北京大学数学分析考研试题及解答
北京大学2010年数学分析考研试题的解答
一致收敛于 及 ， 0,
lim
n→∞
bn
=
b
3
所以有 f (x) = P(x) + b ，即 f (x) 也是多项式，结论得证。
4、证明 记 F ( x) = e1−x2 f ( x) ，
则由积分中值定理，存在η ∈(0,) ，使得
证明 因为实系数多项式序列{ 在 fn(x)} R 上一致收敛于实值函数 f (x) ，
所以对任意ε > 0 ，存在 N ∈ N* ，使得当 m,n > N 时，有 fn(x) − fm (x) < ε ，
又因为 fn(x) − fm (x) 也是多项式，若 fn(x) − fm (x) 不为常数，则当 x 趋于无穷时， fn(x) − fm (x)
也趋于无穷，矛盾。所以 fn(x) − fm(x) = an,m ，其中{an,m} 为一无穷小序列。
由上面结论及 fn(x) 是多项式，可知当n > N 时，
， fn (x) = P(x) + bn
其中 P(x) 为某一固定的多项式，{bn}为某一收敛数（因为bn − bm = an,m 为柯西列）
1
∫ F (η ) = 2 ( ) e2 1−x2 f x dx ， 0
由题设条件知， F (η ) = f (1) = F (1) ,
由 Lagrange 中值定理，推得，
存在ξ ∈(η,1) ⊂ (0,1) ，使得
0 = F′(ξ ) = e1−ξ2 ( f ′(ξ ) − 2ξ f (ξ )) ，
βn
= sup
0< x<1
北京大学2019年数学分析试题及解答
=
l, lim xn n→+∞
=
L,
知
{xn}
中有无穷项小于等于
l+c 2
,
有无穷项
大于
c.
从而
|xn+1 − xn|
有无穷多项大于等于
c−l 2
,
矛盾.
类似地,
存在
n2
> n1
使得
xn1 +c 2
< xn2
⩽ c.
以
此类推可取一个子列
{xnk }
,|xnk
−
c|
⩽
c−l 2k
,
此时
{xnk }
nπ 4
+
sin
nπ 4
)np
,
∑ +∞
sin
nπ 4
np
在 p > 1 时绝对收敛, 在 0 < p ⩽ 1 时条件收敛.
n=1
sin2
nπ 4
(np
+
sin
nπ 4
)np
∼
sin2
nπ 4
n2p
=
1
− cos n2p
nπ 2
,
(n
→
+∞),
∑ +∞
sin2
nπ 4
因此 n=1
(np +sin
nπ 4
∫ +∞
这与
f ′(x) dx 有意义的 Cauchy 收敛原理矛盾.
1
注 裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第 249 页例 3.3.11 与本题几乎完全相同, 那里有另外一
种证明方法. 我写的这个解法是源于一个很经典的题目, 可以见《数学分析习题课讲义》上册第 396 页命题
北京大学高等代数和解析几何真题1983——1984年汇总
北京大学数学考研题目1983年 基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业2222022200Ax By C z D yz Ezx Fxy A B C +++++=++=一、（分）证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充要条件是.1223112220...1,...2, (1)n n n n n x x x x x x xx x n ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=+⎩二、（分）用导出组的基础解系表出线性方程组的一般解。
121220,,...,()()...()1n n a a a x a x a x a ----三、（分）设是相异整数。
证明：多项式在有理数域上不可约。
20000120231001011A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、（分）用V 表示数域P 上全部4阶矩阵所成的线性空间，A 是V 中的一个矩阵，已知－10，，及10分别是的属于特征值， ， ，－1的特征向量。
（1）求A;(2)求V 中与A 可交换的矩阵全体所成的子空间的维数及一组基。
20,A B 五、（分）设是两个n 级正定矩阵。
证明：AB 是正定矩阵的充要条件是A 与B 可交换。
1984年 数学各专业132110::23100363x y l z x y z π--==-++-=一、（分）求直线与平面的交点。
10,,,,a b c a b b c c a ⨯⨯⨯二、（分）设向量不共面。
试证：向量不共面。
15K K K K K K 三、（分）设和为平面上同心的单位（半径＝1）开圆域和闭圆域。
（1）取定适当的坐标系，写出和的解析表示式；（2）试在和的点之间建立一个一一对应关系。
{}{}{}{}23231231251,,.2,,V R V T V V T T T T T T TT T T εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--→==+=++111212312311113四、（分）设是实数域上的三维向量空间，，，是的一组基。
北京大学2020年数学分析试题及解答
注 这里的结论为裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第 168 页定理 4, 若想更为熟悉这方面的内 容, 可以翻阅该书. 解决这题的方法是想下连续函数的情形怎么证明, 做一个类比即可.
2. 记
∆(f, n, m)
=
f
(( n
+
)) 1
π 2
−
f
(( n
+
) 1
π 2
+
) 1 m
= =
( n
)
⩽
F
( ∑∑ni=ni=1 1x∫i x∫xixi− xii1−1ff(t()t)ddt t )
⩽
∑n
i=1
F (xi) F (1)
∫ xi
xi−1
f (t)
dt.
又因为 F (x) 在 [0, 1] 上一致连续, 故 ∀ ε > 0, ∃N > 0, 当 n > N 时, |F (xi) − F (xi−1)| < ε, 此时
,
记
M
= maxx0⩽x⩽2x0 |f (x)| ,
则
( ([ ] { })) ( ({ } )) ( ([ ] ))
x
x
f (x) = f x0
+
x0
x0
⩽f
x
x0 ([
x]0
+1 )
+ f x0
x −1
x0
⩽M+
x x0
−1
f
(x0)
⩽
M
+
x
− x0 x0
f
(x0),
再结合
limx→+∞
M x
北大 数学分析 考研
北大数学分析考研
北大的数学分析考研真的是非常难，要想取得好成绩，需要具备扎实的数学基础和良好的解题能力。
北大数学分析考研主要包括两个方面的内容：一是数学分析基本理论和方法，二是数学分析的应用。
在基本理论和方法方面，考生需要熟练掌握数列极限、函数极限、连续性和一致连续性的概念及其性质，熟悉泰勒展开式、可导性的判定条件等内容。
在应用方面，考生需要掌握微分中值定理、极值、泰勒中值定理等应用知识，并能熟练解决相关的应用题。
要想在北大数学分析考研中取得好成绩，首先要有良好的学习方法。
数学分析考试要求考生以理论为依托，注重掌握基本概念和性质，强调综合运用各种方法解题。
考生需要注重理论的理解和掌握，经常进行归纳总结，提高数学分析的抽象和推理能力。
同时，还需要通过大量的练习，加强对应用题的解题能力和分析能力。
其次，要有良好的数学思维能力。
数学分析考试注重考察考生的数学思维能力和解题能力。
考生需要具备逻辑思维和推理能力，善于分析问题、理清思路。
同时，要善于发现问题的重点和难点，能够运用数学知识解决实际问题。
最后，要保持积极的学习态度和良好的心理素质。
北大数学分析考研非常难，考生需要耐心和毅力，保持积极的学习态度，不怕困难，勇于挑战。
同时，还需要具备良好的心理素质，保持冷静和稳定，不被考试压力所影响。
总的来说，北大数学分析考研需要考生具备扎实的数学基础、良好的解题能力，通过科学的学习方法，培养良好的数学思维能力，保持积极的学习态度和良好的心理素质，才能在考试中取得好成绩。
加油！。
北京大学《数学分析(Ⅲ)》2020-2021学年第一学期期末试卷 (2)
北京大学《数学分析（Ⅲ）》2020-2021学年第一学期期末试卷《数学分析（Ⅲ）》院/系——年纪——专业——姓名——学号——一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x) > 0，则下列结论正确的是（ ）A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在(a,b)上单调递增C. f(x)在[a,b]上单调递减D. f(x)在(a,b)上单调递减2. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f(b) = 0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得（ ）A. f'(ξ) = 0B. f'(ξ) > 0C. f'(ξ) < 0D. 以上都不一定3. 关于函数极限的ε-δ定义，以下说法正确的是（ ）A. 对任意ε>0，总存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<εB. 对任意δ>0，总存在ε>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<εC. 对任意ε,δ>0，当|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<εD. 以上都不对4. 设z = f(x,y)在点(x0, y0)处可微，则（ ）A. dz在(x0, y0)处连续B. dz在(x0, y0)处有界C. dz在(x0, y0)处可导D. dz在(x0, y0)处存在偏导数5. 设u = u(x,y,z)有连续的二阶偏导数，则（ ）A. u关于x的二阶偏导数与关于y的二阶偏导数一定相等B. u关于x的二阶偏导数与关于y的二阶偏导数一定不相等C. u关于x,y的二阶混合偏导数与关于y,x的二阶混合偏导数一定相等D. 以上都不一定6. 设函数$f(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导，若$f'(x) > 0$对所有$x \in (a, b)$成立，则$f(x)$在$[a, b]$上（ ）A. 单调递增B. 单调递减C. 可能递增也可能递减D. 为常数7. 设$f(x)$在$x = x_0$处可导，且$f'(x_0) > 0$，则对于充分小的$\Delta x > 0$，有（ ）A. $f(x_0 + \Delta x) < f(x_0)$B. $f(x_0 + \Delta x) > f(x_0)$C. $f(x_0 + \Delta x) = f(x_0)$D. 无法确定8. 若$\lim_{{x \to \infty}} f(x) = L$，则下列说法正确的是（ ）A. $f(x)$在$x \to \infty$时单调B. $\lim_{{x \to -\infty}} f(x) = L$C. $f(x)$在$x \to \infty$时一定有界D. $\lim_{{x \to x_0}} f(x)$不一定存在9. 设函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，则$f$在$(x_0, y_0)$处的全微分$dz$可以表示为（ ）A. $dz = f_x(x_0, y_0) dx + f_y(x_0, y_0) dy$B. $dz = f_x(x_0, y_0) + f_y(x_0, y_0)$C. $dz = f_x(x_0, y_0) dy + f_y(x_0, y_0) dx$D. $dz = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$10.设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且对任意$x \in (a,b)$，有$f(x) \geq 0$和$f'(x) \leq 0$，则：A. $f(x)$在$[a,b]$上单调递增B. $f(x)$在$[a,b]$上单调递减C. $f(x)$在$[a,b]$上恒为常数D. $f(x)$在$[a,b]$上无单调性二、填空题（每题3分，共15分）1. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x) < 0，则f(x)在[a,b]上的最小值为_______。
北京大学研究生入学考试历年真题及答案
2015年北京大学702数学基础全套资料点击蓝色字体查看原文按住Ctrl+H搜索所需科目本专业课考试科目的全套资料主要包括：1．历年真题本全套资料提供北京大学1996—2001、2005—2010年数学分析考研真题，供参考。
·北京大学2010年数学分析考研真题·北京大学2009年数学分析考研真题·北京大学2008年数学分析考研真题·北京大学2007年数学分析考研真题·北京大学2006年数学分析考研真题·北京大学2005年数学分析考研真题（含答案）·北京大学1996—2001年数学分析考研真题注：考研真题或答案如有补充，会第一时间予以上传，并在详情中予以标注，请学员留意。
2．指定教材配套资料北京大学702数学基础近年不指定参考书目，但根据往年指定教材情况，建议参考书目为：①《数学分析新讲》（张筑生，北京大学出版社）；②《数学分析》（一、二、三册）（方企勤等，北京大学出版社）。
·教材：方企勤《数学分析（第一册）》（PDF版）·教材：方企勤《数学分析（第三册）》（PDF版）·《数学分析习题集》(林源渠方企勤等著)·教材：张筑生《数学分析新讲》（第一、二、三册）（PDF版）3．北京大学老师授课讲义（含指定教材高校老师授课讲义）本全套资料提供北京大学老师的授课资源，及建议参考书目的相关课件。
具体包括：·北京大学彭立中老师《数学分析》教学资源汇总（含电子教案、例题习题等，仅提供免费浏览网址）·《数学分析》教学课件（上册）4．兄弟院校考研真题详解本全套资料提供的兄弟院校历年考研真题（含详解）部分，提供其他同等高校历年考研真题详解，以便学员复习备考。
所列的高校考研真题非常具有参考性！这部分内容包括：·中山大学数学分析与高等代数考研真题：2011 2010 2009 2008 2006 2005 2004 2003·华东师范大学数学分析与高等代数考研真题：2005 2004·华东师范大学数学分析考研真题：2010 2009 2008（含答案） 2007（含答案） 2006 2005（含答案） 2004 2003（含答案） 2002 2001（含答案） 2000（含答案） 1999 1998 1997·华东师范大学高等代数考研真题：2008（含答案） 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000·北京师范大学数学分析与高等代数考研真题：2007 2006·浙江师范大学数学分析与高等代数考研真题：2011 2006 2005 2004整理：夺魁考研网5．其他相关精品资料·数学分析同步辅导及习题全解（华东师大第三版）（上、下册）（PDF版，586页）附注：全套资料尤其是真题会不断更新完善，待更新完善后会及时上传并予以说明标注，学员可下载学习！2015年北京大学664行政学原理全套资料◇资料构成说明：北京大学664行政学原理中664是2013年的学科代码，2012年之前的几年学科代码为659。
北京大学2001年研究生入学考试试题数学分析
北京大学2001年研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
一、（10分）求极限：22lim 1n
n
n a a →∞+。
二、（10分）设()f x 在点a 可导，()0f a ≠，求极限：1()lim ()n n f a n f a →∞ + 。
三、（10
分）证明函数()f x x =在[1,)+∞上一致连续。
四、（10分）设D 是包含原点的平面凸区域，(,)f x y 在D 上可微，0f f x
y x y ∂∂+=∂∂，证明：(,)f x y 在D 上恒为常数。
五、（10分）计算第一型曲面积分d x S Σ∫∫，其中Σ
是锥面z
=
被柱面22x y ax +=
(0)a >割下的部分。
六、（10
分）求极限22224
01
lim d d t x y z t f x y z t →+++≤∫∫∫，其中f 在[0,1]上连续，
(0)0,(0)1f f ′==。
七、（10分）求常数λ，使得曲线积分22d d 0L
x x r x r y y y λλ−
∫(r =对上半平面的任何光滑闭曲线L 成立。
八、（10分）证明函数1
1()x n f x n ∞==∑在(1,)∞上无穷次可微。
九、（10分）求广义积分220arctan()arctan()d bx ax x x
∞
−∫，0b a >>。
十、（10分）设()f x 是以2π为周期的周期函数，且(),f x x x ππ=−≤<，求()f x 与|()|f x 的Fourier 级数，它们的Fourier 级数是否一致收敛（给出证明）？。
北京大学 1997 年全国硕士研究生招生考试数学分析试题及解答
北京大学1997年全国硕士研究生招生考试数学分析试题及解答微信公众号：数学十五少2019.05.21一、(10分)将函数f(x)=arctan2x1−x2在x=0点展开为幂级数,并指出收敛区间.二、(10分)判断广义积分的收敛性:∫+∞0ln(1+x)x pd x.三、(15分)设f(x)在(−∞,+∞)上有任意阶导数f(n)(x),且对任意有限闭区间[a,b],f(n)(x)在[a,b]上一致收敛于ϕ(x)(n→+∞),求证:ϕ(x)=c e x,c为常数.四、(15分)设xn >0(n=1,2,…)及limn→+∞x n=a,用ε−N语言证明:limn→+∞√x n=√a.五、(15分)求第二型曲面积分∯S(x d y d z+cos y d z d x+d x d y),其中S为x2+y2+z2=1的外侧.六、(20分)设x=f(u,v),y=g(u,v),w=w(x,y)有二阶连续偏导数,满足ðfðu=ðgðv,ðfðv=−ðgðu,ð2wðx2+ð2wðy2=0,证明:(1)ð2(fg)ðu2+ð2(fg)ðv2=0,(2)w(u,v)=w(f(u,v),g(u,v))满足ð2wðu2+ð2wðv2=0.七、(15分)计算三重积分∭Ω∶x2+y2+z2≤2z(x2+y2+z2)5/2d x d y d z.一、f(x)=2∞∑n=0(−1)n2n+1x2n+1(|x|<1).详细过程见林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第241页例5.二、当1<p<2时,原广义积分收敛.详细过程见林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第203页例3的(1).三、此题为林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第235页练习题4.2.16.证明过程可参考裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第538页练习题5.2.28.四、因为limn→+∞x n=a,故有∀ε>0,∃N>0,当n>N时,|x n−a|<√aε.于是∣√x n−√a∣=|x n−a|√x n+√a<|x n−a|√a<ε.五、先由对称性知:所求的积分I=∯S x d y d z,再用Gauss公式得I=∭Vd x d y d z=4π3.六、此题为林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第283页练习题5.2.23.证明过程可参考裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第670页练习题6.2.12.七、通过做极坐标变换可以算出结果为64π9.此题为林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第336页练习题5.2.9的(2).。
2011年北京大学数学分析试题解答
2011年北京大学研究生入学考试数学分析试题解答SCIbird说明：印象中根据当初论坛上的讨论，北大2011年试题的回忆版与原题多少有些出入，这里根据自己的理解来确定试题。
因为对试卷回忆版第5题搞不清楚，所以略去此题。
其它试题解答，比较基础的试题就写得相对简略一些，难一些的试题就写得详细一些。
试题后的评注是个人对试题的看法。
1. 用确界存在定理证明，如果函数()f x 是区间I 上的连续函数，则()f I 是一个区间。
证明：为证明()f I 是一个区间，实际上只需要证明连续函数具有价值性质即可。
不妨只考虑()()f a f b <情形，其它情况同理。
任取实数c ，满足()()f a c f b <<下面利用确定存在定理证明(,)a b ξ∃∈，使得()f c ξ=. 所用方法非常经典，读者最好熟记此方法。
记集合[,]:{()}S t f a b t c ∈=<，因为()f a c <，所以a S ∈，因此如此定义的集合非空。
由确界存在定理知，上确界sup S ξ=存在且。
由()f x 连续函数，所以()f c ξ≤且a b ξ<<. 下证()f c ξ=：采用反证法。
假设()f c ξ<，因为ξ是内点，所以由连续函数的局部保号性可知存在ξ的一个邻域(,)[,]U a b ξδξδ=−+⊂，使得在U 上满足()f x c <，特别地12()f c ξδ+<，这与sup S ξ=是上确界的定义矛盾！所以()f c ξ=.评注：上面的证明是标准的，读者应该熟练掌握“连续函数取上确界”这种技巧，2009年北大数学分析压轴题的证明方法也取上确界。
印象中北大考研的数学分析试题必有一道试题涉及实数系那几个基本定理的等价性证明或者应用，属于送分题，但前提是你认真准备过。
实数系基本定理有好几个，但在解题或科研中，最常用的是确界存在原理和闭区间套定理。
特别在处理涉及连续函数的1维问题时，确界存在原理往往起到奇兵作用。
北京大学601数学基础考试1 (数学分析)考研参考书、历年真题、复试分数线
北京大学601数学基础考试1(数学分析)考研参考书、历年真题、复试分数线一、课程介绍又称高级微积分，分析学中最古老、最基本的分支。
一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。
它也是大学数学专业的一门基础课程。
数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。
它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。
这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。
数学分析是数学专业和部分工科专业的必修课程之一，基本内容是以实数理论为基础微积分，但是与微积分有很大的差别。
微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Calculus)的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。
后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。
早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题，但是由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展，有很多数学家对这个理论持怀疑态度，柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为理论基础的极限理论，摆脱了“要多小有多小”、“无限趋向”等对模糊性的极限描述，使用精密的数学语言来描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为“Mathematical Analysis”，中文译作“数学分析”。
二、北京大学601数学基础考试1(数学分析)考研复试分数线根据教育部有关制订分数线的要求，我校按照统考生、联考生等不同类型分别确定复试基本分数线。
考生能否进入复试以各院系所规定的各项单科成绩和总成绩确定的复试名单为准。
我校将按照德、智、体全面衡量，择优录取，保证质量，宁缺毋滥的精神和公开、公正、公平的原则进行复试与录取工作。
数学分析与高等代数考研真题详解--北大卷
全国重点名校数学专业考研真题及解答
数学分析与高等代数 考研真题详解
北京大学数学专卷
博士家园 编著
博士家园系列内部资料
《 博士家园数学专业考研丛书》 编委会
这是一本很多数学考研人期待已久的参考书， 对于任何一个想通过考取重点院校的研究 生来进一步深造的同学来说， 历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。 为了帮助广大 同学节约时间进行复习，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从 2004 年开始 大量收集数学专业的考研真题， 其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要。 有些试 题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园(), 这个互联网平台，征集到了最新最全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高 校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审 稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无 闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！ 国际数学大师陈省身先生提出： “要把中国建成 21 世纪的数学大国。 ”每年有上万名数 学专业的学生为了更好的深造而努力考研， 但是过程是艰难的。 我们为了给广大师生提供更 多更新的信息与资源建立了专业网站——博士家园网站。 本站力图成为综合性全国数学信息 交换的门户网站， 旨在为科研人员和数学教师服务， 提供与数学研究和数学教学有关的一切 有价值的信息和国内外优秀数学资源检索，经过几年的不懈努力，成为国内领先、国际一流 的数学科学信息交流中心之一。 由于一般的院校可能提供一些往年试题， 但是往往陈旧或者 没有编配解答， 很多同学感到复习时没有参照标准， 所以本丛书挑选了重点名校数学专业的 试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校 的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们 的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试 题： 博士家园主页网址： 博士数学论坛网址： 数学资源库: 欢迎投稿，发布试题，对于本书疏漏之处欢迎来信交流，以促改正：www.boss@
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判断无穷积分
1
sin sin()x dx x 的收敛性。
解
根据不等式3
1
|sin |
||,||
62
u u u u ，
得到33sin sin 1sin 11
|sin()|||66x x x x x x x ，[1,)x
；
从而1
sin sin (sin())x x
dx x x 绝对收敛，因而收敛，再根据1
sin x
dx x 是条件收敛的，
由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x
，
可知积分1
sin sin()x
dx x
收敛，且易知是是条件收敛的。
例5.3.39 设2
()1...
2!
!
n
n x
x
P x x
n ，
m x 是21()
0m P x 的实根，
求证：
0m
x ，且lim m
m x 。
证明（1）任意*
m N ，当0x
时，有21()
0m P x ；
当0x 且x 充分大时，有21()
0m P x ，所以21()
0m P x 的根m x 存在，
又21
2()
()0m m P x P x ，21()m P x 严格递增，所以根唯一，0m
x 。
（2）
任意(
,0)x
，lim ()
0x
n n
P x e
，所以21()m P x 的根m
x ，（m
）。
因为若
m
时，
21()0m P x 的根，m x 不趋向于。
则存在0M ，使得(,0)M 中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列
0k
m
x x ，（0
x 为某有限数
x M ）；
21210
lim ()
lim ()
0k k k M
m m m k
k
e
P M P x ，矛盾。
例、设(1)ln(1)n
n
p a n
，讨论级数
2
n n a 的收敛性。
解显然当0p 时，级数
2
n n a 发散；
由
20
11ln(1)
1lim
lim 2x x x x x x
x
11lim
21x
x
12
，
得
2
2
1ln(1)4
x
x
x x ，（x 充分小），
于是
2211(1)14n
n
p
p
p
a n
n
n
，（n 充分大）
（1）
当1p 时，
22
1p n n ，2
(1)
n
p
n
n
收敛，2
(1)
n
n
p
n a n
收敛，
(1)1n
n
n
p
p
a a n
n
，
2
n n a 收敛，
2
n n a 绝对收敛；
（2）当
112
p 时，
22
1p
n n
收敛，
2(1)
n
p
n n 收敛，于是
2
(1)n
n p
n a n
收敛，从而
2(1)(
)n
n p
n a n
收敛，
2
n n a 收敛，
而
21p n
n
发散，由1(1)
n
n n p
p a a n n
，得
2
(1)(||)n
n n p
n
a a n 发散，所以
2
n n a 发散，
故此时
2
n n a 条件收敛。
（3）
当102
p
时，
2
(1)
()n
n p
n
a n 发散，而
2
(1)n
p n n
收敛，此时
2
n n a 发散。
北京大学2007年数学分析考研试题及解答
1、用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。
证明这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。
命题：若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b ，那么必然存在一点(,)a b ，
满足()
0f 。
采用反正法，若对于任意点(,)x
a b ，有()
0f x ，那么显然对于任意[,]x a b ，仍然
有()
0f x 。
由于f 的连续性，我们对于任意一点
[,]x
a b ，可以找到一个邻域
()x
O x ，使得()f x 在
()
[,]x
O x a b 中保号，那么[,]a b 区间被以上形式的()x
O x ，[,]x a b 开区间族所覆盖，
由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间1
2
12(),(),...,()x x x
n
n O
x O
x O
x 就能覆盖闭区间
[,]a b ，再由覆盖定理的加强形式可得，存在
0，满足当12,[,]y y a b ，12
y y 时，
存在1
2
12(),(),...,()x x x
n
n O
x O
x O
x 中的某个开集同时覆盖
12,y y 。
那么我们就证明了当
12
y y 时，有
12(),()f y f y 同号；
现取正整数
m ，满足
b a
m ，令()i
b a i z a
m
，0,1,...,i m ，那么我们有
1
i
i
z z ，
()i f z 与1()i f z 同号，从而证明了
0()f z 与()m f z 同号，即()f a 与()f b 同
号，这与题目中的
()()
0f a f b 矛盾，证明完毕。
2、设(),()f x g x 在有限区间(,)a b 内一致连续，证明：
()()f x g x 也在(,)a b 内一致连续。
证明首先证明(),()f x g x 都在(,)a b 上有界，因为()f x 在有限区间(,)a b 内一致连续，
从而存在
1
0，满足当此12
,(,)x x a b ，121x x 时，有
12()
()
1f x f x ，
现取正整数m ，满足
1
b a m
，令()i
b
a i z a
m
，1,2,...,1i m ；
对任意(,)x
a b ，存在j z ，使得
1j
b a
x
z m ，
()
()
()
()j j f x f x f z f z 1
()
j f z 11
1
max ()i i m f z ，
即得()f x 在(,)a b 上是有界的；
同理()g x 在(,)a b 上也是有界的；下面证明，若(),()f x g x 在区间I 上有界，且都一致连续，则()()f x g x 在区间I 上一致
连续。
设0M
，满足(),()f x M g x M ，x I ;
那么由(),()f x g x 得一致连续性得到，对于任意
0，存在0，使得当,x y
I ，x y
时，有。