26.4解直角三角形的应用
九年级上册 数学 课件 26.4 解直角三角形的应用1
问题的能力.
抢答：
（1）在Rt△ABC中，已知∠C=900, ∠A=300, AC=6,BC=__2__3____,AB=__4__3____
B
A
300
6
C
抢答：
（2）在Rt△ABC中，已知∠C=900, ∠A=450, AB=6,BC=__3__2____,AC=_3__2_____
H GEM
谢谢
不愤不启，不悱不发；举一隅不以三隅反，则不复也。——《论语·述而》（举一反三） 任何为失败找借口的人虽然他的心灵上得到了安慰，但是他将永远的拥有失败。 管你信不信，原本花心的人到最后最痴情，原本专一的人到最后最绝情。
一棵小草，也许永远不能成为参天大树，但它可能做最绿最坚强的小草；一滴水，也许永远不能像长江大河一样奔腾，但它可以成为所有水中 的最纯的那一滴 感谢上天我所拥有的，感谢上天我所没有的。 梯子的梯阶从来不是用来搁脚的，它只是让人们的脚放上一段时间，以便让别一只脚能够再往上登。 很多时候，感情往往能经得起风雨，却经不起平淡；友情往往能经得起平淡，却经不起风雨。 取得成就时坚持不懈，要比遭到失败时顽强不屈更重要。——拉罗什夫科 感激每一个新的挑战，因为它会锻造你的意志和品格。——佚名 有些事情，不谈是个结，谈开了是个疤。 获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。 没有人能替你承受痛苦，也没有人能抢走你的坚强。 连一个好朋友都没有的人，根本不值得活着。 你可以用自己不的方式赚到财富；也可以用不的药医好病；但你无法从自己不爱的人身上获得幸福。 白白的过一天，无所事事，就像犯了窃盗罪一样。 学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜日法拉兹 一份信心，一份努力，一份成功；十分信心，十分努力，十分成功。 创造机会的人是勇者。等待机会的人是愚者。 加紧学习，抓住中心，宁精勿杂，宁专勿多。 每一个人都拥有生命，但并非每个人都懂得生命，乃至于珍惜生命。不了解生命的人，生命对他来说，是一种惩罚。
26.4 解直角三角形的应用 - 第1课时仰角、俯角、方位角问题课件(共23张PPT)
例1 如图，小明在距旗杆4.5 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆底部B，俯角（∠BOC）为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
例题示范
知识点2 方向角方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
拓展提升
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
分析：如图，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角、方位角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念.2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
回顾复习
08-26.4 解直角三角形的应用-课时2 坡度、坡角问题九年级上册数学冀教版
A. B. C. D.
【解析】 在中， ， ， ，.在 中， ， ，， ，， 的长度约为 .
4.教材P119做一做变式 [2023邢台平乡五中期末]如图是大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若坡面的长度为 米，则斜坡 的长度为( )
C
A.米 B.米 C. 米 D.24米
【解析】 过点B作于点，过点C作于点 ，如图，则四边形是矩形， 背水坡的坡比， 米，（米），米.又 斜坡 的坡比， （米）， （米）.
解：由题意可知， ，在中， .答：应在地面上距点约远的 处开始斜坡的施工.
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为 ，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由.（参考数据：，， ）
能，理由如下：如图，过点作于点 ，
则 ，在中，
， ， 能保证货车顺利进入地下停车场.
第二十六章 解直角三角形
快速核答案过基础 教材必备知识精练
1.A 2.B 3.D 4.C 5. 6.（1）解：由题意可知， ，在中，.答：应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工.
（2）能，理由如下：如图，过点作于点， 则 ，在中，，， 能保证货车顺利进入地下停车场.
第2题图
2.新情境[2023深圳中考]爬坡时坡面与水平面夹角为 ，则每爬耗能 ，如图，若某人爬了，该坡角为 ，则他耗能（参考数据：， ）( )
B
A. B. C. D.
【解析】 由题意,得某人爬了，该坡角为 ，则他耗能 .
3.[2023十堰中考]如图，有一天桥高 为， 是通向天桥的斜坡， ，市政部门启动“陡改缓” 工程，决定将斜坡的底端延伸到 处，使 ，则 的长度约为（参考数据：， ） ( )
. ，， ，，解得， 点 的铅直高度为 米.
新冀教版26.4 解直角三角形的应用
A
B
E
F
例4. 如图所示，测量人员在山脚A处测得山顶B 的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进 1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°， 求山的高度BC。
问题：
1、已知的仰角和俯角分别包含于哪个 直角三角形中？
2、旗杆的高与上述直角三角形有什么联系？
3、请求出旗杆的高。
例2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，
渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏
东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
α
D
答：坡角为30 ，坝底宽AD为4 12 3 米.
如图，有一段水库拦水坝，坝高6m，坝 长50m。AD∥BC.沿水库拦水坝的背水 坡将坝顶加宽2m,坡度由原来的1:2改成
1:2.5. 求 (1)加宽部分横截面的面积?
(2)完成这一工程需要多少立方米的土？ 2.0 D C 1:2.5 1:2 6m
A
30°
60°
B
12
D
F
坡面 铅垂高度（h）
α 水平面
1.坡度（或坡比）：
坡度通常写成1： m 的形式. 2.坡角： 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α. 3.坡度与坡角的关系：
1、斜坡的坡度是 1 :
3
30 度。 ，则坡角α=______
1： 1 。 2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______
1: 3 。 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______
h
α
L
例3一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD，试根据下图中 的数据求出坡角α和坝底宽AD。（单位是米，结果保留 根号） B 4 C
【冀教版九年级数学上册教案】26.4解直角三角形的应用
26.4解直角三角形的应用教学目标【知识与能力】1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.2.经历用三角函数解决问题的过程,能够把实际问题转化为数学问题,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.3.能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明.4.通过在具体情境中,从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单的实际问题.【过程与方法】1.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,培养学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.2.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,提高解决问题的能力,体会数形结合思想的应用.3.培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生思维能力的灵活性.【情感态度价值观】1.通过学生经历根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和求知欲.2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力.3.调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生认真思考等学习习惯,形成事实求是的科学态度.教学重难点【教学重点】1.用三角函数有关知识解决仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等实际问题.2.能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系. 【教学难点】正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:1.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°.(1)三边a,b,c有什么关系?(2)两锐角∠A,∠B有怎样的关系?(3)边与角之间有怎样的关系?2.解直角三角形应具备怎样的条件?3.什么是仰角、俯角、方位角?【师生活动】学生回答问题,教师点评归纳.导入二:如图所示,小明在距旗杆4.5 m的点D处,仰视旗杆顶端A,仰角(∠AOC)为50°;俯视旗杆底部B,俯角(∠BOC)为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)【思考】(1)要求旗杆的高,实际是要求图中哪条线段的长度?图中有哪些已知条件?(2)在RtΔAOC中,如何求线段AC的长度?(3)在RtΔBOC中,如何求线段BC的长度?【师生活动】学生思考后独立完成,小组内交流答案,互相检查错误,教师在巡视中帮助有困难的学生,对学生的解答进行点评,然后导出新课.[设计意图]通过复习解直角三角形的有关知识,为学习本节课的内容做好铺垫,以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,以解决生活实际问题引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,使学生感受数学应用的意义.二、新知构建：【课件展示】(教材117页例1)如图所示,一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行.在A 处看见小岛C在船北偏东60°的方向上.40 min后,渔船行驶到B处,此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心,10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航行,有没有进入危险区的可能?思路一教师引导分析:(1)如何判断有没有进入危险区的可能?(点C到直线AB的距离与10海里比较大小)(2)要求点C到直线AB的距离,需要作什么辅助线?(过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D)(3)要求CD的长,CD在哪个直角三角形中?(RtΔBCD和RtΔACD中)(4)RtΔBCD和RtΔACD中,有什么已知条件?(RtΔBCD中,∠CBD=60°;RtΔACD中,∠CAD=30°)(5)解决几何计算问题时,常用什么数学思想方法?(方程思想)(6)设CD=x,则直角三角形中的边长能否用x表示?°°(7)题目中的等量关系是什么?你能列方程求解吗?(8)根据以上分析,你能写出解答过程吗?【师生活动】学生在教师提出的问题的引导下,思考回答,师生共同分析解题思路,学生独立完成解答过程,教师在巡视过程中及时辅导,鼓励学生从不同的角度思考问题,最后展示学生的解答过程,教师规范书写过程,强调方程思想在数学中的应用.【课件展示】解:如图所示,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则∠CBD=60°在RtΔBCD中,tan∠CBD=tan 60°=.x.若设CD=x,则BD=°在RtΔACD中,∠CAD=30°所以tan∠CAD=tan 30°=,x.即AD=°因为AD-BD=AB,AB=30×=20,所以x-x=20,解得x=10.因为10<10,所以这艘渔船继续向东航行,不会进入危险区.思路二【教师活动】教师引导学生要判断会不会进入危险区,需要作辅助线,构造直角三角形.【学生活动】根据题意画出图形,思考解题思路和方法.【教师活动】引导学生用方程思想解决几何中的求线段的长度问题.【学生活动】独立思考后,小组合作交流解题思路,完成解题过程,小组代表展示过程.【教师活动】教师在巡视过程中,帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评,并规范解题过程,强调解决实际问题的关键.【课件展示】同思路一.[设计意图]通过教师引导或自主学习方式解决有关方位角的实际问题,让学生进一步体会数形结合思想、建模思想和方程思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力,体会将实际问题转化为解直角三角形问题的一般思路和方法.认识有关概念【课件展示】如图所示,通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),坡面与水平面的夹角α叫做坡角.【思考】坡度i与坡角α之间具有什么关系?【师生活动】学生小组合作交流,归纳结论,教师点评.【课件展示】(教材118页例2)如图所示,铁路路基的横断面为四边形ABCD,其中,BC∥AD,∠A=∠D,根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角(结果精确到1').教师引导分析:(1)进行和坡度有关的计算,常作辅助线构造直角三角形,根据解直角三角形的知识求坡角.(2)根据坡度概念及梯形的高,可以求出AE,DF的长.(3)由矩形的性质可得EF与BC的数量关系,求出EF的长,从而求出底AD的长.(4)在RtΔABE中,由坡角和坡度之间的关系可求出坡角.【师生活动】教师引导学生分析,然后学生独立完成解答过程,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师进行点评.【课件展示】解:如图所示,作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F.在四边形BEFC中,∵BC∥AD,∠AEB=∠DFC=90°∴四边形BEFC为矩形.∴BC=EF,BE=CF.在RtΔABE和RtΔDCF中,∵∠A=∠D,∠AEB=∠DFC,BE=CF,∴RtΔABE≌RtΔDCF.∴AE=DF.在RtΔABE中,tan α=,BE=4,∴α≈38°39',AE=5.∴AD=AE+EF+FD=BC+2AE=10+2×5=20.即路基下底的宽为20 m,坡角约为38°39'.追问:你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗?【师生活动】学生思考后小组合作交流,共同归纳解题过程,教师对学生的回答给予鼓励,师生共同归纳解题思路和方法.归纳:(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案.[设计意图]学生在教师的引导下,通过独立思考和小组合作交流,利用解直角三角形的知识解决有关坡度问题,进一步让学生体会将实际问题转化为数学问题的建模过程.坡度问题计算过程很繁琐,通过严格要求学生,选择最简练、准确的方法计算,培养学生运算能力,提高学生的数学思维及解题能力.做一做【课件展示】如图所示,某水库大坝的横断面是四边形ABCD,DC∥AB,坝顶宽CD=3 m,斜坡AD=16 m,坝高为8 m,斜坡BC的坡度为.求斜坡AD的坡角α和坝底的宽AB(结果精确到0.01 m).【师生活动】学生独立完成后,小组内交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评,同时规范学生的书写过程.[设计意图]通过做一做,使学生进一步体会运用解直角三角形知识解决坡度问题的过程,培养学生建模思想及将实际问题转化为数学问题的能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.[知识拓展]1.解决实际问题时,可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形求解.2.坡度也叫坡比,即i=,一般写成1∶m的形式(比的前项是1,后项可以是整数,也可以是小数或根式).3.坡度i与坡角α之间的关系为i=tan α.4.坡角越大,坡度越大,坡面越陡.三、课堂小结：解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程:(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案.。
冀教版数学九年级上册26.4《解直角三角形的应用》教学设计
冀教版数学九年级上册26.4《解直角三角形的应用》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册26.4《解直角三角形的应用》是本册教材中的重要内容，主要让学生了解解直角三角形在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课的内容包括了解直角三角形的性质，学会使用解直角三角形的方法，以及将解直角三角形应用于实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，对直角三角形有一定的了解。
但在实际应用中，学生可能对如何将数学知识与实际问题相结合还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要注重培养学生的实际问题解决能力，引导学生将数学知识运用到实际生活中。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握解直角三角形的性质和方法，能运用解直角三角形解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的性质和方法。
2.难点：如何将解直角三角形应用于实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生了解直角三角形在实际中的应用。
2.小组合作法：让学生在小组内讨论交流，共同解决实际问题。
3.引导发现法：教师引导学生发现解直角三角形的性质和方法，培养学生独立思考的能力。
六. 教学准备1.教具：直角三角形模型、多媒体设备。
2.学具：学生用书、练习册。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量旗杆高度、房间的面积等，引导学生思考如何运用数学知识解决这些问题。
从而引出本节课的主题——解直角三角形的应用。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，让学生了解直角三角形的性质，讲解解直角三角形的方法，如勾股定理、锐角三角函数等。
同时，展示一些实际问题，让学生尝试运用所学的知识解决。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试解决教师给出的实际问题。
冀教版数学九年级上册《26.4 解直角三角形的应用》教学设计
冀教版数学九年级上册《26.4 解直角三角形的应用》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册《26.4 解直角三角形的应用》这一节主要让学生掌握解直角三角形的应用方法，进一步了解直角三角形在实际生活中的运用。
通过本节课的学习，学生能够解决一些与直角三角形相关的生活问题，提高他们的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直角三角形的性质和解直角三角形的方法。
但他们在解决实际问题时，可能还不能灵活运用所学知识。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，引导学生将理论知识与实际问题相结合。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的应用方法，能够解决一些与直角三角形相关的生活问题。
2.过程与方法目标：通过实例分析，培养学生运用解直角三角形的方法解决实际问题的能力。
3.情感、态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的应用方法。
2.难点：如何将实际问题转化为直角三角形问题，并运用解直角三角形的方法解决。
五. 教学方法采用启发式教学法、实例教学法和小组合作学习法。
通过启发式教学法，引导学生主动思考、探究问题；实例教学法使学生直观地了解解直角三角形的应用方法；小组合作学习法培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活案例，如测量身高、测量距离等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备直角三角板、尺子、量角器等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活案例引入本节课的主题，如：“某同学想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，你能帮他想一个办法吗？”让学生思考如何解决这个问题。
2.呈现（10分钟）教师展示一些与直角三角形相关的实际问题，如测量身高、测量距离等，并提出解决这些问题需要运用解直角三角形的方法。
同时，教师简要讲解解直角三角形的应用方法，让学生初步了解如何解决这些问题。
冀教版数学九年级上册《26.4 解直角三角形的应用》教学设计1
冀教版数学九年级上册《26.4 解直角三角形的应用》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级上册《26.4 解直角三角形的应用》是本节课的教学内容。
这部分内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质和解直角三角形的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是让学生学会如何运用解直角三角形的知识解决实际问题，培养学生的实际应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直角三角形的性质和解直角三角形的方法。
但是对于如何将解直角三角形的知识应用到实际问题中，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的实际应用能力。
三. 教学目标1.让学生掌握解直角三角形的应用方法。
2.培养学生将理论知识与实际问题相结合的能力。
3.提高学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生学会如何运用解直角三角形的知识解决实际问题。
2.难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解直角三角形的性质和解直角三角形的方法，为学生提供理论知识。
2.案例分析法：教师通过分析实际问题，引导学生运用解直角三角形的知识解决问题。
3.小组讨论法：学生分组讨论，共同探讨如何将解直角三角形的知识应用到实际问题中。
4.实践操作法：学生通过动手操作，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教师准备直角三角形的性质和解直角三角形的方法的相关资料。
2.教师准备一些实际问题，用于引导学生运用解直角三角形的知识解决问题。
3.学生准备笔记本和文具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过讲解直角三角形的性质和解直角三角形的方法，引导学生回顾所学知识。
2.呈现（15分钟）教师呈现一些实际问题，让学生尝试运用解直角三角形的知识解决问题。
教师引导学生进行分析，找出问题的关键点。
3.操练（20分钟）教师学生进行小组讨论，共同探讨如何将解直角三角形的知识应用到实际问题中。
26.4解直角三角形的应用.4解直角三角形的应用
AD AE EF FD =69+6+57.5=132.5m.
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
AB AE2 BE2 692 232 72.7m.
(2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4， 由计算器可算得 22.
答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡 CD的坡角α约为22°.
解：在Rt△ABO中， ∵tan∠BOA= =tan60°= ∴AB=BO• tan60°=4 × =4 （米）
答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到 地面的距离AB是4 米.
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化 为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直 角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
பைடு நூலகம்
A
α
23
EF
D
解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、
F,由题意可知 BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中
i
BE AE
1 3
.
AE 3BE 323 69m.
在Rt△DCF中，同理可得
i
CF FD
.1
2.5
FD 2.5CF 2.523 57.5m.
二 利用坡度、坡角解决实际问题
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的 坡度i=1∶3 ，斜坡CD的坡度i=1∶2.5 ， 则斜坡CD的坡面角α ， 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？
最新冀教版初中数学九年级上册精品课件26.4 解直角三角形的应用
解：过A点作AE⊥CD于E． ∵在Rt△ABE中，∠ABE=60°， ∴AE=AB•sin60° =24× =12 ≈20.76米，
BE=AB•cos60°=24× =12米，
∵在Rt△ADE中，∠ADE=50°，
∴DE=
≈17.3米，
∴DB=DE﹣BE≈5.3米．
答：此时应将坝底向外拓宽大约5.3米．
小结：
问题1：本节课你有什么疑问？ 问题2：本节课你有哪些收获？ 问题3：本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直 角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助 线构建直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）； 当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意， 把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以 在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种 工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
B
100cm
α
C
A
2、 学校操场上有一根旗杆，上面有一根升旗
A
用的绳子（绳子足够长），小明同学拿了一把
卷尺(测量长度)，并且向数学老师借了一把含
30°的三角板（测量角度）去度量旗杆的高度。
（1）若小明同学将旗杆上绳子拉成仰角 为600，如图用卷尺量得BC=4米，则旗杆 AB的高多少？
C
600
B
3、如图，海岛A四周18海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东 向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行20海里到C，见岛 A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
解：设BD=xm, 在Rt△BCD中，
∵ ∠BCD=45°，∴CD= BD=x,
07-26.4 解直角三角形的应用-课时1 仰角、俯角与方位角问题九年级上册数学冀教版
6.[2023郴州中考]如图，某次军事演习中，一艘船以 的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东 方向，后到达 处，测得小岛在它的北偏西 方向，求该船在航行过程中与小岛 的最近距离.（参考数据：，．结果精确到 ）
解：由题意,得 ， ， .如图，过点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于点 ，当船航行至点处时，与小岛 的距离最近，此时
第4题图
【解析】 如图，设出发小时后甲船在乙船的正东方向,此时甲船行驶到 点，乙船行驶到点，此时海里，海里.连接 , 交于点.在中， ，（海里）.在 中， ， 海里，，解得 .
5.新情境[2024唐山期中]为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图， 为桌面，嘉琪同学眼睛看作业本 的俯角为 ，身体离书桌距离 ，眼睛到桌面的距离 ．
①③④
害．其中正确的是________．（填写序号,参考数值：, ）
【解析】 过点作，垂足为，则， 米，在中， ， （米），（米）， （米），故②不正确；在中， （米）， （米），故①正确；（米），， 若直接从点 处砍伐，树干倒向教学楼 方向，会对教学楼有影响，故③正确；（米），， 若第一次在距点 米处的树干上砍伐，不会对教学楼 造成危害，故④正确.
B
第1题图
A. 海里 B. 海里 C.50 海里 D.25 海里
【解析】 如图，根据题意，得 ， ， ， ， 为等腰直角三角形. （海里）， （海里）．
【归纳总结】 解答这类问题的关键是分清方位角，将已知的条件进行整合，利用三角函数的相关知识将已知和未知联系起来.
第2题图
2.[2023泰安中考]在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前 处，测得该塔顶端的仰角为 ，后退到 处有一平台，在高的平台上的处，测得 的
最新冀教版初中数学九年级上册精品教案26.4 解直角三角形的应用
26.4 解直角三角形的应用一、教学目标：1.理解仰角、俯角的意义，准确运用这些概念来解决一些实际问题。
2.能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，学会把实际问题转化为解直角三角形问题，渗透数学建模及方程思想和方法，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.在探究学习过程中，注重培养学生的自主探索、合作交流意识，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：由题意准确画示意图，将相关实际问题转化为解直角三角形的问题。
三、教学难点：将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间关系进行解题的思想方法。
四、教学过程设计：导语：前面我们一起探讨了很多与直角三角形相关的问题，直角三角形是数形结合的完美图形，在解决生活中实际问题时，直角三角形显示了它不可替代的作用，这节课我们就共同探讨解直角三角形的应用。
师生活动：学生回忆旧知，逐一回答。
设计说明：温故而知新，学生复习直角三角形的边角关系，为接下来的学习做好充分准备。
师：接下来我们看两个基本概念。
（2）基本概念仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做?(仰角)从上往下看，视线与水平线的夹角叫做?(俯角)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所组成的小于90度的角。
如图，OA表示?(北偏东30°方向)；OB表示?(南偏西45°或西南方向)。
师生活动：老师通过提问的方式，让学生理解掌握仰角与俯角、方向角的概念。
设计意图：通过提问的方式，结合图形，让学生直观清楚地掌握较简单的专业术语或概念。
2、课内探究：利用直角三角形可以解决很多实际问题，比如，在航海航空、建桥修路、测量高度、图案设计等各个领域都会用到．方法是把具体问题抽象成几何模型，利用几何图形的性质解题．下面我们从简单的问题入手共同探究。
问题情境1：观察图中小球一段运动的过程，思考下列问题:问题:小球沿与水平方向成300角的斜坡向上运动，运动到100cm的B处时停止，请问：（1）∠ABC=____，（2）BC=______，（3）AC =_____.师：这个问题我们可以放在什么样的图形中去解决？生：直角三角形。
冀教版九年级上数学优秀教学案例：26.4.4解直角三角形的一般应用
2.教师通过展示不同形状的直角三角形实物，如三角板、墙角等，让学生观察、触摸，增强对直角三角形直观认识。
3.设计具有生活气息的例题，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。
（二）过程与方法
1.通过生活实例引入直角三角形的应用，激发学生兴趣，引导学生主动探究。
2.利用小组合作、讨论交流的方式，培养学生主动参与、积极思考的习惯。
3.教师引导学生运用勾股定理和三角函数解决实际问题，培养学生解决问题的能力。
4.设计具有挑战性的练习题，让学生在实践中巩固所学知识，提高解题能力。
4.反思与评价的环节：教师在课堂的最后环节引导学生进行反思和评价。学生通过思考自己在解决问题过程中的表现，能够更好地了解自己的学习状况，找到改进的方向。同时，教师的及时反馈和鼓励也能够增强学生的自信心，促进他们的持续发展。
5.多样化的教学内容与过程：教师在教学过程中不仅注重知识的讲解，还注重学生的实践和应用。通过例题的演示、实际问题的解决、作业的布置等环节，学生能够全面地掌握解直角三角形的一般应用。这种多样化的教学方式能够满足不同学生的学习需求，提高他们的数学应用能力。
（四）总结归纳
1.教师引导学生对所学知识进行总结，让学生反思自己的学习过程，提高归纳整理能力。
2.教师设计反思性问题，如：“在解决实际问题的过程中，你认为哪些因素影响了你的解题速度和准确性？”引导学生深入思考。
3.教师组织学生进行自我评价、同伴评价，让学生了解自己的学习状况，找到改进方向。
4.教师对学生的表现给予及时的反馈，鼓励优点，提出改进建议，促进学生的持续发展。
2.教师设计反思性问题，如：“在解决实际问题的过程中，你认为哪些因素影响了你的解题速度和准确性？”引导学生深入思考。
冀教版数学九年级上26.4《解直角三角形的应用》ppt课件优秀课件PPT
16.(8 分)小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图 所示的平面图形，已知吊车吊臂的支点 O 距离地面的高度 OO′＝2 米， 当吊臂顶端由 A 点抬升至 A′点(吊臂长度不变)时，地面 B 处的重物(大 小忽略不计)被吊到 B′处，紧绷着的吊绳 A′B′＝AB.AB 垂直地面 O′B 于 点 B，A′B′垂直地面 O′B 于点 C，吊臂长度 OA′＝OA＝10 米，且 cos A
3 ∴AC＝6 6－6 2≈6.2(海里)
【综合运用】 18．(8 分)如图，在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1 千米的码头 MN，在码头西端 M 的正西方向 30 千米处有一观察站 O.某时刻测得一 艘匀速直线航行的轮船位于 O 的北 偏西 30°方向，且与 O 相距 20 3 千米的 A 处，经过 40 分钟，又 测得该轮船位于 O 的正北方向，且与 O 相距 20 千米的 B 处． (1)求该轮船航行的速度； (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头
(2)A′E＝ A′O2－OE2＝5 3， ∴B′C＝A′C－AB＝A′E＋CE－AB＝ A′E＋CE－(AD＋BD)＝5 3－6(米)
17．(8 分)(2013·烟台)如图，一艘海上巡 逻船在 A 地巡航，这时接到 B 地海上指挥中心紧急通知：在指挥
中心北偏西 60°方向的 C 地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援，此 时 C 地位于 A 地北偏西 30°方向上，A 地位于 B 地北偏西 75°方向上， A，B 两地之间的距离为 12 海里．求 A，C 两地之间的距离．(参考数
杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为( B )
A．(6＋ 3)米 B．12 米 C．(4＋ 3)米 D．10 米
12．(6 分)某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看做直线 l(如图)．救生
冀教版数学九年级上26.4《解直角三角形的应用》ppt课件
60°方向航行23小时到达 B 处，那么 tan ∠ABP＝( A )
A.12
B．2
C.
5 5
D.2 5 5
6．(4 分)如图，C 岛在 A 岛的北偏东 60°方向，在 B 岛的北偏西
45°方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB＝_1_0_5_°____．
7．(3 分)(2013·聊城)河堤横断面如图所示，堤高 BC＝6 米，迎水
说明理由．(参考数据：12s.由in 题55°意≈得0.∠82B，CcDos＝555°5≈°，0.∠57B，DtCan＝559°0≈°，1.B43D)＝ CD·tan ∠BCD＝40×tan 55°≈57.2(米)，BC＝ cos ∠CDBCD＝cos4055°≈70.2(米)，∴t 甲＝572.2＋10
AB
的高度．(结果精确到
0.1
米，
3≈1.732)
3.由题意可知，四边形 BCED 是平行四边形所以 CE＝BD ＝6 米，CB＝ED＝1.5 米，在 Rt△ACE 中，tan ∠AEC＝
AECC，即 tan 60°＝A6C，∴AC＝ 3×6≈1.732×6≈10.4(米)， ∴AB＝AC＋CB＝10.4＋1.5＝11.9(米)
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地的俯角为 30°，则 B，C 两地之间的距离为( )
A．100 3 m C．50 3 m
26.4 解直角三角形的应用
1.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12 m，斜面
坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( B )
A. 4 3m
B. 6 5m
C.12 5m
D.24 m
2.如图，某铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC,已
知路基高AE为5米，左侧坡面AB长10米，则左侧坡面AB的
坡度为( C )
∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝
的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D
，请你计算AD的长(精确到0.1 m)．
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
过点D作DF⊥BC于点F，
AE
在Rt△ABE中，sin ABE ,
AB
∴AE=ABsin∠ABE=6sin74°≈5.77.
∴ BF 4 6.93，
tan 30
DE＝CF＝4 m，
∴ AB＝AE＋EF＋BF
CD＝EF＝12 m．
≈4＋12＋6.93≈22.93 m．
在Rt△ADE中，
答： 路基下底的宽约为
22.93米.
DE
4
tan 45 ，
∵i
AE
AE
ℎ
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比 叫做坡面的坡
2024年秋季数学 冀教版Fra bibliotek九年级上册
1..加强对坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，了解坡度与
坡面陡峭程度间的关系.
2.能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.
3.能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的
能力.
重点
坡度、坡角、坡面的概念，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系.
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26.4《解直角三角形的应用》教学反思
刘荣格
2014年11月7日
本节课，内容是应用解直角三角形的知识解决实际问题。
在教学设计中，我针对学生对三角函数及对直角三角形的边角关系认识的模糊，计算能力薄弱等特点，我决定把教学的重、难点放在了解决有关实际问题的建构数学模型上。
通过对知识点的梳理、分析例题的解题思路、例题变式练习及巩固练习等教学，绝大部分学生能很好地掌握了如何建构模型的解决方法，很好地达到了本节课的教学目的。
由于自己在如何上好一节复习课上还处在摸索阶段，所以在设计与安排上还存在很多不足，如本节课设计容量较大，有1个实际应用例题抽象出四个基本变式数学模型，学生对每个问题逐个探究解答，时间感觉比较紧。
但对另外一部分学生来说，他们基础较弱，对数学的应用不是那么得心应手，不会合理找出边角关系，当然就不能准确寻求问题的答案。
我觉得这堂课有以下几个优点：
1、充分调动了学生参与课堂的积极性。
2、学生敢于提出问题、分析问题。
3、老师起到了引导的作用，小组交流、展示很有成效，兼顾了不同层次学生的学习。
不足：1、中间的小结让学生完成更好些
2、给学生思考时间、交流时间过多，独立完成时间较少。
总之在以后的教学中，讲解不宜太多，但是更多的是建立在学生的思维基础上，所以需要给他们留较多的时间。
讲的太多反而得不到效果。
应该注重适当的提问，把注意力集中在学生的思维上，提高学生的思维品质。
在课堂上将努力做到让沉闷的课堂教学鲜活起来，让课堂真正成为数学活动的场所，成为讨论交流的学堂，成为学生展示自我的舞台！。