高考数学一轮复习：20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+Z k k ,2,,ππβαβα 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+≠Z k k k ，且42ππαππα 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角． 二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=2222cos ,sin b a ab a b ϕϕ三、考点解析考点一 三角函数公式的直接应用例、(1)已知sin α＝35，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－112(2)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( ) A ．－229 B ．－429 C.229 D.429[解题技法]应用三角公式化简求值的策略：(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．跟踪训练1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则)4sin(2cos παα+的值为( ) A ．－23 B.23 C ．－13 D.132．已知sin α＝45，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2ππ，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα的值为________． 考点二 三角函数公式的逆用与变形用例、(1)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧：(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.跟踪训练1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b 2.已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin α＝435，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝________. 3.化简sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα－sin 2α的结果是________．考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换典例、已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53，若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+ββα22a 等．考法(二) 三角公式中名的变换典例、已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解题技法]三角函数名的变换技巧：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．跟踪训练1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝( ) A.12 B.13 C.14 D.152．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πA ＝7210，A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，4，则sin A 的值为( ) A.35 B.45 C.35或45 D.343．已知sin α＝－45，α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ223，，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136 C ．－613 D ．－136课后作业1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )A ．1 B.12 C.32 D ．－122．若2sin x ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2π＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89 B ．－79 C.79 D ．－7253．若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＝－33，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα＋cos α＝( ) A ．－223 B ．±223C ．－1D ．±1 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B.2 C.22 D.335．若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，且3cos 2α＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718 D.17186．已知sin 2α＝13，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.237．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πα＝12，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα的值为________． 8．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________. 9．若tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝16，则tan α＝________. 10．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________. 11．已知tan α＝2.(1)求tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．。
两角和与差的正弦余弦和正切公式
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的倍角公式指出，对于任意角度α， sin(2α)、cos(2α)和tan(2α)的值可以通过
sin(α)、cos(α)、tan(α)的函数关系来表达。 利用这个公式，我们可以推导出两角和与差
总结词
通过三角函数的减法定理，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的减法定理指出，对于任意角度α、 β，sin(α-β)、cos(α-β)和tan(α-β)的值可 以通过sin(α)、cos(α)、sin(β)、cos(β)、 tan(α)和tan(β)的函数关系来表达。利用这 个定理，我们可以推导出两角和与差的正弦、 余弦和正切公式。
地理学问题
在地理学中，很多问题涉及到地 球的自转、公转等角度计算，如 时差、太阳高度角等，利用三角 函数公式可以方便地计算。
经济学问题
在经济学中，很多问题涉及到利 率、汇率等与角度相关的问题， 利用三角函数公式可以方便地描 述这些变化规律。
04
三角函数公式的扩展
利用三角函数的和差化积公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式，可以将两角和与差的 正弦、余弦和正切公式进行扩展，得到更一般化的公 式形式。
详细描述
三角函数的积化和差公式可以将两个角度的正弦或余 弦的乘积转化为其他角度的正弦、余弦和正切的和或 差的形式，从而扩展了原有的公式。例如，利用积化 和差公式，可以将两角和的余弦表示为单个角度余弦 的函数，进一步推导得到更一般化的公式。
VS
详细描述
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
2．若sinπ6－α＝12，则cosπ3－2α＝( A )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
D．－
3 2
解析 因为sinπ6－α＝12， 所以cos3π－2α＝cos2π6－α ＝1－2sin2π6－α＝1－2×122＝12.
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3．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( A )
1 A.2
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
解析 sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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3＋ 3×
333＝－223 3
3 ＝－
3 3.
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命题点2 三角函数公式的逆用和变形应用
例2 (1)计算：4cos 10°－csoins 1100°°＝ － 3 .
(2)(2022·江苏盐城模拟)tan
9π＋tan
29π＋
3tan
π 9tan
命题点3 三角函数公式的灵活应用
考向1 角的变换
例3 已知cos52π－α＝2cos(2π＋α)，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为( D )
A．－7
B．7
C．1
D．－1
解析
因为cos 52π－α ＝2cos(2π＋α)，所以sin
α＝2cos
α，所以tan
α＝
高考数学复习考点知识讲解课件20 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
2 cos(45°－ 15°) ＝
2×
3 2
＝
6 2.
(3)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10°
＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°
＝4sins3in02°－0°10°＝4.
— 返回 —
运用和、差、倍角公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用， 如 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
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角度 2：辅助角公式的运用 【例 2】 化简：(1)sin1π2－ 3cos1π2； (2)cos15°＋sin15°； (3)sin110°－sin830°； (4)3 15sinx＋3 5cosx.
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[解析]
(1)a ＝
3 2
cos29°－
1 2
sin29°＝
sin(60°－
29°)
＝
sin31°，
b
＝
1－c2os66°＝
2sin16° 2sin2233°＝ sin33°， c ＝ 1＋2tatann1261°6°＝ 1＋cocssoi1ns62211°66°°＝ 2sin16°cos16°＝ sin32°， 显 然
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2．已知 cosα＝－45，α∈π，32π，则 sinα＋π4等于( C )
A．－
2 10
B．
2 10
高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课下层级训练20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(
课下层级训练(二十) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式[A 级 基础强化训练]1．(2019·某某某某月考)计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( )A ．12 B ．33 C ．22D ．32A [－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°＝si n(47°－17°)＝sin 30°＝12.]2．若2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( ) A ．－33B ．32C ．233D ．2 3B [由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ， 即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32.] 3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．16 B ．13 C ．12D ．23A [法一：cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝12()1－sin 2α＝16. 法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22cos α－22sin α，所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16.] 4．(2019·某某六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝ 1－cos 50°2，则有( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <bD [由题意可知，a ＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 25°，∴c <a <b .]5．(2019·某某某某模拟)若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )A ．－35B ．335C ．319D ．37D [由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝23，得 tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°] ＝tan α＋80°－tan 60°1＋tan α＋80°tan 60°＝23－31＋23×3＝37.]6.sin 250°1＋sin 10°＝__________. 12[sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10°＝1－cos 90°＋10°21＋sin 10° ＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12.]7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝__________.－1[cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1.] 8．(2019·某某某某统考)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. －78 [依题意得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.]9．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解 (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α－1－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.10．(2019·某某六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250. [B 级 能力提升训练]11．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65 B ．1 C ．35D ．15A [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.]12．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( ) A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731D [由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725. ∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731.] 13．(2017·卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝__________.－79 [由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z )， sin β＝sin α，cos β＝－cos α.又sin α＝13，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1 ＝2×19－1＝－79.]14．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝__________.210 [∵α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35为正数， ∴α＋π6是锐角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝45×22－35×22＝210.] 15．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)已知sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得1＋2sin α2cos α2＝32，则sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，所以cos(α－β)＝45.则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310. 16．(2019·某某枣庄质检)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4， π2(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos (α＋2β)的值．解 (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，∴1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425，又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725， ∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α＝255，∴sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.。
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
2
(sin
2
A.a>b>c
C.c>a>b
(2)已知
56°-cos 56°),c=
1-ta n 2 39°
,则 a,b,c 的大小关系是(
1+ta n 2 39°
B.b>a>c
D.a>c>b
π
cos(α-6 )+sin
4 3
α= 5 ,则
π
si(nα+6 )=
.
)
答案 (1)D
4
(2)
5
解析 (1)a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°
1
D.
2
.
答案 (1)B (2)D (3) 3
解析 (1)根据两角和的正弦公式展开得 sin
3
θ= sin
2
3
θ+ cos
2
θ=1,即
π
3sin(θ+ )=1,解得
6
π
θ+sin(θ+ )=sin
3
1
θ+ sin
2
π
3
sin(θ+ )= .故选
6
3
B.
(2)∵t=2sin 18°,
2cos2 27°-1
.
1+cos
5.积化和差公式
sin αcos
1
β=
2
sin( + ) + sin(-) ,
cos αsin
1
β=2
sin( + )-sin(-) ,
cos αcos
1
β=2
2020届高三理数一轮讲义：4.3-两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案)
α＋c2o＋s 2αc）os·αcosα2－sinα2(0<α<π)＝________.
【训练 1】 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )
A.sin(α＋2β)
B.sin α
C.cos(α＋2β)
D.cos α
(2)化简：22tacnosπ44－α－α2scions22απ4＋＋12α＝________.
考点二 三角函数式的求值
角度 1 给角(值)求值
【例 2－1】 (1)计算：cos 10°－1－3csoins（10－°100°）＝________.
(2)(2018·江苏卷)已知
α，β
为锐角，tan
α＝43，cos(α＋β)＝－
5 5.
①求 cos 2α 的值；
②求 tan(α－β)的值.
角度 2 给值求角 【例 2－2】 (1)(2019·河南六市联考)已知 cos α＝17，cos(α－β)＝1134，若 0<β<α<π2， 则 β＝________. (2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则 2α－β 的值为________.
【训练 2】 (1)(2019·合肥模拟)tan 70°·cos 10°( 3tan 20°－1)等于( )
A.1
B.2
C.－1
D.－2
(2)已知 α，β 为锐角，cos α＝17，且 sin(α＋β)＝5143，则角 β＝________.
(3)若co2scπ4o＋s 2θθ＝ 3·sin 2θ，则 sin 2θ＝(
＝( )
4 A.3
B.－43
C.－34
3 D.4
13.(一题多解)设 cos α＝－ 55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则 α－β＝________.
高考数学一轮两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第23课两角和与差的正弦、余弦和正切公式[最新考纲]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．有关公式的变形和逆用 (1)公式T (α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.12 [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.]3．(2017·苏州模拟)若α∈(0，π)，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.17[∵α∈(0，π)，cos α＝－45，∴sin α＝1－cos 2α＝35，∴tan α＝－34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17.] 4．若sin α＋3cos α＝1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＝________.π2 [∵sin α＋3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α＋π3＝5π6，∴α＝π2.]5．若tan α＝13，tan(α＋β )＝12，则tan β＝________.17 [tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.](2014·江苏高考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．[解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310. [规律方法] 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． [变式训练1] (1)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，则sin α＝________.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值是________． (1)35 (2)－1 [(1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝35.(2)cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.]β＝________.【导学号：62172128】(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.(1)π3 (2)1 [(1)∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3－3tan αtan β1－tan αtan β＝ 3.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.(2)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10° ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.][规律方法] 1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．2．tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．[变式训练2](1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为________．(2)在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－2，则角A的值为________．(1)22(2)π4[(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝2 2.(2)由题意知：sin A＝－2cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－2，又tan(B＋C)＝tan B＋tan C1－tan B tan C＝－1＝－tan A，所以A＝π4.](1)设αcos β＝________.【导学号：62172129】(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2等于________．(1)2525 (2)539 [(1)依题意得 sin α＝1－cos 2 α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45， 所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos [](α＋β)－α ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵0<α<π2，∴π4<π4＋α<34π， 所以由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，又－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝539.][规律方法] 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎪⎫α2＋β等．[变式训练3]定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a bc d＝ad－bc.若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin αsin βcos αcos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于________．π3[依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin2(α－β)＝13 14，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.][思想与方法]1．三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．2．三角恒等变换的变“形”问题的求解思路根据三角恒等式子的“结构特征”进行变“形”，使得变换后的式子更接近已知的三角函数式，常用技巧有：(1)常值代换：1＝sin2α＋cos2α＝cos 2α＋2sin2α＝tan π4，32＝sin π3＝cosπ6，12＝sinπ6＝cosπ3等．(2)逆用、变用公式：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)等．(3)通分、约分：如：1＋3tan α＝2cos⎝⎛⎭⎪⎫α－π3cos α.(4)分解、组合：如：(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.(5)平方、开方：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α等．[易错与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．课时分层训练(二十三)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为________． －3 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.]2．(2017·盐城模拟)tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于________． －3 [∵tan 120°＝tan(50°＋70°)＝tan 50°＋tan 70°1－tan 50°tan 70°＝－3，∴tan 50°＋tan70°＝－3＋3tan 50°tan 70°，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.]3．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α终边经过点P (2,4)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 【导学号：62172130】－3 [由题意可知tan α＝42＝2. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝1＋21－2＝－3.] 4．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于________．17[∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45， ∴cos α＝－45.又α是第二象限角，∴sin α＝35，则tan α＝－34. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－341＋34＝17.]5．已知sin α＋sin β＝3(cos β－cos α)，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 3α＋sin 3β＝________.0 [由已知得：sin α＋3cos α＝3cos β－sin β， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6，又α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，β＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3. 故α－π6＝β＋π6，即α＝β＋π3.∴sin 3α＋sin 3β＝sin(3β＋π)＋sin 3β＝0.]6．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝________.35 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，32cos α－32sin α＝335，12cos α－32sin α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35.] 7．若sin ()α＋β＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________.【导学号：62172131】5 [由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12， ①sin αcos β－cos αsin β＝13， ②∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝512，cos αsin β＝112.∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.]8．(2017·苏锡常镇调研二)若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________.－17[∵tan α＝12，tan(α－β)＝－13， ∴tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan [α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－131＋16＝－17.] 9．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是________. 【导学号：62172132】7π4 [∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2. ∴cos(β－α)＝－31010.因此sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝1010×⎝⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55＝－22，cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4.]10．(2017·如皋市高三调研一)若sin β＝3sin(2α－β)，则tan(α－β)＋12tan α＝________.0 [由sin β＝3sin(2α－β)得－sin [(α－β)－α]＝3sin [α＋(α－β)]，∴cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝3[sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)]， ∴－4cos αsin(α－β)＝2sin αcos(α－β)， ∴tan(α－β)＝－12tan α.∴tan(α－β)＋12tan α＝－12tan α＋12tan α＝0.] 二、解答题11．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2＜α＜π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π2＜α－β＜π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.12．(2017·启东中学高三第一次月考)在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A .(1)求角A 的值；(2)若B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos(A －B )＝45，求sin B .[解] 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，得32sin A ＋12cos A ＝2cos A ，即sin A ＝3cosA ．因为A ∈(0，π)，且cos A ≠0，所以tan A ＝3，所以A ＝π3.(2)因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以A －B ＝π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.因为sin 2(A －B )＋cos 2(A －B )＝1，所以sin(A －B )＝35，所以sin B ＝sin(A －(A－B ))＝sin A cos(A －B )－cos A sin(A －B )＝43－310.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知0＜θ＜π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________.－15 [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－43sin θ，∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝259sin 2θ＝1.∵0＜θ＜π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－15.] 2．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________. 3 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5， ∴原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tan π52tan π5－tan π5＝3.] 3．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．[解] (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017，得sin α＝1517，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，得cos β＝45， 又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.4．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知0<α<π2<β<π，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12.(1)求cos α的值； (2)证明：sin β>513.[解] (1)将tan α2＝12代入tan α＝2tan α21－tan 2α2，得tan α＝43，∴⎩⎨⎧sinαcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，解得cos α＝35.(2)证明：由题意易得π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝513， ∴cos(α＋β)＝－1213， 由(1)可得sin α＝45，∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×45＝6365>513.。
高三数学复习课件【两角和与差的正弦、余弦和正切公式】
练透基点，研通难点，备考不留死角
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考点一 三角函数公式的直接应用 [考什么·怎么考]
三角函数公式的直接应用是基础，直接命题较 少，主要考查三角函数公式的识记，多体现在简单三 角函数求值中.
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1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α的值为(
)
2 A. 10
B．－
Hale Waihona Puke 返回解析：∵α∈0，π2，tan α＝2，
∴sin α＝255，cos α＝ 55，
∴cosα－π4＝cos
αcosπ4＋sin
π αsin4
＝
22×2 5 5＋
55＝3
10 10 .
答案：3
10 10
2．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.
(1)求sin(α－β)的值；
，tan(π－β)＝
1 2
，则tan(α－β)的
值为
()
A．－121
2 B.11
11 C. 2
解析：因为sin α＝35，α∈π2，π，
D．－121
所以cos α＝－ 1－sin2α＝－45，所以tan α＝csions αα＝－34.
因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，
＝
412c2ossin101°0°－co23s s1i0n°10°＝4sins3i0n°20－°10°＝14.
答案：14
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2．在△ABC中，若tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则cos C＝
________. 解析：由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得1t－antaAn＋AttaannBB
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin__αsin_β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos____α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z . [提醒] 三角函数公式的变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 3．三角函数公式关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( ) (2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝12.( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtanβ)，且对任意角α，β都成立．( ) (5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos(π4＋α)为( )A.210B ．－210C.7210D ．－7210解析：选A.因为cos α＝－35，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－（－35）2＝－45，所以cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22·(－35)－22·(－45)＝210.(优质试题·高考江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________． 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：75sin 15°＋sin 75°的值是________．解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62.答案：62三角函数公式的直接应用[典例引领](1)(优质试题·高考全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________． (2)(优质试题·广州市综合测试(一))已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，则f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________．【解析】 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝sin αcos α＝2，所以sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝55×22＋255×22＝(2)因为sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，所以cos α＝－45，所以f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－210. 【答案】 (1)31010 (2)－210利用三角函数公式应注意的问题(1)使用公式求值，首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[通关练习]1．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112解析：选A.因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.2．(优质试题·湖南省东部六校联考)已知角α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为( ) A.1225B.2425C ．－2425D ．－1225解析：选B.因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45>0，所以α＋π6为锐角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，故选B.三角函数公式的活用(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度：(1)两角和与差公式的逆用及变形应用； (2)二倍角公式的活用．[典例引领]角度一 两角和与差公式的逆用及变形应用(1)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2(π4－α)＝( )A.118 B.1718 C.89D.29(2)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22B.22C.12D ．－12【解析】 (1)由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2(π4－α)＝1－cos （π2－2α）2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.(2)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.【答案】(1)B (2)B 角度二二倍角公式的活用cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________．【解析】 法一：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan 30°＝33.法二：原式＝2（sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°）2（sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°）＝sin 30°sin 60°＝1232＝33.法三：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°2＝1－sin 30°1＋sin 30°＝13. 又cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＞0， 所以cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝33.【答案】33三角函数公式的应用技巧运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．[通关练习]1．(1－tan 15°)cos 15°的值等于( ) A.1－32B ．1 C.32D.12解析：选C.(1－tan 215°)cos 215°＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. 2．(优质试题·河北衡水中学三调考试)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118 C ．－1718D.1718解析：选C.由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin α·cos α＝118，故sin 2α＝－1718.故选C.角的变换[典例引领](1)(优质试题·四川成都摸底)已知sin 2α＝35⎝⎛⎭⎫π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－211D.211(2)(优质试题·六盘水质检)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( ) A ．－12B.12C ．－13 D.2327【解析】 (1)因为sin 2α＝35，2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos 2α＝－45，tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝ tan 2α－tan （α－β）1＋tan 2αtan （α－β）＝－2.(2)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α∈(0，π)． 因为cos α＝13，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin 2α＝1－cos 22α＝429， 而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β) ＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327. 【答案】 (1)A (2)D若本例(2)条件不变，求cos 2β的值．解：因为cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)， 所以sin α＝223，sin(α＋β)＝223，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－13×13＋223×223＝79.所以cos 2β＝2cos 2β－1＝2×⎝⎛⎭⎫792－1＝1781.角的变换技巧(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常用拆分方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． [通关练习]1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3 的值为( ) A.23 B.12 C.34D.45解析：选B.tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝tan ⎣⎡⎦⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan （α＋β）－tan ⎝⎛⎭⎫α－π31＋tan （α＋β）tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. 2．(优质试题·湖南郴州模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，则tan α＝________． 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45， 所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝43， 所以tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝43－11＋43×1＝17. 答案：17运用三角函数公式时，不但要熟悉公式的直接应用，还要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力． 易错防范(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22D.32解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° ＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．－1 B ．0 C.12D ．1解析：选A.因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， 所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，所以⎝⎛⎭⎫12－32sin α＝⎝⎛⎭⎫32－12cos α，所以sin α＝－cos α，所以tan α＝－1.3．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17，则sin α等于( ) A.35 B.45 C ．－35D ．－45解析：选A.因为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17，所以tan α＝－34＝sin αcos α，所以cos α＝－43sin α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝925.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α＝35. 4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为( ) A.13 B ．－13C.23D ．－23解析：选B.sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫332－1＝－13.5．(优质试题·兰州市实战考试)sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A ．－15B.15C ．－75 D.75解析：选D.2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2⎝⎛⎭⎫22cos α＋22sin α＝sin α＋cos α，又因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝4925，0<α<π2，所以sin α＋cos α＝75，故选D.6．(优质试题·贵州省适应性考试)已知α是第三象限角，且cos ()α＋π＝45，则tan 2α＝________．解析：由cos(π＋α)＝－cos α＝45，得cos α＝－45，又α是第三象限角，所以sin α＝－35，tanα＝34，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.答案：2477．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎫β＋5π4＝________． 解析：依题意可将已知条件变形为 sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，因此有cos β＝－45.sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝－sin(β＋π4)＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210.全国名校高考数学复习优质学案汇编（理科，附详解）8．(优质试题·兰州市高考实战模拟)若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)＝________．解析：由sin α－sin β＝1－32，得(sin α－sin β)2＝⎝⎛⎭⎫1－322，即sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝74－3，①由cos α－cos β＝12，得cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14，② ①＋②得，2sin αsin β＋2cos αcos β＝3，即cos(α－β)＝32. 答案：32 9．已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值． 解：(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝ 2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 10．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos θ的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝22A ＝322， 所以A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3。
高考数学两角和与差的正弦、余弦和正切公式
11 4 3 3 ．已知 cos(2α － β) ＝－ ， sin(α － 2β) ＝ ， 14 7 π π 0<β< <α< .则 cos(α＋β)的值为________． 4 2
11 π 解析：∵cos(2α－β)＝－ 且 <2α－β<π， 14 4 5 3 ∴sin(2α－β)＝ . 14 ∵sin(α－2β)＝ 4 3 π π 且－ <α－2β< ， 7 4 2
1 ∴cos(α－2β)＝ ， 7 ∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) 11 1 5 3 4 3 1 ＝－ × ＋ × ＝ . 14 7 14 7 2 1 答案： 2
考点一
三角函数公式的基本应用 基础送分型考点——自主练透
7 答案：－ 9
2． 在△ABC 中， 若 tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则 cos C 的值为________．
解析： 由 tan Atan B＝ tan A＋ tan B＋ 1， tan A＋ tan B 可得 ＝－ 1， 1－ tan Atan B 即 tan(A＋ B)＝－ 1，又 A＋ B∈ (0， π)， 3π 所以 A＋ B＝ ， 4 π 2 则 C＝ ， cos C＝ . 4 2 2 答案： 2
4． 已知
π 2 π 3 tanα－ ＝ ， tan ＋β＝ ， 则 6 7 6 5
tan(α＋ β)＝ ________.
π π 解析： tan(α＋ β)＝tanα－ ＋ ＋ β 6 6 π π 3 2 tan α－ ＋ tan ＋ β ＋ 6 6 7 5 ＝ ＝ ＝ 1. 3 2 π π 1－ tan α－ · tan ＋ β 1－7×5 6 6
高考数学一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式
思维升华
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟 悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从 正向思维向逆向思维转化的能力.
跟踪训练 2 (1)(2022·咸阳模拟)已知 sinx－π6＝ 33，则 sin x＋sinx－3π等于
√A.1
B.－1
23 C. 3
A.－1
B.1
√C.0或－3
D.0或1
因为 α＋β＝π4， 所以 tan(α＋β)＝tan π4⇒1t－antαan＋αttaannββ＝1⇒1－1＋mmm＋＋m1＝1⇒m2＋3m＝0，
解得m＝0或m＝－3.
思维升华
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三 角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时， 特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.
b a2＋b2
，cos
φ＝
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). tan αtan β＝1－tatnanα＋α＋taβnβ＝tatnanα－α－taβnβ－1.
D. 3
因为 sinx－π6＝ 33，
所以
sin
x＋sinx－π3＝sin
x＋12sin
x－
3 2 cos
x＝
3sinx－π6＝1.
(2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个 这样的数组__0_，__π4_(_答__案__不__唯__一__)_.
2023年高考数学一轮总复习第20讲：三角恒等变换
sinθ
＝
＝
＝tan θ.
2sinθ cos θ+2 cos2 θ cos θ
sin 2α+β
(2)化简：
sin α
－2cos (α＋β)＝________．
sin β
sin α
答案：
sin 2α+β −2 sin α cos α+β
sin α
sin α+ α+β −2 sin α cos α+β
2 2 cos 5°− 2 sin 5°
＝
cos 5°−sin 5°
＝ 2.
角度2|给值求值
[例3] (1)[2020·全国卷Ⅰ]已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，
则sin α＝(
)
A．
5
3
2
B．
3
1
C．
3
D．
5
9
答案：A
解析：由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα－5＝0，即3cos2α－
周期为________，最小值为________．
答案：π 2
解析：f(x)＝ 3sin2x＋cos 2x＋1＋3
＝ 3sin 2x＋cos 2x＋4
π
＝2sin 2x + ＋4.
6
∴最小正周期为T＝π，最小值为2.
题组三 易错自纠
1．设α、β是锐角，且cos α＝
2 5
A．
5
2 5 2 5
C． 或
∴
＝
＝
1−tanx
1−tanx
cos
7 2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式：sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ，
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)。
1、两角和（差）公式包括两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。
两角和与差的公式是三角函数恒等变形的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。
正弦公式是描述正弦定理的相关公式，而正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出：在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
几何意义上，正弦公式即为正弦定理。
2、先利用单位圆（向量）推到两角和与差的余弦公式，再利用诱导公式推导正弦公式，最后利用同角三角函数的基本关系推到正切公式。
3、正弦和差公式始终是sin与cos相乘; 余弦和差公式始终是cos与cos相乘，sin与sin相乘，两角和与差的正弦公式：正=正余余正符号同两角和与差的余弦公式：余=余余正正符号异。
高考数学(文)一轮课件【第20讲】两角和与差的正弦、余弦和正切公式
• 双 向 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 固 (1)公式S2 ：sin 2α ＝________________ 2sin αcos α ． 2 α－ 1 2cos 基 (2)公式C2 ：cos 2α ＝________________ 2 2 ＝____________＝ cos α － sin α 础 ____________ 1－2sin 2α ．
• 双 向 固 基 础 • 点 面 讲 考 向 • 多 元 提 能 力 • 教 师 备 用 题
第20讲 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
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考试说明
1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式． 2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
Hale Waihona Puke 返回目录第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式
• 双 向 固 基 础
π 3 α＝－ 5 ，α∈ 2，π ，则
• 双 向 固 基 础
2．[教材改编]
已知cos
π sinα＋3的值是________．
4－3 3 [答案] 10
3 π 4 π [解析] cos α＝－5，α∈（2，π）∴sin α＝5，sin(α＋3)＝ π π 4 1 3 3 4－3 3 sin αcos ＋cos αsin ＝ × ＋(－ )× ＝ . 3 3 5 2 5 2 10
)
2tan α (2)用tan α表示sin 2α，cos 2α，得sin 2α＝ ，cos 1－tan2α 1＋tan2α 2α＝ .( 1－tan2α ) )
π π (3)对任意角α，有sin4－α＝cos4＋α.(
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第20讲
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[答案] (1)³ (2)³
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
三角函数两角和与差及二倍角公式一、知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α．3．注意：1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． [试一试]1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22 B ．22 C ．32D ．1 答案：B2．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23答案：C解析：因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×233⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝13二、方法归纳 1．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭2．角的变换技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝22βααβ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．三角公式关系[练一练]1．已知tan 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝37，tan 6πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A ．2941 B ．129 C ．141 D ．1答案：D2．已知sin 2α＝23，则cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23答案：A解析：法一：cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝121cos 22πα⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝12(1－sin 2α)＝16． 法二：cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝22cos α－22sin α， 所以cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16 三、考点精讲考点一 三角函数公式的基本应用1．已知sin α＝35，α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则cos 22sin 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________． 答案：－75解析：cos 22sin 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝22cos sin 222sin cos 22αααα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝－45，∴原式＝－75．2．设sin 2α＝－sin α，α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是________． 答案： 3解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，∴sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝()223313-=--3．已知函数f (x )＝2sin 136x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R ． (1)求f 54π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)设α，β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，f 32πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 解：(1)∵f (x )＝2sin 136x π⎛⎫-⎪⎝⎭，∴f 54π⎛⎫⎪⎝⎭＝2sin 5126ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2sin π4＝2． (2)∵α，β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，f 32πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin 2πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝65，即sin α＝513，cos β＝35．∴cos α＝1213，sin β＝45∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665．[解题通法]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．考点二 三角函数公式的逆用与变形应用(1)在△ABC 中，若tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( ) A ．－22 B ．22 C ．12 D ．－12(2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12 B ．12 C ．32 D ．－32答案：(1)B (2)B解析：(1)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22，故选B ．(2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12． [解题通法]运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． [针对训练] 1．已知sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＋cos α＝435，则sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．45 B ．35 C ．32 D ．35答案：A 解析：由条件得32sin α＋32cos α＝435， 即12sin α＋32cos α＝45，∴sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝45． 2．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．答案：2解析：－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β．∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2． 考点三 角的变换已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13．(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值． 解：(1)∵α，β∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，从而－π2<α－β<π2 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0．∴sin(α－β)＝－1010． (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010． ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45，∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝91050变式练习：在本例条件下，求sin(α－2β)的值 解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010， cos β＝91050，sin β＝131050．∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425．[解题通法]1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；3．注意角变换技巧． [针对训练]1．设tan ()α＋β＝25，tan 4πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )A ．1318B ．1322C ．322D ．16答案：C解析：tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝()tan 4παββ⎡⎤⎛⎫+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=()()tan tan 34221tan tan 4παββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭2．设α为锐角，若cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝45，则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________． 答案：17250解析：因为α为锐角，cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝45， 所以sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝35，sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2425， cos 26πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝725， 所以sin 212πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝sin 264ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝2425×22－725×22＝17250． 考点四 三角函数式的化简1．化简：2sin 22cos sin 4ααπα-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝________．答案：22cos α解析：原式＝2sin αcos α－2cos 2α22α－cos α＝22cos α．2．化简：42212cos 2cos 22tan sin 44x x x x ππ-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：原式＝()222221112sin cos 1sin 2cos 22222sin cos 2sin cos sin 244442cos 4x x x x x x x x x x ππππππ-+-==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=1cos 22x 3．化简：1tan 1tan tan 22tan 2αααα⎛⎫ ⎪⎛⎫-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．解：1tan 1tan tan 22tan 2αααα⎛⎫⎪⎛⎫-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭＝cos sin sin sin 2221cos sin cos cos222αααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅+⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2⋅cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcos α2＝2cos αsin α⋅cos α2cos αcosα2＝2sin α[解题通法]三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．考点五 三角函数式的求值研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．归纳起来常见的命题角度有：给值求值； 给角求值； 给值求角． 角度一 给值求值1．已知函数f (x )＝2cos 12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R ． (1)求f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，求f 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 解：(1)因为f (x )＝2cos 12x π⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以f 3π⎛⎫⎪⎝⎭＝2cos 312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2cos π4＝2×22＝1． (2)因为θ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，cos θ＝35， 所以2234sin 1cos 155θθ⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭．所以f 6πθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝2cos 612ππθ⎛⎫--⎪⎝⎭＝2cos 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝2×22cos sin 22θθ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭＝cos θ＋sin θ＝35－45＝－15．角度二 给角求值2．(1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A ． 2 B ．2＋32C ． 3D ．22－1 答案：C解析：4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°·cos 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－＋cos 40°＝32cos 10°－32sin 10°cos 40°＝330°cos 10°－cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3．(2)化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________． 答案：1解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°00sin1013cos10⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×000132cos10sin1022cos10⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1．角度三 给值求角3．已知α，β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，求2α＋β．解：∵sin α＝35，α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×45⎛⎫- ⎪⎝⎭＋45×35＝0．又2α＋β∈30,2π⎛⎫⎪⎝⎭，∴2α＋β＝π． 4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2123113⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭＝34>0，∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1．∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4．[解题通法]三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．考点六 三角恒等变换的综合应用 已知函数f (x )＝sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，g (x )＝2sin 2x 2． (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合． 解：f (x )＝sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x ．(1)由f (α)＝335得sin α＝35．又α是第一象限角，所以cos α>0．从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15．(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12， 从而522666k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ， 即2223k x k πππ≤≤+，k ∈Z ． 故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为222,3x k x k k Z πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． [解题通法]三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题． [针对训练]设函数f (x )＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋33sin 2x －33cos 2x ． (1)求f (x )的最小正周期及其图像的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图像向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图像，求g (x )在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．解：(1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x ＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π． 令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．(2)将函数f (x )的图像向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝33sin 236x ππ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－33cos 2x 的图像． 即g (x )＝－33cos 2x ． 当x ∈,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，2x ∈2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，得cos 2x ∈1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以－33cos 2x ∈33,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即函数g (x )在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是33,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦课后作业课后练习一、选择题1．已知sin3πα⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin α＝－435，则cos23πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于()A．－45B．－35C．35D．45答案：D2．已知cos6πα⎛⎫+⎪⎝⎭－sin α＝233，则sin76πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值是()A．－233B．233C．－23D．23答案：D3．已知向量a＝sin,16πα⎛⎫⎛⎫+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，b＝(4,4cos α－3)，若a⊥b，则sin43πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于() A．－34B．－14C．34D．14答案：B4．函数y＝sin x＋cos x图象的一条对称轴方程是()A．x＝5π4B．x＝3π4C．x＝－π4D．x＝－π2答案：A5．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则C的大小为()A．π6B．56πC．π6或56πD．π3或23π答案：A6．已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于()A．13B．－13C．16D．－16答案：D解析：∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－167．已知tan(α＋β)＝25，tan4πβ⎛⎫-⎪⎝⎭＝14，那么tan4πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于()A ．1318B ．1322C ．322D ．16答案：C解析：因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－4πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝tan ()()()tan tan 344221tan tan 4παββπαββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+--== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭8．已知cos 2α＝12 (其中α∈,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭)，则sin α的值为 ( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32答案：B解析：∵12＝cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝14．又∵α∈,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴sin α＝－129．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx2，则f 12π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ( )A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 3 答案：B解析：f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x∴f 12π⎛⎫⎪⎝⎭＝4sinπ6＝8 10．在△ABC 中，若cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是 ( ) A ．12B ．22C ．32D ．1答案：C解析：由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0化简变形，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴sin B ＝32二、填空题 1．如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33－ sinα13·sin α2＋α33＝________ 答案：－122．设sin α＝352παπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________答案：－2113．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________． 答案：3 －23π4．已知α为第二象限的角，且sin α＝35，则tan 2α＝________．答案：－247解析：因为α为第二象限的角，又sin α＝35，所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247． 5．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________． 答案：1－ 2解析：∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋1， ∴当sin(2x ＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－ 26．若cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22，则cos α＋sin α的值为________．答案：12解析：∵cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos 2α－sin 2α22α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12．三、解答题 1．(1)已知α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513．求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：(1)∵β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，cos β＝－513，∴sin β＝1213又∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝3365，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝233165⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝－5665 ∴sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝33556123651365135⎛⎫⎛⎫⋅---⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝13＋121－13×12＝1∵α，β∈(0，π)，tan α＝13<1，tan β＝－17<0，∴0<α<π4，π2<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π42．(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β． （2）已知△ABC 的面积S =12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C解：(1)①证明：如上图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4．则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))， 由|P 1P 3|＝|P 2P 4|及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2， 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ②解 由①易得，cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α， sin 2πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝cos α． sin(α＋β)＝cos ()2παβ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦＝cos ()2παβ⎡⎤⎛⎫-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝cos 2πα⎛⎫-⎪⎝⎭cos(－β)－sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭sin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β． ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(2)解：由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ． 则S ＝12bc sin A ＝12，AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，cos A ＝3sin A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1， ∴sin A ＝1010，cos A ＝31010， 由cos B ＝35，得sin B ＝45，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010．故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－10103．设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R ．(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解：(1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋1． 由2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋1＝1－3， 得sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝－32∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6．∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π (k ∈Z )，即36k x k ππππ-+≤≤+ (k ∈Z )，得函数单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 列表：x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6 π y232－12描点连线，得函数图象如图所示：4．设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭－12． (1)求f (x )的最小正周期； (2)当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：f (x )＝3sin x cos x －cos x sin 2x π⎛⎫+⎪⎝⎭－12 ＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭－1 (1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6．所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0，当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32．6．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x ． (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73．。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一 三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.[答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋ 3 t an 25°·tan 35°＝ 3 (1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. [答案] (1)－12 (2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； 1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22； sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22 (sin 56°－cos 56°)＝22 s in 56°－22 c os 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 答案：453.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45， 得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210，∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π， ∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A.3 B.2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－1 11．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ， 又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14， ∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157. 答案：157 2．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________. 解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35， 所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π， 所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125. 答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。
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高考数学一轮复习：20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共13题；共26分)
1. （2分）已知，，（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）已知ΔABC中，sinA=,cosB=，则cosC的值等于（）
A . 或
B .
C .
D . -或-
3. （2分）已知，则（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）(2018·银川模拟) 公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为，这一数值也可以表示为，若，则（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2017高一上·昌平期末) cos45°cos15°﹣sin45°sin15°=（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）若，则为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2020·沈阳模拟) 如果将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值为（）
A . 2
B .
C .
D . 3
8. （2分）函数的值域是（）
A . [-1,3]
B . [-1,4]
C . (-6,3]
D . (-2,4]
9. （2分）已知tanα= ，tanβ=﹣，α∈（0，），β∈（，π），则2α﹣β的值是（）
A . ﹣
B .
C . ﹣
D .
10. （2分）已知，化简（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2016高一上·温州期末) 已知sinα=3cosα，则sinα•cosα的值为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2016高一下·石门期末) 在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列公比，则这个三角形是（）
A . 钝角三角形
B . 锐角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 以上都不对
13. （2分） (2017高一上·宜昌期末) 已知向量 =（cosθ，sinθ）， =（1，﹣2），若∥ ，则代数式的值是（）
A .
B .
C . 5
D .
二、填空题 (共5题；共5分)
14. （1分）若sinx=﹣，则cos2x=________．
15. （1分） (2017高一上·黑龙江期末) 已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）= ，sin（α+β）=﹣，则sin2α的值________．
16. （1分） (2018高三上·吉林月考) 设为第二象限角,若 ,则 ________
17. （1分）若cos（α+β）=， cos（α﹣β）=﹣，，，则sin2β=________
18. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知等腰三角形底角正弦值为，则顶角的余弦值是________
三、解答题 (共5题；共45分)
19. （10分） (2017高一上·昌平期末) 已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．
（1）求sinα、cosα、tanα的值；
（2）求的值．
20. （10分）已知cos（π+α）=﹣．求cosα的值.
21. （10分）(2020·淮北模拟) 已知的面积为，且 .
（1）求的值；
（2）若角成等差数列，求的面积 .
22. （10分） (2016高一上·无锡期末) 如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△CPQ 周长为2．
（1）求PQ的最小值；
（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．
23. （5分） (2017高一下·彭州期中) 已知，，函数（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求函数f（x）的值域．
参考答案一、单选题 (共13题；共26分)
1-1、答案：略
2-1、答案：略
3-1、答案：略
4-1、
5-1、答案：略
6-1、答案：略
7-1、
8-1、答案：略
9-1、
10-1、答案：略
11-1、答案：略
12-1、答案：略
13-1、答案：略
二、填空题 (共5题；共5分)
14-1、
15-1、
16-1、答案：略
17-1、
18-1、
三、解答题 (共5题；共45分) 19-1、答案：略
19-2、答案：略
20-1、
21-1、答案：略
21-2、答案：略
22-1、答案：略
22-2、答案：略
23-1、答案：略
23-2、答案：略。