第七节 常系数齐次线性微分方程
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7-7常系数齐次线性微分方程习题课
y = C1e−2x + C2e2x + C3 cos 3x + C4 sin 3xr1, 2 = −3 2i 故所求通解为 y = e−3x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
第七章 第七节
3
3 求解 y + 4 y + 4 y = 0 , y(0) = 0 , y(0) = −3
解 特征方程为 r2 + 4r + 4 = 0
解得 r1 = r2 = −2 故所求通解为 y = (C1 + C2 x)e−2x
第七章 第七节
2
1 求 y + y − 12 y = 0 的通解。
解 特征方程为 r2 + r − 12 = 0
解得 r1 = −4 , r2 = 3 故所求通解为 y = C1e−4x + C2e3x
2 求 y + 6 y + 13 y = 0 的通解。
解 特征方程为 r2 + 6r + 13 = 0
以上结论可推广到更高阶常系数线性微分方程
第七章 第七节
1
1 求 y + y − 12 y = 0 的通解。
2 求 y + 6 y + 13 y = 0 的通解。 3 求解 y + 4 y + 4 y = 0 , y(0) = 0 , y(0) = −3 4 求解 y(4) + 2 y + y = 0 5 求解 y(4) + 5 y − 36 y = 0
7.7 常系数齐次线性微分方程习题解答
二阶常系数齐次线性方程 y + py + qy = 0
解题思路：特征方程法 特征方程: r 2 + p r + q = 0 , 特征根：
第七章 第七节
3
3 求解 y + 4 y + 4 y = 0 , y(0) = 0 , y(0) = −3
解 特征方程为 r2 + 4r + 4 = 0
解得 r1 = r2 = −2 故所求通解为 y = (C1 + C2 x)e−2x
第七章 第七节
2
1 求 y + y − 12 y = 0 的通解。
解 特征方程为 r2 + r − 12 = 0
解得 r1 = −4 , r2 = 3 故所求通解为 y = C1e−4x + C2e3x
2 求 y + 6 y + 13 y = 0 的通解。
解 特征方程为 r2 + 6r + 13 = 0
以上结论可推广到更高阶常系数线性微分方程
第七章 第七节
1
1 求 y + y − 12 y = 0 的通解。
2 求 y + 6 y + 13 y = 0 的通解。 3 求解 y + 4 y + 4 y = 0 , y(0) = 0 , y(0) = −3 4 求解 y(4) + 2 y + y = 0 5 求解 y(4) + 5 y − 36 y = 0
7.7 常系数齐次线性微分方程习题解答
二阶常系数齐次线性方程 y + py + qy = 0
解题思路：特征方程法 特征方程: r 2 + p r + q = 0 , 特征根：
高等数学77常系数齐次线性微分方程特征根方程解的情况的讨论
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
得齐次方程的通解为
y2 e r2x ,
y
C e r1x 1
C 2e r2 x ;
( 0)
(2) 有两个相等的实根
p 特征根为
r r 2 , 1
2
一特解为
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
y1 e r1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
(r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为
r1 1, r2 r3 i, r4 r5 i,
故所求通解为
y C1ex (C2 C3 x)cos x (C4 C5 x)sin x.
小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
§7. 常系数齐次线性微分方程 一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x)
二、二阶常系数齐次线性方程解法
三、n阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0
特征方程为
r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根
通解中的对应项
若是k重根r
(C0 C1 x Ck1 xk1 )erx
若 是k重 共 轭
复根 i
若是单根
r
[(C0 C1x Ck1xk1)cosx (D0 D1x Dk1xk1 )sinx]ex
4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程
x
(n)
a1 x
( n 1)
an1 x an x 0
1、复值函数 定义
z (t ) (t ) i (t ) t [a, b]，
(t )， (t )是定义在 [ a , b ] 上的实函数。
极限
lim z (t ) lim (t ) i lim (t ) t0 [a, b]，
z (t ) z (t0 ) dz d lim z (t0 ) t t0 t t0 dt t t0 dt
t t0
d i dt
t t0
易验证
d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) dt dt dt d dz1 (t ) [cz1 (t )] c dt dt d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) z2 (t ) z1 (t ) dt dt dt
()
F ( ) n a1n1 an1 an 0
① 特征根为实根 I. 设 1 0 是 k 重特征根 方程 ( ) 有 k 个线性无关的解 II. 设
1, t , t 2 ,
, t k 1
1 0 是 k 重特征根
e1t , te1t , t 2e1t , , t k 1e1t
性质1
e e
t
t
性质2
性质3 性质4
det et dt
e
( 1 2 ) t
e e
1t 2t
d n et n t e n dt
3、复值解 定义 如果定义在 [a, b] 上的实变量的复值函数
x z (t ) 满足方程
常微分方程4.4常系数齐线性方程组
常微分方程4.4常系数 齐线性方程组
目录
• 常系数齐线性方程组的定义 • 常系数齐线性方程组的解法 • 常系数齐线性方程组的应用 • 常系数齐线性方程组的扩展
01
常系数齐线性方程组的 定义
定义与特性
定义
常系数齐线性方程组是由n个一阶常微分方程组成的方程组，形如$y' = f(x) = a_{1}y + a_{2}y' + ldots + a_{n}y^{(n-1)}$，其中$a_{1}, a_{2}, ldots, a_{n} FOR WATCHING
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02
常系数齐线性方程组的 解法
特征值与特征向量
特征值
对于常系数齐线性方程组，其特征值是方程组的解，对应于特征值的线性无关的解称为特征向量。
特征向量的求解
通过将特征值代入方程组，可以得到特征向量。
方程组的解法
代数解法
通过对方程组进行代数运算，求解出方 程组的解。
VS
微分方程解法
通过对方程组进行微分运算，求解出方程 组的解。
04
常系数齐线性方程组的 扩展
高阶线性方程组
01
高阶线性方程组是指微分方程中未知数的导数次数 高于一次的方程组。
02
高阶线性方程组在物理、工程和经济学等领域有广 泛应用。
03
解决高阶线性方程组的方法包括分离变量法、幂级 数法等。
非线性方程组
01 非线性方程组是指微分方程中包含未知数及其导 数的非线性项的方程组。
解的稳定性与不稳定性
要点一
稳定性
当方程组的解在时间变化过程中保持稳定时，称为稳定。
要点二
不稳定性
当方程组的解在时间变化过程中发生振荡或发散时，称为 不稳定。
目录
• 常系数齐线性方程组的定义 • 常系数齐线性方程组的解法 • 常系数齐线性方程组的应用 • 常系数齐线性方程组的扩展
01
常系数齐线性方程组的 定义
定义与特性
定义
常系数齐线性方程组是由n个一阶常微分方程组成的方程组，形如$y' = f(x) = a_{1}y + a_{2}y' + ldots + a_{n}y^{(n-1)}$，其中$a_{1}, a_{2}, ldots, a_{n} FOR WATCHING
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02
常系数齐线性方程组的 解法
特征值与特征向量
特征值
对于常系数齐线性方程组，其特征值是方程组的解，对应于特征值的线性无关的解称为特征向量。
特征向量的求解
通过将特征值代入方程组，可以得到特征向量。
方程组的解法
代数解法
通过对方程组进行代数运算，求解出方 程组的解。
VS
微分方程解法
通过对方程组进行微分运算，求解出方程 组的解。
04
常系数齐线性方程组的 扩展
高阶线性方程组
01
高阶线性方程组是指微分方程中未知数的导数次数 高于一次的方程组。
02
高阶线性方程组在物理、工程和经济学等领域有广 泛应用。
03
解决高阶线性方程组的方法包括分离变量法、幂级 数法等。
非线性方程组
01 非线性方程组是指微分方程中包含未知数及其导 数的非线性项的方程组。
解的稳定性与不稳定性
要点一
稳定性
当方程组的解在时间变化过程中保持稳定时，称为稳定。
要点二
不稳定性
当方程组的解在时间变化过程中发生振荡或发散时，称为 不稳定。
线性齐次微分方程与常系数齐次微分方程
线性齐次微分方程与常系数齐次微分方程线性齐次微分方程是微分方程中的常见类型之一，特点是方程中只包含未知函数及其导数，且各项的系数是常数。
常系数齐次微分方程是线性齐次微分方程的一种特殊形式，其中各项的系数都是常数。
一、线性齐次微分方程的定义与性质在数学中，线性齐次微分方程的一般形式可表示为：$$\frac{{d^n y}}{{dx^n}} + a_{n-1}\frac{{d^{n-1} y}}{{dx^{n-1}}} + \cdots + a_1\frac{{dy}}{{dx}} + a_0y = 0$$其中，$a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}$为常数，$y$为未知函数，$n$为正整数。
线性齐次微分方程的性质如下：1. 线性齐次微分方程是n阶微分方程，其解包括n个独立的任意常数；2. 如果$y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$是齐次方程的解，那么对应的线性组合$c_1y_1(x) + c_2y_2(x) + \cdots + c_ny_n(x)$也是方程的解；3. 如果$y_1(x)$和$y_2(x)$分别是齐次方程的解，那么它们的线性组合$c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$也是齐次方程的解；4. 对于齐次方程的任意解$y(x)$，可以通过乘以任意非零常数$k$得到另一个解$k\cdot y(x)$。
二、常系数齐次微分方程的解法常系数齐次微分方程是线性齐次微分方程的特殊形式，其特点是方程中各项的系数均为常数。
对于一阶常系数齐次微分方程，其一般形式为：$$\frac{{dy}}{{dx}} + ay = 0$$其中，$a$为常数。
常系数齐次微分方程的解法如下：1. 将方程改写为$\frac{{dy}}{{dx}} = -ay$；2. 将方程分离变量，得$\frac{{dy}}{{y}} = -a\,dx$；3. 对两边同时求不定积分，得到$\ln|y| = -ax + C$；4. 解出原方程的解为$y(x) = Ce^{-ax}$，其中$C$为任意常数。
7.7 常系数齐次线性微分方程
例 3：解微分方程
d2y dy 4 6y 0 。 2 dx dx
微分方程
d2y dy 4 6 y 0 的特征方程为 r 2 4r 6 0 2 dx dx
特征方程 r 2 4r 6 0 的两个根分别为 r1 2 2i, r2 2 2i 于是，微分方程
微分方程
d2y dy 4 4 y 0 的特征方程为 r 2 4r 4 0 2 dx dx
特征方程 r 2 4r 4 0 的根为 r1 r2 2 于是，微分方程 常数
d2y dy 4 4 y 0 的通解为 y (C1 C2 x )e 2 dy p qy 0 的通解为 2 dx dx
y (C1 C2 x )e r1 x
其中 C1 , C2 为任意常数。
（3）特征方程（一元二次方程） r 2 pr q 0 的根的判别式 p 2 4q 0 。 此时， r1 与 r2 为一对共轭复根，即 r1 , r2 皆为复数，且 r1 r2 。比方说， r1 i ，
d2y dy 4 6 y 0 的通解为 y e 2 x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) ，其 2 dx dx
中 C1 , C2 为任意常数
d2y dy p qy 0 的特征方程 r 2 pr q 0 ； 2 dx dx
二．求出特征方程（一元二次方程） r 2 pr q 0 的两个根 r1 , r2 ； 三．根据特征方程的根的判别式的取值，分为以下三种情形：
（1）特征方程（一元二次方程） r 2 pr q 0 的根的判别式 p 2 4q 0 。 此时， r1 , r2 皆为实数，且 r1 r2 ，微分方程
常系数齐次线形微分方程
常系数齐次线形微分方程
• 引言 • 方程形式与分类 • 求解方法 • 应用场景 • 扩展与深化
01
引言
定义与特点
定义
常系数齐次线形微分方程是微分方程 中的一类，其特点是方程中的系数是 常数，且等号右边为0。
特点
这类方程具有线形性质，即未知函数 的最高阶导数项与其它项之间是线形 关系。
历史背景与发展
常系数齐次线性微分方程在物理 学中有广泛应用，如振动、波动、 热传导等。
THANKS
感谢观看
要点二
详细描述
二阶常系数齐次线形微分方程的一般形式为 y'' = -p*y' q*y，其中 p 和 q 是常数。解这类方程通常需要利用三角函 数或双曲函数的性质，通过适当的变量代换将其转化为可解 的形式。
高阶方程
总结词
高阶常系数齐次线形微分方程的解法较 为复杂，需要使用递推关系和数学归纳 法。
VS
+ p(x)y = q(x)。
解法
通过变量代换或积分因子法 ，将非齐次方程转化为齐次 方程，再利用已知的齐次方 程通解，求得非齐次方程的
特解。
应用
非齐次方程在物理、工程等 领域有广泛应用，如振动问 题、热传导问题等。
矩阵形式
定义
将线性微分方程组表示为矩阵形式，可以更方便 地处理多个未知函数的微分方程组。
详细描述
首先将方程中的未知函数与其导数分离，使 方程左侧为代数式，右侧为微分式。然后对 方程进行积分，得到一个关于未知函数的积 分式。最后通过求解代数方程，得到未知函 数的通解。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将原微分方程转化为更容易求解的微分方程。
详细描述
• 引言 • 方程形式与分类 • 求解方法 • 应用场景 • 扩展与深化
01
引言
定义与特点
定义
常系数齐次线形微分方程是微分方程 中的一类，其特点是方程中的系数是 常数，且等号右边为0。
特点
这类方程具有线形性质，即未知函数 的最高阶导数项与其它项之间是线形 关系。
历史背景与发展
常系数齐次线性微分方程在物理 学中有广泛应用，如振动、波动、 热传导等。
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要点二
详细描述
二阶常系数齐次线形微分方程的一般形式为 y'' = -p*y' q*y，其中 p 和 q 是常数。解这类方程通常需要利用三角函 数或双曲函数的性质，通过适当的变量代换将其转化为可解 的形式。
高阶方程
总结词
高阶常系数齐次线形微分方程的解法较 为复杂，需要使用递推关系和数学归纳 法。
VS
+ p(x)y = q(x)。
解法
通过变量代换或积分因子法 ，将非齐次方程转化为齐次 方程，再利用已知的齐次方 程通解，求得非齐次方程的
特解。
应用
非齐次方程在物理、工程等 领域有广泛应用，如振动问 题、热传导问题等。
矩阵形式
定义
将线性微分方程组表示为矩阵形式，可以更方便 地处理多个未知函数的微分方程组。
详细描述
首先将方程中的未知函数与其导数分离，使 方程左侧为代数式，右侧为微分式。然后对 方程进行积分，得到一个关于未知函数的积 分式。最后通过求解代数方程，得到未知函 数的通解。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将原微分方程转化为更容易求解的微分方程。
详细描述
高数同济77常系数齐次线性微分方程
程的解，则它们的线性组合 $C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$也是方
程的解。
通解与特解
线性微分方程的通解是包含所有 解的表达式，而特解是满足特定
初始条件的解。
解的独立性
若$y_1(x)$和$y_2(x)$是线性独 立的，即它们不成比例，则它们 的线性组合可以表示出方程的所
有解。
常系数齐次线性微分方程通解形式
应用举例
通过具体实例，展示了常系数齐次线性微分方程在物理、工程等领域的广泛应用，加深了 对理论知识的理解和掌握。
研究现状与发展趋势
研究现状
介绍了当前常系数齐次线性微分 方程在数学、物理、工程等领域 的研究现状，包括理论研究、数 值计算以及应用研究等方面。
发展趋势
分析了常系数齐次线性微分方程 未来的发展趋势，如更高效的求 解方法、更广泛的应用领域以及 与其他学科的交叉融合等。
偏微分方程的求解通常需要借助更复杂的数学工具，但常系数齐次线性微分方程的 求解方法相对简单，可以为偏微分方程的求解提供启示和借鉴。
07 总结与展望
主要内容回顾
常系数齐次线性微分方程的基本形式及性质
回顾了常系数齐次线性微分方程的一般形式、解的性质以及解的结构等重要概念。
求解方法与步骤
详细阐述了求解常系数齐次线性微分方程的常用方法，如特征根法、待定系数法等，以及 具体的求解步骤和注意事项。
特征方程与特征根
特征方程
对于$n$阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程是一个$n$ 次代数方程，形式为$a_0r^n+a_1r^{n-1}+cdots+a_{n1}r+a_n=0$。
特征根
特征方程的根称为特征根，它们决定了微分方程的通解形式 。特征根可以是实数或复数，对于复数特征根，需要利用欧 拉公式将其转化为三角形式或指数形式以便于求解。
程的解。
通解与特解
线性微分方程的通解是包含所有 解的表达式，而特解是满足特定
初始条件的解。
解的独立性
若$y_1(x)$和$y_2(x)$是线性独 立的，即它们不成比例，则它们 的线性组合可以表示出方程的所
有解。
常系数齐次线性微分方程通解形式
应用举例
通过具体实例，展示了常系数齐次线性微分方程在物理、工程等领域的广泛应用，加深了 对理论知识的理解和掌握。
研究现状与发展趋势
研究现状
介绍了当前常系数齐次线性微分 方程在数学、物理、工程等领域 的研究现状，包括理论研究、数 值计算以及应用研究等方面。
发展趋势
分析了常系数齐次线性微分方程 未来的发展趋势，如更高效的求 解方法、更广泛的应用领域以及 与其他学科的交叉融合等。
偏微分方程的求解通常需要借助更复杂的数学工具，但常系数齐次线性微分方程的 求解方法相对简单，可以为偏微分方程的求解提供启示和借鉴。
07 总结与展望
主要内容回顾
常系数齐次线性微分方程的基本形式及性质
回顾了常系数齐次线性微分方程的一般形式、解的性质以及解的结构等重要概念。
求解方法与步骤
详细阐述了求解常系数齐次线性微分方程的常用方法，如特征根法、待定系数法等，以及 具体的求解步骤和注意事项。
特征方程与特征根
特征方程
对于$n$阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程是一个$n$ 次代数方程，形式为$a_0r^n+a_1r^{n-1}+cdots+a_{n1}r+a_n=0$。
特征根
特征方程的根称为特征根，它们决定了微分方程的通解形式 。特征根可以是实数或复数，对于复数特征根，需要利用欧 拉公式将其转化为三角形式或指数形式以便于求解。
常系数齐次线性微分方程组
dx (t ) du (t ) dv (t ) i A(t ) u (t ) iv (t ) dt dt dt A(t )u (t ) iA(t )v (t )
由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，
常系数线性方程组
所以有
du (t ) dv (t ) A(t )u (t ), A(t )v (t ) dt dt 即 u (t ) 和 v (t ) 是方程组（2）的解.
X (t ) X (t ) X 1 (0)
常系数线性方程组
1 0 0 3 3 t e cos 2t sin 2t cos 2t sin 2t . 2 2 3 1 sin 2t cos 2t sin 2t cos 2t 2
0
(1)矩阵A具有n个互不相同的特征值时 由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关 的特征向量。
常系数线性方程组
5 28 18 dx x 的通解. 1 5 3 例1 求方程组 dt 3 16 10
解 系数矩阵A的特征方程为
det( E A) 3 (1 2 ) 0
§7.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t ), dt
（ 1）
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t )在 a t b上连续的向量函数;
若f (t ) 0, 则对应齐线性微分方程组为
dx Ax (2) dt
本节先讨论(2)的基解矩阵的求法.
t
3e 0 et
t
故通解为
2 2et x (t ) (t )C 1 et 1 2et
7常系数齐次线性微分方程
特征方程
y r
2(
Cp1r
Cq 2x0)
e
r1
x
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3. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解: 欧拉公式 ei cos i sin ,
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )
特征方程: r 2 pr q 0,
特征根 实根
通
解
y C1 er1 x C2 er2 x y ( C1 C2 x ) er1 x
y e x (C1 cos x C2 sin x )
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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例1. 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解: 特征方程 r 2 2 r 3 0, 特征根: r1 1 , r2 3 ,
2 (1), (2) , (6)
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设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
er1 x [ (u 2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0
u ( 2 r1 p )u ( r12 p r1 q )u 0
是特征方程的重根
u 0
取 u = x , 则得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2
d d
s t
s
0
第七节、 常系数齐次线性微分方程
( C1 C2 x)ex C3e x
C3 3c3
故对应的特征方程有根： r1,2 1, r3 1,
因此特征方程为： (r 1)2(r 1) 0, r3 r2 r 1 0,
所求方程为： y y y y 0.
（1）
问题2：如何求方程（1）的两个线性无关的解？
设 y e r x 满足方程（1）， 其中 r 为待定参数
由于 y ' r e r x , y '' r 2 e r x , 代入（1）得
r 2e rx p re rx qe rx 0 , (r 2 pr q )e rx 0
因为 e r x 0 , 所以必有
r 1, 2
4
16 4 13 2 3 i 2
所以 2 , 3 ,
所求通解为
Y e 2 x ( c 1 cos 3 x c 2 sin 3 x )
Y e x ( c 1 cos x c 2 sin x )
例3：设 y e x (C1 sin x C2 cos x) 为某二阶常系数齐次
注意
n次代数方程有n个根（重根按重数计算）, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一 项, 且每一项各一个任意常数.
将上述所有项加在一起，就得到n 阶常系数齐次 线性方程的通解为
Y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例1 求方程 y(4) 2 y(3) 5 y 0 的通解.
解 特征方程为 r4 2r 3 5r 2 0 r 2 ( r 2 2r 5) 0
问题3：如何得到实值函数的通解？
欧拉公式： e i cos i sin
y 1 e ( i ) x e x eix e x (cos x i sin x)
y 2 e ( i ) x e x eix e x (cos x i sin x)
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5 4 3 2
(r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为 r1 1, r2 r3 j , r4 r5 j , 故所求通解为
y C1e x (C2 C3 x ) cos x (C4 C5 x ) sin x .
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
r1 j ,
1 x y ( y y ) e cos x, 重新组合 1 1 2 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x, 2j
得齐次方程的通解为
y1 e
( j ) x
,
y2 e
( j ) x
,
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
知 u 0,
rx 则 y xe , 取 u( x ) x , 2
1
得齐次方程的通解为 y (C1 C 2 x )e
r1 x
;
有一对共轭复根 特征根为
( 0)
r2 j ,
令 z ln y
则 z z 0,
特征根 1
x x x x z C e C e y C e C e . 通解 1 2 1 2
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
，y2 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2
解得 r1， 2 1 2 j , 故所求通解为
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
三、n阶常系数齐次线性方程解法
y
( n)
P1 y
( n 1 )
Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0 特征方程的根
二阶常系数齐次线性微分方程
second order homogeneour linear differential equation with constant coefficient
二阶变系数齐次线性微分方程
second order homogeneous linear differential equation with variable coefficient
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x )
二、二阶常系数齐次线性方程解法
y py qy 0
rx
-----特征方程法
设 y e , 将其代入上方程, 得 ( r pr q )e 0
2
r1 x
r2 x
作业 P340 1 ; 2;
思考题
2 y y y y ln y 的通解. 求微分方程 2
思考题解答
2 yy y ln y , y 0, 2 y y y ln y , ln y , ln y ln y , x y y
特征方程 characteristic equation
第七节 常系数 齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
第七章
求特征方程(代数方程)之根
机动
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结束
一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y f ( x )
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 例1 求方程 y 4 y 4 y 0 的通解. 解 特征方程为 解得
r 4r 4 0 ,
2
r1 r2 2 ,
2 x y ( C C x ) e . 故所求通解为 1 2
例2 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
（1）写出相应的特征方程;
（2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表)
y py qy 0
特征根的情况
r pr q 0
通解的表达式
2
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e C 2 e y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭 复根 j
2 rx
e 0,
rx
故有
r pr q 0
2
特征方程
特征根 r1, 2
p
p 4q , 2
2
有两个不相等的实根 ( 0)
特征根为 r1
p
p 2 4q p p 2 4q , r2 , 2 2
两个线性无关的特解
y1 e ,
r1 x
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数. y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例3 求方程
y ( 5 ) y ( 4 ) 2 y ( 3 ) 2 y y y 0 的通解.
解 特征方程为 r r 2r 2r r 1 0,
(r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为 r1 1, r2 r3 j , r4 r5 j , 故所求通解为
y C1e x (C2 C3 x ) cos x (C4 C5 x ) sin x .
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
r1 j ,
1 x y ( y y ) e cos x, 重新组合 1 1 2 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x, 2j
得齐次方程的通解为
y1 e
( j ) x
,
y2 e
( j ) x
,
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
知 u 0,
rx 则 y xe , 取 u( x ) x , 2
1
得齐次方程的通解为 y (C1 C 2 x )e
r1 x
;
有一对共轭复根 特征根为
( 0)
r2 j ,
令 z ln y
则 z z 0,
特征根 1
x x x x z C e C e y C e C e . 通解 1 2 1 2
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
，y2 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2
解得 r1， 2 1 2 j , 故所求通解为
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
三、n阶常系数齐次线性方程解法
y
( n)
P1 y
( n 1 )
Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0 特征方程的根
二阶常系数齐次线性微分方程
second order homogeneour linear differential equation with constant coefficient
二阶变系数齐次线性微分方程
second order homogeneous linear differential equation with variable coefficient
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x )
二、二阶常系数齐次线性方程解法
y py qy 0
rx
-----特征方程法
设 y e , 将其代入上方程, 得 ( r pr q )e 0
2
r1 x
r2 x
作业 P340 1 ; 2;
思考题
2 y y y y ln y 的通解. 求微分方程 2
思考题解答
2 yy y ln y , y 0, 2 y y y ln y , ln y , ln y ln y , x y y
特征方程 characteristic equation
第七节 常系数 齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
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第七章
求特征方程(代数方程)之根
机动
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一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y f ( x )
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 例1 求方程 y 4 y 4 y 0 的通解. 解 特征方程为 解得
r 4r 4 0 ,
2
r1 r2 2 ,
2 x y ( C C x ) e . 故所求通解为 1 2
例2 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
（1）写出相应的特征方程;
（2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表)
y py qy 0
特征根的情况
r pr q 0
通解的表达式
2
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e C 2 e y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭 复根 j
2 rx
e 0,
rx
故有
r pr q 0
2
特征方程
特征根 r1, 2
p
p 4q , 2
2
有两个不相等的实根 ( 0)
特征根为 r1
p
p 2 4q p p 2 4q , r2 , 2 2
两个线性无关的特解
y1 e ,
r1 x
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数. y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例3 求方程
y ( 5 ) y ( 4 ) 2 y ( 3 ) 2 y y y 0 的通解.
解 特征方程为 r r 2r 2r r 1 0,