第19课时：用相似三角形解决问题(2)备课笔记
初中相似三角形知识点归纳
初中相似三角形知识点归纳初中相似三角形知识点归纳相似三角形是初中数学中不可或缺的一个重要部分。
相似三角形可以让我们更加深刻的理解三角形，并且为后续学习打下了坚实的基础。
在本文中，我们将对初中相似三角形相关知识点进行归纳，笔者希望读者可以通过本文掌握相似三角形的相关知识。
1.相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有“形状相同”但“大小不同”的三角形。
根据相似三角形的定义，我们可以得出其性质：（1）相似三角形对应角度相等；（2）相似三角形对应边长成比例。
2.相似三角形的三种判定方法在相似三角形的学习中，我们要掌握相似三角形的三种判定方法：（1）AAA判定法：当两个三角形的三个内角分别相等时，那么这两个三角形则相似；（2）AA判定法：当两个三角形中有两个角相等时，那么这两个三角形则相似；（3）SAS判定法：当两个三角形中有两个角相等并且它们的夹角边成比例时，那么这两个三角形则相似。
需要注意的是，SAS判定法也可以用于证明两个三角形全等。
3.相似三角形的一些重要定理（1）等角的对边成比例定理：在相似三角形中，如果一个角的两条边分别与另一个三角形中的两条边成比例，那么这个角的对边也与这个三角形的对应边成比例。
（2）平行线截比定理：如果一条直线与两条平行线相交，则它们所截的线段成比例。
（3）相似三角形的高定理：在相似三角形中，它们的高分别与底边成比例。
（4）相似三角形的中线定理：相似三角形的中线（连接两边中点的线段）成比例。
4.相似三角形的应用相似三角形的应用非常广泛。
在初中数学中，我们可以通过相似三角形证明勾股定理、计算高、计算面积等。
在生活中，相似三角形也有很多实际应用，比如利用相似三角形计算高楼的高度。
总结通过对相似三角形的定义、三种判定方法、一些重要定理以及应用的介绍，我们可以更好地掌握相似三角形的相关知识，为后续数学学习打下坚实的基础。
希望本文能对广大读者的学习有所帮助。
相似三角形知识点2篇
相似三角形知识点2篇相似三角形知识点（一）相似是指两个或两个以上的图形在形状或比例上相似，叫做相似图形。
相似的性质有很多种，其中最基本的就是比例相同。
对于相似的三角形，我们可以利用比例来求解各种问题。
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
在相似三角形中，对应边的比相等，即对于AB:CD=BC:DE，两边比相等，我们记作AB/CD=BC/DE。
相似比：由于相似三角形的每一对对应边都成比例，所以不同的三角形中有很多种比例关系。
在这里，我们只考虑其中最重要的一个比例关系，即相似比。
定义：在相似三角形中，由相似三角形的顶点所在的直线与相似三角形的边所在的直线所对应的长度比叫做相似比。
相似三角形比较重要的性质：1.相似三角形的三个内角对应相等。
2.相似三角形的对应边成比例。
若一个三角形的所有边都乘以同一个数k，则这个三角形与原三角形相似。
3.相似三角形的高线成比例。
若一个三角形的高线与另一个相似三角形的高线成比例，则这两个三角形相似。
4.相似三角形中，对于相似比相等的对应边，则它们的角度也相等，反之亦成立。
5.相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
6.相似三角形中，角平分线的比等于对应边的比。
7.直角三角形的高分别为等腰三角形底边的一半和三分之一。
8.相似三角形中，两个角的和相等，两个角的差相等，一角度数是另一个角的一半。
以上就是相似三角形比较重要的知识点，理解这些知识点可以方便我们求解三角形的各种问题。
相似三角形知识点（二）相似三角形的应用：1.相似三角形可以应用在计算航空航天中的角度。
在航空航天中，我们需要计算飞机、导弹等飞行器的角度。
这些角度可以通过利用角度变化相似性和三角形相似性来确定，从而帮助我们更好地控制飞行器的航线。
2.相似三角形可以应用在建筑设计中。
在建筑设计中，我们需要根据建筑物的尺寸和角度来确定建筑物的形状和大小。
相似三角形可以帮助我们计算出建筑物的角度和尺寸，从而实现更精确的设计。
相似三角形的性质和判定知识点
相似三角形的性质和判定知识点相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有广泛的应用。
相似三角形的性质和判定是学习和解题的基础，本文将详细介绍相似三角形的性质和判定的知识点。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角相等，即对应边的比例相等。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，它们的对应角相等。
2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，它们的对应边成比例，即对于第一个三角形的一条边与第二个三角形的相应边的比等于第一个三角形的另一条边与第二个三角形的相应边的比。
3. 半角性质：如果两个三角形相似，它们的角的一半也相等。
4. 高线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的高线与底边之比等于相应边之比。
5. 中线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的中线与底边之比等于相应边之比。
这些性质对于判断和解决相似三角形的问题非常有用。
三、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似有几个常用的方法，如下：1. AAA相似判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。
2. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角分别对应两个角相等，则它们相似。
3. SSS相似判定：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。
4. SAS相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的相邻边的比相等，则它们相似。
这些判定方法能够帮助我们快速确定两个三角形是否相似，从而解决相关问题。
四、相似三角形的实际应用相似三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。
下面介绍一些实际应用的例子：1. 相似三角形的测量：通过测量一个三角形的边长和角度，可以利用相似三角形的性质计算出其他三角形的边长和角度。
2. 地图比例尺：地图上的比例尺是通过相似三角形的性质确定的。
通过观察地图上的两个相似三角形，可以计算出地图上的实际距离。
3. 光学测距：在实际测量中，通过利用相似三角形的性质可以测量较远距离的物体高度、距离等。
相似三角形知识点
相似三角形知识点在数学的世界中，相似三角形可是一个非常重要的知识点。
它不仅在解决几何问题时经常出现，还与我们的日常生活有着千丝万缕的联系。
首先，咱们来聊聊相似三角形的定义。
简单来说，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
这就好比两个形状相同，但大小可能不同的三角形。
相似三角形有一些重要的性质。
比如说，相似三角形的对应边的比值是相等的。
这意味着，如果一个三角形的一条边是另一个相似三角形对应边的两倍，那么其他对应边也会是两倍的关系。
再比如，相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比值也都等于相似比。
相似三角形的判定方法也很关键。
第一种方法是“两角分别相等的两个三角形相似”。
想象一下，两个三角形的两个角都分别相等，那它们的第三个角肯定也相等，这样的两个三角形不相似都难。
第二种方法是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
这里要注意，必须是夹角相等哦，如果不是夹角，那就不行啦。
第三种方法是“三边成比例的两个三角形相似”。
只要三条边的比例都一样，那它们就是相似三角形。
接下来，咱们看看相似三角形在实际生活中的应用。
比如说，在测量物体的高度时，如果我们没办法直接测量，就可以利用相似三角形的知识。
比如要测量一棵大树的高度，我们可以先在地上立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为太阳光是平行的，所以杆子和大树与它们的影子分别构成的两个三角形是相似的。
根据相似三角形对应边成比例的性质，就可以算出大树的高度啦。
在建筑设计中，相似三角形也大有用处。
设计师们可以通过相似三角形的原理来规划不同比例的建筑结构，确保建筑的稳定性和美观性。
再说说数学题目中相似三角形的常见题型。
有一种是给出两个三角形的一些边和角的条件，让我们判断它们是否相似。
这就需要我们熟练运用判定方法来进行判断。
还有一种是已知两个相似三角形的某些边的长度或者比值，求其他边的长度。
这时候就要根据相似比来列方程求解。
相似三角形的知识点总结
相似三角形的知识点总结相似三角形是几何学中的重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，对应边的比例相等。
相似三角形的知识点包括相似比例、相似条件、相似性质以及相似定理等。
下面将逐一介绍这些知识点。
1. 相似比例：相似三角形的对应边的比例相等。
即若两个三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE = AC/DF = BC/EF。
2. 相似条件：两个三角形相似的条件有三种情况：a) 两个三角形的对应角度相等；b) 两个三角形的两个对应角度相等，且两个对应边的比例相等；c) 两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等。
3. 相似性质：相似三角形具有以下性质：a) 相似三角形的对应角度相等；b) 相似三角形的对应边的比例相等；c) 相似三角形的对应角的平分线相交于一点；d) 相似三角形的内角平分线相交于一点。
4. 相似定理：相似三角形的定理有多个，其中一些重要的定理包括：a) AA相似定理：若两个三角形的两个对应角度相等，则两个三角形相似；b) SSS相似定理：若两个三角形的对应边的比例相等，则两个三角形相似；c) SAS相似定理：若两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等，则两个三角形相似；d) 勾股定理的相似定理：若两个直角三角形的两条直角边分别成比例，则两个三角形相似。
相似三角形的知识点对于解决实际问题非常重要。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量阴影的长度和角度，计算出高楼的高度。
又如，在地图上测量两地的距离时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量地图上两地的距离和角度，计算出实际距离。
相似三角形是几何学中的重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
通过掌握相似三角形的知识点，我们可以更好地理解几何学中的相似性质，从而应用于实际生活中的测量和计算中。
相似三角形九年级知识点
相似三角形九年级知识点数学是一门令人兴奋和困惑的学科，尤其是对于中学生来说，掌握基本的几何知识是非常重要的。
而在几何学中，相似三角形是一个十分重要的概念。
在这篇文章中，我将为大家介绍相似三角形的概念、性质以及应用。
首先，我们来看一下相似三角形的定义。
在几何学中，如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
换句话说，相似三角形是指形状相似但尺寸不同的三角形。
相似三角形有一些重要的性质。
首先是角度对应性质。
如果两个三角形是相似的，那么对应的角是相等的，而对应边的比例也是相等的。
利用这个性质，我们可以用已知的相似三角形来求解未知的尺寸，或者证明一些几何问题。
例如，当我们需要测量高处的物体时，可以利用相似三角形的性质，通过测量一个已知长度的影子和其对应的物体长度，再利用相似三角形的比例关系来计算出物体的高度。
其次是面积对应性质。
如果两个三角形是相似的，那么它们的面积之比是边长比的平方。
例如，如果一个三角形与另一个三角形相似，而它们的边长比为2:1，那么它们的面积之比就是4:1。
利用这个性质，我们可以计算出相似三角形的面积，或者通过已知的面积比来求解未知的尺寸。
除了这些基本的性质，相似三角形还有一些重要的应用。
例如，在地图制作中，为了将地球表面缩小表示在平面上的地图上，需要利用相似三角形的性质。
通过选择一个参考点，然后测量它在地球上的实际位置和在地图上的位置，我们可以利用相似三角形的比例关系来将地球表面上的其他点的位置转化为地图上的坐标。
另一个应用是在建筑设计中。
在设计高楼大厦或者桥梁时，需要根据实际需要确定各个部分的尺寸和比例。
相似三角形的性质使得设计师能够维持整体建筑的比例和美观。
通过在设计中运用相似三角形的原理，设计者可以在不改变整体结构的前提下，根据不同的需求来调整单个部分的尺寸。
总结一下，相似三角形是几何学中一个重要的概念。
通过了解相似三角形的定义、性质和应用，我们可以更好地掌握几何学中的相关知识。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结本文介绍了图形的相似知识点，包括相似图形、相似多边形的性质和比例线段等内容。
其中，比例线段的基本性质包括内外项积相等、交换内外项等，还介绍了合比性质和等比性质。
另外，文章还介绍了黄金分割和相似三角形的性质，包括相似比、对应角和对应边成比例等。
最后，文章提到了三角形相似的判定定理。
在应用等比性质时，需要注意分母是否为零。
1.如果一条直线平行于三角形的一边并与其它两边相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
2.如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似。
3.如果两个三角形的夹角相等且对应边成比例，那么它们相似。
4.如果两个三角形的三条边成比例，那么它们相似。
5.直角三角形相似判定定理：1.如果两个直角三角形的斜边与一条直角边成比例，那么它们相似。
2.如果直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
3.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA6.中位线：1.三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，共有三条。
2.三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
3.重心是三角形三条中线的交点，到一个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
4.梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段。
5.梯形的中位线平行于两底边，且等于两底和的一半。
6.梯形的面积等于中位线与高的乘积，也等于上底加下底的一半乘以高。
7.位似：1.如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2.位似图形的对应边平行或共线，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。
8.图形的变换与坐标：1.轴对称：图形关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数。
2.中心对称：图形关于原点对称，横纵坐标均变为相反数。
第四单元 三角形 第19课相似三角形
温馨提示： 运用相似三角形的性质要特别注意“对应”，并 不是任意高的比、角平分线的比、中线的比都等于相 似比，而只有对应高的比、对应角平分线的比、对应 中线的比等于相似比.
知识点六：相似三角形的判定 1．平行于三角形一边的直线和其他两边(或其他 两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形 相似．（相似三角形的预备定理） 2．两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形 相似． 3．两角对应相等的两个三角形相似． 4．三边对应成比例的两个三角形相似．
∴SS△ △AADBCE＝DBCE2＝49.
∵△ADE 的面积是 8，∴△ABC 的面积为 18.
6 ． (2014·南 京 ) 若 △ABC∽△A′B′C′ ， 相 似 比 为
1∶2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为( C )
A．1∶2
B．2∶1
C．1∶4
D．4∶1
解析：∵△ABC∽△A′B′C′，∴SS△△AA′BB′CC′＝122＝14，
【答案】 54
方法总结： 在实际生活中，处处存在相似三角形. 相似三角形 的应用体现在：①同一时刻物高与影长的问题；②利 用相似测量无法直接测量的物体；③利用相似进行图 形设计等.
巩固练习
1．已知ba＝153，则aa－ ＋bb的值是( D )
2
3
9
4
A. 3 B. 2 C. 4 D. 9
解析：∵ba＝153，∴可设 a＝13k(k>0)，则 b＝5k，
5．比例的等比性质
如果
a b
＝
c d
＝…＝
m n
(b＋d＋…＋n≠0)，那么
ab＋＋cd＋＋……＋＋mn＝ab.
知识点二： 平行线分线段成比例定理 1．定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段比成 比例．（简称“平行线分线段成比例”）
相似三角形知识点整理精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中 相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
2023年九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
3.相似多边形旳性质：假如两个多边形是相似形，那么这两个多边形旳对应角相等，对应边旳长度成比例。
注意：当两个相似旳多边形是全等形时，他们旳对应边旳长度旳比值是1.
知识点二：比例线段有关概念及性质
（1）有关概念
1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b旳长度分别是m、n，那么就说这两条线段旳比是a：b＝m：n（或 ）
②两个位似图形旳位似中心只有一种。
③两个位似图形也许位于位似中心旳两侧，也也许位于位似中心旳一侧。
④位似比就是相似比。
2）性质：①位似图形首先是相似图形，因此它具有相似图形旳一切性质。
②位似图形是一种特殊旳相似图形，它又具有特殊旳性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心旳距离等于位似比（相似比）。
③每对位似对应点与位似中心共线，不通过位似中心旳对应线段平行。
3.推论旳逆定理：假如一条直线截三角形旳两边(或两边旳延长线)所得旳对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形旳第三边. (即运用比例式证平行线)
4.定理:平行于三角形旳一边,并且和其他两边相交旳直线,所截旳三角形旳三边与原三角形三边对应成比例.
5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,假如在一条直线上截得旳线段相等，难么在另一条直线上截得旳线段也相等。
三角形相似旳鉴定定理：
鉴定定理1：假如一种三角形旳两个角与另一种三角形旳两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用旳最多)
鉴定定理2：假如一种三角形旳两条边和另一种三角形旳两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
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《相似三角形》知识点归纳知识点1有关相似形的概念(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 •(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比 (相似系数).知识点2比例线段的相关概念、比例的性质 (1)定义: 在四条线段a,b, c,d 中，如果a 和b 的比等于e 和d 的比，那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段.注：①比例线段是有顺序的，如果说 a 是b,c,d 的第四比例项，那么应得比例式为:注：①黄金三角形：顶角是 360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形a -，(交换内项)c d②a c b d d c，(交换外项) 核心内容：ad bcb a'd -.(同时交换内外项) (2)黄金分割：把线段AB 分成两条线段 AC,BC(AC BC),且使AC 是AB 和BC 的比例中项, 即AC 2 AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AC 也」AB 〜0.618 AB •即 2 AC AB BC E 1 AC 2 简记为: 长-短-V5 1全—长—2a c abed(3)合、分比性质：注：实际上，比例的合比性质可扩展为: 比例式中等号左右两个比的前项，后项之间b a d c发生同样和差变化比例仍成立•如：a c a c等等•b d a bc da b c d(4)等比性质：如果 a c e m(b d f n 0),b d f n那么a c e m ab d f n b知识点3比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD//BE// CF,可得JAB些或AB BC EFAC特别在三角形中：DF AB由DE// BC可得：如圧或BDDB EC AD EF DEEC EA知识点4相似三角形的概念匹巨或便BC等.(1)定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形•相似用符号“S”表示，读作“相似于” 似系数)•相似三角形对应角相等，对应边成比例.•相似三角形对应边的比叫做相似比(或相注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的.③两个三角形形状一样，但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形.用轴语言表港是r 石6三角形全等 三角形相似两角夹一边对应相等(ASA)两角对应相等 两角一对边对应相等(AAS)两边对应成比例，且夹角相等 两边及夹角对应相等(SAS)三边对应成比例 三边对应相等(SSS)、(HL ) “ HL ”知识点5 相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例. 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似三角形的几种基本图形：称为“平行线型”的相似三角形(有“ A 型”与“ X 型”图)(2)三角形相似的判定方法 1、 平行法： 2、 判定定理 3、 判定定理 4、 判定定理 5、 判定定理 全等与相似的比较： (或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 两角对应相等，两三角形相似. AA 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 .SAS 三边对应成比例，两三角形相似 .SSS “HL ” (图上)平行于三角形一边的直线和其它两边 1 2 3 4 简述为： 简述为： 简述为： 直角三角形中, 则S ==> AD 2 =BD- DCS ==> AB 2 =BD- BC S ==> AC 2 =CD- BC⑴⑵⑶⑷知识点6(1)如图: / BAC=90°, AD 是斜边 BC 上的高, (3)射影定理： 如图，Rt △ ABC 中,则厶ADE^A ABC称为“斜交型”的相似三角形。
相似三角形知识点归纳
相似三角形知识点归纳下面是关于相似三角形的一些重要知识点的归纳：1.相似三角形的定义：当两个三角形的对应角度相等时，它们称为相似三角形。
记作△ABC∽△DEF。
2.相似三角形的性质：相似三角形具有以下重要性质：-对应角度相等：如果△ABC∽△DEF，则∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。
-对应边长度比相等：如果△ABC∽△DEF，则AB/DE=BC/EF=AC/DF。
-对应高度比相等：如果△ABC∽△DEF，则h₁/h₂=AB/DE=BC/EF=AC/DF，其中h₁和h₂分别为两个三角形的高度。
3.相似三角形的证明方法：-AA相似定理：如果两个三角形的两个角度分别相等，则它们相似。
根据该定理，只需证明两个对应角度相等即可证明两个三角形相似。
-SAS相似定理：如果两个三角形中的一对对应边的比相等，且对应角度相等，则这两个三角形相似。
-SSS相似定理：如果两个三角形的三对对应边比分别相等，则这两个三角形相似。
4.相似三角形的应用：-计算长度比例：根据相似三角形的性质，可以通过已知长度比例的一组相似三角形，来计算其他边的长度比例。
-求解角度：通过已知相似三角形的对应角度相等，可以求解未知的角度。
-计算面积比例：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
所以，通过已知相似三角形的边长比，可以计算出面积比。
5.重要的相似三角形定理：-长边分割定理：如果一条直线平行于一个边，且与另外两条边相交，这条直线将三角形分割成两个相似的三角形。
-三角形的垂直角定理：在一个直角三角形中，斜边与任意一个锐角的两个垂直角相等。
总结起来，相似三角形是几何学中一个重要的概念。
通过理解相似三角形的定义、性质、证明方法以及应用，我们可以去解决各种几何问题。
相似三角形的知识点需要掌握好，也是我们在解决几何问题过程中的重要工具。
相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点梳理相似三角形是指两个或者更多个三角形的对应边成比例，并且对应角相等。
在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它不仅在几何学中有广泛应用，而且在物理学、工程学等领域也有重要作用。
下面是关于相似三角形的知识点的详细梳理。
1.相似三角形的定义：两个三角形相似，意味着它们的对应角相等，并且对应边成比例。
也就是说，如果两个三角形的对应角相等，并且它们的对应边成比例，那么这两个三角形是相似的。
2.相似三角形的性质：a.对应角相等：相似三角形的对应角相等，即对应角角度相等。
b.对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即对应边的长度之比相等。
例如，如果两个相似三角形的边长比为a/b，那么它们的各边的比例为a/b。
3.相似三角形的判定方法：a.AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似三角形。
b.SAS判定法：如果两个三角形的两边成比例，并且它们夹角相等，则它们是相似三角形。
c.SSS判定法：如果两个三角形的三边成比例，则它们是相似三角形。
4.相似三角形的性质：a.相似三角形的高和底边之比等于高和底边对应的边之比。
b.相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。
c.相似三角形的内角之比等于边长之比的平方。
5.相似三角形的应用：a.实际问题中的尺寸比较：相似三角形的边长比例可以用来比较不同尺寸的物体之间的大小关系。
例如，可以用相似三角形的原理来比较建筑物的高度，或者计算地球与月球之间的距离。
b.利用相似三角形进行测量：可以利用相似三角形的原理来测量高度、距离等不可测量的物理量。
例如，在无法直接测量一棵树的高度时，可以使用相似三角形的原理来间接测量树的高度。
c.相似三角形的证明：在证明几何定理和性质时，常常会用到相似三角形的概念。
通过证明相似三角形，可以推导出其他几何定理和性质。
相似三角形是几何学中重要的概念，它是许多几何问题的基础。
通过研究相似三角形，我们可以更好地理解几何学中的其他概念和定理，并将它们应用到实际问题中。
九年级相似三角形知识点总结材料及例题讲解
知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a =4、比例外项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a bb a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bcad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积）2.反比性质： c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
(完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档
相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
(4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
(5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
(6)判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ ABC 中，/ BAC=90 , AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)( AD) 2=BD- DC ( 2)( AB) 2=BD • BC ,22(3)( AC) =CD・ BC。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即 2 2(AB) + ( AC) = ( BC)2典型例题:例1 如图，已知等腰 △ABC 中，AB = AC , AD 丄BC 于D , CG II AB , BG 分别交AD , AC 于E 、F ，求证：BE 2=EF EG证明：如图，连结 EC ,v AB = AC , AD 丄BC ,•••/ ABC = Z ACB , AD 垂直平分 BC••• BE = EC ，/ 1 =Z 2，•/ ABC- / 1 =Z ACB- / 2 ,即/ 3 = Z 4，又 CG // AB ，•/ G = Z 3，•/ 4 = Z GCE EF又•••/ CEG = Z CEF , CEF GEC , • EG = CE • EC 2= EG- EF ，故 EB 2=EF -EG【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明•而 其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE , EF , EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
九年级相似三角形的知识点
九年级相似三角形的知识点相似三角形是初中数学中重要的概念之一。
它的应用广泛，并在高中数学学习中占据着重要的位置。
在九年级数学课程中，相似三角形的概念和性质是必修内容。
本文将详细介绍九年级相似三角形的知识点，并探讨其在实际问题中的应用。
一、相似三角形的定义相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
简单来说，当两个三角形的形状相似，但大小不同，我们就称它们为相似三角形。
二、相似三角形的判定条件1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，而另外两边的比值相等，那么这两个三角形是相似的。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三边的比值都相等，那么这两个三角形是相似的。
需要注意的是，只有满足以上判定条件，我们才能断定两个三角形是相似的。
三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等。
这是判定两个三角形相似的重要性质之一。
对应角的相等性保证了两个相似三角形的形状相似。
2. 相似三角形的对应边成比例。
这是判定两个三角形相似的另一个重要性质。
对应边的成比例性质意味着两个相似三角形的大小关系。
3. 相似三角形的高线成比例。
在相似三角形中，如果两个三角形中的高线分别与对应边垂直相交，那么这些高线也成比例。
四、相似三角形的应用相似三角形的概念和性质在实际问题中有广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 测量高度和距离。
通过相似三角形的原理，我们可以利用测得的一边和一个角度，计算另一个边的长度。
这在测量高楼大厦的高度、测量两个点之间的距离等方面非常有用。
2. 画图和制图。
在制图过程中，我们可以利用相似三角形的性质，通过已知的线段和角度，准确地绘制复杂的图形。
3. 解决实际问题。
相似三角形的原理和性质可以帮助我们解决很多实际问题，如计算棱镜的体积、计算太阳的半径等。
总之，相似三角形是九年级数学课程中的重要知识点。
通过理解相似三角形的定义、判定条件和性质，我们可以更好地应用它们解决实际问题。
第19课时：用相似三角形解决问题(2)备课笔记
备课笔记备课时间：年月日课题第19课时:用相似三角形解决问题（2）课型新授课教学设想课时目标重点难点准备【教学目标】1．通过操作、观察等数学活动，能区分中心投影与平行投影，了解中心投影的意义；2．经历从实际问题到建立相似三角形数学模型的过程，进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．【教学重点】会利用相似三角形的知识解决实际问题．【教学难点】从实际问题中建立数学模型．教学内容三次备课教学过程一次备课一、情景创设：夜晚，当你远离路灯行走时，你会发现什么？二、新知探究：活动一．操作与思考（1）取两根长度相等的小木棒，将它们直立摆放在不同位置，固定手电筒光源，测量木棒的影长．它们的影子长度相等吗？（2）改变手电筒光源的位置，木棒的影长发生了什么变化？（3）在点光源的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？结论：通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影。
一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的物高与影长不成比例．【设计意图】:通过实例了解中心投影,并能区分中心投影与平行投影，引导学生感悟得到相关结论，发展学生合情推理的能力.活动二．尝试与交流1．三根底部在同一直线上的旗杆竖立在地面上，第一、第二根旗杆在同一灯光下的影子如图所示，请在图中画出光源的位置，并画出第三根旗杆在该灯光下的影子(不写画法)．教学过程一次备课2．如图，某同学身高AB＝1.6m，他从路灯杆底部的点D直行4m到点B，此时其影长PB＝2m，求路灯杆CD的高度．【设计意图】:通过活动，进一步引导学生认识中心投影，并运用中心投影测量物体的高度.活动三．巩固与提升：如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向前进到点F处测得自己的影长FG=4m．如果小丽的身高为1.6m，求灯杆AB的高度．【设计意图】：1.引导学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型，培养学生解决问题的能力;2.本题还可以引导学生通过建立平面直角坐标系，运用函数、方程的知识加以解决.DCABP教学过程一次备课三、课堂检测：1．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45cm，小尺长a＝15cm，点D到铁塔底部的距离AD＝42m，则铁塔的高度是m．2．如图，在宽为24m的马路两侧各竖立两根灯杆AB、CD．当小明站在点N处时，在灯C的照射下小明的影长正好为NB，在灯A的照射下小明的影长为NE.已知NB=6m，NE=2m，判断这两根灯杆的高度是否相同，并说明理由．3．如图，两棵树的高度分别为AB=6m，CD=8m，两树的根部间的距离AC=4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到树CD的树顶D？四、总结提升：ABCDEMN。
相似三角形的计算与应用知识点总结
相似三角形的计算与应用知识点总结相似三角形是初中数学中较为重要的一个概念，它在几何图形的相似性以及角度和边长比例计算等方面有着广泛的应用。
掌握相似三角形的计算与应用是解决几何问题的关键。
本文将从相似三角形的定义入手，逐步介绍计算和应用知识点。
1. 相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状但可能不等大小的两个三角形。
两个相似三角形的对应角度相等，对应边长之比称为相似比。
具体而言：- 两个三角形的对应角度分别相等，即对应的三个角度完全相等或者对应的两个角度以及包含它们的一对对应边的夹角相等；- 对应边长之比相等，即三个边长的比值相等。
2. 相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质，我们可以通过这些性质来进行计算和解决问题。
以下是常见的相似三角形性质：- 对应角的相等性：两个相似三角形的对应角度相等；- 对应边长的比例性：两个相似三角形的对应边长之比等于两个三角形的相似比；- 高度和底边之比的相等性：两个相似三角形的相似比等于其中一个三角形的高度和底边之比；- 面积之比的相等性：两个相似三角形的面积之比等于两个三角形的相似比的平方。
3. 相似三角形的计算方法a. 已知两个相似三角形的相似比和一个边长若已知两个相似三角形的相似比为k，求未知三角形的对应边长时，可以使用如下方法：- 若已知对应边边长：未知边长 = 已知边长 × k；- 若已知对应边边比：未知边长与已知边长的比等于对应边边比，即未知边长/已知边长 = 对应边边比。
b. 已知两个相似三角形的一个边长和一个角度若已知两个相似三角形的一个角度和一个边长，求未知三角形的对应边长时，可以使用正弦定理和余弦定理。
- 正弦定理：在一个三角形中，任意一对角和其对边的比值相等。
即 sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c；- 余弦定理：在一个三角形中，两个边和夹角的平方和等于第三边和其所对角的平方。
即 a² = b² + c² - 2bc * cos(A)。
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备课笔记
备课时间：年月日课题第19课时:用相似三角形解决问题（2）课型新授课
教
学
设
想
课时
目标
重点
难点
准备
【教学目标】
1．通过操作、观察等数学活动，能区分中心投影与平行投影，了解中心投影的意
义；
2．经历从实际问题到建立相似三角形数学模型的过程，进一步了解数学建模的思
想，培养学生分析问题、解决问题的能力．
【教学重点】会利用相似三角形的知识解决实际问题．
【教学难点】从实际问题中建立数学模型．
教学内容三次备课
教
学
过
程
一
次
备
课
一、情景创设：
夜晚，当你远离路灯行走时，你会发现什么？
二、新知探究：
活动一．操作与思考
（1）取两根长度相等的小木棒，将它们直立摆放在不同位置，
固定手电筒光源，测量木棒的影长．它们的影子长度相等吗？
（2）改变手电筒光源的位置，木棒的影长发生了什么变化？
（3）在点光源的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？
结论：通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个
点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影。
一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的
物高与影长不成比例．
【设计意图】:通过实例了解中心投影,并能区分中心投影与平行
投影，引导学生感悟得到相关结论，发展学生合情推理的能力.
活动二．尝试与交流
1．三根底部在同一直线上的旗杆竖立在地面上，第一、第
二根旗杆在同一灯光下的影子如图所示，请在图中画出光源的
位置，并画出第三根旗杆在该灯光下的影子(不写画法)．
教学过程一
次
备
课
2．如图，某同学身高AB＝1.6m，他从路灯杆底部的点D直行
4m到点B，此时其影长PB＝2m，求路灯杆CD的高度．
【设计意图】:通过活动，进一步引导学生认识中心投影，并运
用中心投影测量物体的高度.
活动三．巩固与提升：
如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己
的影长DF=3m，沿BD方向前进到点F处测得自己的影长
FG=4m．如果小丽的身高为1.6m，求灯杆AB的高度．
【设计意图】：
1.引导学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型，培
养学生解决问题的能力;
2.本题还可以引导学生通过建立平面直角坐标系，运用函数、
方程的知识加以解决.
D
C
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教学过程一
次
备
课
三、课堂检测：
1．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺
的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处恰好能看到铁
塔的顶部B和底部A，设小明的手
臂长l＝45cm，小尺长a＝15cm，
点D到铁塔底部的距离AD＝42m，
则铁塔的高度是m．
2．如图，在宽为24m的马路两侧各竖立两根灯杆AB、CD．当
小明站在点N处时，在灯C的照射下小明的影长正好为NB，
在灯A的照射下小明的影长为NE.已知NB=6m，NE=2m，判断
这两根灯杆的高度是否相同，并说明理由．
3．如图，两棵树的高度分别为AB=6m，CD=8m，两树的根部
间的距离AC=4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，当小强与树AB
的距离小于多少时，就不能看到树CD的树顶D？
四、总结提升：
A
B
C
D
E
M
N。