2013年福建高考文科数学试题及答案
福建2013年高考数学(文)试题及参考答案-中大网校
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总分：150分 及格：90分 考试时间：120分
一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
答案和解析
一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
福建2013年高考数学文科试题(word版)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的()12Z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于模为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设点(),,21:10P x y x y P l x y ==-+-=则“且”是“点在直线上”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若集合{}{}=1,2,3=1,3,4A B ⋂，，则A B 的子集个数为A ．2B ．3C ．4D ．164．双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 A ．12B ．22C ．1D ．25．函数()()2ln 1f x x =+的图像大致是6．若变量,x y 满足约束条件21,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为 A ．43和 B ．42和 C ．32和 D ．20和7．若221,x yx y +=+则的取值范围是A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[]2,-+∞D ．[],2-∞-8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，()10,20,S n ∈输出的那么的值为A ．3 B.4 C.5 D.69．将函数()()()sin 2122f x x ππθθϕϕ⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭的图像向右平移个单位长度后得到函数()()()3,,02g x f x g x P ϕ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的图像若的图像都经过点，，则的值可以是A ．53π B ．56π C ．2π D ．6π10．在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为A ．5B ．25C ．5D ．1011．已知x y 与之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6 y0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,y bx a =+若某同学根据上表()()1,02,2中的前两组数据和求得的直线方程为,y b x a '''=+则以下结论正确的是A ．,b b a a ''>>B ．,b b a a ''><C ．,b b a a ''<>D ．,b b a a ''<<12．设函数()()()000f x R x x f x ≠的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是A ．()()0,x R f x f x ∀∈≤B ．()0x f x --是的极小值点C ．()0x f x -是-的极小值点D ．()0x f x --是-的极小值点第II 卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知函数()32,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 .14.利用计算机产生01,10a a -<之间的均匀随机数则事件“3?发生的概率为 .15.椭圆2222:1(0)x y r a b a b+=>>的左、右焦点分别为122.F F c 、，焦距为若直线)12212,y x c M MF F MF F =+∠=∠与椭圆r 的一个交点满足则该椭圆的离心率等于 .16．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足： （i ）{}();T f x x S =∈（ii ）对任意121212,,()(),x x S x x f x f x ∈<<当时，恒有 那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合： ①,;A N B N *==②{}{}13,810;A x x B x x =-≤≤=-≤≤ ③{}01,.A x x B R =≤≤=其中，“保序同构”的集合对的序号是_______。
福建2013年高考数学文科试题(word版)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的()12Z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于模为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设点(),,21:10P x y x y P l x y ==-+-=则“且”是“点在直线上”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若集合{}{}=1,2,3=1,3,4A B ⋂，，则A B 的子集个数为A ．2B ．3C ．4D ．164．双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 A ．12B ．22C ．1D ．2 5．函数()()2ln 1f x x =+的图像大致是 6．若变量,x y 满足约束条件21,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为 A ．43和 B ．42和 C ．32和 D ．20和7．若221,x yx y +=+则的取值范围是 A ．[]0,2 B ．[]2,0- C ．[]2,-+∞ D ．[],2-∞-8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，()10,20,S n ∈输出的那么的值为A ．3 B.4 C.5 D.69．将函数()()()sin 2122f x x ππθθϕϕ⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭的图像向右平移个单位长度后得到函数()()()3,,02g x f xg x P ϕ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的图像若的图像都经过点，，则的值可以是A ．53πB ．56πC ．2πD ．6π 10．在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为A ．5B ．25C ．5D ．1011．已知x y 与之间的几组数据如下表：1 2 3 4 5 6 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,y bx a =+若某同学根据上表()()1,02,2中的前两组数据和求得的直线方程为,y b x a '''=+则以下结论正确的是A ．,b b a a ''>>B ．,b b a a ''><C ．,b b a a ''<>D ．,b b a a ''<<12．设函数()()()000f x R x x f x ≠的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是A ．()()0,x R f x f x ∀∈≤B ．()0x f x --是的极小值点C ．()0x f x -是-的极小值点D ．()0x f x --是-的极小值点第II 卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知函数()32,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 . 14.利用计算机产生01,10a a -<之间的均匀随机数则事件“3?发生的概率为 . 15.椭圆2222:1(0)x y r a b a b+=>>的左、右焦点分别为122.F F c 、，焦距为 若直线()122132,y x c M MF F MF F =+∠=∠与椭圆r 的一个交点满足则该椭圆的离心率等于 .16．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：（i ）{}();T f x x S =∈（ii ）对任意121212,,()(),x x S x x f x f x ∈<<当时，恒有那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：①,;A N B N *==②{}{}13,810;A x x B x x =-≤≤=-≤≤③{}01,.A x x B R =≤≤=其中，“保序同构”的集合对的序号是_______。
2013年福建省高考文科数学试卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的()12Z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于模为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设点(),,21:10P x y x y P l x y ==-+-=则“且”是“点在直线上”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若集合{}{}=1,2,3=1,3,4A B ⋂，，则A B 的子集个数为A ．2B ．3C ．4D ．164．双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于A ．12 BC ．1 D5．函数()()2ln 1f x x =+的图像大致是6．若变量,x y 满足约束条件21,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为 A ．43和 B ．42和 C ．32和 D ．20和7．若221,xyx y +=+则的取值范围是A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[]2,-+∞D ．[],2-∞-8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，()10,20,S n ∈输出的那么的值为A ．3 B.4 C.5 D.69．将函数()()()sin 2122f x x ππθθϕϕ⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭的图像向右平移个单位长度后得到函数()()(),,0g x f x g x P ϕ⎛⎝⎭的图像若的图像都经过点，则的值可以是 A ．53π B ．56π C ．2π D ．6π10．在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为A B ． C ．5 D ．1011．已知x y 与之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,ybx a =+ 若某同学根据上表 ()()1,02,2中的前两组数据和求得的直线方程为,y b x a '''=+则以下结论正确的是A ．,bb a a ''>> B ．,b b a a ''>< C ．,b b a a ''<> D ．,b b a a ''<< 12．设函数()()()000f x R x x f x ≠的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是A ．()()0,x R f x f x ∀∈≤B ．()0x f x --是的极小值点C ．()0x f x -是-的极小值点D ．()0x f x --是-的极小值点第II 卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知函数()32,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 .14.利用计算机产生01,10a a -< 之间的均匀随机数则事件“3 发生的概率为 .15.椭圆2222:1(0)x y r a b a b+=>>的左、右焦点分别为122.F F c 、，焦距为若直线)12212,y x c M MF F MF F =+∠=∠与椭圆r 的一个交点满足则该椭圆的离心率等于 .16．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足： （i ）{}();T f x x S =∈（ii ）对任意121212,,()(),x x S x x f x f x ∈<<当时，恒有 那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合： ①,;A N B N *==②{}{}13,810;A x x B x x =-≤≤=-≤≤ ③{}01,.A x x B R =≤≤=其中，“保序同构”的集合对的序号是_______。
2013年高考福建文科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年福建，文1】复数12i z =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】C【解析】在复平面内，12i z =--对应点的坐标为(12)--，，故选C ． （2）【2013年福建，文2】设点(,)P x y ，则“2x =且1y =-”是“点P 在直线:10l x y ++=上”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】点(2，-1)在直线l ：x +y -1=0上，而直线l 上的点的坐标不一定为(2，-1)，故“x =2且y =-1”是“点P 在直线l 上”的充分而不必要条件，故选A ．（3）【2013年福建，文3】若集合{1,2,3},{1,3,4}A B ==，则A B 的子集个数为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）16【答案】C 【解析】由题知{}1,3AB =，故它的子集个数为224=，故选C ．（4）【2013年福建，文4】双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）（A ）12（B（C ）1 （D【答案】B【解析】221x y -=的渐近线方程为y x =±，顶点坐标为()1,0±，点()1,0±到y x =±==， 故选B ．（5）【2013年福建，文5】函数2()ln(1)f x x =+的图象大致是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A【解析】由()00f =可知函数图象经过原点．又()()f x f x -=，所以函数图象关于y 轴对称，故选A ． （6）【2013年福建，文6】若变量,x y 满足约束条件210x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值和最小值分别为（ ） （A ）4和3 （B ）4和2 （C ）3和2 （D ）2和0 【答案】B【解析】画出可行域如下图阴影部分所示．画出直线20x y =＋，并向可行域方向移动，当直线经过点()1,0时，z 取最小值．当直线经过点()2,0时，z 取最大值．故2204max z =⨯=＋，2102min z =⨯=＋，故选B ．（7）【2013年福建，文7】若221x y +=，则x y +的取值范围是（ ）（A ）[0,2] （B ）[2,0]- （C ）[2,)-+∞ （D ）(,2]-∞- 【答案】D【解析】∵221xy=≥＋，∴2221x y ⎛⎫⎪≥⎝⎭＋，即222x y -≤＋．∴2x y ≤-＋，故选D ．（8）【2013年福建，文8】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的()10,20S ∈，那么n 的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】若3n =，则输出7S =；若4n =，则输出15S =，符合题意，故选B ．（9）【2013年福建，文9】将函数()sin(2)()22f x x ππθθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x的图象都经过点P ，则ϕ的值可以是（ ）（A ）53π （B ）56π （C ）2π （D ）6π【答案】B【解析】∵()f x的图象经过点⎛ ⎝⎭，∴sin θππ,22θ⎛⎫- ⎪⎝⎭∈，∴π3θ=．∴()πsin 23f x =x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 由题知()π()sin 23g x f x x ϕϕ⎡⎤(-)+⎢⎥⎣=-⎦=，又图象经过点⎛ ⎝⎭，∴()π0=sin 23g ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 当5π6ϕ=时满足()0g =，故选B ．（10）【2013年福建，文10】在四边形ABCD 中，(1,2),(4,2)AC BD ==-，则该四边形的面积为（ ） （A（B） （C ）5 （D ）10 【答案】C【解析】∵41220AC BD ⋅=⨯+⨯=·41220BD =-⨯⨯=＋，∴AC BD ⊥．12152ABCD S AC BD ===四边形，故选C ．（11）【2013年福建，文11】已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．若某同学根据上表中前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y b x a ''=+，则以下结论正确的是（ ）（A ）ˆˆ,bb a a ''>> （B ）ˆˆ,b b a a ''>< （C ）ˆˆ,b b a a ''<> （D ）ˆˆ,b b a a ''<< 【答案】C【解析】123456762x +++++==，0213341366y +++++==，122157ni i i nii x y nxyb xnx ==-==-∑∑，13a y bx =-=-， 20221b b -=>-'=，2a a '=-<，故选C ． （12）【2013年福建，文12】设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）（A ）0,()()x R f x f x ∀∈≤ （B ）0x -是()f x -的极小值点 （C ）0x -是()f x -的极小值点 （D ）0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】由函数极大值的概念知A 错误；因为函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，所以0x -是()f x -的极大值点．B 选项错误；因为()f x 的图象与()f x -的图象关于x 轴对称，所以0x 是()f x -的极小值点．故C 选项错误；因为()f x 的图象与()f x --的图象关于原点成中心对称，所以0x -是()f x --的极小值点，故选D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． （13）【2013年福建，文13】已知函数32,0()tan ,02x x f x x x π⎧<⎪=⎨-≤<⎪⎩，则(())4f f π= ．【答案】2-【解析】∵ππtan 144f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，3121π2()()4f f f =-=⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-⎭=-⎝．（14）【2013年福建，文14】利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则事件“310a -<”发生的概率为 ．【答案】13【解析】由310a -<，得13a <．∵01a ≤≤，∴013a ≤<．根据几何概型知所求概率为11313=．（15）【2013年福建，文15】椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ．若直线l 与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 ．1【解析】∵由)y x c =＋知直线的倾斜角为60︒，∴1260MF F ∠=︒，2130MF F ∠=︒．∴1290F MF ∠=︒．∴1MF c =，2MF =．又122MF MF a =＋，∴2c a =，即1e ==． （16）【2013年福建，文16】设,S T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足； （i ）{()|}T f x x S =∈；（ii ）对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①*,A N B N ==；②{|13},{|810}A x x B x x =-≤≤=-≤≤； ③{|01},A x x B R =<<=．其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）． 【答案】①②③【解析】①若1y x =+是从A 到B 的一个函数，且x A ∈，则满足（i ）(){|}B f x x A =∈．又()1f x x =+是单调递增的，所以也满足（ii ）；②若()9722f x x =-时，满足（i ）(){|}B f x x A =∈，又()9722f x x =-是单调递增的，所以也满足（ii ）③若()11tan π02x y x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎦<⎣<⎭时，满足（i ）(){|}B f x x A =∈．又()1tan π2f x x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在()0,1上是单调递增的，所以也满足（ii ）．三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2013年福建，文17】（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ．（1）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （2）若519S a a >，求1a 的取值范围．解：（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列，所以2111(2)a a =⨯+，即21120a a --=，解得11a =-或12a =．（2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519S a a >，所以21115108a a a +>+；即2113100a a +-<，解得152a -<<．（18）【2013年福建，文18】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，//AB DC ，AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠=︒．（1）当正视图方向与向量AD 的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的正视图．（要求标出尺寸，并画出演算过程）；（2）若M 为PA 的中点，求证：//DM 面PBC ； （3）求三棱锥D PBC -的体积． 解：（1）在梯形ABCD 中，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，由已知得，四边形ADCE 为矩形，3AE CD ==，在Rt BEC ∆中，由5BC =，4CE =，依勾股定理得：3BE =，从而6AB =，又由PD ⊥平面ABCD 得，PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中，由4AD =，60PAD ∠=︒， 得43PD =，正视图如右图所示： （2）解法一：取PB 中点N ，连结MN ，CN ，在PAB ∆中，M 是PA 中点，∴//MN AB ，132MN AB ==，又//CD AB ， 3CD =，∴MN CD ，MN CD =∴四边形MNCD 为平行四边形，∴//DM CN ． 又DM ⊄平面PBC ， CN ⊂平面PBC ，∴//DM 平面PBC ． 解法二：取AB 的中点E ，连结ME ，DE ，在梯形ABCD 中，//BE CD ，且BE CD =，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴//DE BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴//DE 平面PBC ，又在PAB ∆中，//ME PB ，ME ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， ∴//ME 平面PBC ．又DE ME E =，∴平面//DME 平面PBC ，又DM ⊂平面DME ， ∴//DM 平面PBC ．（3）13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅，又6PBC S ∆=，43PD =，所以83D PBC V -=．（19）【2013年福建，文19】（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．25周岁以上组 25周岁以下组（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率；（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 附：22112212211212n n n n n n n n n χ++++()=解：（1）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名，所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.053⨯=（人），记为1A ，2A ，3A ；25周岁以下组 工人有400.052⨯=（人），记为1B ，2B ，从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，他们是： 12(,)A A ，13(,)A A ，23(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，其 中，至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ．故所求的概率：710P =．P (χ2≥k ) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手600.2515⨯=（人），“25周岁以下组”中的生产能手400.37515⨯=（人），据此可得22⨯列联表如下：生产能手 非生产能手 合计25周岁以上组15 45 60 25周岁以下组15 25 40 合计30 70 100 所以得：222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．（20）【2013年福建，文20】（本小题满分12分）如图，在抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ．（1）若点C 的纵坐标为2，求MN ； （2）若2AF AM AN =⋅，求圆C 的半径．解：（1）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)所以点C 到准线l 的距离2d =，又||5CO =．所以22||2||2542MN CO d =-=-=．（2）设200(,)4y C y ，则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+，即22200202y x x y y y -+-=． 由1x =-，得22002102y y y y -++=，设1(1,)M y -，2(1,)N y -，则：222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 由2||||||AF AM AN =⋅，得12||4y y =，所以20142y +=，解得06y =±，此时0∆>，所以圆心C 的坐标为3(,6)2或3(,6)2-从而233||4CO =，33||2CO =，即圆C 的半径为332．（21）【2013年福建，文21】（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形OPQ ∆中，90OPQ ∠=，22OP =，点M 在线段PQ 上．（1）若3OM =，求PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上，且30MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值．解：（1）在OMP ∆中，45OPM ∠=︒，5OM =，22OP =，由余弦定理得，2222cos45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒，得2430MP MP -+=，解得1MP =或3MP =．（2）设POM α∠=，060α︒≤≤︒，在OMP ∆中，由正弦定理得sin sin OM OP OPM OMP =∠∠，()sin 45sin 45OP OM α︒∴=︒+， 同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+，故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒()()()131sin 45sin 45cos 4522ααα=⎡⎤︒+︒++︒+⎢⎥⎣⎦()()()2131sin 45sin 45cos 4522ααα=︒++︒+︒+()()1311cos 902sin 90244αα=-︒++︒+⎡⎤⎣⎦=因为060α︒≤≤︒，30230150α︒≤+︒≤︒，所以当30α=︒时，()sin 230α+︒的最大值为1，此时OMN ∆的面积取到最小值．即230POM ∠=︒时，OMN ∆的面积的最小值为8-（22）【2013年福建，文22】（本题满分14分）已知函数()1x af x x e=-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =的值时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．解：（1）由()1x a f x x e =-+，得()1x af x e'=-．又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，得()10f '=，即10ae-=，解得a e =．（2）()1x af x e'=-，①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(),-∞+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值．②当0a >时，令()0f x '=，得x e a =，ln x a =．(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>． 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为()ln ln f a a =，无极大值．综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值． （3）解法一：当1a =时，()11x f x x e =-+，令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+，则直线l ：1y kx =-与曲线 ()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >，此时()010g =>，1111101k g k e -⎛⎫=-+< ⎪-⎝⎭，又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有 一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤．又1k =时，()10x g x e=>，知方程()0g x = 在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1． 解法二：当1a =时，()11x f x x e=-+．直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程111x kx x e -=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程：()11x k x e -=（*） 在R 上没有实数解．①当1k =时，方程（*）可化为10x e =，在R 上没有实数解．②当1k ≠时，方程（*）化为11x xe k =-．令()x g x xe =，则有()()1x g x x e '=+．令()0g x '=，得1x =-， 当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，()min1g x e =-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞，从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．所以当11,1k e⎛⎫∈-∞-⎪-⎝⎭时，方程（*）无实数解，解得k的取值范围是()1,1e-．综上，得k的最大值为1．。
2013年福建高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一．选择题1．复数12i z =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【测量目标】复平面．【考查方式】通过复数对应点的坐标判断其在复平面内的象限位置． 【参考答案】C【试题解析】12i z =--在复平面内对应的点为(1,2)--，它位于第三象限． 2．设点),(y x P ，则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件．【考查方式】根据所给点与直线的位置关系条件判断充分条件与必要条件． 【参考答案】A【试题解析】当2x =且1y =-时，满足方程10x y +-=，即点(2,1)P -在直线l 上．（步骤1）点(0,1)P '在直线l 上，但不满足2x =且1y =，（步骤2）∴ “2x =且1y =-”是“点(,)P x y 在直线l 上”的充分而不必要条件．（步骤3） 3．若集合{1,2,3},{1,3,4}A B ==，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．16 【测量目标】集合间的关系．【考查方式】直接给出集合，用列举法求出两集合的交集的子集． 【参考答案】C【试题解析】{}1,3A B = ，其子集有{}{}{},1,3,1,3∅，共4个． 4．双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21B ．22C ．1D ．2【测量目标】双曲线标准方程及其几何性质．【考查方式】根据所给双曲线的标准方程得到双曲线顶点坐标、渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式求解．【参考答案】B【试题解析】双曲线221x y -=的顶点坐标为()1,0±，渐近线为y x =±，∴0x y ±=，（步骤1）∴顶点到渐近线的距离为2d ==．（步骤2） 5．函数()2()ln 1f x x =+的图象大致是（ ）A B C D第5题图 【测量目标】对数函数的图象．【考查方式】给出对数函数和图象，根据图象的特殊点、奇偶性以及对数函数的性质判定． 【参考答案】A【试题解析】2()ln(1)f x x =+，x ∈R ，当0x =时，(0)ln10f ==，即()f x 过点(0,0)，排除B,D ．（步骤1）∵22()ln ()1ln(1)()f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，∴()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，故选A ．（步骤2）6．若变量y x ,满足约束条件210x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥，则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0 【测量目标】二元线性规划求目标函数最值．【考查方式】给出不等式组，作出其表示的可行域、再通过平移图象求最优解． 【参考答案】B【试题解析】作出可行域，通过目标函数线的平移寻求最优解．作出可行域如图阴影部分．（步骤1）作直线20x y +=，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得(1,0),(2,0)A B ， 第6题图∴min max 2,4z z ==．（步骤2）7．若122=+yx ，则y x +的取值范围是（ ）A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞ 【测量目标】基本不等式．【考查方式】考查了指数幂转化不等式，通过均值不等式的求解求取值范围． 【参考答案】D 【试题解析】利用基本不等式转化为关于x y +的不等式，求解不等式即可．∵2221x y x y ++=≥，∴1，∴21224x y+-=≤，∴2x y +-≤，即(](),2x y +∈-∞．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的)20,10(∈S ，那么n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【测量目标】循环结构的程序框图． 【考查方式】根据所给程序框图读出其循环结构表示的求和功能，再用等比数列的求和公式求解． 第8题图 【参考答案】B【试题解析】先读出框图的计算功能，再结合等比数列求和公式求解．框图功能为求和，即1211222n S -=++++ ．（步骤1）由于()()1122110,2012nn S ⨯-==-∈-，∴102120n <-<，∴11221n <<，∴4n =，即求前4项和．∴判断框内的条件为4k >，即4n =．（步骤2）9．将函数ππ()sin(2)22f x x θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f的图象都经过点0,2P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ）A ．5π3 B ．5π6 C ．π2 D ．π6【测量目标】三角函数的图象和性质．【考查方式】给出三角函数，根据所给的点求得函数中的字母，再将点代入平移后得到的函数求ϕ值．【参考答案】B【试题解析】先求出解析式中的字母的取值，再利用代入法确定答案．∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在()f x的图象上，∴(0)sin 2f θ==．（步骤1）∵ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴π3θ=，∴π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴π()sin 2()3g x x ϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦．（步骤2）∵(0)2g =，∴ππ54sin 2sin πsin π3333ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（步骤3） 10．在四边形ABCD 中，(1,2),(4,2)AC BD ==-，则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．10 【测量目标】平面向量的应用．【考查方式】通过平面向量的坐标运算进行向量的垂直证明进而求解四边形面积． 【参考答案】C【试题解析】先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积．∵(1,2)(4,2)440AC BD =-=-+=，∴AC BD ⊥ ，∴11522ABCD S AC BD ===四边形．11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b y ˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '>'<ˆ,ˆ D ．a a b b '<'<ˆ,ˆ 【测量目标】线性回归方程．【考查方式】给出x 与y 的几组数据，求出直线方程和y 对x 的线性回归方程，再比较其系数大小．【参考答案】C【试题解析】根据所给数据求出直线方程y b x a ''=+和回归直线方程的系数，并比较系数大小．由(1,0),(2,2)求,b a ''．20221b -'==-，0212a '=-⨯=-．（步骤1） 求 ,b a 时，6104312152458i ii x y ==+++++=∑,133.5,6x y ==，62114916253691ii x ==+++++=∑，∴213586 3.556916 3.57b -⨯⨯==-⨯ ，13513513.567623a =-⨯=-=-，（步骤2）∴ ,b b a a ''<> ．（步骤3）12．设函数)(x f 的定义域为R ，)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x f x f x ∀∈R ≤B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点 【测量目标】利用导数研究函数的极值问题．【考查方式】列出符合题目所给条件函数，通过导数求解函数的极值判定正确的选项． 【参考答案】D【试题解析】不妨取函数3()3f x x x =-，则()3(1)(1)f x x x '=-+，易判断01x =-为()f x 的极大值点，但显然0()f x 不是最大值，故排除A ；（步骤1）因为3()3,()3(1)(1)f x x x f x x x '-=-+-=-+-，易知，01x -=为()f x -的极大值点，故排除B ；（步骤2）又[]3()3,()3(1)(1)f x x x f x x x '-=-+-=-+-，易知，01x -=为()f x -的极大值点，故排除C ；（步骤3）∵()f x --的图象与()f x 的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得0x -应为函数()f x --的极小值点．故D 正确．（步骤4） 二．填空题13．已知函数32,0()πtan ,02x x f x x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩≤，则π4f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【测量目标】分段函数求值．【考查方式】分段函数的函数值及正切函数值的求解． 【参考答案】2- 【试题解析】∵ππ0,42⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴ππtan 144f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，（步骤1） ∴3π(1)2(1)24f f f ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（步骤2） 14．利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a ，则事件“013<-a ”发生的概率为【测量目标】几何概型．【考查方式】给出不等式，选择区间长度为测度求解几何概型． 【参考答案】31【试题解析】选择区间长度为测度求解几何概型．已知01a ≤≤，事件“310a -<”发生时，103a <<，取区间长度为测度，由几何概型得其概率为13P =． 15．椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c +与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于【测量目标】椭圆的简单几何性质，椭圆的离心率．【考查方式】利用几何图形寻求字母之间的关系，进一步求解离心率． 【参考答案】13-【试题解析】已知12(,0),(,0)F c F c -，直线)y x c +过点1F ,1260MF F ∠= ．（步骤1）∵21121302MF F MF F ∠=∠= ,∴1290F MF ∠= ,∴12,MF c MF ==（步骤2）．由椭圆定义知122MF MF c a +==，∴离心率1c e a ===．（步骤3）16．设,S T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足；（i ）{()|}T f x x S =∈；（ii ）对任意12,x x S ∈，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①,A B *==N N ；②{|13},{|810}A x x B x x =-=-≤≤≤≤； ③{|01},A x x B =<<=R ．其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）【测量目标】“保序同构”的集合的定义．【考查方式】判断所给集合是否为保序同构的集合． 【参考答案】①②③【试题解析】举例说明有符合条件的函数即可．①取()1f x x =+，符合题意．（步骤1） ②取97()22f x x =-，符合题意．（步骤2） ③取1()tan π2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，符合题意．（步骤3） 三．解答题17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ． （1）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （2）若519S a a >，求1a 的取值范围．【测量目标】等差数列的概念、等比数列的概念及其通项、求和公式． 【考查方式】考查了求解等比数列首项的求解（利用等比中项求解），利用等差数列的通项公式与求和公式将不等式转化为含有首项的不等式求解．【试题解析】解：（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列， 所以2111(2)a a =⨯+，即21120a a --=，解得11a =-或12a =．（步骤1） （2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519S a a >， 所以21115108a a a +>+；（步骤2）即2113100a a +-<，解得152a -<<．（步骤3）18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥面，AB DC ，AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠= ．（1）当正视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的正视图．（要求标出尺寸，并画出演算过程）；（2）若M 为PA 的中点，求证：DM PBC 面 ；（3）求三棱锥D PBC -的体积．第18题图【测量目标】几何体的正视图、勾股定理、线面平行的判定定理、几何体体积公式．【考查方式】给出了四棱锥及其空间位置关系、三边长度和一个角的角度，从而画出正视图，由侧棱中点，判断线面平行以及几何体体积． 【试题解析】解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，由已知得，四边形ADCE 为矩形，3AE CD ==．（步骤1） 在Rt △BEC 中，由5BC =，4CE =,依勾股定理得： 3BE =，从而6AB =．（步骤2）又由PD ⊥平面ABCD 得，PD AD ⊥．（步骤3） 第18题图（1）从而在Rt △PAD 中，由4AD =，60PAD ∠=︒,得PD =．（步骤4）正视图如右图（2）所示：第18题图（2） （步骤5） （Ⅱ）取PB 中点N ，连结MN ，CN在△PAB 中，M 是PA 中点， ∴MN AB ，132MN AB ==，（步骤6） 又CD AB ,3CD =∴MN CD ，MN CD =（步骤7）∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM CN ， 第18题图（3） 又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ，∴DM 平面PBC （步骤8） （Ⅲ）13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==又6DBC S ∆=，PD =，所以D PBC V -=9）解法二：（Ⅰ）同解法一 第18题图（4） （Ⅱ）取AB 的中点E ，连结ME ,DE （步骤1）在梯形ABCD 中，BE CD ，且BE CD =，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴DE BC ，（步骤2）又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴DE 平面PBC ，（步骤3） 又在PAB ∆中，ME PB ，ME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ，∴ME 平面PBC ．（步骤4）又DE ME E = ,∴平面DME 平面PBC ，（步骤5）又DM⊂平面DME∴DM 平面PBC．（步骤6）（Ⅲ）同解法一19．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：()21112122121212n n n n nXn n n n++++-=【考查方式】考查了用列举法列出基本事件并结合古典概型求概率，独立性检验公式．【试题解析】解：（Ⅰ）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.053⨯=（人），记为1A，2A，3A；25周岁以下组工人有400.052⨯=（人），记为1B，2B．（步骤1）从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，他们是：12(,)A A，13(,)A A，23(,)A A，11(,)A B，12(,)A B，21(,)A B，22(,)A B，31(,)A B，32(,)A B，12(,)B B．（步骤2）其中，至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：11(,)A B，12(,)A B，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ．故所求的概率：710P =．（步骤3） （Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手600.2515⨯=（人），“25周岁以下组”中的生产能手400.37515⨯=（人），据此可得22⨯列所以得：222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯．（步骤4） 因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．（步骤5）20．如图，在抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E上，以C 为圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ．（1）若点C 的纵坐标为2，求MN ； （2）若2AFAM AN = ，求圆C 的半径．【测量目标】抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系、根与系数的关系． 【考查方式】根据抛物线的准线结合直角三角形的性质求解，再利用圆心在曲线上设出坐标并建立圆的方程，同时考虑直线与圆的位置关系．【试题解析】解：（Ⅰ）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2) 所以点C 到准线l 的距离2d =，又||CO =所以||2MN ===．（步骤1）（Ⅱ）设200,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆C 的方程为224220000()416y y x y y y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，即22200202y x x y y y -+-=． 由1x =-，得22002102y y y y -++=．（步骤2）设1(1,)M y -，2(1,)N y -，则：2220002012441240212y y y y y y ⎧⎛⎫∆=-+=->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩，（步骤3） 由2||||||AF AM AN = ，得12||4y y =， 所以20142y +=，解得0y =，（步骤4） 此时0∆>，所以圆心C的坐标为32⎛ ⎝或3,2⎛ ⎝，（步骤5） 从而233||4CO =，||CO =，即圆C．（步骤6）21．如图，在等腰直角三角形△OPQ 中，90POQ ︒∠=，OP =，点M 在线段PQ 上．（1）若OM =PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上，且30MON ∠= ，问：当POM ∠取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．【测量目标】解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数．【考查方式】根据所给条件，由三角函数余弦定理、正弦定理求线段长度以及函数的最值求解并要注意角的取值范围．【试题解析】解：（Ⅰ）在△OMP 中，45OPM ∠=，OM =OP =， 由余弦定理得，2222cos45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯ ，（步骤1）得2430MP MP -+=，解得1MP =或3MP =．（步骤2）（Ⅱ）设POM α∠=，060α≤≤，在OMP ∆中，由正弦定理，得sin sin OM OP OPM OMP=∠∠，（步骤3） 所以()sin 45sin 45OP OM α=+，（步骤4） 同理()sin 45sin 75OP ON α=+，（步骤5） 故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠ ()()221sin 454sin 45sin 75OP αα=⨯++()()1sin 45sin 4530αα=+++=====．（步骤6） 因为060α ≤≤，30230150α+ ≤≤，所以当30α=时，()sin 230α+︒的最大值为1，此时OMN △的面积取到最小值．即230POM ∠=︒时，OMN △的面积的最小值为8-．（步骤7）22．已知函数()1ex a f x x =-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =的值时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．【测量目标】利用导数求函数的极值、函数的性质．【考查方式】利用导数求切线斜率，讨论字母a 的取值，构造函数再结合函数的零点存在性定理求解．【试题解析】解：（Ⅰ）由()1e x a f x x =-+，得()1ex a f x '=-．（步骤1） 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴， 得()10f '=，即10ea -=，解得e a =．（步骤2） （Ⅱ）()1e x a f x '=-， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(),-∞+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值．（步骤3）②当0a >时，令()0f x '=，得e x a =，ln x a =．（步骤4）(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>．所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为()ln ln f a a =，无极大值，（步骤5） 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值．（步骤6）（Ⅲ）当1a =时，()11e xf x x =-+， 令()()()()111e x g x f x kx k x =--=-+，（步骤7） 则直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．（步骤8）假设1k >，此时()010g =>，1111101e k g k -⎛⎫=-+< ⎪-⎝⎭， 又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤．（步骤9）又1k =时，()10ex g x =>，知方程()0g x =在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1．（步骤10）解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当1a =时，()11e xf x x =-+．（步骤1） 直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程111ex kx x -=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程： ()11ex k x -= *（） 在R 上没有实数解．（步骤2）①当1k =时，方程*（）可化为10ex =，在R 上没有实数解．（步骤3） ②当1k ≠时，方程*（）化为1e 1x x k =-． 令()e x g x x =，则有()()1e xg x x '=+． 令()0g x '=，得1x =-，（步骤4）当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，()min e g x =-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞，从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．（步骤5） 所以当11,1e k ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时，方程*（）无实数解，（步骤6） 解得k 的取值范围是()1e,1-．综上，得k 的最大值为1．（步骤7）。
2013年福建省高考数学试卷(文科)
2013年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的Z=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．164．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1 D．5．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和07．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A． B． C．D．10．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5 D．1011．（5分）已知x与y之间的几组数据如表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.13．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））=．14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为．15．（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．16．（4分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：①A=N，B=N*；②A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣8≤x≤10}；③A={x|0＜x＜1}，B=R．其中，“保序同构”的集合对的序号是．（写出“保序同构”的集合对的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d=1，前n项和为S n．（Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1；（Ⅱ）若S5＞a1a9，求a1的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P﹣ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；（Ⅲ）求三棱锥D﹣PBC的体积．19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成k2=）20．（12分）如图，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C 在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；（Ⅱ）若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若OM=，求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．22．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．2013年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的Z=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由Z=﹣1﹣2i，写出对应点的坐标，即可判断在复平面内对应的点所在的象限．【解答】解：Z=﹣1﹣2i在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查复复数的几何意义，复数与复平面内的点的对应关系．2．（5分）设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当x=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1=0上”，当点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不一定得到x=2且y=﹣1，得到x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的充分不必要条件．【解答】解：∵x=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1=0上”，当“点P在直线l：x+y﹣1=0上”时，不一定得到x=2且y=﹣1，∴“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是看出点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不能确定这个点的坐标的大小，本题是一个基础题．3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．16【分析】找出A与B的公共元素求出交集，找出交集的子集个数即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}，∴A∩B={1，3}，则A∩B的子集个数为22=4．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，以及子集，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1 D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±x，所以所求的距离为=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y最大，从而得到选项．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示在坐标系中画出可行域平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，则目标函数z=2x+y的最小值为2．经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，则目标函数z=2x+y的最大值为：4．故选：B．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．7．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x+y的不等关系式，进而可求出x+y的取值范围．【解答】解：∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选：D．【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n 值．【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2；判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3；判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4；判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，即5＞n满足，所以正整数n的值应为4．故选：B．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A． B． C．D．【分析】求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P（0，），解出θ，然后求出φ即可．【解答】解：函数向右平移φ个单位，得到g （x）=sin（2x+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），所以，，所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）=，φ＞1，所以﹣2φ=2kπ+，φ=﹣kπ，与选项不符舍去，﹣2φ=2kπ+，k∈Z，当k=﹣1时，φ=．故选：B．【点评】本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力．10．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5 D．10【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：==5．故选：C．【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．11．（5分）已知x与y之间的几组数据如表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′【分析】由表格总的数据可得n，，，进而可得，和，代入可得，进而可得，再由直线方程的求法可得b′和a′，比较可得答案．【解答】解：由题意可知n=6，===，==，故=91﹣6×=22，=58﹣6××=，故可得==，==﹣×=，而由直线方程的求解可得b′==2，把（1，0）代入可得a′=﹣2，比较可得＜b′，＞a′，故选：C．【点评】本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属中档题．12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f （﹣x）的极小值点．【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.13．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））=﹣2．【分析】利用分段函数求出f（）的值，然后求解即可．【解答】解：因为，所以f（）==﹣1，所以=f（﹣1）=2（﹣1）3=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P==．故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．15．（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而．设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．16．（4分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：①A=N，B=N*；②A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣8≤x≤10}；③A={x|0＜x＜1}，B=R．其中，“保序同构”的集合对的序号是①②③．（写出“保序同构”的集合对的序号）．【分析】本题考查的是函数的性质，由题意可知S为函数的一个定义域，T为其所对应的值域，且函数y=f（x）为单调增函数，对题目给出的三个命题中的集合对逐一分析看是否能找到这样的函数y=f（x）即可．【解答】解：对于命题①中的两个集合，可取函数f（x）=x+1，x∈N，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），故A是“保序同构”；对于命题②中的两个集合，可取函数（﹣1≤x≤3），是“保序同构”；对于命题③中的两个集合，可取函数f（x）=（0＜x＜1），是“保序同构”．故答案为①②③．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d=1，前n项和为S n．（Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1；（Ⅱ）若S5＞a1a9，求a1的取值范围．【分析】（I）利用等差数列{a n}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，建立方程，即可求a1；（II）利用等差数列{a n}的公差d=1，且S5＞a1a9，建立不等式，即可求a1的取值范围．【解答】解：（I）∵等差数列{a n}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，∴∴∴a1=﹣1或a1=2；（II）∵等差数列{a n}的公差d=1，且S5＞a1a9，∴∴∴﹣5＜a1＜2．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P﹣ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；（Ⅲ）求三棱锥D﹣PBC的体积．【分析】（Ⅰ）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，可得AE=CD=3．由勾股定理求得BE=3，可得AB=6．由直角三角形中的边角关系求得PD=AD•tan60°的值，从而得到四棱锥P﹣ABCD的正视图．（Ⅱ）取PB得中点为N，证明MNCD为平行四边形，故DM∥CN．再由直线和平面平行的判定定理证得故DM∥平面PBC．=V P﹣BCD=S△BCD•PD=（S梯形ABCD﹣S△ABD）（Ⅲ）根据三棱锥D﹣PBC的体积V D﹣PBC•PD，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，∴AE=CD=3．直角三角形BCE中，∵BC=5，CE=AD=4，由勾股定理求得BE=3，∴AB=6．在直角三角形PAD中，∵∠PAD=60°，AD=4，∴PD=AD•tan60°=4，四棱锥P﹣ABCD的正视图如图所示：（Ⅱ）∵M为PA的中点，取PB得中点为N，则MN平行且等于AB，再由（Ⅰ）可得CD平行且等于AB，可得MN和CD平行且相等，故MNCD为平行四边形，故DM∥CN．由于DM 不在平面PBC内，而CN在平面PBC内，故DM∥平面PBC．=V P﹣BCD=S△BCD•PD（Ⅲ）三棱锥D﹣PBC的体积V D﹣PBC=（S梯形ABCD﹣S△ABD）•PD=[﹣]×4=8．【点评】本题主要考查简单空间图形的三视图，直线和平面平行的判定定理，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成k2=）【分析】（I）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（II）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．【解答】解：（I）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共+=7种，故所求的概率为：；（II）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：所以可得==≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．【点评】本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．20．（12分）如图，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C 在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；（Ⅱ）若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．【分析】（I）由抛物线的方程表示出焦点F的坐标及准线方程，求出C到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出|MN|的长；（II）设C（，y0），表示出圆C的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设M（﹣1，y1），N（﹣1，y2），利用韦达定理表示出y1y2，利用|AF|2=|AM|•|AN|，得|y1y2|=4，解得C的纵坐标，从而得到圆心C坐标，由两点间的距离公式求出|OC|的长，即为圆的半径．【解答】解：（I）抛物线E：y2=4x的准线l：x=﹣1，由点C的纵坐标为2，得C（1，2），故C到准线的距离d=2，又|OC|=，∴|MN|=2==2．（II）设C（，y0），则圆C的方程为（x﹣）2+（y﹣y0）2=，即x2﹣+y2﹣2y0y=0，由x=﹣1得y2﹣2y0y+1+=0，设M（﹣1，y1），N（﹣1，y2），则，由|AF|2=|AM|•|AN|，得|y1y2|=4，∴1+=4，解得y0=，此时△＞0∴圆心C的坐标为（，），|OC|2=，从而|OC|=．即圆C的半径为．【点评】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理．其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键．21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若OM=，求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．【分析】（Ⅰ）在△OMP中，利用∠OPM=45°，OM=，OP=2，通过余弦定理，求PM的长；（Ⅱ）利用正弦定理求出ON、OM，表示出△OMN的面积，利用两角和与差的三角函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式，通过角α的范围，得到相位的范围，然后利用正弦函数的值域求解三角形面积的最小值，求出面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）在△OMP中，∠OPM=45°，OM=，OP=2，由余弦定理可得，OM2=OP2+MP2﹣2×OP•MPcos45°，解得PM的长为1或3；（Ⅱ）设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：，OM=，同理，ON==，故======因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°，所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，此时，△OMN的面积最小，面积的最小值．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理在三角形中的应用，两角和与差的三角函数的应用，三角形的最值的求法，考查计算能力与转化思想的应用．22．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．【分析】（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；（Ⅱ）f′（x）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点⇔方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．（Ⅱ）f′（x）=1﹣，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；②当a＞0时，令f′（x）=0，得e x=a，x=lna，x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，所以k的最大值为1．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．。
2013福建高考文科数学试卷及答案解析-推荐下载
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 (答案)A
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(解析)本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定．因为 (2,1) 点代入直线方程，符合方程，即“ x 2 且 y 1”可
推出“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”；而点 P 在直线上，不一定就是 (2,1) 点，即“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”推
D．
2
2
．
x y 2 6．若变量 x, y 满足约束条件 x 1 ，则 z 2x y 的最大值和最小值分别为（ ）
y 0
(答案)B
A．4 和 3
B．4 和 2 C．3 和 2 D．2 和 0
(解析)本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为 4 和 2．
4．双曲线 x2 y2 1 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
1
A．
2
2
B．
2
C．1 D． 2
(答案)B (解析)本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点
为 (1,0) ，取一条渐近线为 y x ，所以点 (1,0) 到直线 y x 的距离为
四边形的面积为 | AC | | BD | 12 22 (4)2 22 5 ，故选 C
11．已知 x 与 y 之间的几组数据如下表：
2
x
y
1
0
2
2
2
3
1
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 yˆ bˆx aˆ ．若某同学根据上表中前两组数据 (1,0) 和 (2,2) 求得的直
2013 年福建省高考数学试卷及解析（文史类）
【推荐】2013年福建省高考数学试卷(文科)
2013年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设点P（，y），则“=2且y=﹣1”是“点P在直线l：+y﹣1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．164．（5分）双曲线2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1 D．5．（5分）函数f（）=ln（2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）若变量，y满足约束条件，则=2+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和07．（5分）若2+2y=1，则+y的取值范围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）将函数f（）=sin（2+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（）的图象，若f（），g（）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．10．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5 D．1011．（5分）已知与y之间的几组数据如表：=+，两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b ′+a ′，则以下结论正确的是（ ）A ．＞b ′，＞a ′B ．＞b ′，＜a ′C ．＜b ′，＞a ′D ．＜b ′，＜a ′12．（5分）设函数f （）的定义域为R ，0（0≠0）是f （）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．∀∈R ，f （）≤f （0）B ．﹣0是f （﹣）的极小值点C ．﹣0是﹣f （）的极小值点D ．﹣0是﹣f （﹣）的极小值点二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.13．（4分）已知函数f （）=，则f （f （））= ． 14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a ﹣1＞0”发生的概率为 ．15．（4分）椭圆Γ：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ．16．（4分）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y=f （）满足：（i ）T={f （）|∈S}；（ii ）对任意1，2∈S ，当1＜2时，恒有f （1）＜f （2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：①A=N ，B=N *；②A={|﹣1≤≤3}，B={|﹣8≤≤10}；③A={|0＜＜1}，B=R ．其中，“保序同构”的集合对的序号是 ．（写出“保序同构”的集合对的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n }的公差d=1，前n 项和为S n ．（Ⅰ）若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1；（Ⅱ）若S 5＞a 1a 9，求a 1的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P ﹣ABCD 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；（Ⅱ）若M 为PA 的中点，求证：DM ∥平面PBC ；（Ⅲ）求三棱锥D ﹣PBC 的体积．19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成2=）20．（12分）如图，抛物线E：y2=4的焦点为F，准线l与轴的交点为A．点C 在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；（Ⅱ）若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若OM=，求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．22．（14分）已知函数f（）=﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（）在点（1，f（1））处的切线平行于轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=﹣1与曲线y=f（）没有公共点，求的最大值．2013年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由=﹣1﹣2i，写出对应点的坐标，即可判断在复平面内对应的点所在的象限．【解答】解：=﹣1﹣2i在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查复复数的几何意义，复数与复平面内的点的对应关系．2．（5分）设点P（，y），则“=2且y=﹣1”是“点P在直线l：+y﹣1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：+y﹣1=0上”，当点P在直线l：+y﹣1=0上时，不一定得到=2且y=﹣1，得到=2且y=﹣1”是“点P在直线l：+y﹣1=0上”的充分不必要条件．【解答】解：∵=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：+y﹣1=0上”，当“点P在直线l：+y﹣1=0上”时，不一定得到=2且y=﹣1，∴“=2且y=﹣1”是“点P在直线l：+y﹣1=0上”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是看出点P在直线l：+y﹣1=0上时，不能确定这个点的坐标的大小，本题是一个基础题．3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．16【分析】找出A与B的公共元素求出交集，找出交集的子集个数即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}，∴A∩B={1，3}，则A∩B的子集个数为22=4．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，以及子集，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．（5分）双曲线2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1 D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线2﹣y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±，所以所求的距离为=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5．（5分）函数f（）=ln（2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】∵2+1≥1，又y=ln在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（2+1）≥ln1=0，函数的图象应在轴的上方，在令取特殊值，选出答案．【解答】解：∵2+1≥1，又y=ln在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．6．（5分）若变量，y满足约束条件，则=2+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0【分析】先根据条件画出可行域，设=2+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2+y最大，从而得到选项．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示在坐标系中画出可行域平移直线2+y=0，经过点N（1，0）时，2+y最小，最小值为：2，则目标函数=2+y的最小值为2．经过点M（2，0）时，2+y最大，最大值为：4，则目标函数=2+y的最大值为：4．故选：B．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．7．（5分）若2+2y=1，则+y的取值范围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于+y的不等关系式，进而可求出+y的取值范围．【解答】解：∵1=2+2y≥2•（22y），变形为2+y≤，即+y≤﹣2，当且仅当=y时取等号．则+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选：D．【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】框图在输入n的值后，根据对S和的赋值执行运算，S=1+2S，=+1，然后判断是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n 值．【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量赋值1，输入n的值后，执行S=1+2×0=1，=1+1=2；判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，=2+1=3；判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，=3+1=4；判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，=4+1=5．此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，即5＞n满足，所以正整数n的值应为4．故选：B．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．9．（5分）将函数f（）=sin（2+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（）的图象，若f（），g（）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．【分析】求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P（0，），解出θ，然后求出φ即可．【解答】解：函数向右平移φ个单位，得到g （）=sin（2+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），所以，，所以g（）=sin（2+﹣2φ），sin（﹣2φ）=，φ＞1，所以﹣2φ=2π+，φ=﹣π，与选项不符舍去，﹣2φ=2π+，∈，当=﹣1时，φ=．故选：B．【点评】本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力．10．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5 D．10【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：==5．故选：C．【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．11．（5分）已知与y之间的几组数据如表：=+，两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′【分析】由表格总的数据可得n，，，进而可得，和，代入可得，进而可得，再由直线方程的求法可得b′和a′，比较可得答案．【解答】解：由题意可知n=6，===，==，故=91﹣6×=22，=58﹣6××=，故可得==，==﹣×=，而由直线方程的求解可得b′==2，把（1，0）代入可得a′=﹣2，比较可得＜b′，＞a′，故选：C ．【点评】本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属中档题．12．（5分）设函数f （）的定义域为R ，0（0≠0）是f （）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．∀∈R ，f （）≤f （0）B ．﹣0是f （﹣）的极小值点C ．﹣0是﹣f （）的极小值点D ．﹣0是﹣f （﹣）的极小值点【分析】A 项，0（0≠0）是f （）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确； B 项，f （﹣）是把f （）的图象关于y 轴对称，因此，﹣0是f （﹣）的极大值点；C 项，﹣f （）是把f （）的图象关于轴对称，因此，0是﹣f （）的极小值点；D 项，﹣f （﹣）是把f （）的图象分别关于轴、y 轴做对称，因此﹣0是﹣f （﹣）的极小值点．【解答】解：对于A 项，0（0≠0）是f （）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A 错误；对于B 项，f （﹣）是把f （）的图象关于y 轴对称，因此，﹣0是f （﹣）的极大值点，故B 错误；对于C 项，﹣f （）是把f （）的图象关于轴对称，因此，0是﹣f （）的极小值点，故C 错误；对于D 项，﹣f （﹣）是把f （）的图象分别关于轴、y 轴做对称，因此﹣0是﹣f （﹣）的极小值点，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.13．（4分）已知函数f （）=，则f （f （））= ﹣2 ．【分析】利用分段函数求出f （）的值，然后求解即可．【解答】解：因为，所以f （）==﹣1，所以=f （﹣1）=2（﹣1）3=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a ﹣1＞0”发生的概率为．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a 所对应图形的长度，及事件“3a ﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解． 【解答】解：3a ﹣1＞0即a ＞，则事件“3a ﹣1＞0”发生的概率为P==．故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．15．（4分）椭圆Γ：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF1F 2=2∠MF 2F 1，可得，进而．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a ，c 即可．【解答】解：如图所示， 由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tan α，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F 2=2∠MF 2F 1，∴，∴．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．16．（4分）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y=f （）满足：（i ）T={f （）|∈S}；（ii ）对任意1，2∈S ，当1＜2时，恒有f （1）＜f （2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合： ①A=N ，B=N *；②A={|﹣1≤≤3}，B={|﹣8≤≤10}； ③A={|0＜＜1}，B=R ．其中，“保序同构”的集合对的序号是 ①②③ ．（写出“保序同构”的集合对的序号）．【分析】本题考查的是函数的性质，由题意可知S 为函数的一个定义域，T 为其所对应的值域，且函数y=f （）为单调增函数，对题目给出的三个命题中的集合对逐一分析看是否能找到这样的函数y=f （）即可．【解答】解：对于命题①中的两个集合，可取函数f （）=+1，∈N ，满足：（i ）B={f （）|∈A}；（ii ）对任意1，2∈A ，当1＜2时，恒有f （1）＜f （2），故A 是“保序同构”；对于命题②中的两个集合，可取函数 （﹣1≤≤3），是“保序同构”；对于命题③中的两个集合，可取函数f （）= （0＜＜1），是“保序同构”． 故答案为①②③．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n }的公差d=1，前n 项和为S n ． （Ⅰ）若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； （Ⅱ）若S 5＞a 1a 9，求a 1的取值范围．【分析】（I ）利用等差数列{a n }的公差d=1，且1，a 1，a 3成等比数列，建立方程，即可求a 1；（II ）利用等差数列{a n }的公差d=1，且S 5＞a 1a 9，建立不等式，即可求a 1的取值范围．【解答】解：（I ）∵等差数列{a n }的公差d=1，且1，a 1，a 3成等比数列， ∴∴∴a 1=﹣1或a 1=2；（II ）∵等差数列{a n }的公差d=1，且S 5＞a 1a 9， ∴∴∴﹣5＜a 1＜2．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°． （Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P ﹣ABCD 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；（Ⅱ）若M 为PA 的中点，求证：DM ∥平面PBC ； （Ⅲ）求三棱锥D ﹣PBC 的体积．【分析】（Ⅰ）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，可得AE=CD=3．由勾股定理求得BE=3，可得AB=6．由直角三角形中的边角关系求得PD=AD•tan60°的值，从而得到四棱锥P﹣ABCD的正视图．（Ⅱ）取PB得中点为N，证明MNCD为平行四边形，故DM∥CN．再由直线和平面平行的判定定理证得故DM∥平面PBC．（Ⅲ）根据三棱锥D﹣PBC的体积VD﹣PBC =VP﹣BCD=S△BCD•PD=（S梯形ABCD﹣S△ABD）•PD，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，∴AE=CD=3．直角三角形BCE中，∵BC=5，CE=AD=4，由勾股定理求得BE=3，∴AB=6．在直角三角形PAD中，∵∠PAD=60°，AD=4，∴PD=AD•tan60°=4，四棱锥P﹣ABCD的正视图如图所示：（Ⅱ）∵M为PA的中点，取PB得中点为N，则MN平行且等于AB，再由（Ⅰ）可得CD平行且等于AB，可得MN和CD平行且相等，故MNCD为平行四边形，故DM∥CN．由于DM 不在平面PBC内，而CN在平面PBC内，故DM∥平面PBC．（Ⅲ）三棱锥D﹣PBC的体积VD﹣PBC =VP﹣BCD=S△BCD•PD=（S梯形ABCD ﹣S△ABD）•PD=[﹣]×4=8．【点评】本题主要考查简单空间图形的三视图，直线和平面平行的判定定理，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成2=）【分析】（I）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（II）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．【解答】解：（I）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共+=7种，故所求的概率为：；（II）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：所以可得==≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．【点评】本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．20．（12分）如图，抛物线E：y2=4的焦点为F，准线l与轴的交点为A．点C 在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；（Ⅱ）若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．【分析】（I ）由抛物线的方程表示出焦点F 的坐标及准线方程，求出C 到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出|MN|的长；（II ）设C （，y 0），表示出圆C 的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设M （﹣1，y 1），N （﹣1，y 2），利用韦达定理表示出y 1y 2，利用|AF|2=|AM|•|AN|，得|y 1y 2|=4，解得C 的纵坐标，从而得到圆心C 坐标，由两点间的距离公式求出|OC|的长，即为圆的半径．【解答】解：（I ）抛物线E ：y 2=4的准线l ：=﹣1，由点C 的纵坐标为2，得C （1，2），故C 到准线的距离d=2，又|OC|=，∴|MN|=2==2．（II ）设C （，y 0），则圆C 的方程为（﹣）2+（y ﹣y 0）2=，即2﹣+y 2﹣2y 0y=0，由=﹣1得y 2﹣2y 0y+1+=0，设M （﹣1，y 1），N （﹣1，y 2），则，由|AF|2=|AM|•|AN|，得|y 1y 2|=4， ∴1+=4，解得y 0=，此时△＞0∴圆心C 的坐标为（，），|OC|2=，从而|OC|=．即圆C的半径为．【点评】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理．其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键．21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若OM=，求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．【分析】（Ⅰ）在△OMP中，利用∠OPM=45°，OM=，OP=2，通过余弦定理，求PM的长；（Ⅱ）利用正弦定理求出ON、OM，表示出△OMN的面积，利用两角和与差的三角函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式，通过角α的范围，得到相位的范围，然后利用正弦函数的值域求解三角形面积的最小值，求出面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）在△OMP中，∠OPM=45°，OM=，OP=2，由余弦定理可得，OM2=OP2+MP2﹣2×OP•MPcos45°，解得PM的长为1或3；（Ⅱ）设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：，OM=，同理，ON==，故======因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°，所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，此时，△OMN的面积最小，面积的最小值．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理在三角形中的应用，两角和与差的三角函数的应用，三角形的最值的求法，考查计算能力与转化思想的应用．22．（14分）已知函数f（）=﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（）在点（1，f（1））处的切线平行于轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=﹣1与曲线y=f（）没有公共点，求的最大值．【分析】（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；（Ⅱ）f′（）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；（Ⅲ）令g（）=f（）﹣（﹣1）=（1﹣）+，则直线l：y=﹣1与曲线y=f （）没有公共点⇔方程g（）=0在R上没有实数解，分＞1与≤1讨论即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（）=﹣1+，得f′（）=1﹣，又曲线y=f（）在点（1，f（1））处的切线平行于轴，∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．（Ⅱ）f′（）=1﹣，①当a≤0时，f′（）＞0，f（）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（）无极值；②当a＞0时，令f′（）=0，得e=a，=lna，∈（﹣∞，lna），f′（）＜0；∈（lna，+∞），f′（）＞0；∴f（）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，故f（）在=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．综上，当a≤0时，f（）无极值；当a＞0时，f（）在=lna处取到极小值lna，无极大值．（Ⅲ）当a=1时，f（）=﹣1+，令g（）=f（）﹣（﹣1）=（1﹣）+，则直线l：y=﹣1与曲线y=f（）没有公共点，等价于方程g（）=0在R上没有实数解．假设＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，又函数g（）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（）=0在R上至少有一解，与“方程g（）=0在R上没有实数解”矛盾，故≤1．又=1时，g（）=＞0，知方程g（）=0在R上没有实数解，所以的最大值为1．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．。
【推荐】2013年福建省高考数学试卷(文科)
2013年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设点P（，y），则“=2且y=﹣1”是“点P在直线l：+y﹣1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．164．（5分）双曲线2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1 D．5．（5分）函数f（）=ln（2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）若变量，y满足约束条件，则=2+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和07．（5分）若2+2y=1，则+y的取值范围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）将函数f（）=sin（2+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（）的图象，若f（），g（）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．10．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5 D．1011．（5分）已知与y之间的几组数据如表：=+，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b ′+a ′，则以下结论正确的是（ ）A ．＞b ′，＞a ′B ．＞b ′，＜a ′C ．＜b ′，＞a ′D ．＜b ′，＜a ′12．（5分）设函数f （）的定义域为R ，0（0≠0）是f （）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．∀∈R ，f （）≤f （0）B ．﹣0是f （﹣）的极小值点C ．﹣0是﹣f （）的极小值点D ．﹣0是﹣f （﹣）的极小值点二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.13．（4分）已知函数f （）=，则f （f （））= ． 14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a ﹣1＞0”发生的概率为 ．15．（4分）椭圆Γ：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ．16．（4分）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y=f （）满足：（i ）T={f （）|∈S}；（ii ）对任意1，2∈S ，当1＜2时，恒有f （1）＜f （2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：①A=N ，B=N *；②A={|﹣1≤≤3}，B={|﹣8≤≤10}；③A={|0＜＜1}，B=R ．其中，“保序同构”的集合对的序号是 ．（写出“保序同构”的集合对的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n }的公差d=1，前n 项和为S n ．（Ⅰ）若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1；（Ⅱ）若S 5＞a 1a 9，求a 1的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P ﹣ABCD 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；（Ⅱ）若M 为PA 的中点，求证：DM ∥平面PBC ；（Ⅲ）求三棱锥D ﹣PBC 的体积．19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成2=）20．（12分）如图，抛物线E：y2=4的焦点为F，准线l与轴的交点为A．点C 在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；（Ⅱ）若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若OM=，求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．22．（14分）已知函数f（）=﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（）在点（1，f（1））处的切线平行于轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=﹣1与曲线y=f（）没有公共点，求的最大值．2013年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由=﹣1﹣2i，写出对应点的坐标，即可判断在复平面内对应的点所在的象限．【解答】解：=﹣1﹣2i在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查复复数的几何意义，复数与复平面内的点的对应关系．2．（5分）设点P（，y），则“=2且y=﹣1”是“点P在直线l：+y﹣1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：+y﹣1=0上”，当点P在直线l：+y﹣1=0上时，不一定得到=2且y=﹣1，得到=2且y=﹣1”是“点P 在直线l：+y﹣1=0上”的充分不必要条件．【解答】解：∵=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：+y﹣1=0上”，当“点P在直线l：+y﹣1=0上”时，不一定得到=2且y=﹣1，∴“=2且y=﹣1”是“点P在直线l：+y﹣1=0上”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是看出点P在直线l：+y﹣1=0上时，不能确定这个点的坐标的大小，本题是一个基础题．3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．16【分析】找出A与B的公共元素求出交集，找出交集的子集个数即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}，∴A∩B={1，3}，则A∩B的子集个数为22=4．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，以及子集，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．（5分）双曲线2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1 D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线2﹣y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±，所以所求的距离为=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5．（5分）函数f（）=ln（2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】∵2+1≥1，又y=ln在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（2+1）≥ln1=0，函数的图象应在轴的上方，在令取特殊值，选出答案．【解答】解：∵2+1≥1，又y=ln在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．6．（5分）若变量，y满足约束条件，则=2+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0【分析】先根据条件画出可行域，设=2+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2+y最大，从而得到选项．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示在坐标系中画出可行域平移直线2+y=0，经过点N（1，0）时，2+y最小，最小值为：2，则目标函数=2+y的最小值为2．经过点M（2，0）时，2+y最大，最大值为：4，则目标函数=2+y的最大值为：4．故选：B．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．7．（5分）若2+2y=1，则+y的取值范围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于+y的不等关系式，进而可求出+y的取值范围．【解答】解：∵1=2+2y≥2•（22y），变形为2+y≤，即+y≤﹣2，当且仅当=y时取等号．则+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选：D．【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】框图在输入n的值后，根据对S和的赋值执行运算，S=1+2S，=+1，然后判断是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量赋值1，输入n的值后，执行S=1+2×0=1，=1+1=2；判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，=2+1=3；判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，=3+1=4；判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，=4+1=5．此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，即5＞n满足，所以正整数n的值应为4．故选：B．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．9．（5分）将函数f（）=sin（2+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（）的图象，若f（），g（）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．【分析】求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P（0，），解出θ，然后求出φ即可．【解答】解：函数向右平移φ个单位，得到g（）=sin（2+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），所以，，所以g（）=sin（2+﹣2φ），sin（﹣2φ）=，φ＞1，所以﹣2φ=2π+，φ=﹣π，与选项不符舍去，﹣2φ=2π+，∈，当=﹣1时，φ=．故选：B．【点评】本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力．10．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5 D．10【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：==5．故选：C．【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．11．（5分）已知与y之间的几组数据如表：=+，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′【分析】由表格总的数据可得n，，，进而可得，和，代入可得，进而可得，再由直线方程的求法可得b′和a′，比较可得答案．【解答】解：由题意可知n=6，===，==，故=91﹣6×=22，=58﹣6××=，故可得==，==﹣×=，而由直线方程的求解可得b′==2，把（1，0）代入可得a′=﹣2，比较可得＜b′，＞a′，故选：C ．【点评】本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属中档题．12．（5分）设函数f （）的定义域为R ，0（0≠0）是f （）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．∀∈R ，f （）≤f （0）B ．﹣0是f （﹣）的极小值点C ．﹣0是﹣f （）的极小值点D ．﹣0是﹣f （﹣）的极小值点【分析】A 项，0（0≠0）是f （）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确； B 项，f （﹣）是把f （）的图象关于y 轴对称，因此，﹣0是f （﹣）的极大值点；C 项，﹣f （）是把f （）的图象关于轴对称，因此，0是﹣f （）的极小值点；D 项，﹣f （﹣）是把f （）的图象分别关于轴、y 轴做对称，因此﹣0是﹣f （﹣）的极小值点．【解答】解：对于A 项，0（0≠0）是f （）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A 错误；对于B 项，f （﹣）是把f （）的图象关于y 轴对称，因此，﹣0是f （﹣）的极大值点，故B 错误；对于C 项，﹣f （）是把f （）的图象关于轴对称，因此，0是﹣f （）的极小值点，故C 错误；对于D 项，﹣f （﹣）是把f （）的图象分别关于轴、y 轴做对称，因此﹣0是﹣f （﹣）的极小值点，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.13．（4分）已知函数f （）=，则f （f （））= ﹣2 ．【分析】利用分段函数求出f （）的值，然后求解即可．【解答】解：因为，所以f （）==﹣1，所以=f （﹣1）=2（﹣1）3=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a ﹣1＞0”发生的概率为．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a 所对应图形的长度，及事件“3a ﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解． 【解答】解：3a ﹣1＞0即a ＞，则事件“3a ﹣1＞0”发生的概率为P==．故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．15．（4分）椭圆Γ：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF1F 2=2∠MF 2F 1，可得，进而．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a ，c 即可．【解答】解：如图所示， 由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tan α，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F 2=2∠MF 2F 1，∴，∴．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．16．（4分）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y=f （）满足：（i ）T={f （）|∈S}；（ii ）对任意1，2∈S ，当1＜2时，恒有f （1）＜f （2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合： ①A=N ，B=N *；②A={|﹣1≤≤3}，B={|﹣8≤≤10}； ③A={|0＜＜1}，B=R ．其中，“保序同构”的集合对的序号是 ①②③ ．（写出“保序同构”的集合对的序号）．【分析】本题考查的是函数的性质，由题意可知S 为函数的一个定义域，T 为其所对应的值域，且函数y=f （）为单调增函数，对题目给出的三个命题中的集合对逐一分析看是否能找到这样的函数y=f （）即可．【解答】解：对于命题①中的两个集合，可取函数f （）=+1，∈N ，满足：（i ）B={f （）|∈A}；（ii ）对任意1，2∈A ，当1＜2时，恒有f （1）＜f （2），故A 是“保序同构”；对于命题②中的两个集合，可取函数 （﹣1≤≤3），是“保序同构”；对于命题③中的两个集合，可取函数f （）= （0＜＜1），是“保序同构”． 故答案为①②③．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n }的公差d=1，前n 项和为S n ． （Ⅰ）若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； （Ⅱ）若S 5＞a 1a 9，求a 1的取值范围．【分析】（I ）利用等差数列{a n }的公差d=1，且1，a 1，a 3成等比数列，建立方程，即可求a 1；（II ）利用等差数列{a n }的公差d=1，且S 5＞a 1a 9，建立不等式，即可求a 1的取值范围．【解答】解：（I ）∵等差数列{a n }的公差d=1，且1，a 1，a 3成等比数列， ∴∴∴a 1=﹣1或a 1=2；（II ）∵等差数列{a n }的公差d=1，且S 5＞a 1a 9， ∴∴∴﹣5＜a 1＜2．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°． （Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P ﹣ABCD 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；（Ⅱ）若M 为PA 的中点，求证：DM ∥平面PBC ； （Ⅲ）求三棱锥D ﹣PBC 的体积．【分析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中，作CE ⊥AB ，E 为垂足，则四边形ADCE 为矩形，可得AE=CD=3．由勾股定理求得BE=3，可得AB=6．由直角三角形中的边角关系求得PD=AD •tan60°的值，从而得到四棱锥P ﹣ABCD 的正视图． （Ⅱ）取PB 得中点为N ，证明MNCD 为平行四边形，故DM ∥CN ．再由直线和平面平行的判定定理证得故DM ∥ 平面PBC ．（Ⅲ）根据三棱锥D ﹣PBC 的体积V D ﹣PBC =V P ﹣BCD =S △BCD •PD=（S 梯形ABCD﹣S △ABD ）•PD ，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，作CE ⊥AB ，E 为垂足， 则四边形ADCE 为矩形，∴AE=CD=3． 直角三角形BCE 中，∵BC=5，CE=AD=4， 由勾股定理求得BE=3，∴AB=6．在直角三角形PAD 中，∵∠PAD=60°，AD=4， ∴PD=AD •tan60°=4，四棱锥P ﹣ABCD 的正视图如图所示：（Ⅱ）∵M 为PA 的中点，取PB 得中点为N ，则MN 平行且等于AB ， 再由（Ⅰ）可得CD 平行且等于AB ，可得MN 和CD 平行且相等， 故MNCD 为平行四边形，故DM ∥CN ．由于DM 不在平面PBC 内，而CN 在平面PBC 内，故DM ∥平面PBC ． （Ⅲ）三棱锥D ﹣PBC 的体积V D ﹣PBC =V P ﹣BCD =S △BCD •PD =（S 梯形ABCD ﹣S △ABD ）•PD=[﹣]×4=8．【点评】本题主要考查简单空间图形的三视图，直线和平面平行的判定定理，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成2=）【分析】（I）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（II）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．【解答】解：（I）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共+=7种，故所求的概率为：；（II）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：所以可得==≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．【点评】本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．20．（12分）如图，抛物线E：y2=4的焦点为F，准线l与轴的交点为A．点C 在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；（Ⅱ）若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．【分析】（I ）由抛物线的方程表示出焦点F 的坐标及准线方程，求出C 到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出|MN|的长； （II ）设C （，y 0），表示出圆C 的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设M （﹣1，y 1），N （﹣1，y 2），利用韦达定理表示出y 1y 2，利用|AF|2=|AM|•|AN|，得|y 1y 2|=4，解得C 的纵坐标，从而得到圆心C 坐标，由两点间的距离公式求出|OC|的长，即为圆的半径．【解答】解：（I ）抛物线E ：y 2=4的准线l ：=﹣1，由点C 的纵坐标为2，得C （1，2），故C 到准线的距离d=2，又|OC|=，∴|MN|=2==2．（II ）设C （，y 0），则圆C 的方程为（﹣）2+（y ﹣y 0）2=，即2﹣+y 2﹣2y 0y=0，由=﹣1得y 2﹣2y 0y+1+=0，设M （﹣1，y 1），N （﹣1，y 2），则，由|AF|2=|AM|•|AN|，得|y 1y 2|=4， ∴1+=4，解得y 0=，此时△＞0∴圆心C 的坐标为（，），|OC|2=，从而|OC|=．即圆C的半径为．【点评】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理．其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键．21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若OM=，求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．【分析】（Ⅰ）在△OMP中，利用∠OPM=45°，OM=，OP=2，通过余弦定理，求PM的长；（Ⅱ）利用正弦定理求出ON、OM，表示出△OMN的面积，利用两角和与差的三角函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式，通过角α的范围，得到相位的范围，然后利用正弦函数的值域求解三角形面积的最小值，求出面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）在△OMP中，∠OPM=45°，OM=，OP=2，由余弦定理可得，OM2=OP2+MP2﹣2×OP•MPcos45°，解得PM的长为1或3；（Ⅱ）设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：，OM=，同理，ON==，故======因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°，所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，此时，△OMN的面积最小，面积的最小值．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理在三角形中的应用，两角和与差的三角函数的应用，三角形的最值的求法，考查计算能力与转化思想的应用．22．（14分）已知函数f（）=﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（）在点（1，f（1））处的切线平行于轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=﹣1与曲线y=f（）没有公共点，求的最大值．【分析】（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；（Ⅱ）f′（）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；（Ⅲ）令g（）=f（）﹣（﹣1）=（1﹣）+，则直线l：y=﹣1与曲线y=f （）没有公共点⇔方程g（）=0在R上没有实数解，分＞1与≤1讨论即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（）=﹣1+，得f′（）=1﹣，又曲线y=f（）在点（1，f（1））处的切线平行于轴，∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．（Ⅱ）f′（）=1﹣，①当a≤0时，f′（）＞0，f（）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（）无极值；②当a＞0时，令f′（）=0，得e=a，=lna，∈（﹣∞，lna），f′（）＜0；∈（lna，+∞），f′（）＞0；∴f（）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，故f（）在=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．综上，当a≤0时，f（）无极值；当a＞0时，f（）在=lna处取到极小值lna，无极大值．（Ⅲ）当a=1时，f（）=﹣1+，令g（）=f（）﹣（﹣1）=（1﹣）+，则直线l：y=﹣1与曲线y=f（）没有公共点，等价于方程g（）=0在R上没有实数解．假设＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，又函数g（）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（）=0在R上至少有一解，与“方程g（）=0在R上没有实数解”矛盾，故≤1．又=1时，g（）=＞0，知方程g（）=0在R上没有实数解，所以的最大值为1．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．。
【数学】2013年高考真题——福建卷(文)
2013年福建省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的Z＝﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】Z＝﹣1﹣2i在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
2．设点P（x，y），则“x＝2且y＝﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵x＝2且y＝﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”，
当“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”时，不一定得到x＝2且y＝﹣1，
∴“x＝2且y＝﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”的充分不必要条件，
故选：A．
3．若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为（）
A．2B．3C．4D．16
【答案】C
【解析】∵A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，∴A∩B＝{1，3}，
则A∩B的子集个数为22＝4．故选：C．
4．双曲线x2﹣y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于（）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】双曲线x2﹣y2＝1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y＝±x，
所以所求的距离为＝．故选：B．
5．函数f（x）＝ln（x2+1）的图象大致是（）。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（文史类）
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的12Z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设点(),P x y ，则2x =“且1y =-”
是“点P 在直线:10l x y +-=上”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．若集合{}{}=1,2,3=1,3,4A B ，，则⋂A B 的子集个数为 A ．2
B ．3
C ．4
D ．16
4．双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 A ．
1
2
B
．
2
C ．1 D
5．函数()()
2
ln 1f x x =+的图像大致是
6．若变量,x y 满足约束条件21,0,x y x y +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
则2z x y =+的最大值和最小值分别为
A ．43和
B ．42和
C ．32和
D ．20和
7．若221x y
+=，则x y +的取值范围是
A ．[]0,2
B ．[]2,0-
C ．[]2,-+∞
D ．[],2-∞-
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后， 输出的()10,20S ∈，那么n 的值为 A ．3 B.4
C.5
D.6
9．将函数()()sin 22
2f x x π
πθθ⎛⎫=+-
<< ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得
到函数()g x 的图像，若()(),f x g x
的图像都经过点0P ⎛
⎝
⎭
，则ϕ的值可以是 A ．
53
π
B ．
56
π C ．
2
π D ．
6
π 10．在四边形ABCD 中，()()1,2,4,2AC BD ==-，则该四边形的面积为 A
B
．
C ．5
D ．10
11．已知x y 与之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,y bx a =+若某同学根据上表，若某同学根据上表中的前两组数据()1,0和()2,2求得的直线方程为y b x a '''=+，则以下结论正确的是
A ．,b b a a ''>>
B ．,b b a a ''><
C ．,b b a a ''<>
D ．,b b a a ''<< 12．设函数()f x 的定义域为,R ()000x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是 A ．()()0,x R f x f x ∀∈≤ B ．()0x f x --是的极小值点 C ．()0x f x -是-的极小值点
D ．()0x f x --是-的极小值点
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 已知函数()32,0,tan ,0,2
x x f x x x π⎧<⎪
=⎨-≤≤
⎪⎩则
4f f π⎛
⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 14. 利用计算机产生0
1之间的均匀随机数a ，则事件
10a -<“3?发生的概率为 . 15. 椭圆22
22:1(0)x y r a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，焦距为2c .若直线
)y x c =+与椭圆r 的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率
等于 .
16．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足： （i ）{}
();T f x x S =∈（ii ）对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <， 那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：
①,;A N B N *==
②{}{}13,810;A x x B x x =-≤≤=-≤≤
③{}01,.A x x B R =≤≤=
其中，“保序同构”的集合对的序号是_______.（写出“保序同构”的集合对的序号）。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知等差数列}{
n a 的公差d =1，前n 项和为n S . (I)若131,,a a 成等比数列，求1a ； (II)若519S a a >，求1a 的取值范围. 18．（本小题满分12分）
如图，在四棱柱P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，,AB AD ⊥5,BC =
3,4,60.DC AD PAD ==∠=
（I ）当正视方向与向量AD 的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（II ）若M 为PA 的中点，求证：求二面角//DM 平面PBC ； （III ）求三棱锥D PBC -的体积. 19．（本小题满分12分）
某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名。
为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平
均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为
5
组：
))50,60
,60,70,⎡⎡⎣⎣)70,8⎡⎣))80,90
,90,100
⎡⎡⎣⎣分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（I ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（II ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
（注：此公式也可以写成2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++）
20．（本小题满分12分）
如图，抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，CO 为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N . （I ）若点C 的纵坐标为2，求MN ； （II ）若2
AF
AM AN =，求圆C 的半径.
21．（本小题满分12分）
如图，在等腰直角OPQ ∆中，90POQ ∠=
，OP =点M 在线段PQ 上.
（I
）若OM =PM 的长；
（II ）若点N 在线段MQ 上，且30MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值. 22．（本小题满分14分）
已知函数()1x
a
f x x e =-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）. （I ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；
（II ）求函数()f x 的极值；
（III ）当1a =时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值.
2
112212211212
()n n n n n x n n n n ****-=
附：
新|课|标|第|一|网。