人教版 高中数学 选修2-3 学案1.2.2.1 组合与组合数公式

人教版高中数学精品资料1.2.2 组合第1课时组合与组合数公式1．理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点) 2．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(重点)[基础·初探]教材整理1组合与组合数的概念阅读教材P21～P22上面倒数第一行，完成下列问题．1．组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.()(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．()(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．()(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．( )【解析】 (1)√ 因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．(2)√ 由组合数的定义可知正确．(3)× 因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题． (4)√ 因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．(5)× 因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 教材整理2 组合数公式及性质阅读教材P 22探究～P 25探究与发现，完成下列问题． 组合数公式及其性质(1)公式：C m n ＝A mnA m m ＝n ！m ！(n －m )！.(2)性质：C m n ＝C n －m n _，C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1. (3)规定：C 0n ＝1.1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C 23＝3×22＝3.【答案】 32．C 26＝________，C 1718＝________.【解析】C 26＝6×52＝15，C 1718＝C 118＝18.【答案】 15 183．方程C x 14＝C 2x －414的解为________．【解析】由题意知⎩⎨⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎨⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6. 【答案】 4或64．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________. 【导学号：97270015】【解析】 从四个数中任取两个数的取法为C 24＝6. 【答案】 6[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3：[小组合作型]组合的概念判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．【自主解答】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[再练一题]1．从5个不同的元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，写出所有不同的组合． 【解】 要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de .组合数公式的应用(1)式子n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！可表示为( )A ．A 100n ＋100B ．C 100n ＋100 C ．101C 100n ＋100D ．101C 101n ＋100(2)求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1.【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明． 【自主解答】 (1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ，故n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！＝101·n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)101！＝101C 101n ＋100. 【答案】 D (2)由组合数定义知： ⎩⎨⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1， 所以4≤n ≤5，又因为n ∈N *， 所以n ＝4或5.当n ＝4时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 14＋C 55＝5； 当n ＝5时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 05＋C 46＝16.关于组合数计算公式的选取1．涉及具体数字的可以直接用公式C m n ＝A mnA m m＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．2．涉及字母的可以用阶乘式C m n ＝n ！m ！(n －m )！计算．3．计算时应注意利用组合数的性质C m n ＝C n －mn 简化运算．[再练一题]2．求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝195中的n 值．【解】 原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，C 5n －1＝145C 3n －3，即(n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)5！＝145·(n －3)(n －4)(n －5)3！，化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程，得n＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求．[探究共研型]组合的性质探究1 试用两种方法求：从a ，b ，c ，d ，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？【提示】 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C 35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C 25＝5×42＝10(种)不同选法．经求解发现C 35＝C 25.推广到一般结论有C m n ＝C n －mn .探究2 从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？【提示】 共有C 610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法．探究3 在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？【提示】 若队长必须参加，共C 59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C 69＝84(种)选法．由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C 610＝C 59＋C 69.一般地：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .(1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 016的值为( ) A ．C 42 017 B ．C 52 017 C ．C 42 017－1D ．C 52 017－1(2)解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4；(3)解不等式C 4n ＞C 6n .【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．【自主解答】 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 016 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 32 016－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 016－1＝… ＝C 42 016＋C 32 016－1＝C 42 017－1.【答案】 C(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·(x －3)！(x －7)！4！＝5·(x －4)！(x －6)！， 则3(x －3)4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40. ∴x 2－9x －22＝0， 解得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根． ∴方程的根为x ＝11.(3)由C 4n ＞C 6n ，得⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！＞n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎨⎧n 2－9n －10＜0，n ≥6，⇒⎩⎨⎧－1＜n ＜10，n ≥6.又n ∈N *， ∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．1．性质“C m n ＝C n －mn ”的意义及作用2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．3．(1)化简：C9m－C9m＋1＋C8m＝________；(2)已知C7n＋1－C7n＝C8n，求n的值．【解析】(1)原式＝(C9m＋C8m)－C9m＋1＝C9m＋1－C9m＋1＝0.【答案】0(2)根据题意，C7n＋1－C7n＝C8n，＝C8n＋C7n，变形可得C7n＋1由组合数的性质，可得C7n＋1＝C8n＋1，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.[构建·体系]1．下列四个问题属于组合问题的是()A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员【解析】A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．【答案】 C2．若A3n＝12C2n，则n等于()A．8B．5或6C．3或4 D．4【解析】A3n＝n(n－1)(n－2)，C2n＝12n(n－1)，所以n(n－1)(n－2)＝12×12n(n－1)．由n∈N*，且n≥3，解得n＝8. 【答案】 A3．C58＋C68的值为________．【解析】C58＋C68＝C69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.【答案】844．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次. 【导学号：97270016】【解析】每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C26＝15次．【答案】155．已知C4n，C5n，C6n成等差数列，求C12n的值．【解】由已知得2C5n＝C4n＋C6n，所以2·n！5！(n－5)！＝n！4！(n－4)！＋n！6！(n－6)！，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求C12n的值，故n≥12，所以n＝14，于是C1214＝C214＝14×132×1＝91.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是()A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【解析】从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．【答案】 C2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为()A．4B．8C．28D．64【解析】由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C28＝28条公路．【答案】 C3．组合数C r n(n>r≥1，n，r∈N)恒等于()A.r＋1n＋1C r－1n－1B．(n＋1)(r＋1)C r－1n－1C．nr C r－1n－1D.nr Cr－1n－1【解析】nr Cr－1n－1＝nr·(n－1)！(r－1)！(n－r)！＝n！r！(n－r)！＝C r n.【答案】 D4．满足方程C x2－x16＝C5x－516的x值为()A．1,3,5，－7 B．1,3C．1,3,5 D．3,5【解析】依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x ＝5；x＝－7或x＝3，经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意．【答案】 B5．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A．20 B．9 C．C39D．C24C15＋C25C14【解析】分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C14个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C15个平面．故可确定C14＋C15＝9个不同的平面．【答案】 B二、填空题6．C03＋C14＋C25＋…＋C1821的值等于________．【解析】原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝7 315.【答案】7 3157．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．【解析】从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C35＝10个子集．【答案】108．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)【解析】从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C410＝210种分法．【答案】210三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【解】从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C36＝6×5×43×2×1＝20个．10．(1)求式子1C x5－1C x6＝710C x7中的x；(2)解不等式C m－18>3C m8.【解】(1)原式可化为：x！(5－x)！5！－x！(6－x)！6！＝7·x！(7－x)！10·7！，∵0≤x≤5，∴x2－23x＋42＝0，∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解．(2)由8！(m－1)！(9－m)！>3×8！m！(8－m)！，得19－m>3m，∴m>27－3m，∴m>274＝7－14.又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即7≤m≤8，∴m＝7或8.[能力提升]1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有()A．36个B．72个C．63个D．126个【解析】此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C49＝126个．【答案】 D2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有() 【导学号：97270017】A．140种B．84种C．70种D．35种【解析】可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C14·C25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C24·C15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．【答案】 C3．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为________．【解析】∵1≤m<n≤5，所以C m n可以是C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25，C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，∴方程x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．【答案】 64．证明：C m n＝nn－mC m n－1.【证明】nn－mC m n－1＝nn－m·(n－1)！m！(n－1－m)！＝n！m！(n－m)！＝C m n.。