2015-2016年江苏省南通市如东县高一上学期数学期末试卷带答案

2015-2016学年江苏省南通市如东县高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．（5.00分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=．2．（5.00分）函数y=+的定义域是．3．（5.00分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=．4．（5.00分）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，则该正四棱锥的侧面积为．5．（5.00分）若函数f（x）=a•2x+2﹣x为偶函数，则实数a的值是．6．（5.00分）（）+（0.25）=．7．（5.00分）函数y=6+log3（x﹣4）的图象恒过点．8．（5.00分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．9．（5.00分）已知m，n，l是直线，α，β是平面，下列命题中：①若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l；②若l平行于α，则α内可有无数条直线与l平行；③若m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β；④若m⊥n，n⊥l，则m∥l；所有正确的命题序号为．10．（5.00分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+3，对任意x1，x2∈[﹣2，+∞）满足＜0，则实数m的取值范围．11．（5.00分）若不等式恒成立，则实数a的最小值为．12．（5.00分）已知函数满足条件：y=f（x）是R上的单调函数且f（a）=﹣f（b）=4，则f（﹣1）的值为．13．（5.00分）定义在区间[x1，x2]长度为x2﹣x1（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最长长度时a的值是．14．（5.00分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x＞0）有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）已知集合A={x|a≤x≤a+4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}．（1）当a=0时，求A∩B，A∪（∁R B）；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．16．（14.00分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC=BC，M，N分别是棱CC1，AB的中点．（1）求证：CN⊥平面ABB1A1；（2）求证：CN∥平面AMB1．17．（14.00分）已知四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．（1）求证：DF⊥平面PAF；（2）若∠PBA=45°，求三棱锥C﹣PFD的体积；（3）在棱PA上是否存在一点G，使得EG∥平面PFD，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．18．（16.00分）在一条笔直公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地，乙骑着摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲乙两人离A 地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）直接写出y甲，y乙与x之间的函数关系式（不必写过程），求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（2）若两人之间的距离不超过5km时，能够用无线对讲机保持联系，求在乙返回过程中有多少分钟甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；（3）若甲乙两人离A地的距离之积为f（x），求出函数f（x）的表达式，并求出它的最大值．19．（16.00分）已知f（x）=ax2﹣（a+1）x+1﹣b（a，b∈R）．（1）若a=1，不等式f（x）≥x﹣1在b∈[6，17]上有解，求x的取值范围；（2）若b=0，函数g（x）=是奇函数，判断并证明y=g（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）若f（﹣1）=0，且|a﹣b|≤t（t＞0），求a2+b2+b的最小值．20．（16.00分）设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍是A，那么称x=g（x）是函数y=f（x）的一个等值域变换．（1）已知函数f（x）=x2﹣x+1，x∈B，x=g（t）=log2t，t∈C．1°若B，C分别为下列集合时，判断x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换：①B=R，C=（1，+∞）；②B=R，C=（2，+∞）2°若B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，求a，b满足的条件；（2）设f（x）=log2x的定义域为x∈[2，8]，已知x=g（t）=是y=f（x）的一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m，n的值．2015-2016学年江苏省南通市如东县高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．（5.00分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B={2} ．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}．故答案为：{2}．2．（5.00分）函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2} ．【解答】解：要使函数y=+的解析式有意义自变量x须满足：解得x≥﹣1，且x≠2故函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2}故答案为：{x|x≥﹣1，且x≠2}3．（5.00分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=8．【解答】解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）=（﹣2）2=4，即f[f（﹣2）]=f（4），∵4≥0，∴f（4）=2×4=8，即f[f（﹣2）]=f（4）=8，故答案为：8．4．（5.00分）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，则该正四棱锥的侧面积为48．【解答】解：已知正四棱锥P﹣ABCD中，AB=6，PA=5，取AB中点O，连结PO，则PO⊥AB，AO=3，∴PO==4，∴该正四棱锥的侧面积：S=4S△PAB=4×=48．故答案为：48．5．（5.00分）若函数f（x）=a•2x+2﹣x为偶函数，则实数a的值是1．【解答】解：∵f（x）=a•2x+2﹣x为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即a•2﹣x+2x=a•2x+2﹣x，即a•（2﹣x﹣2x）=2﹣x﹣2x，则a=1，故答案为：1．6．（5.00分）（）+（0.25）=．【解答】解：（）+（0.25）==．故答案为：．7．（5.00分）函数y=6+log3（x﹣4）的图象恒过点（5，6）．【解答】解：x=5时：y=6+log3（5﹣4）=6，故答案为：（5，6）．8．（5.00分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）9．（5.00分）已知m，n，l是直线，α，β是平面，下列命题中：①若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l；②若l平行于α，则α内可有无数条直线与l平行；③若m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β；④若m⊥n，n⊥l，则m∥l；所有正确的命题序号为②．【解答】解：由m，n，l是直线，α，β是平面，知：在①中：若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m与l平行或异面，故①错误；在②中：若l平行于α，则由直线与平面平行的性质得α内可有无数条直线与l 平行，故②正确；在③中：若m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α与β相交或平行，故③错误；在④中：若m⊥n，n⊥l，则m与l相交、平行或异面，故④错误．故答案为：②．10．（5.00分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+3，对任意x1，x2∈[﹣2，+∞）满足＜0，则实数m的取值范围[﹣，0] ．【解答】解：对任意x1，x2∈[﹣2，+∞）满足＜0，得f（x）在[﹣2，+∞）单调递减，当m=0时：f（x）=﹣2x+3，符合题意，m≠0时，则m＜0，此时，对称轴x=﹣=≤﹣2，解得：m≥﹣，故答案为：[﹣，0]．11．（5.00分）若不等式恒成立，则实数a的最小值为．【解答】解：不等式恒成立，即为x2≤log a x在x∈（0，]时恒成立，∴x2的最大值小于log a x的最小值．∴x2≤≤log a x，当a＞1时，log a x为递增，但最小值为负数不成立．当0＜a＜1时，log a x为递减，最小值在x=上取到，∴log a≥=log a，∴a≥，故a的最小值为．故答案为：．12．（5.00分）已知函数满足条件：y=f（x）是R上的单调函数且f（a）=﹣f（b）=4，则f（﹣1）的值为﹣3．【解答】解：∵函数满足条件：y=f（x）是R上的单调函数，∴，又∵f（a）=﹣f（b）=4，∴，解得：，∴，∴f（﹣1）=﹣3，故答案为：﹣313．（5.00分）定义在区间[x1，x2]长度为x2﹣x1（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最长长度时a的值是7．【解答】解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数f（x）=﹣在[m，n]上单调递增，则，故m，n是方程f（x）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+2=0的同号的相异实数根∵mn=，m+n==∴m，n同号，只需△=（a2+a）2﹣8a2=a2•[（a+1）2﹣8]＞0，即（a+1）2﹣8＞0∴a＞2﹣1或a＜﹣2﹣1，n﹣m====，n﹣m取最大值为．此时=，即a=7，故答案为：714．（5.00分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x＞0）有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（，] ．【解答】解：因为f（x）=﹣a，有且仅有3个零点，则方程=a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0．∵x＞0，∴[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，∴＜≤1，∴＜a≤1，且随着[x]的增大而增大．故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3．若[x]=1，则有＜≤1；若[x]=2，则有＜≤1；若[x]=3，则有＜≤1；若[x]=4，则有＜≤1．综上所述，＜a≤．故答案为：（，]．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）已知集合A={x|a≤x≤a+4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}．（1）当a=0时，求A∩B，A∪（∁R B）；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤3，即B={x|﹣2≤x≤3}，∴∁R B={x|x＜﹣2或x＞3}，把a=0代入得：A={x|0≤x≤4}，则A∩B={x|0≤x≤3}，A∪（∁R B）={x|x＜﹣2或x≥0}；（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，则有，解得：﹣2≤a≤﹣1，则实数a的范围是{a|﹣2≤a≤﹣1}．16．（14.00分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC=BC，M，N分别是棱CC1，AB的中点．（1）求证：CN⊥平面ABB1A1；（2）求证：CN∥平面AMB1．【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴AA1⊥CN，∵AC=BC，N是棱AB的中点，∴CN⊥AB，∵AA1∩AB=A，∴CN⊥平面ABB1A1；（2）设AB1的中点为P，连接NP、MP∵M、N分别是棱CC1、AB的中点∴CM∥AA1，且CM=AA1，NP∥AA1，且NP=AA1，∴CM∥NP，CM=NP∴CNPM是平行四边形，∴CN∥MP∵CN⊄平面AMB1，MP⊂平面AMB1，∴CN∥平面AMB1．17．（14.00分）已知四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．（1）求证：DF⊥平面PAF；（2）若∠PBA=45°，求三棱锥C﹣PFD的体积；（3）在棱PA上是否存在一点G，使得EG∥平面PFD，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∵F是BC的中点，AB=1，AD=2，∴AF=DF=，∴AF2+DF2=4=AD2，∴DF⊥AF．∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴PA⊥DF，又∵PA⊂平面PAF，AF⊂平面PAF，PA∩AF=A，∴DF⊥平面PAF．（2）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，∵∠PBA=45°，∴PA=AB=1．∴三棱锥C﹣PFD的体积V=S△CDF×PA==．（3）过E作EH∥DF交AD于H，过H作HG∥PD，则平面EGH∥平面PDF，∴EG∥平面PDF．∵EH∥DF，∴，又∵HG∥PD，∴．18．（16.00分）在一条笔直公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地，乙骑着摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲乙两人离A 地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）直接写出y甲，y乙与x之间的函数关系式（不必写过程），求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（2）若两人之间的距离不超过5km时，能够用无线对讲机保持联系，求在乙返回过程中有多少分钟甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；（3）若甲乙两人离A地的距离之积为f（x），求出函数f（x）的表达式，并求出它的最大值．【解答】解：（1）y甲=20x，0≤x≤2；y乙=，令y甲=y乙，可得20x=40﹣40x，解得x=，进而y甲=y乙=，即有M（，），M的坐标表示：甲乙经过h第一次相遇，此时离A距离km；（2）乙返回过程中，当1＜x≤2时，乙与甲相距5km之内，即y甲﹣y乙≤5，即为20x﹣（40x﹣40）≤5，解得x≥，即≤x≤2，则（2﹣）×60=15分钟，甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；（3）f（x）===，当0＜x≤1时，f（x）的最大值为f（）=200；当1＜x≤2时，f（x）递增，f（2）为最大值，且为1600．综上可得f（x）的最大值为f（2）=1600．19．（16.00分）已知f（x）=ax2﹣（a+1）x+1﹣b（a，b∈R）．（1）若a=1，不等式f（x）≥x﹣1在b∈[6，17]上有解，求x的取值范围；（2）若b=0，函数g（x）=是奇函数，判断并证明y=g（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）若f（﹣1）=0，且|a﹣b|≤t（t＞0），求a2+b2+b的最小值．【解答】解：（1）若a=1，则f（x）=x2﹣2x+1﹣b，则不等式f（x）≥x﹣1在b∈[6，17]上有解，等价为不等式x2﹣2x+1﹣b≥x﹣1在b∈[6，17]上有解，即x2﹣3x+2≥b在b∈[6，17]上有解，即x2﹣3x+2≥6，得x2﹣3x﹣4≥0，即x≥4或x≤﹣1．（2）若b=0，则g（x）==ax﹣（a+1）+，若g（x）是奇函数，则g（﹣x）=﹣g（x），即﹣ax﹣（a+1）﹣=﹣（ax﹣（a+1）+）=﹣ax+（a+1）﹣，即﹣（a+1）=a+1，则a+1=0，则a=﹣1．即g（x）=﹣x+，当x＞0时，函数y=﹣x为减函数，y=为减函数，则g（x）=﹣x+为减函数．（3）若f（﹣1）=0，则2a+2﹣b=0，即b=2a+2，∵|a﹣b|≤t（t＞0），∴﹣2﹣t≤a≤﹣2+t，a2+b2+b=a2+（2a+2）2+2a+2=5a2+10a+6，令g（a）=5a2+10a+6，对称轴为a=﹣1，∵t＞0，∴﹣2﹣t＜﹣2＜﹣1，①若0＜t≤1，则﹣2+t≤﹣1，则g（a）min=g（﹣2+t）=5t2﹣10t+6，②若t＞1，则﹣2+t＞﹣1，则g（a）min=g（﹣1）=1．20．（16.00分）设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍是A，那么称x=g（x）是函数y=f（x）的一个等值域变换．（1）已知函数f（x）=x2﹣x+1，x∈B，x=g（t）=log2t，t∈C．1°若B，C分别为下列集合时，判断x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换：①B=R，C=（1，+∞）；②B=R，C=（2，+∞）2°若B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，求a，b满足的条件；（2）设f（x）=log2x的定义域为x∈[2，8]，已知x=g（t）=是y=f（x）的一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m，n的值．【解答】解：1°f（x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+≥，即函数f（x）的值域为[，+∞），①C=（1，+∞）时，g（t）∈（0，+∞），f（g（t））=（g（t））2﹣g（t）+1=（g （t）﹣）2+≥，即函数f（g（t））的值域为[，+∞），即x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换②B=R，C=（2，+∞）时，g（t）∈（1，+∞），f（g（t））=（g（t））2﹣g（t）+1=（g（t）﹣）2+＞1′，即函数f（g（t））的值域为（1，+∞），即x=g（t）不是函数y=f（x）的一个等值域变换，故①是等值域变换，②不等值域变换2°B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），f（x）的值域为[，13]，x=g（t）的值域是[log2a，log2b]当f（x）=13时，x=﹣3或4，结合图象可知，若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，则或，解得或，故若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，则a，b满足的条件是：或．（2）f（x）=log2x定义域为[2，8]，由y=log2x，知1≤y≤3，即f（x）=log2x的值域为[1，3]，因为x=g（t）是y=f（x）的一个等值域变换，且函数f（g（t））的定义域为R，所以x=g（t）=，t∈R的值域为[2，8]，则2≤≤8，∴2（t 2+1）≤mt 2﹣3t +n ≤8（t 2+1）， 所以，恒有，且存在t 1，t 2∈R 使两个等号分别成立， 于是，解得或．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m n n n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域(0,)+∞x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．。