2014理科数学圆锥曲线专项训练

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2014-2-11圆锥曲线题目及答案范文

2014-2-11圆锥曲线题目及答案一、选择题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版））椭圆221xmy +=的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为（）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A2 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为.A 22184x y += .B 221126x y += .C 221168x y += .D 221205x y +=【答案】B3 ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线22ypx=的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D 双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =.4 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A ．12 B ．2C ．2D ．1【答案】A5 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.【答案】22143x y -= 6．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则双曲线的离心率e 的值为__________ .【答案】27．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___.【答案】221432x y -= y =± 8．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P 在抛物线y 2=4x上,那么使得点P 到定点Q(2,,-1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为___【答案】)1,41(-9．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为___【答案】310．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线221xky -=的一个焦点是0),则其渐近线方程为________.【答案】2y x =±;11．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点,且经过抛物线28y x =的焦点,则圆C 的方程为______________.【答案】22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=];易得圆心坐标为11(,)22,半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】12．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题）在平面直角坐标系Oxy中,若双曲线14222=+-m y m x 的焦距为8,则=m _______.【答案】3(未排除4-,给3分)13．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线24xy=上一点P 到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是_____.【答案】4±14．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.15．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________.【答案】双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.16 ．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）曲线21y axax =-+ (0)a ≠在点()0,1处的切线与直线210x y ++=垂直,则a = （）A ．13B ． 13-C ．12D ．12-17 ．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为（）A ．22136x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22154x y -= 18 ．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知F 是抛物线2y x =的焦点,,A B 是抛物线上的两点,3AF BF +=,则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为（）A ．34B ．1C ．54D ．7419 ．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(理)试题）已知F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ．B 两点,若ΔABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围为（） A ．(1,+∞)B ．(1,2)C ．(1,1+2)D ．(2,1+2)20 ．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题）已知抛物线241y x =的焦点是C 的圆心,且该圆与直线0643=++y x 相切,则圆C 的方程为（） A ．2)1(22=+-y xB ．4)1(22=-+y xC ．)1(22+-y x 21 ．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线,切点为E ,延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ,O 为原点,若()OP OF OE +=21,则双曲线的离心率为（）A ．333+ B ．251+ C ．25 D ．231+ 22 ．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）已知抛物线22px y =(p>0)的准线与圆05422=--+y y x 相切,则p 的值为（）A ．10B ．6C ．81 D ．241 23 ．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）已知抛物线22y px=的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为K ,点A 在抛物线上且AK =AFK 的面积为（）A ．4B ．8C ．16D ．3224 ．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（理）试题）设双曲线2221(0)9y x a a -=>的渐近线方程为340x y ±=,则双曲线的离心率为（）A ．54B ．53C D 25．（吉林省2013年高三复习质量监测数学（理）试题）已知互相垂直的两条直线y=kx 和y=-kx分别与双曲线2x 2-y 2=1交于点A,B,点P 在线段AB 上,且满足..=则所有的点P 在（）A ．双曲线2x 2-y 2=1上B ．圆x 2+y 2=1上C ．椭圆1222=+y x 上D ．|x|+|y|=1上26．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称相异两点A B 、,则||AB 等于（）A ．3B ．4C ．D ．27．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点,以线段12F F 为边作正12MF F ∆,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为( ) （）A ．4+B 1C D28．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word 版，含答案））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点O 为双曲线的中心,点P 在双曲线右支上,12PF F ∆的内切圆圆心为Q ,圆Q 与x 轴相切于点A,过2F 作直线PQ 的垂线,垂足为B,则下列结论成立的是（）A ．||||OA OB >B ．||||OA OB <C ．||||OA OB =D ．||||OA OB 与的大小关系不确定本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.29．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）已知抛物线)0(:2>=a ax y C 的焦点到准线的距离为41, 且C 上的两点()()2211,,,y x B y x A 关于直线m x y +=对称, 并且2121-=x x , 那么m = （）A ．23B ．25 C ．2 D ．330．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）已知21,F F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点,若2ABF ∆是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221,1 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,221 C ．()21,1+ D ．()+∞+,2131．（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A ,B 两点,设双曲线的左顶点为M ,若∆MAB 是直角三角形,则此双曲线的离心率e 的值为（） A ．32B ．2CD32．（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是（）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,+∞C ．()1,2D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭33．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为12,F F ,两条曲线在第一象限的交点记为P ,12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =,椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ,则12e e ⋅的取值范围是（）A ．)51,0(B ．)31,51(C ．1(,)3+∞D ．1(,)5+∞34．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切,则双曲线的离心率为（）ABC ．2D ．335．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题）设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>> 的右焦点为F ,直线:x=ca 2与两条渐近线交于,P Q 两点,如果PQF ∆是等边三角形,则双曲线的离心率e 的值为（）A ．12B ．32C ．3D ．236．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题）若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0的“自公切线”.下列方程:①221x y -=;②2||y x x =-,③3sin 4cos y x x =+;④||1x +=对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④37．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）已知双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c,离心率为e,若点(-1,0)与点(1,0)到直线1=-b y a x 的距离之和为S,且S c 54≥,则离心率e 的取值范围是（）A ．]5,25[B ．]7,2[C ．]7,25[D ．]5,2[38．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ,在长轴12A A 上任取一点M ,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ,则使得120PF PF ⋅<的点M 的概率为（）A B C D ．1239．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学（理)试题）过抛物线22(0)ypx p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ,直线l 与抛物线的准线的交点为B ,点A 在抛物线的准线上的摄影为C ,若AF FB =,36BA BC ⋅=,则抛物线的方程为（）A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x =D ．2y =40．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆4222a y x =+的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ,若)(21+=,则双曲线的离心率为（）A ．210 B ．510 C ．10D ．241．（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考理科数学试题）抛物线24y px =(0p >)与双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)有相同的焦点为F ,点A 是两曲线的交点,且AF x ⊥轴,则双曲线的离心率为（）A B 1C 1D 一、选择题 1. D 2. B 3. C 4. B 5. B 6. B7. C8. D9. B10. B11. C12. D13. C14. A15. C16. B17. C18. C19. C20. D21. B22. A23. B24. D25. A26. B。

2014高考题---圆锥曲线(含答案)

高考数学试题汇编---圆锥曲线1. 【2014高考安徽卷文第3题】抛物线241x y =的准线方程是（）A. 1-=yB. 2-=yC. 1-=xD. 2-=x2. 【2014高考全国1卷文第4题】已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a （） A. 2 B.26 C. 25D. 1 3. 【2014高考大纲卷文第9题】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（） A.22132x y += B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y+= 4. 【2014高考大纲卷文第11题】双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（）A. 2B. 22C.4D.425. 【2014高考天津卷卷文第6题】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A .120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 6. 【2014高考广东卷文第8题】若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（）A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等7. 【2014高考江西卷文第9题】过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A 则双曲线C 的方程为（）A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x 8. 【2014高考辽宁卷文第8题】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 9. 【2014高考全国2卷文第10题】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（）（A ）303（B ）6 （C ）12 （D ）73 10. 【2014高考湖北卷文第8题】设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根，则过),(2a a A ，),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 311. 【2014高考重庆卷文第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为( )2 B.15 C.4 D.1712. 【2014高考四川卷文第10题】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（） A ．2 B ．3 C ．1728D ．101.【2014高考陕西卷文第11题】抛物线24y x =的准线方程为________.2. 【2014高考四川卷文第11题】双曲线2214x y -=的离心率等于____________. 3. 【2014高考上海卷文第4题】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.4. 【2014高考北京卷文第10题】设双曲线C 的两个焦点为()2,0-，()2,0，一个顶点为()1,0，则C 的方程为 .5. 【2014高考浙江卷文第17题】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A 、B ，若)0,(m P 满足||||PB PA =，则双曲线的离心率是 .6. 【2014高考江西卷文第14题】设椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于 B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________.7. 【2014高考辽宁卷文第15题】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .8. 【2014高考湖南卷文第14题】平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________.23. 【2014高考安徽卷文第21题】设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF = (1) 若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； (2) 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.24. 【2014高考北京卷文第19题】已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.25. 【2014高考大纲卷文第22题】已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.26. 【2014高考福建卷文第21题】已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.27. 【2014高考广东卷文第20题】已知椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为53. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.28. 【2014高考湖北卷文第22题】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C . （1）求轨迹为C 的方程（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围.29. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.30. 【2014高考江苏第17题】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.31. 【2014高考江西文第20题】，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y=相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.32. 【2014高考辽宁文第20题】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:+3l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.xyOP33. 【2014高考全国2文第20题】设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .34. 【2014高考山东文第21题】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，直线y x =被椭圆C 截得的线段长为4105.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）.点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点.（i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求CMN ∆面积的最大值.35. 【2014高考陕西文第20题】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,3)，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. （1）求椭圆的方程；（2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||53||4AB CD =，求直线l 的方程.36. 【2014高考上海文第22题】在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线.37. 【2014高考四川文第20题】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为63. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.38. 【2014高考天津文第18题】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.39. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =；（1）若||3PF =，求点M 的坐标；（2）求ABP ∆面积的最大值.40. 【2014高考重庆文第21题】如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F ∆的面积为22. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.答案与解析：一、选择题：1-5：ADACA 6-10：DACCA 11-12：DB 二、填空题：1、1-=x2、25 3、2-=x 4、122=-y x 5、25 6、337、12 8、()()∞+⋃∞，，11-- 三、解答题：23. 【2014高考安徽卷文第21题】设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF = (3) 若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ；(4) 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率. 【答案】（1）5；（2）22. 【解析】试题分析：（1）由题意11||3||,||4AF F B AB ==可以求得11||3,||1AF F B ==，而2ABF ∆的周长为16，再由椭圆定义可得12416,||||28a AF AF a =+==.故21||2||835AF a AF =-=-=.（2）设出1||F B k =，则0k>且1||3,||4AF k AB k ==.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出,a k 的PBA M Fyx关系()(3)a k a k +-=，从而3a k =，212||3||,||5AF k AF BF k ===，则2222||||||BF F A AB =+，24. 【2014高考北京卷文第19题】已知椭圆C ：2224x y +=. （2）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.25. 【2014高考大纲卷文第22题】已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.26. 【2014高考福建卷文第21题】已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（2）求曲线Γ的方程；（3）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定||6AB =.试题解析：解法一：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等，所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下：解法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，则22|(3)|(0)(1)2y x y --=-+-=，依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-，所以22(0)(1)1x y y -+-=+，化简得，曲线Γ的方程为24x y =. （2）同解法一.考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.27. 【2014高考广东卷文第20题】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为53. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【考点定位】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用，属于难题.28. 【2014高考湖北卷文第22题】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C . （1）求轨迹为C 的方程（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围. 【答案】（1）⎩⎨⎧<≥=)0(,)0(42x o x x y ；（2）当),21()1,(+∞--∞∈ k 时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点；当)0,21[}21,1{--∈ k 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有两个公共点；当)21,0()211( -∈k 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有三个公共点.所以此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点)1,41(.当0≠k 时，方程①的判别式为)12(162-+-=∆k k ②设直线l 与x 轴的交点为)0,(0x ，则由)2(1+=-x k y ，令0=y ，得kk x 120+=③ （i ）若⎩⎨⎧<<∆000x ，由②③解得1-<k 或21>k .即当),21()1,(+∞--∞∈ k 时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点. （ii ）若⎩⎨⎧<=∆000x 或⎩⎨⎧≥>∆000x ，由②③解得}21,1{-∈k 或021<≤-k ，29. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.【考点定位】椭圆双曲线向量向量内积30. 【2014高考江苏第17题】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.由1F C AB ⊥得323()13b b a c c c ⋅-=-+，即42243b a c c =+，∴222224()3a c a c c -=+，化简得55c e a ==．【考点】椭圆标准方程，椭圆离心率，直线与直线的位置关系． 31. 【2014高考江西文第20题】，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.（2）证明：动点D 在定直线上；（3）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.32. 【2014高考辽宁文第20题】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:+3l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.xyOP【答案】（Ⅰ）(2,2)；（Ⅱ）22163x y += 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先设切点P 00(x ,y )00(x 0,,y 0)>>，由圆的切线的性质，根据半径OP 的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为004x x y y +=，建立目标函数000014482S x y x y =⋅⋅=．故要求面积最小值，26a =．从而所求C 的方程为22163x y +=．【考点定位】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．33. 【2014高考全国2文第20题】设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）7,27a b == 【解析】34. 【2014高考山东文第21题】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，直线y x =被椭圆C 截得的线段长为4105.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）.点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点.（i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求CMN ∆面积的最大值.由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122814mkx x k +=-+，因此121222()214my y k x x m k+=++=+，由题意知，12x x ≠所以1211121144y y y k x x k x +==-=+，35. 【2014高考陕西文第20题】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,3)，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. （2）求椭圆的方程；（3）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||53||4AB CD =，求直线l 的方程.试题解析：（1）由题意可得312222bcaa b c⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,3,1a b c===∴直线l 的方程为1323y x =-+或1323y x =--考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题.36. 【2014高考上海文第22题】在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线.37. 【2014高考四川文第20题】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为63. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式. 将2x my =-代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=. 其判别式22168(3)0m m ∆=++>. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =，即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩，解得1m =±. 此时四边形OPTQ 的面积2122214222||||2()423233OPTQ OPQ m S S OF y y m m -==⨯⋅-=-=++.【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积. 38.【2014高考天津文第18题】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.39. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =；（1）若||3PF =，求点M 的坐标；（2）求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）)32,322(-M 或)32,322(M ；（2）1355256. 【解析】PBA M Fyx40. 【2014高考重庆文第21题】如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F ∆的面积为22. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.由（Ⅰ）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =.当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y20. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =；（1）若||3PF =，求点M 的坐标；（2）求ABP ∆面积的最大值.21.【2013浙江文22】已知抛物线C 的顶点为O （0,0），焦点F （0,1）（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点.若直线AO 、BO 分别交直线l ：y=x-2于M 、N 两点，求|MN|的最小值.PBA M Fyx。

2014年高考数学真题解析之圆锥真题(理科)

2014高考圆锥曲线真题汇总（理科）1．（满分14分）如图在平面直角坐标系x o y 中，12,F F 分别是椭圆顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1FC .（1）若点C 的坐标为（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.2．已知点A ()02-，,椭圆F 是椭圆E 的右焦点，直线AF O 为坐标原点（I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点。

当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程.3．已知椭圆C （0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii T 的坐标. 4．（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.5．如图，曲线C 由上半椭部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为（1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程. 6．（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 7．（本小题满分13分）如图，已知双曲线()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥的右焦点1a ,点2a 分别在1b 的两条渐近线上，1b 轴，2112,a a b b ξη=-=-∥3n =(ξ为坐标原点）.（1）求双曲线ξ的方程；（2）过η上一点()p c 的直线与直线()p c 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，. 8（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 9．（本小题满分13分）的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由.10的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，，12DF F ∆的面积为（1）求该椭圆的标准方程；（2）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..11动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.（１）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（２）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.12．（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已1232F F （1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线13．设1F ,2F 分别是椭圆M 是C 上一点且2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （1）若直线MNC 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2a,b.14．圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）P（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.15．如图,O 为坐标原点,的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知(1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.16．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C .（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围.17．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C的交点为Q （1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 18．已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.19．如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点. （1）证明：;//2211B A B A（2）过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点.记111C B A ∆与222C B A ∆的面积分别为1S 与2S ,.参考答案1．（1（2【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷带解析）【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系,,a b c的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于,,a b c 的方程，另外（2）要求离心率，就是要列出关于,,a b c 的一个等式，题设条件是1FC AB ⊥，即11F C AB k k ⋅=-，求1F C k ，必须求得C 的坐标，由已知写出2BF 方程，与椭圆方程联立可解得A 点坐标11(,)x y ，则11(,)C x y -，由此1F C k 可得，代入11F C A Bk k⋅=-可得关于,,a b c 的等式，再由可得e 的方程，可求得e . 试题解析：（1）由题意，2(,0)F c ，(0,)B b，，解得1b =．∴椭圆方程为（2）直线2BF 方程为联立方程组，解得A 点坐标为，则C 点坐标为又，由1F C A B ⊥得，即4223b a c c =+，∴22222()3a c a c c -=+，化简得【考点】椭圆标准方程，椭圆离心率，直线与直线的位置关系．2．（I （II 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）【解析】试题分析：（I ）由直线AF 求得2a =，再利用222b a c =-求b ，进而可确定椭圆E 的方程；（II ）依题意直线l 的斜率存在，故可设直线l 方程为2y kx =-，和椭圆方程联立得22(14k )x 16120kx +-+=．利用弦长公式表示利用点到直线l 的距离求OPQ ∆的高从而三角形OPQ ∆的面积可表示为关于变量k 的函数解析式()f k ，再求函数最大值及相应的k 值，故直线l 的方程确定．试题解析：（I ）设右焦点(c,0)F ，由条件知，，所以2a =，222b ac =-1=．故椭圆E 的方程为（II ）当l x ⊥轴时不合题意，故设直线:l 2y kx =-，1122(x ,y ),Q(x ,y )P ．将2y kx =-得22(14k )x 16120kx +-+=．当216(4k 3)0∆=->，即又点O 到直线PQ 的距离d =所以OPQ ∆的面积则0t >，，当且仅当2t =时，0∆>．所以，当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为【考点定位】1、椭圆的标准方程及简单几何性质；2、弦长公式；3、函数的最值．3．（2）(3,0)T - 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析）【解析】试题分析：（1）因为焦距为4，所以2c =，由此可求出,a b 的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为2236x y +=.设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=.（ⅰ）设PQ 的中点为00(,)M x y ，求出,OM OT k k ，只要O M O T k k=，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用m 表示出PQ ，TF 可得：再根据取等号的条件，可得T 的坐标.试题解答：（1）2c =，又（2）椭圆方程化为2236x y +=.（ⅰ）设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=. 设PQ 的中点为00(,)M x y ，则又TF 的方程为0(2)y m x -=-+，则3x =-得y m =，OT 过PQ 的中点，即OT 平分线段PQ.当1m =±时取等号，此时T 的坐标为(3,1)T -±.【考点定位】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4．(1)证明见解析；（2（3）证明见解析. 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷带解析）【解析】试题分析：本题属于新定义问题，（1）我们只要利用题设定义求出η的值，若0η<，则结论就可得证；（2）直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，首先直线与曲线无交点，即直线方程与曲线方程联立方程组2241x y y kx⎧-=⎨=⎩，方程组应无实解，方程组变形为22(14)10k x --=，此方程就无实解，注意分类讨论，按二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线y kx =的两侧．则可得到所求范围；（3）首先求出轨迹E 的设其方程为y kx =，这个方程有无实数解，直接判断不方便，可转化为判断函数22()(1)44F x k x kx =+-+与的图象有无交点，而这可利用函数图象直接判断．()y F x =是开口方向向上的二次函数，()y G x =是幂函数，其图象一定有交点，因此直线y kx =不是E 的分隔线，过原点的直线还有一条就是0x =，它显然与曲线E 无交点，又曲线E 上两点(1,2),(1,2)-一定在直线0x =两侧，故它是分隔线，结论得证．试题解析：（1）由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔. （2）由题得，直线y kx =与曲线2241x y -=无交点即222241(14)10x y k x y kx⎧-=⇒--=⎨=⎩无解 ∴2140k -=或221404(14)0k k ⎧-≠⎨∆=-<⎩，∴ 又对任意点(1,0)和(1,0)-在曲线2221x y -=上，满足20k η=-<，被直线y kx =分隔，所以所求k 的范围是（3）由题得，设(,)M x y ，∴ 化简得，点M 的轨迹方程为222[(2)]1x y x +-⋅= ①当过原点的直线斜率存在时，设方程为y kx =. 联立方程，2222432[(2)]1(1)4410x y x k x kx x y kx⎧+-⋅=⇒+-+-=⎨=⎩.令2432()(1)441F x k x kx x =+-+-，因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0F F k =-⋅-+<，所以方程()0F x =有实解，直线y kx =与曲线E 有交点．直线y kx =不是曲线E 的分隔线． ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =.显然0x =与曲线222[(2)]1x y x +-⋅=没有交点，又曲线E 上的两点(1,2),(1,2)-对于直线0x =满足110η=-⋅<，即点(1,2),(1,2)-被直线0x =分隔．所以直线0x =是E 分隔线．综上所述，仅存在一条直线0x =是E 的分割线. 【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.5．（1）2a =，1b =；【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷带解析）【解析】试题分析：（1）由上半椭圆和部分抛物22:1(0)C y x y =-+≤公共点为,A B ，得1b =，设2C 的半焦距为c ，由2221a c b -==，解得2a =；（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为，(1,0)B ，易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，故可设其方程为(1)(0)y k x k =-≠，并代入1C 的方程中，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-=，，又(1,0)B ，得得点P 的坐标同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ----，最后由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r ,故直线l试题解析：（1）在1C 方程中，令0y =，得(,0),(,0)A b B b - 在2C 方程中，令0y =，得(1,0),(1,0)A B - 所以1b =设2C 的半焦距为c ，由及2221a c b -==，解得2a = 所以2a =，1b =（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为，(1,0)B 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠ 代入1C 的方程中，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-= （*）设点P 的坐标(,)P P x y又(1,0)B ，得所以点P 的坐标为同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ---- ，(1,2)AQ k k =-+u u u rAP AQ ⊥Q0AP AQ ∴⋅=u u u r u u u r ,0k ≠Q ，4(2)0k k ∴-+=，解得故直线l 的方程为考点：椭圆和抛物线的几何性质；直线与圆锥曲线的综合问题.6．（I ）24y x =.（II ）（ⅰ）直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）ABE ∆的面积的最小值为16. 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷带解析）【解析】试题分析：（I 解得3t p =+或3t =-（舍去）.得2p =.抛物线C 的方程为24y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>，可得02D x x =+，即0(2,0)D x +，直线AB 根据直线1l和直线AB 平行，可设直线1l 的方程为直线AE 恒过点(1,0)F .注意当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，得到结论：直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ，设直线AE 的方程为+1x my =，根据点00(,)A x y 在直线AE 上，，再设11(,)B x y ，直线AB应用点B 到直线AE从而得到三角形面积表达式，应用基本不等式得到其最小值. 试题解析：（I设(,0)(0)D t t >，则FD因为||||FA FD =，解得3t p =+或3t =-（舍去）. ，解得2p =. 所以抛物线C 的方程为24y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>，因为||||FA FD =，则0|1|1D x x -=+，由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +，故直线AB 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为设(,)E E E x y ，则当204y ≠时，可得直线AE由2004y x =，直线AE 恒过点(1,0)F .当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ，设直线AE 的方程为+1x my =，因为点00(,)A x y 在直线AE 上，设11(,)B x y ，直线AB由于00y≠，所以点B到直线AE的距离为则ABE∆的面积即01x=时等号成立.所以ABE∆的面积的最小值为16.考点：抛物线的定义及其几何性质，直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式，基本不等式的应用.7．（12【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷带解析）【解析】试题分析：（1）求双曲线ξ的方程就是要确定a的值，用a,c表示条件：1b轴，2112,a a b b ξη=-=-∥3n =，即可得：直线OBOAAB ⊥OB ，解得23a =，故双曲线C2）本题证.分别用坐标表示直线l 与AF及直线l 与直线的交点为)，并利用化简.：试题解析：（1）设(,0)F c ，因为1b =，所以直线OB又直线OA又因为AB ⊥OB ，解得23a =，故双曲线C （2）由（1，则直线l 的方程为因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF直线l 与直线因为是C考点：双曲线方程，直线的交点8．（1（2）220013x y +=.【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析）【解析】试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、b 、c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. 试题解析：（1解得2b =，因此椭圆C 的标准方程为（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-，当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-，将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得()()()222000094189360kx k y kx x y kx ++-+--=，()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⨯+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，化简得()2200940y kx k ---=，即()()22200009240x k kx y y --+-=，则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()()22200009240x k k x y y --+-=的两根，则化简得220013x y +=；②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆2213x y +=上.综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.【考点定位】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用，属于难题. 9．存在【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷带解析）【解析】试题分析：(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==,(2)首先分类讨论直线l 的位置..再讨论直线l 不垂直于x 轴,由OAB ∆的面积恒为8,由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线l 有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-.所以从而双曲线E (2)由(1)知,双曲线E设直线l 与x 轴相交于点C.当l x ⊥轴时,若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点,又因为OAB ∆的面积为8,此时双曲线E 的方程为若存在满足条件的双曲线E,则E 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E.设直线l 的方程为y kx m =+,依题意,得k>2或k<-2.记1122(,),(,)Ax y Bx y .由2y x y kx m=⎧⎨=+⎩,得,同理得.由得,由得, 222(4)2160k x kmx m ----=.因为240k -<,所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---,又因为224(4)m k =-.所以∆=,即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E,且E考点：1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.10．（1（2【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷带解析）【解析】试题分析：（1）由题设知()()12,0,,0F c F c -其中222c ab =- 结合条件12DF F ∆的面积为，可求c 的值，再利用椭圆的定义和勾股定理即可求得,a b 的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点为()()111222,,,P x y P x y 由圆的对称性可知1212,x x y y =-=，利用()()111222,,,P x y P x y 在圆上及11220PF P F ⋅=u u u u r u u u u r确定交点的坐标，进而得到圆的方程.解：（1）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，故1c =.，由112DF F F ⊥得（2）如答（21）图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=由（1）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--u u u u r u u u u r ，再由11F P ⊥22F P得()221110x y -++=，即211340x x +=，10x =.当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C . 由11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P ，知21CP CP ⊥，又12||||CP CP =故圆C 的半考点：1、圆的标准方程；2、椭圆的标准方程；3、直线与圆的位置关系；4、平面向量的数量积的应用.11．（1）点P 的坐标为（2）详见解析．【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷带解析）【解析】试题分析：（1）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标，由已知椭圆动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，可设出直线l 的方程为()0y kx m k =+<，结合椭圆方程，得，消去y 得，()22222222220ba kxa kmx a m ab +++-=，令0∆=，得22220b m a k -+=，即2222b a k m +=，代入原式得点P 的坐标为，再由点P 在第一象，可得点P 的坐标为（2）点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -，由直线1l 过原点O 且与l 垂直，得直线1l 的方程为0x ky +=，利用点到直线距离公式可得，即，由式子特点，需消去k 即可，注意到即可证明．（1）设直线l 的方程为()0y k x m k =+<，由，消去y 得，()22222222220ba kxa kmx a m ab +++-=，由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=，即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为，由点P 在第一象限，故点P 的坐标为（2）由于直线1l 过原点O ，且与l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，所以点P 到直线1l 的距离，整理得，因为时等号成立，所以点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.点评：本题主要考查椭圆的几何性质，点单直线距离，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何得基本思想方法，基本不等式应用等综合解题能力。

2014全国各地数学高考试题圆锥曲线、数列、导数专项训练答案

考点14 圆锥曲线及其标准方程【4】（A ，新课标Ⅰ，理10）、C 解析：如图所示,过点Q 作QM l ⊥ 于M ，则||||QM QF =， ∵4FP FQ = ∴||3||4PQ PF = 由相似三角形的性质，可知||||||4PQ QM PF =，∴||||3QF QM ==. 【5】（A ，广东，文8）、D 解析：05k <<，∴50k ->，160k ->，从而两曲线都为双曲线，又16(5)(16)5k k +-=-+，故两双曲线的焦距相等.【6】（A ，广东，理4）、D 解析：09k <<，∴90k ->，250k ->，故两曲线都为双曲线，又25(9)(9)k k +-=-+，故两双曲线的焦距相等.【9】（B ，全国大纲，文9理6）、A解析：1AF B ∆的周长为11||||||AF AB F B ++1221||||||||AF AF F B F B =+++ 1221(||||)(||||)AF AF F B F B =+++ 224433a a a a =+==⇒=.而离心率33331333c e c a a ==⇒=⨯=⨯=，所以222312b a c =-=-=，从而所求椭圆的方程为22132x y +=. 【10】（B ，全国大纲，理9）、A解析：根据双曲线定义可得12||||2F A F A a -=，又因为12||2||F A F A =，所以21||2,||4AF a AF a ==，而离心率22ce c a a==⇒=，所以12||4F F a =，在12AF F ∆中，由余弦定理得222212121212||||||cos 2||||AF F F AF AF F AF F F +-∠=2224161612244a a a a a +-==⨯⨯.【11】（B ，全国大纲，文11）、C解析：设双曲线右焦点坐标为(,0)c ，由双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=得：223bc a b =+，结合222a b c +=和2ca=得：2c =，所以24c =. 【12】（B ，天津，文6理5）、AQ (2,0)Px y F O M第4题图解析：∵渐近线斜率为2，∴2=b a，∵焦点为（-5，0），∴5c =，∵222+=a b c ，∴225,20==a b .【13】（B ，重庆，文8）、D解析：由题意223,12|PF |-|PF b ab =-（|）得,3422ab b a -=得b a =4，4=ab，所以1722222=+===ab a ac a c e . 【14】（B ，重庆，理8）、B解析：设P 在右支上，12||||2PF PF a -=，因12129||||3,||.||,4PF PF b PF PF ab +==所以 212(||||)PF PF -=212(||||)PF PF +-124PF PF ⋅，即ab b a 99422-=，由222c b a =+得35=a c . 【16】（B ，山东，理10）、A 解析：由已知得2231()1()2b b aa-⋅+=，所以12b a =，双曲线的渐近线方程为12y x =±，即20x y ±=.【17】(B ，辽宁，理10)、D 解析：∵点()2,3A -在抛物线2:2C y px =的准线上，∴2,42pp -=-=，∴()2,0F ，设过A 的切线的斜率为k ，则切线方程为()32y k x -=+.解方程组()2328y k x y x⎧-=+⎪⎨=⎪⎩，得23208y k y k ⋅-++=. ∵方程组只有一组解，∴方程有一个解()()2142308kk ∆=--⨯+=， ∴()2230k k -+=，∴22320k k +-=，∴12k =，或2k =-(负值舍去). AB O Fyx第17题图∴214028y y ⋅-+=，∴216640y y -+=， ∴()8,8B ，∴804823k -==-. 【18】（C ，湖北，理9）、A解析：设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=，12||a a PF -=，因为6021=∠PF F ，由余弦定理得))(()()(41121212a a a a a a a a c -+--++=，所以212234a a c +=，即221134e e +=，由柯西不等式知：111433e e +≤. 【19】（C ，福建，理9）、D解析：圆22(6)2x y +-=的圆心(0,6)C ,半径2r =，设 00(,)Q x y ，则2200110x y +=， 22220000(6)1010(6)CQ x y y y =+-=-+- 2029()503y =-++，当023y =-时，CQ 取得最大值52，所以PQ 的最大值是5262r +=.【20】（A ，北京，文10）、221x y -=解析：由题意知双曲线焦点在x 轴上，2=c ，据顶点坐标知1a =.由221c a +=求得1b =，则双曲线C 的方程为221x y -=.【21】（A ，北京，理11）、22-=1312x y ；2y x =±．解析：双曲线1422=-x y 的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为x y 2±=.设C ：mx y =-224并将点()2,2代入C 的方程，解得3-=m 故C 的方程为3422-=-x y ，即112322=-yx ．【22】（A ，上海，文4理3）、2x =-解析：因椭圆 22195x y +=的2c =，所以22p=，所以抛物线的准线方程为2x =-. 【23】（A ，四川，文11）、52解析：由题意，1,2==b a ，所以5=c所以，25==a c e . 【24】（A ，陕西，文11）、1-=x解析：由抛物线准线定义知，准线方程为：1-=x .【25】（B ，江西，文14）、33解析：设点O 为坐标原点，在12Rt F F B ∆中，O 为12F F 的中点，2BF x ⊥轴，OD x ⊥轴，所以点D 为1F B 的中点，又1AD F B ⊥，所以1AF AB =，由椭圆对称性知122AF AB AF ==，通径22b AB a =，所以21232b AF AF a a +==，易得33e =. 【26】（B ，安徽，理14）、12322=+y x解析：由题意，22b AF =，)3,35(2b c B --代入椭圆方程中得：32,3122==b c ，所以:E 12322=+y x .【27】(B ，辽宁，文15理15)、12解析：设线段MN 的中点为P ，连结12,PF PF .∵M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ， ∴1222412AN BN F P F P a +=+==.OxyBANF 1F 2MPE FG xyAB CD O第27题图第28题图【28】（B ，湖南，理15）、2+1解析：如图，因为原点O 为AD 的中点，抛物线()2:20M y px p =>经过点C ，所以点D为抛物线M 的焦点、直线AB 为抛物线M 的准线.又因为点F 在抛物线M 上，所以DF a b =+，即2b a b =+，解得21ba=+. 【29】（C ，山东，文15）、y x =±解析：由题意知2224p a c +=，所以2p b =，所以由点(,)c b -在双曲线上可得222c a =，即a b =，所以双曲线的渐近线方程为y x =±.【30】（B ，重庆，理21）解析：（I ）设).0,(),0,(21c F c F -其中222b ac -=由22121=DF F F 得.2222211c F F DF ==从而.222221221121==⋅=∆c F F DF S F DF 故1=c 从而.221=DF 由211F F DF ⊥得292212122=+=F F DF DF 因此.2232=DF 所以22221=+=DF DF a ，故2=a ，.1222=-=c ab 因此，所求椭圆的标准方程为.1222=+y x （II ）如下页图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆222x y +1=相交，111(,)P x y ，222(,)P x y 是两个交点，10y >,20y >.2211,P F P F 是圆C 的切线，且2211P F P F ⊥.由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =，121||2||PP x =. 由（I ）知).0,1(),0,1(21F F -所以1111(1,)FP x y =+， 2211(1,)F P x y =--. 再由2211P F P F ⊥得0)1(2121=++-y x .由椭圆方程,122121=+y x 知1)1(22121=++x x ，即043121=+x x 解得 143x =-或10x =.当01=x 时，21,P P 重合，此时题设要求的圆不存在.当341-=x 时，过21,P P 分别与2211,P F P F 垂直的直线的交点即为圆心C . 由2211,P F P F 是圆C 的切线，且2211P F P F ⊥，21CP CP ⊥，又.21CP CP =故圆C 的半径.2342221211===x P P CP 【31】（C ，重庆，文21）解析：（I ）设12(,0),(,0)F c F c -，其中222c a b =-，由12122F F DF =得1212222F F DF c ==从而，c F F DF S F ΔDF 222221221121===1c = 从而22DF 1=，112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，所以2322DF = yxP 1P 2DF 1F 2OC第30(II)、31(II)题图所以12222a DF DF =+=，故2a =，2b =221a c -=.因此，所求椭圆的标准方程为2212x y +=.（II ）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，111222(,),(,)P x y P x y 是两个交点，01>y ，02>y ，1122,F P F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥.由圆和椭圆的对称性易知2112,x x y y =-=由（I ）知12(1,0),(1,0)F F -. 所以11112211(1,),(1,)F P x y F P x y =+=-- 再由1122F P F P ⊥得2211(1)0x y -++=.由椭圆方程得2121)1(21+=-x x ，即043121=+x x ，解得341-=x ，或01=x . 当10x =时，12,P P 重合，题设要求的圆不存在.当143x =-时，过12,P P 分别与1122,F P F P 垂直的直线的交点即为圆心C .由2211,P F P F 是圆C 的切线，且2211P F P F ⊥，21CP CP ⊥，又.21CP CP =故圆C 的半径.2342221211===x P P CP 设0(0,)C y ,由111CP F P ⊥,得10111 1.1y y y x x -⋅=-+ 而11113y x =+=，故05.3y =综上，存在满足题设条件的圆，其方程为22532()39x y +-=. 考点15 直线与圆锥曲线【1】（B ，新课标II ，文10）、C解析：法1 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线方程得3(,0)4F ，依题设直线AB 方程为33()34y x =-，由方程组233()343y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消y 得2219216x x -+0=， ∴21AB k a =+V 144191344=+-12=.法2 易得抛物线23y x =的焦点()3,04F ，从而直线AB 的方程为：33()34y x =-. 由233()343x y y x ⎧==-⎪⎨⎪⎩消y 得21616890x x -+=，所以12212x x +=，12||=3122x x AB ++=.【2】（B ，新课标II ，理10）、D解析：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线方程得3(,0)4F ，依题意设直线AB 方程为33()34y x =-，由方程组233()343y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩消x 得293304y y --=，∴1233y y +=，1294y y =-， ∴12y y -21212()46y y y y =+-=，012113962244A B S OF y y ∆∴=⨯⨯-=⨯⨯=.【3】（B ，湖北，文8）、A 解析：由于b a ,是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根，所以sin cos a b θθ+=-，0ab =过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线为222()b a y a x a b a--=--，即y =(b+a)x -ab ，即sin cos y x θθ=-，因为双曲线22221cos sin x y θθ-=的一条渐近线方程为sin cos y x θθ=-，所以过),(2a a A ),(2b b B ，两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为0．【4】（C ，四川，文10理10）、B解析：由题意)0,41(F ，设),(),,(222121y y B y y A ，由2=⋅OB OA ，知2212221=+y y y y ，所以221-=y y 或1，又点B A ,在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以221-=y y .而AFO ∆的面积⨯=211S ||81||4111y y =⨯，设直线AB 与x 轴的交点为C ，直线AB 的方程为)(212122121y x y y y y y y ---=-，令0=y ，知21y y x -=，即2||=OC ，所以ABO ∆的面积|2|||22111122y y y y S +=-⨯⨯=，故=+21S S |2|||89||81|2|11111y y y y y +=++3≥，当且仅当|2|||8911y y =，即34||1=y 时等号成立.【5】（B ，江西，理15）、22解析：设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则2A B x x +=，2A B y y +=，将,A B 两点代入椭圆方程得222222221(1)1(2)A AB B x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由(1)(2)-得 22()()()()0A B A B A B A B x x x x y y y y a b +-+-+=则22221()02a b +⋅-=，即222222()a b a c ==-，可得离心率22e =. 【6】（B ，浙江，文17理16）、52解析：不妨设A 点为直线30x y m -+=与渐近线b y x a =的交点，联立30x y m by x a -+=⎧⎪⎨=⎪⎩可得：33am x b abm y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即A 点的坐标为,33am bm A b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，同理可得,33am bm B b a b a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.令AB 中点为C ，则()()()()223,3333ma mb C b a b a b a b a ⎛⎫ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭.由PA PB =，所以PC AB ⊥，即1PC AB k k ⋅=-.因为13AB k =，所以3PC k =-.因为点(),0P m ，所以()()()()()2222223333=3933mb b a b a b ma a b a m b a b a +-=----+- 所以，222554542c a e e =⇒=⇒=. 【7】（B ，湖南，文14）、()1(1)-∞-+∞，，解析：机器人的运动轨迹方程为24y x =，设过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =+，代入24y x =，整理得2222(24)0k x k x k +-+=，所以22222(24)416160k k k k ∆=--⨯⨯=-+<，解得：()1(1)k ∈-∞-+∞，，.【8】（B ，新课标I ，理20）解析：（I ）设(,0)F c ，∵2233c =∴3c = 又∵32c a =∴2a =∴2222(3)1b =-=故E 的方程为2214x y +=. （II ）当l x ⊥轴时不合题意，故设:2l y kx =-，()11,P x y ，22(,)Q x y ，由22244y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，得 22(14)16120k x kx +-+=. ∵直线l 与E 交于P 、Q 两点∴()222=(16)412(14)16430k k k ∆--⋅⋅+=->即234k >∴222224143=11441k k PQ k k k ∆+⋅-+=++ 又点O 到直线PQ 的距离221d k =+.∴OPQ ∆的面积221443241OPQk S d PQ k ∆-=⋅=+ 设243(0)k t t -=>，则2243k t =+∴244414424OPQ t S t t t ∆==≤=++ 当且仅当2t =即72k =±时等号成立所以，当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为722y x =-或722y x =--. 【9】（B ，新课标II ，文20理20）解析：(I)根据22c a b =-及题设知2(,)b M c a，223b ac =，将222b ac =-代入223b ac =，解得12c a =，2c a =-（舍去）.故C 的离心率是12.(II)由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =……①，由 15MN F N =得112DF F N =.设11(,)N x y ，由题意知10y <，则112(),22,c x c y --=⎧⎨-=⎩即113,21,x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入C 的方程，得2229114c a b +=. ②将①及22c a b =-代入②得229(4)1144a a a a-+=，解得7a =，2428b a ==故，7a =，27b =. 【10】（B ，湖北，文22理21）解析：（I ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+，即22(1)||1x y x -+=+，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（II ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<. 依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+ 由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =.故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时，方程①216(21)k k ∆=-+- ②，设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，得kk x 120+-=. ③ （i ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1-<k ，或21>k .即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l与轨迹C 恰好有一个公共点.（ii ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（iii ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（I ）（II ）可知，当(,1)k ∈-∞-1(,)2+∞ {0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.【11】（B ，江西，文20）解析：（I ）设直线AB 方程为2y kx =+，代入24x y =，得24(2)x kx =+，即2480x kx --=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：128x x =-，直线AO的方程为11yy x x =；BD 的方程为2x x =.解得交点D 的坐标为2121x x y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩.由于128x x =-，2114x y =，则有121122112y x y x x y x x ===-，因此动点D 在定直线2y =-上（0x ≠）.（II ）依题意知切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为(0)y ax b a =+≠，代入24x y =得24()x ax b =+，即2440x ax b --=，由2(4)160a a ∆=+=，化简整理得2b a =-，故切线l 的方程可写为2y ax a =-.分别令2 2y y ==-、得 1222(,2), (,2) N a N a a a+-+-，则222222122()4()8MN MN a a a a-=-+-+=，即2221MN MN -为定值8.【12】（B ，江苏，文理17）解析：（I ）22==a BF ，又⎪⎭⎫ ⎝⎛3134，C ，∴131234222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b ，解得1=b .所以椭圆方程为1222=+y x ；（II ）直线2BF 方程为1=+byc x ，与椭圆方程12222=+b y a x 联立方程组，解得A 的坐标为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+223222,2c a b c a c a ，则C 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++223222,2c a b c a c a .∴13233F C b k a c c=+，又c bk AB -=，由AB C F ⊥1得32313b b a c c c ⎛⎫⋅-=- ⎪+⎝⎭即42243b a c c =+，∴()4222223c c a c a +=-，化简得55==a c e . 【13】（B ，安徽，理19）解析：（I ）设直线21,l l 的方程分别为)0,(,2121≠==k k x k y x k y ，则由,1x k y =x p y 122=联立得).2,2(112111k p k p A 由,1x k y =x p y 222=联立得).2,2(122122k p k p A 同理可得),2,2(212211k p k p B ).2,2(222222k p k p B 所以)22,22(112121122111k p k p k p k p B A --= ),11,11(21221221k k k k p --= )22,22(122221222222k pk p k p k p B A --=),11,11(21221222k k k k p --=故,222111B A p pB A =所以，.//2211B A B A（II ）由（I ）知，.//2211B A B A 同理可得 .//,//22112211A C A C C B C B所以111222~A B C A B C ∆∆因此，2221121)(B A B A S S =.又由（I ）中的 ,222111B A p p B A =知.212211p p B A B A =故.222121p p S S =【14】（B ，辽宁，文20）解析：（I ）设切点坐标为()00,x y ()000,0x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为()0000x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形的面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由于22000042x y x y +=≥，知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为()2,2.（II ）设C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>.点()()1122,,,A x y B x y .由点P 在C 上知22221a b +=，并由222213x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22243620b x x b ++-=，又12,x x 是方程的根，因此12221224362x x b b x x b ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.由11223,3y x y x =+=+，得241224824822b b AB x x b -+=-=⋅. 由点P 到直线l 的距离为32及13222PAB S AB ==△得429180b b -+=，解得26b =或3，因此236,3b a ==(舍去)或223,6b a ==.从而所求的C 的方程为22163x y +=. 【15】（B ，辽宁，理20）解析：（I ）设切点坐标为()00,x y ()000,0x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为 ()0000x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形的面积为000014482S x y x y =⋅⋅=. 由于22000042x y x y +=≥，知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此P 点的坐标为()2,2.由题意知222222213a b a b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得221,2a b ==，故1C 的方程为2212y x -=. （II ）由（I ）知2C 的焦点坐标为()()3,0,3,0-，由此设2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >. 由()2,2P在2C 上，得22112213b b +=+，解得213b =，因此2C 的方程22163x y +=. 显然，l 不是直线0y =.设l 的方程为3x my =+，点()11,A x y ，()22,B x y .由223163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得 ()2222330m y my ++-=，又12,y y 是方程的根，因此11212223232m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②由113x my =+，223x my =+，得1222122432662x x m m x x m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩③④因为()112,2AP x y =--，()222,2BP x y =--，由题意知0AP BP ⋅=，所以()12122x x x x -+ ()1212240y y y y +-++= ⑤ 将①②③④代入⑤整理得222646110m m -+-=，解得3612m =-或612m =-+. 因此直线l 的方程为36(1)302x y ---=或 6(1)302x y ++-=.【16】（B ，陕西，文20）解析：（I ）由题设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===，，，222213c a b a c b 解得1,3,2===c b a ，∴椭圆的方程为13422=+y x . （II ）由题设，以21,F F 为直径的圆的方程为122=+y x ，圆心到直线l 的距离52m d =，由1<d 得25<m .(*)∴212d CD -= 2245525412m m -=-=.设),(11y x A ，),(22y x B ，由221,431,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得 0322=-+-m mx x ，由求根公式可得m x x =+21，3221-=m x x .∴[])3(4)21(1222--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=m m AB24215m -=.由435=CD AB 得 145422=--mm ，解得33±=m ，满足(*).∴直线l 的方程为3321+-=x y 或3321--=x y .【17】（B ，陕西，理20）解析：（I ）在1C ，2C 的方程中，令0=y ，可得1=b ，且)0,1(-A ，)0,1(B 是上半椭圆1C 的左右顶点.设1C 的半焦距为c ，由23=a c 及1222==-b c a 得 2=a .2=∴a ，1=b .（II ）法1 由（I ）知，上半椭圆1C 的方程为)0(1422≥=+y x y .易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为)0)(1(≠-=k x k y ，代入1C 的方程，整理得042)4(2222=-+-+k x k x k （*）.设点P 的坐标为),(P P y x ，直线l 过点B ，∴1=x 是（*）的一个根.由求根公式，得，4422+-=k k x P ，从而482+-=k k y P ，点P 的坐标为)48,44(222+-+-k kk k .同理，由2(1)(0),1(0),y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为)2,1(2k k k ----. )4,(422-+=∴k k kAP ， )2,1(+-=k k AQ .AQ AP ⊥ ∴0=⋅AQ AP ，即[]0)2(44222=+-+-k k k k ，0≠k ，0)2(4=+-∴k k ，解得38-=k .经检验，38-=k 符合题意，故直线l 的方程为)1(38--=x y .法2 设直线l 的方程为)0(1≠+=m my x ，其余同解法1.【18】（C ，全国大纲，文22理21）解析：（I ）设0(,4)Q x ，代入22y px =得08x p=，所以8PQ p =，0822p p QF x p=+=+，由题设得85824p p p+=⨯.解得2p =-或2p =，所以C 的方程为24y x =.（II ）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为1x my =+（0m ≠），代入24y x =得2440y my --=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y m +=，124y y =-，故AB 的中点为2(21,2)D m m +.222114(1)AB m y y m =+-=+.又l '的斜率为m -，所以l '的方程为2123x y m m=-++. 将上式代入24y x =，并整理得：2244(23)0y y m m +-+=. 设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344y y m+=-，2344(23)y y m =-+.故MN 的中点为2222(23,)E m m m++-.22432214(1)211m m MN y y m m ++=+-=，由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而2221144AB DE MN +=，即22222224(1)(2)(2)m m m m+++++222224(1)(21)m m m++= 化简得210m -=，解得1m =或1m =-.所求直线l 的方程为：10x y --=或10x y +-=.【19】（C ，北京，文19）解析：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为12422=+y x . 所以42=a ，22=b ，从而2222=-=b a c . 因此2=a ，2=c .故椭圆C 的离心率22==a c e . （II ）法1 设点A ，B 的坐标分别为()2,t ，()00,y x ，其中00≠x . 因为OB OA ⊥，所以0=⋅OB OA 即0200=+y tx ，解得02x y t -=，又422020=+y x ，所以()()202022-+-=y t x AB=()20200022-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x =4420202020+++x y y x=4822020++x x （4020≤<x ）. 4822020≥+x x （4020≤<x ），且当420=x 时等号成立. ∴28AB ≥.故线段AB 长度的最小值为22. （II ）法2 设00(,)A x y ，00(,)B y x λλ-，则02200224x x y λ=⎧⎨+=⎩ ∴ 2024x λ=2202220y λλ-=≥ ∴ 2220021||2(1)OA x y λ=+=+∴ 22||2(1)OB λ=+∴ 2222222(1)||||||AB OA OB λλ+=+=2212(2)2(22)8λλ=++≥+=当且仅当21λ=时取等号，故线段AB 长度的最小值为22. 【20】（C ，北京，理19）解析：（I ）椭圆的标准方程为：12422=+y x ，2=a ，2=b ，则2=c ，离心率22==a c e ．（II ）由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为kx y =．又OB OA ⊥.法1：①当0=k 时，()0,2±A ，易知)2,0(B ，此时直线AB 的方程为2=+y x 或2=+-y x ．原点到直线AB 的距离为2，此时直线AB 与圆222=+y x 相切．②当0≠k 时，直线OB 的方程为x ky 1-=，联立⎩⎨⎧=+=4222y x kx y 得点A 的坐标 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22212,212k k k或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-22212,212k k k ；联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=21y x k y 得点B 的坐标()2,2k -，由点A 的坐标的对称性知，无妨取点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22212,212k k kA 进行计算，于是直线AB 的方程为：()222212222212kk y x k kk-+-=+++=()k x kk k k 22112122++++-，即02221121222=++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k y k k x k k ，原点到直线AB 的距离 2211212222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=k k k k k d ，此时直线AB 与圆222=+y x 相切．综上知，直线AB 一定与圆222=+y x 相切．法2：①当0=k 时，()0,2±A ，易知)2,0(B ，此时2=OA ，2=OB ，222222=+=AB ，原点到直线AB 的距离22222=⨯=⋅=AB OBOA d ，此时直线AB 与圆222=+y x 相切．②当0≠k 时，直线OB 的方程为x ky 1-=，设()11,y x A ，()22,y x B ，则121x k OA +=， ()221y k OB -+=212k +=，联立⎩⎨⎧=+=4222y x kx y 得点A 的坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22212,212k k k或⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-22212,212k k k ；于是22221121k k x k OA A ++=+=，212k OB +=．()()()2222221122142114kk k k k AB ++=++++=．所以()22112212211222222=+++⋅++=⋅=k k k kk ABOB OA d ，直线AB 与圆222=+y x 相切．综上知，直线AB 一定与圆222=+y x 相切．（II ）法3：设00(,)A x y ，00(,)B y x λλ-，则02200224x x y λ=⎧⎨+=⎩ ∴ 2024x λ=2202220y λλ-=≥即21λ≥ ∴ 2220021||2(1)OA x y λ=+=+∴ 22||2(1)OB λ=+∴ 2222222(1)||||||AB OA OB λλ+=+=设点O 到直线AB 的距离为d ，则2222||||2||OA OB d AB ⋅==即2d = 所以直线AB 与圆222xy +=相切.【21】（C ，天津，文18）解析：（I ）设椭圆右焦点2F 的坐标为（c ，0）.由1232=AB F F ，可得2223a b c +=，又 222b ac =-，则2212c a =.所以椭圆离心率22e =.（II ）由（I ）知222a c =，22b c =.故椭圆方程为222212+=x y c c，设00(,)P x y 由1(,0)F c -，(0,)B c 有100(,)F P x c y =+，1(,)F B c c =，由已知，110FB FP ⋅=，即00()0x c c y c ++=又0c ≠，故有000x y c ++=. ①，因为点P 在椭圆上，故22002212+=x y c c. ②.由①②可得200340x cx +=，而点P 不是椭圆顶点，故043x =-代入①得03c y =即点P 的坐标为4(,)33c c-. 设圆的圆心为11(,)T x y ，则142323c c c x -+==-，12323c ccy +==，进而圆的半径22115(0)()3r x y c c =-+-=.由已知有22222TF MF r =+，又222MF =，故有222225()(0)8339c c c c ++-=+，解得23c =所以，所求椭圆为22163+=x y .【22】（C ，天津，理18）解析：（I ）设椭圆右焦点2F 的坐标为)0,(c 由1232=AB F F ，可得2223a b c +=，又222b ac =-，则2212c a =. 所以椭圆离心率e =22. （II ）由（I ）知222a c =，22b =c .故椭圆方程为222212+=x y c c，设00P x ,y .（）由1F c 0,B(0,c)（-，），有100F P =x +c,y （），1F B =c,c （），因为以线段PB 为直径的圆经过点1F ，所以11F P F B =0⋅，即00()0x c c y c ++=，又0c ≠，故有000x y c ++=①，因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+= ②.由①②可得043020=+cx x . 而点P 不是椭圆顶点，故c x 340-=代入①得30cy =即点P 的坐标为)3,34(cc -.设圆的圆心为),(11y x T ，则1402323c c x -+==-，12323c cc y +==，进而圆的半径22115(0)()3r x y c c =-+-= 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =，由l 与圆相切，可得1121kx y r k -=+，即222()53331c k c c k --=+,整理得2810k k -+=，解得154±=k .所以，直线l 的斜率为415+或415-. 【23】（C ，上海，文22理22）解析：理解点被直线分割、直线为曲线的一条分割线是解题的关键.（I ）、（II ）只需直接用题设的定义即可.（I ）因(121)(12)0+-⋅--<，所以又定义知，点A 、B 被直线10x y +-=分割. （II ）双曲线的渐近线为12y x =±，当12k ≤-或12k ≥时，把y kx =代入双曲线2241x y -=得22(14)1k x -=.因2140k -≤，故上述方程无实数解，即直线y kx =与双曲线2241x y -=不相交，又存在两点(1,0),(1,0)-满足20k η=-<，根据分割线的定义，12k ≤-或12k ≥.（Ⅲ）法1 设(,)M x y ，根据题设得E 方程是22(2)||1x y x +-⋅=(0)x ≠.因0x =不满足上述方程，且以x -代x 上述方程不变知曲线关于y 对称，所以直线0x =是的一条分割线.若y kx =是E 的另一条分割线，代入E 的方程得222[(2)]1x kx x +-⋅=. 要直接证明这个方程有解是困难的，变形为2221(2)x kx x +-=，记221(2)y x kx =+-，221y x =，则1y 是开口向上的二次函数，2y 是关于y 轴对称的幂函数，它们总有交点，即直线y kx =与E 有交点，与分隔线的定义矛盾.所以E 有且仅有一条分割线0x =. （Ⅲ）法2（数形结合法）曲线E ：22(,)(2)10F x y x y x =+-⋅-=满足：由(,)(,)F x y F x y -=知，曲线E 关于y 轴对称；由(,)(,4)F x y F x y =-知，曲线E 关于y =2轴对称；由(,)(,4)F x y F x y =--知，曲线E 关于点(0,2)中心对称；222221(2)10(2)=0x y x y x x+-⋅-=⇒--≥， [)(]1,00,1,x ∈-取曲线E 在y 右侧且20x →时y 趋于无穷大，可得y 轴为曲线E 的渐近线，得曲线E 上点的纵坐标范围为y ∈R ，数形结合可得曲线E 上任意一点与原点连线的斜率范围为R ，即过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分割线.即通过原点的直线中，有且仅有一条直线y 轴是E 的分割线.（Ⅲ）法3（函数方程思想1）对于任意一条直线()y a a =∈R 与曲线E ：22(,)(2)10F x y x y x =+-⋅-=，由22(),(2)10.y a a x y x =∈⎧⎪⎨+-⋅-=⎪⎩R 得 422(2)10x a x +--=，令2t x =，得 22(2)10t a t +--=.因2(2)40a ∆=-+>恒成立，且1210t t =-<，所以方程有正实数解0t ，存在与之相应的00x ≠，从而在E 上存在00(,)x y ，其与原点连线的直线斜率存在.即过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分割线.所以，通过原点的直线中，有且仅有一条直线y 轴是E 的分割线.（Ⅲ）法4（函数方程思想2）对于任意一条直线()y kx k =∈R 与曲线E ：22(,)(2)10F x y x y x =+-⋅-=，由22(2)10.y kx x y x =⎧⎪⎨+-⋅-=⎪⎩得 222(1)2410k x kx x ⎡⎤+-+-=⎣⎦，得方程2432(1)2410,k x kx x +-+-=令2432()(1)241f x k x kx x =+-+-，22(0)1,(1)(1)30,(1)(1)10(0)(1)0,(0)(1)0f f k f k f f f f =--=++>=-+><-<由函数的零点存在性定理，无论k 取何实数，函数()f x 在区间(0,1)(1,0)-和有实根，则过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分割线. 【24】（C ，江西，理20）解析：（I ）设(,0)F c ，可知21c a =+，直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 方程为1()y x c a =-，直线OA 的方程为1y x a=，则(,)c A c a ，(,)22c c B a -，()322AB c c a a k c a c --==-.又因为AB OB ⊥，所以31()1a a⋅-=-，解得 23a =，故双曲线C 的方程为2213x y -=.（II ）由（I ）知直线l 的方程为0013x xy y -=0(0)y ≠与直线AF ：2x =交点0023(2,)3x M y -；与直线32x =的交点0363(,)26x N y -. 则202220022200020(23)(3)(23)4(36)1333(2)4(6)x MF y x x y x NF y --==⋅-+-+ 由220013x y -=，代入整理得2243MF NF=，所求定值为233MF NF=. 【25】（C ，四川，文20）解析：（I ）由已知可得，236==c a c ，，所以6=a . 又由222c b a +=，解得2=b ，所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . （II ）设T 点的坐标为()m ,3-，则直线TF 的斜率m m k TF -=----=)2(30.当0≠m 时，直线PQ 的斜率mk PQ 1=，直线PQ 方程是2-=my x . 当0=m 时，直线PQ 方程是2-=x ，也符合2-=my x 的形式.设()()2211,,,y x Q y x P ，将直线PQ 的方程与椭圆方程联立，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126222y x m y x ，消去x ，得()024322=--+my y m，其判别式为 ()0381622>++=∆m m .所以32,34221221+-=⋅+=+m y y m m y y ， ()312422121+-=-+=+m y y m x x .因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以QT OP =，即()()2211,3,y m x y x ---=所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+-=+343312221221m m y y m x x解得1±=m .此时，四边形OPTQ 的面积 212122y y OF S S OPQ OPTQ -⋅⋅⨯==32324)34(2222=+-⋅-+=m m m .【26】（C ，四川，理20）解析：（I ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧=-==+42222222b a c b b a ，解得2,622==b a .所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . （II ）（i ）由（I ）可得F 的坐标是)0,2(-，设T 点的坐标是),3(m -，则直线TF 的斜率m m k TF -=----=)2(30.当0≠m 时，直线PQ 的斜率mk PQ 1=，直线PQ 的方程是2-=my x . 当0=m 时，直线PQ 的方程是2-=x ，也符合2-=my x 的形式.设),(),,(2211y x Q y x P ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126222y x my x . 消去x ，得024)3(22=--+my y m ，其判别式0)3(81622>++=m m ∆.所以32,34221221+-=+=+m y y m m y y ， 3124)(22121+-=-+=+m y y m x x .所以PQ 的中点M 的坐标为)32,36(22++-m mm 直线OM 的斜率3mk OM -=.又直线OT 的斜率3mk OT -=，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . （ii ）由（i ）可得，1||2+=m TF ，221221)()(||y y x x PQ -+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+-⋅-++=m m m m3)1(2422++=m m . 所以，222||1(3)||241TF m PQ m +=⋅+ 33)44(241)4141(24122=+⋅≥++++⋅=m m 当且仅当14122+=+m m ，即1±=m 时，等号成立，此时||||PQ TF 取得最小值.所以当||||PQ TF 最小时，T 点的坐标是)1,3(-或)1,3(--.【27】（C ，广东，文20理20）解析：（I ）依题可知5c =，53c e a ==， 3a ∴=，222b a c =-=.∴椭圆C 的标准方程为22194x y += ①. （II ）法1 当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标为(32±±，）；当切线的斜率存在且不为0时，设切线的方程为00()y y k x x -=- ②. 联立①②消去y ，得220049()36x kx y kx ++-=，即2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=因为直线与椭圆相切，所以0∆=，即2220000[18()]4(49)[9()36]0k y kx k y kx --+--=化简得2220000(9)2(4)0x k x y k y --+-= ③，过点P 的两条切线互相垂直，∴③中的两根满足：121k k =-，∴2020419y x -=--，即220013x y += ④当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标满足④，所以点P 的轨迹方程为2213x y +=.（II ）法2 记两切线为12l l ，，依题意可设010cos :sin x x t l y y t θθ=+⎧⎨=+⎩ ②， 020cos()2:sin()2x x t l y y t πθπθ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ ③，联立①②，消去x y ，，得 22004(cos )9(sin )36x t y t θθ+++=，即2200(45sin )(8cos 18sin )t x y t θθθ+++220049360x y ++-=，由0∆=，得200)sin 18cos 8(y x θθ+222004(45sin )(4936)x y θ=++-，化简得 200(4cos 9sin )x y θ+20(45sin )(4x θ=++ 20936)y - ④同理，得200[4cos()9sin()]22x y ππθθ+++22200[45sin ()](4936)2x y πθ=+++-，即)3694)(cos 9sin 4(20000-++-=y x y x θθ ⑤④+⑤，得)3694(1381620202020-+=+y x y x ，化简，得132020=+y x .所以点P 的轨迹方程为2213x y +=.（II ）法3 当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标为(32±±，）；当切线的斜率存在且不为0时，设切线的方程为00()y y k x x -=-.令3x X =，2yY =，则3x X =，2y Y =. 于是椭圆22194x y +=转化为圆221X Y +=，切线00()y y k x x -=-转化为00320kX Y kx y --+=.由于伸缩变换后圆与直线仍是相切的，故圆心到直线的距离00221(3)(2)kx y d k -+==+-，即2200()94kx y k -+=+，化简得2220000(9)240x k x y k y --+-= ②，过点P 的两条切线互相垂直，∴②中的两根满足：121k k =-，∴2020419y x -=--，即220013x y += ③，当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标满足③，所以点P 的轨迹方程为2213x y +=. 【28】（C ，山东，文21）解析：（Ｉ）由题意知2232a b a -=，可得 224a b =，椭圆C 的方程可简化为2224x y a +=，将y x =代入可得55ax =±，因此 25410255a ⨯=，可得2a =，因此1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（II ）（i ）设11(,)A x y 11(0)x y ≠，22(,)D x y ，则11(,)B x y --，因为直线AB 的斜率11AB y k x =，又 AD AB ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-．设直线 AD 的方程是y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠．由2214y kx mx y =++=⎧⎪⎨⎪⎩可得 222(14)8440k x mkx m +++-=，所以221418k mkx x +-=+，因此221214122)(k mm x x k y y +=++=+，由题意12x x ≠-，所以1211121144y y y k x x k x +==-=+，所以直线BD 的方程为1111()4yy y x x x +=+，令0y =得13x x =，即1(3,0)M x ,可得1212yk x =-,所以1212k k =-，即12λ=-，因此，存在常数12λ=-使得结论成立．（ii ）直线BD 的方程1111()4yy y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y -，由（i ）知1(3,0)M x ，可得OMN ∆的面积11111393248S x y x y =⋅⋅=，因为22111114x x y y ≤+=，当且仅当 11222x y ==时取等号，此时S 取最大值98，所以OMN ∆面积的最大值为98．【29】（C ，山东，理21）解析：（I ）由题意知(,0)2p F ，即32pAF =+，代入cos 323p AF π+⋅=得2p =，即C 的方程是24y x =；（II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ．设00(,)A x y0(0)x ≠，11(,0)(1)D x x >，由FA FD =知1011x x -=+，即102x x =+，也即0(2,0)D x +，所以00012AB y yk x x ==--．设直线1l 的方程是02y y x b =-+，代入抛物线24y x =有22200(4)04y x by x b -++=，由0∆=知020by +=，解得20044(,)E y y - （1）若204y ≠时，0E AE E y y k x x -==-02020444y y y y --=-02044y y -，直线AE 的方程为00204()4y y y x x y -=--，整理得0204(1)4yy x y =--，恒过定点(1,0)；（2）若204y =时，直线AE 的方程为1x =，也过(1,0)；综上所述，直线AE 恒过定点(1,0)F ．（ii ）由（i ）知直线AE 恒过定点(1,0)F ，所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++，设直线AE 的方程为1x my =+，因为点00(,)A x y 在直线AE 上，代入得001x m y -=，设22(,)B x y ，直线AB 的方程为000()2y y y x x -=--，因为00y ≠，所以0022x y x y =-++，代入抛物线24y x =有2008840y y x y +--=，所以0208y y y +=-，2008y y y =--，20044x x x =++，所以点B 到直线AE 的距离是000002484()14(1)1x m y x y x d x m ++++-+==+ 0014()x x =+，则ABE ∆的面积 00001114()(2)162S x x x x =⋅+++≥，当且仅当001x x =，即01x =时取等号．所以ABE ∆的面积最小值为16.【30】（C ，安徽，文21）。

2014高考数学圆锥曲线小题狂练

圆锥曲线小题狂练一1若直线l ：y ＝kx +1与曲线c ：x ＝12+y 只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 .2 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 A ．2 B ．3 C.115D.37163、曲线[]214(2,2)y x x =+-∈-与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，k 的取值范围是（）A 、5(0,)12 B 、11(,)43C 、5(,)12+∞ D 、53(,)1244、如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么xy的最大值是（） A ．21 B ．33 C ．23D ．35 若直线x+y ﹣m=0与曲线有公共点，则m 所的取值范围是（） A ． B ．C ．D ．6 已知圆和圆的公共弦长为，则实数a 的值为 _________ ．7已知AC ，BD 为圆O ：x 2+y 2=4的两条互相垂直的弦，垂足为．则四边形ABCD 的面积的取值范围是 _________ ．8不论k 为何实数，直线l ：y=kx+1恒过的定点坐标为 _________ 、若该直线与圆x 2+y2﹣2ax+a 2﹣2a ﹣4=0恒有交点，则实数a 的取值范围是 _________ ．9 若关于x 的方程：有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围：_________ ．10已知两点M （﹣2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足=0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（）A ． y 2=8xB ． y 2=﹣8xC ． y 2=4xD ． y 2=﹣4x11双曲线﹣=1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为（）A．B．C．D．12．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）13 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（）A．B．3C．D．414若抛物线y2=2px上恒有关于直线x+y﹣1=0对称的两点A，B，则p的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（0，）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）15已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，直线l：y=k（x+1）与抛物线C交于A，B两点，记直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0D．116在平面直角坐标系xOy中，已知点A（l，2），若P是拋物线y2=2x上一动点，则P到y 轴的距离与P到点A的距离之和的最小值为（）A．B．C．﹣D．17抛物线y2=2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F．A、B是抛物线上的两点．己知A．B，C三点共线，且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，直线AB的斜率为k，则有（）A．B．C．D．18已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点p在C上，∠F1pF2=60°，则P到x 轴的距离为（）A．B．C．D．19已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）A．1B．2C．3D．420已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=121设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．D．22 F1，F2为双曲线的左右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足，则此双曲线的渐近线方程是（）A．y=±2x B．C．D．23点P为双曲线C1：和圆C2：x2+y2=a2+b2的一个交点，且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1，F2为双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．224 过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）左焦点F1的直线与以右焦点F2为圆心、为半径的圆相切于A点，且=2b，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．21已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为____2函数y=x2（x＞0）的图象在点（a k，a k2）处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________3过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则=_________．4已知抛物线y2=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y12+y22的最小值是_________．5过点M（2，﹣2p）作抛物线x2=2py（p＞0）的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB 的中点纵坐标为6，则p的值是_________．6 在直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，0）关于原点O对称．点P（x0，y0）在抛物线y2=4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0=_________．7过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|•|EF|的最小值是____8 设抛物线y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若∠AQB=90°，则直线l的方程为_________．9 点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，过F的直线交抛物线C于A、B两点，过A、B分别作抛物线C的准线的垂线段，垂足分别为M、N，若|MF|=3，|NF|=4，则|MN|=_________．10 已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为_________．11椭圆的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是____12．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为_________．13设P为椭圆上任意一点，O为坐标原点，F为椭圆的左焦点，点M满足，则=_________．14．已知A，B，P为椭圆+=1（m，n＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k PA•k PB=﹣2，则该椭圆的离心率为_________．15．椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P，使得c•PF2=a•PF1则该椭圆离心率的取值范围是_________．16若椭圆的一个焦点将焦点弦分成长为m，n的两段，则=_________．17．在△ABC中，，则过点C，以A，H为两焦点的椭圆的离心率为18．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F．设线段AB的中点为M，若，则该椭圆离心率的取值范围为_________．20．已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x﹣y+8+2=0上．当∠F1PF2取最大值时，的比值为_________．21 设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．若点P在椭圆上，且，则向量与向量的夹角的大小为_________．22双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上一动点，点Q的坐标是（1，4），则|PF1|+|PQ|的最小值为_________．23双曲线﹣y2=1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的点，当△F1PF2的面积为2时，丨﹣丨的值为_________．24双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为___25我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线与双曲线是“相近双曲线”，则的取值范围是_________．26已知双曲线的焦点F到一条渐近线的距离为，点O为坐标原点，则此双曲线的离心率为_________．27已知F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为_________．28已知A、B、P是双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点O对称，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率e=_________．29已知点P在双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右支上，A1，A2分别是双曲线的左、右顶点，且∠A2PA1=2∠PA1A2，则∠PA1A2=_________．30已知双曲线的左项点为A，右焦点为F，设P为第一象限内曲线上的任意一点，若∠PFA=λ•∠FAP，则λ的值为_________．31已知P是双曲线上的动点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为坐标原点，则的取值范围是_________．32如图，从双曲线的左焦点F1引圆x2+y2=9的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于P点．设M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|F1t|=_________；|MO|﹣|MT|=_________．33如图，双曲线C的中心在原点，虚轴两端点分别为B1、B2，左顶点和左焦点分别为A、F，若，则双曲线C的离心率为_________．。

专题08 圆锥曲线(理)(测试)-2014年高考数学二轮复习精品资料(解析版)

（一）选择题（12*5=60分）1. 【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】设a ∈R ，则“1a =”是“直线10ax y -+=与直线10x ay --=平行”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2. 【改编自广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知直线l 与直线01=--y x 垂直，则直线l 的倾斜角=α（） A ．4π B.3πC. 23πD. 34π3. 【改编自2012年高考陕西卷理科】已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(1,1)P 的直线，则（）（A ）l 与C 相交（B ） l 与C 相切（C ）l 与C 相离（D ）以上三个选项均有可能４．【江苏省扬州中学2013—2014学年度第一学期月考高三数学】当且仅当m r n ≤≤时，两圆2249x y +=与22268250(0)x y x y r r +--+-=>有公共点，则n m -的值为．５．【广东省六校2014届高三第一次联考试题】若动圆的圆心在抛物线212x y =上，且与直线30y +=相切，则此圆恒过定点（） A.(0,2)B.(0,3)-C.(0,3)D.(0,6)６．【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级第三次模拟考试】经过点1(1,)2，渐近线与圆22(3)1x y -+=相切的双曲线的标准方程为( )A ．2281x y -= B ．22241x y -= C ．2281y x -= D ．22421x y -=７．【改编自2012年高考安徽卷理科】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若A 点到准线的距离为3,则AOB ∆的面积为（）()A 2()B ()C2()D８．【江西省2014届新课程高三第三次适应性测试】设,P Q 是双曲线22x y -=上关于原点O 对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线l 折成直二面角，则折叠后线段PQ 长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．4９．【山西省忻州一中康杰中学临汾一中长治二中2014届高三第一次四校联考理】抛物线x y 122=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM ∆ 为等边三角形时，则FPM ∆的外接圆的方程为( )A.. 5)5()3(22=±+-y x B. 48)34()3(22=±+-y xC. 9)3()3(22=±+-y x D. 28)72()3(22=±+-y x10．【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线11．【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（）A.2 B.3 C.23 D.2612．【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为（）A ．2B ．3C ．1D（二）填空题（4*5=20分）13. 【江西抚州一中2013-2014学年高三年级第四次同步考试】已知实数y x ,满足01422=+-+x y x ，则xy的最大值为 .14．【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.15．【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】如图，已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .16．【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为（三）解答题（10+5*12=70分）17. 【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18．【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】在平面直角坐标系x o y 中，点(,)(0)P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F P F 为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2P F 上的点，满足2A M B M =-，求点M 的轨迹方程．将2y =代入c x y =得210516x c x +=，19．【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】设F 为抛物线px y 22= (0>p )的焦点，,,R S T 为该抛物线上三点，若=++，且6=++ （Ⅰ）求抛物线22y px =的方程；（Ⅱ）M 点的坐标为(m ,0)其中0>m ，过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B 两点，A 、B 两点的横坐标均不为m ，连结AM 、BM 并延长交抛物线于C 、D 两点，设直线CD 的斜率为2k ．若421=k k ，求m 的值.20．【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点12,F F 和上下两个顶点12,B B 是一个边长为2且∠F 1B 1F 2为60的菱形的四个顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 2 ，斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE 、AF 分别交直线3x =于点M 、N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '.求证:k k '⋅为定值.21．【2013年普通高等学校统一考试试题新课标数学（理）卷】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线x y +M 于A,B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (Ι)求M 的方程；（Ⅱ）C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形面积的最大值所以可得22．【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】已知定点(3,0)G -，S 是圆22:(3)72C x y -+=（C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E .设点E 的轨迹为M.(1)求M 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得直线l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．化简得227m <，解得m -<<.（四）附加题（15分）23. 【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】已知椭圆：22221x y a b+=（0a b >>）上任意一点到两焦点距离之和为，左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是右准线上任意一点，过2F 作直线2PF 的垂线2F Q 交椭圆于Q 点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）点P 的纵坐标为3，过P 作动直线l 与椭圆交于两个不同点,M N ，在线段MN 上取点H ，满足MP MH PN HN=，试证明点H 恒在一定直线上．所以点H 恒在直线2320x y +-=上．。

圆锥曲线大题专项训练系列

圆锥曲线大题专项练习类型一：直接求解1、(2015·湖南文，20)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．2、（离心率）[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 3、（共圆）[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．4、（交点切线）[2014·重庆卷] 如图14所示，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．5、（切线，不对称）[2014·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．6、[2014·北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线 AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．类型二：证明定值1、(理)(2015·洛阳市期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－b 2a 2，判断△AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．2、(理)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m －k 为定值．3、[2014·江西卷] 如图17所示，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．4、（多曲线，面积比）[2014·安徽卷] 如图14，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1＞0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2＞0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点，记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．5、【2012高考江苏19】如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和32e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若1262AF BF -=，求直线1AF 的斜率；（ii ）求证：12PF PF +是定值．类型三：求证恒过定点1、(文)(2014·东北三校二模)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．2、2013·陕西卷] 已知动圆过定点A(4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．类型四：求最值或者范围1、(理)(2014·山东理，21)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， (ⅰ)证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；(ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．2、(文)(2015·辽宁葫芦岛市一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠0)与椭圆C 交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与y 轴交点P ⎝⎛⎭⎫0，－14，求△MON (O 为坐标原点)面积的最大值．3、(理)(2015·浙江理，19)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．4、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．5、[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．6、[2014·浙江卷] 如图16，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l l 1的距离的最大值为a －b .7、【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．8、已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.类型五：证明存在1、(2014·福建理，19)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1、l 2于A ，B 两点(A 、B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．2、【2015广东文理.20.】已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由3、【2015全国新课标1理.20】（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。

2014全国各地数学高考试题圆锥曲线、数列、导数专项训练

考点14 圆锥曲线及其标准方程【4】（A ，新课标Ⅰ，理10）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若4FP FQ =，则||QF =A.72B.52C.3D.2【5】（A ，广东，文8）若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k-=-与曲线221165x y k -=-的A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【6】（A ，广东，理4）若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等【9】（B ，全国大纲，文9理6）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为A.22132x y +=B.2213x y += C.221128x y += D.221124x y += 【10】（B ，全国大纲，理9）已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=A.14 B.13C.24D.23【11】（B ，全国大纲，文11）双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于A.2B.22C.4D.42【12】（B ，天津，文6理5）已知双曲线12222=-by a x)0,0(>>b a 的一条渐近线平行于直线102:+=x y l ,双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A.221520x y -=B.221205x y -=C.2233125100x y -=D.2233110025x y -= 【13】（B ，重庆，文8）设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得223,12PF PF b ab =-（||-||）则该双曲线的离心率为A.2B.15C.4D.17【14】（B ，重庆，理8）设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得12||||3,PF PF b +=129||||,4PF PF ab ⋅=则该双曲线的离心率为A.43B.53C.94D.3 【16】（B ，山东，理10）已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为2222x y a b- 1=,1C 与2C 的离心率之积为32,则2C 的渐近线方程为 A.20x y ±= B.20x y ±= C.20x y ±=D.20x y ±=【17】（B ，辽宁，理10）已知点A )3,2(-在抛物线:C px y 22=的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为A.21 B.32C.43 D.34【18】（C ，湖北，理9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A.433 B.233C.3D.2【19】（C ，福建，理9）设P Q ，分别为圆2x +2(6)2y -=和椭圆22110x y +=上的点,则P Q ，两点间的最大距离是A.52B.462+C.72+D.62【21】（A ，北京，理11）设双曲线C 经过点()2,2，且与1422=-x y 具有相同的渐近线，则C 的方程为；渐近线方程为 .【22】（A ，上海，文4理3）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .【25】（B ，江西，文14）设椭圆C ：12222=+by a x)0(>>b a 的左右焦点为1F ，2F ，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，1F B 与y 轴相交于点D ，若1AD FB ⊥，则椭圆C 的离心率等于 .【26】（B ，安徽，理14）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若||3||11BF AF =，x AF ⊥2轴，则椭圆E 的方程为 .【27】（B ，辽宁，文15理15）已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN += . 正方形ABCD 和正方形DEFG【28】（B ，湖南，理15）如图，的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线()220y px p =>经过,C F 两点，则ba= .曲线22221x y a b -=【29】（C ，山东，文15）已知双 (0,0)a b >>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为 .【30】（B ，重庆，理21）如图，设椭圆2222x y a b+1(0)a b =>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112,DF F F ⊥121||22||F F DF =，21F DF ∆的面积为2.2 （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.【31】（C ，重庆，文21）（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由.E FGxyAB CD O第28题图 yxO DF F 12第30、31题图考点15 直线与圆锥曲线【1】（B ，新课标II ，文10）设F 为抛物线:C23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于,A B 两点，则||AB =A.303B.6C.12D.73【2】（B ，新课标II ，理10）设F 为抛物线C :2y3x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB V 的面积为A.334B.938 C.6332 D.94【3】（B ，湖北，文8）设b a ,是关于t 的方程2cos t θsin 0t θ+=的两个不等实根，则过),(2a a A ,),(2b b B两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3【4】（C ，四川，文10理10）已知F 为抛物线x y =2的焦点，点B A ,在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2=⋅OB OA （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是错误！未找到引用源。

2014年高考理科数学复习之圆锥曲线练习学生版

2014年高考理科数学复习之圆锥曲线练习一、选择题1 ．（2013年高考江西卷（理））过点引直线l与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（）A ．B．C．±D．2 ．（2013年福建数学（理））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（）A ．25B ．45CD3 ．（2013年广东省数学（理））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（）A．2214x = B ．22145x y -=C ．22125x y -=D．2212x =4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>),则C 的渐近线方程为（） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（） A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（） A ．12B．2C ．1 D7 ．（2013年浙江数学（理）试题）如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（）A ．2B ．3C ．23 D ．268 ．（2013年天津数学（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =（） A ．1B ．32C ．2D ．39 ．（2013年大纲版数学（理））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10．（2013年大纲版数学（理））已知抛物线2:8C yx =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（）A ．12B．2CD ．211．（2013年高考北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（）A ．y =±2xB ．y=C ．12y x =±D．y x = 12．（2013年山东数学（理））已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p = （）A．B．C．D．13．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 14．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（） A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =15．（2013年上海市春季高考）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是（） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线16．（2013年重庆数学（理））已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（） A．4B1 C．6-D二、填空题17．（2013年江苏数学(理)）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________. 18．（2013年高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________19．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为20．（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,BC ,则Γ的两个焦点之间的距离为_______21．（2013年安徽数学（理））已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为________22．（2013年江苏数学(理)）抛物线2x y=在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是________23．（2013年江苏数学(理)）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.24．（2013年福建数学（理））椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c ,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于25．（2013年高考陕西卷（理））双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于________.26．（2013年辽宁数学（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______ 27．（2013年上海市春季高考）抛物线28yx =的准线方程是_______________28．（2013年江苏数学(理)）在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.29．（2013年浙江数学（理））设F 为抛物线x yC 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.三、解答题30．（2013年上海市春季高考）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、(1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.31．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.32．（2013年山东数学（理））椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 33．（2013年高考上海卷（理））如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”.34．（2013年福建数学（理））如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过iA做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.35．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E xpy p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P <;(II)若点M 到直线l 的距离的最小值为,求抛物线E 的方程. 36．（2013年浙江数学（理））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D (1)求椭圆1C 的方程;(2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.37．（2013年重庆数学（理））如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率2e =过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.38．（2013年安徽数学（理））设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.39．（2013年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.40．（2013年天津数学（理））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.41．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.42．（2013年广东省数学（理））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0Fc c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.43．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.44．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S . (I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.45．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点. (I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由..46．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.47．（2013年辽宁数学（理））如图,抛物线()2212:4,:20C xy C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹程.(),,.A B O O 重合于时中点为48．（2013年大纲版数学（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C (I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF =,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.49．（2013年上海市春季高考）已知抛物线24C yx =：的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程; (2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.。

高考数学理科分类汇编专题圆锥曲线

专题9 圆锥曲线1. 【2014高考福建卷第9题】设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（）A.25B.246+C.27+D.269．D [解析] 设圆心为点C ，则圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为C (0，6)，半径r ＝ 2.设点Q (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则x 2010＋y 20＝1，即x 20＝10－10y 20，∴|CQ |＝10－10y 20＋（y 0－6）2＝－9y 20－12y 0＋46＝－9⎝⎛⎭⎫y 0＋232＋50，当y 0＝－23时，|CQ |有最大值52，则P ，Q 两点间的最大距离为52＋r ＝62.2. 【2014高考广东卷理第4题】若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的（）A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等4．A [解析] 本题考查双曲线的几何性质，注意利用基本量的关系进行求解．∵0<k <9，∴9－k >0，25－k >0. 对于双曲线x 225－y 29－k ＝1，其焦距为225＋9－k ＝234－k ；对于双曲线x 225－k －y 29＝1，其焦距为225－k ＋9＝234－k .所以焦距相等．3. 【2014高考湖北卷理第9题】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.433 B.233C.3D.2 9．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫1e 1＋1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋13×3e 22≤⎝⎛⎭⎫1e 21＋3e 22⎝⎛⎭⎫1＋13＝163.所以1e 1＋1e 2≤433.故选A.4. 【2014高考湖南卷第15题】如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点，则_____=ab.图1-415．1＋2 [解析] 依题意可得C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎫a 2＋b ，b ，代入抛物线方程得a ＝p ，b 2＝2a ⎝⎛⎭⎫a2＋b ，化简得b 2－2ab －a 2＝0，即 b a 2－2⎝⎛⎭⎫b a －1＝0，解得ba ＝1＋ 2.5. 【2014江西高考理第15题】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 .15.22[解析] 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，点M 是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差可得x 21－x 22a 2＝－（y 21－y 22）b 2，即（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2a 2.由题意可知，直线AB 的斜率为－12，所以－b 2a 2＝－12，即a ＝2b .又a 2＝b 2＋c 2，所以c ＝b ，e ＝22. 6. 【2014辽宁高考理第10题】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（） A ．12 B ．23 C ．34 D ．437. 【2014辽宁高考理第15题】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .10．D [解析] 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，且点A (－2，3)在准线上，所以p ＝4.设直线AB 的方程为x ＋2＝m (y －3)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得到y 2－8my ＋24m ＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m ＝－12(舍)或者m ＝2，这时B 点的坐标为(8，8)，而焦点F 的坐标为(2，0)，故直线BF 的斜率k BF ＝8－08－2＝43. 8. 【2014全国1高考理第4题】已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（） A.3 B. 3 C. m 3 D. m 34．A [解析] 双曲线的一条渐近线的方程为x ＋my ＝0.根据双曲线方程得a 2＝3m ，b 2＝3，所以c ＝3m ＋3，双曲线的右焦点坐标为(3m ＋3，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为|3m ＋3|1＋m ＝ 3.9. 【2014全国1高考理第10题】已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （） A.27 B. 3 C. 25D. 2 10. 【2014全国2高考理第10题】设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为（） A.334 B.938C. 6332D. 9410．B [解析] 由题知F (2，0)，设P (－2，t )，Q (x 0，y 0)，则FP ＝(－4，t )，FQ →＝(x 0－2，y 0)，由FP＝4FQ ，得－4＝4(x 0－2)，解得x 0＝1，根据抛物线定义得|QF |＝x 0＋2＝3.11. 【2014高考安徽卷理第14题】设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________14．x 2＋32y 2＝1 [解析]设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，解得b2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1. 12. 【2014高考北京版理第11题】设双曲线C 经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为；渐近线方程为 .11.x 23－y 212＝1 y ＝±2x [解析] 设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ，将(2，2)代入得224－22＝－3＝λ，∴双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1.令y 24－x 2＝0得渐近线方程为y ＝±2x .13. 【2014江西高考理第9题】在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（） A.45π B.34π C.(625)π- D.54π9．A [解析] 由题意知，圆C 必过点O (0，0)，故要使圆C 的面积最小，则点O 到直线l 的距离为圆C 的直径，即2r ＝45，所以r ＝25，所以S ＝45π.14. 【2014山东高考理第10题】已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+by a x ，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（） A.02=±y x B.02=±y x C.02=±y x D.02=±y x10．A [解析] 椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2a .由e 1e 2＝a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2×1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝32，解得⎝⎛⎭⎫b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x .故选A.15. 【2014四川高考理第10题】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（）A ．2B ．3C ．1728D ．10 10．B [解析] 由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)，令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B.16. 【2014浙江高考理第16题】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________16.52 [解析] 双曲线的渐近线为y ＝±bax ，渐近线与直线x －3y ＋m ＝0的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b .设AB 的中点为D ，由|P A |＝|PB |知AB 与DP 垂直，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2m （a ＋3b ）（a －3b ），－3b 2m （a ＋3b ）（a －3b ），k DP＝－3，解得a 2＝4b 2，故该双曲线的离心率是52.17. 【2014重庆高考理第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（）A.34 B.35 C.49D.3 8．B [解析] 不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，联立|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，平方相减得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24，则由题设条件，得9b 2－4a 24＝94ab ，整理得b a ＝43，∴e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫432＝53.18. 【2014天津高考理第5题】已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= 5．A [解析] 由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴ba ＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.19. 【2014大纲高考理第6题】已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 6．A [解析] 根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.20. 【2014大纲高考理第9题】已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（）A ．14 B ．13 C ．24 D ．239．A [解析] 根据题意，|F 1A |－|F 2A |＝2a ，因为|F 1A |＝2|F 2A |，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a .又因为双曲线的离心率e ＝ca＝2，所以c ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝4a ，所以在△AF 1F 2中，根据余弦定理可得cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2|·|F 2A |＝16a 2＋4a 2－16a 22×4a ×2a＝14. 21. 【2014高考安徽卷第19题】如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点. (1)证明：;//2211B A B A(2)过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点.记111C B A ∆与222C B A ∆的面积分别为1S 与2S ,求21S S 的值.22. 【2014高考北京理第19题】已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论. 23. 【2014高考大纲理第21题】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.24. 【2014高考福建理第19题】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由.25. 【2014高考广东理第20题】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为53. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 26. 【2014高考湖北理第21题】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C . （1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围.27. 【2014高考湖南理第21题】如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知1232e e =,且2431F F =-.(1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.28. 【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？29. 【2014高考江苏第17题】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1FC . （1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.30. 【2014高考江西理第20题】如图，已知双曲线)0(1222>=-a y ax C n 的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）. （1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值.31. 【2014高考辽宁理第20题】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.32. 【2014高考全国1第20题】已知点A (0,2),椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32；F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点（I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点。

高考数学分项汇编专题9 圆锥曲线(含解析)理-人教版高三全册数学试题

专题9 圆锥曲线一．基础题组1. 【2014课标Ⅰ，理4】已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（）A. 3B. 3C. m 3D. m 3 【答案】A2. 【2013课标全国Ⅰ，理4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x 【答案】：C3. 【2012全国，理4】设F 1，F 2是椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【答案】C4. 【2011全国新课标，理7】设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A ． 2B ．3C ． 2D ． 3【答案】B5. 【2009全国卷Ⅰ，理4】设双曲线12222=-by a x (a ＞0,b ＞0)的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A.3B.2C.5D.6 【答案】：C6. 【2006全国，理3】双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）（A ）41-（B ）-4 （C ）4 （D ）41 【答案】A7. 【2005全国1，理5】已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A ．23 B ．23C ．26D ．332 【答案】D8. 【2008全国1，理14】已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．【答案】：2.9. 【2014课标Ⅰ，理20】(本小题满分12分）已知点A(0,2),椭圆E:22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为32；F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点（I）求E的方程；（II）设过点A的动直线l与E 相交于P,Q两点。

2014届高考数学专题汇编14：圆锥曲线

专题14：圆锥曲线1.（2012年海淀一模理10）过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .2．（2012年门头沟一模理7）已知点P 在抛物线24y x =上，则点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =- 的距离之和的最小值为（）A.3716B.115C.2D.33．（2012年东城一模理13）抛物线2y x =的准线方程为；此抛物线的焦点是F ，则经过F 和点(1,1)M ，且与准线相切的圆共有个．4．（2012年丰台一模理9）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率是______． 5．（2012年密云一模理13）若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为12,F F ，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________．6.（2012年朝阳一模理9）已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为 .7.（2012年东城11校联考理13）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且34παπ<<，则双曲线的离心率的取值范围是_______.8.（2012年朝阳二模理3）已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为（）A ．6B ．2C ．32D ． 349.（2012年海淀二模理5）已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（）A ．0 B.1 C.2 D.10.（2012年丰台二模理10）已知椭圆22221(7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．11.（2012年昌平二模理10）已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的方程为____________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =.12.（2012年东城二模理7）若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为（）A 或13．（2013届北京大兴区一模理科）双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于（） A ．14B ．12C ．2D ．414．（2013届北京海滨一模理科）抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是（）A ．12B ．C ．D ．315．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A ．x y 23±= B ．x y 23±= C ．x y 33±=D ．x y 3±= 16．（2013届东城区一模理科）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为（）A B C ．2 D 117．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知抛物线22y px =的焦点F与双曲线2217x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF ，则△AFK 的面积为（）A ．4B ．8C ．16D ．3218．（北京市海淀区2013届高三第四次月考理科数学）方程2x xy x +=的曲线是（） A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线19．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（）A B C D20．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A B ．2 C ．115D ．321．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知双曲线的中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是（）A ．1422=-y xB ．1422=-y x C ．13222=-y x D ．12322=-y x 22．（2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．23．（2013届房山区一模理科数学）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，且过点(2,3)，则它的渐近线方程为 . 24．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围是 .25．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______． 26．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在平面直角坐标系xOy 中,设抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为P l ,为抛物线上一点,l PA ⊥,A 为垂足.如果直线AF 的倾斜角为 120,那么=PF _______.27．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____. 28．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______. 29．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为．。

2014年各地高考理科数学试题分类汇编-圆锥曲线

2014年各地高考理科数学试题分类汇编-圆锥曲线D的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C的方程为（） A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y +=D ．221124x y +=【答案】A ．6. （全国大纲卷）9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（）A ．14B ．13C ．4D ．3【答案】A ．7. （全国大纲卷）21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)ypx p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解：（I ）设0,4Q x ，代入22y px，得0888,,.22p p x PQQF x ppp．由题设得85824ppp，解得2p （舍去）或2p ，∴C 的方程为24yx；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为10xmy m，代入24y x得2440ymy ．设1122,,,,A x yB x y 则124,y y m124y y ．故AB的中点为2221221,2,141D m m ABm y y m ．又l '的斜率为,m l 的方程为2123xy m m ．将上式代入24yx ，并整理得224423y y m m．设3344,,,,M x y B x y 则234344,423y y y y m m．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y m mm +⎛⎫++-=-=⎪⎝⎭．由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN，从而22211,44AB DEMN 即()()()2222222244121224122m m m m m m m++⎛⎫⎛⎫+++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得210m，解得1m 或1m．所求直线l 的方程为10xy 或1xy ．8. （山东卷）10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（A ）02x =±y （B ）2=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±答案：A9（山东卷）21.（本小题满分14分）已知抛物线）＞0(2:2p px yC =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA FD =，学科网当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形。

2014届高考数学(理)一轮复习【配套文档】：第九篇小题专项集训(十五) 圆锥曲线含答案

小题专项集训(十五）圆锥曲线(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．设椭圆错误!＋错误!＝1（m〉n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）．A.错误!＋错误!＝1B.错误!＋错误!＝1C。

x248＋错误!＝1 D.错误!＋错误!＝1解析依题意知：错误!＝错误!，得m＝4。

由n2＝m2－22＝12,所以所求椭圆方程是错误!＋错误!＝1.答案B2．已知中心在原点的双曲线的顶点与焦点分别是椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b>0)的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2,则椭圆离心率为( )．A.错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!解析依题意知双曲线的顶点(c,0)，（－c，0）,焦点为(a，0），(－a,0），则错误!＝2，故椭圆的离心率e＝错误!＝错误!。

答案B3．如图所示,一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片,折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )．A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆解析由条件知|PM|＝|PF|。

∴｜PO|＋|PF｜＝｜PO｜＋|PM|＝|OM|＝R>｜OF｜.∴P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆．答案A4．P为椭圆错误!＋错误!＝1上一点,F1，F2为该椭圆的两个焦点,若∠F1PF2＝60°,则PF1→·错误!＝( )．A．3 B.错误!C．2错误!D．2解析∵S△PF1F2＝b2tan 错误!＝3×tan 30°＝错误!＝错误!｜错误!|·|错误!｜·sin 60°，∴｜错误!|·｜错误!｜＝4，∴错误!·错误!＝4×错误!＝2。

答案D5．已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率为错误!，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为( ）．A.错误!－错误!＝1B.错误!－错误!＝1C.错误!－y2＝1 D．x2－y2＝1解析根据题目条件中双曲线的离心率为错误!，可以排除选项B和D，选项A中，一个焦点为(错误!,0），其渐近线方程为x±错误!y＝0，那么焦点到渐近线的距离为d＝错误!＝错误!≠1，也可以排除，故选择正确答案C.答案C6．已知抛物线y2＝2px（p>0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ）．A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2解析令A（x1，y1),B（x2,y2)，因为抛物线的焦点F错误!，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－错误!，即x＝y＋错误!,将其代入y2＝2px＝2p错误!＝2py＋p2,所以y2－2py－p2＝0,所以错误!＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x,准线方程为x＝－1，故选B。

2014年各地高考理科数学试题分类汇编-圆锥曲线

2014年全国与各省市高考理科数学分类汇编：圆锥曲线1（新课标1卷）.10已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF = CA .72B .52C .3D .2 2.（新课标1卷）20. (本小题满分12分)已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF的斜率为3，O 为坐标原点.(Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程. 解：222222(c,0)a=2, b 1.21.4F c c c a c a x E y ==-=+=（I ）设，由条件知，又所以故的方程为……5分112222:=2,(,),(,).214x y kx P x y Q x y x y kx y ιι⊥-=-+=（II ）当轴时不合题意，故设将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,21223=16(43)0,441k k x PQ x k O PQ d OPQ ∆->>==-=+=∆当即时，从而又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+……9分244,0,.4444,20.222OPQ t t t S t t tt t k t OPQ y x y ι∆=>==+++≥==±∆>∆=-=-则因为当且仅当，即所以，当的面积最大时，的方程为或3.（新课标2卷）10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（）DA.B.C. 6332D. 94 4.（新课标2卷）20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .解：（I）根据c =22(,),23b M c b ac a=将222b a c =-代入223b ac =，解得1,22c ca a==-（舍去）故C 的离心率为12. （Ⅱ）由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =①由15MN F N =得112DF F N =。

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圆锥曲线专项训练1．（2013陕西高考）已知动圆过定点(4,0)A , 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(1) 求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2) 已知点(1,0)B -, 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点,P Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.2．（2013江西高考）椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率32e a b=+=．(1) 求椭圆C的方程;(2) 如图,,,A B D是椭圆C的顶点, P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m k-为定值.3．（2013安徽高考）设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程；(2)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点P 在某定直线上.4．（2013湖南高考）已知1F ，2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点，1F ，2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点. （1）求圆C 的方程；（2）设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b .当ab 最大时，求直线l 的方程.5．（2013浙江高考）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点(0,1)F ．（1）求抛物线C 的方程;（2）过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点.若直线AO 、BO 分别交直线l :2y x =-于M 、N 两点，求MN 的最小值.6．（2013陕西高考）已知动点(,)M x y 到直线l :4x 的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍.（1）求动点M 的轨迹C 的方程;（2）过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点. 若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率.7．（2013全国高考）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为3，直线2y =与双曲线C （1）求,a b ；（2）设过F 的直线l 与C 的左、右两支相交于A B 、两点，且11AF BF =，证明22AF AB BF 、、成等比数列．8．（2013全国高考）平面直角坐标系xOy中,过椭圆M：2222+=1(>>0)x ya ba b的右焦点F作直x y+=交M于,A B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(1)求椭圆M的方程；(2) ,C D为M上的两点,若四边形ABCD的对角线CD AB⊥,求四边形ABCD面积的最大值.9．（2013江西高考）如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=k k k λ?若存在求λ的值；若不存在,说明理由.10．（2013山东高考）椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是12,F F ,,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.11．（2013广东高考）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值．12．(2013惠州调研）已知直线10x y +-=与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一点，AM BM =- ，且点M 在直线1:2l y x =上．（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆221x y +=上，求椭圆的方程．13．（2013东莞二模）已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =l ：2y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在2C 上，且满足0QR RS ⋅= ，求QS 的取值范围．14．(2013湛江一模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(,0)F c ．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y x =且2c =，求双曲线的方程；（2）以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为15．（2013广州调研）如图, 已知抛物线2P y x : ，直线AB 与抛物线P 交于A B ,两点，OA OB ^，OA OB OC uu r uu u r uu u r +=，OC 与AB 交于点M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）求四边形AOBC 的面积的最小值．M，它们在x轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，16．(2013汕头二模）已知抛物线和双曲线都经过点(1,2)抛物线的定点为坐标原点．（1）求抛物线和双曲线标准方程；P，交抛物线于,A B两点，记以线段AP为直径的圆为圆C，（2）已知动直线m过点(3,0)求证：存在垂直于x轴的直线l被圆C截得的弦长为定值，并求出直线l的方程．17．（2013六校联考）已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为3两个焦点构成的三角形的面积为3（１）求椭圆C 的方程；（２）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点．①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； ②已知点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值．18．(2013汕头一模）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率e =F 为椭圆的左焦点且111AF F B ⋅= ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =．连接AQ 并延长交直线l 于点M ．N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．圆锥曲线专项训练1．（2013陕西高考）已知动圆过定点(4,0)A , 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(1) 求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2) 已知点(1,0)B -, 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点,P Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.【解析】（1）∵(4,0)A ，设圆心(,)C x y ，MN 的中点为E ，由几何图象可知2MN ME =，2222CA CM ME EC ==+， ∴22224)4x y x -+=+（，∴28y x =.（2）点(1,0)B -,设1122(,),(,)P x y Q x y ，由题意可知221212112200,8,8y y y y y x y x +≠<==，，∴121211y y x x -=++，∴12221288y y y y -=++， ∴1212218()()0y y y y y y +++=，∴1280y y +=.直线PQ 方程为211121()y y y y x x x x --=--, ∴211211(8)y y x y y y -=-+. ∴2211211()()8y y y y y y x y +-+=-,∴21()88y y y x ++=,∴0,1y x ==,∴直线PQ 过定点(1,0).2．（2013江西高考）椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率32e a b =+=． (1) 求椭圆C 的方程;(2) 如图,,,A B D 是椭圆C 的顶点, P 是椭圆C 上除顶点外的任意点,直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ,设BP 的斜率为k ,MN 的斜率为m ,证明2m k -为定值.【解析】（1）由22222a b c e a a b c +=⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩，解得2a =，1b =， ∴椭圆方程为22184x y +=．（2）∵(2,0)B ，P 不是椭圆的顶点,∴直线BP 的方程为(2)y k x =-(0k ≠且1)2k ≠±，① 由22(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=， ∵2216441P B k x x k -⋅=+,∴228241P k x k -=+,24(2)41P P k y k x k =-=-+，即222824(,)4141k kP k k --++又直线AD 的方程为112y x =+，② ①与②解得424(,)2121k kM k k +--，由222824(0,1),(,),(,0)4141k kD P N x k k --++三点共线,可得42(,0)21k N k --， ∴MN 的斜率为214k m +=，∴211222k m k k +-=-=(定值)． 3．（2013安徽高考）设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程；(2)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点P 在某定直线上. 【解析】（1）由题意知22222121(1)a a c a a c ⎧>-⎪=⎨⎪--=⎩，解得258a =，∴椭圆方程为2288153x x +=．(2)设12(,0),(,0),(,),(0,)F c F c P x y Q m -，则22,),(,)F P x c y QF c m =-=-（.∵210a ->，∴(0,1)a ∈，∴(0,1),(0,1)x y ∈∈.11(,),(,)F P x c y FQ c m =+= ，由2211//,F P QF F P FQ ⊥ ，得()()0m c x yc c x c my -=⎧⎨++=⎩ ， ∴2()()x c x c y -+=，∴222x y c -=.由2222222222111x y a a x y c a a c ⎧+=⎪-⎪⎪-=⎨⎪=-+⎪⎪⎩，解得22222222111x y x y x y +=-+-+，∴22(1)x y =±.∵(0,1),(0,1)x y ∈∈，∴1x y =-， ∴动点P 过定直线01=-+y x .4．（2013湖南高考）已知1F ，2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点，1F ，2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点. （1）求圆C 的方程；（2）设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b .当ab 最大时，求直线l 的方程. 【解析】（1）由题意可知1(2,0)F -，2(2,0)F ，∵点2(2,0)F 在02=-+y x 上，∴点2(2,0)F 为圆C 上的一点，设1F 关于直线02=-+y x 的对称点为000(,)F x y ，则由0000(1)1222022y x x y ⎧⨯-=-⎪+⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得0024x y =⎧⎨=⎩，∴圆C 的半径23122r F F ==,圆心为(2,2)C ，∴圆C 的方程为22(2)(2)4x y -+-=．（2）由（1）知可设直线l 方程为: 2,x my m R =+∈. 这时直线l 可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意.圆C 到直线l的距离=d =. ∴ 22222444(4)1m 1mm b =-=++. 由22215x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(5410m y my ++-=），设1122(,),(,)E x y F x y ，则121222420()4455m x x m y y mm m -+=++=+=++， ∴51525)(210)(5252222121++⋅=+-=+-=m m x x x x a ，∴2215m ab m +==+令()0f x x =≥，易知()f x 在[0,3]上单调递增，在[3,)+∞上单调递减，令()(3)f x f ≤，当23m =时，ab 取得最大值，这时直线的方程为2x =+，∴当ab 最大时，直线l的方程为2x =+．5．（2013浙江高考）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点(0,1)F ．（1）求抛物线C 的方程;（2）过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点.若直线AO 、BO 分别交直线l :2y x =-于M 、N 两点，求MN 的最小值. 【解析】（1）设抛物线的方程为22(0)x py p =>， ∵12p=，∴2p =，∴抛物线方程是: 24x y =．（2）设直线AB 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=，设221112(,),(,)44x x A x B x ，∴124x x k +=，124x x =-，∴12,44AO BO x x k k == ，∴AO 的方程是:14xy x =，由142x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴184M x x =-，同理284N x x =-，∴1288||||44M N MN x x x x =-=---121212|164()x x x x x x -=-++①∵12||x x -==，代入①得到:||MN == 设34304tk t k +-=≠∴=，当0t>时||MN ==≥∴此时||MN的最小值是当0t<时，||MN ==45==，∴此时||MN的最小值是5，此时253t=-，43k=-；综上所述:||MN的最小值是5．6．（2013陕西高考）已知动点(,)M x y到直线l:4x=的距离是它到点(1,0)N的距离的2倍.（1）求动点M的轨迹C的方程;（2）过点(0,3)P的直线m与轨迹C交于,A B两点. 若A是PB的中点，求直线m的斜率.【解析】（1）点(,)M x y到直线4x=的距离是到点(1,0)N的距离的2倍，则4x-=，∴22143x y+=，∴动点M的轨迹为椭圆，方程为22143x y+=.（2）(0,3)P，设1122(,),(,)A x yB x y，∵A是PB的中点，∴12122023x xy y=+⎧⎨=+⎩，∵椭圆的上下顶点坐标分别为和(0,，经检验直线m不经过这两点，即直线m斜率k存在.设直线m的方程为3y kx=+，由223143y kxx y⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22(34)24240x kxk++=+，∴1222434kx xk-++=,1222344x xk=+⋅，∴1221122x xx x+=+,∴22121252x xx x+=,∴2121212()252x x x x x x +-=,∴2221224()294442332k x x k k+-=+-,∴32k =±. ∴直线m 的斜率32k =±.7．（2013全国高考）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为3，直线2y =与双曲线C（1）求,a b ；（2）设过F 的直线l 与C 的左、右两支相交于A B 、两点，且11AF BF =，证明22AF AB BF 、、成等比数列．【解析】（1）由题设知3c a =，即2229a b a+=，故228b a =. ∴双曲线C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，得x =由题设知，=21a =.∴1,a b ==（2）由（1）知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，C 的方程为2288x y -=. ① 由题意可设l 的方程为(3)y k x =-，||k <，代入①并化简得，2222(8)6980k x k x k --++=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11x ≤-，21x ≥，212268k x x k +=-，2122988k x x k +⋅=-. 于是11||(31)AF x ===-+，12||31BF x ===+由11||||AF BF =得，12(31)31x x -+=+，即1223x x +=-. 故226283k k =--，解得245k =，从而12199x x ⋅=-.由于21||13AF x ==-，22||31BF x ===-，故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9-116AF BF x x x x ⋅=+-=.因而222|||||AB|AF BF ⋅=，∴2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.8．（2013全国高考）平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M ：2222+=1(>>0)x y a b a b的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.(1)求椭圆M 的方程；(2) ,C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值. 【解析】（1）设112200( ) ( ),(,)A x y B x y P x y ，，，,则∵221122+=1x y a b ，222222+=1x y a b ，2121=1y y x x ---，∴2212122121()==1()b x x y ya y y x x +--+-，∵021020012,2,2y x x x y y y x +=+==.∴222a b =.∵由题意知，椭圆M的右焦点为，∴223a b -=.∴226,3a b ==.∴椭圆M 的方程为22+=163x y . （2）由22+=1630x y x y ⎧⎪⎨⎪+=⎩，解得3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴3AB =. 由题意可设直线CD的方程为(y x n n =+<<，由22+=163x y y x n ⎧⎪⎨⎪=+⎩，得2234260x nx n ++-=，设3344(,),(,)C x y D x y ，则23434426,33n n x x x x -+=-⋅=，∴CD ==∴四边形ABCD的面积12S AB CD =⋅=. 当0n =时，max 3S =， ∴四边形ABCD面积的最大值为3．9．（2013江西高考）如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=k k k λ?若存在求λ的值；若不存在,说明理由.【解析】(1)由3(1,)2P 在椭圆上得221914a b +=,① 依题设知2a c =,则223b c =, ② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =-, ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++, ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--.∴1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++， ⑤④代入⑤得21222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,∴1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.10．（2013山东高考）椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是12,F F ,,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 【解析】（1）22222221x cxy a b a b c=-⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，∴2b y a =，由题意知221b a=，即22a b =，∵c e a ==4,1a b ==， ∴椭圆方程为2214x y +=.设00(,)P x y 其中24x ≠,将向量坐标代入并化简得(23000(416)312m x x x -=-,0020014(8x x kk x x +=-+=-为定值.11．（2013广东高考）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2．设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值．【解析】(1) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >,解得1c =． ∴抛物线C 的方程为24x y =． (2) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==), 则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,∴切线PA 的方程为()1112xy y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=∵切线,PA PB 均过点()00,P x y ,∴1001220x x y y --=,2002220x x y y --=∴()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解． ∴直线AB 的方程为00220x x y y --=． (3) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, ∴()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y --=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=∴212002y y x y +=-,2120y y y =∴()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,∴002x y =+, ∴222200000019212252()22y x y y y y +-+=++=++ ∴当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92．12．(2013惠州调研）已知直线10x y +-=与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>相交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一点，AM BM =- ，且点M 在直线1:2l y x =上．（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆221x y +=上，求椭圆的方程．【解析】设A 、B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，（1）由AM BM =-知M 是AB 的中点，由2222101x y x y a b+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得2222222()20a b x a x a a b +-+-=，，∴212222a x x a b +=+，21212222()2b y y x x a b +=-++=+， ∴M 点的坐标为222222(,)a b a b a b ++，又M 点在直线上，∴22222220a b a b a b-=++， ∴222222()a b a c ==-，∴222a c =，∴2c e a ==．（2）由（1）知b c =，不妨设椭圆的一个焦点坐标为(,0)F b ，设(,0)F b 关于直线1:2l y x =的对称点为00(,)x y ，则有000001122022y x b x b y -⎧⋅=-⎪-⎪⎨+⎪-⨯=⎪⎩，解得003545x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由已知22001x y +=，2234()()155b b +=，∴21b =．∴所求的椭圆的方程为2212x y +=．13．（2013东莞二模）已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3e =l ：2y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在2C 上，且满足0QR RS ⋅= ，求QS的取值范围．【解析】（1）由直线l ：2y x =+与圆222x y b +=相切，b =，即b =．由e =222213b e a =-=，∴a =∴椭圆的方程是221:132x y C +=．（2）由条件，知2||||MF MP =，即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离，由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=．（3）由（2），知(0,0)Q ，设221212(,),(,)44y y R y S y ，∴222121121(,),(,)44y y y QR y RS y y -==- ．由0=⋅RS QR ，得()()222121121016y y y y y y -+-=． ∵12y y ≠，∴21116y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴222121256323264y y y =++≥=，当且仅当2121256y y =，即14y =±时等号成立．又||QS == ，∵2264y ≥，∴当2264y =，即28y =±时，min ||QS =，故||QS的取值范围是)⎡+∞⎣．14．(2013湛江一模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(,0)F c ．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y x =且2c =，求双曲线的方程；（2）以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A作圆的切线，斜率为【解析】（1）∵双曲线的渐近线方程为by x a=±，∴a b =． ∴222224c a b a =+==，∴222a b ==．∴所求的双曲线的方程为22122x y -=．（2）设点A 的坐标为00(,)x y ， ∴直线AO 的斜率满足(1y x ⋅=-，∴00x =．①依题意：圆的方程为222x y c +=，∴将①代入圆的方程得：222003y y c +=，即012yc =，02x =， ∴点A 的坐标为1,)2c ，代入双曲线方程得：22(11)2c b-=，即2222223144c b c a a b -=， ∴2222222231()()44c c a c a a c a --=-， ∴42243840c c a a -+=，∴423()8()40c c a a-+=，∴423840e e -+=，∴22(32)(2)0e e --=，∴e =3e =（舍去），∴双曲线的离心率e =15．（2013广州调研）如图, 已知抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线P 交于A B ,两点，OA OB ^，OA OB OC uu r uu u r uu u r+=，OC 与AB 交于点M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）求四边形AOBC 的面积的最小值．【解析】（1）依题意,知直线OA OB ,的斜率存在，设直线OA 的斜率为k ，由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-．故直线OA 的方程为y kx =，直线OB 的方程为1y x k=-．由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 得220k x x -=．解得0x =或21x k =． ∴点A 211kk (,)．同理得点B 2k k -(,)． ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点．设点M 的坐标为x y (,)，则221212k k x k k y ⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩，消去k ,得2112yx =-()．∴点M 的轨迹方程为2112y x =-()．(2)依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB = =⋅=≥2=．当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立． ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2．16．(2013汕头二模）已知抛物线和双曲线都经过点(1,2)M ，它们在x 轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的定点为坐标原点．（1）求抛物线和双曲线标准方程；（2）已知动直线m 过点(3,0)P ，交抛物线于,A B 两点，记以线段AP 为直径的圆为圆C ，求证：存在垂直于x 轴的直线l 被圆C 截得的弦长为定值，并求出直线l 的方程．【解析】（1）设抛物线方程为22(0)y px p =>，将(1,2)M 代入方程22(0)y px p =>，得2p =, ∴抛物线方程为24y x =．∴双曲线的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ,∴1c =，∴存在直线l ：2x =满足条件.17．（2013六校联考）已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a 两个焦点构成的三角形的面积为3（１）求椭圆C 的方程；（２）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点．①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； ②已知点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值．【解析】（1）由题意得222122c a b c a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪⋅=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩，解得22553a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴椭圆的方程为221553x y +=．（2）①由221553(1)x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ，得2222(13)6350k x k x k +++-=．则4222364(13)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，∴2122613k x x k+=-+， ∵AB 中点的横坐标为12-，∴2261132k k -=-+，解得3k =±．②由（1）知22121222635,1313k k x x x x k k -+=-=++，∴112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+⋅++2121277()()(1)(1)33x x k x x =+⋅+++⋅+221212749(1)()()39k x x k x x k =+⋅+++++222222749(1)()(35613)3139k k k k k k k =+⋅+++++--+222449499316513k k k k --+-=++=．18．(2013汕头一模）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率e =F 为椭圆的左焦点且111AF F B ⋅= ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =．连接AQ 并延长交直线l 于点M ．N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．【解析】（1）易知(,0)A a -，(,0)B a )0,(1c F -，∴11(,0)()1AF FB a c a c ⋅=-⋅+= ，∴2221a c b -==，又23=e ，∴22222134c a e a a -=== ，解得42=a ． ∴椭圆的方程为2214x y +=．（2）设),(00y x P 则)2,(00y x Q (2)x ≠±-，∴0022AQ y k x =+ ， ∴直线AQ 方程为002(2)2y y x x =++， ∴008(2,)2y M x +，∴004(2,)2y N x +，∴0000200422224QNy y x x y k x x -+==--，又点P 的坐标满足椭圆方程,得到220044x y +=，∴ 220044x y -=-,∴000002200022442QN x y x y x k x y y ===---， ∴直线 QN 的方程：)(22000x x y x y y --=-，化简整理得到：442202000=+=+y x y y x x , 即4200=+y y x x ， ∴点O 到直线QN 的距离244220=+=y x d ，∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切．。

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