专题18 两角和与差及二倍角的三角函数(检测)-2019年高考数学名师揭秘之
2019届高考数学第一轮专题复习测试卷第十八讲两角和与差及二倍角公式
数学试卷第十八讲 两角和与差及二倍角公式一、选择题： (本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)π47π1． 已知 cos α－ 6 ＋ sin α＝ 5 3，则 sin α＋ 6 的值是()2 3B.2 3A ．－ 554 4C ．－ 5D.5解析： ∵ cosπ＋ sin α＝ 43α－ 65∴3341 3 42 cos α＋ 2sin α＝53， 3 2cos α＋ 2 sin α＝ 5 3，π4π 43 sin 6＋α ＝ 5 3， ∴ sin 6＋ α＝5，7π4∴ sin α＋ 6π＝－ sin 6＋ α＝－ 5.答案： Cπ35 2π2．已知 cos － α＝ 3，则 cos 6π＋ α－ sin α－6 的值是 ( )6 A. 2＋ 3 2＋ 33B ．－ 3C. 2－ 3D. －2＋ 33 3解析： ∵ cos 5π6π＋ α＝ cos π－ 6－ απ 3 ＝－ cos 6－ α＝－ 3.2π2π12而 sin α－6＝ 1－ cos α－ 6 ＝1－3＝ 3，3－2＋ 3所以原式＝－2＝－ 3.3 3答案： B510 3．若 sin α＝ 5 ， sin β＝ 10 ，且 α、 β为锐角，则 α＋ β的值为( )π πA ．－4 B.4πD.πC．±34解析：解法一：依题意有cosα＝1－5 225 5＝5，cosβ＝1－10 2＝310，1010∴ cos(α＋β)＝2531051025×10－5×10＝2＞ 0.π∵ α，β都是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，∴ α＋β＝4.5 2解法二：∵ α，β都是锐角，且 sin α＝5＜2，sinβ＝10＜2，102∴ 0＜α，β＜ππ4， 0＜α＋β＜2，∴ cosα＝1－5 2＝2 5，55102 3 10cosβ＝1－10＝10 ，5×31010×252sin( α＋β)＝510 ＋105＝ 2.π∴ α＋β＝ .4答案： B4．在△ ABC 中，若 cosA＝4， cosB＝5，则 cosC 的值是 () 5131656 A. 65 B.6516或 5616 C.65 65D．－65解析：在△ ABC 中，0＜A＜π，0＜ B＜π，cosA＝45ππ5＞ 0，cosB＝13＞ 0，得 0＜ A＜2，0＜ B＜2，从而 sinA＝3， sinB＝12，513所以 cosC＝ cos[ π－ (A＋B)]＝－ cos(A＋ B)＝ sinA ·sinB － cosA ·cosB3 1245 16＝ 5× 13－ 5×13＝65，故选 A.答案： A5．若 cos2θ＋ cos θ＝0，则 sin2θ＋ sin θ的值等于 ( )A ．0B ．± 3C ．0或 3D ．0或±3解析： 由 cos2θ＋ cos θ＝ 0 得 2cos 2θ－1＋ cos θ＝0，所以 cos θ＝－ 1 或12.当 cos θ＝－ 1 时，有 sin θ＝ 0；1 3当 cos θ＝ 2时，有 sin θ＝ ±2 .于是 sin2θ＋ sin θ＝ sin θ(2cos θ＋ 1)＝ 0 或 3或－ 3.答案： D评析： 本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．6． (2019 ·口质检海 )在△ ABC 中，已知 s in(A － B)cosB ＋cos(A － B)sinB ≥ 1，则△ ABC 是 ( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析： sin(A － B)cosB ＋ cos(A － B)sinB ＝ sin[( A － B) ＋B] ＝ sinA ≥1，又 sinA ≤ 1， ∴sinA ＝ 1， A ＝ 90°，故 △ ABC 为直角三角形．答案： A二、填空题： (本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分，把正确答案填在题后的横线上．)7.2cos10 °－ sin20 ° sin70 ° 的值是 ________．2cos(30 －°20°)－ sin20 °解析： 原式＝sin70 °2(cos30 ·°cos20 °＋ sin30 ·°sin20 )°－ sin20 °＝sin70 °3cos20 °＝＝3.cos20 °答案： 3π12π cos2α π 8．已知 cos 4－ α＝ 13， α∈ 0， 4 则 π ( α∈ 0，4 )＝ ________.sin ＋α4解析： ∵ cos2α＝cos 2α－ sin 2α2πsin 4＋ α2 (sin α＋ cos α)(cos α－ sin α)(cos α＋sin α)＝22(sin α＋cos α)π＝ 2(cos α－sin α)＝ 2sin 4－ α.πππ又 α∈ 0，4 ，则 4－α∈ 0， 4 .π 12π 5由 cos 4－α＝ 13 ，则 sin 4－ α＝13.∴ 原式＝ 1013.答案：10139． (1＋ 3tan10 )°·cos40 °＝ ________.3sin10 °解析： (1＋3tan10°)cos40°＝1＋ cos10 ° cos40 °3sin10 ＋°cos10 °＝cos10 ° ·cos40 °2sin(10 ＋°30°) ＝cos10 ° ·cos40 °＝2sin40 cos40° ° sin80 °cos10 ° ＝cos10 ＝ 1.°答案： 110．已知 α、 β均为锐角，且 cos(α＋β)＝sin( α－ β)，则角 α＝________.解析： 依题意有 cos αcos β－ sin αsin β＝ sin αcos β－ cos αsin β，即 cos α(cos β＋ sin β)＝ sin α(sin β＋ cos β)．∵ α、 β均为锐角∴ sin β＋ cos β≠ 0，必有 cos α＝ sin απ∴ α＝ 4.答案：π4三、解答题： (本大题共 3 小题， 11、 12 题 13 分， 13 题 14 分，写出证明过程或推演步骤．)11． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相2 2 5交于 A 、B 两点．已知 A 、 B 的横坐标分别为 10 ， 5 .(1)求 tan(α＋ β)的值； (2)求 α＋ 2β的值．22 5解： 由已知得 cos α＝ 10 ， cos β＝5 .∵ α， β为锐角，27 225∴ sin α＝ 1－ cos α＝10 ， sin β＝ 1－ cos β＝ 5.∴ tan α＝ 7， tan β＝1.21tan α＋ tan β7＋2＝－ 3.(1)tan( α＋ β)＝＝1－ tan α·tan β 1－ 7×121(2)∵ tan2β＝2tan β＝ 2× 2 ＝ 4， 1－ tan 2β1 2 31－ 24tan α＋ tan2β 7＋3 4＝－ 1.∴ tan(α＋2β)＝ ＝ 1－ 7×1－ tan α·tan2β 3∵ α、 β为锐角， ∴0＜ α＋ 2β＜ 3π3π2 ， ∴ α＋ 2β＝ 4 .1 ， cos(α－ β)＝ 13，且 0< β< π 12．已知 cos α＝14α< . 7 2(1)求 tan2α的值；(2)求 β的值．分析： 由已知可求 sin α，进而可求 tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝ α－ (α－β)可求得cos β.1π解： (1) 由 cos α＝ 7，0<α<2，2124 3得 sin α＝ 1－ cos α＝1－ 7 ＝ 7 .∴ tan α＝ sin α 4 3 7 3.＝ × ＝ 4 cos α 7 1于是 tan2α＝ 2tan α ＝ 2×4 3 ＝－ 8 31－ tan 2α 1－ (4 3)247 .π 0<α－ β<π，得 2.(2)由 0<β<α<213又 ∵ cos(α－ β)＝14，∴ sin(α－ β)＝ 1－ cos 2(α－ β)＝3 314由 β＝α－(α－ β)，得cos β＝ cos[α－ (α－β)] ＝cos αcos(α－ β)＋ sin αsin( α－ β)1 134 3 3 3 1＝ 7××14 ＝2.14＋7所以 β＝ π3.π3 π3 ，sin3π5，求 sin( α＋ β)的值．13．已知 0<β<4<α<4π， cos 4－ α＝ 5 4 ＋ β＝ 13 π 3π 解： ∵4<α< 4 ，∴ －3π ππ π4 <－ α<－ 4，－ 2<4－ α<0.π3 π4又 ∵ cos 4－ α＝ 5， ∴ sin 4－ α＝－ 5.π3π 3π 又 ∵ 0<β<4， ∴ 4 < 4 ＋ β<π.又 ∵ sin 3π54＋β＝ 13，3π12 ∴ cos 4 ＋ β＝－ 13，π∴ sin(α＋ β)＝－ cos 2＋ (α＋β)3ππ＝－ cos4 ＋ β－ 4－ α3ππ3ππ＝－ cos 4 ＋ βcos 4－α－ sin 4 ＋ βsin 4－ α12×3 5×4＝－ －135－13－ 536 20 56 ＝ 65＋ 65＝ 65.评析： 三角函数的给值求值问题解决的关键在于把 “ 所求角 ” 用 “ 已知角 ” 表示．(1) 当 “ 已知角 ” 有两个时， “ 所求角 ” 一般表示为两个 “ 已知角 ” 的和或差的形式；(2) 当 “ 已知角 ” 有一个时， 此时应着眼于 “ 所求角 ” 与 “已知角 ”的和或差的关系， 然后应用诱导公式把 “所求角 ”变成 “已知角 ”．(3) 常见的配角技巧α1 1π π π α＝ 2·； α＝(α＋ β)－ β； α＝β－(β－ α) ； α＝ [( α＋ β)＋(α－ β)] ； β＝ [(α＋ β)－ (α－ β)] ； ＋ α＝ － － α .2 2 2 4 2 4。
高考数学一轮复习第三章第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
3sin 17°＝12.
②解：因为 tan 60°＝tan(25°＋35°)＝1t－ant2an5°2＋5°ttaann3355°°＝ 3，
则原式＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3.
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
答案：12
【题后反思】公式的一些常用变形
①1±sin α＝sin
α 2±cos
α22；
②sin 2α＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝ta2nt2aαn＋α 1；
③cos2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα＝11＋－ttaann22αα；
④tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). ⑤sin αcos β＝21[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； sin αsin β＝12[cos (α－β)－cos (α＋β)]； cos αcos β＝12[cos (α－β)＋cos (α＋β)]；
【变式训练】
1.(2022 年全国Ⅱ卷)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos α＋π4sin β，
Байду номын сангаас则( )
A.tan(α－β)＝1
B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1
D.tan(α＋β)＝－1
解析：由题意可得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
答案：B
(2)(2023 年宿迁市校级月考)计算下列各式的值：
①2sin
47°－ 2cos
3sin 17°
专题19 两角和与差及二倍角的三角函数(检测)-2019年高考数学名师揭秘之一轮总复习
本专题特别注意：1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题方法总结：1.对于任意一个三角公式，应从“顺、逆”两个方面去认识，尽力熟悉它的变式，以及能灵活运用.2.公式应用要讲究“灵活、恰当”，关键是观察、分析题设“已知”和“未知”中角之间的“和、差、倍、半”以及“互补、互余”关系，同时分析归纳题设中三角函数式的结构特征，探究化简变换目标.3.把握三角公式之间的相互联系是构建“三角函数公式体系”的条件，是牢固记忆三角公式的关键.高考模拟：一、单选题1．函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:将函数进行化简即可详解：由已知得的最小正周期故选C.点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C.D.【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.点睛：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 3．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 详解：根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.4．已知，则（ ）A. B. -8 C. D. 8【答案】D【解析】分析：首先将题中的条件中的式子利用倍角公式以及差角公式将其拆开化简，求得，两边平方求得，再将目标式化简，最后求得结果.故选D.点睛：该题考查的是有关三角函数的求值问题，在解题的过程中，用到的公式有余弦的倍角公式，正弦的差角公式，以及已知正余弦的和，利用平方求得积，将目标式化简，代入求值即可.5．已知，是方程的两根，则（）A. B. 或 C. D.【答案】D【解析】分析：根据韦达定理，利用两角和的正切公式求得的值，根据二倍角的正切公式列过程求解即可.点睛：本题主要考查韦达定理的应用，两角和的正切公式以及二倍角的正切公式，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.6．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法.该作中有题为“李白沽酒:李白街上走，提壶去买酒。
江苏省高考数学考前压轴冲刺(新高考)-专题18 三角函数问题(解答题)(解析版)
专题18 三角函数问题考点预测三角函数与解三角形是江苏高考必考的题型，主要考察正余弦定理，三角函数的图像与性质在解三角形中的灵活运用，常考的知识点如下：1.在ABC ∆中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,CB CB A tan tan 1tan tan tan -+-=.2.在ABC ∆中，B c C b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=,A b B a c cos cos +=.3.ABC ∆的面积RabcR c ab C ab S 4221sin 21===. 4.C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===.5.222222222cos 2,cos 2,cos 2b c a B ac c b a C ab a c b A bc -+=-+=-+=.典型例题1.在△ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2（B +C ）﹣sin 2B ﹣sin 2C +sin B sin C ＝0，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a 的值； （Ⅱ）△ABC 的面积； 条件①：c ＝4，a +b ＝6+2； 条件②：b ＝6，sin （﹣B ）＝﹣．【分析】若选择条件①：（Ⅰ）由已知利用正弦定理即可求解a 的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理可得cos A的值，结合范围A ∈（0，π），可求A 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选择条件②：（Ⅰ）由正弦定理，余弦定理可得cos A的值，结合A∈（0，π），可求A的值，在根据题中条件利用三角函数恒等变换可求sin B的值，即可根据正弦定理可求a的值；（Ⅱ）利用两角和的正弦公式可求sin C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：若选择条件①：c＝4，a+b＝6+2；（Ⅰ）因为sin2（B+C）﹣sin2B﹣sin2C+sin B sin C＝0，可得sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＝bc，则a2＝b2+c2﹣bc＝（6+2﹣a）2+16﹣（6+2﹣a）×4，解得a＝2．（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理可得cos A＝＝，因为A∈（0，π），所以A＝，因为a＝2，a+b＝6+2，所以b＝6，所以S△ABC＝bc sin A＝＝6．若选择条件②：b＝6，sin（﹣B）＝﹣；（Ⅰ）因为sin2（B+C）﹣sin2B﹣sin2C+sin B sin C＝0，可得sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＝bc，在由余弦定理可得cos A＝＝，又因为A∈（0，π），所以A＝，因为sin（﹣B）＝﹣cos B＝﹣，即cos B＝，则B∈（0，），所以sin B＝则由正弦定理，及b＝6，可得a＝＝＝4．（Ⅱ）因为A＝，sin B＝，cos B＝，所以sin C＝sin（A+B）＝+＝，所以S△ABC＝ab sin C＝＝．【知识点】正弦定理、余弦定理2.已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，，b＝2，D为线段AC上一点且AD＝3DC．（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）求|BD|的最大值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理将已知等式化成边之间的关系，再由余弦定理即可求得cos B的值；（Ⅱ）利用平面向量的线性运算及数量积运算可得＝，由（Ⅰ）中结论及利用基本不等式可得，从而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：，∴∴，（Ⅱ）因为D为线段AC上一点且AD＝3DC，所以＝+＝+＝+（）＝+，所以＝＝＝．由（Ⅰ）知：因为：，（当且仅当a＝c＝时取等号）．所以：，得：所以：故|BD|的最大值为．【知识点】正弦定理、余弦定理专项突破一、解答题（共14小题）1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2C＝sin A sin B，＝，a2+b2＝4ab cos C．（Ⅰ）求证：C＝60°；（Ⅱ）若a＝6，求△ABM的外接圆的面积．（Ⅰ）先利用正弦定理将sin2C＝sin A sin B中的角化边，再结合a2+b2＝4ab cos C和余弦定理求得cos C，【分析】进而得角C；（Ⅱ）先证得△ABC为等边三角形，再由正弦定理求得外接圆半径，进而求出外接圆面积．【解答】（Ⅰ）证明：由正弦定理知，＝＝，∵sin2C＝sin A sin B，∴c2＝ab，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∵a2+b2＝4ab cos C，∴c2＝2ab cos C，∴c2＝2c2cos C，∵c≠0，∴cos C＝，∵C∈（0°，180°），∴C＝60°．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，cos C＝，∴a2+b2＝2ab，即a＝b，∴△ABC为等边三角形，又a＝6，且＝，∴AM＝2，在△ABM中，由余弦定理知，BM2＝AB2+AM2﹣2AB•AM cos A＝36+4﹣2×6×2×cos60°＝28，∴BM＝．设△ABM的外接圆半径为R，∵2R＝＝，∴R＝，∴△ABM的外接圆的面积S＝πR2＝π•＝＝．【知识点】余弦定理、正弦定理2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，并且a sin（A+B）＝c sin2A．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）若M为AC的中点，并且BM＝3，求△ABC面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，正弦定理，二倍角的正弦公式化简已知等式，结合范围0＜A＜π，0＜C＜π，可求cos A的值，进而可求A的值．（Ⅱ）由题意可得S△ABC＝2S△ABM＝×AB×AM，设∠AMB＝θ，θ∈（0，），则由正弦定理可得AB＝2sinθ，AM＝2sin（θ+），利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC＝3sin（2θ﹣）+，进而根据正弦函数的性质即可求解其取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（A+B）＝sin C，所以a sin（A+B）＝c sin2A＝a sin C，根据正弦定理可得sin A sin C＝sin C sin2A＝2sin C sin A cos A，0＜A＜π，0＜C＜π，所以cos A＝，所以A＝，（Ⅱ）因为点M为AC的中点，因此S△ABC＝2S△ABM＝×AB×AM，在△ABM中，由正弦定理可得＝＝＝2，因此AB＝2sin∠AMB，AM＝2sin∠ABM，设∠AMB＝θ，θ∈（0，），则AB＝2sinθ，AM＝2sin（θ+），从而S△ABC＝6sinθsin（θ+）＝3sin（2θ﹣）+，当θ∈（0，）时，2θ﹣∈（﹣，），所以S△ABC∈（0，]．【知识点】正弦定理、余弦定理3.已知△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a＝c，A＝，____．①a sin B＝3；②当x＝B时，函数f（x）＝cos2x+sin x cos x+2取得最大值．在①②这两个条件中选择一个补充至上述横线上，求解下述问题：若问题中的三角形存在，能否求出边c的值？若能，请求出边c的值；若不能，请说明理由；若问题中的三角形不存在，请说明理由．【分析】由已知结合余弦定理可得b的值，当补充①至条件中时：分类讨论，利用余弦定理可求sin B，进而可求a的值，可求c的值；当补充②至条件中时：分类讨论，利用余弦定理可求cos B，结合分B∈（0，π），可得B＝，化简函数解析式可得f（x）＝cos（2x﹣）+，利用余弦函数的性质即可求解．【解答】解：因为a＝c，结合余弦定理可得cos A＝＝，整理可得b2﹣bc+c2＝0，即（b﹣c）（b﹣c）＝0，解得b＝c，或c，当补充①至条件中时：当b＝c时，由余弦定理可得cos B＝＝，则sin B＝，再由a sin B＝3，可得a＝6，可得c＝6；当b＝c时，由余弦定理可得cos B＝＝0，则sin B＝1，再由a sin B＝3，可得a＝3，可得c＝3，综上可知三角形存在，且可求得c＝6或3．当补充②至条件中时：当b＝c时，由余弦定理可得cos B＝＝，由B∈（0，π），可得B＝；当b＝c时，由余弦定理可得cos B＝＝0，由B∈（0，π），可得B＝；因为f（x）＝cos2x+sin x cos x+2＝+sin2x+2＝cos（2x﹣）+，要使f（x）取得最大值，只需2x﹣＝2kπ，k∈Z，解得x＝kπ+，k∈Z，所以B＝时，满足条件，综上所述，这样的三角形存在，但这样的三角形彼此相似，有无数多个，故无法确定边长c的值．【知识点】两角和与差的三角函数、余弦定理、正弦定理4.在①；②c sin A＝3；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，____．【分析】若选①根据题意，结合正弦定理，可得b＝a，c＝，结合C＝，运用余弦定理即可求得c＝1，进而可求B，A的值；若选②根据题意，△ABC中，c sin A＝a sin C，即可求得a＝6，进而得到b＝2．运用余弦定理即可求得c＝2，即可得解；若选③由已知利用正弦定理可得a＝b，由余弦定理可得c＝b，可得B＝C＝，A＝，可得a＞b＝c，推出矛盾，可得问题中的三角形不存在．【解答】解：若选①ac＝，因为△ABC中，sin A＝sin B，即b＝a，又ac＝，可得c＝，所以cos C＝＝＝，所以a＝，b＝1，c＝1，B＝C＝，A＝．若选②c sin A＝3，因为△ABC中，c sin A＝a sin C＝a sin＝3，解得a＝6，因为sin A＝sin B，即a＝b，解得b＝2．所以cos C＝＝＝，可得c＝2，所以B＝C＝，A＝．若选③，三边成等比数列，因为，，可得a＝b，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（b）2+b2﹣2×b×b×＝b2，可得c＝b，所以B＝C＝，A＝，所以a＞b＝c，与三边成等比数列矛盾，故问题中的三角形不存在．【知识点】三角形中的几何计算5.已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数的值域；（2）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，若，，△ABC 的面积为，b﹣c＝2，求a的值．【分析】（1）由函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π．求出ω＝2，从而得到f（x）＝cos2x，g（x）＝2sin（2x﹣），由此能求出函数g（x）的值域．（2）由题意得cos2A＝﹣，推导出A，由△ABC的面积为3，推导出bc，再由b﹣c＝2，利用余弦定理能求出a．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π．∴＝π，由ω＞0，得ω＝2，此时f（x）＝cos2x，则g（x）＝2sin（2x﹣），当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，2sin（2x﹣）∈[﹣1m2]，∴函数的值域为[﹣1，2]．（2）由题意得cos2A＝﹣，∵A∈（0，），则得2A∈（0，π），∴2A＝，解得A＝，∵△ABC的面积为3，则得，即＝3，即bc＝12，∵b﹣c＝2，∴由余弦定理得a＝＝＝＝＝4．【知识点】余弦定理、三角函数的周期性6.已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[﹣t，t]上单调递增，求实数t的最大值．【分析】（1）由图象的最大值可得A，由f（0）＝1，可得φ，由f（）＝0，可得ω，从而可求得函数f（x）的解析式；（2）由函数的平移变换可得g（x），由正弦函数的性质求得g（x）的单调递增区间，从而可求得t的取值范围，即可求得t的最大值．【解答】解：由题图可知，A＝2，又f（0）＝1，所以2sin（ω•0+φ）＝1，即sinφ＝，又|φ|＜，所以φ|＝，因为f（）＝0，所以2sin（ω•+）＝0，结合题图可知ω•+＝2kπ，k∈Z，即ω＝，k∈Z，又T＞，所以0＜ω＜，所以ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）因为将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，所以g（x）＝2sin（4x+）．令﹣+2kπ≤4x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+≤x≤+，k∈Z，因为g（x）在区间[﹣t，t]上单调递增，所以，解得t≤，所以实数t的最大值为．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换7.在①；②2a cos A＝b cos C+c cos B，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知_______．（1）求角A；（2）设△ABC的面积为S，若，求面积S的最大值．【分析】（1）首先任选择一个条件，然后根据正弦定理进行边角互化，再根据三角恒等变换，化简求值．（2）由（1）得A＝，利用余弦定理和基本不等式求bc的最大值，再求面积的最大值．【解答】解：（1）若选条件①，∵，∴由正弦定理得，∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴＝，，∵sin C≠0，∴，∵0＜A＜π，∴；若选条件②，∵2a cos A＝b cos C+c cos B，∴由正弦定理得2sin A cos A＝sin B cos C+sin C cos B，即2sin A cos A＝sin（B+C）＝sin A，，∵0＜A＜π，∴；若选条件③，∵，∴由正弦定理得，∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴＝sin A cos C+cos A sin C，，∵sin C≠0，∴，∵0＜A＜π，∴；所以不管选择哪个条件，．（2）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，，即b2+c2﹣bc＝3，∵b2+c2≥2bc，∴2bc﹣bc≤3，即bc≤3，当b＝c时等号成立．∴bc的最大值为3，∵，∴．【知识点】正弦定理、两角和与差的三角函数8.已知f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x＝时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）＝f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，求h（x）在[0，]上的值域．【分析】（1）由函数的最值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由周期求出ω，可得f（x）的解析式，再根据y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式．（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数图象及性质即可得出结论．【解答】解：（1）由题意可得A＝1，由函数过，得，结合范围，由，∵0＜ω＜4，∴可得：ω＝2，可得：，∴．（2）∵，由于，可得：，∴h（x）在上的值域为[﹣1，2]．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的最值9.如图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝AB＝1，∠BAD＝θ，且△BCD为等边三角形．（1）将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；（2）求S的最大值及此时θ的值．【分析】（1）在△ABD中，根据余弦定理可表示BD，根据S＝ab sin c可表示出△ABD，△BCD的面积，从而表示出四边形ABCD的面积；（2）由（1）可把四边形面积S化为S＝A sin（ωx+φ）+B形式，根据三角函数的有界性可求其最值．【解答】解：（1）BD＝＝，S△ABD＝×1×1×sinθ＝sinθ，S△BCD＝×BD2＝（2﹣2cosθ）＝﹣cosθ，∴S ABCD＝sinθ﹣cosθ+（0＜θ＜π）．（2）由（1）得S ABCD＝sinθ﹣cosθ+＝sin（θ﹣）+，∵0＜θ＜π，∴﹣＜θ﹣＜，当θ﹣＝时，即θ＝时，S有最大值1+．【知识点】三角函数的最值10.已知函数f（x）＝cos x．（1）若α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝f（2x）﹣3，若对任意x都有g2（x）≤（2+a）g（x）﹣2﹣a恒成立，求实数a的最大值；（3）已知，α，β∈（0，π），求α及β的值．【分析】（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想，可得cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝，代入已知数据计算即可；由于α，β为锐角，所以2α∈（0，π），α+β∈（0，π），再结合同角三角函数的平方关系和商数关系，可依次求得tan2α＝，tan（α+β）＝﹣2，然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知tan（β﹣α）＝tan（α+β﹣2α）＝，代入已得数据进行计算即可；（2）g（x）＝f（2x）﹣3＝cos2x﹣3，原问题可转化为（cos2x﹣4）a≥（cos2x﹣3）2﹣2（co2x﹣3）+2恒成立，设cos2x﹣4＝t，则t∈[﹣5，﹣3]，所以at≥（t+1）2﹣2（t+1）+2＝t2+1，则a≤t+．令y＝t+，结合对勾函数的性质即可得函数y的最小值，从而得解；（3）由题可知，cosα+cosβ﹣cos（α+β）＝，因为α，β∈（0，π），所以α＝β＝．【解答】解：（1）∵tanα＝，∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝＝＝，∵α，β为锐角，即，∴2α∈（0，π），α+β∈（0，π）．∴sin2α＝＝，∴tan2α＝，∵f（x）＝cos x，∴f（α+β）＝cos（α+β）＝，∴sin（α+β）＝＝，∴tan（α+β）＝＝﹣2，∴tan（β﹣α）＝tan（α+β﹣2α）＝＝＝．综上，cos2α＝，tan（β﹣α）＝．（2）g（x）＝f（2x）﹣3＝cos2x﹣3，∵对任意x都有g2（x）≤（2+a）g（x）﹣2﹣a恒成立，∴（cos2x﹣3）2≤（2+a）（cos2x﹣3）﹣2﹣a恒成立，即（cos2x﹣4）a≥（cos2x﹣3）2﹣2（cos2x﹣3）+2恒成立，设cos2x﹣4＝t，则t∈[﹣5，﹣3]，∴at≥（t+1）2﹣2（t+1）+2＝t2+1，则a≤t+．设y＝t+，由对勾函数的性质可知，函数y在区间[﹣5，﹣3]上为增函数，∴y＝t+≥﹣5﹣＝，∴a≤，故a的最大值为．（3）∵，∴cosα+cosβ﹣cos（α+β）＝，∵α，β∈（0，π），∴α＝β＝．【知识点】二倍角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的最值11.如图，某校打算在长为1千米的主干道AB一侧的一片区域内临时搭建一个强基计划高校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域ACB（∠ACB为直角）和以BC为直径的半圆形区域组成，点P（异于B，C）为半圆弧上一点，点H在线段AB上，且满足CH⊥AB．已知∠PBA＝60°，设∠ABC＝θ，且θ∈[，）．初步设想把咨询台安排在线段CH，CP上，把宣传海报悬挂在弧CP和线段CH上．（1）若为了让学生获得更多的咨询机会，让更多的省内高校参展，打算让CH+CP最大，求该最大值；（2）若为了让学生了解更多的省外高校，贴出更多高校的海报，打算让弧CP和线段CH的长度之和最大，求此时的θ的值．【分析】（1）利用直角三角形的边角关系求出BC、CH和CP的表达式，再计算CH+CP的最大值；（2）取线段BC的中点O，连接OP，计算和线段CH的长度之和y，构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求得弧CP和线段CH的长度之和最大时对应θ的值．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，BC＝1×cosθ＝cosθ，在Rt△CBH中，CH＝cosθ×sinθ＝sinθcosθ；在Rt△CBP中，CP＝cosθsin（﹣θ）；所以CH+CP＝sinθcosθ+cosθsin（﹣θ）＝sinθcosθ+cosθ（cosθ﹣sinθ）＝sinθcosθ+cos2θ＝sin2θ+×＝sin（2θ+）+，因为θ∈[，），所以≤2θ+＜π，所以当且仅当2θ+＝，即θ＝时，CH+CP最大，最大值为千米；（2）取线段BC的中点O，连接OP，如图所示，则∠COP＝2∠CBP＝2（﹣θ）＝﹣2θ；由（1）知，CO＝BC＝cosθ，所以的长为cosθ•（﹣2θ）＝cosθ﹣θcosθ；由（1）知，CH＝sinθcosθ，所以和线段CH的长度之和为y＝cosθ﹣θcosθ+sinθcosθ＝cosθ（﹣θ+sinθ），θ∈[，）；设f（θ）＝﹣θ+sinθ，θ∈[，），g（θ）＝cosθ，θ∈[，），则y＝f（θ）g（θ）；因为f′（θ）＝﹣1+cosθ，θ∈[，），所以f′（θ）＝﹣1+cosθ＜0，所以函数f（θ）在区间[，）上单调递减，所以＜f（θ）≤f（），易知函数g（θ）在区间[，）上也是单调递减函数；所以g（θ）≤g（），所以f（θ）g（θ）≤f（）•g（）；所以当且仅当θ＝时，弧CP和线段CH的长度之和最大．【知识点】三角函数模型的应用12.如图，在凸四边形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC⊥DC，CD＝AC．设∠ABC＝θ．（1）若θ＝30°，求AD的长；（2）当θ变化时，求BD的最大值．【分析】（1）在△ABC中，利用余弦定理可求AC，进而在△ACD中，利用勾股定理可求AD的值．（2）设AC＝x，CD＝x，在△ABC中，利用余弦定理可求x2＝4﹣2cosθ，利用正弦定理可得sin∠ACB＝，进而利用三角函数恒等变换的应用，余弦定理可求BD＝，结合范围θ∈（0，π），利用正弦函数的图象和性质可求BD的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，∴AC2＝1+3﹣2cos30°＝1，∴AC＝1…（2分）在△ACD中，AD2＝AC2+DC2＝4AC2＝4，∴AD＝2．…（4分）（2）设AC＝x，CD＝x，在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，x2＝4﹣2cosθ，…（5分）∵＝，∴sin∠ACB＝．…（7分）在△BCD中，BD＝＝＝＝＝＝，…（10分）∵θ∈（0，π），∴θ﹣∈（﹣，），当θ﹣＝，θ＝时BD取到最大值3．…（12分）【知识点】正弦定理、余弦定理13.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）若b＝，C＝120°，求△ABC的面积S；（2）若b：c＝2：3，求．【分析】（1）由正弦定理化简已知条件，解得a，又知b，C，由三角形面积公式ab sin C可求得面积；（2）由已知条件可得a，b，c的比例关系，由倍角公式和正弦定理，余弦定理化简即可得结果．【解答】解：（1）由正弦定理知，c sin B＝b sin C；由2a sin C＝c sin B，得2a sin C＝b sin C，故2a＝b，∵b＝，∴a＝6；又C＝120°，△ABC的面积S＝＝＝18，故△ABC的面积S为18．（2）由2a＝，b：c＝2：3，∴，∴，＝＝＝2cos A﹣；＝＝；∴2cos A﹣＝1．故．【知识点】解三角形14.已知函数f（x）＝（a sin x+b sin2x）+a cos x﹣b cos2x，a，b∈R．（1）若a＝b＝1，求f（x）的值域；（2）若存在b，使得f（x）+4≥0恒成立，求a的最大值．【分析】（1）利用三角函数的三角变换，将f（x）化简，再利用二次函数的性质，求出f（x）的最值，求出值域；（2）f（x）+4＝2a sin（x+）+2b sin（2x﹣）＝4b sin2（x+）+2a sin（x+）﹣2b＝4b sin2（x+）+2a sin（x+）﹣2b+4≥0恒成立，分b＝0及b≠0分类讨论恒成立的条件来判断a的取值范围，进而求出其最大值．【解答】解：（1）由题设知：f（x）＝a（sin x+cos x）+b（sin2x﹣cos2x）＝2a sin（x+）+2b sin（2x﹣），又a＝b＝1，故f（x）＝2sin（x+）+2sin[2（x+）﹣]＝2sin（x+）﹣2cos[2（x+）]＝2sin（x+）﹣2[1﹣2sin2（x+）]，即f（x）＝4sin2（x+）+2sin（x+）﹣2＝4[sin（x+）+]2﹣，∵令t＝sin（x+）∈[﹣1，1]，∴f（t）＝4（t+）2﹣，抛物线开口向上，对称轴t＝﹣∈[﹣1，1]，因为|1﹣（﹣）|＞|﹣1﹣（﹣）|，所以当t＝﹣时，f（t）最小且为﹣，当t＝1时，f（t）最大且为4（1+）2﹣＝4，所以f（x）∈[﹣，4]．故f（x）的值域为[﹣，4]；（2）由（1）易知：f（x）＝2a sin（x+）+2b sin（2x﹣）＝4b sin2（x+）+2a sin（x+）﹣2b，依题意存在b，使得4b sin2（x+）+2a sin（x+）﹣2b+4≥0恒成立，若b＝0，则2a sin（x+）+4≥0恒成立，∴，解得﹣2≤a≤2若b≠0，则，∴，∴，解得﹣，综上可知a的最大值为．故答案为：（1）[﹣，4]；（2）【知识点】三角函数的最值、两角和与差的三角函数。
两角及与差及二倍角公式讲义,例题含含答案
两角和与差及二倍角公式（答案）两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，认识它们的内在联.2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2. 可以利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回首】1．两角和与差的三角函数sin( ) ； sin( ) ；cos( ) ； cos( ) ；tan( ) ； tan( ) ；2．二倍角公式：在sin( ),cos( ), tan( ) 中令，可得相应的二倍角公式。
sin2 ；cos2 = =tan 2 。
3．降幂公式sin 2 ；cos2 .注意：二倍角公式拥有“升幂缩角“作用，降幂公式拥有“降幂扩角”作用4．协助角公式y a sin x bcos x a2 b2 sin(x ) ，（此中a, b不可以同时为0）证明： y sin x cos x 2 2 ( a bcos x)a b sin xa2 b 2a2 b2a2 b2 (cos sin x sin cos x)a2 b2 sin( x )此中， cosa， sinb， tanb终边过点 ( a, b)2 2且角a2 2ab a b在使用时，不用死记结论，而重在这种缩短（合二为一）思想如： sin cos ； sin cos 。
5.公式的使用技巧（ 1）连续应用：sin( ) sin[( ) ] sin( )coscos()sin（ 2）“ 1”的代换：sin2 cos2 1， sin2 1,tan 14（ 3）缩短代换： y sin x cos x a 2 b 2 sin( x) ，（此中 a, b 不可以同时为0）（ 4）公式的变形：tan()tan tan tan( ) tantantan() tan tan1 tan tantan() tan tan tan( ) tantantan() tan tan1 tan tan如： tan95otan 35o3 tan 95o tan 35o。
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
高考数学两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
－23×12＋ 35× 23＝
15－2 6.
故选 D. 答案：D
(2)4sin 80°－csoins 1100°°＝(
A. 3
B.－ 3
) C. 2
D.2 3－3
解析：因
4sin
80°－csoins
1100°°＝4sin
80°sin10 °－cos sin 10°
10°＝
2sin
20°－cos sin 10°
10°＝2sin30°－sin101°0°－cos
【规律方法】三角函数的给角求值，关键是把待求角用已 知角表示：
①已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差； ②已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系” 或“互余、互补”的关系.
考点 2 给值求值问题 例 2：(1)(2016 年新课标Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4＝________.
1.两角和与差的三角函数
三角函数
两角和
正弦
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
余弦
cos(α＋β)＝_c_o_s_α__co_s__β_－__s_in__α_si_n__β_
正切
tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ
简写形式 Sα＋β Cα＋β
Tα＋β
(续表) 三角函数 正弦 余弦
考点 3 给值求角问题
例 3：已知 A，B 均为钝角，且 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，求 A＋B 的值.
解：∵A，B 均为钝角，且 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，
∴cos A＝－
1－sin2A＝－
2 ＝－2 5
专题18 三角恒等变换 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题18三角恒等变换知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式①sin 22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-；知识点三：降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===知识点四：半角公式sin22αα==sin 1cos tan.21cos sin aαααα-==+知识点五．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中abb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）．【方法技巧与总结】1．两角和与差正切公式变形)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±；1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ---=++-=⋅βαβαβαβαβα．2．降幂公式与升幂公式ααααααα2sin 21cos sin 22cos 1cos 22cos 1sin 22=+=-=；；；2222)cos (sin 2sin 1)cos (sin 2sin 1sin 22cos 1cos 22cos 1αααααααααα-=-+=+=-=+；；；．3．其他常用变式αααααααααααααααααααsin cos 1cos 1sin 2tan tan 1tan 1cos sin sin cos 2cos tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222222222-=+=+-=+-=+=+=；；．3.拆分角问题：①=22αα⋅；=(+)ααββ-；②()αββα=--；③1[()()]2ααβαβ=++-；④1[()()]2βαβαβ=+--；⑤()424πππαα+=--．注意特殊的角也看成已知角，如()44ππαα=--．【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明题型二：给式求值题型三：给值求值题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；(2)利用公式()C αβ-推导：①和角的余弦公式()C αβ+，正弦公式()S αβ+，正切公式()T αβ+；②倍角公式(2)S α，(2)C α，(2)T α.例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数22sin 26cos 3426cos34+ ；22sin 39cos 2139cos 21+ ；()()22sin 52cos 11252cos112-+- ；22sin 30cos 3030cos30+ .（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.例3．（2022·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O 中，设AOx α∠=，BOx β∠=，AOB αβ∠=-，（1）利用单位圆､向量知识证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos()5αβ-=-，5tan 12α=-，求cos β的值例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，考虑点(1,0)A ，1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，(cos(),sin())P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；（2）利用（1）的结果证明：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，并计算sin 37.5cos37.5︒︒⋅的值.【方法技巧与总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.题型二：给式求值例5．（2022·全国·高三专题练习）已知sin α=()cos αβ-=且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（）ABCD例6．（2020·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（）A ．13B ．13-C ．23D ．23-例7．（2020·全国·高三专题练习）若7cos(2)38x π-=-，则sin()3x π+的值为（）.A ．14B ．78C ．14±D ．78±（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）设sin()sin 6πββ++=sin()3πβ-=（）AB ．12C ．12-D．例9．（2022·全国·模拟预测（文））已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 25β=，()4cos 5αβ+=，则cos α=___________.例10．（2022·上海静安·模拟预测）已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2α的值为_____________．例11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若0θθ=时，()2sin 2cos f θθθ=-取得最大值，则0sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.题型三：给值求值例12．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin 5α=-，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα-=+（）A ．12B ．12-C ．2D ．-2例13．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．78-B ．78C ．D 例14．（2022·湖北·模拟预测）已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（）A ．B ．C ．12D 例15．（2022·全国·模拟预测）已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2325B ．2325-C D ．例16．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-例17．（2022·广东茂名·模拟预测）已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．12D（多选题）例18．（2022·江苏·高三专题练习）已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+=则（）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-=D ．cos cos αβ=【方法技巧与总结】给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.题型四：给值求角例19．（2022·全国·模拟预测）已知263ππα<<，sin 4sin cos tan 15315315πππππαα⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则α=______．例20．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知3sin 44ππαβ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3,,0,444πππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求αβ-的值为_____．例21．（2022·河北石家庄·一模）已知角π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin sinπ12tan π12cos cos 12αα-=+，则α=______.例22．（2022·上海市大同中学高三开学考试）若()0,απ∈，且cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则α的值为___________.例23．（2022·全国·高三专题练习）若sin 2α=()sin βα-=且ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是______．例24．（2022·吉林·延边州教育学院一模（理））若sin 2α=，()sin βα-=且π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+=（）A ．7π4B ．π4C ．4π3D ．5π3例25．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知α、β都是锐角，且223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，那么α、β之间的关系是（）A ．4παβ+=B ．4αβ-=πC ．24παβ+=D ．22παβ+=例26．（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知11tan ,tan ,37αβ==-且,(0,)αβπ∈，则2αβ-=（）A ．4πB ．4π-C ．34π-D ．34π-或4π【方法技巧与总结】给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.题型五：正切恒等式及求非特殊角例27．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若角α的终边经过点()sin 70,cos70P ︒︒，且tan tan 2tan tan 2m αααα++⋅=，则实数m 的值为（）A．B．CD例28．（2021·重庆八中高三阶段练习）sin10︒︒=（）A ．14B C ．12D例29．（2020·=（）A ．1BC D ．例30．（2022·全国·高三专题练习）()tan 30tan 70sin10︒+︒︒=___________.例31．（2022·江苏南通·高三期末）若11sin α=，则α的一个可能角度值为__________.例32．（2022·江苏扬州·模拟预测）1tan 751tan 75-︒=+︒___________．例33．（2022·贵州黔东南·一模（文））若()1tan 3αβ+=，()1tan 6a β-=，则tan 2α=___________.例34．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒=______．【方法技巧与总结】正切恒等式：当A B C k π++=时，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅．证明：因为tan tan tan()1tan tan A BA B A B++=-，tan tan ()C A B =-+，所以tan tan tan (1tan tan )A B C A B +=--故C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++．【过关测试】一、单选题1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知角α与角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的终边关于x 轴对称．若3cos 5α=，则()()cos cos αβαβ+-=（）A ．725-B ．15C ．15-D ．7252．（2022·全国·模拟预测（理））已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=，则cos()αβ-=（）A ．0B ．12C D ．13．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知πtan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()1tan 3αβ+=，则tan β=（）A ．17-B ．17C ．1D ．2或64．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒，若24m n +=，=（）A ．－4B ．－2C ．2D ．45．（2022·山东烟台·三模）若21π2cos cos 23αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．BC ．D 6．（2022·全国·模拟预测（文））设角α，β的终边均不在坐标轴上，且()tan tan tan αββα-+=，则下列结论正确的是（）A ．()sin 0αβ+＝B ．()cos 1αβ-＝C ．22sin sin 1αβ+=D ．22sin cos 1αβ+=7．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知15αβ+= ，则1tan tan tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβ++-=---（）A ．BC ．1D8．（2022·全国·高三专题练习）若10,0,cos ,cos 224342ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2βα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A B ．C D ．二、多选题9．（2022·海南海口·二模）已知(),2αππ∈，tan sin tan 22αβα==，则（）A ．tan α=B ．1cos 2α=C ．tan β=D ．1cos 7β=10．（2022·河北邯郸·二模）下列各式的值为12的是（）.A ．sin17π6B ．sinπ12cos π12C ．22cossin 121π2-πD ．2πtan 8π1tan 8-11．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知α，β，0,2πγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2παβγ++=，则（）A．若sin cos αα+=，则tan 1α=B ．若tan 2α=，则sin()βγ+=C ．tan α，tan β可能是方程2670x x -+=的两根D ．tan tan tan tan tan tan 1αββγβα++=12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知()4cos cos 25αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（）A ．3sin 25α=B ．()cos αβ-=C．cos cos αβ=D ．1tan tan 3αβ=三、填空题13．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．14．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知ππ0sin 24αα⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭sin 1tan αα=+________.15．（2022·3cos()cos()12παπα-++=-，则cos(23α2π-=_____________.16．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）()()()sin 75cos 4515θθθ++++=__________.四、解答题17．（2022·江苏南京·模拟预测）已知02πα<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求sin α的值；(2)若02πβ-<<，cos 24βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭αβ-的值．18．（2022·江西·高一期中）已知角α为锐角，2πβαπ<-<，且满足1tan23=α，()sin βα-=(1)证明：04πα<<；(2)求β.19．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）（1）已知tan 2θ=-，求sin (1sin 2)sin cos θθθθ++的值；（2）已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，且α，(0,)βπ∈，求2αβ-．20．（2022·江西·高一阶段练习）在①4tan 23α=，②sin α补充到下面的问题中，并解答．已知角α是第一象限角，且．(1)求tan α的值；(2)求()π3πsin 2cos πcos 22ααα⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．21．（2022·北京市第九中学高一期中）已知1tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求(1)求sin α的值；(2)求()()()2212sin πcos 2π5πsin sin 2αααα+---⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值；(3)若()sin αβ+cos β的值.22．（2019·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））()1的值；()2已知30,,,242ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1tan 2αβ-=，17tan β=-，求2αβ-的值．23．（2020·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，满足222sin cos sin cos A B A B C -=-．（1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos cos A B A B ααα++=，tan α的值.。
2019届高考数学第一轮专题复习测试卷第十八讲两角和与差及二倍角公式
--数学试卷第十八讲两角和与差及二倍角公式一、选择题：(本大题共6 小题，每小题6 分，共36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)7ππ41．已知cos α－＋sinα＝3，则sin α＋656的值是() 2 3B.32．－A 5544．－C5D.54πcos解析：∵α－6＝sinα＋35433341∴，3＝＋sinαcosα＋sinα＝cosα52522233，ππ44＋α＝，＝α＋3，∴sin 563 sin56π47.＝－π∴sin α＋＝－sin ＋α665C答案：ππ532α－(的值是α－sinα－，则cos π＋66 cos2．已知＝)36 32＋3＋2．－BA.333＋3－22－ D.C.33π5α－－α＝cos ππ＋66 cos解析：∵π3.＝－α－＝－cos 63ππ2122，αα－－663＝＝1－3 cos而sin 1－＝32＋3－2所以原式＝－.＝－333B答案：105、，且αβ的值为＋β为锐角，则α＝sinβ，＝sin3．若α5()10ππ．－A4B.4----数学试卷ππ D.．±C345 252＝5 －1α＝cos，解法一：依题意有解析：5 10 10，＝－1β＝cos321010253105102－×5＞0. cos(α＋β)＝∴＝×251010π.β＝α＋＜π，∴，β都是锐角，∴0＜α＋β∵α425，sin α＝＜解法二：∵α，β都是锐角，且25 210＝sinβ，＜210π＜α，β∴0＜π，2＜＜，0α＋β4 2 5 5 ＝2－1∴cosα＝，551010 3 2，＝－＝1cosβ1010251025310.＋10 ＋sin( αβ)＝52 ＝××510π.＝α＋β∴4B答案：54 () ，则cosC 的值是，cosB＝＝4．在△ABC 中，若cosA1355616B.A. 6565165616或C.．－D6565 65π45πsinA，从而B0，＜＞cosB＞0，＝0，得＜0 A＜＜21325＝，B0，＜＜πcosAπ＜＜中，解析：在△ABC 0A 312，sinB＝，＝135B) cosC所以＋(A－πcos[ ＝B)] cos(A＝－＋----数学试卷·cosB＝sinA·sinB－cosA1653124×－× A.5135＝，故选6513＝A答案：)θ的值等于(，则sin2θ＋sin5．若cos2θ＋cosθ＝03．±A．0B3或±D．0 C．0或312；＝－，所以cosθ1 或0.当cosθ＝－1 时，有sinθ＝＝解析：由cos2θ＋cosθ0 得2cos＋θ－1 cosθ＝0231或＝0 θθ＝sinθ(2cos＋1)θθ时，有sin＝± .于是sin2＋sin22 3.3或－当cosθ＝D答案：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握评析：公式，并注意不能出现丢解错误．) )6．(2019 ·口质检海在△ABC 中，已知sin(A－ABC ，则△是( B)sinB B)cosB＋cos(A－≥1．锐角三角形BA ．直角三角形．等边三角形DC．钝角三角形，又－B)sinB＝sin[( A B) ＋B] 1＝sinA≥－－解析：sin(A B)cosB＋cos(A°，A＝1，＝90sinA 1sinA≤，∴为直角三角形．ABC 故△A答案：) 24 分，把正确答案填在题后的横线上．分，共6 本大题共二、填空题：(4 小题，每小题sin20°－2cos10 °．的值是________7.°sin70°)202cos(30 －°°－sin20原式＝解析：°sin70°·°sin20 sin20 )°－sin30 °＋cos20 2(cos30 ·°＝°sin70°3cos20 3.＝＝°cos203答案：----数学试卷cos2απππ12α－π＝则________. )＝∈0∈0，，( α8．已知cos ，α44134＋αsin422αsincosα－αcos2＝解析：∵2πsin ＋α4(sinα＋cosα)2(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝2(sinα)α＋cos2π＝2(cosα－sin α)＝2sin －α.4πππ0，－α∈0， .444，则∈又αππ125由cos －α＝，则sin －α＝.13134410∴原式＝.1310答案：139．(1＋3tan10 )°·cos40 °＝________.3sin10 °)cos403tan10°＝°1＋cos40cos10°＋解析：(1°3sin10 ＋°cos10 °°cos40 ·＝°cos10)30°2sin(10 ＋°·cos40 °＝cos10°2sin40 cos40°°sin80°＝＝1.＝°°cos10cos10答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin( α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵α、β均为锐角∴sinβ＋cosβ≠0，必有cosα＝sinαπ. ＝∴α4----数学试卷π答案：4)三、解答题：(本大题共3 小题，11、12 题13 分，13 题14 分，写出证明过程或推演步骤．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相2 52交于A、B 两点．已知A、B 的横坐标分别为， . 510(1)求tan(α＋β)的值；的值．βα＋2(2)求225.∵α，β为锐5角，＝由已知得cosα解：10＝β，cos72522.＝β，sin105cos＝1－∴sinα＝1－cos α＝β1.＝，tanβ∴tanα＝721tanα＋tanβ7＋2＝－3.＝＝α＋β)(1)tan( 1tanβ1－tanα·71×－212tanβ2×24 ＝(2)∵tan2β＝，＝21 3β1－tan21－24tanα＋tan2β7＋3＝－1.4＝＝＋2β)∴tan(α1－tanα·tan2β1－7×33π∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π，∴α＋2β＝ .42π131< 0< ，且)α，cos(－β＝β.＝cosα．已知12<α1472的值；tan2求(1)α----数学试卷(2)求β的值．分析：由已知可求sin α，进而可求tanα，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cosβ.1π解：(1) 由cosα＝，0<α<，2714322.－177 ＝α－cos sinα＝1得＝4αsin 73＝α∴tan3.×＝4＝αcos1722tan×α＝tan2α＝于是＝－8 34 3.2247 (4 3)－α11－tanππ<β0<α－，得.2<<α(2)由0<β213又∵cos(α－β)＝，14 3 32β)＝－1－cos(α∴sin(α－β)＝14由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin( α－β)11343331××.＝＋14 ＝27147πβ＝所以.33πππ533＋β＝α＝α<π，cos －0<13．已知β<<4 444，求sin( α＋β)，sin的值．135ππ3，< <α解：∵443π∴－πππ<－α<－，－<－α<0.444243ππ.＝－α－＝，∴sin cos 又∵－α4545ππ3π3.<βπ∴< ＋，∵又0<β< 444π35＋β＝，134sin又∵----数学试卷3π12，13β＝－∴cos ＋4π∴sin(α＋β)＝－cos ＋(α＋β)23ππ＋－α－β44 cos＝－3π3πππ＝－cos ＋βcos－α－sin ＋βsin －α4444 3 5124××－－＝－13513－5362056.＝＝＋65 65 65评析：三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(1)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公(2)式把“所求角”变成“已知角”．常见的配角技巧(3)παππ11；α＝[( α＋β)＋(α－β)] ；β＝[(α＋β)－(α－βα－(βα；)α＝2α＝·；α(＋β－β＝－β))] ；＋α＝－－α .222424--。
专题18 解三角形综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）3B π=；（2）(,82． 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A C A B A +=． 因为sin A ≠0，所以sin sin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B =． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+． 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦专题18 解三角形综合定理求解），最后考查△ABC 是锐角三角形这个条件的利用。
考查的很全面，是一道很好的考题．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知sin cos 0A A =，a，b =2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．【答案】（1）4c = ；（2【解析】（1）由已知可得tan A =2π3A =． 在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=． 解得6c =-（舍去），4c =．（2）由题设可得π2CAD ∠=，所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=． 故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅． 又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=，所以ABD △【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【命题意图】主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题．主要考查考生的数学运算能力．【命题规律】考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用．解三角形是高考的一个必考热点，多为解答题，有时也以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．主要命题角度有：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形面积或判断三角形形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何、天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类考题在近两年高考中虽没涉及，但此类题深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形与其他知识相交汇问题，常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识相交汇，这一直是高考考查的重点和热点．此类问题出现在解答题的第二问中，属于中档题．【知识总结】1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则2．三角形中的常见结论在△ABC中，常有下列结论：（1）A+B+C=π．（2）大边对大角，大角对大边，如a>b⇔A>B⇔sin A>sin B．（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（4）有关三角形内角的三角函数关系式：sin （A+B ）=sin C ；cos （A+B ）=–cos C ；tan （A+B ）=–tan C ；sin 2A B +=cos 2C ；cos 2A B +=sin 2C ． （5）在△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列⇔B=π3，A+C=2π3． （6）在斜△ABC 中，tan A+tan B+tan C=tan A ·tan B ·tan C ．3．三角形的面积公式（1）已知三角形一边及该边上的高：S=12ah （h 表示边a 上的高）； （2）已知三角形的两边及其夹角：S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A ；（3）已知三角形的三边：（p=12（a+b+c ））； （4）已知三角形的三边及内切圆半径：S=12r （a+b+c ）（r 表示三角形内切圆半径）． 【方法总结】1．判断三角形的形状，主要有如下两种方法：（1）角化边．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，如：①若a=b ，则三角形为等腰三角形；②若c 2=a 2+b 2，则三角形为以角C 为直角的直角三角形；③若c 2>a 2+b 2，则三角形为以角C 为钝角的钝角三角形；④若c 2<a 2+b 2，则只能得到三角形中角C 为锐角，如果同时有a 2<c 2+b 2，b 2<a 2+c 2都成立，此三角形为锐角三角形；⑤有时可能得到两个结论a=b ，且c 2=a 2+b 2，此时三角形为等腰直角三角形．化简过程中不能随便约分，要把关系找充分，从而正确判断三角形的形状．（2）边化角．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，常见的关系有：①sin 2A=sin 2B ，即A=B 或A+B=π2，三角形为等腰三角形或直角三角形； ②A+B=π2，三角形为以角C 为直角的直角三角形； ③A=B=C ，三角形为等边三角形．在这里要注意应用A+B+C=π这个结论，从而判断出三角形的形状． 注意：（1）判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断．注意不要轻易两边同除以一个式子．（2）要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．2．与三角形面积有关的问题主要有两种：一是解三角形求出有关量，利用公式求面积；二是将面积作为已知条件之一，与正弦定理和余弦定理一起求解三角形中的其他量．解题时主要应用三角形面积公式S=12ab sin C ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，因此可以将正弦定理和余弦定理综合起来求解问题．3．解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．注意：（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．（2）注意题目中的隐含条件，如A+B+C=π，0<A<π，b –c<a<b+c ，三角形中大边对大角等．1．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知在ABC △中．,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2228a b c +-=，ABC △的面积为（1）求角C 的大小；（2）若c =，求sin sin A B +的值．【答案】（1）π3；（2）32．【解析】（1）由ABC △的面积为1sin 2ab C = 由2228a b c +-=及余弦定理可得2cos 8ab C =，故tan 3C ==π； （2）∵,2cos 8,83C ab C ab ==∴=π，又2228,a b c c +-==6a b +=， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==， 得()sin sin sin 3sin sin 2a C b C C A B a b c c c +=+=+=． 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．2．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】如图，在ABC △中，4AB =，点D 在边BC的延长线上，已知7cos 9CAD =∠，AC AD ==（1）求sin B 的值；（2）求ABC △的面积．【答案】（1）sin 3B =；（2）【解析】（1）在A C D △中，2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠729=+-，所以3CD =， 在ACD △中，221cos 23AC CD AD ACD AC CD +-∠==⋅． 因为()0,ACD ∠∈π，所以sin 3ACD ∠=，所以()sin sin sin ACB ACD ACD ∠=π-∠=∠=． 在ACB △中，sin sin AC AB B ACB=∠．所以3sin 4B ==，（2）()1cos cos cos 3ACB ACD ACD ∠=π-∠=-∠=-． 在ABC △中，2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠．所以2100BC +-=，解得BC =所以ABC △的面积为11sin 422AB BC B ⋅=⨯= 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理、以及三角形的面积公式即可，属于常考题型．3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222333b c a +-=．（1）求sin A ；（2）若3sin sin c A B =，ABC △，求ABC △的周长．【答案】（1）1sin 3A =；（2）2+【解析】（1）因为222333b c a +-=，所以2223b c a +-=，所以222cos 23b c a A bc +-==，从而1sin 3A ===．（2）因为3sin sin c A B =，所以3ac =，即b =．因为ABC △，所以1sin 2bc A =即21123=24c =，解得2c =． 【名师点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题．4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos b B a A A B -=，a b ¹．（1）求角C ；（2）若c =ABC △的中线2CD =，求ABC △的面积．【答案】（1）π3C =；（2）S =【解析】（1）由sin sin cos cos b B a A A B -=-及正弦定理得，22sin sin B A -cos cos A A B B =，∴1cos21cos222B A --- A B =，cos2cos2A A B B -=-， 即2sin 22sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 又a b ≠， ∴2266A B ππ⎛⎫⎛⎫-+-=π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23A B π+=， ∴()3C A B π=π-+=． （2）由12CD CA CB =+可得：22216CA CB CA CB ++⋅=， 即2216a b ab ++=，①又由余弦定理222222cos 8c a b ab C a b ab =+-=+-=，②由①②两式得4ab =，∴ABC △的面积1sin 2S ab C === 【名师点睛】本题考查正余弦定理的应用及三角形的面积公式，解题的关键是根据需要进行适当的变形，逐步达到求解的目的，属于基础题．5．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】如图所示，在平面四边形ABCD 中，2BC CD ==，BCD △的面积是2．（1）求BCD ∠的大小；（2）若260ABD ACB ∠=∠=o ，求线段AD 的长．【答案】（1）90︒；（2）AD =【解析】（1）在BCD △中，2BC CD ==，12BCD S =△sin 2BC CD BCD ⨯⨯⨯=，解得sin 1BCD =， 90BCD ︒∴∠=．（2）由2BC CD ==，90BCD ︒∠=，得到45,CBD BD ︒∠==260ABD ACB ︒∠=∠=，45,45CBD CAB ︒︒∠=∴∠=，在ABC △中，由正弦定理有：sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即2sin30sin45AB ︒︒==在BAD △中由余弦定理有：(22226AD ︒=+-⨯=，AD ∴=【名师点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据． 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ，当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答．6．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()222222(2sin sin )sin a b cA B a c b B +--=+-． （1）求角C ；（2）若c =ABC △的中线2CD =，求ABC △的面积．【答案】（1）π3C =；（2）S =【解析】（1）∵()()2222sin sin a b c A B +--= ()222sin a c b B +-． ∴()2cos 2sin sin 2cos sin ab C A B ac B B -=．∴()2sin cos sin sin A C B C A =+=，又在ABC △中，sin 0A ≠，∴1cos 2C =， 又0C <<π，∴π3C =． （2）由12CD CA CB =+可得：22216CA CB CA CB ++⋅=， 即2216a b ab ++=，①又由余弦定理222222cos 8c a b ab C a b ab =+-=+-=，②由①②两式得4ab =，∴ABC △的面积1sin 2S ab C === 【名师点睛】本题考查正余弦定理在三角形中的应用及三角形的面积公式，解题的关键是根据需要进行适当的变形，逐步达到求解的目的，属于基础题．7．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）若c =，求ABC △周长的最大值．【答案】（1）2π3C =；（2）4+． 【解析】（1）由22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=． 根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得到sin 2sin cos A A C =-，因为sin 0A >，故1cos 2C =-，又0C <<π，所以23C π=． （2）由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=，整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以周长的最大值为224++=+【名师点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式．解三角形中的最值问题，可以用基本不等式或利用正弦定理把最值问题转化为某个角的三角函数式的最值问题．8．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】在ABC ∆中，已知内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足π2sin 6a B c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积等于12，求a 的最小值． 【答案】（1）π6；（21【解析】（1）)π2sin cos 6a B c a B B c ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭，由正弦定理，得)()sin cos sin sin A B B C A B +==+，sin sin cos A B A B + sin cos cos sin A B A B =+，sin cos sin A B A B =，又据题意，sin 0B ≠cos A A =， 解得π6A =． （2）1sin 22S bc A bc =⇒=，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-(222b c bc =+≥ 4=-当且仅当b c =时取等号，即)2241a ≥-=，所以a 1． 【名师点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，基本不等式求最值，熟记公式定理，准确计算是关键，是中档题．9．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】如图所示，在ABC △中，45B D ∠=︒，是BC 边上一点，23AD AC DC ===，．（1）求ADC △的面积；（2）求BD 的长．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得222cos 2AD DC AC ADC AD DC +-∠=⨯ 22231912232+-==-⨯⨯．∴120ADC ∠=︒，故sin ADC ∠=． ∴1sin 2ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠△1232=⨯⨯=． （2）1204575BAD ADC B ∠=∠-∠=︒-︒=︒，()sin sin75sin 3045BAD ∠=︒=︒+︒sin30cos45cos30sin45=︒︒+︒︒=．在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BD B BAD=∠∠， ∴sin sin AD BAD BD B ⋅∠=∠212==+ 【名师点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，cos (2)cos b A c a B =-+．（1）求角B 的大小；（2）若6b =，ABC △的面积为ABC △的周长．【答案】（1）23B π=；（2）6． 【解析】（1）由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B AC A B =--，即()sin 2sin cos sin A B C B C +=-=．又角C 为ABC △的内角，所以sin 0C >，所以1cos 2B =-． 又()0,B ∈π，所以23B π=．（2）由1sin 2ABC S ac B ===△8ac =． 又()222236b a c ac a c ac =++=+-=，所以a c +=ABC △的周长为6．【名师点睛】（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．11．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()cos 2cos 0c B b a C +-=．（1）求角C 的大小；（2）若2c =，求ABC △的面积S 的最大值．【答案】（1）π3C =；（2 【解析】（1）因为()ccos 2cos 0B b a C +-=，所以()sin cos sin 2sin cos 0C B B A C +-=，所以sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，所以()sin 2sin cos B C A C +=．又因为A B C ++=π，所以sin 2sin cos A A C =．又因为()0,A ∈π，所以sin 0A ≠，所以1cos 2C =． 又()0,C ∈π，所以π3C =． （2）据（1）求解知，π3C =， 所以222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-．又2c =，所以224a b ab =+-．又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，所以4ab ≤．所以ABC ∆面积的最大值()max max 11sin 4sin 223ABC S ab C π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭△ 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可求解，属于常考题型．12．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在ABC △中，D 为BC 边上一点，AD AC ⊥，ABBD =，2AD =．（1）求ADB ∠；（2）求ABC △的面积．【答案】（1）34ADB π∠=；（2）3． 【解析】（1）已知ABBD =，2AD =，在ABD △中，由余弦定理得222cos 22AD BD AB ADB AD BD +-∠==-⨯⨯， 又因为()0,ADB ∠∈π，所以34ADB π∠=． （2）因为ADB ADC ∠+∠=π，所以4ADC π∠=， 因AD AC ⊥，所以ADC △为等腰直角三角形，可得2AC =，所以112223222ABC ABD ADC S S S =+=⨯+⨯⨯=△△△． 13．【贵州省思南中学2018–2019学年高二下学期第二次月考数学】如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，3AD =，7AC =，13cos 14ACD ∠=．（1）求BC 的长：（2）求ABC △的面积．【答案】（1）2）4【解析】（1）∵在ACD △中，3,7AD AC ==，13cos 14ACD ∠=． ∴由余弦定理可得：2222cos =AD AC CD AC CD ACD -+⋅⋅∠， 所以2139492714CD CD +⨯⨯⨯＝﹣， 由于7CD <，∴解得5=CD ， ∵2223571cos 2352CDA +-∠==-⨯⨯，∴3CDB π∠=，又∵2DCB π∠=，∴BC = （2）在CBD △中，2DCB π∠=，3CDB π∠=，∴C 点到AB 的距离h =10BD =，∴ABC △面积113224S =⨯⨯=．【名师点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量．（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理．。
一轮复习专题18 三角函数(知识梳理)
专题18三角函数（知识梳理）一、知识点(一)角的概念的推广1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
其中顶点，始边，终边称为角的三要素。
角可以是任意大小的。
(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。
①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。
(2)在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。
(3)终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为},360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。
集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0=k 时，对应元素为α。
2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。
(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
任一已知角α的弧度数的绝对值rl=α||，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
(3)角度制与弧度制的互化：π=2360，π=180；815730.571801'≈≈π= rad ；rad 01745.01801≈π= 。
3、特殊角的三角函数值30 45 60 90 120 135 150 18006π4π3π2π32π43π65ππsin 021222312322210cos 1232221021-22-23-1-tan3313⨯3-1-33-0210 225 240 270 300 315 330 36067π45π34π23π35π47π611ππ24、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：Z n ∈，Z k ∈；x 轴正半轴 360⋅n πk 2第一象限角平分线36045⋅+n π+πk 24x 轴负半轴360180⋅+n π+πk 2第二象限角平分线 360135⋅+n π+πk 243x 轴 180⋅n πk 第三象限角平分线360225⋅+n π+πk 245y 轴正半轴36090⋅+n π+πk 22第四象限角平分线 360315⋅+n π+πk 247y 轴负半轴 360270⋅+n π+πk 223第一、三象限角平分线18045⋅+n π+πk 4y 轴18090⋅+n π+πk 2第二、四象限角平分线 180135⋅+n π+πk 43坐标轴90⋅n 2πk 象限角平分线9045⋅+n 24π+πk 5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：r l ⋅α=||扇形弧长，扇形面积公式：lr r S 21||212=⋅α=扇形，α是圆心角且为弧度制，r 是扇形半径。
2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第3章 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数 含解析 精品
第五节 两角和与差及二倍角的三角函数[考纲传真] (教师用书独具)1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．(对应学生用书第57页)[基础知识填充]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的变形、逆用(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝sin 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. [知识拓展] 1．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .2．sin 15°＝6－24，cos 15°＝6＋24，tan 15°＝2－ 3.3．tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.4．sin 2α＝2tan α1＋tan2α，cos 2α＝1－tan2α1＋tan2α.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．()(2)在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．()(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．()(4)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝()A．－32B．32C．－12D．12D[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D．]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝()A．－79B．－29C．29D．79A[∵sin α－cos α＝4 3，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝16 9，∴sin 2α＝－79.故选A．]4．函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________． －2 [函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. π3 [由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.](对应学生用书第58页)(1)(2017·山西长治二中等五校第四次联考)若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为( )A ．2＋106 B ．22＋106 C ．2－106D ．22－106(2)(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若锐角α，β满足sin α＝45，tan(α－β)＝23，则tan β＝________.(1)B (2)617 [(1)因为cos θ＝23，θ为第四象限角，则sin θ＝－53，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22cos θ－22sin θ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋53＝22＋106，故选B ．(2)因为锐角α满足sin α＝45，所以cos α＝1－sin 2α＝35，则tan α＝sin αcos α＝43，tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝43－231＋89＝617.]【导学号：79140121】－4＋3310 [因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.](1)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12 B ．12 C ．32D ．－32(2)(2017·河北名师俱乐部模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A ．23B ．43C ．34D ．32(1)B (2)D [(1)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. (2)由sin θ－cos θ＝－144， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴0＜π4－θ＜π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.][跟踪训练] (1)cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．(1)33 (2)－45 [法一：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan 30°＝33.法二：原式＝2(sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°)2(sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°)＝sin 30°sin 60°＝1232＝33. 法三：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°2＝1－sin 30°1＋sin 30°＝13.又cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＞0， ∴cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝33.(2)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.](1)(2017·深圳一模)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β＝( ) A ．22 B ．210 C ．22或－210D ．22或210(2)(2018·海口调研)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－α＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋2α的值为( )A ．2325B ．－2325C ．78D ．－78(1)A (2)A [(1)因为α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，所以sin α＝255，cos(α－β)＝31010，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22，故选A ．(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－α＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－α＝2325，故选A ．][跟踪训练] (1)已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝ ⎭⎪⎫α－π3＝13，则tan ⎝ ⎭⎪⎫β＋π3的值为( )【导学号：79140122】A ．23B ．12C ．34D ．45(2)(2017·山西太原五中4月模拟)已知角α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝( ) A ．26＋16B ．3－28C ．3＋28D ．23－16(1)B (2)A [(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π31＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12.(2)由于角α是锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝223，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A ．]。
高三总复习数学检测题 两角和与差及二倍角的三角函数
两角和与差及二倍角的三角函数一、点全面广强基训练1．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22，则cos α－sin α的值为( )A ．－22B ．－12 C.12D.22解析：选C 因为cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22，所以cos 2α－sin 2α22cos α＋22sin α＝22，即cos α－sin α＝12.2．(多选)下列选项中，与sin π6的值相等的是( )A ．2cos 215°－1B ．cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°C ．2sin 15°sin 75° D.tan 30°＋tan 15°1－tan 30°tan 15°解析：选BC sin π6＝12.A ．2cos 215°－1＝cos 30°＝32，故错误； B ．cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12，故正确；C ．2sin 15°sin 75°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，故正确；D.tan 30°＋tan 15°1－tan 30°tan 15°＝tan ()30°＋15°＝tan 45°＝1，故错误．3．已知0<α<β<π，且cos α＝45，cos(β－α)＝－35，则sin(α＋β)＝( )A.35 B .45 C ．－725D ．－44125解析：选D 因为0<α<β<π，所以0<β－α<π.又因为cos α＝45，cos(β－α)＝－35，所以sin α＝35，sin(β－α)＝45，从而可得sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725，所以sin(α＋β)＝sin [2α＋(β－α)]＝sin 2αcos(β－α)＋cos 2αsin(β－α)＝2425×⎝⎛⎭⎫－35＋725×45＝－44125. 4．(2022·河北饶阳中学高三模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝( )A ．－79B ．－29 C.29D.79解析：选A 令t ＝α＋π6，则α＝t －π6，sin t ＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫t －π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2t －π2＝－cos 2t ＝－(1－2sin 2t )＝－79. 5．已知角α，β∈(0，π)，tan(α＋β)＝12，cos β＝7210，则角2α＋β＝( )A.9π4B.3π4C.5π4D.π4解析：选D ∵β∈(0，π)，cos β＝7210，∴β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin β＝210，∴tan β＝17.又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12，即tan α＋171－17tan α＝12，解得tan α＝13，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π4.∴tan(2α＋β)＝tan [(α＋β)＋α]＝tan (α＋β)＋tan α1－tan (α＋β)·tan α＝12＋131－12×13＝1，又2α＋β∈(0，π)，∴2α＋β＝π4.6．(2021·滨州二模)sin 20°sin 80°－cos 160°sin 10°＝________.解析：∵sin 80°＝sin(90°－10°)＝cos 10°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°，∴sin 20°sin 80°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.答案：127．(2022·绵阳月考)已知tan(45°－α)＝3，则tan 2α＝________. 解析：tan(45°－α)＝tan 45°－tan α1＋tan 45°·tan α＝1－tan α1＋tan α＝3，解得tan α＝－12，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－438．已知α∈⎝⎛⎭⎫5π6，7π6，sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝513，则sin α的值为______． 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫5π6，7π6，∴α－π6∈⎝⎛⎭⎫23π，π，又sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝513，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1213，则sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝513×32＋12×⎝⎛⎭⎫－1213＝53－1226.答案：53－12269．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值． 解：因为tan α＝12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝55，cos α＝255. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝55×22－255×22＝－1010. 10．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2. 又因为tan(α－β)＝－13<0，所以－π2<α－β<0，且sin(α－β)＝－13cos(α－β)，又sin 2 (α－β)＋cos 2(α－β)＝1，解得cos(α－β)＝31010，sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010，因为α为锐角，且sin α＝35，所以cos α＝45.所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. 二、重点难点培优训练1．已知2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos(π＋θ)＝cos 2θ，且sin θ≠0，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π6的值为( ) A. 3B.33C ．2－ 3D ．2＋ 3解析：选D ∵2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos(π＋θ)＝cos 2θ， ∴2⎝⎛⎭⎫sin θcos π4－cos θsin π4(－cos θ)＝cos 2θ－sin 2θ， 即(sin θ－cos θ)(－cos θ)＝(cos θ－sin θ)(cos θ＋sin θ)，sin θ(cos θ－sin θ)＝0，∵sin θ≠0，∴cos θ－sin θ＝0，即tan θ＝1， ∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝tan θ＋tan π61－tan θtanπ6＝1＋331－33＝2＋ 3. 2．(2022·南昌一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，则sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝( ) A ．－12或1B.12或－1 C ．－32或1 D.32或－1 解析：选A 因为sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6， 所以2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－1＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6， 所以⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋1⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－1＝0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－12或cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝1， 又sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－12或sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝1. 3．(2022·濮阳一模)已知2cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝7，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝( ) A ．－12 B.14 C.27D.25解析：选B ∵cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6， 代入2cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝7，即得2⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝7sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 化简得⎣⎡⎦⎤4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－1⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋2＝0，又∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈[－1,1]，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝14， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝14. 4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425， cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。
高三体艺生基础训练 讲两角和与差及二倍角公式
第三讲 两角和与差及二倍角公式1.两角和与差的三角函数公式：()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±、()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±、()()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±2. 倍角公式：βααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=；22cos 1cos 2αα+=；22cos 1sin 2αα-=；=-=αααsin cos 12tan；辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （角ϕ终边过点()b a P ,）。
例一.【2012高考重庆文5】sin 47sin 17cos 30cos17-例二.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=例三.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=例四.【2012高考江西文4】若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=例五. (2007海南、宁夏文、理)若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ）例六. 已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值例七. 已知tan2α=2，求：（I ）tan()4πα+的值；（2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．例八．已知tan 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，1tan 2β=． (1) 求tan α值； (2) 求sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值． 例九. 已知α为锐角，且3cos 5α=.(1).求22cos sin 2sin cos 2αααα++的值；(2).求5tan()4πα-的值．练习1. 已知角α、β都为第一象限角，且sin α=53，cos β=1312，求cos(α-β)的值2.（2010福建理数）cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B3C．2D23. 若sin a =45，a 是第一象限的角，则sin()4a π+= （A ）-10（B）10（C） -10（D104.（2011福建理3）若tan 3α=，则2sin 2cos aα的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．65.（20072的是（ ）A ．2sin 15cos15B ．22cos 15sin 15-C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+6．若角α满足条件sin2α<0，cos α–sin α<0，则α在（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 7．（2005重庆文）=+-)12sin12)(cos12sin12(cosππππ（ ） A ．23-B ．21-C ．21 D ．238.（2006福建理、文）已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于 A.71 B.7 C.－ 71 D.－79. 已知(,)2παπ∈ ，sin α5则tan2α =___________.10. (全国Ⅱ文14)已知3(),tan 22παπα∈=，，则cos α=11.（2011江苏7）已知,2)4tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________ 12.已知4cos 5θ=，(),2θππ∈，则sin2θ= .A 10.B 10-.C 10±.D 5±13.（2005北京文） 已知tan 2α=2，求：（I ）tan()4πα+的值；（2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．14．（2004全国Ⅳ卷文、理）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.15．已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x R ∈． （1）求()0f 的值； （2）设10,0,,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()632,5f βπ+=求()sin αβ+的值． 16．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝__________.（凑角公式）17．已知α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，则cos(α＋π4)＝__________. 18.3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,()3sin 5αβ+=-,12sin 413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭19（06重庆文）若,(0,)2παβ∈，cos()22βα-=,1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+= .。
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《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（文科）专题18两角和与差及二倍角的三角函数本专题特别注意：1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题方法总结：1.对于任意一个三角公式，应从“顺、逆”两个方面去认识，尽力熟悉它的变式，以及能灵活运用.2.公式应用要讲究“灵活、恰当”，关键是观察、分析题设“已知”和“未知”中角之间的“和、差、倍、半”以及“互补、互余”关系，同时分析归纳题设中三角函数式的结构特征，探究化简变换目标.3.把握三角公式之间的相互联系是构建“三角函数公式体系”的条件，是牢固记忆三角公式的关键.高考模拟：一、单选题1．函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C.D.【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 3．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3f x的最小正周期为π，最大值为4B. ()f x的最小正周期为2π，最大值为3C. ()f x的最小正周期为2π，最大值为4D. ()【答案】B点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.4．已知，则（）A. B. -8 C. D. 8【答案】D【解析】分析：首先将题中的条件中的式子利用倍角公式以及差角公式将其拆开化简，求得，两边平方求得，再将目标式化简，最后求得结果.详解：根据题意，，从而得到，而，故选D.点睛：该题考查的是有关三角函数的求值问题，在解题的过程中，用到的公式有余弦的倍角公式，正弦的差角公式，以及已知正余弦的和，利用平方求得积，将目标式化简，代入求值即可.5．已知，是方程的两根，则（）A. B. 或 C. D.【答案】D【解析】分析：根据韦达定理，利用两角和的正切公式求得的值，根据二倍角的正切公式列过程求解即可.详解：，是方程的两根，，，，，，，，得或（舍去），故选D.点睛：本题主要考查韦达定理的应用，两角和的正切公式以及二倍角的正切公式，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.6．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法.该作中有题为“李白沽酒:李白街上走，提壶去买酒。
遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。
借问此壶中，原有多少酒?”右图为该问题的程序框图，若输出的值为0，开始输入的值满足则( )A. B. C.D.【答案】B【解析】分析：依次运行程序框图中的程序，得到的取值，然后根据三角函数的相关知识求解． 详解：设输入的，依次运行程序框图中的程序得： ①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行； ③，不满足条件，停止运行．输出．由题意得，解得．又，∴．∴．故选B ．点睛：本题将程序框图和三角求值融合在一起，考查学生的综合运用能力．对于三角求值的问题，解题时要依据所给出的角进行适当的变换，通过“拼”、“凑”等方式变化成已知角的形式，然后再利用公式求值． 7．已知为锐角，为第二象限角，且，，则（ ）A.B. C.D.【答案】B【解析】分析：先确定,范围，再求sin;由=2可得,最后根据=2，求.详解：因为为锐角，为第二象限角，，，所以为第二象限角，因此sin，cos，所以,因为为锐角，所以，2)=cos,选B.点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.8．若，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据二倍角公式，可先将化成半角式，根据α的取值范围和进行化简求值。
所以原式可化为，即所以选A点睛：本题主要考查了三角函数式的化简，注意要灵活选择应用不同的三角函数式。
因为，所以在遇到时要选择合适的公式变形。
9．向量，（），函数的两个相邻的零点间的距离为，若（）是函数的一个零点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据函数的两个相邻的零点间的距离为求出w的值，再根据（）是函数的一个零点得到再求的值.详解：====，=.因为函数的两个相邻的零点间的距离为，所以所以.令f(x)=0,则因为，所以所以=.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查三角函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是变角，，解答三角恒等变换要三看（看角、看名、看式）和三变（变角、变名、变式）.10．中，的对边分别为.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先化简得到，再化简得解.详解:因为,所以所以所以因为,所以所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化能力. （2）三角恒等变换方法：三看（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）.11．若，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据二倍角的正弦及余弦公式，结合，再根据同角三角函数关系即可求得.详解：∵∴，即∵∴∴∴故选A.点睛：本题主要考查有关同角三角函数关系及二倍角公式的应用，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.二倍角的余弦公式有三个：，注意结合题目情景选用不同的公式，本题选用的是，主要是为了和前面的“1”合并.12．已知是函数·的一个极小值点，则的一个单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：将已知函数化简为，可得函数的周期为，结合极小值点，可得函数的单调递减区间.详解：，由已知是函数过最小值点的对称轴结合图像可知是函数的一个单调增区间，因为，所以是函数的一个单调递增区间，故选A.点睛：设为三角函数的极小值点，为三角函数的最小正周期，则从三角函数的图像可知是函数的一个单调递减区间，是函数的一个单调递增区间.13．已知直线的倾斜角为，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据直线的斜率得到的值，再利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式把化为关于的关系式即可.详解：由题设有，.故选A.点睛：一般地，直线的斜率和倾斜角之间的关系式，注意当时，斜率是不存在的.对于三角函数式的求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.14．已知，那么（）A. B. C. D.【答案】A点睛：本题考查诱导公式和两角和差的余弦、正弦公式的逆用，属于基础题.解题中注意根据正弦、余弦前面的系数选择合适的辅助角变形，另外在求值过程中注意寻找已知的角和未知的角之间的联系.15．运行如下程序框图，若输入的，则输出取值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由程序框图可知，该程序表示分段函数，分别求出两段函数的取值范围，即可得结果.详解：由程序框图可知，该程序表示分段函数，，当时，解析式化为，，当时，，，综上所述，的取值范围是，故选C.点睛：算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常背新颖，并与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.16．设等差数列的公差为，前项和为，记，则数列的前项和是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:由等差数列的求和公式可得首项，tana n tana n+1=﹣1=﹣1，运用裂项相消求和，结合两角和差的正切公式，即可得到所求和．详解:等差数列{a n}的公差d为，前8项和为6π，可得8a1+×8×7×=6π，解得a1=，tana n tana n+1=﹣1=﹣1，则数列{tana n tana n+1}的前7项和为（tana8﹣tana7+tana7﹣tana6+…+tana2﹣tana1）﹣7=（tana8﹣tana7）﹣7=（tan﹣tan）﹣7=（tan﹣tan）﹣7=（tan（）﹣tan（））﹣7=（）﹣7=．故选C．点睛:解答本题的关键是化简,求和首先要看通项的特征, tana n tana n+1=﹣1=﹣1，化简到这里之后,就可以再利用裂项相消求和了.化简时要注意观察已知条件，看到要联想到差角的正切公式，再化简.17．已知函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数，由周期，可得，，，且的对称轴为，方程恰有两个不同的实数解，，则，故选B. 18．设是函数的导数，且满足，若、、是锐角三角形的三个内角，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设则其导数又由满足，则有则函数在上为增函数，若 是锐角三角形，则有 即 即有 或对于又由 ，则有 ，即 可以排除A 、B ，对于又由 ，则有 ，即 可得D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，解题的关键是构造函数h （x ）并分析其单调性．19．若函数，且，，的最小值是，则的单调递增区间是（ ）A.B.C. D.【答案】A20．已知点I 在ABC ∆内部， AI 平分BAC ∠， 12IBC ACI BAC ∠=∠=∠，对满足上述条件的所有ABC ∆，下列说法正确的是（ ）A. ABC ∆的三边长一定成等差数列B. ABC ∆的三边长一定成等比数列C. ABI ∆， ACI ∆， CBI ∆的面积一定成等差数列D. ABI ∆， ACI ∆， CBI ∆的面积一定成等比数列 【答案】B【解析】设,,IBC ACI BAI CAI IA IC m IB n θ∠=∠=∠=∠====． 在IAC ∆中，可得2cos bm θ=．在,,ABI BCI ABC ∆∆∆中，分别由余弦定理得2222cos n c m cm θ=+-，① 2222cos m a n an θ=+-，② 2222cos2a b c bc θ=+-．③由①+②整理得()222cos cm an a c θ+=+，∴222cos a c cm an θ++=，将2cos bm θ=代入上式可得222cos a c bc n a θ+-=．又由三角形面积公式得1111sin2sin sin sin 2222bc mc an bm θθθθ=++， ∴()2cos bc mc an bm m b c an θ=++=++，∴()222222cos 2cos 2cos 2cos b b c a c bc a b c bc θθθθ++-++=+=，∴22224cos bc a b c θ=++， ∴()22221cos2bc a b c θ+=++．由③得222cos22b c a bcθ+-=，∴222222212b c a bc a b c bc ⎛⎫+-+=++ ⎪⎝⎭，整理得2a bc =．故选B ． 点睛：本题难度较大，解题时要合理引入变量,m n ，通过余弦定理、三角形的面积公式，建立起三角形三边间的联系，然后通过消去变量,m n 的方法逐步得到三边的关系．由于计算量较大，在解题时要注意运算的准确性和合理性． 二、填空题21．已知，满足，则的最大值为______.【答案】.【解析】分析：由求得，化为，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：由， 得化为，，，的最大值为，故答案为.点睛：对三角函数恒等变形及三角函数性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.22．在斜中，若，则的最大值是__________．【答案】.【解析】分析：在斜中，，结合可得，利用基本不等式可得结果.详解：在斜中，，，又，，，与同号，又在中，，，当且仅当时“=”成立，的最大值为，故答案为.点睛：本题主要考查诱导公式、两角差的正切公式的应用以及基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.23．的值为__________．【答案】1【解析】分析：由，即两角差的余弦公式展开即可求值．详解：原式即答案为1 .点睛：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，熟练运用相关公式和特殊角的关系是解题的关键，属基础题．24．在等差数列中，若，则________．【答案】【解析】分析：由题意结合积化和差公式和等差数列的性质即可求得最终结果. 详解：由题意结合和差化积公式可得：据此可得：0.点睛：本题主要考查和差化积公式及其应用，等差数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25．点1F ， 2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足： 2122MN MF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为__________.【答案】610+【解析】设()00,m x y ，由2212x y +=，得()()()120,1,1,0,1,0N F F -，则由2122MN MF MF =⋅，可得()222200001222x y x y +-=-+，化为()2214x y ++=，可设002{21x sin y sin αα==-，()()12=2cos 1,21,24cos 2,42MF sin MF sin αααα--=+-， ()1226cos 1,63MF MF sin αα+=+-，(1226cosMF MF +=4612cos 36α=+-=≤= 6，即122MF MF +的最大值为66+【方法点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，平面向量的数量积公式，以及三角函数求最值问题，属于难题. 求最值问题常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求最值；②图象法；③不等式法；④单调性法；⑤换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化,利用三角换元后往往利用辅助角公式结合三角函数的单调性求解. 26．cos8525cos30cos25sin +=_____________.【答案】12【解析】cos8525cos30cos25sin += ()cos 602525cos30cos25sin ++133cos2525251222cos252sin sin -+==，故答案为12.27．已知，则__________．【答案】【解析】由可得，，故答案为. 28．化简1cos80sin80-=________.【答案】4【解析】()2sin 80601sin802sin20411cos80sin80sin80cos80sin160sin2022︒-︒︒-︒︒-====︒︒︒︒，故答案为：4 29．__________．【答案】-1点睛：本题重点考查三角函数的恒等变形，有角的变换，和三角函数名称的变换，一般都是先切割化弦，化简正切，如果有分式，选择通分，利用辅助角公式以及两角和差或是二倍角公式化简，意在考查转化与化归的能力. 30．sin11cos19cos11sin19︒︒+︒︒的值是__________． 【答案】12【解析】由()1sin11cos19cos11sin19sin 1119sin302︒︒+︒︒=︒+︒=︒=．故答案为12．三、解答题31．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=，求cos β的值．【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.32．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.33．已知向量，且共线，其中.（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】(1)-3.(2).【解析】试题分析：（1）首先利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出tanθ的值，进一步求出结果；（2）根据第一步的结论，利用三角函数关系式的恒等变换进一步求出tanΦ=1，再根据角的范围求出Φ的值.详解：（1）∵，∴，即∴点睛：本题考查的知识要点有向量的坐标运算，向量共线的充要条件，三角函数关系式的恒等变换利用已知条件求出函数的值．属于基础题型. 本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．常用的3切互化公式有：sin2θ+cos2θ=1．常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.34．已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在中，求的值.【答案】（1）.（2）或.【解析】分析：（1）先利用三角恒等变换的公式化简函数f（x）,再求其最小正周期.(2)先化简得到B=或，，再利用正弦定理求的值.详解:(1)由题得所以函数f(x)的最小正周期为，所以,因为A+B=,所以,所以或.所以B=或，.所以或.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和转化能力. (2)解答本题注意不要漏解，或.35．已知为△的内角，当时，函数取得最大值．△内角，，的对边分别为，，．（1）求；（2）若，，求△的面积．【答案】(1).(2).（2）根据正弦定理得，，．因为，所以．由余弦定理得得．因此△的面积为．点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2)解答第2问时，可以整体求bc的值，也可以分别求b和c的值，本题使用的是整体求值.36．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最值及相应的值．【答案】（1）；（2）当时，；当时，【解析】分析：1）化简，所以的最小正周期是；（2）结合求出，进而利用正弦函数的单调性可求出函数在区间上的最值及相应的值.详解：（1），所以的最小正周期是．（2）因为，所以，所以，当时，；当时，．点睛：，对三角函数恒等变形及三角函数性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.37．已知函数.（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；（2）讨论函数在上的单调性.【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为，；（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.（2）令，得，，设，，易知，所以，当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减.点睛：本题考查二倍角公式、两角和公式、辅助角公式、三角函数的图象和性质等知识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力.38．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求；（2）求的值．【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）在中，由余弦定理可得．（2）由得．根据正弦定理得，从而，故得．详解：（1）在中，由余弦定理得，∴．（2）在中，由得，∴，在中，由正弦定理得，即，∴，又，故，∴，∴．点睛：（1）解三角形时要根据条件选择使用正弦定理还是余弦定理，求解过程中要注意三角形中有关知识的合理运用，如三角形内角和定理，三角形中的边角关系等．（2）解三角形经常和三角变换结合在一起考查，根据变换求值时要注意三角函数值的符号，再合理利用公式求解．39．在中，角所对的边分别为，.（1）求；（2）若，的周长为，求的面积.【答案】（1）（2）详解：（1）因为，由正弦定理得所以所以，且所以.（2）因为，所以，所以，，或解得：或因为，所以所以，所以因为，所以所以.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.40．已知函数.（1）当时，求的值域；（2）在中，若，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）先将函数化成，求出的范围，再求出函数的值域；（2）由，求出的大小，再分别求出边长的值，代入三角形公式，算出面积。