高中数学用空间思维节椎体问题练习题

高中数学用空间思维节椎体问题练习题
【例1】 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，2SD a =
，AD =，点E 是SD
上的点，且()02DE a λλ=<≤．
⑴求证：对任意的(]02λ∈，，都有AC BE ⊥；
⑵设二面角C AE D --的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为ϕ，若tan tan 1θϕ⋅=，求λ的值．
S
E
D
C B A
【例2】 如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为PA ，
PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．
⑴设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE ；
⑵证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．
G F
E
O P
C
B
A
【例3】 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =． 以AC
的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N ． ⑴求证：平面ABM ⊥平面PCD ；
⑵求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小；
⑶求点N 到平面ACM 的距离．
典例分析
O P
N
M
D
C B A
【例4】 如图，四棱锥S ABCD -
倍，P 为侧棱SD 上
的点．
⑴求证：AC SD ⊥；
⑵若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D --的大小；
⑶在⑵的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．
P
D
C B A
S
【例5】 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E F ，分别
是BC PC ，的中点．
⑴证明：AE PD ⊥；
⑵若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD
，求二面角E AF C --的余弦值．
P F
E C B A
【例6】 如图，已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AN BC ⊥于N ，D 是AB 的中点，且1PA =
，
AN BN CN ===
⑴求证：PB AC ⊥；
⑵求异面直线CD 与PB 所成角的大小；
⑶求点A 到平面PBC 的距离．
N P
D
B
C A
【例7】 如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB =，F 为CE 上的点，
且BF ⊥平面ACE ．
⑴求证：AE ⊥平面BCE ；
⑵求二面角B AC E --的大小；
⑶求点D 到平面ACE 的距离．
F
E D C
B
A
【例8】 如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、
AC 的中点，H 是EF 的中点，
过EF 作平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132
OA =． ⑴求证：11B C ⊥平面OAH ；
⑵求二面角111O A B C --的大小的余弦值．
C 1
B 1A 1
H F E C B A O
【例9】 如图，在Rt AOB ∆中，π6
OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 在斜边AB 上．
⑴ 求证：平面COD ⊥平面AOB ；
⑵ 当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小； ⑶ 求CD 与平面AOB 所成角的最大值．
A
B
E D
O
【例10】 如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB BC kPA ==，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥
底面ABC ．
⑴求证：OD ∥平面PAB ； ⑵当12
k =
时，求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值． ⑶当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC △的重心？ C B A D
O
P
【例11】 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E F ，分别
是BC PC ，的中点．
⑴证明：AE PD ⊥；
⑵若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD
，求二面角E AF C --的余弦值．
P F
C B A
【例12】如图，已知三棱锥P ABC
-中，PA⊥平面ABC，AN BC
⊥于N，D是AB的中点，且1
PA=
，
AN BN CN
===
⑴求证：PB AC
⊥；
⑵求异面直线CD与PB所成角的大小；
⑶求点A到平面PBC的距离．
N P
D
B
C
A。