【名师解析】【2014青岛市一模第2套】山东省青岛市2014届高三3月统一质量检测 数学(理) Word版含解析

山东省青岛市高三3月统一质量检测考试（第二套）数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数21ii+（i 是虚数单位）的虚部为( ) A ．1- B ．i C ．1 D ．22.已知全集R U =，集合{}2|0A x x x =->，{}|ln 0B x x =≤，则()U C A B =( )A ．(0,1]B ．(,0)(1,)-∞+∞C ．∅D ．(0,1)3.某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( )A ．28B ．32C ．40D ．64 【答案】D 【解析】试题分析：由已知，样本容量为4003202801000++=，所以，高中二年级被抽取的人数为200320641000⨯=，选D . 考点：分层抽样4.曲线32y x x =-在(1,1)-处的切线方程为( )A ．20x y --=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y ++=5.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若//,//,a b a α则//b α B ．若,//,a αβα⊥则a β⊥ C ．若,,a αββ⊥⊥则//a αD ．若,,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥6.设,z x y =+其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为( )A ． 3-B ．6-C ．3D ．6【答案】B【解析】试题分析：画出可行域及直线0x y +=，如图所示. 平移直线0x y +=，当其经过点(,)A k k 时，max 212,z k ==当直线经过点(2,)B k k -时，min ,z k =所以，6k =，min 6z =-.考点：简单线性规划7.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()f x x +=( )A ． 1B ．21 C ．22 D ．23考点：正弦型函数8.在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( ) A ．34种 B ．48种C ．96种D ．144种9.函数2()ln(2)f x x =+的图象大致是( )10.如图，从点0(,4)M x 发出的光线，沿平行于抛物线28y x =的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线:100l x y --=上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则0x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知向量()2,1a =，()1,b k =-，若⊥，则实数k =______;12.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线:3440l x y ++=的距离d = ;【答案】3 【解析】试题分析：由已知圆心为(1,2)，由点到直线的距离公式得，3.d ==考点：圆的方程，点到直线的距离公式.13.如图是某算法的程序框图，若任意输入[1,19]中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为 ;14.已知,x y 均为正实数，且3xy x y =++，则xy 的最小值为__________； 【答案】9 【解析】试题分析：因为,x y 均为正实数，所以x y +≥3xy x y =++可化为3xy ≥，即1)0,+≥3,9,xy ≥故当且仅当x y =时，xy 取得最小值9. 考点：基本不等式的应用，一元二次不等式解法.15.如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①31y x x =-++;②32(sin cos )y x x x =--;③1xy e =+;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知向量)sin ,)62(sin(x x π+=，)sin ,1(x n =，21)(-⋅=n m x f . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,a =1()22Af =, 若C C A cos 2)sin(3=+，求b 的大小.【答案】（Ⅰ）()f x 递减区间是3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用平面向量的坐标运算及三角函数公式，将)(x f 化简为x 2sin 23，确定得到()f x 递减区间.17.（本小题满分12分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X的概率分布及数学期望()E X．（Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4. 由古典概型概率的计算公式，计算可得分布列为：进一步应用期望的计算公式，即得所求.试题解析：(Ⅰ)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为229n C C …2分由题意知229512n C C =，化简得2300n n --=．解得6n =或5n =-（舍去）……………………5分 故袋中原有白球的个数为6……………………6分 （Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4.2(1)3P X ==； 361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为：……………10分所求数学期望为211110()12343414847E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………12分 考点：简单组合应用问题，古典概型概率的计算，随机变量的分布列及数学期望.18.（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中, PA ⊥面ABCD ，E 、F 分别为BD 、PD 的中点，=1EA EB AB ==，2PA =.（Ⅰ）证明：PB ∥面AEF ；（Ⅱ）求面PBD 与面AEF 所成锐角的余弦值.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）12121211cos ,19n n n n n n ⋅==. 【解析】试题分析：（Ⅰ）(Ⅰ) 利用三角形中位线定理，得出EF ∥PB .（Ⅱ）利用平几何知识，可得一些线段的长度及BA AD ⊥，进一步以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立坐标系， 得到133(1,0,2),(0,3,2),(,,0),(0,222PB PD AE AF =-=-==， 确定面PBD 与面AEF 的法向量1111(,,)n xy z =、2222(,,)n x y z =：由11112020x z z -=⎧⎪-=，可得令1(2,3n =； 由又222201022y z x y +=⎨⎪+=⎪⎩，可得令2(n =，进一步得到12121211cos ,19n n n n n n ⋅==.所以1(1,0,0),(0,0,2),(0,(,222B D P F E则133(1,0,2),(0,3,2),(,,0),(0,222PB PD AE AF=-=-==………8分设1111(,,)n x y z=、2222(,,)n x y z=分别是面PBD与面AEF的法向量则11112020x zz-=⎧⎪-=，令1(2,3n=又2222122y zx y+=⎨⎪+=⎪⎩，令2(n=……………11分所以12121211cos,19n nn nn n⋅==……………12分考点：直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义，空间向量的应用.19.（本小题满分12分）在数列{}n a )N (*∈n 中，其前n 项和为n S ，满足22n n S n -=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=k n nn k n n b n a n 2,2112,22（k 为正整数）,求数列{}n b 的前n 2项和n T 2. 【答案】(Ⅰ) n a n -=1.（Ⅱ）222024209924(1)n n n n T n +=-+⋅+. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据22n n S n -=,计算n S S a n n n -=-=-11 )2(≥n验证当1=n 时，011==S a ,明确数列{}n a 是01=a 为首项、公差为1-的等差数列即得所求. （Ⅱ）由(Ⅰ)知: ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-k n n n k n n b n n 2,)2(112,21 利用“裂项相消法”、“错位相减法”求和.试题解析：(Ⅰ)由题设得:22n n S n -=,所以)2()1(1221≥---=-n n n S n所以n S S a n n n -=-=-11 )2(≥n ……………2分当1=n 时，011==S a ,数列{}n a 是01=a 为首项、公差为1-的等差数列故n a n -=1.……………5分20.（本小题满分13分）已知函数()1x f x e x =--．（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间.设2()(()1)(1)g x f x x '=+-，试问函数()g x 在(1,)+∞上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =．（Ⅱ）函数()g x 在()1,+∞上不存在保值区间,证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数，解0()f x '<得函数的减区间()0-∞，； 解0()f x '>，得函数的增区间(0,)+∞．确定()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =．也可以通过“求导数、求驻点、研究函数的单调区间、确定极值（最值）” .21.（本小题满分14分）设1F ,2F 分别是椭圆D ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过2F 作倾斜角为3π的直线交椭圆D 于A ,B 两点, 1F 到直线AB 的距离为3,连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4.（Ⅰ）求椭圆D 的方程；（Ⅱ）已知点），（01-M ，设E 是椭圆D 上的一点，过E 、M 两点的直线l 交y 轴于点C ,若CE EM λ=,求λ的取值范围；（Ⅲ）作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点P ,Q ,其中P 点的坐标为(2,0)-,若点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线上一点,且满足4=⋅NQ NP ,求实数t 的值.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ；（Ⅱ）23λ≥-或2λ≤-； （Ⅲ）满足条件的实数t 的值为22±=t 或5142±=t . 【解析】试题分析：（Ⅰ）设1F ,2F 的坐标分别为)0,(),0,(c c -,其中0>c由题意得AB 的方程为:)(3c x y -=根据1F 到直线AB 的距离为3,可求得3=c ，将3222==-c b a 与42221=⨯⨯b a 联立即可得到1,2==b a . （Ⅱ）设11(,)E x y ,),0(m C ，由CE EM λ=可得λλλ+=+-=1,111m y x ，代人椭圆D 的方程得04)2)(23(2≥++=λλm ，即可解得23λ≥-或2λ≤-. （Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆D 的方程为1422=+y x 设11(,)E x y ,),0(m C ，由于CE EM λ=,所以有),1(),(1111y x m y x ---=-λ λλλ+=+-=∴1,111m y x ……………7分 又E 是椭圆D 上的一点,则1)1(4)1(22=+++-λλλm 所以04)2)(23(2≥++=λλm解得：23λ≥-或2λ≤- ……………9分 （Ⅲ）由)0,2(-P , 设),(11y x Q根据题意可知直线1l 的斜率存在，可设直线斜率为k ,则直线1l 的方程为)2(+=x k y 把它代入椭圆D 的方程,消去y ,整理得: 0)416(16)41(2222=-+++k x k x k 由韦达定理得22141162k k x +-=+-,则2214182k k x +-=,=+=)2(11x k y 2414k k + 所以线段PQ 的中点坐标为,418(22k k +-)4122k k +。