八年级数学下册 1_1 第2课时 含30°锐角的直角三角形的性质及其应用教案 (新版)湘教版

第2课时 含30°锐角的直角三角形的性质及其应用

1．理解并掌握含30°锐角的直角三角形的性质；(重点)

2．能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决问题．(难点)

一、情境导入

用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流一下．

二、合作探究

探究点一：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm ，那么腰上的高是________cm ，这个三

角形的面积是________cm 2.

解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角

为30°，依题意画出图形，则有∠A ＝30°，BD ⊥AC ，AB ＝4cm ，所以BD ＝2cm ，S △ABC ＝12

AC ·BD ＝12

×4×2＝4(cm 2)．故答案为2，4. 方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

探究点二：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°

如图所示，在四边形ACBD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，且AC ＝12

BC ，求∠DAC 的度数．

解析：根据题意得∠CBA ＝30°，由平行得∠BAD ＝30°，进而可得出结论．

解：∵AB ⊥AC ，∴∠CAB ＝90°.∵AC ＝12

BC ，∴∠CBA ＝30°.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝30°，∴∠CAD ＝∠CAB ＋∠BAD ＝120°.

方法总结：如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

探究点三：含30°锐角的直角三角形性质的应用

如图，某船于上午11时30分在A 处观测到海岛B 在北偏东60°方向；该船以每小

时10海里的速度向东航行到C 处，观测到海岛B 在北偏东30°方向；航行到D 处，观测到海岛B 在北偏西30°方向；当船到达C 处时恰与海岛B 相距20海里．请你确定轮船到达C 处和D 处的时间．

解析：根据题意得出∠BAC ，∠BCD ，∠BDA 的度数，根据直角三角形的性质求出BC 、AC 、CD 的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间．

解：由题意得∠BCD ＝90°－30°＝60°，∠BDC ＝90°－30°＝60°.∴∠BCD ＝∠BDC ＝60°，∴△BCD 为等边三角形．在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°－60°＝30°，∠BDC ＝60°，∴∠ABD ＝90°，

即△ABD 为直角三角形，∴∠ABC ＝30°.∵BC ＝20海里，∴CD ＝BD ＝20海里．又∵BD ＝12

AD ，∴AD ＝40海里．∴AC ＝AD －CD ＝20(海里)．∵船的速度为每小时10海里，因此轮船从A

处到C 处的时间为2010＝2(h)，从A 处到D 处的时间为4010

＝4(h)．∴轮船到达C 处的时间为13时30分，到达D 处的时间为15时30分．

方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

三、板书设计

1．含30°锐角的直角三角形的性质

(1)在直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；

(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.

2．含30°锐角的直角三角形的性质的应用．

在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不

能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误

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