课标通用版2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第3讲导数与函数的极值最值检测文

第3讲 导数与函数的极值、最值[基础题组练]1．函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( )A ．25，－2B ．50，14C ．50，－2D ．50，－14解析：选C.因为f (x )＝2x 3＋9x 2－2，所以f ′(x )＝6x 2＋18x ，当x ∈[－4，－3)或x ∈(0，2]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x ∈(－3，0)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，由f (－4)＝14，f (－3)＝25，f (0)＝－2，f (2)＝50，故函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2.2．函数f (x )＝a e x－sin x 在x ＝0处有极值，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．e解析：选C.f ′(x )＝a e x－cos x ，若函数f (x )＝a e x－sin x 在x ＝0处有极值，则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意，故选C.3．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为( )A ．120 000 cm 3B ．128 000 cm 3C ．150 000 cm 3D ．158 000 cm3解析：选B.设水箱底长为x cm ，则高为120－x2cm.由⎩⎪⎨⎪⎧120－x 2＞0，x ＞0，得0＜x ＜120.设容器的容积为y cm 3，则有y ＝－12x 3＋60x 2.求导数，有y ′＝－32x 2＋120x .令y ′＝0，解得x ＝80(x ＝0舍去)．当x ∈(0，80)时，y ′＞0；当x ∈(80，120)时，y ′＜0.因此，x ＝80是函数y ＝－12x 3＋60x 2的极大值点，也是最大值点，此时y ＝128 000.故选B.4．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：选D.由题图可知，当x <－2时，1－x >3，此时f ′(x )>0；当－2<x <1时，0<1－x <3，此时f ′(x )<0；当1<x <2时，－1<1－x <0，此时f ′(x )<0；当x >2时，1－x <－1，此时f ′(x )>0，由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．5．函数f (x )＝x 3－3x 2＋4在x ＝________处取得极小值． 解析：由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2.列表：答案：26．若函数f (x )＝x 3－12x ＋a 的极大值为11，则f (x )的极小值为____________．解析：函数的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2或x 2＝2.列表：5，当x ＝2时，函数有极小值f (2)＝－16＋a ＝－16－5＝－21.答案：－217．已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －bx，f (1)＝a ＝1，f ′(1)＝2a －b ＝0，将a ＝1代入2a －b ＝0，解得b ＝2. (2)由(1)得f (x )＝x 2－2ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －2x ＝2x2－2x，令f ′(x )>0，解得x >1，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )极小值＝f (1)＝1，无极大值．8．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[1e，e]上的最大值．解：(1)f ′(x )＝a x－2bx ，因为函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝a －2b ＝0，f （1）＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2，f ′(x )＝1x －x ＝1－x2x，当1e≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e≤x <1，令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，所以f (x )在[1e，1)上单调递增；在(1，e]上单调递减，所以f (x )max ＝f (1)＝－12.[综合题组练]1．(2019·南昌第一次模拟)已知奇函数f ′(x )是函数f (x )(x ∈R )的导函数，若x ＞0时，f ′(x )＞0，则( )A ．f (0)＞f (log 32)＞f (－log 23)B ．f (log 32)＞f (0)＞f (－log 23)C ．f (－log 23)＞f (log 32)＞f (0)D ．f (－log 23)＞f (0)＞f (log 32)解析：选C.因为f ′(x )是奇函数，所以f (x )是偶函数．所以f (－log 23)＝f (log 23)，而log 23＞log 22＝1，0＜log 32＜1，所以0＜log 32＜log 23.又当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (0)＜f (log 32)＜f (log 23)，所以f (0)＜f (log 32)＜f (－log 23)．2．若函数f (x )＝13x 3－x 在(t ，8－t 2)上有最大值，则实数t 的取值范围是( )A ．(－3，－6)B ．(－2，－3)C ．(－3，－6]D ．(－2，－3]解析：选C.因为f ′(x )＝x 2－1，所以当x ∈(－∞，－1)和(1，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈(－1，1)时，f (x )单调递减，故x ＝－1是函数f (x )的极大值点．又函数f (x )在(t ，8－t 2)上有最大值，所以t ＜－1＜8－t 2，又f (－1)＝f (2)＝23，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以f (8－t 2)≤f (2)，从而t ＜－1＜8－t 2≤2，得－3＜t ≤－6.3．设m ，n 是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若2∈(m ，n )，则实数a 的取值范围是______．解析：由已知得，f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2，因为函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 有两个极值点m ，n ，所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2有两个零点m ，n ，又因为2∈(m ，n )，所以有f ′(2)＝12－8a ＋a 2<0，解得2<a <6. 答案：(2，6)4．若函数f (x )＝x ln x －a 2x 2－x ＋1有两个极值点，则a 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝x ln x －a 2x 2－x ＋1(x >0)， 所以f ′(x )＝ln x －ax ，f ″(x )＝1x－a ＝0，得f ′(x )有极大值点x ＝1a，由于x →0时f ′(x )→－∞；当x →＋∞时，f ′(x )→－∞，因此原函数要有两个极值点，只要f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝ln 1a－1>0，解得0<a <1e. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，1e5．(综合型)(2019·河南郑州模拟)已知f (x )＝x ln x －a 2x 2(a ＞0)．(1)若a ＝1，判断函数f (x )的单调性；(2)若g (x )＝f (x )＋(a －1)x 在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x ln x －12x 2，f ′(x )＝1＋ln x －x ，设φ(x )＝f ′(x )，则φ′(x )＝1x －1＝1－xx， 当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，所以φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又φ(1)＝0，所以当x ＞0时，φ(x )≤0即f ′(x )≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)由已知得g (x )＝x ln x －a 2x 2＋(a －1)x ，则g ′(x )＝ln x －ax ＋a ，记h (x )＝ln x －ax ＋a ，则h (1)＝0，h ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ，令h ′(x )＝0，得x ＝1a. ①若0＜a ＜1，则1a＞1，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，h ′(x )＞0，故函数h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，且当x ∈(0，1)时，h (x )＜h (1)＝0，即g ′(x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a 时，h (x )＞h (1)＝0，即g ′(x )＞0，又g ′(1)＝0，所以g (x )在x ＝1处取得极小值，不满足题意．②若a ＝1，则当x ∈(0，1)时，h ′(x )＞0，故h ′(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤h (1)＝0，即g ′(x )≤0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意．③若a ＞1，则0＜1a＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，h ′(x )＜0，故h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递减，且当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1a，1时，h (x )＞h (1)＝0，即g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜h (1)＝0，即g ′(x )＜0，又g ′(1)＝0，所以g (x )在x ＝1处取得极大值，满足题意．综上，实数a 的取值范围是(1，＋∞)．6．(2019·南昌市摸底调研)设函数f (x )＝ln x －2mx 2－n (m ，n ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有最大值－ln 2，求m ＋n 的最小值．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －4mx ＝1－4mx2x， 当m ≤0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当m ＞0时，令f ′(x )＞0得0＜x ＜m 2m ，令f ′(x )＜0得x ＞m 2m，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 2m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当m ＞0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，m 2m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ，＋∞上单调递减．所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫m 2m ＝ln m 2m －2m ·14m －n ＝－ln 2－12ln m －12－n ＝－ln 2，所以n ＝－12ln m －12，所以m ＋n ＝m －12ln m －12，令h (x )＝x －12ln x －12(x ＞0)，则h ′(x )＝1－12x ＝2x －12x，所以h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12ln 2，所以m ＋n 的最小值为12ln 2.。