大项和最小项的值分别为()A.1，－17B.0，－17C.1 7，－17D.1，－111解析：A因为n ∈N *，所以当1≤n ≤3时，a n ＝12n－15＜0，且单调递减；当n ≥4时，a n ＝12n －15＞0，且单调递减，所以最小项为a 3＝18－15＝－17，最大项为a 4＝116－15＝1.反思感悟1.解决数列单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或常数列.(2)用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与“1”的大小关系进行判断.(3)结合相应函数的图象直观判断.2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.3.求数列的最大项或最小项的常用方法(1)函数法，利用函数的单调性求最值.(2)n ≥a n －1，n ≥a n ＋1(n ≥2)n ≤a n －1，n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项.训练3(1)如表，定义函数f (x )：x 12345f (x )54312对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，n ＝2，3，4，…，则a 2023＝()A.1B.2C.5D.4解析：C由题意，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，所以a 2＝f (a 1)＝f (4)＝1，a 3＝f (a 2)＝f (1)＝5，a 4＝f (a 3)＝f (5)＝2，a 5＝f (a 4)＝f (2)＝4，a 6＝f (a 5)＝f (4)＝1，a 7＝f (a 6)＝f (1)＝5，…，则数列{a n }是以4为周期的周期数列，所以a 2023＝a 2020＋3＝a 3＝5，故选C.(2)已知数列{a n }的通项a n ＝2n －192n －21，n ∈N *，则数列{a n }前20项中的最大项与最小项分别为.解析：a n ＝2n －192n －21＝2n －21＋22n －21＝1＋22n －21，当n ≥11时，22n －21＞0，且单调递减；当1≤n ≤10时，22n －21＜0，且单调递减.因此数列{a n }前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项，a 11＝3，a 10＝－1.答案：3，－1限时规范训练(四十)A 级基础落实练1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析：A ∵a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1（3n ＋1）（3n ＋4）＞0，∴a n ＋1＞a n ，∴选A.2.已知数列a 1，a 2a 1，a3a 2，…，a n ＋1a n，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列{a n }中的项的是()A.16B.128C.32D.64解析：D a n ＋1＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n ＋1a n＝1×21×22×…×2n ＝21＋2＋…＋n＝2n （n ＋1）2，当n ＝3时，a 4＝26＝64.3.(2024·莆田质检)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需的最少移动次数，若a 1＝1，且a n ＋1n ＋2，n 为奇数，a n －1，n 为偶数，则解下6个环所需的最少移动次数为()A.13B.15C.16D.29解析：B∵a1＝1，a n＋1n＋2，n为奇数，a n－1，n为偶数，∴a2＝a1＋2＝3，a3＝2a2－1＝5，a4＝a3＋2＝7，a5＝2a4－1＝13，a6＝a5＋2＝15.4.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为()A.760B.800C.840D.924解析：C由题意得，大衍数列的奇数项依次为12－12，32－12，52－12，…，易知大衍数列的第41项为412－12＝840.5.(多选)已知数列{a n}的通项公式为a n＝(n＋2)·(67)n，则下列说法正确的是()A.数列{a n}的最小项是a1B.数列{a n}的最大项是a4C.数列{a n}的最大项是a5D.当n≥5时，数列{a n}递减解析：BCD假设第n项为{a n}n≥a n－1，n≥a n＋1，n＋2）·（67）n≥（n＋1）·（67）n－1，n＋2）·（67）n≥（n＋3）·（67）n＋1，≤5，≥4，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{a n}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝6574，当n≥5时，数列{a n}递减.6.(2023·珠海质检)数列{a n}满足a1＝1，a2＝2且a n＋2＝a n＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前40项之和为()A.－170B.80C.60D.230解析：C由a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，得a 2k ＋2＝a 2k ＋1，a 2k ＋1＝a 2k －1－1，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋2＝a 2k －1＋a 2k ＝…＝a 1＋a 2＝3，所以数列{a n }的前40项之和为20(a 1＋a 2)＝60.7.数列1，12，12，12，13，13，13，13，13，14，…的第2024项为()A.144B.145C.146D.12025解析：B 观察可知数列的构成规律为1个1，3个12，5个13，…，(2n －1)个1n，….注意到1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，而442＝1936＜2024，452＝2025＞2024，由此知数列的第2024项为145.8.数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝()A.9998B.2C.9950D.99100解析：C由a n ＋1＝1＋a n ＋n ，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2×[(1－12)＋(12－13)＋…＋(199－1100)]＝2×(1－1100)＝9950.9.S n为数列{a n}的前n项和，且log2(S n＋1)＝n＋1，则数列{a n}的通项公式为.解析：由log2(S n＋1)＝n＋1，得S n＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n，显然当n＝1时，不满足上式.所以数列{a n}的通项公式为a n，n＝1，n，n≥2.答案：a n，n＝1，n，n≥210.已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且满足2a n＋1＋S n＝2(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式a n＝.解析：因为2a n＋1＋S n＝2，①当n≥2时，2a n＋S n－1＝2，②由①式减②式得a n＋1＝12a n，又当n＝1时，2a2＋S1＝2，得a2＝12＝12a1，所以数列{a n}是以1为首项，公比为12的等比数列，a n＝12n－1.答案：1 2n－111.已知数列{a n}中，前n项和为S n，且S n＝n＋23a n，则a na n－1的最大值为.解析：∵S n＝n＋23a n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n＋23a n－n＋13a n－1，可化为a na n－1＝n＋1n－1＝1＋2n－1，由函数y＝2x－1在区间(1，＋∞)上单调递减，可得当n＝2时，2n－1取得最大值2.∴a na n－1的最大值为3.答案：312.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{a n}中，a n＝[lg n]，记S n为数列{a n}的前n项和，则a2024＝；S2024＝.解析：∵a n ＝[lg n ]，∴当1≤n ≤9时，a n ＝[lg n ]＝0；当10≤n ≤99时，a n ＝[lg n ]＝1；当100≤n ≤999时，a n ＝[lg n ]＝2；当1000≤n ≤9999时，a n ＝[lg n ]＝3.∴a 2024＝[lg 2024]＝3，S 2024＝9×0＋90×1＋900×2＋1025×3＝4965.答案：34965B 级能力提升练13.(2024·绵阳模拟)若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)且a 1＝2，则满足不等式a n <462的最大正整数n 为()A.20 B.19C.21D.22解析：A ∵(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，∴当n ≥2时，a n a n －1＝n ＋1n －1，∴a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝2×31×42×53×…×n ＋1n －1＝n (n ＋1)，当n ＝1时，a 1＝2＝1×2，∴a n ＝n (n ＋1)，又a n <462，∴n (n ＋1)<462，解得－22<n <21，又n ∈N *，故所求n 的最大值为20.14.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝116，a n a n ＋2＝4a 2n ＋1，则a n 的最小值为()A.2－12B.2－10C.2－5D.2－6解析：D ∵a 1＝1，a 2＝116，a n a n ＋2＝4a 2n ＋1，∴a n ≠0，a n ＋2a n ＋1＝4a n ＋1a n ，∴是首项为a 2a 1＝116，公比为4的等比数列，∴a n ＋1a n ＝116×4n －1＝4n －3.当n ≥2时，a n＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝4n －4×4n －5×…×4－2×1＝412(n －1)(n －6)，∵n ＝1时，412(n －1)(n －6)＝1＝a 1，∴a n ＝412(n －1)(n －6)＝412(n －72)2－258，n ∈N *，∴当n ＝3或n＝4时，a n取得最小值，最小值为4－3＝2－6.15.已知数列{a n}的通项公式为a n＝n33n，当a n 最大时，n＝.(33≈1.44)解析：设a n是数列{a n}n＋1≤a n，n－1≤a n，≤n33n，≤n33n，解得1 33－1≤n≤3333－1.因为33≈1.44，所以n的值为3.(也可以通过列举得出{a n}的最大项)答案：316.(2024·八省八校联考)数列{a n}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.在数学上，斐波那契数列可表述为a1＝a2＝1，a n＝a n－1＋a n－2(n≥3，n∈N*).设该数列的前n项和为S n，记a2023＝m，则S2021＝.(用m表示)解析：由a n＝a n－1＋a n－2得a n＝a n＋2－a n＋1(n∈N*)，即S2021＝a1＋a2＋…＋a2021＝a3－a2＋a4－a3＋…＋a2023－a2022＝a2023－a2＝m－1.答案：m－1。
《数列的概念与简单表示法》 教学设计
《数列的概念与简单表示法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标理解数列的概念，能够区分数列、项、有穷数列、无穷数列。
掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的前几项。
了解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项。
2、过程与方法目标通过实例引入，培养学生观察、分析和归纳的能力。
经历数列概念的形成过程，体会从特殊到一般的数学思维方法。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数列在实际生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
通过自主探究和合作交流，培养学生的创新意识和团队精神。
二、教学重难点1、教学重点数列的概念及通项公式。
利用通项公式求数列的特定项。
2、教学难点根据数列的前几项写出通项公式。
理解数列的递推公式。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合四、教学过程1、导入新课通过展示一些生活中的数列实例，如银行存款利息的计算、树木的生长高度记录等，引导学生观察这些数据的排列规律，从而引出数列的概念。
2、讲授新课（1）数列的概念给出数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。
强调数列中的数是有顺序的，并且同一个数在数列中可以重复出现。
让学生举例说明生活中的数列，如学生的身高排列、班级考试成绩排名等。
（2）数列的项介绍数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项……排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。
（3）有穷数列和无穷数列根据数列中项的个数，将数列分为有穷数列和无穷数列。
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。
通过实例让学生判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，如自然数列1，2，3，…，n，…是无穷数列，而1，2，3，4，5 是有穷数列。
（4）数列的通项公式设数列{an}的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
以数列 2，4，6，8，…为例，引导学生尝试找出其通项公式为 an＝ 2n。
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
举例说明数列的组成，如自然数数列、等差数列等。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
强调数列项的顺序和重复性质。
1.3 数列的通项公式引导学生了解通项公式的概念，即用公式表示数列中任意一项的方法。
举例讲解如何写出简单数列的通项公式。
第二章：数列的表示法2.1 列举法讲解如何用列举法表示数列，即直接写出数列的所有项。
练习写出几个给定数列的列举表示。
2.2 公式法解释公式法表示数列的方法，即用公式来表示数列的任意一项。
举例说明如何用公式法表示等差数列和等比数列。
2.3 图像法介绍图像法表示数列的方法，即用图形来表示数列的项。
引导学生通过观察图形来理解数列的特点。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的数量。
举例说明如何确定一个数列的项数。
3.2 数列的单调性引导学生理解数列的单调性，即数列项的增减规律。
举例说明如何判断一个数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中项按照一定规律重复出现。
举例说明如何判断一个数列的周期性。
第四章：数列的通项公式4.1 等差数列的通项公式讲解等差数列的定义和性质。
推导等差数列的通项公式。
4.2 等比数列的通项公式讲解等比数列的定义和性质。
推导等比数列的通项公式。
4.3 其他类型数列的通项公式引导学生了解其他类型数列的通项公式。
举例讲解如何求解其他类型数列的通项公式。
第五章：数列的前n项和5.1 等差数列的前n项和讲解等差数列的前n项和的定义和性质。
推导等差数列的前n项和的公式。
5.2 等比数列的前n项和讲解等比数列的前n项和的定义和性质。
推导等比数列的前n项和的公式。
5.3 其他类型数列的前n项和引导学生了解其他类型数列的前n项和的求法。
举例讲解如何求解其他类型数列的前n项和。
第六章：数列的求和公式6.1 数列求和的定义解释数列求和是指将数列中的所有项相加得到一个数值。
《数列的概念与简单表示法》(第一课时)教学案例及点评
引入 数 列概 念 ， 后 将数 列 做 为 一 种特 殊 函数 ， 然 介绍 它
的几 种 简单 表 示 法 ， 括 等 差 数列 和 等 比数 列 。 样 就 包 这
把 生 活 实 际与 数 学 有 机地 联 系在 一 起 ，符 合学 生 的认 知 规 律 。 课 过程 中 ， 师着 重 培 养 学 生 的 研 究 意 识 、 授 教 创 新 意识 、 合作 意 识 和 应 用 意识 ， 造 数列 教 与 学 的 良 打
识 到 “ 学 来 源 于 生 活 ” 数 ）
重 点 ： 解 数 列 的概 念 ， 识 数 列 是 反 映 自 然 规 律 理 认 的基 本 数 学 模 型 。 难 点 ： 识 数 列 是 一 种 特 殊 的 函 数 ， 现 数 列 与 函 认 发 数 之问 的关 系 。
活动一 ： 列的概念探究。 数
倍 ） 每 格 棋 盘 上 的 麦 粒 数 排 咸 一 列 数 。 ２） 谣 ： ： （ 童 一
教 材 通 过 “ 角 形 数 ” “ 方 形 数 ” 大 量 的实 例 三 、正 等
只 青蛙 一张 嘴 ， 两只 眼睛 ， 条腿 ； 只青 蛙 两 张 嘴 ， 四 两 四
只 眼 睛 ， 条 腿 ； 只 青 蛙 三 张 嘴 ， 只 眼 睛 ， 二 八 三 六 十
后 数 的 差 符 合 一 定 规 律 ， 这 些 数 都 是 按 照 一 定 顺 序 排 列 的… … 只 要 合理 ， 师 就 应 给 予肯 定 ） 教
教 师 引 导 归 纳 出 ： １ 数 列 的 定 义 ： ２） 列 的 项 ｉ （） （ 数
（ ） 列 的 一 般 形 式 — — ０， … ， ， 简 记 为 ｛ ｝ ３数 ，啦， … ２
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的定义1.1 学习目标：理解数列的定义，能够识别数列的基本特征。
1.2 教学内容：1.2.1 数列的定义：按照一定的顺序排列的一列数。
1.2.2 数列的项：数列中的每一个数称为项。
1.2.3 数列的顺序：数列中项的排列顺序称为数列的顺序。
1.3 教学活动：1.3.1 引入数列的概念，让学生通过观察实际例子来理解数列的定义。
1.3.2 引导学生分析数列的基本特征，如顺序、项等。
1.3.3 进行数列的实例练习，让学生能够识别和描述不同的数列。
第二章：数列的表示法2.1 学习目标：掌握数列的常见表示法，能够正确写出数列的前几项。
2.2 教学内容：2.2.1 列举法：将数列的每一项按顺序写出来。
2.2.2 描述法：用数学公式或文字描述数列的规律。
2.2.3 数列的通项公式：用公式表示数列中任意一项的值。
2.3 教学活动：2.3.1 介绍列举法和描述法，让学生通过实际例子学会用不同的方式表示数列。
2.3.2 引导学生理解数列的通项公式，并能够根据规律写出数列的前几项。
2.3.3 进行数列表示法的练习，让学生能够灵活运用不同的表示法。
第三章：数列的性质3.1 学习目标：理解数列的性质，能够运用数列的性质进行问题的解决。
3.2 教学内容：3.2.1 数列的项数：数列中项的个数称为数列的项数。
3.2.2 数列的项的公共性质：数列中所有项都具有的性质称为数列的项的公共性质。
3.2.3 数列的性质：数列的项的公共性质称为数列的性质。
3.3 教学活动：3.3.1 引导学生通过观察和分析数列的实例，发现数列的性质。
3.3.2 让学生通过实际的例题，学会运用数列的性质进行问题的解决。
3.3.3 进行数列性质的练习，让学生能够熟练运用数列的性质。
第四章：数列的分类4.1 学习目标：了解数列的分类，能够识别不同类型的数列。
4.2 教学内容：4.2.1 数列的分类：按照数列的性质和规律，将数列分为不同的类型。
《数列的概念与简单表示法》-教学设计
2.1.1 数列的概念一、教学目标<1>了解数列的概念通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。
同时了解数列的几种分类。
<2>了解数列是一种特殊的函数了解数列是一类离散函数，体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。
二、教学重点与难点<1>教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。
<2>教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。
三、教学过程第一课时<1>创设情境，实例引入1、引导学生观察P26章节前的知识背景图片，构建自然现象中体现出的数的规律。
留下问题思考：你能发现下面这一列数的规律吗1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...（我们先一起来观察一下课本P26的这幅大图，大家来数数这些花各有几片花瓣。
我们发现，第一朵花有3片花瓣，第二朵花有5片花瓣，第三朵花有8片花瓣，第四朵花有13片花瓣。
那大家来观察一下书上的那一组数：1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...，你能发现它们有什么规律吗？带着这个问题，我们要来探讨一个有关数的新问题。
）2、引导学生观察课本P28的两幅图-三角形数与正方形数，进而引出数列的概念。
（大家都知道古希腊拥有着灿烂的文明，它的数学文化同样值得我们去探究。
古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，书本上的这两幅图正是他们所研究的一小部分，即三角形数与正方形数。
大家一起来观察一下，在三角形数这幅图中每个图形分别对应着数1，3，6，10....，而在正方形数这幅图中每个图形分别对应着数1，4，9，16...，大家能发现它们的共同特点吗？每个图形代表的数与在图中的序列号有没有什么联系呢？这样的一组数我们在数学上称之为数列。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
强调数列的有序性，即数列中每个数的位置是固定的。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
举例说明数列的项与数列的关系。
1.3 数列的表示方法介绍数列的表示方法，包括顺序列举法和通项公式法。
举例说明如何用通项公式表示数列。
第二章：数列的通项公式2.1 通项公式的定义引导学生理解通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。
强调通项公式中变量的含义和作用。
2.2 常见数列的通项公式举例讲解等差数列和等比数列的通项公式。
引导学生通过观察数列的特点来确定通项公式。
2.3 通项公式的应用解释如何利用通项公式来求解数列中的特定项。
举例说明通项公式在解决数列问题中的应用。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的个数。
引导学生理解项数与数列的定义和表示方法的关系。
3.2 数列的单调性讲解数列的单调性，包括递增和递减。
举例说明如何判断数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中存在重复的项的模式。
举例说明如何判断数列的周期性。
第四章：数列的求和4.1 数列的求和公式引导学生理解数列的求和是指将数列中所有项相加得到的结果。
讲解数列的求和公式，包括等差数列和等比数列的求和公式。
4.2 数列的求和应用解释如何利用数列的求和公式来求解数列的和。
举例说明数列的求和公式在解决数列问题中的应用。
4.3 数列的求和性质讲解数列的求和性质，包括数列的错位相减法和分组求和法。
举例说明如何利用数列的求和性质来简化计算。
第五章：数列的综合应用5.1 数列的极限引导学生理解数列的极限是指数列项趋近于某个值的过程。
讲解数列的极限的定义和性质。
5.2 数列的极限应用解释如何利用数列的极限来解决数列问题。
举例说明数列的极限在数学分析中的应用。
5.3 数列的实际应用讲解数列在实际问题中的应用，包括数列在物理学和经济学中的例子。
“数列的概念与简单表示法(1)”的教学设计（第一课时）
“数列的概念与简单表示法(1)”的教学设计（第一课时）作者：蒋菁菁来源：《新教育·综合版》 2020年第7期海南省农垦中学蒋菁菁2017年秋季，海南省开始使用新修订的高中数学课程，修订稿提出数学课程目标的集中体现是数学核心素养，它是学生适应个人终身发展和社会发展的必备品质和关键能力。
高中数学核心素养主要包括: 数学运算、数学抽象、数学建模、数据分析、逻辑推理、直观想象。
本文就“数列的概念与简单表示法”起始课第一课时进行教学设计尝试。
【教材分析】本课时内容是数列的起始课，根据新课程标准，本课时是用大量实例引入数列的概念，紧接着印证数列是一种特殊的函数，最后介绍数列的几种简单表示方法。
为了达到新课程标准的要求，从一开始让学生在高中核心素养下体会数列教与学的良好开端，教师教学可以从日常生活实例入手，探索并掌握它们存在的一些基本数量关系，这样就把数学和生活实例紧密联系在一起，这样的教学符合学生的认识规律，从而让学生感受到生活中处处有数学。
【教学目标】让学生通过日常生活中的实例，了解数列的概念，培养学生数学抽象和逻辑推理的高中数学学科素养。
通过具体实例，了解数列的几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），培养学生直观想象的高中数学学科素养。
【教学重点与难点】教学重点：数列概念的理解，让学生认识到数列是反映自然规律的基本数学模型之一，引导学生探索并掌握数列的几种简单表示法（列表、图像、通项公式）。
教学难点：认识数列是一种特殊函数；发现数列的规律特征，找出数列可能存在的通项公式。
【教学方法与学法指导】本节课以大量的生活实例通过设问和疑问层层引导，引导学生产生疑问，鼓励学生去探究，激发学生的思考欲望，一步一步从常识走向科学，将感性认知提高到理性认知，培养学生的创造性思维能力和批判精神，通过小组合作讨论，达到探究、归纳的最终目的。
从而培养学生逻辑思维能力、合作探究能力和探索精神，以及数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的高中数学核心素养。
数列的概念与简单表示法(1)教学设计
数列的概念与简单表示法（1）教学设计主备人：执教者: 【学习目标】1、理解数列的概念;2、认识数列是反映自然规律的基本数学模型；3、初步掌握数列的一种表示方法--- 通项公式；【学习重点】数列及其有关概念，通项公式及其应用•【学习难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【授课类型】新授课【教具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。
【学习方法】诱思探究法【学习过程】一、复习引入：师课本图2.1-1中的三角形数分别是多少？生1, 3, 6, 10,….师图2.1-2中的正方形数呢？生1, 4, 9, 16, 25,….师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些?生-1的正整数次幕：-1, 1, -1, 1,…；无穷多个数1排成一列数：1, 1, 1, 1，….生2 4 628103 15 356399二、新课学习：折纸问题师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了•师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生随着对折数厚度依次为：2 , 4, 8, 16,…，256，…；①111 1随着对折数面积依次为11 1 ,—2 4 8 16折下去太困难了师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化•请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生均是一列数• 生还有一定次序•师它们的共同特点：都是有一定次序的一列数［教师精讲］1. 数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列（1 ）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；个性设计1256生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的1/256，再（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？生例如，上述例子均是数列，其中①中，“ 2”是这个数列的第1项（或首项），“ 16”是这个数列中的第4项.3. 数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列•例如数列1 , 2, 3, 4, 5, 6是有穷数列. 无穷数列：项数无限的数列•例如数列1 , 2, 3, 4, 5, 6…是无穷数列•2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列常数数列：各项相等的数列•摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列•请同学们观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生这六组数列分别是（1）递增数列，（2）递增数列，（3）常数数列，（4）递减数列，（5）摆动数列，（6）1.递增数列，2.递减数列.［知识拓展］师你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为a n=2n.［合作探究］同学们看数列2, 4, 8, 16,- •, 256,…①中项与项之间的对应关系,项248 1632J J序号 1 2 3 45你能从中得到什么启示？生数列可以看作是一个定义域为正整数集N（或它的有限子集｛1 , 2, 3,…, n｝）的函数a n=f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值•反过来，对于函数y=f（x），如果f（i）（i=1 、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f（1）,f（2）,f（3）, …,f（n）,….师说的很好.如果数列｛a n｝的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式三、特例示范1. 根据下面数列｛a n｝的通项公式，写出前5项：n n⑴ a n= ；(2) a n=(-l) • n.n 1师由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1, 2, 3, 4, 5，即可得到数列的前5项.2. 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：…、24 6 810(1)3 ,5, 7, 9, 11，…；(2)? ? ?, ;31535 6399(3)0 ,1, 0, 1, 0, 1，…•；(4)1 , 3 ,3 , 5 , 5 ,乙7 , 9 , 9 ,(5)2 ,-6 , 12, -20 , 30,-42 ,….这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式［合作探究］师函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数数列(特殊的函数)定义域R或R的子集N或它的有限子集{1 , 2,…,n}解析式y=f(x)a n=f( n)图象点的集合一些离散的点的集合师对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列：1 1 14, 5, 6, 7, 8, 9, 10…;②1,,, ,…③的图象•2 3 4生根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为8*19a••17「*6A ■*5 F *4r «1322 114-1 * •I ••a打师数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关•1 1 1师数列1, 1 1，丄，…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？2 3 41生与我们学过的反比例函数y丄的图象有关•x师这两数列的图象有什么特点？生其特点为：它们都是一群孤立的点•生它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点•四、课堂小结本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念•对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式• 六、作业布置：课时作业2.1.1六、课后反思：。
数列的概念与简单表示法 优秀教学设计
上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.
从而引出数列及有关定义
1
教学过程 一、知识讲解 ⒈ 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.
数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的 第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，…. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列 次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵概念中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出 现.
4 5 ;a5
5; 6
(2)n 1,2源自3,4,5.a11 2 ;a2
2; a3
3; a4
4; a5
5;
变式训练 1 根据下面数列an 的通项公式，写出前 5 项：
an=f(n) 一些离散的点的集合
2
5． 数列的通项公式：如果数列an 的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来
表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项
2.1 数列的概念与简单表示法(第一课时)教案
【教学目标】 一、知识与技能 1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 二、过程与方法 1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式 教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习； 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学 的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点； 2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.
《数列的概念与简单表示法》教学设计
《数列的概念与简单表示法》教学设计（一）教学目标1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
（二）教学重、难点重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
（三）学法与教学用具学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
教学用具：多媒体、投影仪、尺等（四）教学设想多媒体展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{an} （3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。
数列的表示方法（1）函数y=7x+9 与y=3 x，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？（2）定义数列{an}的通项公式（3）数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。
例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，-1/2，1/3，-1/4；（2）2，0，2，0．引导学生观察数列的前4项的特点，寻找规律写出通项公式。
数列的概念与简单表示法教学设计 李
2.1 数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与简单表示法（人教A版高中新课程标准实验教科书必修5）教师教育学院学科教学（数学） 1411290018 李鑫一、教材分析本节课选自普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修5）中第二章《数列》第一节“数列的概念与简单表示法”的第一课时，课程类型：新授课。
数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的位置，数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用。
同时，数列也是中学数学到高等数学的一个桥梁，它是极限、微积分等近代数学的重要基础，为之后学习作了铺垫。
数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。
本章在对学生学习、生活中大量实际问题的分析基础上，建立等差数列和等比数列特殊的数列模型，力求使学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本关系。
本节课是数列起始课，聚焦到数列实例，注重概念的形成过程，突出了函数思想、数学模型思想、特殊到一般数学思想，强化了用函数视角看待数列，体现数列的应用性以及数学的文化价值。
二、学情分析知识层面：高一学生已经学习了集合，用集合的视角看待数学学习中所研究的各种对象，同时运用集合语言准确、简捷地表征数学内容。
在集合之后对基本初等函数进行系统学习，从映射的角度理解函数，了解函数表示方法与函数的图像和性质。
思维能力层面：同初中相比较，认识到高中数学学习的不同，更注重抽象思维的培养，具有一定的特殊到一般、数学模型、转化与化归等数学思想的基础。
经由初中到高中学习的衔接、过渡，思维水平有了质的提升，但需注意推理过程中逻辑严谨性，如分类讨论方法的运用等更全面地分析问题、解决问题。
三、教学目标对学生情况进行充分了解、分析后，结合本节课教学内容设置如下教学目标：1.通过实例，理解数列及其相关概念，重点体会其次序性，了解数列的几种简单表示方法（列表、图像、通项公式）。
2.通过数列的三种表达形式，突出研究数列问题考虑的两个元素——项、序号，由两个变量相互对应掌握数列的通项公式，与之前学习的函数相关联。
数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计
数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计一、教材与教学分析1.数列在教材中的地位新课程标准中，“数列”这一章首先通过大量实例引入数列的概念，例如“三角形数”、“正方形数”等，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，如等差数列和等比数列。
这样就把生活实际与数学有机地联系在一起，符合人们的认识规律，让学生体会到数学就在我们身边。
作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。
教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用（例如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题）。
2.教学任务分析1) 了解数列的概念新课标的教学更贴近生活实际。
通过实例引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。
了解数列的几种分类。
2) 了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系。
3.教学重点与难点重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型。
难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系。
二、教学方法小组合作、探究研究模式。
通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数学归纳法。
三、研究过程设计问题情境】1.国际象棋的传说：在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍。
每格棋盘上的麦粒数排成一列数。
2.古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
每日所取棰长排成一列数。
3.童谣：一只青蛙，一张嘴，两只眼睛，四条腿；两只青蛙，两张嘴，四只眼睛，八条腿；三只青蛙，三张嘴，六只眼睛，十二条腿。
4.中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数。
教师：以上四个问题中的数蕴涵着哪四列数呢？学生：1.1.2.4.8.16.32.2.1.1/2.1/4.1/8.1/16.1/32.3.青蛙嘴：1.2.3.4；眼睛腿：2.4.6.8.12.16.4.15.5.16.16.28.32.Design n: Using familiar life examples to create s to introduce problems can help students understand the concept of sequences intuitively。
2.1数列的概念与简单表示法(第1课时)教学设计(二)ppt课件
-3 -
教学过程
-4 -
教学过程
-5 -
-6 -
-7 -
(9) 10, 100, 1000, 10000; (10) 9, 99, 999, 9999; (11) 1, 11, 111, 1111 ; (12) 7, 77, 777, 7777.
2.1 数列的概念与简单表示法 （第1课时）
-2 -
教学任务
(1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的 概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的 数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之 间的变量依赖关系．
教学重点与难点
-8 -
小结：
通过本节课的学习，你有何收获？
-9 -
书面作业
课本习题 2.1 A组第 1，3 题；B组 第1 题
预习作业
预习课本第 30和 31 页，思考下列问题 : (1)数列的表示方法有哪些? (2)递推公式与通项公式有什么区别?
-10-
• 有关的数学名言
• ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及 最高级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人 精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗 庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自 然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。—— 本杰明
《数列的概念与简单表示法》教案1上新人教A版
《数列的概念与简单表示法》教案1（上）（新人教A版必修5）§2.1 数列的概念及简单表示（1）教学目标1．通过大量实例，理解数列概念，了解数列和函数之间的关系2．了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式4．提高观察、抽象的能力．教学重点：1．理解数列概念；2．用通项公式写出数列的任意一项．教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式．教学方法：发现式教学法教学步骤：一．（引言）数产生于人类社会的生产、生活需要，它是描绘静态下物体的量，因此，在人类社会发展的历程中，离不开对数的研究，在这一背景下产生数列。
数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。
人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列（设置情景）看下列一组实例：（1）课本32页"三角形数问题"（2）见EXCEL（3）某种放射性物质最初的质量为1，每经过一年剩留这种物资的84％，则这种物资各年开始时的剩留量排成一列数：1，，，，......（4）－1的1次幂，2次幂，，......排成一列数：－1，1，－1，1，......（5）无穷多个1排成一列数：1，1，1，1，1，......提出问题：上述各组数据有何共同特征？二．探求与研究.I.基础知识：1.数列：按一定的次序排列的一列数叫数列。
2．项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
其中第1项也叫做首项3.项数：数列的各项所在的位置序号叫做项数。
4．数列的表示：（1）一般形式：，，，...，...其中是数列的第项。
（2）简单表示：5．通项公式：若数列的第项与它的项数之间的关系可以用一个公式表示，则这个公式叫做数列的通项公式。
简记为。
说明：（1）通项公式的本质：反映了数列的项与项数之间的对应关系（函数关系）。
（2）依次用1，2，3，...代替公式中的，就可以求出这个数列的各项。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计一、教材与教学分析1．数列在教材中的地位根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。
教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．2．教学任务分析(1)了解数列的概念新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类．(2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系．3．教学重点与难点重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系二、教学方法小组合作、探究学习模式通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数学归纳法。
三、学习过程设计【问题情境】1．国际象棋的传说（在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍）：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；2．古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；3．童谣：一只青蛙，一张嘴 ，两只眼睛，四条腿； 两只青蛙，两张嘴 ，四只眼睛，八条腿； 三只青蛙，三张嘴 ，六只眼睛，十二条腿；4．中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数 。
教师：以上四个问题中的数蕴涵着哪四列数呢？学生：1：23631,2,2,2,,2 2一列数：23451111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，3设计说明：利用学生熟悉的生活实例创设情景引入问题，既可以帮助学生直观地理解数列的概念，又可以使学生认识到“数学来自于生活”活动一：数列的概念探究教师：以上几列数的共同特点是什么？引导学生思考这四列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等比数列概念。
学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定。
教师引导归纳出：1. 数列的定义；2. 数列的项；3. 数列的一般形式,,,,,321n a a a a 简记为{}n a （板书）活动二：数列和集合的关系教师：将以上几列数用集合如何表示？请写出相应的集合。
观察集合中的元素和原来数列中数有什么差别？学生：发现问题4的一列数写成集合后，集合中的元素只有一个16教师：经过以上研究，同学们能否说说数列中的项和集合中的元素有何区别呢？ 学生思考并作答。
集合和数列的区别是：第一，集合的对象可以是任意的东西。
如全体中华人民共和国的公民组成一个集合，某农场全部拖拉机组成一个集合，所有的化学元素组成一个集合，等等。
而数列的对象都是数，组成数列各项的元素只能是数，而不能是其他的对象。
第二，集合里的元素不能重复，而数列中的数是可以重复的。
如上面所讲的数列1，1，2，2，3，3，4，4，…是按照自然数列的规律，连续重复一次排列而成的，但是若把这个数列的各项看成是一个集合的元素，那么这个数列只能写成｛1，2，3，4，…｝，而不能写成｛1，1，2，2，3，3，4，4，…｝。
第三，集合中的元素是不考虑顺序的，而数列中各数的顺序是十分重要的。
例如，数列1，2，3，4 与数列 4，3，2，1是两个不同的数列。
可是集合｛1，2，3，4｝与集合｛4，3，2，1｝则被认为是相同的。
活动三：数列的分类根据数列的项，以及数列项之间的大小关系可以对数列进行怎么样分类？教师引导学生分析本节课所举的数列的特点，按一定的分类标准给出数列的分类：按项数，可分为有穷数列和无穷数列；按项之间的大小关系（单调性）可分为，递增数列，递减数列，常数列，以及摆动数列。
（板书）【拓展延伸】数列与函数的关系展示以下数列：①4，5，6，7，8，9，10．②1，12，13，14，15，…. ③1，0.1，0.01，0.001，0.0001，….④1，1.4，1.41，1.414，….⑤-1，1，-1，1，-1，1，….⑥2，2，2，2，2，….教师：观察以上数列，请同学们思考：数列中的数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？教师：下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，每一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5教师：看来，这个数的每一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 学生：结合上述其他例子，练习找其对应关系如：数列①：n a =n+3(1≤n ≤7) 数列③：n a n n (1011-=≥1） 数列⑤：n n a )1(-=n ≥1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
教师：从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集{}n ,,2,1 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法。
对应于函数的解析式法，认识数列的通项公式。
下面同学们练习画数列①②的图象【应用提升】1．根据下面数列的通项公式，写出前5项。
(1);1n n a n =+ (2)(1);n n a n =-⋅ 解：（1）12345123451,2,3,4,5.;;;;;23456n a a a a a ====== (2) 1234511,2,3,4,5.;2;3;4;5;2n a a a a a ====-==- 2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1） 1，3，5，7；（2）222221314151;,;;2345---- （3）1111,,,,12233445----⨯⨯⨯⨯ 教师引导学生去思考，让学生来完成例题解答。
分析：（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4∴12-=n a n ；（2）序号：1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1 ∴2(1)1n n n a n -=+； （3）序号 1 112↓-⨯ 3 123↓-⨯ 3 134↓-⨯ 4145↓-⨯‖ ‖ ‖ ‖ 11(1)1(11)-⨯+21(1)2(21)-⨯+31(1)3(31)-⨯+ 21(1)2(21)-⨯+ ∴1(1)(1)n n a n n =-+ 教师：怎样写出已知数列的通项公式？基本思路是什么？引导学生归纳以下思路：根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式应注意分析数列的项和项数的关系，研究这几项的表示式中哪些是变化的，哪些是不变的，探索各项中变化部分与项数之间关系，从而归纳出项与项数的关系，写出通项公式.活动四：生生互动教师：怎样从实际生活中，依据一定的规律抽象出一些数列？每位学生写四个数作为一个数列的前四项，请同桌写出这个数列的一个通项公式。
思考：出题者是依据什么规律写出这四个数的？你能够说出他的意图吗？【课堂小结】教师：本节课学习了那些知识？这些知识的研究途径是什么？1．数列的有关概念2．数列的分类3．数列函数性定义数列的通项公式（投影）教师：小结概括了这节课的主要内容,使学生对这节课有个全面认识。
【任务后延】教师：可以有数列的通项公式写出数列的项？是不是每一个数列都有通项公式？有的话是不是唯一的？作业：习题2.1 A组 1，2思考题：①为什么课本练习4中要求写出数列的“一个”通项公式？②你能写出前四项为1，1，1，1的数列的两个通项公式吗？③你认为所有的数列都有通项公式吗？引例4的数列有没有通项公式？若有，你能写出它的一个通项公式吗？（投影）四、教学评价与反思本节课教学通过丰富的实例展开的，国际象棋的传说、古语、童谣、中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数等例子不仅可以使学生体会数列与现实世界的联系，也会增强学生学习数列的兴趣，产生学习数学的积极情感，使他们感受到数列离自己很近，数列有用。
本节课的教学设计体现出学生的主体地位,以学生活动、学生探究为主,把数列问题与生活实际联系起来,展示了一个完整的数学探究过程。
比如在探究数列和函数的关系过程中，引导学生以小组合作的方式探究数列的每一项与这一项的序号的对应关系，并用一个公式表示。
这样通过提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。
在教学中采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识；灵活融合引导启发、数形结合、激励评价、多媒体辅助等教学方式，从而使学生逐步改进学习方式，在合作中相互配合，更好地实现学习任务。
这节课基本上达到教学的预想目的,由于小组合作学习对教师驾驭课堂的能力要求很高，这在今后的教学中还有待于进一步的提高，在生生互动过程中，讨论还不够热烈。
在调动学生的积极性和主动性还要继续下功夫。
通过这节课，使我更深刻的认识到应加强自身的学习，不断反思，不断改进，超越自我，不断创新出新的更好的课堂教学模式。
点评：通过对一定数量感性材料的观察、分析，可以提炼出感性材料的本质属性。
从学生熟悉的童谣、体育知识和数学史、数学文化等角度切入课题，可以吸引学生“眼球”，激发学生探究问题的热情。
活动一可以使学生体会到这些数的排列的顺序性，认识数列中的项与它的序号的对应关系，如情境1中，2312341,2,2,2,,a a a a ====情境2中,234123*********a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，,这样既落实对概念的准确表达，又为以后写出数列的通项公式埋下伏笔。