第六届初中_祖冲之杯_数学邀请赛试题
第六届小学《祖冲之杯》数学邀请赛(无答案)(竞赛)-最新学习文档
第六届小学《祖冲之杯》数学邀请赛一、填空题(满分l00分)1～10小题每题8分，ll ～12每小题l0分1．我国古代数学家祖冲之在数学上的重大贡献之一是推算出圆周率π的值在3．1415926与3．1415927之间，比欧州早一千多年，约率722是π的近似值，现问：722 小数点后面第2019位上数字是 。
2．在某一个月中，有三个星期天的日期是偶数号，那么这个月的8号是星期 。
3．将分数131的分子、分母同加一个整数后得到53，那么同加上的这个数是 。
4．一辆汽车以每小时60千米的速度从A 地开往B 地，他又以每小时 40千米的速度从B 地返回A 地，那么这辆汽车行驶的平均速度是 千米／时。
5．某班44人，从A ，B ，C ，D ，E 五位候选人中选举班长，A 得选票23张，B 得选票占第二位，C ，D 得票相同，E 选票最少，得4票，那么B 得选票 张。
6．一张面积为l 的正三角形白纸片，现按下述方式对其涂色：每次把正三角形分成四个全等的小正三角形，将中间的小正三角形涂成黑色(如下图)，经过四次涂色后，仍是白色的面积是 。
7．12个小球分别标上自然数l ，2，3…12。
甲、乙、丙三人每人拿了4个小球，而且每人所拿的四个小球上标的数之和相等。
已知甲拿的球中有两个球标的数是6，12；乙有两个球的标数是7，9。
那么丙所取的四个球上标的数是 ， ， ， 。
8．一个长方形的边长都是整数厘米，面积为1050平方厘米，那么这个长方形的周长最大可能是 厘米，最小可能是 厘米。
9．在2019这个数的前面或后面添写一个数4，所得到的两个五位数均能被4整除。
现在，请你找出一个三位数写在2019的前面或后面，使所得的两个七位数也能被这个三位数整除，这样的三位数有 个，它们是 。
10．下图3×3正方形的每个方格内的字母都代表一个数，已知其每行，每列以及两条对角线上三个数之和都相等，若a=4，d=19，l =22，那么b= ，h= 。
三年级上学期奥数
【例1热身】十秒钟巧算：25×4＝50×4＝(★★★)3×25×125×4×8＝______(★★★)⑴526×99 ⑵2004×25(★★★★)80×1995－3990＋1995×22＝_______(★★★★)(26÷25)×(27÷17)×(25÷9)×(17÷39)(★★★★)9张扑克牌，点数分别为1，1，1，2，2，3，4，5，10，狗老大从中取了5张，发现乘积是80。
蛋蛋兔也从中取了5张，发现乘积是120。
如果两人所取的扑克牌只有一张是相同的，这张扑克牌的点数是什么？测试题1．算式51×25×8×125×4的结果是( )A．5100 B．51000 C．5100000 D．510000000 2．算是368×99的结果是( )A．36432 B．36852 C．38512 D．389623．算式3852×78＋7704＋20×3852的结果是( )A．254138 B．269540 C．368402 D．3852004．算式(38÷29)×(57×26)÷(38×57)×(87÷26)的结果是( )A．3 B．26 C．28 D．305．9张扑克牌，点数分别为1，1，2，2，2，3，4，5，8，甲从中取了5张，发现乘积是160，乙也从中取了5张，发现乘积是192。
如果两人所取的扑克牌只有一张是相同的，这张扑克牌的点数是( )点。
A．1 B．3 C．4 D．8测试题1、1. A 3000002. B 300003. C 32004. D 400000、5. A 1230， 23400， 256006. B 1107， 23166， 25597447. C 1229， 23399， 25599918. D 1109， 23166， 25597433、9. A 25225210. B 25025211. C 2755212. D 252502413. A 3014. B 1215. C 1516. D 18o5、1. A 252. B 303. C 2504. D 320第二讲我会算一算：乘法与除法(2×7×5＝5×125×2×8＝12×25＝改算式33×625×125×25×5×16×8×4×2的计算结果中有多少个0？(★11×99918×3333(★3×3×3×7×11×37＝333333在上式中加上一个数字使等式成立，则加上的数字是________。
第六届小学《祖冲之杯》数学邀请赛
第六届小学《祖冲之杯》数学邀请赛一、填空题(满分l00分)1～10小题每题8分，ll ～12每小题l0分1．我国古代数学家祖冲之在数学上的重大贡献之一是推算出圆周率π的值在3．1415926与3．1415927之间，比欧州早一千多年，约率722是π的近似值，现问：722 小数点后面第1996位上数字是 。
2．在某一个月中，有三个星期天的日期是偶数号，那么这个月的8号是星期 。
3．将分数131的分子、分母同加一个整数后得到53，那么同加上的这个数是 。
4．一辆汽车以每小时60千米的速度从A 地开往B 地，他又以每小时 40千米的速度从B 地返回A 地，那么这辆汽车行驶的平均速度是 千米／时。
5．某班44人，从A ，B ，C ，D ，E 五位候选人中选举班长，A 得选票23张，B 得选票占第二位，C ，D 得票相同，E 选票最少，得4票，那么B 得选票 张。
6．一张面积为l 的正三角形白纸片，现按下述方式对其涂色：每次把正三角形分成四个全等的小正三角形，将中间的小正三角形涂成黑色(如下图)，经过四次涂色后，仍是白色的面积是 。
7．12个小球分别标上自然数l ，2，3…12。
甲、乙、丙三人每人拿了4个小球，而且每人所拿的四个小球上标的数之和相等。
已知甲拿的球中有两个球标的数是6，12；乙有两个球的标数是7，9。
那么丙所取的四个球上标的数是 ， ， ， 。
8．一个长方形的边长都是整数厘米，面积为1050平方厘米，那么这个长方形的周长最大可能是 厘米，最小可能是 厘米。
9．在1996这个数的前面或后面添写一个数4，所得到的两个五位数均能被4整除。
现在，请你找出一个三位数写在1996的前面或后面，使所得的两个七位数也能被这个三位数整除，这样的三位数有 个，它们是 。
10．下图3×3正方形的每个方格内的字母都代表一个数，已知其每行，每列以及两条对角线上三个数之和都相等，若a=4，d=19，l =22，那么b= ，h= 。
行程问题集锦
行程问题集锦1、根本行程问题：根本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。
根本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间关键问题：确定行程过程中的位置2、简单的相遇、追及问题：相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程追击问题：追击时间＝路程差÷速度差简单的相遇与追及问题各自解题时的入手点及需要注意的地方1.相遇问题：与速度和、路程和有关⑴是否同时出发⑵是否有返回条件⑶是否和中点有关：判断相遇点位置⑷是否是屡次返回：按倍数关系走。
⑸一般条件下，入手点从"和"入手，但当条件与"差"有关时，就从差入手，再分析出时间，由此再得所需结果2.追及问题：与速度差、路程差有关⑴速度差与路程差的本质含义⑵是否同时出发，是否同地出发。
⑶方向是否有改变⑷环形时：慢者落快者整一圈(1) 甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？(2) 两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇。
两个车站之间的铁路长多少千米？(3) 甲、乙两列火车同时从相距988千米的两地相向而行，经过5.2小时两车相遇。
甲列车每小时行93千米，乙列车每小时行多少千米？〔1〕师徒两人合作加工520个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，几小时以后还有70个零件没有加工？〔2〕甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖75米；乙队从西往东挖，每天比甲队少挖5米，两队合作8天挖好，这条水渠一共长多少米？(3) 甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米。
乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？〔4〕一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。
六年级下册数学试题奥数专项练习：定义新运算(一)(含答案)全国通用
定义新运算练习题一．夯实基础：1.规定，符号”〇”表示选择两数中较大数的运算，如：5〇99=．符号”△”表示选择两数中较小数的运算，如：3△2=2．请计算：(6527)(154)(4523)(1425)∆⨯O +O ⨯∆2.（第六届《小数报》数学竞赛初赛）设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2)△3=_____．3.规定()()a b a b b a =+⨯-，其中a 、b 都是自然数，b a >．求：58；14204.（南京市首届”兴趣杯”少年数学邀请赛预赛）两个数A 和B ，A 除以B 的余数记为A B -．例如，1454-=，5115-=，1240-=．计算：(269)4--．二．拓展提高：5.我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算．例如：53355==，符号表示选择两数中较小数的运算，例如：53353==．计算：⑴求()()10865113108-⨯-的值．⑵求()466105+的值6.（南京市第二届”兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）设m 、n 是两个数，规定：m ※n4()2n m n =⨯-+÷，这里 “×，+，一，÷”是通常的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义，“※”是新的运算符号，计算：3※(4※6)= _____．7.规定表示的运算如下，8a b a b =⨯-，计算：⑴()423；⑵()4238.有A 、B 、C 、D 四种计算装置，装置A ：将输入的数乘以5；装置B ：将输入的数加3；装置C ：将输入的数除以4；装置D ：将输入的数减6．这些装置可以连结，如装置A 后面连结装置B ，写成A ·B ，输入4，结果是23；装置B 后面连结装置A 就写成B ·A ，输入4，结果是35．⑴装置A ·C ·D 连结，输入28，结果是多少？⑵装置D ·C ·B ·A 连结，输入什么数结果是115？三．超常挑战：9.(第二届”从小爱数学”邀请赛)设a※b表示a的3倍减去b的2倍，即a※b32=-，例a b如，当a=6，b=5时，6※536258=⨯-⨯=．已知：x※(4※1)=7，求：x．10.定义新运算：已知：※满足4※1=15，5※4=21，4※5=11，8※16=48，那么：10※9=（）=，其11.,x y表示两个数，规定新运算“※”及”△”如下：x※y mx ny=+，x△y kxy中m，n，k均为自然数，已知1※2=5，(2※3)△4=64，求(1△2)※3的值．四．杯赛演练：12.（”希望杯”五年级一试）**=．若规定a b a b a*=+÷，那么(12)313.（《小数报>数学竞赛初赛）一个特殊的计算器上面有个“※”键，当计算器上显示的数是a 时，按一下“※”键后，计算器上的a 立刻消失并显示一个新数21a +．现在这个计算器上显示5，那么连续按“※”键_____次后，会显示95；接着再按“※”键4次，计算器上显示的数将是____．14.（”祖冲之杯”数学邀请赛）对整数A 、B 、C ，规定符号等于A B B C C A ⨯+⨯-÷，例如：3556631530243=⨯+⨯-÷=+-=，已知： =28，那么x =_______．15.（”华杯赛”复赛）羊和狼在一起时，狼要吃掉羊．所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了．小朋友总是希望羊能战胜狼．所以我们规定另一种运算，用符号☆表示，羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼．这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了．对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算．运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)答案：1.解析：(6527)(154)(4523)(1425)271545144056301035∆⨯O +O ⨯∆=⨯+⨯=+=2.解析：⑴5△6552613=⨯-⨯=⑵5△2552221=⨯-⨯=，21△321216435=⨯-=3.解析：()()58588513339=+⨯-=⨯=，()()142014202014346204=+⨯-=⨯=4.解析：2698-=，840-=，所以(26-9)-4=0．5.解析：⑴()()()()10865113108851110313-⨯-=-⨯-=⨯=⑵()46610561056511+=+=+=6.解析：3※(4※6)=3※[46(46)2]⨯-+÷=3※19419(319)2761165=⨯-+÷=-=7.解析：⑴()()42384233038303237=⨯-==⨯-= ⑵()()4234823413841319=⨯-==⨯-=8.解析：⑴(285)4629⨯÷-= ⑵(115÷5-3)×4+6=869.解析：4※1431210=⨯-⨯=，x ※10=7．即31027x -⨯=，所以(1027)39x =⨯+÷=10.解析：这个运算其实就是运算前项的平方减去后项．如第一个式子：44115⨯-=，后面也一样．所以10※9=1010991⨯-=．11.解析：我们要先求出 m ，n ，k 的值．因为1※2122m n m n =⨯+⨯=+，所以有25m n +=．又因为m ，n 均为自然数，所以解出：①当1,2m n ==时：(2※3)△4=(1223⨯+⨯)△4=8△48432k k =⨯⨯=，有3264k =，解出2k =．②当3,1m n ==时：(2※3)△4=(3213⨯+⨯)△4=9△49436k k =⨯⨯=，求不出自然数k .③当5,0m n ==时：(2※3)△4=(5203⨯+⨯)△4=10△410440k k =⨯⨯=，求不出自然数k .所以1,2,2m n k ===．(1△2)※3=(212⨯⨯)※3=4※3142310=⨯+⨯=．12.解析：121213*=+÷=，333334*=+÷=．13.解析：25111⨯+=，211123⨯+=，223147⨯+=，247195⨯+=．这时已按4次．接着再按4次，分别显示2951191⨯+=，21911383⨯+=，23831767⨯+=，276711535⨯+=．即按4次键，显示95．再按4次，显示1535．14.解析：244228x x +-÷=630x =5x =15.解析：因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼，无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以 原式=狼．。
2018年厦门市祖冲之杯数学竞赛试题-
a0-1d c (3)2018年厦门市祖冲之杯数学竞赛试题一．选择题:（共36分）1． 四个各不相等的数a,b,c,d ，它们的积abcd=9，那么a+b+c+d 的值是（ ）A.0B.4C.8D.不能确定2． 1<x<3时，化简|x-3|+|x-1|的结果是（ ）A.2B.-2C.2x-4D.-2x+43． 如果0<x<1，那么下列各式正确的是（ ）A.x 2>x>1/xB.1/x> x> x 2C.x 2>1/x>xD.x>1/x> x 24． 如图1，DB ∥AG ∥EC ，∠ABD=60 º，∠ACE=36 º，AP 是∠BAC 的平分线，则∠PAG 的度数是（ ） A.36 º B.48 º C.12 º D.24 º B(1)E G D C FAPB (2)E G DC F A5． 如图2,已知∠B+∠D=∠BGD ，则∠A+∠E+∠C+∠F 是（ ）A.180 ºB.120 ºC.150 ºD.90 º6． 3x-2y=|a|成立的x 、y 值也满足（2x+y-1）2+(x-3y) 2=0,其中|a|+a=0,则a 的值是（ ）A.-1B.1C.1或-1D.0二．填空题:（共42分）1.三数a,b,c 在数轴上的位置如图3所示: 化简|a|+|b|+|c|-|a+b|+|b-1|-|c-a|= .2.二元一次方程2x+y=5的正整数解为 .3.方程组83591641283591641835921641x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是 .4.用一根长为a 米的线围成一个等边三角形，已知这个等边三角形的面积为b 平方米。
现在这个等边三角形内任取一点P ，则点P 到等边三角形三边距离之和为 米。
5.在密码学中，称可以直接看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码。
初一奥数第10讲 应用题(一)
初一数学竞赛系列讲座(10)应用题（一）一、一、知识要点1、 1、 应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。
2、 2、 列方程(组)解应用题的一般步骤是：(1) (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；(2) (2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；(3) (3) 根据这个相等关系列出方程；(4) (4) 解这个方程，求出未知数的值；(5) (5) 写出答案(包括单位名称)。
3、行程类问题行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。
它们满足如下基本关系式： 速度⨯时间=路程4、数字类问题数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。
解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-2、x+2。
二、二、例题精讲例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。
一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。
车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需217小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)分析 本题用方程来解简单自然。
解 设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，根据题意得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+(2) 2172035(1)93520y x y x解这个方程组有很多种方法。
例如代入消元法、加减消元法等。
由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x 的系数201恰好是第二个方程中y 的系数，而y 的系数351也恰好是第二个方程中x 的系数)，也可以采用如下的解法：(1)+(2)得(x+y)( 201+351)=9+217所以 x+y=2103512012179=++ (3) (1)-(2)得 (x -y)( 201-351)=9-217所以 x-y=703512012179=-- (4) 由(3)、(4)得 x=140270210=+所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
第03讲 等腰三角形和等边三角形
A B C P 2O P 31第3讲 等腰三角形和等边三角形几何学是在不准确的图形上进行正确推理的艺术。
——波利亚 知识方法扫描有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是一种轴对称图形，它的底角相等，它的底边上的高和中线，顶角的平分线重合。
三边相等的三角形叫等边三角形，等边三角形三个内角都是60º。
在出现等腰三角形的题目中，常用的辅助线作出等腰三角形底边上的高（对称轴）。
这样可以得到一对全等的直角三角形。
根据题目的条件与结论，选取合适的对称轴往往是解题的突破口。
此外，在有一个角是60º的情况下，构造等边三角形也是常用的方法。
经典例题解析例1．（2003年重庆市初中数学竞赛决赛试题）在等边三角形ABC 所在平面内确定一点P,使PAB ∆、PAC ∆、PBC ∆都是等腰三角形。
则满足条件的点P 共有（ ） （A ）1个 （B ）4个 （C ）7个 （D ）10个解 除了等边三角形ABC 的中心外，我们考察BC 垂直平分线上的点：P 1是A 点上方的点，A P 1等于等边三角形ABC 的边长；P 1是BC 下方的点，A P 2等于等边三角形ABC 的边长；P 3也是BC 下方的点，三角形P 3BC 是等边三角形。
在AB ，AC 的垂直平分线上也各有3个点，一共是3+3+3+1=10个点。
选D 。
例2．（2003年全国初中数学联赛试题）如图，AA ′，BB ′分别是∠EAB ，∠DBC 的平分线，若AA ′＝BB ′＝AB ，则∠BAC 的度数为________。
解 设∠BAC 的度数为x 。
因AB ＝BB ′，所以∠B ′BD ＝2x ，∠CBD ＝4x 。
又AB ＝AA ′，故∠AA ′B ＝∠ABA ′＝∠CBD ＝4x 。
因∠A ′AB ＝21（180°－x ）， 所以21（180°－x ）＋4x ＋4x ＝180°。
解之得 x ＝12°。
初中数学祖冲之竞赛模拟试卷
初中数学祖冲之杯竞赛模拟试卷一、(每小题4分,共32分,请将唯一正确结论的代号填在下面的表格内) 1. 若方程012=++px x 的二根之差为1，则p 的值为 (A) 2± (B)4± (C)3± (D)5±2. 已知关于x 的方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为(A)43<m (B) 43≤m (C) 43>m 且2≠m (D)43≥m 且2≠m 3. 在ABC ∆中，设C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,,若3:2:1::=∠∠∠C B A ，那么c b a ::等于(A)3:2:1 (B)2:3:1 (C) 9:4:1 (D) 3:2:1 4. 某工厂今年第二季度的产值比第一季度的产值增长了x %,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了%x ,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了(A) %2x (B) %2x + (C) %%)1(x x + (D) %%)2(x x + 5. 如图1,⊙A,⊙B,⊙C 两两不相交,且半径均为则图中三个阴影部分的面积之和为(A) 12π (B)8π(C) 6π (D)4π6. 已知,11=-a a 那么a a +1值是(A) 5 (B) 5± (C)3± (D)5或17. 如图2,ABC ∆中，CB AD ⊥于D (1) 090=∠+∠DAC B ; (2) DAC B ∠=∠;(3) ABC ∆的外接圆的圆心在BC 上;学校姓名 编号密封线内 不 要答 题封 线内(4)ABACAD CD =; 其中一定能够判断ABC ∆是直角三角形的共有（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 8. 某校计划在校园内修建一座周长为20米的花坛,同学们设计出正三角形、正方形和圆三种图案，其中使花坛面积最大的图案是（A ）正三角形 （B ）正方形 （C ）圆 （D ）不能确定二 填空题(每小题4分,共24分,直接将答案填在横线上)9. 方程3211822=+++x x x x 所有的解的积．．．．．．为 ； 10. 设D 和E 分别为ΔABC 的边AB 、AC 的中点，若ΔAED 的面积为1，则ΔDBC 的面积为 ；11. 若不等式组⎩⎨⎧>>ax x 3的解集为a x >,则a 的取值范围为 ;12. 如图3，在大小为4×4的正方形方格中，ΔABC 的顶点 A 、B 、C 均在单位正方形的顶点上,请你在右图中画一个ΔDEF ， 使得ΔABC ∽ΔDEF （相似比不为1），且顶点D 、E 、F 均在单 位正方形的顶点上.13.已知 z y x z y x 43,062=-=-+，则xz yz xy z y xy +--+2242002的值为14.如图4，矩形纸片ABCD 中，AD=9cm ，AB=3cm ，将纸片沿虚线EF 折叠，使得点D 与点B 重合， 那么折痕EF 的长度为 cm.三（本题满分10分）ABC图3ADBCEF图4如果实数b a ,满足方程0262=+-a a ，0262=+-b b ，求abb a +的值.四 （本题满分10分）如图5：已知ABC ∆内接于⊙O ，BC AD ⊥于点D ，试问在⊙O 上是否存在点E ，使得AC AEAD AB =成立，为什么？图5五（本题满分12分）如图6,有两条公路OM ，ON 相交成300，沿公路OM 方向离两条公路的交叉处O 点80米的A 处有一所希望小学，当拖拉机沿ON 方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON 方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON 方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？OMNA （学校）. 图6六、（本题满分12分）下表显示了今年夏天某地进行钓鱼比赛的部分结果，这个表记录了钓到n条鱼的选手数：在赛事新闻中报道了：（1）冠军钓到15条鱼；（2）钓到3条或更多条鱼的所有选手平均钓到6条鱼；（3）钓到12条或更少条鱼的所有选手平均钓到5条鱼；问：在整个比赛中共钓到多少条鱼？。
祖冲之杯测试题及答案
祖冲之杯测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 祖冲之是哪个朝代的数学家？A. 唐朝B. 宋朝C. 明朝D. 清朝答案：A2. 祖冲之最著名的数学成就是什么？A. 圆周率的计算B. 勾股定理的证明C. 黄金分割的发现D. 斐波那契数列的提出答案：A3. 祖冲之计算圆周率精确到了多少位？A. 3位B. 7位C. 11位D. 36位答案：C4. 祖冲之的圆周率计算方法是什么？A. 割圆法B. 插值法C. 微积分法D. 几何法答案：A5. 祖冲之的《缀术》一书对后世产生了什么影响？A. 启发了微积分的诞生B. 促进了天文学的发展C. 影响了后世的数学教育D. 以上都是答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 祖冲之的圆周率计算结果约为3.1415926到3.1415927之间，精确到小数点后________位。
答案：72. 祖冲之的《缀术》是________世纪的数学著作。
答案：53. 祖冲之在数学上的贡献还包括________的计算。
答案：球体积4. 祖冲之的圆周率计算方法，即割圆法，是通过不断增加圆内接多边形的边数来逼近圆的周长，从而得到更加精确的圆周率值，这种方法体现了数学中的________思想。
答案：极限5. 祖冲之的数学成就不仅在中国，也在世界数学史上占有重要地位，他的圆周率计算结果比欧洲早了约________年。
答案：1000三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述祖冲之的生平及其主要贡献。
答案：祖冲之（429年－500年），字文远，南朝宋、齐时期的数学家、天文学家。
他在数学领域的主要贡献是计算出圆周率到小数点后七位的精确值，即3.1415926到3.1415927之间，这一成就在当时是世界领先的。
他还撰写了《缀术》一书，对后世的数学教育产生了深远影响。
2. 描述祖冲之的割圆法计算圆周率的过程。
答案：祖冲之的割圆法是一种通过不断增加圆内接多边形的边数来逼近圆周长的方法。
初一数学竞赛系列训练15套
初⼀数学竞赛系列训练15套初⼀数学竞赛系列训练1——⾃然数的有关性质⼀、选择题1、两个⼆位数，它们的最⼤公约数是8，最⼩公倍数是96，这两个数的和是( )A 、56B 、78C 、84D 、962、三⾓形的三边长a 、b 、c 均为整数，且a 、b 、c 的最⼩公倍数为60，a 、b 的最⼤公约数是4，b 、c 的最⼤公约数是3，则a+b+c 的最⼩值是（）A 、30B 、31C 、32D 、333、在⾃然数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( )A 、33B 、34C 、35D 、374、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数的个数是( )A 、24B 、12C 、6D 、05、若正整数a 和1995对于模6同余，则a 的值可以是( )A 、25B 、26C 、27D 、286、设n 为⾃然数，若19n+14≡10n+3 (mod 83)，则n 的最⼩值是( )A 、4B 、8C 、16D 、32⼆、填空题7、⾃然数n 被3除余2，被4除余3，被5除余4，则n 的最⼩值是8、满⾜[x,y]=6，[y,z]=15的正整数组(x,y,z)共有组9、⼀个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的三位数是4的倍数，则这样的四位数中最⼤的⼀个，它的末位数是10、有⼀个11位数，从左到右，前k 位数能被k 整除(k=1,2,3,…,11)，这样的最⼩11位数是11、设n 为⾃然数，则3 2 n+8被8除的余数是12、14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是三、解答题13、求两个⾃然数，它们的和是667，它们的最⼩公倍数除以最⼤公约数所得的商是120。
14、已知两个数的和是40，它们的最⼤公约数与最⼩公倍数的和是56，求这两个数。
15、五位数H 97H 4能被12整除，它的最末两位数字所成的数7H 能被6整除，求出这个五位数。
廊坊第六中学数学竞赛试题
廊坊第六中学数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. √2C. 0.33333...D. 22/72. 如果一个圆的半径是5，那么它的周长是多少？A. 10πB. 20πC. 30πD. 40π3. 一个数的立方根等于它本身，这个数可能是多少？A. 1B. -1C. 0D. A和B4. 以下哪个表达式是正确的？A. (a + b)² = a² + b²B. (a - b)² = a² - b²C. (a + b)(a - b) = a² - b²D. a³ + b³ = (a + b)³5. 一个三角形的内角和是多少度？A. 90度B. 180度C. 270度D. 360度6. 如果一个二次方程ax² + bx + c = 0有两个相等的实数根，那么b² - 4ac等于多少？A. 0B. 1C. -1D. 47. 一个数的相反数是它自己，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 无法确定8. 以下哪个是勾股定理的逆定理？A. 如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么它是直角三角形。
B. 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两边平方和等于第三边的平方。
C. 如果一个三角形的两边平方和小于第三边的平方，那么它不是直角三角形。
D. 以上都是。
9. 一个数的绝对值是它本身，这个数是？A. 正数B. 负数C. 0D. A和C10. 下列哪个是二次方程的判别式？A. b²B. b² - 4acC. 4acD. b + c二、填空题（每题2分，共20分）11. 如果一个数的平方等于25，那么这个数是________。
12. 一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，斜边的长度是________。
13. 一个数的倒数是1/5，那么这个数是________。
2021年第六届鹏程杯邀请赛(决赛)七年级数学试卷
2021年第八届鹏程杯数学邀请赛 （决赛） 试题卷第1页（共1页）2021年第八届鹏程杯数学邀请赛（决赛）试题卷初中一年级组考试时间：10:00-11:40 满分：150分考试说明（1）本试卷包括12道填空题、5道解答题。
（2）填空题答案不完整则不得分，解答题按评分标准酌情给分。
（3）需在答题卡上作答，写在试题卷上不得分。
一、填空题（每小题7分，共84分）1. 已知2x +5y −3=0，则4x ⋅32y =_____________．2. 如图，两个正方形边长分别为a 、b ，且满足a +b =10，ab =12，图中阴影部分的面积为_____________．3. 如图是5×5的正方形网格，△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC 这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC 有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画_____________个．4. 设M =2n +28+1（n 为整数），若M 为某个有理数的平方，则n 的取值为_____________．5. 若(x +1)(x 2−5ax +a)的积中不含x 2项，则(−5a)3÷(−a 2)= _____________.6. 上图中有_____________对同位角。
（其中a//b ）7. 已知△ABC 中，AB =5，AC =3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是_____________． 8. 三边长均为整数的三角形周长为50，其最长边是最短边的2倍长，则最短边长是_____________. 9. 已知一直角三角形有一条直角边为12，另外两边长均为整数，则这样的三角形有_____________个. 10. 已知有理数a 、b 、c 满足a +b =6，ab −c 2=9，则(a −b −2)3a+b+c−1+8b +3=_____________.11. 已知关于x 的方程|x −1|+|x −3|=a 有且只有两个解，则a 的取值范围是_____________. 12. 如图，在四边形ABCD 中，AB =BD ，∠BDA =45°，BC =2，若BD ⊥CD 于点D ，则对角线AC 的最大值为_____________．二、解答题：（第13至16题，每小题12分，第17题18分，共66分）13. 如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP =160米，∠NPQ =30°，假使拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是5米/秒，那么学校受到的影响的时间为多少秒？14. 用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）． A 方法：剪6个侧面； B 方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x 张用A 方法，其余用B 方法． （1）分别求裁剪出的侧面和底面的个数（用x 的代数式表示）；（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？15. 如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，E 是边AB 上一点，BE =2，AE =3BE ，P 是AC 上一动点，求PB +PE 的最小值．16. 已知关于x 的多项式f(x)除以x −2，余数为7；f(x)除以x −3，余数为9，求多项式f(x)除以(x −2)(x −3)的余式。
三角形难题
内容基本要求略高要求较高要求三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形进行分类：理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、外心、重心会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题；能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题多边形了解多边形与正多边形的概念；了解多边形的内角和及外角和公式；知道用任意一个三角形、四边形或正六边形可以进行镶嵌；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系会用多边形的内角和和外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行镶嵌设计；依据图形条件分解与拼接简单图形．三角形１ 三角形的基本概念：⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．三角形具有稳定性．⑵三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．在同一个三角形内，大边对大角．中考要求例题精讲三角形综合⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角． ⑷三角形的分类：()()():⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形:三角形中有一个角是直角三角形按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角斜三角形钝角三角形:三角形中有一个角是钝角不等边三角形:三边都不相等的三角形三角形按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形正三角形有三边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)．２ 与三角形相关的边 ⑴三角形中的三种重要线段①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部． ②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． ⑵三角形三条边的关系①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即a 、b 、c 三条线段可组成三角形⇔b c a b c -<<+⇔两条较小的线段之和大于最大的线段．注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．板块一 三角形的边【例1】 已知三角形中两条边的长分别为a 、b ，且a b >，求这个三角形的周长l 的取值范围( )A ．33a l b >>B ．2()2a b l a +>>C ．22a b l b a +>>+D ．32a b l a b ->>+【例2】 已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为( )．A ．8B ．7C ．6D ．4【例3】 将长为15dm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有多少种．【例4】 如图，四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，9CD =，AD a =，则a 的取值范围a934A BCD【例5】 (祖冲之杯数学邀请赛试题)如图所示，在ABC ∆中，AD BC ⊥，D 在BC 上，ABC ∠>ACB ∠，P是AD 上的任意一点，求证AC BP AB PC +<+．A B C DP【例6】 点1C 、1A 、1B 分别在ABC ∆的边AB 、BC 和CA 上，且满足11111113AC C B BA AC CB B A ==::=::，求证：ABC ∆的周长p 与111A B C ∆的周长'p 之间有不等式1'2p p <． A 1AB 1BC 1C板块二 三角形的角【例7】 如图，ABC △内有三个点D E F 、、，分别以A B C D E F 、、、、、这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的所有内角之和为 ．【例8】 如图，()A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=A ．100︒B ．120︒C ．150︒D ．180︒【例9】 如下图，CGE α∠=，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．αGFEDCBA【例10】 如图，ABC △中，90C ∠=︒，13BAD BAE ∠=∠，13ABD ABF ∠=∠，则D ∠= ．FE DCB A【例11】 如图，在ABC △中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠的GFEDCBA平分线与1ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；……2008A ∠BC 的平分线与2008A CD ∠的平分线相交于点2009A ，得2009A ∠，得2009A ∠= ．A 2A 1CBA【例12】 在ABC ∆中，三个内角的度数均为整数，且A B C ∠<∠<∠，47C A ∠=∠，则B ∠的度数为 ．【例13】 如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠②AEF AFE ∠=∠③EBC C ∠=∠④AG EF ⊥，其中正确的结论 是 ．GF EDCBA【例14】 已知三角形的三个内角分别为α、β、γ，且αβγ≥≥，2αγ=，则β的取值范围是 ．【例15】ABC ∆中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ︒，最小值是n ︒．则m n += ．【例16】 （1）如图a ，AD BC ⊥于D ，AE 平分BAC ∠，试探寻DAE ∠与C B ∠∠、的关系．（2）如图b ，若将点A 在AE 上移动到F ，FD BC ⊥于D ，其他条件不变，那么EFD ∠与C B ∠∠、是否还有（1）中的关系？说明理由．图aE DCBAFABCD E 图b【例17】 小明在学习三角形的知识时，发现如下三个有趣的结论：在t R ABC △中，90A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，M 为直线AC 上一点，ME BC ⊥，E 为垂足，AME ∠的平分线交直线AB 于点F ．FE MDCB A AB CDMEFABCDMEF（1）如图①，M为边AC上一点，则BD MF、的位置关系是．（2）如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD MF、的位置关系是．（3）如图③，M为边AC延长线上一点，则点BD MF、的位置关系是．请你完成（1）、（2）、（3）三个命题，并证明这三个结论．【例18】把一副学生用的三角板，如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角边AC 与y轴重合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交x轴于F，斜边AB交x轴于G,O是AC中点，8AC =．（1）把图1中的Rt AED △绕A 点顺时针旋转α度得图2，此时AGH △的面积是10，AHF △的面积是8，分别求F H B 、、三点的坐标．（2）如图3，设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交与点N ，当AED △绕A 点转动时，N M ∠+∠的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值．【例19】 如图，在BCD △中，BE 平分DBC ∠交CD 于F ，延长BC 至G ，CE 平分DCG ∠，且EC DB、的延长线交于A 点，若30A ∠=︒，75DFE ∠=︒． （1）求证：DFE AD E ∠=∠+∠+∠．A（2）求E ∠的度数．（3）若在上图中作CBE ∠与GCE ∠的平分线交于1E ， 作1CBE ∠与1GCE ∠的平分线交于2E ，作2CBE ∠，与2GCE ∠ 的平分线交于3E ，以此类推，n CBE ∠与n GCE ∠的平分线交于1n E +， 请用含有n 的式子表示1n E +∠的度数．【例20】 （1）如图①，BAD ∠的平分线AE 与BCD ∠的平分线CE 交于点E ，AB CD ∥，4030ADC ABC ∠=︒∠=︒，，求AEC ∠的大小；（2）如图②，BAD ∠的平分线AE 与BCD ∠的平分线EC 交于点E ，ADC m ABC n ∠=︒∠=︒，， 求AEC ∠的大小；（3）如图③，BAD ∠的平分线AE 与BCD ∠的平分线CE 交于点E ，则AEC ∠与ADC ABC ∠∠、之间是否任存在某种等量关系？若存在，请写出你的结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．图①E D CBA 图②DCABE图③EDBAC。
绝对值化简题库教师版
内容 基本要求略高要求较高要求 绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =⋅；a ab b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+，对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．板块一：绝对值代数意义及化简【例1】 （2级）⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b >中考要求例题精讲绝 对 值 化 简C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( ) A ．a b > B ．a ＞b C ．a b < D a ＜b⑶ 下列式子中正确的是 ( ) A ．a a >- B ．a a <- C ．a a ≤- D ．a a ≥-⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( ) A ．1||m m -≥ B ．1||m m -≤ C ．1||1m m --≥ D ．1||1m m --≤ ⑸若220x x -+-=，求x 的取值范围．【例2】 已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2120a b ++-=，分别求a b ，的值【例3】 已知2332x x -=-，求x 的取值范围【巩固】 （4级）若a b >且a b <，则下列说法正确的是（ ）A ．a 一定是正数B ．a 一定是负数C ．b 一定是正数D ．b 一定是负数【例4】 求出所有满足条件1a b ab -+=的非负整数对()a b ，【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【巩固】 已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【例5】 abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是 ． 【例6】 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的最小值为 【例7】 设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【巩固】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-= 【例8】 （6级）（1）（第10届希望杯2试）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．（2）（第12届希望杯2试）满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（ ）A ． 0ab <B ． 0ab >C ． 0a b +>D ． 0a b +< （3）（第7届希望杯2试）已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---． 这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想． （2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉， 若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠， 若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足． （3）由图可知01a b <-<，1a b +<-，两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<，所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．【巩固】 （8级）（第9届希望杯1试）若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ．【解析】211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->， 222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．【补充】（8级）若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．【解析】 法1：∵0.239x =-，则原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-------+++++-法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则 原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---++---点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．【例9】 （10级）设2020A x b x x b =-+----，其中020b x <≤≤，试证明A 必有最小值 【解析】 因为020b x <≤≤，所以0200200x b x x b ----<≥，≤，，进而可以得到： 2220A x b x x x =--=--≥≥，所以A 的最小值为20-【例10】 （8级）若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】 要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，原式245(13)3a a a =+---=，即1435a ≤≤时，原式的值永远为3.【巩固】 （8级）若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围．【解析】 要使式子的值为常数，x 得相消完，当10041005x ≤≤时，满足题意． 【例11】 （2级）数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+-- 【解析】 ()()()2a b b a b a a a b b a b a b ++-+--=-++-+--=．【巩固】 （2级）实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-【解析】 由题意可知：0000a c b a b a c <->+<-<，，，，所以原式2c a =-【巩固】 （2级）若a b <-且0ab>，化简a b a b ab -+++.【解析】 若a b <-且0ab>，0,0a b <<，0,0a b ab +<>【例12】 （8级）(北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试)设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．【解析】 0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥所以可以得到0a <，0b <，0c >；()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．【例13】 （6级）如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--.【解析】 1010101020x m x x m x m x m x x -+-+--=-+-++-=-. 【巩固】 （2级）化简：⑴3x -； ⑵12x x +++【解析】 ⑴原式()()3333x x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩≥；⑵原式()()()232121231x x x x x --<-⎧⎪=-<-⎨⎪+-⎩≤≥【巩固】 （6级）若a b <，求15b a a b -+---的值. 【解析】 15154b a a b b a a b -+---=-++--=-.【巩固】 （8级）（第7届希望杯2试）若0a <，0ab <，那么15b a a b -+---等于 ．【解析】 0a <，0ab <，可得：0b >，所以0b a ->，0a b -<，15154b a a b b a a b -+---=-++--=-． 【巩固】 （2级）已知15x <≤，化简15x x -+-【解析】 因为15x <≤，所以1050x x --<≤，，原式154x x =-+-= 【例14】 （8级）已知3x <-，化简321x +-+.【解析】 当3x <-时，3213213333x x x x x x +-+=+++=++=--=-=-. 【巩固】 （8级）（第16届希望杯培训试题）已知112x x ++-=，化简421x -+-． 【解析】 由112x x ++-=的几何意义，我们容易判断出11x -≤≤．所以421x -+-421434311x x x x x =-+-=--=-+=+=+．【例15】 （8级）若0x <，化简23x x x x---．【解析】223333x x x x xx x xx x----===----+． 【巩固】 （8级）（四中）已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--． 【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴22242(2)2(2)(2)2a ba b a b a b a b+-+-==+++又∵20a b +<，∴4442(2)2a b a b a b-=-=+-++ 又∵230a -<，∴2222143(23)242424323b a a b a b a b b a -=-=-==++-++++--∴原式24132222a b a b a b a b=-++=++++ 点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子x ，再去绝对值的符号．、【例16】 （8级）（第14届希望杯邀请赛试题）已知a b c d ，，，是有理数，916a b c d --≤，≤，且25a b c d --+=，求b a d c ---的值【解析】 因916a b c d --≤，≤，故91625a b c d -+-+=≤，又因为()()2525a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-≤≤，所以916a b c d -=-=，，故原式7=-板块二：关于a a的探讨应用【例17】 （6级）已知a 是非零有理数，求2323a a a a a a++的值.【解析】 若0a >，那么23231113a a a a a a ++=++=；若0a <，那么23231111a a a a a a++=-+-=-.【例18】 （10级）（2006年第二届“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知a b c abc x abcabc=+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值【解析】 4或0或4-【巩固】 （10级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值【解析】 因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abca b c abc=+++=+-+-+=-- 【巩固】 （2级）若0a >，则_____aa =；若0a <，则_____a a=.【解析】 1；1-.重要结论一定要记得. 【巩固】 （6级）当3m ≠-时，化简33m m ++【解析】 3m ≠-，30m +≠，当3m >-，即30m +>时，33m m +=+，所以313m m +=+；当3m <-，即30m +<时，3(3)m m +=-+，所以313m m +=-+.【例19】 （8级）（2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题）若01a <<，21b -<<-，则1212a b a ba b a b-++-+-++的值是（ ） A ．0 B ．1- C ．3- D ．4-【解析】 ⑴ C ．特殊值法：取0.5a =, 1.5b =-代入计算即可． 【巩固】 （2级）下列可能正确的是（ ）A ．1a b a b +=B ．2a b ca b c++=C ．3c d a b a b c d +++= D ．4a b c d a b c d a b c d abcd+++++++= 【解析】 选D ．排除法比较好或特殊值法1，1，1，1-． 【巩固】 （6级）如果20a b +=，则12a ab b-+-等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 B【例20】 （8级）如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．3【解析】 易知200220022002111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以原式1=，故选择A 【例21】 （8级）已知0abc ≠，求ab ac bcab ac bc ++的值． 【解析】 ∵0abc ≠，∴a 、b 、c 三个数都不为零．若a 、b 、c 三个数都是正数，则ab 、ac 、bc 也都是正数，故原式值为3． 若a 、b 、c 中两正、一负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 若a 、b 、c 中一正、两负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 若 a 、b 、c 中三负，则ab 、ac 、bc 中三正，故原式值为3．【巩固】 （6级）若a ，b ，c 均不为零，求a b ca b c++. 【解析】 若a ，b ，c ，全为正数，则原式3=；若a ，b ，c ，两正一负，则原式1=；若a ，b ，c ，一正两负，则原式1=-；若a ，b ，c ，全为负数，则原式3=-.【例22】 （6级）（第13届希望杯1试）如果20a b +=，求12a ab b-+-的值． 【解析】 由20a b +=得2b a =-，进而有1222a a a a b a a a ===⋅--⋅，122a a ab a a==-⋅- 若0a >，则111212322a a b b -+-=-+--=， 若0a <，则111212322a ab b -+-=--+-=． 【巩固】 （6级）若a ，b ，c 均不为零，且0a b c ++=，求a b cabc ++. 【解析】 根据条件可得a ，b ，c 有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为1或1- 【例23】 （8级）a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c a a bb cc a++的值等于多少？【解析】 由0a b c ++=可知a ，b ，c 里存在两正一负或者一正两负；若两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-； 若一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a ⋅+⋅+⋅=--=-． 综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．【巩固】 （10级）（海口市竞赛题）三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bc a b c x a b c ab ac bc=+++++， 求321ax bx cx +++的值.【解析】a ，b ，c 中必为一负两正，不妨设0a <，则0,0b c >>；1111110ab ac bc a b c x a b c ab ac bc=+++++=-++--+=，所以原式＝1. 【巩固】 (8级)（第13届希望杯培训试题）如果0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，求200220032004()()()a b ca b c-+的值． 【解析】 由0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，两两相加可得：0a >，0b >，0c >，所以原式结果为1．若将此题变形为：非零有理数a 、b 、c ，求1b =等于多少？ 从总体出发：2008()1a a=，所以原式1111=-+=． 【例24】 （8级）（“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||a b c x a b c =++，111111()()()y a b c b c a c a b =+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______． 【解析】 由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-．又111111()()()y a b c b c a c a b =+++++=3a b c a b c---++=-，则231692x y xy ++=--+=．【例25】 （8级）有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式20042007x x -+的值为多少？【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b cx b c a c a b=-++=-+++，所以1x =，所以原式2004= 【巩固】 （8级）有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b cx b c a c a b=+++++，则代数式19992000x x -+的值为多少？ 【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，， 所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b cx b c a c a b=-++=-+++，所以当1x =时，原式1902= 当1x =-时，原式2098=【巩固】 （8级）已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()()()()()()()a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．【解析】 由题意可得()()()0a b b c c a ---≠且()()()0a b b c c a -+-+-=，把a b -，b c -，c a -当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为1-；② 两负一正，原式值为1-．【例26】 （8级）（第18届希望杯2试）若有理数m 、n 、p 满足1m n p mnp++=，求23mnpmnp 的值． 【解析】 由1m n p m n p++=可得：有理数m 、n 、p 中两正一负，所以0mnp <，所以1mnpmnp=-， 222333mnp mnp mnp mnp =⋅=-． 【巩固】 （6级）已知有理数a b c ，，满足1a b c abc++=，则abcabc=（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．不能确定【解析】 提示：其中两个字母为正数，一个为负数，即0abc < 【巩固】 （8级）有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd=-，求a b c d a b c d+++的值．【解析】由1abcd abcd=-知0abcd <，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数：若含有1个负数，则2a b c d a b cd+++=；若含有3个负数，则2a b c d abcd+++=-．【例27】 （6级）已知0ab ≠，求a bab+的值 【解析】 ⑴若a b ，异号，则0a ba b += ⑵若a b ，都是正数，则2a ba b += ⑶若a b ，都是负数，则2a ba b+=- 【巩固】 （6级）已知0ab ≠，求a b a b--的值．【解析】 分类讨论：当0a >，0b >时，110a b ab --=-=．当0a >，0b <时，1(1)2a b a b --=--=． 当0a <，0b >时，112a b ab--=--=-．当0a <，0b <时，1(1)0a b ab--=---=．综上所述，a b a b --的值为2-，0，2．【例28】 （6级）若a b c ，，均为非零的有理数，求a b ca b c++的值 【解析】 ⑴当a b c ，，都是正数时，原式3a b ca b c=++= ⑵当a b c ，，都是负数时，原式3=- ⑶当a b c ，，有两个正数一个负数时，原式1=- ⑷当a b c ，，有两个负数一个正数时，原式1=-【巩固】 （6级）（第16届希望杯培训试题）若0abc <，求a b ca b c+-的值． 【解析】 由0abc <可得，a 、b 、c 中有3个负数或1个负数，当a 、b 、c 中有3个负数时，原式11(1)1=----=-； 当a 、b 中有1个是负数时，原式1111=-+-=-； 当c 是负数时，原式11(1)3=+--=．板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）【例29】 （4级）（2005年云南省中考试题）阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：·⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【解析】 ⑴分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4x =，所以2x +和4x -的零点值分别为2x =-和4x =⑵当2x <-时，原式()()242422x x x x x =-+--=---+=-+；当24x -<≤时，原式 ()246x x =+--=；当4x ≥时，原式2422x x x =++-=-所以综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥【例30】 （6级）求12m m m +-+-的值．【解析】 先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥． 当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+； 当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+； 当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+； 当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．【例31】 （4级）化简：212x x ---【解析】 由题意可知：零点为102x x ==，当12x <时，原式1x =--当122x <≤时，原式33x =- 当2x ≥时，原式1x =+【巩固】 （4级）(2005年淮安市中考题)化简523x x ++-． 【解析】 先找零点.50x +=，5x =- ； 32302x x -==，，零点可以将数轴分成三段． 当32x ≥，50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+；当352x -<≤，50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-；当5x <-，50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--． 【巩固】 （6级）(北京市中考模拟题)化简：121x x --++. 【解析】 先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．【例32】 （6级）（选讲）（北京市中考题）已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值． 【解析】 法1：根据几何意义可以得到，当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．法2：找到零点3、2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析： 当22x -≤≤时，323212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5；当2x <-时，32325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5． 【巩固】 （8级）（第10届希望杯2试）已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于 ． 【解析】 （法1）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性） （1）当02a ≤≤时，2352a a a -+-=-，当0a =时达到最大值5； （2）当23a <≤时，231a a -+-=（3）当34a <≤时，2325a a a -+-=-，当4a =时，达到最大值3 综合可知，在04a ≤≤上，23a a -+-的最大值为5（法2）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很 容易发现答案：当0a =时达到最大值5．【巩固】 （6级）如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值 【解析】 当10x -<≤时，有12223y x x x x =+-+-=+，所以13y <≤；当02x ≤≤时，有12232y x x x x =+-+-=-，所以13y -≤≤ 综上所述，y 的最大值为3，最小值为1-【巩固】 （6级）（2001年大同市中考题）已知759x -≤≤，求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值． 【解析】 法1：13x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴我们会发现当，79x =时两者的距离差最小为329-，即()min 32139x x --+=-；当53x -≤≤-时，两者的距离差最大为4，即max (13)4x x --+=． 法2：分类讨论：先找零点，根据范围分段，当53x -≤<-时，134x x --+=；当739x -≤≤时，1322x x x --+=--，当79x =有最小值329-；当3x =-有最大值4．综上所得，当53x --≤≤时，最大值为4；当79x =时，最小值为329-．练习 1． （2级）若ab ab <，则下列结论正确的是 ( )A. 00a b <<，B. 00a b ><，C. 00a b <>，D. 0ab <【解析】 答案BC 不完善，选择D ．练习 2． （2级）(人大附期中考试)如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c++--+的值.【解析】 原式()()()0a b a c b c =-++-++=练习 3． （6级）已知0,0,x z xy y z x <<>>>，求x z y z x y +++--的值.【解析】 由0,0x z xy <<>可得：0y z <<，又y z x >>，可得：y x z <<； 原式0x z y z x y =+---+=.练习 4． （8级）（第13届希望杯培训试题） 若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ． 【解析】 因为200122002x =，所以23x <<，原式(1)(2)(3)(4)(5)9x x x x x x =+-+-------=． 练习 5． （6级）（2006年七台河市中考题）设2020y x b x x b =-+-+--，其中020,20b b x <<≤≤，求y 的最小值.【解析】 2020(20)(20)40y x b x x b x b x x b x =-+-+--=------=-，则20x =时，y 有最小值为20.练习 6． （4级）若0a <，化简a a --.【解析】 22a a a a a a --=+==-.练习 7． （6级）若0a <，试化简233a aa a --． 【解析】 2323553443a a a a a a a a a a-+===-----． 练习 8． （6级）若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？【解析】要使245134x x x +-+-+的值恒为常数，那么须使450x ->，130x -<，即1435x <<，原式2451342453147x x x x x x =+-+-+=+-+-+=. 练习 9． （8级）（第6届希望杯2试） a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab ac a b b c c a ab ac-----++----的值． 【解析】 从图中可知a b c <<且0a <，0b <，0c >，课后练习所以0a b -<，0b c -<，0c a ->，0ab >，0ac <，所以0ab ac ->，原式(1)(1)112=---++=．练习 10． （8级）若0a b c ++=，0abc >，则b c c a a b a b c+++++= ． ∵0a b c ++=，0abc >，∴a 、b 、c 中一正二负，∴1b c c a a b a b c a b c a b c+++---++=++=． 练习 11． （6级）求15y x x =--+的最大值和最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得答案； 法2：找到零点5-，1，可以分为以下三段进行讨论：当5x ≤-时，15156y x x x x =--+=-++=；当51x -<<时，151524y x x x x x =--+=---=--；当1x ≥时，15156y x x x x =--+=---=-；综上所得最小值为6-，最大值为6．练习 12． （6级）（第2届希望杯2试）如果12x <<，求代数式2121x x xx x x---+--的值． 【解析】 当12x <<时，0x >，10x ->，20x -<，原式21111121x x x x x x --=++=-++=--．。
(2021年整理)质数和合数的概念
质数和合数的概念编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（质数和合数的概念）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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质数与合数的基本概念知识点拨1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数)。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住:0和1不是质数,也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个;除了2其余的质数都是奇数；除了2和5,其余的质数个位数字只能是1、3、7或9考点：（1)值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点(2）除了2和5，其余质数个位数字只能是1、3、7或92.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q（均为整数），使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了;但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2,再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的,那么p就为质数。
例如：149很接近144=12x12,根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。
例题精讲例1：下面是主试委员会第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友,幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌；请你将56个字第1行左边第一字逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话。