2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)
2015高考数学真题 天津理科
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =ð（ ）.A.{}2,5B.{}3,6C.{}2,5,6D.{}2,3,5,6,82. 设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩……… ，则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）.A. 3B. 4C. 18D. 403. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）. A.10- B.6 C.14 D.184. 设x ∈R ，则“21x -< ”是“220x x +->”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图所示，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若2CM =，4MD =，3CN = ，则线段NE 的长为（ ）.A.83B.3C.103D.526. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）.A.2212128x y -= B.2212821x y -= C.22134x y -= D.22143x y -= O NM E D CBA.7. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<8. 已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩… 函数()()2g x b f x =-- ，其中b ∈R ，若函数 ()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）.A.7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.7,24⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.9. i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .11. 曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 .12. 在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 . 13. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为 . 14. 在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠= ，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且BE BC λ=，19DF DC λ=，则AE AF ⋅的最小值为 .正视图侧视图俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知函数()22πsin sin 6f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1BC 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD . （2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2n n a qa +=（q 为实数，且1q ≠），*n ∈N ，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列. （1）求q 的值和{}n a 的通项公式； （2）设*2221log ,nn n a b n a -=∈N ，求数列{}n b 的前n 项19. （本小题满分14分）已知椭圆()2222+=10x y a b a b >>的左焦点为(),0F c -，，点MN MA 1B 1C 1D 1DBA在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c ，=3FM .（1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数(),nf x nx x x =-∈R ，其中*n ∈N ，2n ….（1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =， 求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x …；（3）若关于x 的方程()f x a =（a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：2121ax x n-<+-.。
2015年高考理数真题试卷(天津卷)【答案加解析】
2015年高考理数真题试卷（天津卷）一.选择题：在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的1.（2015·天津）已知全集，集合，集合，则集合( )A. B. C. D.2.（2015·天津）设变量,满足约束条件，则目标函数的最大值为( )A. 3B. 4C. 18D. 403.（2015·天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A. -10B. 6C. 14D. 184.（2015·天津）设，则“ ”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. (2015·天津)如图，在圆中，，是弦的三等分点，弦,分别经过点,.若，则线段的长为( )A. B. 3 C. D.6. （2015·天津）已知双曲线的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.7. （2015·天津）已知定义在上的函数(为实数）为偶函数，记,则的大小关系为（）A. B. C. D.8. （2015·天津）已知函数函数,其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. （2015天津）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为________ 。
10. （2015天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为________11. （2015天津）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为________ 。
12. （2015天津）在的展开式中，的系数为________ 。
13. （2015天津）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为,则的值为________ 。
14. （2015天津）在等腰梯形中，已知,动点和分别在线段和上，且则的最小值为________ 。
2015年高考理数真题试卷(天津卷)【答案加解析】
2015年高考理数真题试卷（天津卷）一.选择题：在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的1.（2015·天津）已知全集，集合，集合，则集合( )A. B. C. D.2.（2015·天津）设变量,满足约束条件，则目标函数的最大值为( )A. 3B. 4C. 18D. 403.（2015·天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A. -10B. 6C. 14D. 184.（2015·天津）设，则“ ”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. (2015·天津)如图，在圆中，，是弦的三等分点，弦,分别经过点,.若，则线段的长为( )A. B. 3 C. D.6. （2015·天津）已知双曲线的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.7. （2015·天津）已知定义在上的函数(为实数）为偶函数，记,则的大小关系为（）A. B. C. D.8. （2015·天津）已知函数函数,其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. （2015天津）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为________ 。
10. （2015天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为________11. （2015天津）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为________ 。
12. （2015天津）在的展开式中，的系数为________ 。
13. （2015天津）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为,则的值为________ 。
14. （2015天津）在等腰梯形中，已知,动点和分别在线段和上，且则的最小值为________ 。
15年高考真题——理科数学(天津卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津）卷数学（理科） 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U AB =ð ( ) （A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为( )（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）403．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为( )（A ）10- （B ）6 （C ）14 （D ）18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N 。
若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ） （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）526．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -= （D ）22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()||21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f = ，()2log 5b f =，()2c f m =，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<8．已知函数()()()()22||222x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）()74,+∞ （B ）(),74-∞ （C ）()0,74 （D ）()74,2二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 。
2015高考试题—— 数学理(天津卷)Word版
绝密★启封前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上无效。
考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：∙如果时间A，B互斥，那么∙如果事件A,B相互独立，那么P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B)∙柱体的体积公式V=Sh，∙椎体的体积公式V=13Sh其中S表示柱体的地面面积，其中S表示椎体的地面面积 H表示柱体的高 . h表示椎体的高.一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U=｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，集合A=｛2，3，5，6｝，集合B=｛1，3，4，6，7｝，则集合A CUB=（A）{2,5} (B)｛3，6｝（ C）｛2，5，6｝（D）｛2，3，5，6，8｝（2）设变量x,y满足约束条件则目标函数Z=x+6y的最大值为（A）3 （B）4 （C）18 （D）40(3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为(A)-10 (B)6 (C)14 (D)18(4)设x=R，则“| x-2 |<1”是“x²+x-2>0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2,MD=4，CN=3，则线段NE的长为（A）（B）3 （C）（D）（6）已知双曲线—=1 （a>0,b>0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的个焦点在抛物线=4x的准线上，则双曲线的方程为（A）—=1 （B）—=1（C）—=1 （C）—=1（7）已知定义在R上的函数f（x）=2|1-m|-1（m为实数）为偶函数，记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f（2m），则a，b，c的大小关系为(A) a＜b＜c (B ) a＜c＜b (C) c＜a＜b (D)c＜b＜a（8）已知函数F(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R，若函数y=f(X)-g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是（A）（74， +∞）（B）（-∞，74）（C）（0，74）（D）（74，2）第II卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2015年高考理科数学天津卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共42页）数学试卷 第2页（共42页）数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+.·如果事件A ，B 相互独立，()()()P AB P A P B =.·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.·椎体的体积公式13V Sh =.其中S 表示椎体的底面面积，h 表示椎体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,5,6}A =，集合{1,3,4,6,7}B =，则集合A UB =ð（ ）A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}2．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y ≥，≥，≤，+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．－10B ．6C ．14D ．18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM =2，MD =4，CN =3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -=7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数22|| ,2()(2) ,2x x f x x x ≤，＞，-⎧=⎨-⎩函数2g x b f x （）（）=--，其中b R ∈.若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7,4（）+∞ B ．7,4（）-∞ C ．70,4（） D ．7,24（）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共42页）数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________. 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m .11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为___________.12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为_________. 13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为3152b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_________.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，ABC ∠=60.动点E 和F分别在线段BC 和DC 上，BE BC 且λ=，19DF DC λ=，则 AE AF 的最小值为_________.三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数22sin sin 6f x x x （）（）π=--，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD 底面⊥，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值.（III ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1EA 的长.18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2()n n n a qa q q *N 为实数，且1，+=≠∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2221log ,nn n a b n a *N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为0F c （-,）,3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM .（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP 2OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中,2n n *N ≥∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（III ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：21|-|21ax x n<+-.3 / 142015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值． 【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6． 【考点】程序框图． 4.【答案】A【解析】|2|12113x x x -<⇔-<-<⇔<<1；数学试卷 第10页（共42页） 数学试卷 第11页（共42页）数学试卷 第12页（共42页）AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =， 24833CM MD CN ⨯===，故选A ． 【提示】由相交弦定理求出45 / 14数学试卷 第16页（共42页） 数学试卷 第17页（共42页）数学试卷 第18页（共42页）18【解析】19DF DC λ=，ABC ∠，12DC AB =，1191999CF DF DC DC DC DC AB λλλλ--=-=-== AE AB BE AB BC λ=+=+，1919AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλ-+=++=++=+，22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19194121cos1201818λλλλλλ++=⨯+++⨯⨯⨯︒ 1179218921818λλλ+=92λ3时，AE AF 有最小值，最小值为18数学试卷 第22页（共42页） 数学试卷 第23页（共42页）数学试卷 第24页（共42页）（Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， MN ⊄平面ABCD 平面ABCD ．（Ⅱ）(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设(,n x y =1110n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即220y z +==，不妨设1z =，可得(0,1,1)n =9 / 14设(,n x y =2120n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又(0,1,2)AB =不妨设1z =，可得(0,n =-12210,10||||n n n n n n ==-310,10n n =， 所以二面角1D AC -10（Ⅲ）依题意，可设AE A B λ=，其中从而(1,2,1)NE =-，又(0,0,1)n =为平面由已知得cos ,||||(1)NE n NE n NE n ==-30λ-=，个法向量与MN 的数量积为（Ⅱ）通过计算平面（Ⅲ）通过设AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为数学试卷第28页（共42页）数学试卷第29页（共42页）数学试卷第30页（共42页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有22c a =试卷 第35页（共42页）数学试卷 第36页（共42页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝23c ，2b =13 / 14数学试卷第40页（共42页）数学试卷第41页（共42页）数学试卷第42页（共42页）。
2015年高考真题——理科数学(天津卷)(含答案解析)
2015年高考真题——理科数学（天津卷）（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习2015年高考真题——理科数学（天津卷）（含答案解析）1 已知全集，集合，集合，则集合（A）（B）（C）（D）【答案解析】 A试题分析：,所以，故选A.考点：集合运算.2 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案解析】 C试题分析:不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时，有最大值18.考点：线性规划.3 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（A）（B）6 （C）14 （D）18【答案解析】 B试题分析：模拟法：输入；不成立；不成立成立输出,故选B.考点：程序框图.4 设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案解析】 A试题分析：,或，所以“”是的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件与必要条件.5 如图，在圆中，是弦的三等分点，弦分别经过点 .若，则线段的长为（A）（B）3 （C）（D）【答案解析】 A试题分析：由相交弦定理可知，，又因为是弦的三等分点，所以，所以，故选A.考点：相交弦定理.6 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）【答案解析】 D试题分析：双曲线的渐近线方程为由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解的，所以双曲线方程为，故选D.考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.7 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为（A）（B）（C）（D）【答案解析】 C试题分析：因为函数为偶函数，所以，即，所以所以，故选C.考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.8 已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案解析】 D试题分析：由得，所以，即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.9 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 .【答案解析】试题分析：是纯度数，所以，即.考点：1.复数相关定义；2.复数运算.10 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 .【答案解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，所以该几何体的体积. 考点：1.三视图；2.旋转体体积.11 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .【答案解析】试题分析：两曲线的交点坐标为，所以它们所围成的封闭图形的面积.考点：定积分几何意义.12 在的展开式中，的系数为 .【答案解析】试题分析：展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.考点：二项式定理及二项展开式的通项.13 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为 .【答案解析】试题分析：因为，所以，又，解方程组得，由余弦定理得，所以.考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.14 在等腰梯形中,已知 ,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为 .【答案解析】试题分析：因为，，，，当且仅当即时的最小值为.考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.15 已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.【答案解析】 (I); (II) ,.试题分析：(I)利用两角和与差的正余弦公式及二倍角的正余弦公式化简函数的解析式，由三角函数性质可求最小正周期，(II)先写出函数的单调区间，即可求函数的最大值与最小值。
2015天津高考数学(理科)试题(卷)与图片版答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}2,3,5,6A = ，{}1,3,4,6,7B = ，则集合 为（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩ ，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为 （A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=（7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,2a b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,5AC AA AD CD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD P 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长 18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=3. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。
普通高等学校招生全国统一测验数学理试题天津卷含解析
10
15
（B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
考点：充分条件与必要条件.
（5）如图，在圆 O 中， M , N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD, CE 分别经过点 M , N .若
CM 2, MD 4,CN 3 ，则线段 NE 的长为
8
（A）
3
D
43
y2
3
CN
33
，且双曲线的一个焦点在抛物线
1
3
考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.
（7）已知定义在 R
上的函数 f x 2 xm 1
a f (log0.5 3),b f log2 5, c f 2m ，则 a,b, c 的大小关系为
考点：程序框图.
（4）设 x R ，则“ x 2 1 ”是“ x2 x 2 0 ”的
（A）充分而不必要条件
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2015年高考理科数学天津卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+. ·如果事件A ，B 相互独立，()()()P AB P A P B =.·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.·椎体的体积公式13V Sh =.其中S 表示椎体的底面面积，h 表示椎体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,5,6}A =，集合{1,3,4,6,7}B =，则集合A U B =ð（ ）A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}2．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y ≥，≥，≤，+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．－10B ．6C ．14D ．18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM =2，MD =4，CN =3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数22|| ,2()(2) ,2x xf x x x ≤，＞，-⎧=⎨-⎩函数2g x b f x （）（）=--，其中b R ∈.若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7,4（）+∞ B ．7,4（）-∞ C ．70,4（）D ．7,24（）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页）数学试卷 第6页（共18页）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________. 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m .11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为___________.12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为_________.13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_________.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，ABC ∠=60.动点E 和F分别在线段BC 和DC 上，BE BC 且λ=，19DF DC λ=，则 AE AF 的最小值为_________.三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数22sin sin 6f x x x （）（）π=--，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD 底面⊥，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值.（III ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1EA 的长.18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2()n n n a qa q q *N 为实数，且1，+=≠∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2221log ,nn n a b n a *N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为0F c （-,）,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4bx y =截得的线段的长为c，|FM（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中,2n n *N ≥∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（III ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：21|-|21ax x n<+-.数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）数学试卷 第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6． 【考点】程序框图．AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =， 2833CM MD CN ⨯=，故选A ． 【提示】由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE 即可． 4数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）19D F D λ=，1DC AB =，1191999CF DF DC DC DC DC AB λλλλ--=-=-==AE AB BE AB BCλ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， 22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19194121cos1201818λλλλλλ++=⨯+++⨯⨯⨯︒ 117218λλ+=时，AE AF 有最小值，18数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， ⊄平面ABCD MN ∥平面ABCD ．（Ⅱ）1(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设(,n x y =1110n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=，不妨设1z =，可得(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面2120n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =20x =⎩不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-，121210,10||||n n n n n n ==-2310,10n n =， 所以二面角1D AC -10（Ⅲ）依题意，可设11AE A B λ=，其中从而(1,NE =-，又(0,0,1)n =为平面,||||(1)NE n NE n NE n ==-30λ-=，72-，所以线段1A E 的长为72-．为坐标原点，以的一个法向量与MN 的数量积为（Ⅲ）通过设AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有2213c a =数学试卷 第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝。
2015年天津市高考数学试卷(理科)教师版
2015 年天津市高考数学试卷（理科）一 .选择题（在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．（ 5 分）（2015?天津）已知全集 U={ 1，2，3，4，5，6，7，8} ，会合 A={ 2，3，5，6} ，会合 B={ 1， 3， 4， 6，7} ，则会合 A∩?U B=（）A．{ 2，5}B．{ 3，6}C．{ 2，5，6}D．{ 2，3，5，6，8}【剖析】由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可；【解答】解：∵全集 U={ 1，2，3，4，5，6，7，8} ，会合 A={ 2，3， 5， 6} ，集合 B={ 1，3，4，6，7} ，∴?U B={ 2， 5， 8} ，则 A∩?U B={ 2，5} ．应选： A．2．（ 5 分）（2015?天津）设变量 x，y 知足拘束条件，则目标函数z=x+6y 的最大值为（）A．3B．4C．18D．40【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确立 z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：（暗影部分）．由 z=x+6y 得 y=﹣ x+ z，平移直线 y=﹣ x+ z，由图象可知当直线y=﹣ x+ z 经过点 A 时，直线 y=﹣ x+ z 的截距最大，此时 z 最大．由，解得，即A（0，3）将 A（0，3）的坐标代入目标函数 z=x+6y，得 z=3×6=18．即 z=x+6y 的最大值为 18．应选： C．3．（5 分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运转相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣ 10B．6C．14D．18【剖析】模拟履行程序框图，挨次写出每次循环获得的i，S 的值，当i=8 时知足条件i＞ 5，退出循环，输出S 的值为6．【解答】解：模拟履行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不知足条件 i＞ 5， i=4， S=14不知足条件 i＞ 5， i=8， S=6知足条件 i＞5，退出循环，输出S 的值为 6．应选： B．．（分）（天津）设2+x﹣ 2＞ 0”的（）4 52015?x∈R，则“|x﹣2| ＜1”是“xA．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【剖析】依据不等式的性质，联合充足条件和必需条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣ 2| ＜1”得 1＜x＜3，由 x2+x﹣2＞0 得 x＞1 或 x＜﹣ 2，即“|x﹣ 2|2＜1”是“x+x﹣2＞0”的充足不用要条件，应选： A．5．（5 分）（2015?天津）如图，在圆O中， M、 N 是弦 AB 的三平分点，弦CE分别经过点 M ，N，若 CM=2，MD=4， CN=3，则线段 NE 的长为（CD，）A．B．3C．D．【剖析】由订交弦定理求出AM，再利用订交弦定理求NE即可．【解答】解：由订交弦定理可得CM?MD=AM?MB，∴2× 4=AM?2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又 CN?NE=AN?NB，∴ 3× NE=4× 2，∴NE= ．应选： A．6．（5 分）（2015?天津）已知双曲线﹣=1点（ 2，），且双曲线的一个焦点在抛物线方程为（）A．﹣=1B．（ a＞ 0， b＞0）的一条渐近线过2﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【剖析】由抛物线标准方程易得其准线方程，进而可得双曲线的左焦点，再依据焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b 的另一个方程，求出a、b，即可获得双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4 x 的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x 的准线上，∴c= ，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b= ，∴双曲线的方程为．应选： B．7．（5 分）（2015?天津）已知定义在R 上的函数 f （x）=2|x﹣m|﹣1（m 为实数）为偶函数，记 a=f（log0.53），b=f（ log25），c=f（2m），则 a，b，c 的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜ c＜ b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【剖析】依据 f（x）为偶函数即可求出m=0，进而 f（x）=2|x|﹣1，这样便知道 f （x）在 [ 0，+∞）上单一递加，依据f（x）为偶函数，即可将自变量的值变到区间 [ 0， +∞）上： a=f（ | log0.5），b=f （2），（），而后再比较自3|log 5c=f0变量的值，依据 f（ x）在 [ 0， +∞）上的单一性即可比较出a， b，c 的大小．【解答】解：∵ f（x）为偶函数；∴f（﹣ x） =f（x）；∴2| ﹣x﹣m| ﹣1=2| x﹣m| ﹣1；∴| ﹣ x﹣m| =| x﹣m| ；（﹣ x﹣ m）2=（ x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[ 0，+∞）上单一递加，而且 a=f（| log0.53| ）=f（ log23），b=f （log25），c=f（0）；∵0＜ log23＜ log25；∴ c＜a＜b．应选：C．，8．（5 分）（2015?天津）已知函数 f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2，＞﹣x），此中 b∈R，若函数 y=f（x）﹣ g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（）A．（， +∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）【剖析】求出函数 y=f（x）﹣ g（x）的表达式，结构函数 h（ x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数 h（ x）的图象，利用数形联合进行求解即可．【解答】解：∵ g（x）=b﹣f（ 2﹣ x），∴y=f（ x）﹣ g（ x） =f（x）﹣ b+f （2﹣x），由 f（ x）﹣ b+f（2﹣x） =0，得 f（ x） +f （2﹣x）=b，设 h（x） =f（x）+f（2﹣x），若 x≤0，则﹣ x≥0，2﹣x≥2，则 h（x） =f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若 0≤x≤ 2，则﹣ 2≤﹣ x≤ 0， 0≤2﹣x≤2，则 h（x） =f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣| 2﹣ x| =2﹣ x+2﹣ 2+x=2，若 x＞2，﹣ x＜﹣ 2，2﹣x＜0，则 h（x） =f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣| 2﹣ x| =x2﹣5x+8．，即 h（x） =，＜，，＞作出函数 h（x）的图象如图：当 x≤0 时， h（x）=2+x+x2=（x+ ）2+ ≥，当 x＞2 时， h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+ ≥，故当 b= 时， h（x）=b，有两个交点，当 b=2 时， h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数 y=f（x）﹣ g（x）恰有 4 个零点，即 h（x） =b 恰有 4 个根，则知足＜b＜2，应选： D．二 .填空题（每题 5 分，共 30 分）9．（5 分）（2015?天津） i 是虚数单位，若复数（ 1﹣ 2i）（ a+i）是纯虚数，则实数 a 的值为﹣2．【剖析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a 的值．【解答】解：由（ 1﹣ 2i）（ a+i） =（ a+2） +（ 1﹣ 2a）i 为纯虚数，得，解得： a=﹣2．故答案为：﹣ 2．10．（ 5 分）（2015?天津）一个几何体的三视图以下图（单位：m），则该几何体的体积为m3．【剖析】依据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，联合图中数据求出它的体积．【解答】解：依据几何体的三视图，得；该几何体是底面同样的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为 2，圆锥底面圆的半径为1，高为 1；∴该几何体的体积为几何体 =2× π22V×1+π?1 ?1?2=π．故答案为：π．11．（ 5 分）（2015?天津）曲线 y=x2与 y=x 所围成的关闭图形的面积为．【剖析】先依据题意画出地区，而后依照图形获得积分下限为0，积分上限为 1，进而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先依据题意画出图形，获得积分上限为1，积分下限为 02所围图形的面积12直线 y=x 与曲线 y=x S=∫0（ x﹣x ） dx 121= ﹣ =而∫0（x﹣x）dx=（）| 0∴曲边梯形的面积是．故答案为：．．（分）（天津）在（﹣）6的睁开式中， x2的系数为．12 52015?x【剖析】在二项睁开式的通项公式中，令x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得 x2的系数．【解答】解：（ x﹣）6的睁开式的通项公式为T r+1= ?（x）6﹣r?（﹣）r=（﹣）r? ?x6﹣2r，令 6﹣2r=2，解得r=2，∴睁开式中x2的系数为×=，故答案为：．13．（5 分）（2015?天津）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知△ ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则 a 的值为 8．【剖析】由 cosA=﹣， A ∈（ 0 ，π），可得 sinA=．利用△S ABC==，化为 bc=24，又 b﹣c=2，解得 b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．【解答】解：∵ A∈（ 0，π），∴ sinA==．∵ S△ABC=bc=，化为，=bc=24又 b﹣c=2，解得 b=6，c=4．由余弦定理可得： a2 2+c2﹣ 2bccosA=36+16﹣48×．=b=64解得 a=8．故答案为： 8．14．（ 5 分）（ 2015?天津）在等腰梯形ABCD中，已知 AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点 E和 F 分别在线段 BC和 DC上，且=λ，=，则 ?的最小值为．【剖析】利用等腰梯形的性质联合向量的数目积公式将所求表示为对于λ的代数式，依据详细的形式求最值．【解答】解：由题意，获得 AD=BC=CD=1，所以?（）?（）= =（）?（）==2× 1× cos60 °+λ1× 1× cos60 °+×2×1+ × 1× 1× cos120°=1++ ﹣≥ +=（当且仅当时等建立）；故答案为：．三 .解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15．（ 13 分）（ 2015?天津）已知函数 f （x）=sin2x﹣sin2（ x﹣），x∈R．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求 f（ x）在区间 [ ﹣，] 内的最大值和最小值．【剖析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣ sin（2x﹣），由周期公式可得；（Ⅱ）由 x∈ [ ﹣，] 联合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得 f（ x） =sin2x﹣sin2（x﹣）=（1﹣cos2x）﹣ [ 1﹣cos（2x﹣） ]=（1﹣cos2x﹣1+ cos2x+ sin2x）=（﹣ cos2x+ sin2x）=sin（2x﹣）∴ f（x）的最小正周期 T=π；=（Ⅱ）∵ x∈[ ﹣， ] ，∴ 2x﹣∈[ ﹣， ] ，∴ sin（2x﹣）∈ [ ﹣1，] ，∴（﹣）∈[﹣， ]，sin2x∴ f（x）在区间 [ ﹣， ] 内的最大值和最小值分别为，﹣16．（ 13 分）（2015?天津）为推进乒乓球运动的发展，某乒乓球竞赛同意不一样协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，此中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，此中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加竞赛．（Ⅰ）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（Ⅱ）设 X为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的散布列和数学希望．A 发生的个数，而后利用【剖析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本领件总数及事件古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）随机变量X 的全部可能取值为 1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出散布列，代入希望公式求希望．【解答】解：（Ⅰ）由已知，有 P（A）=，∴事件 A 发生的概率为；（Ⅱ）随机变量X 的全部可能取值为1， 2， 3， 4．P（X=k）=（k=1，2，3，4）．∴随机变量 X 的散布列为：X1234P随机变量 X 的数学希望 E（ X） =．17．（ 13 分）（2015?天津）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱 AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2， AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D 的中点．（Ⅰ）求证： MN∥平面 ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线NE 和平面 ABCD所成角的正弦值为，求线段 A1E 的长．【剖析】（Ⅰ）以 A 为坐标原点，以AC、AB、 AA1所在直线分别为x、y、z 轴建系，经过平面 ABCD的一个法向量与的数目积为0，即得结论；（Ⅱ）经过计算平面 ACD1的法向量与平面 ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（Ⅲ）经过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，以 A 为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、 z 轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（ 0， 0， 2），B1（ 0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣ 2，2），又∵ M、N 分别为 B1 C、D1D 的中点，∴ M（1，，1），N（1，﹣ 2，1）．由题可知：（，，）是平面的一个法向量，=（0，﹣，0），= 0 01ABCD∵? =0， MN?平面 ABCD，∴ MN∥平面 ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设 =（ x， y，z）是平面 ACD1的法向量，由，得，取 z=1，得 =（0，1，1），设 =（x，y，z）是平面 ACB1的法向量，由，得，取 z=1，得=（0，﹣ 2，1），∵ cos＜，＞=﹣，∴ sin＜，＞ ==，=∴二面角 D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，此中λ∈[ 0，1]，∴ E=（0，λ，2），=（﹣ 1，λ+2，1），又∵=（ 0， 0， 1）是平面 ABCD的一个法向量，∴ cos＜，＞=== ，2整理，得λ+4λ﹣3=0，解得λ= ﹣2 或﹣ 2﹣（舍），∴线段 A1 E 的长为﹣2．18．（ 13 分）（ 2015?天津）已知数列 { a n } 知足 a n+2=qa n（q 为实数，且 q≠1），n ∈N*，a1=1， a2=2，且 a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（ 1）求 q 的和 { a n} 的通公式；（ 2） b n=，n∈N*，求数列{ b n}的前n和．【剖析】（1）通 a n+2=qa n、 a1、a2，可得 a3、a5、a4，利用 a2+a3， a3+a4，a4+a5成等差数列，算即可；（ 2）通（1）知 b n=，n∈N*，写出数列 { b n} 的前n 和T n、2T n的表达式，利用位相减法及等比数列的乞降公式，算即可．【解答】解：（1）∵ a n+2=qa n（ q 数，且 q≠ 1），n∈N*，a1=1， a2=2，∴a3=q，a5=q2， a4=2q，又∵ a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2× 3q=2+3q+q2，即 q2 3q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍），，奇数；∴ a n=，偶数（ 2）由（ 1）知 b n==，n∈N*，=数列 { b n} 的前 n 和 T n，T n=1+2? +3? +4? +⋯+（n 1）?+n?，∴2T n=2+2+3? +4? +5? +⋯+（n 1）?+n?，两式相减，得 T n=3+ + + +⋯+n? =3+n?=3+1n?=4．19．（14 分）（2015?天津）已知+（＞＞）的左焦点（，），=1 a b 0F c 0离心率，点 M 在上且位于第一象限，直FM 被 x2 +y2=截得的线段的长为 c， | FM| =．（Ⅰ）求直线 FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点 P 在椭圆上，若直线斜率的取值范围．FP的斜率大于，求直线OP（O 为原点）的【剖析】（Ⅰ）经过离心率为，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM 的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（Ⅱ）经过联立椭圆与直线FM 的方程，可得M（c，c），利用 | FM| =计算即可；（Ⅲ）设动点 P 的坐标为（ x，y），分别联立直线 FP、直线 OP 与椭圆方程，分 x ∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种状况议论即可获得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为，∴== ，∴2a2=3b2，∴ a2=3c2，b2=2c2，设直线 FM 的斜率为 k（k＞0），则直线 FM 的方程为 y=k（ x+c），∵直线 FM 被圆 x2+y2=截得的线段的长为 c，∴圆心（ 0， 0）到直线 FM 的距离 d=，∴ d2+=，即（）2+=，解得 k=，即直线 FM 的斜率为；（Ⅱ）由（ I）得椭圆方程为：+，直线FM 的方程为y=（ x+c），=1联立两个方程，消去 y，整理得 3x2+2cx﹣5c2，解得﹣，或，=0x= c x=c ∵点 M 在第一象限，∴ M （c，c），∵| FM| =，∴=，解得 c=1，∴ a22，22 ，=3c =3 b =2c =2即椭圆的方程为+；=1（Ⅲ）设动点 P 的坐标为（ x，y），直线 FP的斜率为 t，∵ F（﹣ 1， 0），∴ t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去 y 并整理，得 2x2+3t2（ x+1）2，=6又∵直线 FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得： x（2x+3）＜ 0 且 x≠﹣ 1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线 OP的斜率为 m，得 m= ，即 y=mx（ x≠0），联立方程组，消去 y 并整理，得 m2=﹣．①当 x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，所以m＞0，∴ m=，∴ m∈（，）；②当 x∈（﹣ 1， 0）时，有 y=t（x+1）＞ 0，所以 m＜ 0，∴ m=﹣，∴ m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP 的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．20．（14 分）（2015?天津）已知函数 f（x）=nx﹣x n，x∈R，此中 n∈ N?，且 n≥ 2．（Ⅰ）议论 f （x）的单一性；（Ⅱ）设曲线 y=f（x）与 x 轴正半轴的交点为P，曲线在点 P 处的切线方程为y=g （x），求证：对于随意的正实数x，都有 f （x）≤ g（x）；（Ⅲ）若对于 x 的方程 f（x）=a（ a 为实数）有两个正实数根x1， x2，求证： | x2﹣x1| ＜+2．【剖析】（Ⅰ）由 f（x）=nx﹣x n，可得 f ′（ x），分 n 为奇数和偶数两种状况利用导数即可得函数的单一性．（Ⅱ）设点P 的坐标为（ x0，0），则可求x0=n，f （′x0）=n﹣ n2，可求g（ x）﹣=f （′x0）（x﹣x0），F′（x）=f （′x）﹣f （′x0）．由 f （′x）=﹣ nx n 1+n 在（0，+∞）减，即可得证．（Ⅲ）设 x1≤x2，设方程 g（ x） =a 的根为，由（Ⅱ）可得x2≤．设曲线y=f （x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得 h（x）=nx，设方程 h（ x） =a 的根为，可得＜ x1，进而可得： x2﹣ x1＜﹣ =，由 n≥2，即 2n ﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，推得： 2=x0，即可得证．【解答】（此题满分为 14 分）解：（Ⅰ）由 f（ x）=nx﹣ x n，可得 f ′（x）=n﹣ nx n﹣1=n（1﹣x n﹣1），此中 n∈N?，且 n≥ 2．下边分两种状况议论：（1）当 n 为奇数时，令 f ′（x）=0，解得 x=1，或 x=﹣1，当 x 变化时， f （′x），f（x）的变化状况以下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣ 1，1）（1，+∞）f ′（x）﹣+﹣f （x）所以， f（ x）在（﹣∞，﹣ 1），（1，+∞）上单一递减，在（﹣ 1，1）单一递加．（ 2）当 n 为偶数时，当 f ′（x）＞ 0，即 x＜1 时，函数 f（ x）单一递加；当 f ′（x）＜ 0，即 x＞1 时，函数 f（ x）单一递减；所以， f（x）在（﹣∞， 1）单一递加，在（ 1，+∞）上单一递减；（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为（x0，0），则x0=n，f ′（x0）=n﹣n2，曲线 y=f（x）在点 P 处的切线方程为y=f ′（x0）（x﹣ x0），即 g（x）=f ′（ x0）（ x﹣x0），令 F（ x）=f（x）﹣ g（x），即 F（x） =f（x）﹣ f ′（x0）（x﹣ x0），则 F′（x）=f ′（ x）﹣f ′（x0）．因为 f ′（x）=﹣nx n﹣1 +n 在（ 0，+∞）上单一递减，故F′（x）在（ 0， +∞）上单调递减，又因为 F′（ x0）=0，所以当 x∈（ 0，x0）时， F′（ x）＞ 0，当 x∈（ x0，+∞）时，F′（x）＜ 0，所以 F（x）在∈（ 0，x0）内单一递加，在（ x0，+∞）上单一递减，所以对应随意的正实数 x，都有 F（x）≤ F（ x0）=0，即对于随意的正实数 x，都有 f （x）≤ g（x）．（Ⅲ）证明：不如设x1≤ x2，由（Ⅱ）知 g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），设方程g（x）=a 的根为，可得=，由（Ⅱ）知g（x2）≥ f（x2） =a=g（），可得x2≤．近似地，设曲线y=f（ x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得 h（x）=nx，当 x∈（ 0，+∞），f（ x）﹣ h（x）=﹣x n＜0，即对于随意的 x∈（ 0， +∞）， f（x）＜ h（x），设方程 h（ x）=a 的根为，可得= ，因为 h（x）=nx 在（﹣∞， +∞）上单一递加，且h（）=a=f（x1）＜h（x1），所以＜x1，由此可得： x2﹣x1＜﹣=，因为 n≥2，所以 2n﹣1（）n﹣1≥1+=1+n ﹣，=1+11=n 故： 20．=x所以： | x2﹣x1| ＜+2．。
高考理科数学试题(天津卷)及参考答案
2015年高考天津市理科数学真题一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合U A C B=（ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．10-B ．6C ．14D ．184．设x R ∈，则“|2|1x -＜”是“220x x +-＞”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，N M ，是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点N M ，，若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ） A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221x y a b-=（0b 0a ＞，＞）的一条渐近线过点（23，），且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则b c a ，，的大小关系为（ ）A ．a b c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜8．已知函数22||()22x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，2，（），＞，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7()4+∞， B ．7()4-∞， C ．7(0)4，D ．7(2)4，二、填空题9．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ． 13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为 ．14．在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒。
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2015年普通高等学校招生全国
统一考试(天津卷)
数学(理工类)第Ⅰ卷
一㊁选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A ={2,3,5,6},集合B ={1,3,4,6,7}
,则集合A ɘ∁U B =( )
A.{2,5
}B .{3,6
}C .{2,5,6
} D.{2,3,5,6,8
}2.设变量x ,y 满足约束条件x +2ȡ0,
x -y +3ȡ0,2
x +y -3ɤ0,{
则目标函数z =x +6y 的最大值为
( )
A.3
B .4
C .18
D.40(第3题)
3.阅读如图所示的程序框图,
运行相应的程序,则输出S 的值为( )
A.-10B .6C .14 D.18
4.设x ɪR ,则 |x -2|<1 是 x 2
+x -2>0
的( )
A.充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.如图,
在圆O 中,M ,N 是弦A B 的三等分点,弦C D ,C E 分别经过点M ,N .若C M =2,MD =4,C N =3,则线段N E 的长为( )
A.
8
3
B .3
C .
10
3 D.
52
6.已知双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2
=47x 的准线上,
则双曲线的方程为( )
A.x 221-y
2
28
=1
B .x 228-y
2
21
=1
(第5题)
C .x 23-y 24=1
D.x 24-y
23
=17.已知定义在R 上的函数f (x )=2|x -m |
-1(
m 为实数)为偶函数.记a =f (
l o g 0.53),b =f (l o g 25),c =f (2m ),则a ,b ,c 的大小关系为( )A.a <b <c B .a <c <b
C .c <a <b
D.c <b <a
8.已知函数f (x )=
2-|x |,x ɤ2,
(x -2)2
,x >2
{
函数g (x )=b -f (2-x ),其中b ɪR ,若函数y =f (x )-g (x )
恰有4个零点,则b 的取值范围是( )
A.
74
,+ɕ()B .-ɕ,
7
4
()
C .0,
7
4
()
D.
74,2()
第Ⅱ卷
二㊁填空题:本大题共6小题,每小题5分.共30分.
9.i 是虚数单位,若复数(1-2i
)(a +i )是纯虚数,则实数a 的值为 .
(第10题)
10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m )
则该几何体的体积为
m 3
.
11.曲线y =x
2
与直线y =x 所围成的封闭图形的面积为.
12.在x -1
4x
()
6
的展开式中,x 2
的系数为.
13.在әA B C 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .
已知әA B C 的面积为315,b -c =2,c o s A =-14
,则a
的
值为
.
14.在等腰梯形A B C D 中,已知A B ʊD C ,A B =2,B C =1,øA B C =60ʎ.
动点E 和F 分别在线段B C 和D C 上,且B E ң=λB C ң,D F ң=19λ
D C ң,则A
E ң㊃A
F ң的最小值为
.
三㊁解答题:本大题共6小题,共80分.
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)
已知函数f (x )=s i n 2x -s i n 2x -π6()
,x ɪR .(Ⅰ)求f (x )
的最小正周期;(Ⅱ)求f (x )在区间-π3,π4
[]
上的最大值和最小值.
16.(本小题满分13分)
为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员随机选择4人参加比赛.
(Ⅰ)
设A 为事件 选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名选手来自同一个协会 ,求事件A 发生的概率.(Ⅱ)
设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.
17.(本小题满分13分)
如图,在四棱柱A B C D-A1B1C1D1中,侧棱A1Aʅ底面A B C D,A BʅA C,A B=1,A C=A A1= 2,A D=C D=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.
(Ⅰ)求证:MNʊ平面A B C D;
(Ⅱ)求二面角D1-A C-B1的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱A1B1上的点.若直线N E和平面A B C D所成角的正弦值为13.求线段A1E 的长.
(第17题)
18.(本小题满分13分)
已知数列{a n}满足a n+2=q a n(q为实数,且qʂ1),nɪN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4, a4+a5成等差数列.
(Ⅰ)求q的值和{a n}的通项公式;
(Ⅱ)设b n=l o g2a2n
,nɪN*,求数列{b n}的前n项和.
a2n-1
19.(本小题满分14分)
已知椭圆x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左焦点为F (-c ,0),离心率为33,点M 在椭圆上且位于第一象限,直线F M 被圆x 2+y 2
=b 2
4截得的线段的长为c ,|F M |=433
.
(Ⅰ)
求直线F M 的斜率;(Ⅱ)
求椭圆的方程;(Ⅲ)设动点P 在椭圆上,若直线F P 的斜率大于2,求直线O P (O 为原点)
的斜率的取值范围.
20.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=n x-x n,xɪR,其中nɪN*,且nȡ2.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)ɤg(x);
(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=a(a为实数),有两个正实数根x1,x2,求证:|x2-x1|<a-n+2.。