2三角函数的图像及性质-中等难度-讲义

三角函数的图像及性质知识讲解一、三角函数的图像和性质1.正弦函数图像和性质1）图像：2）定义域：R 3）值域：[11]，- 4）单调性：[22]22x k k ππππ?++，（k Z Î）增函数3[22]22x k k ππππ?+，（k Z Î）减函数5）奇偶性：奇函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴2x k k Zππ=+?，；对称中心(0)k k Z πÎ，，． 2.余弦函数图像和性质1）图像xy -11-2π-π2ππo2）定义域：R 3）值域：[11]，- 4）单调性：[22]x k k πππ?+，（k Z Î）增函数 [22]x k k πππ?，（k Z Î）减函数5）奇偶性：偶函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴x k k Z π=?，；对称中心(0)2k k Zππ+?，，．3.正切函数图像和性质1）定义域：{|}2x x k k Z ππ??，2）值域：R3）单调性：在()22k k ππππ，-++（k Z Î）增函数．4）奇偶性：奇函数 5）最小正周期：π6）对称性：对称中心(0)2k k Z πÎ，，．二、三角函数的图像变换三角函数的几种变换：1）平移变换：函数sin()(0)y x ϕϕ=+?的图像可以看做将函数sin y x =的图像上的所有的点向左（当0ϕ>时）或向右（当0ϕ<时）平移ϕ个单位而得到．2）周期变换：函数sin()y x ωϕ=+（0ω>且1ω¹）的图像可以看做是把sin()y x ϕ=+的图像上所有的点的横坐标缩短为（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到．3）振幅变换：函数sin()y A x ωϕ=+（0A >且1A ¹）的图像可以看做是将sin()y x ωϕ=+的图像上所有的点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当1A <时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到．经典例题一．选择题（共15小题）1．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=3⋅cos2x+12+1，=3cos2x2+52，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为32+52=4，故选：B．2．（2018•湖北模拟）已知函数f（x）=cos（ωx−π3）（ω＞0）且f（2π3）=f（5π6），若f（x）在区间（2π3，5π6）上有最大值，无最小值，则ω的最大值为（）A．49B．289C．529D．1009【解答】解：函数f （x ）=cos （ωx −π3）（ω＞0）且f （2π3）=f （5π6），∴直线x=12×（2π3+5π6）=3π4为f （x ）=cos （ωx ﹣π3）（ω＞0）的一条对称轴，∴ω•3π4﹣π3=kπ，k ∈Z ，∴ω=43k +49，k ∈Z ，又ω＞0，且f （x ）在区间（2π3，5π6）上有最大值，无最小值，∴T ＞5π6﹣2π3=π6，即2πω＞π6， ∴ω＜12，∴当k=8时，ω=323+49=1009为最大值．故选：D ．3．（2018•潍坊一模）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为4π，其图象关于直线x =23π对称．给出下面四个结论： ①函数f （x ）在区间[0，43π]上先增后减；②将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称；③点(−π3，0)是函数f （x ）图象的一个对称中心； ④函数f （x ）在[π，2π]上的最大值为1． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④【解答】解：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为4π，可得2πω=4π．∴ω=12其图象关于直线x =23π对称． 即12×2π3+φ=π2+kπ， 可得：φ=kπ+π6，k ∈Z ． ∵|ω|＜π2．∴φ=π6．∴f （x ）的解析式为f （x ）=2sin （12x +π6）；对于①：令2kπ−π2≤12x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ． 可得：4kπ−4π3≤x ≤4kπ+2π3．∴[0，2π3]是单调递增，令2kπ+π2≤12x +π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ．可得：4kπ+2π3≤x ≤17π6+4kπ．∴[2π3，17π6]是单调递减，∴函数f （x ）在区间[0，43π]上先增后减；对于②：将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位后得到：y=2sin （12(x −π6)+π6）=2sin （12x ﹣π6）没有关于原点对称；对于③：令x=﹣π3，可得f （−π3）=2sin （−12×π3+π6）=0，∴点(−π3，0)是函数f （x ）图象的一个对称中心；对于④：由x ∈[π，2π]上，∴12x +π6∈[2π3，7π6]，所以当x=π时取得最大值为：√3∴正确的是：①③． 故选：C ．4．（2018•赣州一模）已知函数f （x ）=Atan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）=Acos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减C ．函数g （x ）的图象关于直线x=π8对称D ．函数h （x ）=cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象【解答】解：根据函数f （x ）=Atan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象知，最小正周期为T=2×（3π8﹣π8）=π2，∴ω=πT=2；又ω•π8+φ=π2+kπ，k ∈Z ，φ=π4+kπ，k ∈Z ； ∴φ=π4，∴f （0）=Atan π4=A=1，∴函数g （x ）=cos （2x +π4）；x=π4时，g （π4）=cos （π2+π4）=﹣√22≠0， g （x ）的图象不关于点（π4，0）对称，A 错误；x ∈[﹣π8，3π8]时，2x +π4∈[0，π]，g （x ）在[−π8，3π8]上单调递减，B 正确；x=π8时，g（π8）=cos（π4+π4）=0，g（x）的图象不关于直线x=π8对称，C错误；h（x）=cos2x的图象上所有点向左平移π4个单位，得h（x+π4）=cos2（x+π4）=cos（2x+π2）的图象，不是函数g（x）的图象，D错误．故选：B．5．（2018•西城区模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y=2sin(x−π6)的图象（）A．关于直线x=π6对称B．关于点(π6，0)对称C．关于直线x=−π6对称D．关于点(−π6，0)对称【解答】解：利用排除法和代入法求解，当x=π6时，y=2sin（π6−π6）=0，故选：B．6．（2018•达州模拟）函数f（x）=sin（x﹣π3），则f（x）的图象的对称轴方程为（）A．x=5π6+kπ，k∈Z B．x=5π6+2kπ，k∈ZC．x=﹣π6+2kπ，k∈Z D．x=π3+kπ，k∈Z【解答】解：函数f（x）=sin（x﹣π3），则f（x）的图象的对称轴方程：x﹣π3=π2+kπ，可得：x=5π6+kπ，k∈Z．故选：A．7．（2018•重庆模拟）设函数y=6cosx 与y=5tanx 的图象在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数y=sin2x 的图象于点B ，则线段AB 的长度为（ ） A ．√5B ．3√52C ．14√59D ．2√5【解答】解：作出对应的图象如图， 则线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx=5tanx ，即6cosx=5•sinxcosx，化为6sin 2x +5sinx ﹣6=0，解得sinx=23．则cosx=√1−(23)2=√53，则B 点的纵坐标y=sin2x=2sinxcosx=2×23×√53=4√59，A 点的纵坐标y=6cosx=6×√53=2√5，即线段AB 的长为2√5﹣4√59=14√59，故选：C ．8．（2018•厦门一模）函数y=sin （ωx +φ）与y=cos （ωx +φ）（其中φ＞0，|φ|＜π2）在x ∈[0，5√22]的图象恰有三个不同的交点P ，M ，N ，△PMN 为直角三角形，则φ的取值范围是（ ） A ．[﹣π4，π4]B ．（﹣π2，π4]C ．[﹣π4，π2）D ．[0，π4]【解答】解：图象恰有三个不同的交点P ，M ，N ，△PMN 为直角三角形，可知直角三角形△PMN 的高为√2，且是等腰直角三角形，可得斜边长为2√2，即周期T=2√2．∴2πω=2√2， 那么ω=√2．∵x ∈[0，5√22]上，∴ωx +φ∈[φ，5π2+φ]上，根据正余弦函数的图象性质，可得：−3π4＜φ≤π4，且9π4≤5π2+φ＜13π4．又∵，|φ|＜π2），∴−π4≤φ≤π4．故选：A ．9．（2018•二模拟）sin （2x +π3）﹣13=0在区间（0，π）内的所有零点之和为（ ）A ．π6B ．π3C ．7π6D ．4π3【解答】解：y=sin （2x +π3）的周期为：π，对称轴为：x=7π12sin （2x +π3）﹣13=0在区间（0，π）内的所有零点只有2个，关于x=7π12对称，sin （2x +π3）﹣13=0在区间（π2，π）内的所有零点之和为：7π6．故选：C ．10．（2018•济南一模）已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）+√3cos(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且f(π3−x)=f(x)，则（ ） A ．f （x ）在(0，π2)上单调递减 B ．f （x ）在(π6，2π3)上单调递增C ．f （x ）在(0，π2)上单调递增D ．f （x ）在(π6，2π3)上单调递减【解答】解：函数f （x ）=sin （ωx +φ）+√3cos(ωx +φ)=2sin （ωx +φ+π3）∵f （x ）的最小正周期为π，即2πω=π∴ω=2，则2sin （2x +φ+π3）又∵f(π3−x)=f(x)，可知对称轴x=π6，∴2sin （2×π6+φ+π3）=±2即2π3+φ=π2+kπ．k ∈Z ．∵−π2≤φ≤π2 可得：φ=−π6．则f （x ）=2sin （2x +π6）．求解单调递减区间：令π2+2kπ≤2x +π6≤3π2+2kπ 可得：kπ+π6≤x ≤kπ+2π3．故选：D ．11．（2018•南昌二模）如图，已知函数f （x ）=√3cos （ωx +φ）（ω＞0，﹣π2＜φ＜0）的部分图象与x 轴的一个交点为A （﹣π6，0），与y 轴的交点为B （0，32），那么函数f （x ）图象上的弧线AB 与两坐标所围成图形的面积为（ ）A ．√34 B ．√32C ．3√34D ．√3【解答】解：如图，根据函数f （x ）=√3cos （ωx +φ）（ω＞0，﹣π2＜φ＜0）的部分图象与y 轴的交点为B （0，32），可得 √3cosφ=32，∴cosφ=√32，∴φ=﹣π6．根据函数的图象x 轴的一个交点为A （﹣π6，0），结合五点法作图可得ω•（﹣π6）﹣π6=﹣π2，∴ω=2，∴函数f （x ）=√3cos （2x ﹣π6）． 弧线AB 与两坐标所围成图形的面积为∫0−π6√3cos （2x ﹣π6）dx=√32sin （2x ﹣π6）|−π60=﹣√44﹣（﹣√32）=√34， 故选：A ．12．（2018•韶关模拟）函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（其中A ＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，为了得到g(x)=cos(2x −π2)的图象，只需将f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个长度单位B ．向右平移π3个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向右平移π6个长度单位【解答】解：∵由函数图象可得：A 的值为1，周期T=4×（7π12﹣π3）=π，∴ω=2πT =2ππ=2，又函数的图象的第二个点是（π3，0），∴2×π3+φ=π，于是φ=π3，则f （x ）=sin （2x +π3）=sin [2（x +π6）]，∵g （x ）=cos （2x ﹣π2）=sin2x ，∴为了得到g （x ）=cos （2x ﹣π2）的图象，只需将f （x ）的图象向右平移π6个单位即可． 故选：D ．13．（2018•全国I 模拟）已知曲线E ：y=sin （2x +φ） （ω＞0，π＞φ＞0）的一条对称轴为x=5π12．曲线C 的方程为y=cosx ，以下哪个坐标变换可以将曲线C 变换成曲线E （ ） A ．将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π6个单位B ．向左平移π12个单位，再把所得曲线的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．将横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π12个单位D ．向左平移π3个单位，再把所得曲线的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变【解答】解：曲线E ：y=sin （2x +φ） （ω＞0，π＞φ＞0）的一条对称轴为x=5π12．则：2⋅5π12+φ=kπ+π2，解得：φ=kπ−π3，当k=1时，φ=2π3，所以：y=sin （2x +2π3），曲线C 的方程为y=cosx 将横坐标变为原来的12倍，得到y=cos2x ，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π12个单位得到：y=sin （2x +2π3）．故选：C ．14．（2018•攀枝花三模）已知函数f （x ）=4sin 2（ωx 2﹣π8）+2sin （ωx ﹣π4）﹣2（ω＞0）的图象关于点（3π4，0）对称，且f （x ）在区间（0，2π3）上单调，则ω的值为（ ）A ．2B ．103C ．23D ．38【解答】解：f （x ）=4sin 2（ωx 2﹣π8）+2sin （ωx ﹣π4）﹣2=2﹣2cos （ωx ﹣π4）+2sin（ωx ﹣π4）﹣2=2sin （ωx ﹣π4）﹣2cos （ωx ﹣π4）=2√2sin （ωx ﹣π4﹣π4）=2√2sin （ωx ﹣π2）=﹣2√2cosωx ，∵f （x ）的图象关于点（3π4，0）对称，∴3π4ω=π2+2kπ，得ω=23+83k ，k ∈Z ，∵f （x ）在区间（0，2π3）上单调，∴T 2≥2π3，即2π2ω≥2π3， 则0＜ω≤32，则当k=0时，ω=23，故选：C ．15．（2018•泰安一模）将函数f(x)=sin(2x +π3)的图象向右平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象，则下列说法不正确的是（ ） A ．g （x ）的周期为πB ．g(π6)=√32C ．x =π3是g(x)的一条对称轴D ．g （x ）为奇函数【解答】解：函数f(x)=sin(2x +π3)的图象向右平移π6个单位，得到函数g （x ）=sin （2x ﹣π3+π3）=sin2x 的图象，所以：对于A ：函数的最小正周期为T =2π2=π，对于B ：，对于D ：g （﹣x ）=﹣g （x ）故函数为奇函数．当x=π3时，g （π3）=√32不是对称轴．故选：C ．二．填空题（共10小题）16．（2018•梅河口市校级二模）若曲线y =√3sin2x +cos2x 关于直线x=t （t ＞π）对称，则t 的最小值为7π6．【解答】解：曲线y =√3sin2x +cos2x =2（√32sin2x +12cos2x ）=2sin （2x +π6），令2x +π6=kπ+π2，k ∈Z ，求得x=kπ2+π6，故函数的图象的对称轴为x=kπ2+π6，k ∈Z ．再根据函数的图象还关于直线x=t （t ＞π）对称，令k=2，可得t 的最小值为7π6，故答案为：7π6．17．（2018•常州一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y=sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x 轴的焦点A ，B ，C 满足OA +OC=2OB ，则φ=3π4【解答】解：设函数y=sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x 轴的焦点A （x 1，0），B （x 3，0），C （x 2，0）， 故：{x 1+x 2=−2x 3①x 2+x 3=2x 1②， ①﹣②得：﹣x 3=3x 1， 又：x 1+x 2=﹣2（2x 1﹣x 2）， 所以：x 2=5x 1， T=，则：ω=2πT =π4x 1，f （x ）=sin （π4x 1+φ），由于：f （x 1）=0，所以：sin(π4+φ)=0， 解得：φ=3π4．故答案为：3π418．（2018•鄂伦春自治旗二模）函数f(x)=1−3sin(2x +π6)的值域为 [﹣2，4] ．【解答】解：函数f(x)=1−3sin(2x +π6)， ∵﹣3≤3sin （2x +π6）≤3．∴﹣2≤f （x ）≤4． 故答案为[﹣2，4]．19．（2018•濮阳一模）先将函数f （x ）=sinx 的图象上的各点向左平移π6个单位，再将各点的横坐标变为原来的1ω倍（其中ω∈N *），得到函数g （x ）的图象，若g （x ）在区间[π6，π4]上单调递增，则ω的最大值为 9 ．【解答】解：函数f （x ）=sinx 的图象上的各点向左平移π6个单位，得y=sin （x +π6）的图象；再将函数图象各点的横坐标变为原来的1ω倍（其中ω∈N *），得y=sin （ωx +π6）的图象，∴函数g （x ）=sin （ωx +π6），若g （x ）在区间[π6，π4]上单调递增，则{π6ω+π6≥2kπ−π2π4ω+π6≤2kπ+π2， 解得12k ﹣4≤ω≤8k +43，k ∈Z ；由12k ﹣4≤8k +43，解得k ≤43；∴当k=1时，ω∈[8，283]，∴正整数ω的最大值为9． 故答案为：9．20．（2018•海淀区校级三模）函数f （x ）=[sin （x +π6）+sinx ][sin （x +π6）﹣sinx ]的最小正周期为 π ，最大值为 12 ．【解答】解：函数f （x ）=[sin （x +π6）+sinx ][sin （x +π6）﹣sinx ]=sin 2(x +π6)﹣sin 2x=1−cos(2x+π3)2﹣1−cos2x 2=﹣cos(2x+π3)2+cos2x 2=﹣12cos2x−√32sin2x 2+cos2x 2=14cos2x +√34sin2x=12（12cos2x +√32sin2x ） =12cos （2x ﹣π3） 故它的最小正周期为2π2=π，最大值为12，故答案为：π；12．21．（2018•三明模拟）已知函数f(x)=2sin 2x +2cos 2(x −π6)，x ∈R ，则函数y=f （x ）的一个对称中心为 （π12，2） ．【解答】解：函数f(x)=2sin 2x +2cos 2(x −π6)=2•1−cos2x 2+2•1+cos(2x−π3)2=2+cos （2x ﹣π3）﹣cos2x=2+12cos2x +√32sin2x ﹣cos2x=2+√32sin2x ﹣12cos2x=2+sin （2x ﹣π6），x ∈R ，令2x ﹣π6=kπ，求得 x=kπ2+π12，k ∈Z ，则函数y=f （x ）的对称中心为（kπ2+π12，2），k ∈Z ，故答案为：（π12，2）．22．（2018•淮北一模）已知函数f （x ）=sin （2x +φ） （其中φ是实数），若f （x ）≤|f （π12）|对x ∈R 恒成立，且f （π2）＞f （0），则f （x ）的单调递减区间是 [kπ−5π12，kπ+π12]，k ∈Z ． 【解答】解：由题意，f （x ）≤|f （π12）|对x ∈R 恒成立，可得x=π12时函数f （x ）的对称轴．即π6+φ=π2+kπ，可得φ=kπ+π3．k ∈Z 令k=1，可得φ=4π3，那么f （π2）=sin （π+4π3）=sin π3＞f （0）=sin （4π3），故得f （x ）的其中一个解析式为：f （x ）=sin （2x +4π3）．令π2+2kπ≤2x +4π3≤3π2+2kπ， 得：kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，∴f （x ）的单调递减区间是[kπ−5π12，kπ+π12]，k ∈Z ， 故答案为：[kπ−5π12，kπ+π12]，k ∈Z23．（2018•琼海模拟）已知函数f （x ）=sin ωx −√3cosωx （ω＞0），若ω=3，则方程f （x ）=﹣1在（0，π）的实数根个数是 3 【解答】解：函数f （x ）=sin ωx −√3cosωx （ω＞0）=2sin （ωx ﹣π3），ω=3时，f （x ）=2sin （3x ﹣π3）；令f （x ）=﹣1，得2sin （3x ﹣π3）=﹣1，∴sin （3x ﹣π3）=﹣12，解得3x ﹣π3=2kπ﹣π6或3x ﹣π3=2kπ+7π6，k ∈Z ；即x=2kπ3+π18或x=2kπ3+π2，k ∈Z ；当k=0时，x=π18，x=π2；当k=1时，x=13π18；∴方程f （x ）=﹣1在（0，π）的实数根有3个． 故答案为：3．24．（2018•海淀区校级三模）已知a=2∫1xdx ，函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则函数f （x +π4）+a 图象的对称中心可以是 （kπ2﹣5π12，1），k ∈π【解答】解：由图象值A=2，周期T=4×（π3﹣π12）=4×3π12=π，即2πω=π，则ω=2， 则f （x ）=2sin （2x +φ），∵f （π12）=2sin （2×π12+φ）=2，∴sin （π6+φ）=1，即π6+φ=2kπ+π2，则φ=2kπ+π3， ∵|φ|＜π2，∴当k=0时，φ=π3，则f （x ）=2sin （2x +π3），a=2∫10xdx=2×12x 2|01=1，则y=f （x +π4）+a=f （x +π4）+1=2sin [2（x +π4）+π3]+1=2sin （2x +5π6）+1，由2x +5π6=kπ得x=kπ2﹣5π12，k ∈Z ， 即函数的对称中心为（kπ2﹣5π12，1），k ∈Z ，故答案为：（kπ2﹣5π12，1），k ∈Z25．（2018•河南模拟）设函数y=f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1+x 2=2a 时，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点（a ，b ）为函数y=f （x ）图象的对称中心．研究函数f(x)=2x +3cos(π2x)−3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(12018)+f(22018)+⋯+f(40342018)+f(40352018)的值为﹣4035 ．【解答】解：函数f(x)=2x +3cos(π2x)−3，f （1）=2﹣3=﹣1， 当x 1+x 2=2时，f （x 1）+f （x 2）=2x 1+2x 2+3cos （π2x 1）+3cos （π2x 2）﹣6=2×2+0﹣6=﹣2，∴f （x ）的对称中心为（1，﹣1），∴f(12018)+f(22018)+⋯+f(40342018)+f(40352018)=f （12018）+f （40352018）+f （22018）+f （40342018）+…+f （20182018）=﹣2×（2017）﹣1 =﹣4035．故答案为：﹣4035．三．解答题（共9小题）26．（2018•普陀区二模）已知函数f （x ）=sinxcosx +sin 2x ，x ∈R ．（1）若函数f （x ）在区间[a ，π16]上递增，求实数a 的取值范围； （2）若函数f （x ）的图象关于点Q （x 1，y 1）对称，且x 1∈[﹣π4，π4]，求点Q的坐标．【解答】解：函数f （x ）=sinxcosx +sin 2x=12sin2x ﹣12cos2x +12=√22sin （2x ﹣π4）+12令−π2≤2x −π4≤π2，得−π8≤a ≤3π8上是单调递增；∵函数f （x ）在区间[a ，π16]上递增，∴−π8≤a ＜π16即实数a 的取值范围是[−π8，π16）；（2）函数f （x ）的图象关于点Q （x 1，y 1）对称，且x 1∈[﹣π4，π4]，则2x ﹣π4∈[−3π4，π4]Q 在函数图象上，且是一个零点．可得2x ﹣π4=0，即x=π8∴点Q 的坐标为（π8，12）．27．（2018•德州一模）已知函数f(x)=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[π3，1124π]，且锐角△ABC 的两边长分别是函数f （x ）的最大值和最小值，△ABC 的外接圆半径是34√2，求△ABC 的面积．【解答】解：（1）函数f(x)=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3． =sin2x ﹣√3cos2x ，=2sin （2x ﹣π3），令：−π2+2kπ≤2x −π3≤2kπ+π2（k ∈Z ），解得：−π12+kπ≤x ≤kπ+5π12（k ∈Z ），故函数的单调递增区间为：[−π12+kπ，kπ+5π12]（k ∈Z ）．（2）由于：π3≤x ≤11π24，故：π3≤2x −π3≤7π12，所以：√3≤f(x)≤2，锐角△ABC 的两边长分别是函数f （x ）的最大值和最小值，△ABC 的外接圆半径是34√2， 所以：令b=2，c=√3， 则利用正弦定理：解得：sinB=2√23，sinC=√63， 故：cosB=13，cosC=√33．则：sinA=sin （B +C ）=sinBcosC +cosBsinC=√63．所以：S △ABC =12bcsinA =√2．28．（2018•渭南二模）已知f （x ）=√3sin （x +π3）﹣cosx ．（Ⅰ）写出f （x ）的最小正周期，并求f （x ）的最小值；（Ⅰ）已知 a 、b 、c 分别为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，b=5√3，cosA=35且 f（B ）=1，求边a 的长．【解答】解：f （x ）=√3sin （x +π3）﹣cosx=√3sinxcos π3+√3cosxsin π3﹣cosx=√32sinx +12cosx =sin （x +π6）；（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=2πω=2π，当x+π6=﹣π2+2kπ，k∈Z，即x=﹣2π3+2kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值﹣1；（Ⅰ）△ABC中，b=5√3，cosA=35，∴sinA=√1−cos2A=4 5；又f（B）=1，∴sin（B+π6）=1，∴B+π6=π2，解得B=π3，∴asinA =b sinB，a 4 5=5√3sinπ3，解得a=8．29．（2018•浙江模拟）已知函数f（x）=sinx•（cosx+√3sinx)．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=t在区间[0，π2]内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f(x)=12sin2x+√32(1−cos2x)，=sin(2x−π3)+√32．所以f（x）的最小正周期为T=2π2=π．（Ⅰ）因为x∈[0，π2]，所以2x−π3∈[−π3，2π3]．因为y=sinZ在[−π3，π2]上是增函数，在[π2，2π3]上是减函数，所以f（x）在[0，π3]上是增函数，在[π3，π2]上是减函数．又因为f（0）=0，f(π3)=1+√32，f(π2)=√3，所以要使得关于x 的方程f （x ）=t 在区间[0，π2]内有两个不相等的实数解，只需满足√3≤t ＜1+√32．30．（2018•天津一模）已知函数f （x ）=3sinxcosx +√3cos 2x ． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅰ）把函数y=f （x ）的图象向下平移√32个单位长度，得到y=g （x ）的图象，求函数y=g （x ）在[﹣π4，π3]的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=3sinxcosx +√3cos 2x=32sin2x +√3•1+cos2x2=√3（√32sin2x +12cos2x ）+√32=√3sin （2x +π6）+√32，故函数f （x ）的最小正周期为2π2=π．（Ⅰ）把函数y=f （x ）的图象向下平移√32个单位长度，得到g （x ）=√3sin （2x +π6）的图象，x ∈[﹣π4，π3]，2x +π6∈[﹣π3，5π6]，故当2x +π4=﹣π3时，函数g （x ）取得最小值为 √3•（﹣√32）=﹣32；当2x +π4=π2时，函数g （x ）取得最大值为 √3，故函数y=g （x ）在[﹣π4，π3]的值域为[﹣32，√3]．31．（2018•海淀区一模）函数f （x ）=3sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，其中x 0是函数f （x ）的一个零点． （I ）写出ω，φ及x 0的值；（Ⅰ）求函数f （x ）在区间[−π2，0]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由图可知周期T=π，故ω=2，由图象过（0，32）∴32=3sinφ． ∴sinφ=12．∵−π2＜φ＜π2，∴φ=π6，故得f （x ）=3sin （2x +π6），令f （x ）=3sin （2x +π6）=0，即2x +π6=kπ，可得x 0=11π12．故得：ω=2，φ=π6，x 0=11π12． （Ⅰ）由（Ⅰ）可知，f(x)=3sin(2x +π6) 因为x ∈[−π2，0]， 所以2x +π6∈[−5π6，π6]，当2x +π6=−π2，即 x =−π3时，f （x ）的最小值为﹣3． 当2x +π6=π6，即 x=0时，f （x ）的最大值为32．32．（2018•合肥三模）已知函数f(x)=√3sinxcosx −12cos(2x −π3)．（Ⅰ）求函数f （x ）图象的对称轴方程；（Ⅰ）将函数f（x）图象向右平移π4个单位，所得图象对应的函数为g（x）．当x∈[0，π2]时，求函数g（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）f(x)=√3sinxcosx−12cos(2x−π3)=√34sin2x−14cos2x=12sin(2x−π6)．令2x−π6=π2+kπ，k∈Z，解得x=π3+kπ2．∴函数f（x）图象的对称轴方程为x=π3+kπ2，k∈Z；（Ⅰ）把f（x）=12sin(2x−π6)的图象向右平移π4个单位，可得g(x)=12sin(2x−2π3)．∵x∈[0，π2]，∴2x−2π3∈[−2π3，π3]，∴sin(2x−2π3)∈[−1，√32]，∴g(x)=12sin(2x−2π3)∈[−12，√34]，即当x∈[0，π2]时，函数g（x）的值域为[−12，√34]．33．（2018•宜宾模拟）如图，在△ABC中，tanA=7，∠ABC的平分线BD交AC 于点D，设∠CBD=θ，其中θ是直线2x﹣4y+5=0的倾斜角．（1）求C的大小；（2）若f（x）=sinCsinx﹣2cosCsin2x2，x∈[0，π2]，求f（x）的最小值及取得最小值时的x的值．【解答】解：（1）由题可知：∠CBD=θ，其中θ是直线2x﹣4y+5=0的倾斜角．可得tanθ=12，∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，可得tan∠ABC=tan2θ=2tanθ1+tanθ=4 3，由tanA=7，那么tanC=﹣tan（B+A）=﹣tanB+tanA1−tanAtanB=1，∵0＜C＜π．∴C=π4．（2）由（1）可知C=π4．可得f（x）=sinCsinx﹣2cosCsin2x2=√22sinx﹣√2sin2x2=√22sinx+√22cosx﹣√22=sin（x+π4）−√22，∵x∈[0，π2]，∴x+π4∈[π4，3π4]∴所以当x+π4=π4或3π4，即当x=0或x=π2时，f（x）取得最小值为sin（π4）−√22=0．34．（2018•江苏三模）如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤π2)在一个周期内的图象．已知点P（﹣6，0），Q（﹣2，﹣3）是图象上的最低点，R是图象上的最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）记∠RPO=α，∠QPO=β（α，β均为锐角），求tan（2α+β）的值．【解答】解：（1）根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|≤π2)在一个周期内的图象，以及点P （﹣6，0），Q （﹣2，﹣3）是图象上的最低点，R 是图象上的最高点，可得A=3，14⋅2πω=﹣2﹣（﹣6），∴ω=π8．再根据五点法作图可得π8×（﹣6）+φ=﹣π，∵φ=﹣π4，∴f （x ）=3sin （π8x ﹣π4）．（2）点R 的横坐标为﹣6+3T4=﹣6+3×4=6，求得R （6，3），根据∠RPO=α，∠QPO=β（α，β均为锐角），可得tanα=312=14，tanβ=34，∴tan2α=2tanα1−tan α=815，∴tan （2α+β）=tan2α+tanβ1−tan2α⋅tanβ=815+341−815×34=7736．。