2019届高考数学函数和导数及其应用第一轮复习题2
2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第2讲函数的表示法课时作业理.docx
第2讲函数的表示法知能训练1.若f(x+2)=2x+3,则f(x) = ( )A. 2x+1B. 2x—1C. 2x—3D. 2%+712.已知代方=-^(无工±1),贝9()A. fg・ f( — x)=lB. f( — x)+f(x)=OC. f\x) • f\ — x) = —1D. f( —/)+f(x)=l3.(2017年安徽黄山质检)已知是一次函数，且代代力]=/+2,则f(x)=( )A. x~\~ 1B. 2x—1C. ~x+1D. x+1 或一x—14.下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是( )A. f\x) = |B. f{x)=x-\x\C. f^=x+\.D. f3=_x5.如图X2-2-l(l),在直角梯形力跑中，动点P从点B出发，由B-CfXA沿边运动,设点P运动的路程为x, AMP的面积为f(x).若函数y=f3的图象如图X2-2-K2), 则△九力的面积为()A. 10B. 32C. 18D. 166.若函数fg , gd)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f\x) 一财=£,则有() A.f(2)<f(3)<g(0) B. g(0)53)52)C. f(2)<g(0心(3)D. g(0)〈f(2)</*(3)27.己知函数f(x) =2*+] + sin 才，则f( —2) + f( —1) + f(0) + f(l) + f(2) = ___________ .8.(2016 年浙江)设函数f(x) =x +3#+l.已知日HO,且f{x)— /(a) = (x—b) (x—a)2fx丘R, 贝实数臼= ________ , b=_________ .窜质丹华9.根据条件求下列各函数的解析式：(1)已知fCr)是二次函数，若f(0)=0, f{x+1) = f(x) +x+1,求代v)的解析式;(2)已知求心的解析式；(3)己知f\x)满足2f(x) +4£)=3X,求f\x)的解析式.10.定义：如果函数y=f{x)在定义域内给定区间［曰,b］上存在xo(a<xo<H),满足fg) r A— f o= ------ ,则称函数y=f^)是［幼方］上的“平均值函数”，心是它的一个“均值点”.如尸=/是［—1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点.(1)判断函数f(x) = -x2+^x在区间［0,9］上是否为平均值函数.若是，求岀它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数#+/加+1是区I'可［―1, 1］上的平均值函数，试确定实数加的取值范围.第2讲函数的表示法 1. B 2. A3. A 解析：设 f(必=kx~\~b,则由 ] =x+2,可得 k(kx+b) +Z?=x+2,即&■ +kb+b=x+2. AA 2=1, kb+b=2.解得 k=\,力=1,则 f(x)=x+l.故选 A.4. C 解析：将f(2力表示出来，看与2f\x)是否相等.对于A, f(2x) = |2” =2|” = 2A%);对于 B, f<2x} =2x- 12^| =2 (x~ | ) =2f(x)；对于 C, f(2x) =2/+lH2f(Q ；对 于D, f(20=—2x=2f(0.故只有C 不满足f(2方=2fCr).故选C.5. D 解析：由y=f(x)的图象，得当x=4和x=9时，胪的面积相等，:・BC=4, BC+CD=g,即 CD=5.易知初=14一9 = 5.如图 D90,过点〃作 DEVAB 于点 £ •: Z 3=90° , :・DE=BC=4.在 Rt △必〃中，AE=pA#_DF=3. :.AB=AB'+E'B=3 + 5=S.1 1・・・ S^=-ABX BC=~X 8 X 4 = 16.6. D 解析：仁 _xf — x —g — x =e ,所以 f(2)=匸1，f(3)=—「，g(O)= — l ・ 显然 g(0)<f(2)〈f(3).故选 D.AO) =b ••• f(一2) + f(—1) + AO) +A1)+ A2) = 5.8. —2 1 解析：f{x) — =x+^x +1 —』一3/—1 = /+3,—3/, (x_D {x-2a-b=Z.— a) 2=x~ (2a+Z?) •(a 2+2atl) x — a b,所 a +2aA=0,2 i3 o 2 { — a b=_a ~5a.d — —2, b=1.9.解：⑴ 设 /(%) = ax + bx+ ,由 AO) =0,得 f{x) =ax +bx. 又由 f(x+l) =f(x)+x+l,得日(x+1)'+〃(/+1) =ax+bx+ x+1, 即 /+(2日+b)卄日+〃=/+(方+l)x+l.2臼+ b= b+1,* 日HO,・：曰=Z?=a+ b={.因此 f{x) =*#+*¥.7. 5解析:2*/ f(x) +/( — %) =2 ]+ sin ^4 2 2^+1sin 尸侖+2x+1 1+2”解得尸0(舍去)解得g =三二，如二咎.1 —x 1 — /*(2)t=-~,由此，得^=7—(t^-1).1 + x 1 + t从而fd)的解析式为/'(%)=・丄飞(好-1) • 1十X(3)・・・2fd)+£ = 3x,①・••把①中的x换成丄，得X2绘+f(心•②3① X2—②,得3/(A)=6X—•x・"3=2「卄0).10. ----------------------------------------------------------------------------- 解:(l)rtl定义知，关于的方程一#+心=——占------------------------------------------- 在(0, 9)±有实数根时, 函数fd) = —/+4尢是［0, 9］上的平均值函数.• I f — f而一x+4x=心不可解得山=5, &= — 1.又山=5丘(0, 9)［曲=—1年(0, 9),故舍去］,・・・f3 =—芒+心是［0, 9］上的平均值函数，5是它的均值点.(2) V f^=~x+mx+ \是［一1, 1］上的平均值函数，・・・关于x的方程一#+〃圧+1= —在(一1,1)内有实数根.由一x + mx-\-1 = : , 得”一mx-\-m—1=0.1 ——解得 =A2=l.又呈=1毎(一1, 1),:,x\ = m— 1 必为均值点，即-l<iw-l<l.・••所求实数m的取值范围是0〈冰2.。
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用27函数的图象课后作业理.doc
2. 7函数的图象E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1. 为了得到函数尸3x （#的图象，可以把函数尸的图象（） A.向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度 C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度答案D解析 尸3乂份=（护・0=（护，故它的图象是把函数y=（才的图象向右平移1 个单位长度得到的.故选D.1 n | x — 12. （2017 •山西太原二模）函数f\x ） = } _ v|的图象大致为（ ）CD答案D1 n x — 1 I解析 函数f3=门_日 的定义域为（一叫Dud, +-）,且图象关于x=i 对称, 排除B 、C ；取特殊值，当心*时，f{x ） =2In |<0,故选D.■ 2 1212 12^—一X3.函数/V）=ln （2+1）的图象大致是（）A/( IT )=4,故选 A.故函数/(%) =sin (2/+-^-答案A解析 依题意，得A-%)=ln (,+ l)=f(x),所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x) 的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数代劝过定点(0, 0),排除B, D,故选A.A ( j[ \4・(2017 •乐山模拟)函数f3= ------------------ ^>0, | ^\<~的部分图彖如图所sin 厶)示，则f(皿)=()A. 4B. 2念C. 2 Dp答案A解析 由函数的图象可得A=2f 根据半个周期牛=%+令，解得3 = 2. 由图象可得当*=—誇时，函数无意义,即函数的分母等于零，即sin 2(—令)+ 2 =再由丨创与，可得解析 作出函数y= f{x ）与7=&的图彖，如图所示: 由图可知 圧（0,1],故选D.6. （2018 •山东日照一模）现有四个函数①y=xsinx f ②y=xcosx f ③y=x\ cos^l,④y =立'的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的 一组是（）1 厂L A_-A 2r■ AX0 x /A.①④②③B.①④③②5. （2017 •北京模拟）已知函数=&有两个不等的实数根，则实数斤的取值范围是（A. （0, +8）B.C. （1, +◎答案D若关于x 的方程/tv ）D. )(一8, 1) (0,1]C.④①②③D.③④②①答案A解析①尸xsinx在定义域上是偶函数，其图象关于y轴对称；②y=xcosx在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y=”cosx|在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称, 且当x>0时，其函数值y20；④尸垃'在定义域上为非奇非偶函数，且当Q0时，其函数值y〉0,且当*0时，其函数值X0.故选A.7.（2015・浙江高考）函数f{x） =1 x—+）cosx（— Ji WxW叽且xHO）的图象可能为（）答案D解析 解法一：（性质+特值排除法）该函数的定义域为[—兀，0） U （0, IT ],显然定义 域关于原点对称.函数尸/一-是奇函数，y=cosx 为偶函数，所以= X 除B ；取x=兀,则/'（兀）=（兀一Jcos JT =—（兀一J<0,故排除C.故选D.解法二：（特值排除法）f （ Ji ）=（兀一+）cos 兀=一（兀一彳〈0,故可排除A 、C ；而f （— 兀）=（—兀一二・cos （―兀）=（“ 一£>0,故排除B.故选D.8. （2017 -达州期末）已知函数f （x ） =xcosx 9 f （0是f （0的导数，同一坐标系中，f （x ）和f （劝的大致图彖是（）答案C解析由于f(x) =xcosx f所以排COSX 为奇函数,:.f (劝=cosx—xsinx,当r（%）>o时，/'（劝是增函数，曲线是上升的，r axo时，/•（/）是减函数，曲线是下降的，判断出c是正确的，排除A.故选C.9.（2018・郑州模拟）函数尸宀的图象与函数y=2sin兀*一Y~ X2W/W4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A. 2B. 4 C・ 6 D・ 8答案D解析图象法求解.在同一坐标系中，分别作出函数y= 宀与y=2sinn*—2W/W4）的图象，y=—的对称中心是（1,0）,也是y=2sin兀x（—2W/W4）的中心，当一2W/W4 X— 1它们的图象在X=l的左侧有4个交点，则/=1右侧必有4个交点.不妨把它们的横坐标由小到大设为Xl, X2, %3,无1,疋，矗，X1,朋，则*1 +於=/2+脸=用+矗=禺+朋=2,所以选D.10.（2017 •杭州五校联盟诊断）若直角坐标平面内两点只0满足条件：①P, Q都在函数尸fd）的图象上;②只Q关于原点对称，则称（只G是函数f\x）的一个“伙伴点组”（点kx—] x> Q组（只Q）与（@ Q看作同一个“伙伴点组”）.已知函数〃有两—In — x , K0个“伙伴点组”，则实数斤的取值范围是（）A. （一8, 0）B. （0, 1）C. （o,D. （0, +°°）答案B解析依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y=f^的图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数y=-ln ( — 0(*0)关于原点对称的函数y=ln丸(Q0)的图彖，使它与直线y=kx~\ (Q0)的交点个数为2即可.当直线尸上r—1与y=ln x的图象相切时，设切点为(//A In ni), 又尸In x的导数为/ =丄，A则伽一l = ln m,斤=丄，解得zz?=l, k=\,m可得函数y=ln%(^>0)的图象过(0, —1)点的切线的斜率为1,结合图象可知(0, 1) 时两函数图象有两个交点.故选B.二、填空题[I lg x\, x>0,11.(2018 •咸阳模拟)已知|.rl则函数尸2^(0—3/W+1的零点个数是________ ・答案5解析由2产(0 —3/(^) +1 = 0 得f\x) =*或/V) =1，作岀两数y= f\x)的图象.由图象知尸*与y=t\x)的图象有2个交点，y=l与y=t\x)的图象有3个交点.因此函数-3 4-1的零点有5个.12.设函数f(x), gd)的定义域分别为尺G,且尸6：若对任意的xWF,都有g3 =fg 则称g (力为/U)在G 上的一个“延拓函数” •已知函数f3 =为fd)在R 上的一个延拓函数，且gd)是偶函数，则函数gd)的解析式为 ______________答案g3=2”解析 画出函数的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数 g(0的图象，由图可知：函数g(0的解析式为g(0=2 一13. (2018 •南昌大联考)已知/V)是定义在R 上且周期为3的函数，当 圧［0,3)时， f3= /-2x+| •若函数y=f\x)-a 在区间［一3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数已 的収值范围是_答案A ，解析 先画出y =,—2%+*在区间［0, 3)±的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上 方，利用周期为3,将图象平移至区间［ — 3,4］内，即得在区间［ — 3, 4］上的图象如图所 示，其中 /(—3) =f(0) =f(3) =0. 5, f( —2) = Al) =f(4) =0. 5.函数y=f^~a 在区间［ — 3, 4］上有10个零点(互不相同)等价于y=g 的图象与直线14. (2017 •湖北百所重点学校联考)设函数fd)对任意实数廿满足fU)=-fa+l), 且当0W/W1时，f(x)=*l —方，若关于无的方程f{x)=kx 有3个不同的实数根，则斤的 取值范围是 .答案(5 — 2托，l)U{ — 3 + 2^}解析 因fd)= — fd+l),故fd+2)=f(0,即函数f(x)是周期为2的周期函数， 画出函数f\x),［0,1］的图象，再借助函数满足的条件f(x)= —f(x+l)及周期性，画出函数y=f{x)的图象如图，易知仅当直线尸=滋位于Z 与厶之间(不包括71,厶)或与厶重 合时满足题意，对y=x(l-%)求导得=1-2%, / |x=o=l, ：.li 的斜率为1.以下求A 的斜率：当 1W^W2 时，易得 f{x) = — f{x —\) =— (^― 1) ［1— (%—1)］ =# —3/+2,令 x —3x+2 — kx=0,得#—(3 +W)x+2 = 0,令 A — (3 + A)2—8=0,解得斤=—3±2寸由此 易知厶的斜率为一3 + 2迈.同理，由2W/W3时，％劝=一/+5才一6,可得厶的斜率为5 —(£|go),2托•综上，5 — 2托〈处1或斤=一3+2边，故应填(5-2^6, 1) U {-3 + 2^2}.(2) 由图象可知,函数代劝的单调递增区间为[一1, 0], [2,5]. (3) 由图象知当X=2时,f(0・in=f (2)= —1,当 x=0 时，f(x)^=f(0)=3.三.解答题15.3—y, 已知函数心L-3,i4 O' 3 - 2 ■1-11P1 2 3 4 5⑴在如图所示给定的直角坐标系内画出代力的图象;(2) 写出 他)的单调递增区间;(3) 由图象指出当x 取什么值时f(x)有最值.解(1)函数fd)的图象如图所示.圧 2, 5].16.已知f\x) = | /—4A Z+3 I.(1)作出函数f(x)的图象;(2)求函数代力的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合片｛引使方程f3=m有四个不相等的实根｝・解⑴当4x+3$0 时，xWl 或x23,fg =%—4x+3, xWl或x$3,—#+4x—3, 1〈人＜3,:・fg的图象如图所示.(2)由函数的图象可知/U)的单调区间是(一8, 1], (2, 3), (1,2], [3, +8),其中(一8，1], (2, 3)是减区间；(1,2], [3, +8)是增区间.(3)由代方的图象知，当0〈水1时，f3=m有四个不相等的实根，所以#=U|O</^1｝.。
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用25指数与指数函数课后作业文.doc
2. 5指数与指数函数E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1.给出下列结论:3 .2①当白〈0时，（/） =/；② 勺了=|引（刀>1,刀GN*,刀为偶数）；丄③ 函数=2） 2 -（3^-7）°的定义域是｛』妙2且心弓；④若 5 =0. 3, 0. 7A =0. 8,则 ab>0.其屮正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④答案B32解析（旳 >0, /0,故①错误. ・.・玄0,方>0,/• ④错误•故选B.A. (0, 1) C. (2, 3)答案B2.设函数"与 尸（护 的图象的交点为（血旳），则Ab 所在的区间是（B. (1,2) D. (3,4)解析如图所示，设f\x) =x ,f(O)<g(O), f(l)〈g(l), f(2)>g(2), f(3)>g(3), ・・・.(1,2).故选B.3.(2017 •北京模拟)已知函数f(x)=a,其屮$>0且臼H1,如果以卩5,心)),0(疋,HQ)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x)・HQ等于( )A. 1B. aC. 2D. a答案A解析T以P(x\,<?(x2,代对)为端点的线段的屮点在y轴上，・・・xi + x2=0.X V/(^r) = a,・• f\x^=a \ • 3\=3^\=3=\,故选A.4. (2018 -沈阳模拟)若关于x 的方程9'+ (4+a)・3r +4=0有解,则实数&的取值范围 为() A. ( — 8, —8) U [0, +°°) C. [—8, —4]答案D斗彳解析 V a+4=— 令 3x =f(f>0),则一'~^=-3力+4 一 丁W — 4,・••自+4W —4,所以自的范围为(―°°, —8].故选D.5. (2018 •南昌质检)定义在R 上的偶函数,当x> — 2时，/'(%) =e l4'1 —2(e 为 自然对数的底数)，若存在k 凯 使方程f3= 0的实数根那丘(&一1, &),则&的取值集合 是()A. {0} ] C. {-4,0}I 答案D解析・・•偶函数厂匕一2)的图象关于y 轴对称， 函数y=f\x)的图象关于x=_2对称. ・・•当 x>-2 时,/U)=e x+*-2,・・・f3=e+ — 2 在(一2, +8)上单调递增,且 /(-1)<0, f(0)=e —2>0.由零点存在定理可知，函数f\x) =eE —2在(一1, 0)上存在零点. 由函数图象的对称性可知，当*—2时，存在唯一零点%e(-4, -3).由题意，方程A%) = 0的实数根尬£伙一1,力，则斤一1 = 一4或斤一1 = 一1, k=_3 或k=0.故选D.6. 函数f^=x~bx+c 满足Al+x)=Al-x)且f(0)=3,则f (方、)和現刃的大小关 系是() A. fUlC B. C.B. 大小关系随x 的不同而不同答案A解析 ・・・f(l + x)=f(l —方，・"3图象的对称轴为直线X=l,由此得b=2. 又 f(0) =3, c=3.f(x)在(一g, 1)上递减，在(1, +s)上递增.若心0,则332—1,・•・ f(3“)2f(2”).B. (-8, -4) D. (-co, -8]t+~因为所以 B. {-3} D. {-3,0}若水0,则3X2X1,・•・ f(3j>f(2j.・・・f(3jNf(2》故选A.7. (2018 •长春模拟)若存在正数才使2”匕一&)〈1成立，则白的取值范围是() A. ( — 8, +oo) B. (—2, +°°) C. (0, +oo)D. (-1, +oo)答案D一日与的图象.由题意，在（0，+8）上，直线有一部分在曲线的下方.观察可知, 有一臼<1,所以a> —1.故选D.8. （2017 •江西南吕二模）已知函数y=f\x ）是周期为2的周期函数，且当^[一1, 1] 时，/U ）=2W -1,则函数F （0=f （0 —|lg 才|的零点个数是（）B. 10C. 11D. 18答案B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y=fU 与y=|lg”的大致图象（如图），由图象 可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F （0=f （0 —|lg”的零点个数是10,故选B.99. （2018 •宜宾模拟）己知惭数f\x ） 4+-j-pY ，（0, 4）,当x=a 时，取得最 小值b,则函数=产的图象为（）解析不等式2\x~a ） <1可变形为X — 6?< 平面直角坐标系内作出直线尸才A. 9 （分•在同答案A解析 (0,4)，・・・无+1>1当且仅当x=2时取等号，此时函数有最小值1. • •日=2 9 /?= 1 9十打 x^-1.象及选项可知A 正确.故选A.1 + f X10・（2018 •蒙城模拟）设"，/R,函数曲满足宀匸厂厂，若心）+心）=1, 则f\xi + x2)最小值是(4 B. 2 C -5答案 x —r/口 z 、 e'— 12‘可得/W=7+T=1_F H ,即为 e X i +X 2=exl + e 7+3, 由 e \ + e ^2^V^, 即有e 首2^2萨兀+3, 解得書兀23,即e V X2^9,当且仅当加=私取得等号,9 ."3=L 4+币 =^+1+卄19-5心0,此函数可以看成函数尸 < 卩）的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图A. 4 解析由心）+心）=1,可得击+比詁，r+卄 1 -5=1,*—1,此时皿）=2网=22 4则心+ Q=1—p 石Ml —审冷4 即有最小值为石故选C. 5二、填空题召111. （2018 •浦东检测）关于x 的方程 "=匕只有正实数解，则日的取值范围是只有正实数解,解得1〈日〈2.・・・臼的取值范围为（*，2）12. （2018・东湖调研）已知函数f （x ）=（分，且a>b>c>0,则上 大小关系为 .答案f x解析由题意一^可以转化为心上的点与原点连线的斜率,根据函数代力=£),设 JU, f(a)), B(b, W C(c, f(c)), 观察图象知• f日 / b f c • • \ • N •a b c13. (2018 •深圳一模)下列四个函数中：®y= ②y= 1 og 2(x+1):③尸一匚士;解析 ，7_|_ 1玄一1>0,整理得2a-12-a>0. f b答案④尸在(0, +®)上为减函数的是 ___________________ ・(填上所有正确选项的序号)答案①④解析当XW (0, +8)口寸：①x增大时，心增大,一心减小，即y减小，・•・函数y=—心在(0, +8)上为减函数；②/增大时，/+1增大，log2(x+1)增大，即y增大，・：函数y=log2(x+1)在(0, +°°)上为增函数；③/增大时，卄1增大，占减小，—占增大，即y增大，・°・函数y=—计了在(0, +8)上为增函数；④/增大时，/一1增大，减小，即y减小，・・・函数尸(少7在(0, +8)上为减函数.・••在(0, + 8)上为减函数的是①④.14.(2018 •济南模拟)己知呂(方=站+1, f(力=2"—1, 0WxW2,'。
推荐2019高三人教A版数学一轮复习练习：第二章函数、导数及其应用第4节(1)
第二章 第4节[基础训练组]1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：B [由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.]2．函数y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函数，在(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在(－∞，0)上单调递减解析：A [根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f (x )＝2x－2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函数是奇函数，排除C 、D.又函数y ＝2x ，y ＝－2－x 都是R 上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f (x )＝2x －2－x 是R 上的增函数，故选择A.]3．(理科)(2018·宜宾市诊断)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解析：A [∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1，∴f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号．∴a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确．]3．(文科)函数y ＝xax|x|(0<a <1)图象的大致形状是( )解析：D [函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xax |x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ，x>0，－ax ，x<0.当x >0时，函数是一个指数函数，因为0<a <1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x (x <0,0<a <1)的图象关于x 轴对称，在(－∞，0)上是增函数．]4．若函数f (x )＝a |2x －4| (a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]5．若函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则实数a 的值是( ) A ．3 B.13C ．3或13D ．5或15解析：C [设a x ＝t ，则原函数的最大值问题转化为求关于t 的函数y ＝t 2＋2t －1的最大值问题．因为函数图象的对称轴为t ＝－1，且开口向上，所以函数y ＝t 2＋2t －1在t ∈(0，＋∞)上是增函数．当a >1时，a －1≤t ≤a ，所以t ＝a 时，y 取得最大值14，即a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(舍去－5)；当0<a <1时，a ≤t ≤a －1，所以t ＝a－1时，y 取得最大值14，即a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13⎝⎛⎭⎫舍去－15.综上，实数a 的值为3或13，选C.]答案：9答案：(－∞，8]10．已知函数f (x )＝4x ＋m2x 是奇函数．(1)求m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围． 解析：(1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点， 即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．方法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0， ∴只须⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a 2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．[能力提升组]11．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝错误!给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：D [根据给出的定义，f K (x )是在函数y ＝f (x )，y ＝K 中取较小者．对任意的x ∈(－∞，1]上恒有f K (x )＝f (x )，等价于对任意的x ∈(－∞，1]上恒有f (x )≤K ，等价于f (x )max ≤K ，x ∈(－∞，1]．令t ＝2x ∈(0,2]，则函数f (x )＝2x ＋1－4x ，即为函数φ(t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1≤1，故函数f (x )在(－∞，1]上的最大值为1，即K ≥1.故选D.]12．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：D [方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点． ①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.]13．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是 ________ . 解析：原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x .∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于 m 2－m <2，解得－1<m <2. 答案：(－1,2)14．已知函数f (x )＝3x －13|x|.(1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x >0时，f (x )的单调性；(3)若3t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎡⎦⎤12，1恒成立，求m 的取值范围．解：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0，∴f (x )＝2无解．当x >0时，f (x )＝3x －13x ，令3x －13x ＝2.∴(3x )2－2·3x －1＝0，解得3x ＝1±2. ∵3x >0，∴3x ＝1＋ 2.∴x ＝log 3(1＋2)．(2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x －13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴f (t )＝3t －13t>0. ∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为3t ⎝⎛⎭⎫32t －132t ＋m ⎝⎛⎭⎫3t －13t ≥0，即3t ⎝⎛⎭⎫3t ＋13t ＋m ≥0， 即m ≥－32t －1.令g (t )＝－32t －1，则g (t )在⎣⎡⎦⎤12，1上递减，∴g (x )max ＝－4.∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．。
最新版精选2019年高考数学第一轮复习测试版题库(含标准答案)
2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．若非空集合A,B,C 满足A ∪B=C ，且B 不是A 的子集，则 A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 B ． “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 C ． “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件D ． “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”必要条件(2008湖北理)2．集合A= {x ∣12x -≤≤}，B={x ∣x<1}，则()R AB ð= （D ）（A ）{x ∣x>1} (B) {x ∣x ≥ 1} (C) {x ∣12x <≤ } (D) {x ∣12x ≤≤} （2007）3．若实数,a b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,),a b a b ϕ-那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件5．已知数列｛an ｝满足a1=3，an+1 - an + 1=0 (n ∈N* ), 则数列｛an ｝的通项公式为 A. an= n 2 +2 B. an= n +2 C. an=4-n D. an= 2 n +16．lgx,lgy,lgz 成等差数列是y2=xz 成立的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件二、填空题7．函数2)1(log )(++=x x f a ，0(>a 且)1≠a 必过定点 ▲ ；8．已知函数()f x 是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足()()12f x f x +=-， 若当23x <<时，()f x x =，则)5.2007(f =__________ _9．已知当椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b 时，椭圆的面积是πab ．请针对椭圆2212516x y +=，求解下列问题： （1）若m ，n 是实数，且|m |≤5，|n |≤4．求点P （m ，n ）落在椭圆内的概率;（2）若m ，n 是整数，且|m |≤5，|n |≤4．求点P （m ，n ）落在椭圆外的概率以及点P 落在椭圆上的概率。
(新课标)高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2-2 函数的单调性与最值课时规范练 理(
2-2 函数的单调性与最值课时规X 练(授课提示：对应学生用书第219页)A 组 基础对点练1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( B ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( C ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |3．下列函数中，既是奇函数且在定义域内是增函数的为( D ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．ln 2＋x 2－x4．函数f (x )＝ln(x 2－3x ＋2)的递增区间是( D ) A ．(－∞，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(2，＋∞)解析：令t ＝x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)＞0，求得x ＜1或x ＞2，故函数的定义域为{x |x ＜1或x ＞2}，f (x )＝ln t ，由复合函数的单调性知本题即求函数t 在定义域内的增区间．结合二次函数的性质可得函数t 在定义域内的增区间为(2，＋∞)． 5．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( B ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)7．(2017·某某模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( C ) A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)8．(2018·某某二模)已知实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( D )A ．tan x ＞tan yB ．ln(x 2＋2)＞ln(y 2＋1) C.1x >1yD ．x 3＞y 3解析：根据题意，实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则x ＞y ，依次分析选项：对于A ，因为y ＝tan x 在其定义域上不是单调函数，故tan x ＞tan y 不一定成立，不符合题意；对于B ，若x ＞y ，则x 2＋2＞y 2＋2不一定成立，故ln(x 2＋2)＞ln(y 2＋1)不一定成立，不符合题意；对于C ，当x ＞y ＞0时，1x ＜1y，不符合题意；对于D ，函数y ＝x 3在R 上为增函数，若x ＞y ，必有x 3＞y 3，符合题意．9．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为( D ) A ．(－∞，1] B ．[1,2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)11．(2017·某某模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a的取值X 围是( B ) A ．(0,1)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥1，得13≤a <1. 12．函数f (x )＝x ＋2x －1的最小值为 12.解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.13．已知y ＝f (x )是定义在(－2,2)上的增函数，若f (m －1)<f (1－2m )，则m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，23.解析：依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2<m －1<2－2<1－2m <2m －1<1－2m⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－12<m <32m <23⇒－12<m <23.14．(2018·城关区校级模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋2，x ≥1，e x－1，x <1，若m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝f (f (ln 2))，则1m ＋2n的最小值为 3＋2 2.解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋2，x ≥1，e x－1，x <1，m ＋n ＝f [f (ln 2)]＝f (e ln 2－1)＝f (2－1)＝log 33＝1，则1m ＋2n＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2mn＝3＋22， 当且仅当n ＝2m 时，取得最小值3＋2 2.15．(2018·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤2，log 2x －1，x >2，则f (f (4))＝ 1 ；函数f (x )的单调递减区间是 [1,2] ． 解析：f (4)＝log 24－1＝1， ∴f (f (4))＝f (1)＝－12＋2×1＝1.x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ，对称轴为x ＝1，∴f (x )在[1,2]上单调递减． ∴f (x )的单调递减区间为[1,2]．B 组 能力提升练1．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 12a ≤2f (1)，则a 的取值X 围是( C )A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．3．(2017·某某阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( B ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数4．(2018·某某一模)已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0；②对定义域内任意x ，都有f (x )＝f (－x )，则符合上述条件的函数是( A )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x－xC ．f (x )＝ln|x ＋1|D ．f (x )＝cos x解析：由题意得f (x )是偶函数，在(0，＋∞)递增，对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1＞0，故f (x )在(0，＋∞)递增，符合题意；对于B ，函数f (x )是奇函数，不合题意；对于C ，由x ＋1＝0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不合题意；对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)无单调性，不合题意．5．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值X 围是( B ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32C ．[1,2)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：由题意知f ′(x )＝2x －12x＝2x ＋12x －12x ，易知函数f (x )在x ＝12处取得极值，所以有k －1<12<k ＋1，且k －1≥0，得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 6．(2018·铁东区校级一模)指数函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)在R 上是减函数，则函数g (x )＝a －2x 2在其定义域上的单调性为( C ) A ．单调递增 B ．单调递减C ．在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减D ．在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增 解析：∵指数函数f (x )＝a x在R 上是减函数， ∴0＜a ＜1，∴－2＜a －2＜－1，函数y ＝1x2在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．∴g (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增． 7．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a ＞1)，则( C ) A ．sgn[g (x )]＝sgn x B ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )] C ．sgn[g (x )]＝－sgn x D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]8．若f (x )＝e x －a e －x为奇函数，则f (x －1)＜e －1e 的解集为( A )A ．(－∞，2)B ．(－∞，1)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝lg(a x－b x)＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( B ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,10)D ．(10，＋∞)10．(2018·兴庆区校级三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1－b ，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1(a ＞0，a ≠1)，在其定义域上单调，则ab 的值不可能的是( D ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：由于函数f (x )在R 上单调，当x ＞1时，函数f (x )＝－log 2(x ＋1)单调递减，则当x ≤1时，函数f (x )＝a x －1－b 单调递减，所以0＜a ＜1，且a1－1－b ≥－log 2(1＋1)，即1－b ≥－1，解得b ≤2.当0＜b ≤2时，0＜ab ＜2；当b ≤0时，则ab ≤0.因此，ab ≠2，故选D.11．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x)＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( B ) A ．2 B ．4 C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x＋13x ＋2≥23x·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B.12．(2018·某某二模)已知函数f (x )＝(x ＋2 012)(x ＋2 014)(x ＋2 016)(x ＋2 018)，x ∈R ，则函数f (x )的最小值是 －16 解析：令x ＋2 012＝t ，t ∈R ，则y ＝t (t ＋2)(t ＋4)(t ＋6)＝(t 2＋6t )(t 2＋6t ＋8)＝(t 2＋6t )2＋8(t 2＋6t )＝(t 2＋6t ＋4)2－16，当t 2＋6t ＋4＝0，即t ＝－3±5时，取得最小值－16.13．(2017·某某东营广饶一中模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x ＞1是R 上的减函数，则a 的取值X 围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 . 解析：由函数f (x )为单调递减函数可得g (x )＝(3a －1)x ＋4a 在(－∞，1]上单调递减，函数h (x )＝log a x 在(1，＋∞)上单调递减，且g (1)≥h (1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，7a －1≥0，∴17≤a ＜13. 14．已知函数f (x )＝则f (f (3))＝ －3 ，函数f (x )的最大值是1 . 解析：f (3)＝3＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－(－1)2－2＝－3. 当x ＞1时，f (x )＝x 为减函数，可得f (x )<0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，最大值为1. 15．(2017·模拟)已知函数f (x )＝xx 2＋1，关于f (x )的性质，有下列四个结论：①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12； ③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中正确结论的个数是 3 . 解析：对于①，∵函数f (x )＝xx 2＋1，∴f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，故①正确； 对于②，当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x，若x ＞0，则0＜f (x )≤12，若x ＜0，则－12≤f (x )＜0；当x ＝0时，f (x )＝0，故f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，故②正确； 对于③，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，故③正确； 对于④，f ′(x )＝1－x2x 2＋12，令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜1，令f ′(x )＜0，解得x ＞1或x ＜－1，∴f (x )在区间(0,2)上先增后减，故④错误． 综上可知，正确结论的个数是3.。
最新2019高考数学《导数及其应用》专题完整考试题(含答案)(K12教育文档)
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2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级:__________ 考号：__________一、选择题1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ )（A)-2 （B)0 （C ）2 （D)4（2006浙江文）二、填空题2． 已知a > 0，方程x 2-2ax —2a ln x =0有唯一解,则a = . 123． 曲线21()cos 3f x x x =-在0x =处的切线的斜率为 ▲ 。
4．若函数f （x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足(1) 2f '=，则(1)f '-= ．5．已知函数x x mx x f 2ln )(2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 6．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =____________。
(2013年高考广东卷（文））7．函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . 解析 考查利用导数判断函数的单调性。
2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+,由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
数学一轮复习第二章函数导数及其应用第三讲函数的单调性与最值学案含解析
第三讲函数的单调性与最值知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1〈x2时，都有__f（x1）〈f(x2）__，那么就说函数f(x）在区间D上是增函数当x1〈x2时,都有__f(x1）>f(x2）__，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是__上升的__自左向右看图象是__下降的__2。
单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是__增函数或减函数__,那么就说函数y＝f（x)在这一区间具有(严格的)单调性，__区间D__叫做函数y＝f（x)的单调区间．知识点二函数的最值1．复合函数的单调性函数y＝f（u)，u＝φ(x)，在函数y＝f[φ(x)］的定义域上，如果y＝f(u），u＝φ（x）的单调性相同，则y＝f[φ（x）］单调递增；如果y＝f(u），u＝φ（x)的单调性相反，则y＝f[φ(x）]单调递减．2．单调性定义的等价形式设任意x1，x2∈[a，b］，x1≠x2。
(1)若有(x1－x2)[f（x1)－f(x2）]〉0或错误!〉0，则f（x）在闭区间［a，b］上是增函数．（2）若有（x1－x2)[f（x1)－f(x2）]<0或错误!〈0，则f(x)在闭区间［a，b]上是减函数．3．函数单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x）均为区间A上的增（减)函数，则f(x)＋g（x)也是区间A上的增（减）函数．(2）若k〉0，则kf(x)与f（x)单调性相同,若k<0,则kf（x)与f(x)单调性相反．（3）函数y＝f（x）（f(x）>0)在公共定义域内与y＝－f（x)，y＝错误!的单调性相反．（4）函数y＝f(x)(f（x)≥0）在公共定义域内与y＝错误!的单调性相同．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）若定义在R上的函数f（x)，有f（－1）〈f(3)，则函数f(x）在R上为增函数．(×）(2)函数y＝f（x）在[1，＋∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3）函数y＝错误!的单调递减区间是(－∞，0）∪(0，＋∞)．(×)（4)对于任意两个函数值f(x1)、f（x2），当f（x1)〉f(x2)时都有x1〉x2，则y＝f(x）为增函数．(×）（5）已知函数y＝f（x)是增函数，则函数y＝f（－x)与y＝错误!都是减函数．(×)[解析]（1）函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上的任意两个自变量值x1，x2，均有f(x1)<f(x2)或f(x1)〉f（x2），而不是区间上的两个特殊值．（2)单调区间是定义域的子区间，如y＝x在[1,＋∞)上是增函数,但它的单调递增区间是R，而不是[1，＋∞)．(3)多个单调区间不能用“∪”符号连接，而应用“，”或“和”连接．（4)设f（x)＝错误!，如图．当f（x1)〉f（x2)时都有x1〉x2，但y＝f(x)不是增函数．（5）当f(x）＝x时，y＝错误!＝错误!，有两个减区间，但y＝错误!并不是减函数,而y＝f(－x）是由y＝f(t）与t＝－x复合而成是减函数．题组二走进教材2．(必修1P32T3改编）设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x）的图象如图所示，则函数y＝f(x）的增区间为__[－1,1]和［5，7]__.3．(必修1P44AT9改编）函数y＝（2m－1）x＋b在R上是减函数,则m的取值范围是__m〈12__。
19版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.7函数的图象习题课件理
16．已知f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)作出函数f(x)的图象； (2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性； (3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实 根}．
解
(1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，
∴f(x)＝
2 x －4x＋3，x≤1或x≥3， 2 － x ＋4x－3，1<x<3，
解析 由于f(x)＝xcosx， ∴f′(x)＝cosx－xsinx， 当x＝0时，f(0)＝0，f′(0)＝1，排除B、D； 当f′(x)>0时，f(x)是增函数，曲线是上升的，f′(x)<0 时，f(x)是减函数，曲线是下降的，判断出C是正确的，排 除A.故选C.
1 9．(2018· 郑州模拟)函数y＝ 的图象与函数y＝ 1 －x 2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( A．2 B．4 C．6 D．8 )
使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可． 当直线y＝kx－1与y＝ln (m，ln m)， 1 又y＝ln x的导数为y′＝x， 1 则km－1＝ln m，k＝m，解得m＝1，k＝1， 可得函数y＝ln 点．故选B. x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜 率为1，结合图象可知k∈(0,1)时两函数图象有两个交 x的图象相切时，设切点为
内部文件，请勿外传
1 象可得a∈0，2 .
14．(2017· 湖北百所重点学校联考)设函数f(x)对任意实 数x满足f(x)＝－f(x＋1)，且当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)， 若关于x的方程f(x)＝kx有3个不同的实数根，则k的取值范 (5－2 6，1)∪{－3＋2 2} 围是________________________________ ．
2019年高考数学(文)一轮复习第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用及答案
第二章⎪⎪⎪函、导及其应用第一节函及其表示1．函与映射的概念2．函的有关概念(1)函的定义域、值域：在函y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函值，函值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函：如果两个函的定义域和对应关系完全一致，则这两个函相等，这是判断两函相等的依据．(4)函的表示法表示函的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函若函在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函通常叫做分段函．1．下列函中，与函y ＝13x定义域相同的函为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx答案：D2．若函y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函y ＝f (x )的图象可能是()答案：B3．函f (x )＝x －4|x |－5的定义域是________________．答案：1．设函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.解析：若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1； 若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1. 答案：±12．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.解析：令t ＝1x ，∴x ＝1t .∴f (t )＝1t 2＋5t.∴f (x )＝5x ＋1x2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)考点一 函的定义域基础送分型考点——自主练透1．函f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪ B ．C ．，则函g (x )＝f x ＋x －1的定义域是( ) A ．B ．C ．(1,2 017]D ．解析：选B 令t ＝x ＋1，则由已知函的定义域为，可知1≤t ≤2 017.要使函f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 017，解得0≤x ≤2 016，故函f (x ＋1)的定义域为．所以使函g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 016，x －1≠0，解得0≤x <1或1＜x ≤2 016.故函g (x )的定义域为．4．函f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0，a x－1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2，故所求函的定义域为(0,2]． 答案：(0,2]函定义域的求解策略(1)已知函解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)抽象函：①若已知函f (x )的定义域为，其复合函f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函f (g (x ))的定义域为，则f (x )的定义域为g (x )在x∈时的值域．考点二 求函的解析式重点保分型考点——师生共研(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )；(4)已知函f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．解：(1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.(2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1，x >1.(3)(待定系法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(4)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x ，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得，3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.∴f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3.求函解析式的4种方法1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一：(换元法)设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1，x ≥1.法二：(配凑法)∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1， 即f (x )＝x 2－1，x ≥1.2．设y ＝f (x )是二次函，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c ＝0，解得c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.考点三 分段函题点多变型考点——多角探明高考对分段函的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有： (1)分段函的函求值问题； (2)分段函的自变量求值问题；(3)分段函与方程、不等式问题．角度一：分段函的函求值问题1．(2017·西安质检)已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．解析：由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.答案：109角度二：分段函的自变量求值问题2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12，x ∈[0，＋，|sin x |，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，若f (a )＝12，则a ＝________.解析：若a ≥0，由f (a )＝12得，a 12＝12，解得a ＝14；若a <0，则|sin a |＝12，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，解得a ＝－π6.综上可知，a ＝14或－π6. 答案：14或－π6角度三：分段函与方程、不等式问题3．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0， 解得－1<a <3.答案：(－1,3)1．分段函的求值问题的解题思路(1)求函值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．2．分段函与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起．1．(2017·唐山统考)已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤0，－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D 当a ≤0时，2a －2＝－2无解；当a >0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74.2．(2015·山东高考)设函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ． B ．(0,1]C ．D ．．∴原函的定义域为(0,1]．4．已知函y ＝f (x )的定义域是，则函g (x )＝f x x －1的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1B ． D ．解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤3x ≤3，x －1≠0可得0≤x <1，选B.5．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函，我们称为满足“倒负”变换的函，下列函：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函是①③. 6．函f (x )，g (x )分别由下表给出．则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________．解析：∵g (1)＝3，f (3)＝1， ∴f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 27．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：148．已知函y ＝f (x 2－1)的定义域为，则函y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为， ∴x ∈，x 2－1∈， ∴y ＝f (x )的定义域为． 答案：9．已知函f (x )＝2x ＋1与函y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函y ＝g (x )的解析式为________．解析：设点M (x ，y )为函y ＝g (x )图象上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1， ∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ， 即g (x )＝9－2x . 答案：g (x )＝9－2x10．如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函y ＝kx ＋b 的图象和反比例函y ＝mx的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函和一次函的解析式． (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函y ＝mx上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函y ＝m x ＝4x的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函y ＝kx ＋b 上的点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝4x，y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积为：S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实a ≠0，函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34 D.32或－34解析：选B 当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.2．已知函f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________.解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7.答案：73.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常)．如图是根据多次实验据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x100≤25.2， 得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节函的单调性与最值1．函的单调性 (1)单调函的定义如果函y ＝f (x )在区间D 上是增函或减函，那么就说函y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函y ＝f (x )的单调区间．2．函的最值1．下列函中，定义域是R 且为增函的是( )A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|答案：B2．y＝x2－6x＋5的单调减区间为________．解析：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，表示开口向上，对称轴为x ＝3的抛物线，其单调减区间为(－∞，3]．答案：(－∞，3]3．若函f(x)＝1x在区间上的最大值与最小值的和为34，则a＝________.解析：由f(x)＝1x的图象知，f(x)＝1x在(0，＋∞)上是减函，∵⊆(0，＋∞)，∴f(x)＝1x在上也是减函，∴f(x)m ax＝f(2)＝12，f(x)min＝f(a)＝1a，∴12＋1a＝34，∴a＝4.答案：41．易混淆两个概念：“函的单调区间”和“函在某区间上单调”，前者指函具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函f(x)在区间(－1,0)上是减函，在(0,1)上是减函，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函，如函f(x)＝1x .3．两函f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函，则f(x)＋g(x)也为增(减)函，但f(x)·g(x)，1f x等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．1．设定义在上的函y＝f(x)的图象如图所示，则函y＝f(x)的增区间为________．答案：，2．函f (x )＝2x －1在上的最大值与最小值之差为________．解析：易知f (x )在上是减函，∴f (x )m ax －f (x )min ＝f (－2)－f (0)＝－23－(－2)＝43.答案：43考点一 函单调性的判断基础送分型考点——自主练透1．下列四个函中，在(0，＋∞)上为增函的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函．2．试讨论函f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)：设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－x 2－，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函f (x )在(－1,1)上递增． 法二(导法)：f ′(x )＝axx －－ax x －x －2＝a x －－ax x －2＝－a x －2.当a >0时，f ′(x )<0，函f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函f (x )在(－1,1)上递增．3．判断函y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．解：法一：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1x 1＋x 2＋.∵x 1>－1，x 2>－1， ∴x 1＋1>0，x 2＋1>0， 又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∴x2－x1x 1＋x2＋>0，即y1－y2>0.∴y1>y2，∴函y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上单调递减．法二：y＝x＋2x＋1＝1＋1x＋1.∵y＝x＋1在(－1，＋∞)上是增函，∴y＝1x＋1在(－1，＋∞)上是减函，∴y＝1＋1x＋1在(－1，＋∞)上是减函．即函y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上单调递减．判断或证明函的单调性的2种重要方法及其步骤(1)定义法，其基本步骤：取值作差商变形确定符号与1的大小得出结论(2)导法，其基本步骤：求导函确定符号得出结论考点二求函的单调区间重点保分型考点——师生共研求下列函的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝log12(x2－3x＋2)．解：(1)由于y＝错误!即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2＋2，x ≥0，－x ＋2＋2，x ＜0.画出函图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和，单调递减区间为和确定函的单调区间的3种方法单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．1．函y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C ．高考对函单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有： (1)求函的值域或最值；(2)比较两个函值或两个自变量的大小； (3)解函不等式；(4)利用单调性求参的取值范围或值．角度一：求函的值域或最值 1．函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函f (x )＝1x为减函，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函f (x )的最大值为2. 答案：2角度二：比较两个函值或两个自变量的大小2．(2017·哈尔滨联考)已知函f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 因f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2>x 1>1时，(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，∴b >a >c .角度三：解函不等式3．已知函f (x )为R 上的减函，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由f (x )为R 上的减函且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.故选C.角度四：利用单调性求参的取值范围或值4．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实a 的取值范围为________．解析：要使函f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，解得2<a ≤3，即实a 的取值范围是(2,3]． 答案：(2,3]函单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函最值(五种常用方法)(2)比较大小比较函值的大小，应将自变量转到同一个单调区间内，然后利用函的单调性解决．(3)解不等式在求解与抽象函有关的不等式时，往往是利用函的单调性将“f”符号脱掉，使其转为具体的不等式求解．此时应特别注意函的定义域．(4)利用单调性求参视参为已知，依据函的图象或单调性定义，确定函的单调区间，与已知单调区间比较求参．①若函在区间上单调，则该函在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．已知函f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函，则a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．解析：选A 法一：由一次函的图象可知选A. 法二：设∀x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， ∵f (x )＝kx ＋b 在R 上是增函，∴(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，即k (x 1－x 2)2>0， ∵(x 1－x 2)2>0，∴k >0，故选A.3．(2017·北京东城期中)已知函y ＝1x －1，那么( )A ．函的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)B ．函的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．函的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)D ．函的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：选A 函y ＝1x －1可看作是由y ＝1x 向右平移1个单位长度得到的，∵y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y ＝1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函y ＝1x －1的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A.4．函y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y m ax ＝14.答案：145．函f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：由x 2－4>0得x <－2或x >2.又u ＝x 2－4在(－∞，－2)上为减函，在(2，＋∞)上为增函，y ＝log 12u 为减函，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函f (x )＝x 2－2x －3，则该函的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ． D ．∪上单调递减，在B.⎝⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]解析：选C 因为log 12a ＝－log 2 a ，且f (x )是偶函，所以f (log 2a )＋f (log12a )＝2f (log 2a )＝2f (|log 2a |)≤2f (1)，即f (|log 2a |)≤f (1)，又函在的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2是R 上的单调递减函，则实a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138C ．(0,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 解析：选B因为函为递减函，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，解得a ≤138，故选B.5．(2017·安徽皖江名校联考)定义在上的函f (x )满足(x 1－x 2)>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实a 的取值范围为( )A ．>0，x 1≠x 2，∴函在上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2<a 2－a .∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a <1或a >2，∴0≤a <1，故选C.6．函f (x )＝1x －1在区间上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b＝________.解析：易知f (x )在上为减函，∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6. 答案：67．已知函f (x )＝x 2－2ax －3在区间上具有单调性，则实a 的取值范围为________________．解析：函f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函在(－∞，a ]和上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪∪上的最大值为4，最小值为m ，且函g (x )＝(1－4m )x 在上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m <14矛盾；当0<a <1时，函f (x )在上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：149．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]． 10．已知函f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函．(2)由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫2－1x 1x 2.因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，所以2－1x 1x 2>0，所以h (x 1)<h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实a 的取值范围是(－∞，3]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如果函y ＝f (x )在区间I 上是增函，且函y ＝f xx在区间I上是减函，那么称函y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函”，区间I 叫做“缓增区间”．若函f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函”，则“缓增区间”I 为( )A ． C ．D ．解析：选D 因为函f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函y ＝f (x )在区间上单调递减，故“缓增区间”I 为．2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)证明：f (x )为单调递减函．(2)若f (3)＝－1，求f (x )在上的最小值． 解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函，所以f (x )在上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1， 所以f (9)＝－2.所以f (x )在上的最小值为－2.第三节函的奇偶性及周期性1．函的奇偶性(1)周期函对于函f (x )，如果存在一个非零常T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函f (x )为周期函，称T 为这个函的周期．(2)最小正周期如果在周期函f(x)的所有周期中存在一个最小的正，那么这个最小正就叫做f(x)的最小正周期．1．下列函中，既是偶函又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A．y＝x B．y＝cos xC．y＝e x D．y＝ln |x|答案：D2．已知函f(x)是定义在R上的奇函，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x ，则f(－1)＝________.答案：－23．若函f(x)是周期为5的奇函，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.答案：－11．判断函的奇偶性，易忽视判断函定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．3．分段函奇偶性判定时，误用函在定义域某一区间上不是奇偶函去否定函在整个定义域上的奇偶性．1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在上的偶函，那么a＋b的值是( )A ．－13B.13C.12D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在上的偶函，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．下列函中，为奇函的是( ) A ．y ＝3x＋13xB ．y ＝x ，x ∈{0,1}C ．y ＝x ·sin xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x <0，0，x ＝0，－1，x >0解析：选 D 由函奇偶性定义易知函y ＝3x＋13x 和y ＝x ·sin x都是偶函，排除A 和C ；函y ＝x ，x ∈{0,1}的定义域不关于坐标原点对称，既不是奇函又不是偶函，排除B ；由奇函的定义知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x <0，0，x ＝0，－1，x >0是奇函，故选D.考点一 函奇偶性的判断基础送分型考点——自主练透判断下列函的奇偶性：(1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3；(3)f (x )＝3x －3－x ； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )． ∴f (x )既是奇函又是偶函．(2)∵函f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函f (x )既不是奇函，也不是偶函． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函．(5)易知函的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函是偶函．判定函奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．(1)“性质法”中的结论是在两个函的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．考点二函的周期性重点保分型考点——师生共研设f(x)是定义在R上的奇函，且对任意实x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函．(2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.1．判断函周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a，(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．1．若f(x)是R上周期为5的奇函，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于( )A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：选A 由f(x)是R上周期为5的奇函，知f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.2．已知定义在R 上的函满足f (x ＋2)＝－1f x，x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为________．解析：∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝－1fx ＋＝f (x )，∴函y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1， ∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f＝－1，f (4)＝－1f＝－13. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017) ＝504＋f (504×4＋1)＝504⎝⎛⎭⎪⎫1＋3－1－13＋1＝1 345. 答案：1 345考点三 函性质的综合应用题点多变型考点——多角探明函的奇偶性、周期性以及单调性是函的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函相结合，并以结合奇偶性求函值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合； (3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．角度一：奇偶性的应用1．(2017·福建三明模拟)函y ＝f (x )是R 上的奇函，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x解析：选C x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .故选C.角度二：单调性与奇偶性结合2．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C 因为f (x )是定义在R 上的偶函，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)，可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.角度三：周期性与奇偶性结合3．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实a 的取值范围是( ) A ．(－1,4)B ．(－2,1)C ．(－1,2)D ．(－1,0)解析：选A 因为函f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函，所以f (5)＝f (－1)＝f (1)，即2a －3a ＋1<1， 简得(a －4)(a ＋1)<0，解得－1<a <4，故选A.角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．已知定义在R 上的奇函f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间上是增函，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函f (x )是以8为周期的周期函，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间上是增函，f (x )在R 上是奇函，所以f (x )在区间上是增函，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．函性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函单调性与奇偶性结合．注意函单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函值的自变量转到已知解析式的函定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．1．(2017·广州模拟)已知f(x)在R上是奇函，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )A．2 B．－2C．－98 D．98解析：选B 因为f(x＋4)＝f(x)，所以函f(x)的周期T＝4，又f(x)在R上是奇函，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.2．已知偶函f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间上是递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( ) A．f(0)<f(－6.5)<f(－1)B．f(－6.5)<f(0)<f(－1)C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)D．f(－1)<f(0)<f(－6.5)解析：选 A 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函f(x)的周期是2.∵函f(x)为偶函，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间上是单调递增的，∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．3．设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函，若在区间上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2 018)＝________.解析：设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .f (x )是定义在R 上周期为4的奇函，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 018)＝f (2)＝2×12－1＝0. 答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2017·石家庄质检)下列函中，既是偶函又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x | 解析：选B A 中函y ＝1x不是偶函且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函满足题意，故B 正确；C 中函不是偶函，故C 错误；D 中函不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.2．已知f (x )为定义在R 上的奇函，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C.54 D ．3解析：选A 因为f (x )为R 上的奇函，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．函f (x )＝x ＋1x＋1，f (a )＝3，则f (－a )的值为( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．2解析：选B 由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a＋1＝2.∴f (－a )＝2－f (a )＝－1，故选B.4．函f (x )在R 上为奇函，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________.解析：∵f (x )为奇函，x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －15．设函f (x )是定义在R 上周期为2的偶函，当x ∈时，f (x )＝x＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 解析：依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32. 答案：32二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·山西考前质检)下列函中，既是偶函又在区间(1,2)内单调递减的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝－cos x解析：选B 对于A ，偶函与单调递减均不满足；对于B ，符合题意；对于C ，不满足单调递减；对于D ，不满足单调递减，故选B.2．设f (x )是周期为2的奇函，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52等于( ) A ．－12B ．－14C.14D.12 解析：选A ∵f (x )是周期为2的奇函，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. 3．(2017·绵阳诊断)已知偶函f (x )在区间(a <b <0)上的值域为，则在区间上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－3解析：选B 法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B.法二：当x ∈时，－x ∈，由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4，∴－4≤f (x )≤3，即在区间上f (x )min ＝－4，f (x )m ax ＝3，故选B.5．设f (x )是定义在实集上的函，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：选C 由f (2－x )＝f (x )可知函f (x )的图象关于x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f (2)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)，故选C. 6．(2017·贵州适应性考试)已知f (x )是奇函，g (x )＝2＋f x f x .若g (2)＝3，则g (－2)＝________.解析：由题意可得g (2)＝2＋f f ＝3，则f (2)＝1，又f (x )是奇函，则f (－2)＝－1，所以g (－2)＝2＋f －f －＝2－1－1＝－1.答案：－17．定义在R 上的奇函y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________．解析：由奇函y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得函y＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴f (x )>0时，x >12或－12<x <0. 即满足f (x )>0的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <0或x >12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <0或x >12 8．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函和偶函，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ， 得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函和偶函，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x .联立方程组解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2， 于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54， 故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)9．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函，当x >0时，f (x )＝x1－3x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )<－x 8. 解：(1)因为f (x )是奇函，所以当x <0时， f (x )＝－f (－x )，－x >0，又因为当x >0时，f (x )＝x1－3x ， 所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－－x 1－3－x ＝x 1－3－x. (2)f (x )<－x 8，当x >0时，即x 1－3x <－x 8， 所以11－3x <－18，所以13x －1>18，所以3x －1<8， 解得x <2，所以x ∈(0,2)．当x <0时，即x 1－3－x <－x 8，所以11－3－x >－18， 所以3－x >32，所以x <－2，所以解集是(－∞，－2)∪(0,2)． 10．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函．(1)求实m 的值；(2)若函f (x )在区间上单调递增，求实a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实a 的取值范围是(1,3]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知y ＝f (x )是偶函，当x >0时，f (x )＝x ＋4x，且当x ∈时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值是________．解析：∵当x ∈时，n ≤f (x )≤m 恒成立，∴n ≤f (x )min 且m ≥f (x )m ax ，∴m －n 的最小值是f (x )m ax －f (x )min ，又由偶函的图象关于y 轴对称知，当x ∈时，函的最值与x ∈时的最值相同，又当x >0时，f (x )＝x ＋4x，在上递减，在上递增，且f (1)>f (3)， ∴f (x )m ax －f (x )min ＝f (1)－f (2)＝5－4＝1.答案：12．设函f (x )是定义在R 上的奇函，对任意实x有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函，求实a 的值．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝ －f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )， 所以y ＝f (x )是周期函，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函． 故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立．于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0. 第四节函的图象1．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函的定义域；②简函的解析式；③讨论函的性质(奇偶性、单调性、周期性)．(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)．(3)描点，连线．。
2019版高考数学一轮复习训练：基础与考点过关第二章函数与导数
解析：①③④⑤均符合函数的定义，②对于集合
A 中的元素 5，在集合 B 中找不到元素
与之对应．
2. ( 必修 1P26练习 4 改编 ) 下列各组函数中，表示同一函数的是 __________ ．( 填序号 )
2
① y ＝x＋1
和
x y＝
－1 ；②
y
＝
x0 和
y＝ 1；③ f(x)
＝ x2 和 g(x) ＝(x ＋ 1) 2；④ f(x)
第二章 函数与导数
第 1 课时 函数及其表示 ( 对应学生用书 ( 文 ) 、( 理 )9 ～ 11 页 )
① 本节是函数部分的起始部分，以考查函数 概念、三要素及表示法为主，同时考查学生
在实际问题中的建模能力 . ② 本节内容曾以多种题型出现在高考试题 中，要求相对较低，但很重要，特别是函数
的解析式仍会是 2019 年高考的重要题型．
数，通常记为 y＝ f(x) ， x∈ A．
(2) 函数的定义域、值域
在函数 y＝ f(x) ， x∈ A 中，所有的输入值 x 组成的集合 A 叫做函数 y＝ f(x) 的定义域；
若 A 是函数 y＝ f(x) 的定义域，则对于 A 中的每一个 x，都有一个输出值 y 与之对应．我们
将所有输出值 y 组成的集合称为函数的值域．
② A ＝{1 ， 2， 3， 4， 5} ， B＝ {0 ，2， 4， 6， 8} ，对于任意的 x∈A， x→2x ；
1 ③ x →－ x， x∈R；
2
④ x →y，其中 y＝ |x| ，x∈ R， y∈R；
⑤ x →y，其中 y 为不大于 x 的最大整数， x∈ R， y∈ Z.
答案：①③④⑤
1－ a
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第2讲函数的定义域值域
第二讲 函数的定义域、值域知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点一 函数的定义域 函数y ＝f(x)的定义域1．求定义域的步骤：(1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R. (2)分式函数中分母不等于0．(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (4)一次函数、二次函数的定义域均为R ． (5)函数f(x)＝x 0的定义域为{x|x≠0}． (6)指数函数的定义域为R ． (7)对数函数的定义域为(0，＋∞)． 知识点二 函数的值域 基本初等函数的值域：1．y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．2．y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac －b 24a ；当a<0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≤4ac －b 24a ． 3．y ＝kx (k≠0)的值域是{y|y≠0}．4．y ＝a x(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． 5．y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ．重要结论1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 3．函数f(x)与f(x ＋a)(a 为常数a≠0)的值域相同．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (2)函数y ＝xx －1定义域为x>1.( × ) (3)函数y ＝f(x)定义域为[－1，2]，则y ＝f(x)＋f(－x)定义域为[－1，1]．( √ ) (4)函数y ＝log 2(x 2＋x ＋a)的值域为R ，则a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.( √ ) (5)求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的值域时有以下四种解法．判断哪种解法是正确的．[解法一](不等式法)：y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，∴值域为[2，＋∞)．( × ) [解法二](判别式法)：设x 2＋2＝t(t≥2)，则y ＝t ＋1t ，即t 2－ty ＋1＝0，∵t∈R，∴Δ＝y 2－4≥0，∴y≥2或y ≤－2(舍去)．( × )[解法三](配方法)：令x 2＋2＝t(t≥2)，则y ＝t ＋1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＋2≥2.( × )[解法四](单调性法)：易证y ＝t ＋1t 在t≥2时是增函数，所以t ＝2时，y min ＝322，故y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，＋∞.( √ ) [解析] (4)y ＝log 2(x 2＋x ＋a)值域为R 应满足Δ≥0，即1－4a≥0，∴a≤14.题组二 走进教材2．(必修1P 17例1改编)函数f(x)＝2x－1＋1x －2的定义域为( C )A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析] 使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0x －2≠0，解得x≥0且x≠2，故选C ．3．(必修1P 32T5改编)函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32B ．f(0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f(0) D ．f(0)，f(3)4．(必修1P 39BT1改编)已知函数f(x)＝x ＋9x ，x∈[2，4]的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6，132．[解析] 当x ＝3时取得最小值6，当x ＝2取得最大值132，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6，132.题组三 走向高考5．(2020·北京，11，5分)函数f(x)＝1x ＋1＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．[解析] 要使函数f(x)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x>0，故x>0，因此函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．6．(2016·北京，5分)函数f(x)＝xx －1(x≥2)的最大值为2．[解析] 解法一：(分离常数法)f(x)＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，∴x≥2，∴x－1≥1，0<1x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1，2]，故当x ＝2时，函数f(x)＝xx －1取得最大值2.解法二：(反解法)令y ＝x x －1，∴xy－y ＝x ，∴x＝y y －1.∵x ≥2，∴y y －1≥2，∴y y －1－2＝2－yy －1≥0，解得1<y≤2，故函数f(x)的最大值为2.解法三：(导数法)∵f(x)＝x x －1，∴f′(x)＝x －1－x （x －1）2＝－1（x －1）2<0，∴函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故当x ＝2时，函数f(x)＝xx －1取得最大值2.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一 求函数的定义域——多维探究 角度1 求具体函数的定义域例1 (1)(2021·长春质检)函数y ＝ln （1－x ）x ＋1＋1x 的定义域是( D )A ．[－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(－1，0)∪(0，1]D ．(－1，0)∪(0，1)(2)(2021·宣城八校联考期末)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为( B )A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ．[－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3][解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，x ＋1>0，x≠0，解得－1<x<0或0<x<1.所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．(2)要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x<0或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]． 角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1，1) B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1，0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1[解析] 由函数f(x)的定义域为(－1，0)，则使函数f(2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x<－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. [引申1]若将本例中f(x)与f(2x ＋1)互换，结果如何？ [解析] f(2x ＋1)的定义域为(－1，0)，即－1<x<0， ∴－1<2x ＋1<1，∴f(x)的定义域为(－1，1)．[引申2]若将本例中f(x)改为f(2x －1)定义域改为[0，1]，求y ＝f(2x ＋1)的定义域，又该怎么办？ [解析] ∵y＝f(2x －1)定义域为[0，1]．∴－1≤2x－1≤1，要使y ＝f(2x ＋1)有意义应满足－1≤2x ＋1≤1，解得－1≤x≤0， 因此y ＝f(2x ＋1)定义域为[－1，0]． 名师点拨 MING SHI DIAN BO函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出； ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 〔变式训练1〕(1)(角度1)函数f(x)＝1ln （x ＋1）＋4－x 2的定义域为( B )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2](2)(角度1)(2021·安徽芜湖检测)如果函数f(x)＝ln(－2x ＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( D )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(3)(角度2)已知函数y ＝f(x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f(x)的定义域为[－1，2]． [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0，得－1<x≤2，且x≠0.故选B ．(2)因为－2x ＋a>0，所以x<a 2，所以a2＝1，得a ＝2.故选D ．(3)因为y ＝f(x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f(x)的定义域为[－1，2]．考点二,求函数的值域——师生共研例3 求下列函数的值域． (1)y ＝1－|x|1＋|x|；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ；(4)y ＝x －1－2x ； (5)y ＝x ＋1－x 2；(6)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.[解析] (1)解法一：分离常数法： y ＝1－|x|1＋|x|＝－1＋21＋|x|， ∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴0<2|x|＋1≤2.∴－1<－1＋21＋|x|≤1.即函数值域为(－1，1]．解法二：反解法：由y ＝1－|x|1＋|x|，得|x|＝1－y 1＋y.∵|x|≥0，∴1－y 1＋y ≥0，∴－1<y≤1，即函数值域(－1，1]．(2)解法一：配方法：y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋258，∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524.解法二：复合函数法： y ＝t ，t ＝－2x 2＋x ＋3， 由t ＝－2x 2＋x ＋3，解得t≤258，又∵y＝t 有意义，∴0≤t≤258，∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524.(3)y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1解法一：基本不等式法由y ＝x ＋1x ＋1(x≠0)，得y －1＝x ＋1x.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ≥2|x|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＝2，∴|y －1|≥2，即y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)解法二：判别式法由y ＝x 2＋x ＋1x ，得x 2＋(1－y)x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y －1)2≥4，∴y－1≤－2或y －1≥2.得y≤－1或y≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 解法三：导数法(单调性法)令y′＝1－1x 2＝（x ＋1）（x －1）x 2<0， 得－1<x<0或0<x<1.∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3； 函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y≤－1. ∴y ≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)解法一：换元法设1－2x ＝t(t≥0)，得x ＝1－t22，∴y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t≥0)，∴y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.即函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.解法二：单调性法∵1－2x≥0，∴x≤12，∴定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.又∵函数y ＝x ，y ＝－1－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上均单调递增，∴y≤12－1－2×12＝12，∴y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (5)三角换元法：设x ＝sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，∴y∈[－1，2]．(6)解法一：绝对值不等式法：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x＋1)－(x －2)|＝3， 所以函数值域为[3，＋∞)．解法二：数形结合法： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1（x<－1），3（－1≤x≤2），2x －1（x>2）.画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO求函数值域的一般方法(1)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a≠0)的函数；如例3(1)．(2)反解法：形如y ＝cf （x ）＋daf （x ）＋b (a≠0，f(x)值域易求)的函数；如例3(1)．(3)配方法：形如y ＝af 2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的函数；如例3(2)． (4)不等式法；如例3(3)．(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域．(6)换元法：形如y ＝ax ＋b±cx ＋d (c≠0)的函数；如例3(4)；形如y ＝ax ＋b±c 2－x 2(c≠0)的函数采用三角换元，如例3(5)．(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(6)． (8)导数法． 〔变式训练2〕 求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋41－x ；(3)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x>12.[解析] (1)解法一：y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以－1<－1＋21＋x 2≤1.即函数的值域为(－1，1]．解法二：由y ＝1－x 21＋x 2，得x 2＝1－y 1＋y . 因为x 2≥0，所以1－y 1＋y≥0.所以－1<y≤1，即函数的值域为(－1，1]． (2)设t ＝1－x ，t≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t≥0)， 所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]． (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x （2x －1）＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12， 因为x>12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12·12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2， 当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2＋12，＋∞. 导数法：y′＝4x 2－4x ＋1（2x －1）2，∴y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1＋22递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞递增，∴y ≥2＋12.名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 已知函数的定义域或值域求参数的取值范围例4 已知函数f(x)＝lg [(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．[分析] (1)由f(x)的定义域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)·x ＋1>0的解集为R ，即(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0恒成立；(2)由f(x)的值域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取所有正数，即y ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1图象的开口向上且与x 轴必有交点．[解析] (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<－1，a>53或a<－1. ∴a<－1或a>53.又a ＝－1时，f(x)＝1>0，满足题意．∴a ≤－1或a>53.(2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R ，故有a 2－1>0，Δ≥0，解得－1≤a≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴－1<a≤53.名师点拨 MING SHI DIAN BO已知函数的定义域，等于是知道了x 的范围，(1)当定义域不是R 时，往往转化为解集问题，进而转化为与之对应的方程解的问题，此时常利用代入法或待定系数法求解；(2)当定义域为R 时，往往转化为恒成立的问题，常常结合图形或利用最值求解．〔变式训练3〕(1)已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R ，则实数m 的取值范围为[0，1]．(2)(2021·甘肃天水三中阶段测试)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是( C )A ．(0，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [解析] (1)①当m ＝0时，y ＝8，其定义域为R. ②当m≠0时，由定义域为R 可知， mx 2－6mx ＋m ＋8≥0对一切实数x 均成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝（－6m ）2－4m （m ＋8）≤0， 解得0<m≤1，∴m 的取值范围是[0，1]．(2)由x 2－3x －4＝－254得x ＝32；由x 2－3x －4＝－4，得x ＝0或x ＝3，又函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，∴32≤m≤3. 另：由y ＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，∴32≤m ≤3.。
2019版高考数学(理)第一轮复习课件：函数、导数及其应用2-10a
9．直线 x－2y＋m＝0 与曲线 y＝ x相切，则切点的坐
(1,1) ． 标为________
1 1 －1 1 － 解析 ∵y＝ x＝x ，∴y′＝ x 2 ，令 y′＝ x 2 ＝ 2 2 1 2
1 ，则 x＝1，则 y＝ 1＝1，即切点坐标为(1,1)． 2
10． [2018· 江苏模拟]在平面直角坐标系 xOy 中， 若曲线 b y＝ax ＋ (a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处 x －3 ． 的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行， 则 a＋b 的值是________
x2＋a 3π 2． 曲线 f(x)＝ 在点(1， f(1))处的切线的倾斜角为 ， 4 x＋1 则实数 a＝( A．1 ) B ．－1 C．7 D ．－7
2xx＋1－x2＋a x2＋2x－a 解析 f′(x)＝ ＝ 2 2 ， x＋1 x＋1 3－ a 3π ∵f′(1)＝tan ＝－1，即 ＝－1，∴a＝7. 4 4
1 2 5 ． [2018· 金版创新 ] 已知 f(x) ＝－ x ＋ 2xf′(2017) ＋ 2 2017ln x，则 f′(1)＝( ) A．2016 B ．6045 C．2017 D．6048
解析
2017 因 为 f′(x) ＝ － x ＋ 2f′(2017) ＋ ，所以 x
2017 f′(2017)＝－2017＋2f′(2017)＋ ，即 f′(2017)＝2017 2017 －1＝2016. 2017 故 f′(x)＝－x＋2×2016＋ ， f′(1)＝－1＋2×2016 x ＋2017＝6048.故选 D.
2．[2018· 海南文昌中学模拟]曲线 y＝xex ＋2x－1 在点 (0，－1)处的切线方程为( A．y＝3 x－1 C．y＝3x＋1
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第八节函数与方程
[基础达标]
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.下列函数的零点不能用二分法求解的是()
A.f(x)=x3-1
B.f(x)=ln x+3
C.f(x)=x2+4x+6
D.f(x)=-x2+4x-1
1.C【解析】对于C,f(x)=(x+2)2+2≥0,不能用二分法.
2f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过
0.25,则f(x)可以是()
A.f(x)=e x-1
B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=4x-1
D.f(x)=ln
2.C【解析】由于g=2+1-2>0,g-2<0,且g(x)=4x+2x-2连续,所以g(x)=4x+2x-2的零点在上,而f(x)=e x-1的零点为0,f(x)=(x-1)2的零点为
1,f(x)=4x-1的零点为,f(x)=ln的零点为,故选项C正确.
3f(x)=-cos x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为() A.1 B.2 C.3 D.4
3.C【解析】函数f(x)=-cos x的零点个数为方程-cos x=0,即=cos
x的根的个数,即函数h(x)=与g(x)=cos x的图象的交点个数.如图所示可知,函数h(x)与g(x)在区间[0,2π]上的交点个数为3.
4.已知f(x)=x-ln x在区间(1,2)内有一个零点x0,若用二分法求x0的近似值(精确度
0.1),则需要将区间等分的次数为()
A.3
B.4
C.5
D.6
4.B【解析】设至少需要计算n次,由题意知<0.1,即2n>10,因为23=8,24=16,所以需将区间等分4次.
5.已知定义在R上的周期为2的偶函数f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x-2x2,则f(x)在区间[0,2018]上零点的个数为()
A.3019
B.2020
C.3024
D.3025
5.D【解析】本题考查函数的周期性、奇偶性和函数的零点.当x∈[0,1]时,f(x)=0
得x=0或x=.由函数f(x)为偶函数知,f(x)在区间[-1,0)上的零点为x=-,则函数f(x)
在区间(1,2]上的零点为x=和x=2,故函数f(x)在区间(0,2]上的零点数为3,因此函数f(x)在区间[0,2018]上的零点个数为n=3×+1=3025.
6x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈
(1,x0),x2∈(x0,+∞),则() A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0
D.f(x1)>0,f(x2)>0
6.B【解析】设g(x)=,由于函数g(x)==-在(1,+∞)上单调递增,函数
h(x)=2x在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有唯一的零点x0,且在(1,x0)内f(x1)<0,在(x0,+∞)上f(x2)>0.
7f(x)=若函数f(x)在R上有两个零点,
则a的取值范围是() A.(-∞,-1) B.(-∞,0) C.(-1,0) D.[-1,0)
7.D【解析】由函数可得函数的左半部分为指数函数的一部分,且随着a的变化而上下平移,右半部分为直线的一部分,且是固定的,如图所示,结合图象分析可得:当左半部分函数图象介于两虚线之间时符合题意,而y=e x+a(x≤0)的图象与y轴的交点纵坐标为a+1,所以0≤a+1<1,解得-1≤a<0.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.若a>3,则函数f(x)=x2-ax+1在区间(0,2)内恰有个零点.
8.1【解析】f(0)=1>0,f(2)=4-2a+1=5-2a,当a>3时,f(2)<0,所以恰好有1个零点.
9f(x)=则方程f(x)=的零点个数为.
9.3【解析】作出函数f(x)=的图象与直线y=的交点个数即为零点个数,从图中易知零点个数为3.
10f(x)=有3个零点,则实数a的取值范围是.
10.【解析】因为f(x)=有3个零点,所以a>0,
且y=ax2+2x+1在(-2,0)内有两个零点,即解得<a<1.
[高考冲关]
1.(5分f(x)=e x+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则() A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)
C.0<g(a)<f(b)
D.f(b)<g(a)<0
1.A【解析】因为f(x)=e x+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,所以f(x),g(x)在各自定义域内单调递增(如图所示),又f(1)=e-2>0,g(1)=0+2-5<0,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,所以a<1,b>1,故有g(a)<g(1)<0,f(b)>f(1)>0.
2.(5分f(x)=ax2-ln x,若f(x)存在两个零点,则实数a的取值范围是() A.B.(0,1) C.D.(-∞,-1]
2.A【解析】由题意可知,f'(x)=2ax-=0在(0,+∞)上有解,则a>0,解为
x=,则f(x)在内单调递减,在上单调递增;则函数f(x)=ax2-ln x存在两个零点可化为f<0,
即-ln<0,
解得实数a的取值范围是.
3.(5分)若方程x3-x+1=0在区间(a,b)(a,b是整数,且b-a=1)上有一根,则a+b=.
3.-3【解析】设f(x)=x3-x+1,则f(-2)=-5<0,f(-1)=1>0可得a=-2,b=-1,故a+b=-3.
4.(10分f(x)=
(1)若a=1,则f(x)的最小值为;
(2)若f(x)恰有两个零点,则实数a的取值范围是.
4.(1)-1;(2)∪[2,+∞)【解析】(1)当a=1时,f(x)=结合
图象易知f(x)min=f=4×=-1.(2)令函数
g(x)=2x-a(x<1),h(x)=4(x-a)(x-2a)(x≥1).①若函数g(x)与x轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时,g(1)=2-a>0,则0<a<2,此时函数h(x)与x轴有一个交点,所以2a≥1且
a<1,即≤a<1;②若函数g(x)与x轴无交点,则a≤0或即a≤0或
a≥2,则函数h(x)须与x轴有两个交点.当a≤0时,g(x)与x轴无交点,h(x)与x轴也无交点,不合题意;当a≥2时,h(x)与x轴有两个交点a和2a,由于a≥2,两交点横坐
标均满足a≥1;综上所述,a的取值范围是≤a<1或a≥2.。